第六章：重复博弈与合作行为

无限次重复博弈）各个阶段的得益，能产生与得益序列
1， 2,相同的现在值，则称为1， 2,的平均得益
有限次重复博弈不一定考虑贴现因素
无限次重复博弈必须考虑贴现问题 (1 ) t1t t 1
8
“囚徒困境”的一般表示
合作 A
不合作
合作 3，3
B 不合作
-1 ，4
合作
合作 T， T
不合作 S， R
4 ， -1
➢ 可实现得益(Feasible Payoff) ：博弈中所有纯 策略组合得益的加权平均数组
(3,3) ➢
(4,1)
定理：设原博弈的一次性博弈有均衡得益 数组优于w，那么在该博弈的多次重复中 所有不小于个体理性得益的可实现得益， 都至少有一个子博弈完美纳什均衡的极限 的平均得益来实现它们。
厂商1得益
max8 1.5 q q 2q max4.5 q q
q2
2
2
2
q2
2
2
q2 2.25,此时他的利润为 5.0625
➢ 高于触发策略第一阶段得益4.5。但从第二阶段开始，厂 商1将报复性地永远采用古诺产量2，这样厂商2也被迫 永远采用古诺产量，从此得利润4。因此，无限次重复 博弈第一阶段偏离的情况下总得益的现值为：
* 8 2q* q* 2q* 6 2q* q*
max q2
8
q2* q* 1
62
q22q*
1
q*qd2
6 q*
2 24
29
低水平的合作
d
1
c
6 q* 2
4 4 1
6 2q* q* 1 6 q* 2 4 4 1
q* 29 5
9
30
效率工资(efficiency wage)
➢ 信息的完备性(completeness)
✓ 当一个参与人的支付函数（特征）不为其他参与人 所知时，该参与人可能有积极性建立一个“好”声 誉以换取长远利益。这一点可以解释为什么那些本 质上并不好的人在相当长的时期内干好事。
5
基本概念
➢ 有限次重复博弈：给定一个基本博弈G（可以是静态博 弈，也可以是动态博弈），重复进行T次G，并且在每 次重复G之前各博弈方都能观察到以前博弈的结果，这 样的博弈过程称为“G的T次重复博弈”，记为G(T)。 而G则称为G(T)的“原博弈”。G(T)中的每次重复称为 G(T)的一个“阶段”。
25
无限次重复古诺模型
➢ 设厂商1已采用该触发策略，若厂商2也采用该触发策 略，则每期得益4.5，无限次重复博弈总得益的现值为：
4.51 2 4.5
1
➢ 如果厂商2偏离上述触发策略，则他在第一阶段所选产 量应为给定厂商1产量为1.5时，自己的最大利润产量， 即满足：
26
无限次重复古诺模型
27
无限次重复古诺模型
5.0625 4 2 5.0625 4
1
4.5 5.0625 4 即 9 17
1
1
➢ 上述策略是厂商2对厂商1的同样触发策略的最佳反应， 否则偏离是最佳反应。
28
低水平的合作
在第一阶段生产q*,在第t阶段， 如果前t 1阶段的结果都
是 q*，q * ， 则继续生产q*， 否则生产古诺产量qc 2。
触发策略：第一阶段采用H，如果前t-1阶段的结果都是 (H,H)，则继续采用H，否则采用L。
如果博弈方2采用L，总得益现值为
5 1 1 2 5பைடு நூலகம் 1
如果博弈方2采用H，总得益现值为
V 4 V 因此当 1/ 4 时，此触发策略纳什均衡策略
23
两寡头削价竞争无限次重复博弈的民间定理
厂商2 得益
(5,0) (1,4)
无限次重复博弈民间定理：设G是一个完全信息 的静态博弈。用(e1,, en )记G的纳什均衡的得益， 用(xi ,, xn )表示G的任意可实现得益。如果xi ei
对任意博弈方i都成立，而足够接近1，那么无限 次重复博弈G(, )中一定存在一个子博弈完美纳
什均衡，各博弈方的平均得益为(x1,, xn )
（-5，-5）
囚徒2
坦 白 不坦白
囚 坦白 -10，-10 -5，-13
徒 1
不坦白
-13，-5
-6，-6
（-10，-10）
12
有限次重复博弈：连锁店悖论(chain_store paradox)
进 进入 入 者 不进入
在位者
默许
斗争
40，50
-10，0
0，300
0，300
市场进入博弈
有唯一纯策略纳什均衡 （40，50） 有限次重复的结果仍然是 （进入，默许）
第六章
重复博弈与合作行为
1
序惯博弈（sequential game）
➢ 序惯博弈：参与人在前一个决策点的选择决定随后的
子博弈的结构，因此，从后一个决策点开始的子博弈
不同于从前一个决策点开始的子博弈，或者说，同样
结构的子博弈只出现一次；
乙
借
甲
分
不分
不借 （1，0）
（2，2）
乙
（-1，0） （0，4）
即
V (w* e) V
e
e
V (w* e) (1 ) e
34
考虑如下的触发策略
用 V 记工人选偷懒时无限重复博弈得益的现值，则：
s
V
w* ( pV
(1 p)
➢ 零和博弈是严格竞争的，重复博弈并不改变这一点。
➢ 以零和博弈为原博弈的有限次重复博弈与猜硬币博弈 的有限次重复博弈一样，博弈方的正确策略是重复一 次性博弈中的纳什均衡策略。
盖 正面
硬
币 反面
方
猜硬币方
正面 -1， 1
反面 1， -1
1， -1
-1， 1
11
唯一纯策略纳什均衡博弈的有限次重复博弈
➢ 定理：设原博弈G有唯一的纯 策略纳什均衡,则对任意正整数 T，重复博弈 G(T)有唯一的子 博弈完美纳什均衡，即各博弈 方每个阶段都采用G的纳什均 衡策略。各博弈方在G(T)中的 总得益为在G中得益的T倍，平 均得益的等于原博弈G中的得 益。
囚徒2
坦 白 不坦白
囚 徒
坦白
-5，-5
0，-8
1 不坦白 -8，0 -1，-1
➢ 厂商2：第一阶段选A，第二阶段无条件选B，如果第 一阶段结果是（A，A），则第三阶段选A；如果第一 阶段结果是（B，A），则第三阶段选B。
➢ 均衡路径：（A，A）—（A，B）—（B，A）
19
有限次重复博弈的民间定理（Folk Theorem）
厂商2 得益
(1,4)
w=(1(1，.11) )
➢ 个体理性得益(Individual Rationality Payoff) ： 不管其它博弈方的行为如何，一博弈方在 某个博弈中只要自己采取某种特定的策略， 最低限度保证能获得的得益
方L
1P
Q
H
5，5 6，0 2，0 0，0 0，0
博弈方2
M
0，6 3，3 2，0 0，0 0，0
L
0，2 0，2 1，1 0，0 0，0
P
0，0 0，0 0，0 4，1/2 0，0
Q
0，0 0，0 0，0 0，0 1/2，4
博弈方1：在第一阶段采用H，如果第一阶段结果是(H,H)，那么第 二阶段采用M，否则采用P；
20
两人零和博弈的无限次重复博弈
➢ 两人零和博弈无限次重复的所有阶段都不 可能发生合作，博弈方会一直重复原博弈 的混合策略纳什均衡.
21
唯一纯策略纳什均衡博弈的无限次重复博弈
两寡头削价竞争博弈
H
L
H
4，4
0，5
L
5，0
1，1
该博弈一次性博弈均衡是都采用低价，是囚徒困境型博弈
22
无限次重复两寡头削价博弈
➢ 无限次重复博弈：一个基本博弈G一直重复博弈下去的 博弈，记为G(∞)
6
基本概念
➢ 策略：博弈方在每个阶段针对每种情况如何行 为的计划。
➢ 子博弈：从某个阶段（不包括第一阶段）开始， 包括此后所有的重复博弈部分。
➢ 均衡路径：由每个阶段博弈方的行为组合串联 而成。
7
重复博弈的得益
平均得益：如果一常数作为重复博弈（有限次重复博弈或
否则从此永远是 w 0 。 工人的策略是如果 w w 则接受，否则宁
0
愿作个体户得到 w ，并在以前各期结果都是(w* , y) 0
和当前工资率为 w* 时努力工作，否则偷懒。
33
考虑如下的触发策略
设厂商已采用上述触发策略。由于 w* w0 ，
工人接受工作是最佳反应。用 V 记工人努 e
力工作时无限次重复博弈得益的现值，则
2
重复博弈(repeated game)
➢ 重复博弈：同样结构的博弈重复多次，其中的每次 博弈被称为“阶段博弈” (stage game).
➢ 以囚徒困境为例，如果每次判刑不是很重（至少不 是无期徒刑），那么，两个囚徒在刑满释放之后再 作案，作案之后再判刑，释放之后再作案，如此等 等，他们之间进行的就是重复博弈，其中每次作案 是一个阶段博弈。
0，0
两个罪犯的得益矩阵
不合作 R，S
P，P
满足：R>T>P>S; (S+R)<T+T
9
支付函数
➢ 双方都不合作：
V (all - d,all - d) P P 2P 3P ... P 1 1
➢ 对 的解释：
✓ 贴现率； ✓ 博弈继续的概率； ✓ 一般化：未来收益的重要程度
10
两人零和博弈的有限次重复博弈
模型设定：
首先厂商选择工资率为 w，然后工人选择接
受或拒绝。如果拒绝，则他作个体户得到收入w
小于w
，如果接受w
0
，则工人选择努力工作
（负效e用 ）还是偷懒（无负效用）。
厂商只能看到产量高低，高产量为y 0 ，低
产量0。
31
效率工资(efficiency wage)
模型设定：
工人努力工作时一定是高产量 y ，不努力时
13
多个纯策略纳什均衡博弈的有限次重复博弈
厂H 商M
1L
H
5，5 6，0 2，0
厂商2
M 0，6 3，3 2，0
三价博弈
L
0，2 0，2 1，1
厂H 商M 1L
H
8，8 7，1 3，1
厂商2 M
1，7 4，4 3，1
L
1，3 1，3 2，2
两次重复三价博弈的等价博弈
触发策略：两博弈方先试探合作，一旦发现对方不合作则也用不合作报复 博弈方1：第一次选h；如第一次结果为(H,H)，则第二次选M，否则选L 博弈方2：同博弈方1
博弈方2：在第一阶段采用H；如果第一阶段结果是(H,H)，那么 第二阶段采用M，否则采用Q。
16
两市场博弈的重复博弈（重复两次）
厂 商
A
1B
厂商2
A
B
3，3
1，4
4，1
0，0
两市场博弈
➢ (A,B)+(A,B) OR (B,A)+(B,A)——(1,4)(4,1) ➢ 连续两次采用混合策略——(2,2) ➢ (A,B)+(B,A) OR (B,A)+(A,B)——(2.5,2.5)轮换策略 ➢ 一次纯策略+一次混合策略——(1.5,3)(3,1.5)
却并不一定是0，而是高产量 y 的概率为 p ，
低产量0的概率为1 p 。 工人努力工作时，厂商得益为 y w ，工人
得益为w e ；工人偷懒时，厂商期望得益py w
工人得益为 w 。 0
32
考虑如下的触发策略
厂商在第一阶段给工资率 w*，在第t阶段，
如果前面t-1阶段结果都是(w* , y) 则继续给 w*，
17
两市场博弈及重复博弈各均衡的平均得益
➢ 不同策略组合、均衡得益图示
厂商2 得益
(1,4) (1.5,3) (3,3)
(2.5,2.5)
(2,2) (3,1.5)
(4,1)
厂商1得益
18
触发策略
➢ 厂商1：第一阶段选A；如果第一阶段结果是（A， A），则第二阶段选A，如果第一阶段结果是（A， B），则第二阶段选B；第三阶段无条件选B。
3
重复博弈的三个特征
➢ 阶段博弈之间没有“物质上”的联系（no physical links)，也就是说，前一阶段的博弈 不改变后一阶段的结构；
➢ 所有参与人都观察到博弈过去的历史； ➢ 参与人的总支付是所有阶段博弈支付的贴现值
之和。
4
影响重复博弈均衡结果的因素
➢ 博弈重复的次数 ✓ 重复次数的重要性来自于参与人在短期利益和长远 利益之间的权衡。这是重复博弈分析给出的一个强 有力的结果，为现实中观测到许多合作行为和社会 规范提供解释。
(3,3)
(1,1)
(4,1) (5,0)
厂商1得益
24
无限次重复古诺模型
➢ 假定：
P 8Q 其中Q q1 q2 , 边际成本都为２
➢ 在无限次重复古诺模型中，当贴现率 满足一定条件
时，两厂商采用下列触发策略构成一个子博弈完美纳 什均衡：
➢ 在第一阶段生产垄断产量的一半1.5；在第 t 阶段，如 果前 t-1 阶段结果都是(1.5,1.5)，则继续生产1.5，否则 生产古诺产量2。
14
触发策略的进一步讨论
厂H 商M 1L
H
5，5 6，0 2，0
厂商2
M 0，6 3，3 2，0
三价博弈
L
0，2 0，2 1，1
厂H 商M 1L
H
8，8 9，3 5，3
厂商2 M
3，9 6，6 5，3
L
3，5 1，3 4，4
重复三价博弈的等价博弈：不可信报复
15
触发策略可信性较强的博弈
H
博 弈
M