飞行力学第一章(2)

cos(α + ϕ ) ≈ 1, sin(α + ϕ ) ≈ 0
dV ⎫ = T − D − mg sin γ ⎪ ⎪ dt ⎬ dγ − mV = − L + mg cos γ ⎪ ⎪ dt ⎭ m
若飞行器在铅垂面内作定常直线飞行，可再简化为：
dγ =0 dt
dV ⎫ m = T − D − mg sin γ ⎪ 铅垂面内直 dt ⎬ 线运动方程 ⎪ L = mg cos γ ⎭
速度分量
⎡V x ⎤ ⎡V ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢V y ⎥ = ⎢ 0 ⎥ ⎢Vz ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
角速度分量
r r r & ω = ψ a + θ&a
& & ⎡ω x ⎤ ⎡ 0 ⎤ ⎡ 0 ⎤ ⎡ − ψ a sin θ a ⎤ ⎡ − χ sin γ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ 0 ⎥ + ⎢θ ⎥ = ⎢ ⎥ = ⎢ γ& ⎥ & & θa ⎥ ⎢ω y ⎥ = Lkg ⎢ ⎥ ⎢ a ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ω z ⎥ ⎢ψ a ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎢ ψ a cos θ a ⎥ ⎢ χ cos γ ⎥ ⎦ ⎣& ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ & ⎦ ⎣ & ⎣ ⎦k
= 0 ，可 若飞行器作无侧滑等速盘旋，即 β = 0 , dt 再简化为： T cos(α + ϕ ) = D ⎫ ⎪ dχ ⎪ mV = T [sin(α + ϕ ) + L] sin μ ⎬ dt ⎪ T [sin(α + ϕ ) + L] cos μ = mg ⎪ ⎭ dV
若考虑平飞中迎角不太大，可以略去推力法向分 量 T sin(α + ϕ ) ≈ 0 ，而 T cos(α + ϕ ) ≈ T ，于是可简化为：
1.4.1 动坐标系中质心运动方程
速度和角速度在动坐标系的投影
r r r v V = V x i + V y j + Vz k r r r v ω = ω xi + ω y j + ωzk
速度的微分
a
ω
v Vi
v
V i = ω a = ω r sin( θ ) v v v ⇒ Vi = ω × r
T = f (V , H , δ p )
W = f (H )
补充方程： 三个力矩平衡方程
四个操纵关系式
∑L=0 ⎫ ⎪ ⎪ ∑ M = 0⎬ ⎪ ∑ N = 0⎪ ⎭
2. 理想操纵关系式
飞行器的操纵是通过操纵机构偏转，改变法 向力和切向力大小来实现的。 与操纵有关的方程应该是操纵机构与运动参数之 间的关系。运动参数误差关系可表示为
重力 重力的方向沿地面坐标系方向给出，再用转 换矩阵可得到在航迹坐标系上的投影
⎡ gx ⎤ ⎡ − g sin θ a ⎤ ⎡0⎤ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢0⎥ = m⎢ m ⎢ g y ⎥ = Lkg m ⎢ ⎥ 0 ⎢ ⎥ ⎢ gz ⎥ ⎢ g cos θ a ⎥ ⎢ g⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦k
由
⎡ 0 r r ⎢ a × b = ⎢ az ⎢− a y ⎣
3. 理想操纵关系方程
由于飞行器质心运动限制在铅垂平面内，故 飞行操纵可简化成仅是速度垂直方向的控制和飞 行速度大小的控制，即
ε 1 = 0, ε 4 = 0
具体形式由飞行状态而定。对于等速水平飞行 状态，理想操纵关系很简单，应为
⎬ V* = V = C ⎭
对于等速直线爬升飞行状态，则为
γ* = γ = 0 ⎫
若令上式中 γ = 0 ，即平飞加减速飞行，可表示为：
dV ⎫ = T − D⎪ m dt ⎬ ⎪ L = mg ⎭
若为等速直线飞行，可再简化为：
dV dγ = 0, =0 dt dt
T cos(α + ϕ ) = D + mg sin γ ⎫ ⎬ T sin(α + ϕ ) + L = mg cos γ ⎭
1.4.3 飞行器质心运动学方程
飞行速度投影至地面坐标系
⎡V x ⎤ ⎡V ⎤ ⎡V ⎤ ⎢ ⎥ V y ⎥ = Lgk ⎢ 0 ⎥ = LT ⎢ 0 ⎥ kg ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎢Vz ⎥ ⎢0⎥ ⎢0⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦g
根据运动学关系 dx g ⎫ = Vxg = V cos γ cos χ ⎪ dt ⎪ dy g ⎪ = V yg = V cos γ sin χ ⎬ dt ⎪ dz g ⎪ = Vzg = −V sin γ ⎪ dt ⎭
3. 质量变化方程
工程上常采用所谓“固化原理”处理，飞行器质量变化 规律为
dm = mf = c f T dt
1.4.5 质心在铅垂平面内的运动方程
1.源自文库动力学方程
对称飞行条件可描述为：
⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ dγ − mV = T [ − cos(α + ϕ ) sin β sin μ − sin ⎪ dt ⎪ (α + ϕ ) cos μ ] − L cos μ + C sin μ + mg cos γ ⎪ ⎪ ⎭ dV = T cos(α + ϕ ) cos β − D − mg sin γ dt dχ = T [sin(α + ϕ ) sin μ − cos(α mV cos γ dt + ϕ ) sin β cos μ ] + L sin μ + C cos μ m
气动力A 一般在气流坐标系中定 义，分别用升力L、阻力D 和侧力C表示，即
⎡ Ax ⎤ ⎡− D⎤ ⎢ ⎥ Ay ⎥ = ⎢ C ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ Az ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦a ⎢ − L⎥
通过转换矩阵
Lka = L
T ak
得到航迹坐标系投影
D>0
Lka = LT ak
⎡ Ax ⎤ −D ⎤ ⎡− D⎤ ⎡ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ Ay ⎥ = Lka ⎢ C ⎥ = ⎢C cos φa + L sin φa ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎢A ⎥ ⎢ − L ⎥ ⎢ C sin φa − L cos φa ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ z ⎦k
⎬ V* = V = C ⎭
补充一个力矩平衡方程，方程封闭。
γ* = γ = C ⎫
1.4.6 质心在水平平面内的运动方程
1. 动力学方程
水平面内的飞行条件可表示为：
dγ = 0, γ = 0 dt
动力学方程可简化为：
dV ⎫ m = T cos(α + ϕ ) cos β − D ⎪ dt ⎪ dχ ⎪ mV = T [sin(α + ϕ ) sin μ − cos(α + ϕ ) sin β cos μ ] + L sin μ + C cos μ ⎬ dt ⎪ T [sin(α + ϕ ) cos μ + cos(α + ϕ ) sin β sin μ ] + L cos μ = C sin μ + mg ⎪ ⎪ ⎭
（1.37）
1.4.4 飞行器质心运动方程讨论*
1. 方程的封闭情况
方程：六个（三个动力学方程，三个运动学方程） 未知数：
(V , χ , γ ),( x g , y g , z g ),(α , β , μ ) , (δ e , δ a , δ r , δ p )
A = f (V , H , α , β , δ a , δ r , δ e )
− az 0 ax
a y ⎤ ⎡bx ⎤ ⎥⎢ ⎥ − a x ⎥ ⎢b y ⎥ 0 ⎥ ⎢ bz ⎥ ⎦⎣ ⎦
有
r ⎡dV dt ⎤ ⎡ 0 dV ⎢ & = ⎢ 0 ⎥ + ⎢ χ cos γ ⎥ ⎢ dt ⎢ 0 ⎥ ⎢ − γ& ⎣ ⎦ ⎣
& − χ cos γ 0 & − χ sin γ
若飞行器作无侧滑盘旋，即 β = 0(C = 0) ，上述 方程组可进一步简化：
dV ⎫ m = T cos(α + ϕ ) − D ⎪ dt ⎪ dχ ⎪ mV = T [sin(α + ϕ ) + L] sin μ ⎬ dt ⎪ T [sin(α + ϕ ) + L] cos μ = mg ⎪ ⎪ ⎭
质心的绝对加速度
动坐标系无旋 转时的加速度
r r r r dV δV = + ω ×V dt δt r δ V dV x r dV y r dV z r i + = j+ k dt dt dt δt
代入牛顿第二定理，得到动坐标系中表示的 质心动力学矢量形式
r r δV r r m( + ω ×V ) = F δt
外力分量 推力T 体轴系投影
⎡Tx ⎤ ⎡ T cos ϕ ⎤ ⎢ ⎥ ⎥ Ty ⎥ = ⎢ 0 ⎢ ⎢ ⎥ ⎢Tz ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ b ⎢ − T sin ϕ ⎥
通过转换矩阵
Lkb = Lka Lab = L Lab
T ak
得到航迹坐标系投影
cos(α + ϕ ) cos β ⎡Tx ⎤ ⎡Tx ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ sin(α + ϕ ) sin φ − cos(α + ϕ ) sin β cosφ ⎥ a a ⎥ ⎢Ty ⎥ = Lkb ⎢Ty ⎥ = T ⎢ ⎢Tz ⎥ ⎢Tz ⎥ ⎢− sin(α + ϕ ) cosφa − cos(α + ϕ ) sin β sin φa ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦b ⎣ ⎦k
1.4飞行器质心运动方程
1.4.1一般动坐标系中质心动力学方程 1.4.2航迹坐标系中质心动力学方程 1.4.3飞行器质心运动学方程 1.4.4质心运动方程的讨论 1.4.5质心在铅垂面内的运动方程 1.4.6质心在水平面内的运动方程
1.4 飞行器质心运动方程
基本原理： 牛顿第二运动定律
v dV0 v m =F dt
v r
θ
O
r di r r =ω×i dt
单位矢量的微分
r dV dV x r dV y i+ = dt dt dt r di + Vx + Vy dt
r dVz r j+ k dt r r dj dk + Vz dt dt
r dj r r =ω× j dt
r dk r r =ω×k dt
泊桑 公式
i : a y bz − a z b y r j : a z bx − a x bz r k : a x b y − a y bx
斜对称矩阵
将合力矢量用动坐标系上的投影表示：
r r r r F = Fx i + F y j + Fz k
标量形式质心动力学方程
1.4.2 航迹坐标系中质心动力学方程
⎤ ⎡V ⎤ & χ sin γ ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎥⎢ ⎥ 0 ⎥⎢ 0 ⎥ ⎦⎣ ⎦
γ&
标量形式方程组 dV ⎫ m = T cos(α + ϕ ) cos β − D − mg sin γ ⎪ dt ⎪ dχ mV cos γ = T [sin(α + ϕ ) sin μ − cos(α + ϕ ) sin β cos μ ]⎪ ⎪ dt ⎪ + L sin μ + C cos μ ⎬ ⎪ dγ − mV = T [− cos(α + ϕ ) sin β sin μ − sin(α + ϕ ) cos μ ] ⎪ dt ⎪ ⎪ − L cos μ + C sin μ + mg cos γ ⎪ ⎭ （1.36）
当 γ , α 等不太大时又可近似成：
T = D + mg γ ⎫ ⎬ L = mg ⎭
若 γ = 0 ，可得最简化形式为：
T=D ⎫ ⎬ L = mg ⎭
此即为定直平飞。
2. 运动学方程
假设飞行器开始运动时，航迹偏角 χ = 0 ，则铅 垂平面内质心运动学方程可简化为：
⎫ = V cos γ ⎪ ⎪ dt ⎬ dz g ⎪ = −V sin γ ⎪ dt ⎭ dx g
dχ φ = μ = 0, β = 0, =0 dt
动力学方程可简化为：
dV ⎫ = T cos(α + ϕ ) − D − mg sin γ m ⎪ 铅垂面内质 ⎪ dt ⎬ dγ − mV = −T sin(α + ϕ ) − L + mg cos γ ⎪ 心运动方程 ⎪ dt ⎭
飞行迎角不太大时，上述方程组可进一步简化：
ε i = x∗ − x = 0
( i = 1,2,3,4)
操纵方程写成一般约束方程形式
ϕ 1 (....ε i ....δ i ....) = 0 ⎫ ϕ 2 (....ε i ....δ i ....) = 0⎪ ⎪ ⎬ ϕ 3 (....ε i ....δ i ....) = 0⎪ ϕ 4 (....ε i ....δ i ....) = 0⎪ ⎭
矢量叉乘的矩阵表示
常规方法 利用矩阵表示法，可写成
r r a × b = ax
r i
r j
r k
bx
分量等于 r
ay by
az bz
⎡ 0 r r ⎢ a × b = ⎢ az ⎢− a y ⎣
− az 0 ax
a y ⎤ ⎡bx ⎤ ⎥⎢ ⎥ − a x ⎥ ⎢b y ⎥ 0 ⎥ ⎢ bz ⎥ ⎦⎣ ⎦