有限自动机的最小化

有限自动机的最小化

(齐齐哈尔大学)

本文2000年5月14日收到.图2

M ’的转移图

摘要引进有限自动机中的不可区分状态概念,并给出一些已知结果新的、更简单的证明.

关键词有限自动机状态不可区分状态等价类

定义1设M =(Q ,Σ,δ,q 0,F )为有限自动机,且令q 1和q 2为不同的状态.如果存在x ∈

Σ3,使q 1,x —3q 3,e ,q 2,x —3

q 4,e ,且恰好q 3和q 4中只有一个在F 内,则称x 使得q 1和q 2可以区分.

定义2设q 1和q 2为不同的状态且属于定义1中的Q .称q 1和q 2是K 阶不可区分,且写成q 1≡K q 2,当且仅当不存在x ≤K 的x ,使q 1和q 2可以区分.称两个状态q 1和q 2是不可区且写成q 1≡q 2,当且仅当对于所有的K ≥0存在q 1和q 2的K 阶不可区分.

称状态q ∈Q 是不可到达的,假使不存在使得q 0,x —3

q ,e 的输入字符串x .

称M 是经过简化的,假使Q 没有一个状态是不可到达的和没有两个不同的状态是不可区分的.例1考虑转移图1所示的有限自动机M .|||第20卷第3期

高师理科学刊Vol.20No.32000年8月Journal of Science of Teachers ’Colle g e and U niversit y A u g .2000

图1M 的转移图

为了简化M ,首先消去状态F 和G 不可到达的.在下面的算法中,将看出在等价关系

“≡”之下的等价类是[A ]、[B ,C ]、[C ,E ],并依次以状态p 、q 、

r 表示,从而得到图1经过简化有限自动机M ’.丁春欣

定理设M =(Q ,Σ,

δ,q 0,F )为具有n 个状态的有限自动机.若状态q 1和q 2是不可区分的,当且仅当它们是(n -2)阶不可区分.

证由状态q 1和q 2不可区分的定义,定理中必要性结论显然.

充分性

如果F 中没有元素(空集)或F =Q ,则充分性也是显然的.以下假设F 含有大于0但小于n 个状态.按照K 阶不可区分性的定义,易知关系“≡K ”是Q 上的等价关系,Q 关于≡K 的商集记为Q /≡K

,并以|Q /≡K |记为Q /≡K 中元素的个数,则下列情况成立:

Q ≡0≤Q ≡1≤…≤Q ≡n -3≤Q ≡n -2=Q ≡n -1

.

为此,对于Q 中的q 1和q 2有

(1)q 1≡0q 2当且仅当q 1和q 2都在F 中或都不在F 中,

(2)q 1≡K q 2当且仅当q 1≡K -1q 2,同时对于Σ上的所有a ,δ

q 1,a ≡K -1δq 2,a .等价关系≡0对Q 是第一次等分类,它只是将状态集Q 划分成终态和非终态两类.如果存在≡K ≠≡K -1,

则Q ≡K >Q ≡K -1.由于F 或Q -F 中至多有n -1个元素,故对于≡0

至多只能进行n -2次相继分

类.于是≡是使得≡K -1=≡K 的第一次的关系≡K

,再由(2)必然得出k =n -2.证毕.

下面的算法给出了如何使有限自动机的状态数极小化方法.

算法构造规范的有限自动机

输入:有限自动机M =(Q ,Σ,

δ,q 0,F ).输出:简化的等价有限自动机M ’.

方法:

步骤1:使用参考文献[1]中算法0.3,按照M 的转移图找出由q 0出发的所有那些可以到达的状态,并且删去所有不可到达的状态.

步骤2:依照前面定理的描述,构造等价关系≡0,≡1…,直到

≡K =≡K -1,选取≡K

作为等价关系.步骤3:构造有限自动机M ’=(Q ’,Σ,δ’,q 0’,F ’

)其中(1)Q ’是≡之下的等价类的集合.令[p ]是≡之下状态p 的等价类.

(2)若δ(p ,a )=q ,则δ’([p ],a )=[q ].

(3)q 0’=[q 0].

(4)F ’={[q ]|q ∈F }.

易见L (M ’)=L (M ).以下证明不可能再有另外的等价自动机能接受L (M ),而它的状态却比M ’还

要少.以下证明M ’的状态是最小的.

假设M "

比M ’的状态少且L (M ")=L (M ).由于在等价关系≡之下的每个等价类是非空的,所以M ’的每个状态都是可以到达的,于是有字符串序列

x 1,x 2,…,x m (m =|Q ’|)

使M ’每一个状态都可达.由于M "的状态少于M ’,那么在序列x 1,x 2,…,x m 中存在x ≠w ,使

q 0",w —M "3q ,e 和q 0",x —M "3q ,e

,其中q 0"是M "的初始状态,但w 和x 却推导M ’到不同的状态.因此,w 和x 同样推导M 到不同状态,记为p 和r ,且它们是可以区分的,即存在某个y ,使得只有w y 和x y 中之一属于L (M ).但w y 和x y 必定推导M "到相同状态,这与w y 和x y 之属于L (M ")相矛盾.||第3期丁春欣:有限自动机的最小化9

10高师理科学刊第20卷

参考文献

1[美]阿霍A V,厄尔曼J D.形式语言及其句法分析.科学出版社,1987

2[美]J E.霍普克罗夫特,J D厄尔曼.自动机理论、语言和计算导引.北京:科学出版社,1986

3谢邦杰.抽象代数学.上海科学技术出版社,1982

Minimizatio n of Finite A uto matio n

Din g Chunxin

(Qi q ihar U niversit y)

Abstract The indistin g uishable state in finite automation is int roduced in t his p a p er.The aut hor g ives new and ver y sim p le p roof s to some known result s.

K e y Words Finite automation E q uivatence class State Indistin g uishable state

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《高师理科学刊》编辑部

2000年8月