大学物理实验测量误差及数据处理

P
N −σ N
N +σ
N
当系统误差、粗大误差已消除， 当系统误差、粗大误差已消除，随机误 差服从正态分布
置信概率（ 置信概率（包含真值的概 范围 率）
N −σ — N +σ
N − 2σ — N + 2σ
68.3% 95.4% 99.7%
N − 3σ — N + 3σ
P
N − σ
N
N + σ
N
3．不确定度
作为真值的最佳估计，评定其可靠性的方法有三种。 作为真值的最佳估计，评定其可靠性的方法有三种。 最佳估计
1．算术平均偏差 ．
d= 1 N1 − N + N2 − N + L+ Ni − N + L+ Nk − N K K
(
)
1 = K
∑
N
i =1
i
− N
结果可表示为： 结果可表示为：
N±d
2．标准偏差（均方根偏差） ．标准偏差（均方根偏差） （1）测量列的实验标准差： ）测量列的实验标准差：
2 2 ins
式中
u = σ ( N) + ∆
这种表示方法的置信概率大约为95%左右 这种表示方法的置信概率大约为 左右
例（书P 21
）
§1.4间接测量结果误差的估算及评定 间接测量结果误差的估算及评定 一、 一般的误差传递公式 N=f(x，y，z)
∂f ∂f ∂f ∆x + ∆y + ∆z 绝对误差 ∆ N = ∂x ∂y ∂z
（2）随机误差—同一量的多次测量过程中，以不可 ） 预知方式变化的测量误差的分量 特点（ ）测量次数不多情况下随机误差没有规律; 随机误差没有规律 特点（a）测量次数不多情况下随机误差没有规律 （b）大量测量时随机误差服从统计规律，很 随机误差服从统计规律， ）大量测量时随机误差服从统计规律 多服从正态分布 正态分布。 多服从正态分布。
误差来源：环境条件、测量仪器、测量人员等。 误差来源：环境条件、测量仪器、测量人员等。
（3）粗大误差 明显超出规定条件下预期的误差 ）粗大误差—明显超出规定条件下预期的误差 特点：可以避免，处理数据时应将其剔除。 特点：可以避免，处理数据时应将其剔除。 产生原因：错误读数、使用有缺陷的器具、 产生原因：错误读数、使用有缺陷的器具、 使用仪器方法不对等。 使用仪器方法不对等。
我们接触过哪些测量？哪些是直接测量？哪些是间接测量？ Q:我们接触过哪些测量？哪些是直接测量？哪些是间接测量？
二、 误差
1、误差的定义 、 测量误差=测量值 测量值-真值 测量误差 测量值 真值 ∆N = N 测 − N 真
N真是客观存在的但无法测得，因为测量与误差是形影不离的。 是客观存在的但无法测得，因为测量与误差是形影不离的。
例: 如用一个精度为0.5级 量程为10 如用一个精度为 级，量程为 µA 的电流表， 的电流表，单次测量某一电流值为 2.00µA，试用不确定度表示测量结果。 不确定度表示测量结果 ，试用不确定度表示测量结果。 解：u=10 µA ×0．5 ％=0．05 µA ． ． I=（2 ．00±0 ．05 ）µA （ ±
测量结果表示为： 测量结果表示为：
N ±u
u N × 100%
相对不确定度： 相对不确定度： E =
§1.3直接测量误差估算及评定 直接测量误差估算及评定
一、单次测量误差估算及评定 单次测量误差估算及评定 单次测量结果的误差估算常以测量仪 单次测量结果的误差估算常以测量仪 器误差来评定 来评定。 器误差来评定。 仪器误差： 仪器误差： 已标明（或可明确知道） △ 已标明（或可明确知道）的误差 未标明时， △未标明时，可取仪器及表盘上最小刻度 的一半作误差。 的一半作误差。 △ 电学仪器根据仪器的精度来考虑 如电表： 如电表：∆ins = 量程数× 仪器精度级别 %
第一章 测量误差及数据处理方法
§ 1.1测量与误差关系 测量与误差关系 § 1.2测量结果误差估算及评定方法 测量结果误差估算及评定方法 § 1.3直接测量结果误差估算及评定方法 直接测量结果误差估算及评定方法 § 1.4间接测量结果误差估算及评定方法 间接测量结果误差估算及评定方法 § 1.5 有效数字及其运算 § 1.6常用数据处理方法 常用数据处理方法
当间接测量的函数关系为和差形式（N=x+y-z),用 1.4当间接测量的函数关系为和差形式（N=x+y-z),用（1.4-8）较 方便 当间接测量的函数关系为积商，乘方，开方形式（ 当间接测量的函数关系为积商，乘方，开方形式（N=x2y/z), 用（1.4-9）较方便 1.4-
表1.4-1某些常用函数的不确定度传递公式
函数形式 不确定传递公式
2 2 uN = ux + u y
N = x+ y
N = x− y
二、多次测量结果的误差估算及评 多次测量结果的误差估算及评 定程序： 定程序： 1、求平均值 N 。 、 2、求 d 或 σ 或 u。 、 。 3、表示结果。（例如用u， 、表示结果。（例如用 ， 。（例如用 则结果为 N = N ± u ）
今后我们约定结果写成： 今后我们约定结果写成：
N = N ±u
(1.4-7)
三、不确定度的传递公式
不确定度
∂f 2 2 ∂f 2 2 ∂f 2 2 uN = ( ) ux + ( ) u y + ( ) uz ∂x ∂y ∂z
(1.4-8)
uN ∂ ln f 2 2 ∂ ln f 2 2 ∂ ln f 2 2 (1.4-9) = ( ) ux + ( ) uy + ( ) uz 相对不确定度 N ∂x ∂y ∂z
5、精密度、正确度与准确度（又称精确度） 、精密度、正确度与准确度（又称精确度） 精密度—反映随机误差（测量值离散程度） 精密度 反映随机误差（测量值离散程度） 反映随机误差 正确度—反映系统误差（测量值偏离真值程度） 正确度 反映系统误差（测量值偏离真值程度） 反映系统误差 准确度—反映综合误差 准确度 反映综合误差
一、 测量
测量：就是用一定的测量工具或仪器， 测量：就是用一定的测量工具或仪器，通过 一定的方法，直接或间接地得到所需要的量值。 一定的方法，直接或间接地得到所需要的量值。 直接测量 测量 间接测量
直接测量—是将待测量与预先标定好的仪器、 直接测量 是将待测量与预先标定好的仪器、量具进行比 是将待测量与预先标定好的仪器 直接从仪器或量具上读出量值大小的测量 从仪器或量具上读出量值大小的测量； 较，直接从仪器或量具上读出量值大小的测量； 间接测量—由直接测量量获得数据， 间接测量 由直接测量量获得数据，利用已知的函数关系 由直接测量量获得数据 得到被测量。 进行运算，间接得到被测量 进行运算，间接得到被测量。
σ (N ) =
∑ (N
K i =1
i
− N
)
2
K −1
（2）平均值的标准偏差： ）
σ (N ) = σ (N )
K
=
∑(N − N )
K i i =1
2
K (K − 1)
标准偏差σ是一个描述测量结果离散程度的参 拓：标准偏差 是一个描述测量结果离散程度的参 量，反映了测量的精密度，只考虑随机误差。 反映了测量的精密度，只考虑随机误差。 理解： 若随机误差服从正态分布 在距平均值σ 服从正态分布， 理解： 若随机误差服从正态分布，在距平均值 处， 是概率密度曲线的拐点，曲线下总面积为1， 越小 越小， 是概率密度曲线的拐点，曲线下总面积为 ， σ越小，曲 线越瘦，峰值越高，说明分布越集中，精密度越高；反之 越瘦，峰值越高，说明分布越集中，精密度越高； 精密度越低。 精密度越低。
2m 20m
我们不知道它们是在什么测量中产生的， 我们不知道它们是在什么测量中产生的，所 以难以回答。 以难以回答。
如果它们分别对应下面两个测量，情况又怎样？ 如果它们分别对应下面两个测量，情况又怎样？
100米 跑道
2m
地月间 距38.4 万公里
20m
注意：绝对误差大的，相对误差不一定大 注意：绝对误差大的，
相对误差
（1.4-3） ）
∆N ∂ ln f ∂ ln f ∂ ln f = ∆x + ∆y + ∆z ∂x N ∂y ∂z
(1.4-4)
当间接测量的函数关系为和差形式（N=x+y-z),先计算绝对 当间接测量的函数关系为和差形式（N=x+y-z),先计算绝对 误差较方便 当间接测量的函数关系为积商形式（N=xy/z),先计算相对 当间接测量的函数关系为积商形式（N=xy/z),先计算相对 误差较方便
标准偏差的传递公式（方和根合成） 二、 标准偏差的传递公式（方和根合成）
σN
∂f 2 2 ∂f 2 2 ∂f 2 2 = ( ) σx +( ) σy +( ) σz ∂x ∂y ∂z
(1.4-6)
σN
∂ ln f 2 2 ∂ ln f 2 2 ∂ ln f 2 2 = ( ) σx +( ) σy +( ) σz N ∂x ∂y ∂z
二、 实验物理课程基本训练的有关程序 1、实验前预习 预习内容包括： 预习 （1） 实验名称； （2） 实验目的； （3） 仪器设备； （4） 基本原理，包括重要的计算公式、 电路图、光路图及简要的文字说明； （5） 数据表格。
3、写实验报告 、 一份完整的实验报告通常包括以下内容： （1） 实验名称； （2） 实验目的； （3） 仪器设备； （4） 基本原理，包括重要的计算公式、电路图、 光路图及简要的文字说明； （5） 数据表格及处理（包括计算和作图），这里的“数 据表格”不同与预习报告中的“数据草表”，应该另行正 规画出，并把草表记录的原始数据填入数据表格中。 （6） 实验结果； （7） 思考与创意； 预习报告中的“数据草表”，应作为附件，附于实验报告 中。