大学物理实验测量误差及数据处理
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函数形式 不确定传递公式
2 2 uN = ux + u y
N = x+ y
N = x− y
2m 20m
我们不知道它们是在什么测量中产生的， 我们不知道它们是在什么测量中产生的，所 以难以回答。 以难以回答。
如果它们分别对应下面两个测量，情况又怎样？ 如果它们分别对应下面两个测量，情况又怎样？
100米 跑道
2m
地月间 距38.4 万公里
20m
注意：绝对误差大的，相对误差不一定大 注意：绝对误差大的，
例: 如用一个精度为0.5级 量程为10 如用一个精度为 级，量程为 µA 的电流表， 的电流表，单次测量某一电流值为 2.00µA，试用不确定度表示测量结果。 不确定度表示测量结果 ，试用不确定度表示测量结果。 解：u=10 µA ×0．5 ％=0．05 µA ． ． I=（2 ．00±0 ．05 ）µA （ ±
二、 实验物理课程基本训练的有关程序 1、实验前预习 预习内容包括： 预习 （1） 实验名称； （2） 实验目的； （3） 仪器设备； （4） 基本原理，包括重要的计算公式、 电路图、光路图及简要的文字说明； （5） 数据表格。
3、写实验报告 、 一份完整的实验报告通常包括以下内容： （1） 实验名称； （2） 实验目的； （3） 仪器设备； （4） 基本原理，包括重要的计算公式、电路图、 光路图及简要的文字说明； （5） 数据表格及处理（包括计算和作图），这里的“数 据表格”不同与预习报告中的“数据草表”，应该另行正 规画出，并把草表记录的原始数据填入数据表格中。 （6） 实验结果； （7） 思考与创意； 预习报告中的“数据草表”，应作为附件，附于实验报告 中。
(1.4-7)
三、不确定度的传递公式
不确定度
∂f 2 2 ∂f 2 2 ∂f 2 2 uN = ( ) ux + ( ) u y + ( ) uz ∂x ∂y ∂z
(1.4-8)
uN ∂ ln f 2 2 ∂ ln f 2 2 ∂ ln f 2 2 (1.4-9) = ( ) ux + ( ) uy + ( ) uz 相对不确定度 N ∂x ∂y ∂z
2、误差来源 、 （1） 仪器误差 ） （2） 环境误差 ） （3） 测量方法误差 ） （4） 人员误差 ）
3、 误差分类（系统误差、随机误差、粗大误差） 、 误差分类（系统误差、随机误差、粗大误差） 同一被测量的多次测量过程中， （1）系统误差 同一被测量的多次测量过程中，保持 ）系统误差—同一被测量的多次测量过程中 恒定或以可预知方式变化的测量误差的分量 恒定或以可预知方式变化的测量误差的分量 特点： 特点：确定性 产生原因：仪器本身的缺陷、环境因素、 产生原因：仪器本身的缺陷、环境因素、测量 方法的不完备、 方法的不完备、测量者的不良习惯或动态滞后等。
2 2 ins
式中
u = σ ( N) + ∆
这种表示方法的置信概率大约为95%左右 这种表示方法的置信概率大约为 左右
例（书P 21
）
§1.4间接测量结果误差的估算及评定 间接测量结果误差的估算及评定 一、 一般的误差传递公式 N=f(x，y，z)
∂f ∂f ∂f ∆x + ∆y + ∆z 绝对误差 ∆ N = ∂x ∂y ∂z
P
正态分布曲线
−σ
0
σ
δ
正态分布 特点： 特点： （1）绝对值小的误差出现的概率大 绝对值相等的正负误差出现的概率相等， （2）绝对值相等的正负误差出现的概率相等，所以用多次测 量取平均的方法可以减小随机误差 （3）绝对值很大的误差出现的概率趋于零 曲线下面积为1 曲线越窄，峰越高，随机误差越小。 曲线下面积为1，曲线越窄，峰越高，随机误差越小。
相对误差
（1.4-3） ）
∆N ∂ ln f ∂ ln f ∂ ln f = ∆x + ∆y + ∆z ∂x N ∂y ∂z
(1.4-4)
当间接测量的函数关系为和差形式（N=x+y-z),先计算绝对 当间接测量的函数关系为和差形式（N=x+y-z),先计算绝对 误差较方便 当间接测量的函数关系为积商形式（N=xy/z),先计算相对 当间接测量的函数关系为积商形式（N=xy/z),先计算相对 误差较方便
误差来源：环境条件、测量仪器、测量人员等。 误差来源：环境条件、测量仪器、测量人员等。
（3）粗大误差 明显超出规定条件下预期的误差 ）粗大误差—明显超出规定条件下预期的误差 特点：可以避免，处理数据时应将其剔除。 特点：可以避免，处理数据时应将其剔除。 产生原因：错误读数、使用有缺陷的器具、 产生原因：错误读数、使用有缺陷的器具、 使用仪器方法不对等。 使用仪器方法不对等。
二、多次测量结果的误差估算及评 多次测量结果的误差估算及评 定程序： 定程序： 1、求平均值 N 。 、 2、求 d 或 σ 或 u。 、 。 3、表示结果。（例如用u， 、表示结果。（例如用 ， 。（例如用 则结果为 N = N ± u ）
今后我们约定结果写成： 今后我们约定结果写成：
N = N ±u
(a) 正确度较高、 正确度较高、 精密度低
(b) 精密度高、 精密度高、 正确度低
(c) 准确度高
§1.2测量结果误差估算及评定方法
对N进行K次测量，得N1，N2……Nk．用算术 次测量， 平均值： 平均值：
1 1 k N = ( N1 + N 2 + L + N i + L + N k ) = ∑ N i K K i =1
（2）随机误差—同一量的多次测量过程中，以不可 ） 预知方式变化的测量误差的分量 特点（ ）测量次数不多情况下随机误差没有规律; 随机误差没有规律 特点（a）测量次数不多情况下随机误差没有规律 （b）大量测量时随机误差服从统计规律，很 随机误差服从统计规律， ）大量测量时随机误差服从统计规律 多服从正态分布 正态分布。 多服从正态分布。
我们接触过哪些测量？哪些是直接测量？哪些是间接测量？ Q:我们接触过哪些测量？哪些是直接测量？哪些是间接测量？
二、 误差
1、误差的定义 、 测量误差=测量值 测量值-真值 测量误差 测量值 真值 ∆N = N 测 − N 真
N真是客观存在的但无法测得，因为测量与误差是形影不离的。 是客观存在的但无法测得，因为测量与误差是形影不离的。
测量结果表示为： 测量结果表示为：
N ±u
u N × 100%
相对不确定度： 相对不确定度： E =
§1.3直接测量误差估算及评定 直接测量误差估算及评定
一、单次测量误差估算及评定 单次测量误差估算及评定 单次测量结果的误差估算常以测量仪 单次测量结果的误差估算常以测量仪 器误差来评定 来评定。 器误差来评定。 仪器误差： 仪器误差： 已标明（或可明确知道） △ 已标明（或可明确知道）的误差 未标明时， △未标明时，可取仪器及表盘上最小刻度 的一半作误差。 的一半作误差。 △ 电学仪器根据仪器的精度来考虑 如电表： 如电表：∆ins = 量程数× 仪器精度级别 %
σ (N ) =
∑ (N
K i =1
i
− N
)
2
K −1
（2）平均值的标准偏差： ）
σ (N ) = σ (N )
K
=
∑(N − N )
K i i =1
2
K (K − 1)
标准偏差σ是一个描述测量结果离散程度的参 拓：标准偏差 是一个描述测量结果离散程度的参 量，反映了测量的精密度，只考虑随机误差。 反映了测量的精密度，只考虑随机误差。 理解： 若随机误差服从正态分布 在距平均值σ 服从正态分布， 理解： 若随机误差服从正态分布，在距平均值 处， 是概率密度曲线的拐点，曲线下总面积为1， 越小 越小， 是概率密度曲线的拐点，曲线下总面积为 ， σ越小，曲 线越瘦，峰值越高，说明分布越集中，精密度越高；反之 越瘦，峰值越高，说明分布越集中，精密度越高； 精密度越低。 精密度越低。
5、精密度、正确度与准确度（又称精确度） 、精密度、正确度与准确度（又称精确度） 精密度—反映随机误差（测量值离散程度） 精密度 反映随机误差（测量值离散程度） 反映随机误差 正确度—反映系统误差（测量值偏离真值程度） 正确度 反映系统误差（测量值偏离真值程度） 反映系统误差 准确度—反映综合误差 准确度 反映综合误差
4、 测量结果表示 、
（1）绝对误差 ）
∆N = N 测 − N 真
（2）相对误差（百分误差） ）相对误差（百分误差）
E=
∆N
N真
× 100% =
N测 − N 真 N真
× 100%
结果表示： 结果表示：
N 真 = N 测 ± ∆N
E=
∆N
N真
× 100%
有了绝对误差， 问:有了绝对误差，为什么还要引入相对 有了绝对误差 误差呢？ 误差呢？ 绝对误差反映的是误差本身的大小， 答:绝对误差反映的是误差本身的大小，但 绝对误差反映的是误差本身的大小 它不能反映误差的严重程度。 它不能反映误差的严重程度。 两个绝对误差如下， 例:两个绝对误差如下，哪个大，哪个严重？ 两个绝对误差如下 哪个大，哪个严重？
P
N −σ N
N +σ
N
当系统误差、粗大误差已消除， 当系统误差、粗大误差已消除，随机误 差服从正态分布
置信概率（ 置信概率（包含真值的概 范围 率）
Leabharlann Baidu
N −σ — N +σ
N − 2σ — N + 2σ
68.3% 95.4% 99.7%
N − 3σ — N + 3σ
P
N − σ
N
N + σ
N
3．不确定度
A类分量（用统计的方法计算）uＡ：σ ( N ) 类分量（ 统计的方法计算） 类分量 的方法计算 B类分量（用其他方法计算）uＢ： u j = 类分量（ 其他方法计算） 类分量 方法计算 合成不确定度
置信系数
σ (N )
仪器的极 限误差
∆ins ≈ ∆ins K
u=
2 2 u A + uB = σ 2 ( N ) + u 2 或 = σ 2 ( N ) + u 2 j j
当间接测量的函数关系为和差形式（N=x+y-z),用 1.4当间接测量的函数关系为和差形式（N=x+y-z),用（1.4-8）较 方便 当间接测量的函数关系为积商，乘方，开方形式（ 当间接测量的函数关系为积商，乘方，开方形式（N=x2y/z), 用（1.4-9）较方便 1.4-
表1.4-1某些常用函数的不确定度传递公式
第一章 测量误差及数据处理方法
§ 1.1测量与误差关系 测量与误差关系 § 1.2测量结果误差估算及评定方法 测量结果误差估算及评定方法 § 1.3直接测量结果误差估算及评定方法 直接测量结果误差估算及评定方法 § 1.4间接测量结果误差估算及评定方法 间接测量结果误差估算及评定方法 § 1.5 有效数字及其运算 § 1.6常用数据处理方法 常用数据处理方法
标准偏差的传递公式（方和根合成） 二、 标准偏差的传递公式（方和根合成）
σN
∂f 2 2 ∂f 2 2 ∂f 2 2 = ( ) σx +( ) σy +( ) σz ∂x ∂y ∂z
(1.4-6)
σN
∂ ln f 2 2 ∂ ln f 2 2 ∂ ln f 2 2 = ( ) σx +( ) σy +( ) σz N ∂x ∂y ∂z
一、 测量
测量：就是用一定的测量工具或仪器， 测量：就是用一定的测量工具或仪器，通过 一定的方法，直接或间接地得到所需要的量值。 一定的方法，直接或间接地得到所需要的量值。 直接测量 测量 间接测量
直接测量—是将待测量与预先标定好的仪器、 直接测量 是将待测量与预先标定好的仪器、量具进行比 是将待测量与预先标定好的仪器 直接从仪器或量具上读出量值大小的测量 从仪器或量具上读出量值大小的测量； 较，直接从仪器或量具上读出量值大小的测量； 间接测量—由直接测量量获得数据， 间接测量 由直接测量量获得数据，利用已知的函数关系 由直接测量量获得数据 得到被测量。 进行运算，间接得到被测量 进行运算，间接得到被测量。
作为真值的最佳估计，评定其可靠性的方法有三种。 作为真值的最佳估计，评定其可靠性的方法有三种。 最佳估计
1．算术平均偏差 ．
d= 1 N1 − N + N2 − N + L+ Ni − N + L+ Nk − N K K
(
)
1 = K
∑
N
i =1
i
− N
结果可表示为： 结果可表示为：
N±d
2．标准偏差（均方根偏差） ．标准偏差（均方根偏差） （1）测量列的实验标准差： ）测量列的实验标准差：
2 2 uN = ux + u y
N = x+ y
N = x− y
2m 20m
我们不知道它们是在什么测量中产生的， 我们不知道它们是在什么测量中产生的，所 以难以回答。 以难以回答。
如果它们分别对应下面两个测量，情况又怎样？ 如果它们分别对应下面两个测量，情况又怎样？
100米 跑道
2m
地月间 距38.4 万公里
20m
注意：绝对误差大的，相对误差不一定大 注意：绝对误差大的，
例: 如用一个精度为0.5级 量程为10 如用一个精度为 级，量程为 µA 的电流表， 的电流表，单次测量某一电流值为 2.00µA，试用不确定度表示测量结果。 不确定度表示测量结果 ，试用不确定度表示测量结果。 解：u=10 µA ×0．5 ％=0．05 µA ． ． I=（2 ．00±0 ．05 ）µA （ ±
二、 实验物理课程基本训练的有关程序 1、实验前预习 预习内容包括： 预习 （1） 实验名称； （2） 实验目的； （3） 仪器设备； （4） 基本原理，包括重要的计算公式、 电路图、光路图及简要的文字说明； （5） 数据表格。
3、写实验报告 、 一份完整的实验报告通常包括以下内容： （1） 实验名称； （2） 实验目的； （3） 仪器设备； （4） 基本原理，包括重要的计算公式、电路图、 光路图及简要的文字说明； （5） 数据表格及处理（包括计算和作图），这里的“数 据表格”不同与预习报告中的“数据草表”，应该另行正 规画出，并把草表记录的原始数据填入数据表格中。 （6） 实验结果； （7） 思考与创意； 预习报告中的“数据草表”，应作为附件，附于实验报告 中。
(1.4-7)
三、不确定度的传递公式
不确定度
∂f 2 2 ∂f 2 2 ∂f 2 2 uN = ( ) ux + ( ) u y + ( ) uz ∂x ∂y ∂z
(1.4-8)
uN ∂ ln f 2 2 ∂ ln f 2 2 ∂ ln f 2 2 (1.4-9) = ( ) ux + ( ) uy + ( ) uz 相对不确定度 N ∂x ∂y ∂z
2、误差来源 、 （1） 仪器误差 ） （2） 环境误差 ） （3） 测量方法误差 ） （4） 人员误差 ）
3、 误差分类（系统误差、随机误差、粗大误差） 、 误差分类（系统误差、随机误差、粗大误差） 同一被测量的多次测量过程中， （1）系统误差 同一被测量的多次测量过程中，保持 ）系统误差—同一被测量的多次测量过程中 恒定或以可预知方式变化的测量误差的分量 恒定或以可预知方式变化的测量误差的分量 特点： 特点：确定性 产生原因：仪器本身的缺陷、环境因素、 产生原因：仪器本身的缺陷、环境因素、测量 方法的不完备、 方法的不完备、测量者的不良习惯或动态滞后等。
2 2 ins
式中
u = σ ( N) + ∆
这种表示方法的置信概率大约为95%左右 这种表示方法的置信概率大约为 左右
例（书P 21
）
§1.4间接测量结果误差的估算及评定 间接测量结果误差的估算及评定 一、 一般的误差传递公式 N=f(x，y，z)
∂f ∂f ∂f ∆x + ∆y + ∆z 绝对误差 ∆ N = ∂x ∂y ∂z
P
正态分布曲线
−σ
0
σ
δ
正态分布 特点： 特点： （1）绝对值小的误差出现的概率大 绝对值相等的正负误差出现的概率相等， （2）绝对值相等的正负误差出现的概率相等，所以用多次测 量取平均的方法可以减小随机误差 （3）绝对值很大的误差出现的概率趋于零 曲线下面积为1 曲线越窄，峰越高，随机误差越小。 曲线下面积为1，曲线越窄，峰越高，随机误差越小。
相对误差
（1.4-3） ）
∆N ∂ ln f ∂ ln f ∂ ln f = ∆x + ∆y + ∆z ∂x N ∂y ∂z
(1.4-4)
当间接测量的函数关系为和差形式（N=x+y-z),先计算绝对 当间接测量的函数关系为和差形式（N=x+y-z),先计算绝对 误差较方便 当间接测量的函数关系为积商形式（N=xy/z),先计算相对 当间接测量的函数关系为积商形式（N=xy/z),先计算相对 误差较方便
误差来源：环境条件、测量仪器、测量人员等。 误差来源：环境条件、测量仪器、测量人员等。
（3）粗大误差 明显超出规定条件下预期的误差 ）粗大误差—明显超出规定条件下预期的误差 特点：可以避免，处理数据时应将其剔除。 特点：可以避免，处理数据时应将其剔除。 产生原因：错误读数、使用有缺陷的器具、 产生原因：错误读数、使用有缺陷的器具、 使用仪器方法不对等。 使用仪器方法不对等。
二、多次测量结果的误差估算及评 多次测量结果的误差估算及评 定程序： 定程序： 1、求平均值 N 。 、 2、求 d 或 σ 或 u。 、 。 3、表示结果。（例如用u， 、表示结果。（例如用 ， 。（例如用 则结果为 N = N ± u ）
今后我们约定结果写成： 今后我们约定结果写成：
N = N ±u
(a) 正确度较高、 正确度较高、 精密度低
(b) 精密度高、 精密度高、 正确度低
(c) 准确度高
§1.2测量结果误差估算及评定方法
对N进行K次测量，得N1，N2……Nk．用算术 次测量， 平均值： 平均值：
1 1 k N = ( N1 + N 2 + L + N i + L + N k ) = ∑ N i K K i =1
（2）随机误差—同一量的多次测量过程中，以不可 ） 预知方式变化的测量误差的分量 特点（ ）测量次数不多情况下随机误差没有规律; 随机误差没有规律 特点（a）测量次数不多情况下随机误差没有规律 （b）大量测量时随机误差服从统计规律，很 随机误差服从统计规律， ）大量测量时随机误差服从统计规律 多服从正态分布 正态分布。 多服从正态分布。
我们接触过哪些测量？哪些是直接测量？哪些是间接测量？ Q:我们接触过哪些测量？哪些是直接测量？哪些是间接测量？
二、 误差
1、误差的定义 、 测量误差=测量值 测量值-真值 测量误差 测量值 真值 ∆N = N 测 − N 真
N真是客观存在的但无法测得，因为测量与误差是形影不离的。 是客观存在的但无法测得，因为测量与误差是形影不离的。
测量结果表示为： 测量结果表示为：
N ±u
u N × 100%
相对不确定度： 相对不确定度： E =
§1.3直接测量误差估算及评定 直接测量误差估算及评定
一、单次测量误差估算及评定 单次测量误差估算及评定 单次测量结果的误差估算常以测量仪 单次测量结果的误差估算常以测量仪 器误差来评定 来评定。 器误差来评定。 仪器误差： 仪器误差： 已标明（或可明确知道） △ 已标明（或可明确知道）的误差 未标明时， △未标明时，可取仪器及表盘上最小刻度 的一半作误差。 的一半作误差。 △ 电学仪器根据仪器的精度来考虑 如电表： 如电表：∆ins = 量程数× 仪器精度级别 %
σ (N ) =
∑ (N
K i =1
i
− N
)
2
K −1
（2）平均值的标准偏差： ）
σ (N ) = σ (N )
K
=
∑(N − N )
K i i =1
2
K (K − 1)
标准偏差σ是一个描述测量结果离散程度的参 拓：标准偏差 是一个描述测量结果离散程度的参 量，反映了测量的精密度，只考虑随机误差。 反映了测量的精密度，只考虑随机误差。 理解： 若随机误差服从正态分布 在距平均值σ 服从正态分布， 理解： 若随机误差服从正态分布，在距平均值 处， 是概率密度曲线的拐点，曲线下总面积为1， 越小 越小， 是概率密度曲线的拐点，曲线下总面积为 ， σ越小，曲 线越瘦，峰值越高，说明分布越集中，精密度越高；反之 越瘦，峰值越高，说明分布越集中，精密度越高； 精密度越低。 精密度越低。
5、精密度、正确度与准确度（又称精确度） 、精密度、正确度与准确度（又称精确度） 精密度—反映随机误差（测量值离散程度） 精密度 反映随机误差（测量值离散程度） 反映随机误差 正确度—反映系统误差（测量值偏离真值程度） 正确度 反映系统误差（测量值偏离真值程度） 反映系统误差 准确度—反映综合误差 准确度 反映综合误差
4、 测量结果表示 、
（1）绝对误差 ）
∆N = N 测 − N 真
（2）相对误差（百分误差） ）相对误差（百分误差）
E=
∆N
N真
× 100% =
N测 − N 真 N真
× 100%
结果表示： 结果表示：
N 真 = N 测 ± ∆N
E=
∆N
N真
× 100%
有了绝对误差， 问:有了绝对误差，为什么还要引入相对 有了绝对误差 误差呢？ 误差呢？ 绝对误差反映的是误差本身的大小， 答:绝对误差反映的是误差本身的大小，但 绝对误差反映的是误差本身的大小 它不能反映误差的严重程度。 它不能反映误差的严重程度。 两个绝对误差如下， 例:两个绝对误差如下，哪个大，哪个严重？ 两个绝对误差如下 哪个大，哪个严重？
P
N −σ N
N +σ
N
当系统误差、粗大误差已消除， 当系统误差、粗大误差已消除，随机误 差服从正态分布
置信概率（ 置信概率（包含真值的概 范围 率）
Leabharlann Baidu
N −σ — N +σ
N − 2σ — N + 2σ
68.3% 95.4% 99.7%
N − 3σ — N + 3σ
P
N − σ
N
N + σ
N
3．不确定度
A类分量（用统计的方法计算）uＡ：σ ( N ) 类分量（ 统计的方法计算） 类分量 的方法计算 B类分量（用其他方法计算）uＢ： u j = 类分量（ 其他方法计算） 类分量 方法计算 合成不确定度
置信系数
σ (N )
仪器的极 限误差
∆ins ≈ ∆ins K
u=
2 2 u A + uB = σ 2 ( N ) + u 2 或 = σ 2 ( N ) + u 2 j j
当间接测量的函数关系为和差形式（N=x+y-z),用 1.4当间接测量的函数关系为和差形式（N=x+y-z),用（1.4-8）较 方便 当间接测量的函数关系为积商，乘方，开方形式（ 当间接测量的函数关系为积商，乘方，开方形式（N=x2y/z), 用（1.4-9）较方便 1.4-
表1.4-1某些常用函数的不确定度传递公式
第一章 测量误差及数据处理方法
§ 1.1测量与误差关系 测量与误差关系 § 1.2测量结果误差估算及评定方法 测量结果误差估算及评定方法 § 1.3直接测量结果误差估算及评定方法 直接测量结果误差估算及评定方法 § 1.4间接测量结果误差估算及评定方法 间接测量结果误差估算及评定方法 § 1.5 有效数字及其运算 § 1.6常用数据处理方法 常用数据处理方法
标准偏差的传递公式（方和根合成） 二、 标准偏差的传递公式（方和根合成）
σN
∂f 2 2 ∂f 2 2 ∂f 2 2 = ( ) σx +( ) σy +( ) σz ∂x ∂y ∂z
(1.4-6)
σN
∂ ln f 2 2 ∂ ln f 2 2 ∂ ln f 2 2 = ( ) σx +( ) σy +( ) σz N ∂x ∂y ∂z
一、 测量
测量：就是用一定的测量工具或仪器， 测量：就是用一定的测量工具或仪器，通过 一定的方法，直接或间接地得到所需要的量值。 一定的方法，直接或间接地得到所需要的量值。 直接测量 测量 间接测量
直接测量—是将待测量与预先标定好的仪器、 直接测量 是将待测量与预先标定好的仪器、量具进行比 是将待测量与预先标定好的仪器 直接从仪器或量具上读出量值大小的测量 从仪器或量具上读出量值大小的测量； 较，直接从仪器或量具上读出量值大小的测量； 间接测量—由直接测量量获得数据， 间接测量 由直接测量量获得数据，利用已知的函数关系 由直接测量量获得数据 得到被测量。 进行运算，间接得到被测量 进行运算，间接得到被测量。
作为真值的最佳估计，评定其可靠性的方法有三种。 作为真值的最佳估计，评定其可靠性的方法有三种。 最佳估计
1．算术平均偏差 ．
d= 1 N1 − N + N2 − N + L+ Ni − N + L+ Nk − N K K
(
)
1 = K
∑
N
i =1
i
− N
结果可表示为： 结果可表示为：
N±d
2．标准偏差（均方根偏差） ．标准偏差（均方根偏差） （1）测量列的实验标准差： ）测量列的实验标准差：