等比数列高考专题复习资料

等比数列高考专题复习

资料

-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

等比数列

【知识点回顾】 1.等比数列的概念

如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数)0(≠q q ，这个数列叫做等比数列，常数q 称为等比数列的公比. 2.通项公式与前n 项和公式

⑴通项公式：11-=n n q a a ，1a 为首项，q 为公比 . ⑵前n 项和公式：①当1=q 时，1na S n =

②当1≠q 时，q

q

a a q q a S n n n --=

--=11)1(11. 3.等比中项

如果b G a ,,成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项. 即：G 是a 与b 的等差中项⇔a ，A ，b 成等差数列⇒b a G ⋅=2. 4.等比数列的判定方法

⑴定义法：

q a a n

n =+1

（+∈N n ，0≠q 是常数）⇔{}n a 是等比数列； ⑵中项法：22

1++⋅=n n n a a a (+∈N n )且0≠n a ⇔{}n a 是等比数列. 5.等比数列的常用性质

⑴数列{}n a 是等比数列，则数列{}n pa 、{}n pa （0≠q 是常数）都是等比数列；

⑵在等比数列{}n a 中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即 ,,,,32k n k n k n n a a a a +++为等比数列，公比为k q .

⑶),(+-∈⋅=N m n q a a m n m n

⑷若),,,(+∈+=+N q p n m q p n m ，则q p n m a a a a ⋅=⋅；

⑸若等比数列{}n a 的前n 项和n S ，则k S 、k k S S -2、k k S S 23-、k k S S 34-是等比数列. 【方法总结】

1.求等比数列的公比、、求值、判定等比数列等通常运用等比数列的概念、公式及其性质. 例1.已知等比数列{}n a 的前n 项和1-=n n p S (p 是非零常数),则数列{}n a 是( )

A.等差数列

B.等比数列

C.等差数列或等比数列

D.非等差数列

[名师点拨]先由n S 求出n a ，再根据等差、等比数列定义作出判定. 解： 1-=n n p S ，∴)2()1(11≥-=-=--n p p S S a n n n n

∴当,1≠p 且0≠p 时，{}n a 是等比数列；∴当0=p 时，{}n a 是等差数列，选C. 2.求实数等比数列的中项要注意符号，求和要注意分类讨论. 例2.若实数数列4,,,,1321a a a 是等比数列，则=2a .

[名师点拨]本题容易错认为，由等比数列的等比中项公式412

2⨯=a ，得.22±=a 解： 4,,,,1321a a a 是等比数列，∴412

2

⨯=a ，得.22±=a 又21,,1a a 是等比数列，∴R a a a ∈⋅=1221,1，∴22=a . 考点一 等比数列的通项与前n 项和 题型1：已知等比数列的某些项，求某项

例1.已知{}n a 为等比数列，162,262==a a ，则=10a [解题思路]可以考虑基本量法，或利用等比数列的性质

解：方法1： 81162

24

5

1612=⇒⎩⎨⎧====q q a a q a a ∴1312281162469110=⨯===q a q a a

方法2： 812

162264===

a a q ，∴13122811624610=⨯==q a a 方法3： {}n a 为等比数列

∴131222

1622

22

6102

6

102===⇒=⋅a a a a a a

题型2：已知前n 项和n S 及其某项，求项数.

例2.⑴已知n S 为等比数列{}n a 前n 项和，93=n S ，48=n a ，公比2=q ，则项数=n .

⑵已知四个实数，前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，首末两数之和为37，中间两数之和为

36，求这四个数.

[解题思路]⑴利用等比数列的通项公式1

1-=n n q

a a 及q

q a S n n --=1)

1(1求出1a 及q ，代入n S 可求项数n ；⑵利用

等差数列、等比数列设出四个实数代入已知，可求这四个数.

解：⑴由93=n S ，48=n a ，公比2=q ，得532248

293

)12(1

11=⇒=⇒⎩⎨⎧=⋅=--n a a n n n . ⑵方法1：设这四个数分别为d c b a ,,,，则⎪⎪⎩⎪

⎪⎨⎧=+=+=+=36

3722c b b a bd c c a b ；

方法2：设前2个数分别为b a ,，则第43、个数分别为a b --3736，，则

⎩⎨⎧-=-+-=)

37()36()36(22

a b b a b b ，解得⎩⎨⎧==1612b a 或⎪⎩⎪⎨⎧

==

4

81499b a ； 方法3：设第32、个数分别为c b ，，则第1个数为c b -2，第1个数为b

c 2

，则

⎩⎨⎧==⇒⎪⎩

⎪⎨⎧=++-20163622

c b c b b c c b 或⎪⎩⎪⎨⎧

==4

63481c b ； 方法4：设第32、个数分别为c b ，，设第4,1个数分别为

c

a c c a ++2

2,2； 方法5：设第43、个数分别为d c ,，则设第2,1个数分别为c d --36,37，则

⎩⎨

⎧===⇒⎩⎨⎧-=+-=-251620)36()37()36(22d c c d c c d c 或.449

,463==d c 题型3：求等比数列前n 项和

例3.等比数列 ,8,4,2,1中从第5项到第10项的和.

[解题思路]可以先求出10S ，再求出4S ，利用410S S -求解；也可以先求出5a 及10a ， 由10765,,,,a a a a 成等比数列求解. 解：由2,121==a a ，得2=q ，

∴102321)21(11010=--=

S ，152

1)

21(144=--=S ，∴.1008410=-S S 例4.已知n S 为等比数列{}n a 前n 项和，13233331-+++++=n n a ，求n S [解题思路]可以先求出n a ，再根据n a 的形式特点求解. 解： 2

1

2331)31(13

33311

3

2

-=--=+++++=-n n n n a ，

∴n n S n n

n 2

131)31(32121)3333(2132---⨯

=-++++=