12一元二次方程的根及近似解
《利用二次函数求方程的近似根》人教版九年级数学(下册)
B. 3.23 < x < 3.24 D. 3.25 <x< 3.26
2.小颖用计算器探索方程ax2+bx+c=0的根，作出如图所示的图象，并求
得一个近似根x=-3.4，则方程的另一个近似根（精确到0.1）为（ ）
A．4.4
B．3.4
C．2.4 D D．1.4
3.用图象法求一元二次方程
x2 的x 近1似根0（精确到0.1）.
解：画出函数 y=x²-2x-1 的图象（如下图），由图象可知，方程有两个 实数根，一个在-1与0之间,另一个在2与3之间.
先求位于-1到0之间的根，由图象可估计这个根是-0.4或-0.5，利用计算器 进行探索，见下表：
x
…
-0.4
-0.5
…
y
…
-0.04
0.25
…
观察上表可以发现，当x分别取-0.4和-0.5时，对应的y由负变正，可见在-0.5与0.4之间肯定有一个x使y=0，即有y=x2-2x-1的一个根，题目只要求精确到0.1，这 时取x=-0.4或x=-0.5都符合要求.但当x=-0.4时更为接近0.故x1≈-0.4.
＋bx＋c＝0的近似根为( )
B
A．x1≈－2.1，x2≈0.1
B．x1≈－2.5，x2≈0.5
C．x1≈－2.9，x：由图象可得二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的对称轴为x＝－1，而
对称轴右侧图象与x轴交点到原点的距离约为0.5，∴x2≈0.5；又∵对称
轴为x＝－1，则
y=ax2+bx+c的图象与 x轴有____ 个交点，坐标是______.方1程
ax2+bx+c=0的根是__(2_,_0_)_.
知识卡片-图象法求一元二次方程的近似根
图象法求一元二次方程的近似根能量储备●利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根的一般步骤(1)画出函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象.(2)确定抛物线与x轴交点的个数，看交点在哪两个数之间．(3)列表，在两个数之间取值估计，并用计算器估算近似根，近似根在对应y值的正负过渡的地方，当x由x1取到x2时，若对应的y值出现y1＞0，y2＜0，则x1，x2中必有一个是方程的近似根，再比较|y1|和|y2|，若|y1|＜|y2|，则x1是方程的近似根；若|y1|＞|y2|，则x2是方程的近似根．一般需要我们求近似根的方程，其根往往是无理数，所以列表时不可能取到精确根．●图象法求解一元二次方程的常用方法(1)方法1：利用找抛物线与x轴的交点坐标的方法求一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的解．具体过程如下：①在平面直角坐标系中画出二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象；②观察图象，确定抛物线与x轴的交点坐标；③交点的横坐标即为一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的解．(2)方法2：利用抛物线与直线交点坐标的方法求一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的解．具体过程如下：①在平面直角坐标系中画出函数y＝ax2(a≠0)与y＝－bx－c(b≠0)[或y＝ax2＋bx(a≠0)与y＝－c或y＝x2与y＝－ba x－ca）（0ab]的图象；②观察图象，确定抛物线与直线的交点坐标；③交点的横坐标即为一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的解．通过画函数的图象解一元二次方程是数的直观化的体现．但由于作图或观察存在误差，因此通过这种方法求得的方程的根一般是近似的．通关宝典★基础方法点方法点1：利用图象法求一元二次方程的近似实数根先根据抛物线与x轴的交点，确定出交点的横坐标的大致范围，即得到一元二次方程实数根的大致范围，然后利用取平均数的方法，逐步缩小实数根所在的范围，这样，实数根所在范围的两端的值越来越接近根的值，从而可确定一元二次方程的近似实数根．例：利用二次函数的图象求一元二次方程－x2＋2x－3＝－8的实数根．(精确到0.1)解法1：原方程变形为－x2＋2x＋5＝0.作函数y＝－x2＋2x＋5的图象如图所示．由图象可知，抛物线与x轴交点的横坐标分别在－2与－1之间和3与4之间，即方程－x2＋2x－3＝－8的两实数根分别在－2与－1之间和3与4之间．用取平均数的方法不断缩小根的取值范围，从而确定方程的近似解．如由图象可知，当x＝3时，y＞0；当x＝4时，y＜0.取3和4的平均数3.5.当x＝3.5时，y＝－0.25，与x＝3时的函数值异号，所以方程的这个根在3和3.5之间．取3和3.5的平均数3.25.当x＝3.25时，y＝0.937 5，与x＝3.5时的函数值异号，所以方程的这个根在3.25和3.5之间．取3.25和3.5的平均数3.375.当x＝3.375时，y＝0.359 375，与x＝3.5时的函数值异号，所以方程的这个根在3.375和3.5之间．由此方法可得到原方程的一个近似实数根为3.4.用同样的方法可得到原方程的另一个近似实数根为－1.4.所以方程－x2＋2x－3＝－8的实数根为x1≈－1.4，x2≈3.4.解法2：作出函数y＝－x2＋2x－3的图象，如图所示．由图象知，方程－x2＋2x－3＝－8的根是抛物线y＝－x2＋2x－3与直线y＝－8的交点的横坐标，一个交点的横坐标在－2与－1之间，另一个交点的横坐标在3与4之间．同样用取平均数的方法，可得方程－x2＋2x－3＝－8的实数根为x1≈－1.4，x2≈3.4.★★易混易误点蓄势待发考前攻略考查根据给出的几组x，y值确定一元二次方程的解，题型多为选择题、解答题．完胜关卡。
第二十四章 一元二次方程
的长和宽
例2
解方程3x2-32x-48=0.
x232 3
解：方程两边都除以3，得 x-16=0. 将方程的二次项系 数化为1，更便于配 方！
移项，得 x2x232 3 x=16.
配方，得
16 16 32 x+( 3 )2=16+( 3 )2， 3 (x- 16 )2=( 20)2， 3 3 20 16 16 x= ，或x- = 20 . 3 3 3 3
2 b b 4ac 2 最后得到(x+ 2a ) = 2 4a
对于方程ax2+bx+c=0(a≠0)： x
小明认为，
把上式两边开平方并整理，就可求得方程的根
x b± b 4ac 2a
2
小亮认为，
小明的做法存在着问题。由a ≠0，得4a2>0，所以， 只有在b2-4ac≥0，即
b 4ac 4a
看看下面几道题的结果是什么呢？
如果(x+2)2=9，那么x= _______ 1或-5
7 3 或 7 3 如果(x-3)2=7，那么x= ___________
1或-3 如果x2+2x+1=4，那么x= _______
事实上，方程x2+2x-3=0可变形为 x2+2x+1=4，也就是(x+1)2 =4，在通 过开平方即可求出x1=-3，x2=1。
4 所以， x1=12，x2= . 3
用配方法解一元
二次方程的一般
步骤是什么？
例3 有一张长方形 桌子，它的长为2m，宽 为1m。有一张长方形台 布，它的面积是桌面面 积的2倍，将台布铺在 桌面上时，各边垂下的 长相等。求这块台布的 长和宽（均精确到 0.01m）。
用图象法求一元二次方程的根
用图象法求一元二次方程的根学习了二次函数之后，可以利用图象求一元二次方程的根。
下面介绍几种具体的方法： 方法一：直接画出函数y=ax2+bx+c 的图象，则图象与x 轴交点的横坐标就是方程ax2+bx+c=0的根.其步骤一般为：（1）作出二次函数y=ax2+bx+c 的图象；（2）观察图象与x 轴交点的个数；（3）若图象与x 轴有交点，估计出图象与x 轴交点的横坐标即可得到一元二次方程的近似根.方法二：先将方程变形为ax2+bx=-c ，再在同一坐标系中画出抛物线y=ax2+bx 和直线y=-c 的图象，则图象交点的横坐标就是方程的根.方法三：可将方程化为a c x ab x ++2=0，移项后为a c x ab x --=2.设y=x2和y=a cx a b --，在同一坐标系中画出抛物线y=x2和直线y=a cx ab --的图象，则图象交点的横坐标就是方程的根.这种方法显然要比方法一快捷得多，因为画抛物线远比画直线困难得多.例：二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图1所示，根据图象解答下列问题：（1）写出方程20ax bx c ++=的两个根． （2）写出不等式20ax bx c ++>的解集．（3）写出y 随x 的增大而减小的自变量x 的取值范围． （4）若方程2ax bx c k ++=有两个不相等的实数根，求k 的取值范围．解：（1）观察图象，抛物线与x 轴交于两点（1，0）、（3，0）故方程20ax bx c ++=的两个根11x =，23x = .（2）不等式20ax bx c ++>，反映在函数图象上，应为图象在x 轴上方的部分，因此不等式20ax bx c ++>的解集应为13x <<.（3）因为抛物线的对称轴为x=2且开口向下，所以在对成轴的右侧y 随x 的增大而减小故自变量x 的取值范围为2x >（4）若使方程2ax bx c k ++=有两个不相等的实数根，也就是抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的图象与直线y=k 有2个不同的交点，观察图象可知抛物线的顶点的纵坐标为2，所以只有当2k <才能满足条件.点评：可以看到二次函数2(0)y ax bx c a =++≠和方程20ax bx c ++=及不等式20ax bx c ++>之间都有密切的联系。
一元二次方程的解法求根公式的使用技巧
一元二次方程的解法求根公式的使用技巧一元二次方程的解法是数学中的基础知识，在解决实际问题时起到了重要的作用。
其中，求根公式是一种常见的解法，它可以帮助我们快速求解一元二次方程的根。
本文将介绍一元二次方程的求根公式的使用技巧。
一、一元二次方程的形式一元二次方程通常具有以下形式：ax^2 + bx + c = 0其中，a、b、c为实数，并且a ≠ 0。
根据这个方程的形式，我们可以使用求根公式来求解方程的根。
二、一元二次方程的求根公式一元二次方程的求根公式如下：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)其中，±表示两个根，√表示开方运算。
这个公式中的分子部分可以分为两个部分，分别是-b和√(b^2 - 4ac)。
根据这个公式，我们可以通过将方程中的系数代入公式中，快速求得方程的根。
三、使用技巧在使用一元二次方程的求根公式时，有一些技巧可以帮助我们更加高效地求解方程的根。
1. 化简方程在应用求根公式之前，我们可以先对方程进行化简。
例如，如果方程的系数存在公因子，我们可以将其提取出来，以简化计算过程。
2. 辨别方程的根的性质根据一元二次方程的判别式Δ=b^2-4ac的值，我们可以判断方程的根的性质。
- 当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；- 当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；- 当Δ<0时，方程没有实数根，但存在两个共轭复数根。
通过辨别方程的根的性质，我们可以在求根过程中有所侧重，提高求解的效率。
3. 使用解根公式的步骤使用一元二次方程的求根公式时，可以按照以下步骤进行：Step 1: 计算判别式Δ的值。
Δ = b^2 - 4acStep 2: 根据Δ的值进行分类讨论。
- 当Δ>0时，应用求根公式计算两个不相等的实数根；- 当Δ=0时，应用求根公式计算两个相等的实数根；- 当Δ<0时，应用求根公式计算两个共轭复数根。
Step 3: 将方程系数代入求根公式，计算出根的近似值。
一元二次公式解法
一元二次公式解法一元二次方程的解法是数学中的一个重要概念，它涉及到一元二次方程的根的求解。
一元二次方程的一般形式是 ax^2 + bx + c = 0，其中 a、b、c 是常数，且a ≠ 0。
解一元二次方程的方法有多种，其中最常用的方法是公式法。
公式法是通过一元二次方程的根的公式来求解方程的根。
一元二次方程的根的公式是：x = [-b ± √(b^2 - 4ac)] / (2a)其中，b^2 - 4ac 叫做判别式，√(b^2 - 4ac) 叫做根号下的判别式。
使用公式法解一元二次方程的步骤如下：1. 将方程化为一般形式：ax^2 + bx + c = 0，其中a ≠ 0。
2. 计算判别式 b^2 - 4ac。
3. 根据判别式的值判断方程的根的情况：当判别式 b^2 - 4ac > 0 时，方程有两个不相等的实根；当判别式 b^2 - 4ac = 0 时，方程有两个相等的实根（重根）；当判别式 b^2 - 4ac < 0 时，方程没有实根（虚根）。
4. 将判别式的值代入根的公式 x = [-b ± √(b^2 - 4ac)] / (2a)，求出方程的根。
下面是一个使用公式法解一元二次方程的示例：解方程：x^2 - 6x + 9 = 01. 将方程化为一般形式：x^2 - 6x + 9 = 0，其中 a = 1, b = -6, c = 9。
2. 计算判别式 b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 × 1 × 9 = 36 - 36 = 0。
3. 因为判别式 b^2 - 4ac = 0，所以方程有两个相等的实根。
4. 将判别式的值代入根的公式 x = [-b ± √(b^2 - 4ac)] / (2a)，得到 x = [-(-6) ± 0] / (2 × 1) = (6 ± 0) / 2 = 3。
所以，方程 x^2 - 6x + 9 = 0 的解为 x1 = x2 = 3。
一元二次方程的解
一元二次方程的解一元二次方程是指只含有一个未知数的二次方程，通常的形式为：ax² + bx + c = 0，其中 a、b、c 分别为已知常数且a ≠ 0。
解一元二次方程的过程从古至今一直是数学领域中的重要问题，本文将介绍一元二次方程的解法和相关概念。
1. 一元二次方程的解法解一元二次方程可以使用多种方法，包括公式法、配方法和因式分解法等。
下面将介绍其中两种常用的解法。
1.1 公式法公式法是解一元二次方程的基本方法，根据求根公式可以得到一元二次方程的解。
求根公式如下所示：x = (-b ±√(b² - 4ac)) / (2a)其中，√为平方根，±表示两个不同的解，分别是加号和减号形式。
对于一元二次方程 ax² + bx + c = 0，只需将 a、b、c 的值代入公式中即可求得解。
1.2 配方法当一元二次方程无法直接使用公式法解时，可采用配方法进行处理。
配方法的基本思想是通过变换将方程转化为完全平方形式，进而求得解。
首先，对一元二次方程的二次项和一次项进行配方，使其变成一个完全平方形式。
例如，对于方程 x² + 6x + 9 = 0，可以通过将一次项的系数除以 2，然后再平方，得到新的完全平方形式 (x + 3)² = 0。
接下来，利用开平方的性质求解方程。
对于上述方程，解为x = -3。
2. 一元二次方程的解的特点一元二次方程的解的特点包括判别式、重根和虚根。
2.1 判别式判别式是一个与一元二次方程的系数相关的数值，可用于判断方程的解的情况。
判别式的计算公式为Δ = b² - 4ac，其中Δ 表示判别式的值。
根据判别式的值与零的关系，可以分为以下三种情况：- 当Δ > 0 时，方程有两个不相等的实根；- 当Δ = 0 时，方程有两个相等的实根，也称为重根；- 当Δ < 0 时，方程没有实根，但有两个虚根。
一元二次方程式求根公式法
一元二次方程式求根公式法一元二次方程式是一个由二次项、一次项、常数项组成的方程，它的求根公式又称“二次公式”，也可以用展开式得到。
一元二次方程式求根公式法是一种有效的求解一元二次方程式的方法，它是一元二次方程式解法中最简便、最容易上手的解法。
一元二次方程式求根公式法是以一元二次方程式的标准型式：ax+ bx + c = 0为基础，利用它的求根公式：x= [-b√ (b-4ac)]/2a求出一元二次方程式的两个根的方法。
首先，将一元二次方程式化为标准型式，即：ax+ bx + c = 0。
将a, b, c 代入求根公式：x= [-b√ (b-4ac)]/2a，算出x的两个值：一个是负号，另一个是正号。
其次，根据符号，计算出x的绝对值。
由于b-4ac可能大于0，也可能小于0，因此得到的结果有可能是一个实数，也有可能是两个实数（实部与虚部）。
最后，将x的绝对值带回到一元二次方程式中，以确定一元二次方程式的两个根。
一元二次方程式求根公式法是一种有效的求解一元二次方程式的方法，它是一元二次方程式解法中最简便、最容易上手的解法。
一元二次方程式的解也可以用图形法求出，首先，要将一元二次方程式化为y=f(x)的形式，然后在数轴上画出图形，图形中的交点就是方程的根。
但是这种方法只能求出近似解，而且计算量也比较大，不如一元二次方程式求根公式法直接求出精确解。
一元二次方程式求根公式法有很多实际应用，如生活中的几何问题，如：求圆的面积、周长、圆心角等；或者在物理、化学中求解许多物理量的关系，如力的平衡、物体的运动等。
因此，一元二次方程式求根公式法在学习中同样重要，它可以帮助我们快速算出一元二次方程式的解，熟练掌握二次公式对于理解各个科学问题也有很大的帮助。
综上所述，一元二次方程式求根公式法是一种简便、有效的求解一元二次方程式的方法，它可以快速算出一元二次方程式的解，并且在学习中有着重要的作用，是科学研究的重要基础之一。
原题: 求解一元二次方程的根。
原题: 求解一元二次方程的根。
原题：求解一元二次方程的根一元二次方程是指只含有一个未知数的二次方程，其一般形式为 ax^2 + bx + c = 0，其中 a、b、c 是已知数，且a ≠ 0。
解一元二次方程的根可以使用以下方法：1.公式法：一元二次方程的根可以通过求解以下公式得到：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a其中，±表示两个不同的解，√ 表示平方根。
2.因式分解法：如果一元二次方程可以进行因式分解，则可以通过因式分解的办法求解方程的根。
例如，对于方程 x^2 + 5x + 6 = 0，可以将其因式分解为 (x + 2)(x + 3) = 0，从而得到两个根 x = -2 和 x = -3。
3.配方法：一些特殊的一元二次方程可以通过配方法得到其根。
例如，对于方程 x^2 - 6x + 9 = 0，可以进行配方法得到 (x - 3)^2 = 0，从而得到一个重根 x = 3。
4.求解顶点法：一元二次方程的图像是一个抛物线，其顶点坐标可以通过求解以下公式得到：x = -b / 2ay = f(x) = (-b^2 + 4ac) / 4a其中，x、y 分别表示顶点的横纵坐标。
需要注意的是，解一元二次方程时，首先需要判断方程是否有解。
当判别式Δ = b^2 - 4ac 大于等于 0 时，方程有实数根；当判别式Δ 小于 0 时，方程无实数根。
另外，如果一元二次方程的系数a、b、c 不是实数，而是复数，则可以将方程的求解转化为求解复数根的问题。
通过以上方法，可以求解出一元二次方程的根，进而解决与根相关的实际问题或数学推导。
1元二次方程求根公式
1元二次方程求根公式一元二次方程求根公式是解决一元二次方程的一种方法，可以通过这个公式得出方程的解析解。
在解决实际问题时，我们经常会遇到一元二次方程，因此掌握求根公式是十分重要的。
一元二次方程的一般形式为：ax^2 + bx + c = 0。
其中，a、b、c 为已知系数，x为未知数。
我们通过求根公式可以得到方程的两个根，公式的形式如下：x1 = (-b + √(b^2 - 4ac)) / 2ax2 = (-b - √(b^2 - 4ac)) / 2a这里√(b^2 - 4ac)表示计算平方根，通常我们称为“根号”。
根号下面的内容称为判别式，它代表了根的性质。
接下来，我们将详细解释这个求根公式。
1.第一步：计算判别式方程的判别式Δ（Delta）等于 b^2 - 4ac，根据判别式的值我们可以判断方程的根的性质。
-当Δ>0时，方程有两个不同的实数根。
-当Δ=0时，方程有两个相等的实数根，也称为重根。
-当Δ<0时，方程没有实数解，但有两个复数解。
2.第二步：套用求根公式根据判别式的值，我们可以得到不同的求根公式。
-当Δ>0时：求根公式为x1=(-b+√Δ)/2a，x2=(-b-√Δ)/2a。
这时方程有两个不同的实数根。
-当Δ=0时：求根公式为x1=x2=-b/(2a)。
这时方程有两个相等的实数根。
-当Δ<0时：求根公式为x1=(-b+√(，Δ，)i)/2a，x2=(-b-√(，Δ，)i)/2a。
其中i为虚数单位，这时方程没有实数解，但有两个复数解。
3.第三步：将系数代入求根公式将方程的系数a、b、c代入求根公式后，即可计算出x1和x2的值。
需要注意的是，除数不能为0，即a不能为0，否则方程不再是二次方程。
下面我们通过一个实例来解释求根公式的使用。
例题：解方程2x^2+5x+3=0的根。
解法：根据给定方程，我们可以知道a=2，b=5，c=3计算判别式Δ = b^2 - 4ac = 5^2 - 4*2*3 = 25 - 24 = 1由于Δ>0，所以方程有两个不同的实数根。
一元二次方程求根公式
一元二次方程求根公式人们从古埃及的数学纸草书和古巴比伦的数学泥版书上了解到，大约在距今三千七八百年以前，人类就会解一元一次方程。
以下是店铺整理的关于一元二次方程求根公式，希望大家认真阅读!对于受过九年制义务教育的人来说，一元二次方程是非常熟悉的内容。
我们能解任何一个一元二次方程(包括判定一个一元二次方程没有实数根)，原因是我们掌握了一元二次方程的求根公式。
我们现在所学的一元二次方程求根公式，在一千多年漫长的历史中，曾经随着数的范围的扩大、概念的建立和严密而不断地演变和完善。
一元二次方程的出现，有很久的历史。
最早的记录是在公元前两千年左右的巴比伦泥版书中，其中有相当于解二次方程x2-5x+6=0的问题，并指出方程的两个根都是正整数。
这大概是世界上最古老的完全二次方程的实例之一。
据数学史记载，巴比伦人会求出方程x2+px=q(p、q为正数)的根为x=√[(p/2)+q]-p/2 。
在希腊的著作中也能见到有关二次方程解的记录。
二世纪的著名几何学家海伦已了解了数值处理的方法，海伦还用近似法求解方程。
由于古希腊人不承认负数，那时也没有发现复数，于是海伦所用过的是错误公式子x=√](4ac-b)-b]/2a。
我国古代数学家在一元二次方程和二次方程的解的方面有着突出的成果，作出过不朽的贡献。
公元三世纪数学家赵君卿注《周髀算经》时，不仅提出二次方程，而且在有关二次方程的解中，我们发现有求根公式的雏形。
赵君卿在《周髀算经》的注文中有一篇有名的论文“勾股圆方图注”，论文的内容主要是用几何方法证明勾股定理，但其中有一段是关于二次方程解法的论述：“其倍弦(2c1)为广袤合(x1+x2)，而令勾股见者自乘(x1x2=a12或x1x2=b2)为实，四实以减之(2c1)2-4a12开其余，所得为差√[(2c1)-4a1]=x2-x1，以差减合，半其余为广”，最后得公式x=[2c1-√[(2c1)-4a1]]/2，这是二次方程x2-2c1x+a12=0的一个根。
2.1一元二次方程的近似解
在一般形式ax2+bx+c=0中，
注意（1）一般形式的右边必须是0， （2）左边是按降幂排列的三项式，
当然也可以没有一次项、常数项。
3、方程ax²+bx+c=0的条件：
（1）当a≠0时，是一元二次方程。
（2）当a=0并且b≠0 时，是一元一次方程。
我能行
小 试 牛 刀
根据题意列出方程：
（1）造一个池底为正方形，深度为2.5cm的长方体无盖蓄水池， 池壁的造价为120元/m2，池底的造价为240元/m2，总造价为 8640元.求池底的边长.
x
18m2
x 8
因此,x取值的大致范围是:0<x<2.5.
在0<x<2.5这个范围中,x具体的值= ? 完成下表(取值计算,逐步逼近):
x 2x2-13x+11 … …
0.5 4.75
1 0
1.5 -4
2 -7
… …
由此看出,可以使2x2-13x+11的值为0的x=1.故可知花边宽为1m. 你还有其它求解方法吗?与同伴交流.
数学化
8m
7m
xm
你能猜得出x取值的大致范围吗?
你能猜得出x取值的大致范围吗?
完成下表(取值计算,逐步逼近):
x x2+12x-15 … …
0.5 -8.75
1 -2
可知x取值的大致范围是:1<x<1.5
在1<x<1.5这个范围中,如果x取整数是几? 如果x精确到十分位呢?百分位呢?
如果将(8-2x)(5-2x)=18看作是6×3=18. 则有8-2x=6, 5-2x=3.从而也可以解得x=1.
怎么样,你还敢挑战吗?
一元二次方程的根及近似解
第2课时一元二次方程的根及近似解【学习目标】1．会进行简单的一元二次方程的试解．2．根据题意判定一个数是否是一元二次方程的根及利用试解方法解决一些具体问题．3．理解方程的解的概念，培养有条理的思考与表达的能力．【学习重点】判定一个数是否是方程的根．【学习难点】会在简单的实际问题中估算方程的解，理解方程解的实际意义．情景导入生成问题1．使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解．2．一元二次方程(x＋1)2－x＝3(x2－2)化成一般形式是2x2－x－7＝0．3．近似数≈(精确到十分位)．自学互研生成能力知识模块一探索一元二次方程的近似解1．先阅读教材P33“做一做〞前面的内容，并完成所设计的四个小问题．答：(1)x的值不能小于0，不能大于4，不能大于，因为x表示四周未铺地毯局部的宽度，所以x的值不能为负，又因为(8－2x)和(5－2x)分别表示地毯的长和宽，所以有8－2x＞0，5－2x＞0，即x＜.(2)x的取值范围是0＜x＜.(3)表格中的对应值分别为：28、18、10、4.(4)所求宽度为x＝1m.2．学生活动：请同学独立完成以下问题．问题1：如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m，那么梯子的底端距墙多少米？设梯子底端距墙为x m，那么，根据题意，可得方程为x2＋82＝102．整理，得x2－36＝0．列表：x 0 1 2 3 4 5 6 7 8x2－36 －36 －35 －32 －27 －20 －11 0 13 28 问题2：一个面积为120m2的矩形苗圃，它的长比宽多2m，苗圃的长和宽各是多少？设苗圃的宽为x m，那么长为(x＋2)m.根据题意，得x(x＋2)＝120．整理，得x2＋2x－120＝0．列表：x 5 6 7 8 9 10 11 x2＋2x－－85 －72 －57 －40 －21 0 23 120提问：(1)问题1中一元二次方程的解是多少？问题2中一元二次方程的解是多少？(2)如果抛开实际问题，问题1中还有其他解吗？问题2呢？教师点评：(1)问题1中x＝6是x2－36＝0的解；问题2中，x＝10是x2＋2x－120＝0的解．(2)如果抛开实际问题，问题1中还有x＝－6的解；问题2中还有x＝－12的解．为了与以前所学的一元一次方程只有一个解的情况区别，我们也称一元二次方程的解叫做一元二次方程的根．回过头来看：x2－36＝0有两个根，一个是6，另一个是－6，但－6不满足题意；同理，问题2中的x＝－12的根也不满足题意．知识模块二一元二次方程根的判定及应用解答以下各题：1．关于x的方程x2－kx－6＝0的一个根为x＝3，那么实数k的值为(A)A．1B．－1C．2D．－22．下面哪些数是方程2x2＋10x＋12＝0的根？－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4.解：将上面的这些数代入后，只有－2和－3满足该等式方程，所以x＝－2或x＝－3是一元二次方程2x2＋10x＋12＝0的两根．典例讲解：假设x＝1是关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝1(a≠0)的一个根，求代数式2022(a＋b＋c)的值．分析：如果一个数是方程的根，那么把该数代入方程，一定能使左右两边相等，这一点同学们要深刻理解．解：将x＝1代入得a＋b＋c＝1，故2022(a＋b＋c)＝2022.对应练习：1．假设x＝1是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的解，那么a＋b＋c＝__0__；假设x＝－1是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的解，那么a－b＋c＝__0__．2．假设x＝－1是一元二次方程ax2＋bx－2＝0的根，那么a－b＝__2__．3．如果x＝1是方程ax2＋bx＋3＝0的一个根，求(a－b)2＋4ab的值．解：由，得a＋b＝－3，原式＝(a＋b)2＝(－3)2＝9交流展示生成新知1．将阅读教材时“生成的问题〞和通过“自主探究、合作探究〞得出的“结论〞展示在各小组的小黑板上．并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论〞展示在黑板上，通过交流“生成新知〞．知识模块一探索一元二次方程的近似解知识模块二一元二次方程根的判定及应用检测反应达成目标1．长方形宽为x cm，长为3x cm，面积为24cm2，那么x最大不超过(C)A．1B．2C．3D．42．根据关于x的一元二次方程x2＋px＋q＝0，可列表如下：那么方程x2＋px＋q＝0的正数解满足(D)A．0＜x＜B．＜x＜1 C．1＜x＜D．＜x＜3．根据下表得知，方程x2＋2x－10＝0的一个近似解为x≈－．(精确到课后反思查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________ 2．存在困惑：________________________________________________________________________。
2.1.2 一元二次方程的解及其估算
x
0.5 1 1.5 2
(8－2x)(5－2x) 28 18 10 4
(4)你知道所求宽度x(m)是多少吗？还有其他求解方法吗？ 与同伴交流．
知2－导
（1知）因识为x表示宽度，所以x不可能小于0；根据题意，8-2x和5-2x
分别表示地毯的长和宽，所以8-2x>0, 5-2x>0,因此x不可能 大于4，也不可能大于2.5. （2）通过上面的分析，可以得到0<x<2.5. （3）从x的取值范围内取值，并进行相应计算，表格中第二行从左 到右依次填写28,18,10,4. （4）通过分析表格中的数值，估计方程的解，对表格中所填数值 的分析应至少包括以下两个方面：①表格中，当x的值从小到 大变化时，（8-2x)(5-2x）的值逐渐减小，经历了从大于 18到等于18再到小于18的过程. ②由表格可知，当x=1时， （8-2x)(5-2x）-18，由方程的解得意义，可以得出“x-1是 方程，（8-2x)(5-2x）-18的解得结论，从而所求宽度为1 m.
知2－讲
用估算法求一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的近似解的方 法及步骤： (1)方法：当某一x的取值使得这个方程中的ax2＋bx＋c的值在
某一精确度要求的范围内接近于0时，x的值即为一元二次 方程的近似解．对于实际问题中解的估算，应先根据实际 情况确定一元二次方程的解的大致取值范围，再通过具体 的求值计算从两边接近方程的解，逐步求得符合精确度要 求的方程的解的近似值，一般简称为“夹逼法”．
（来自《点拨》）
知2－讲
(2)步骤： ①列表：根据实际情况确定方程解的大致范围，分别计算 方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)中ax2＋bx＋c的值； ②在表中找出当ax2＋bx＋c的值可能等于0的未知数的范 围； ③进一步在②的范围内列表、计算、估计范围，直到找出 符合要求的范围．
1 第2课时 一元二次方程的根及近似解
全品教学课件
数学
九年级 上册
新课标（BS）
第二章 一元二次方程
1 认识一元二次方程
第二章 一元二次方程
第2课时 一元二次方程的根
及近似解
知识回顾
情知景识导回入顾
获取新知
例知题识讲回解顾
随堂演练
课堂小结
第2课时 一元二次方程的根及近似解 问1：一元二次方程有哪些特点？
① 只含有一个未知数; ②未知数的最高次项系数是2; ③整式方程； ④二次项的系数不能为0
问2：一元二次方程的一般形式是什么？ ax2 +bx + c = 0(a , b , c为常数, a≠0)
第2课时 一元二次方程的根及近似解
情景导入
上节中我们遇到了这样一个问题 １．从前有一天，一个醉汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿都进不去， 横着比门框宽４尺，竖着比门框高２尺，另一个醉汉教他沿着门 的两个对角斜着拿竿，这个醉汉一试，不多不少刚好进去了．你 知道竹竿有多长吗？ 我们得到了方程x2－12 x ＋20 ＝ 0 如何求解x呢？
第2课时 一元二次方程的根及近似解
（2）继续列表,依次取x=2.1,2.2,2.3,2.4,2.5,…
x
2.2
2.3
2.4
2.5
…
x2 - 2x - 1 -0.79 -0.31 -0.04
0.25
…
由表发现，当2.4＜x＜2.5时,-0.04＜ x2 -2x-1＜0.25; （3）取x=2.45,则x2 - 2x - 1≈0.1025. ∴2.4＜x＜2.45, ∴x≈2.4.
根据题意,x的取值范围大致是0 < x < 11. 解方程 x2 + 2x - 120 = 0. 完成下表(在0 < x < 11这个范围内取值计算,逐步逼近):
初中数学 什么是一元二次方程的近似解
初中数学什么是一元二次方程的近似解一元二次方程的近似解是指对于无法精确求解的一元二次方程，我们可以使用近似方法来获得一个接近于真实解的估计值。
在这里，我将详细解释一元二次方程的近似解的概念，并提供一些实例和解题技巧。
希望这能帮助你更好地理解和应用一元二次方程的近似解。
首先，让我们回顾一下一元二次方程的一般形式：ax^2 + bx + c = 0，其中a、b和c是实数，且a不等于0。
对于某些一元二次方程，我们可能无法通过精确求解得到方程的根。
这时，我们可以使用近似方法来获得一个接近于真实解的估计值。
一元二次方程的近似解可以通过以下方法来获得：方法1：图像法通过绘制方程的图像，我们可以观察到方程的根在哪个区间内，并获得一个近似解的估计值。
我们可以使用计算机或手绘图像来帮助我们更准确地确定方程的根所在的位置。
例如，考虑方程x^2 - 4x + 3 = 0。
我们可以绘制方程的图像，并观察到方程的根位于x=1和x=3之间。
因此，我们可以估计方程的近似解为x ≈ 2。
方法2：二分法二分法是一种常用的近似求解方法，适用于对于一个在某个区间内连续的函数进行求解。
我们可以通过迭代的方式逼近方程的根。
具体步骤如下：1. 选择一个初始的区间[a, b]，确保方程在这个区间内连续。
2. 计算区间中点c = (a + b) / 2。
3. 计算方程在中点c处的函数值f(c)。
4. 如果f(c)接近于0，我们可以认为c是方程的近似解。
如果不是，则根据f(c)与0的关系，更新区间[a, b]。
5. 重复步骤2至4，直到我们获得一个满足要求的近似解。
例如，考虑方程x^2 - 4x + 3 = 0。
我们可以选择初始的区间[a, b]为[1, 3]。
计算中点c = (1 + 3) / 2 = 2，然后计算f(c) = (2)^2 - 4(2) + 3 = -1。
由于f(c)不接近于0，我们可以更新区间为[a, b] = [2, 3]，然后重复上述步骤，直到获得一个满足要求的近似解。
12一元二次方程的根及近似解
随堂演练
已知矩形的宽度为xcm,长为2xcm, 面积为24cm2
,则x的取值范围为（C ）
A.1<x<2
B. 2<x<3
C. 3<x<4
学校图书馆去年年底有图书5万册,预计到 明年年底增加到7.2万册.求这两年的年平均增 长率. 分析 设这两年的年平均增长率为x,已知去年年底 的图书数是5万册,则今年年底的图书数应是 5(1+x)万册.明年年底的图书数为5(1+x)(1+x)万 册,即5(1+x)2(万册).可列得方程 5(1+x)2=7.2
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知识回顾
什么是方程的解？ 使方程左右两边相等的未知数的值，就叫
做方程的解。 什么叫做一元一次方程？ 只含有一个未知数，并且未知数的次数为
“1”的整式方程，叫做一元一次方程。它 的一般形式是：ax﹢b﹦0(a,b为常数,a≠0)
D. 4<x<5
通过本节课的学习，对本章的知 识你有哪些新的认识和体会？
1.布置作业：从教材习题中选取。 2.完成状元导练中本课时练习的“课后作 业”部分。
整理可得 5x2+10x-2.2=0
一元一次方程的解
［例 ］已知关于x的一元二次方程(m1)x2 +3x -5m +4=0有一根为2，求 m。
•［分析］一根为2即x=2,只需把 x=2代入原方程。
一元二次方程的近似解与连分数
一元二次方程的近似解与连分数
教科书上选取了一些具体值并将它们代入所要解的一元二次方程，大致估计出一元二次方程解的范围，再在这个范围内逐步加细赋值，进而逐步估计出一元二次方程的近似解．
下面介绍另外一种估计一元二次方程近似解的方法．
以方程x 2－3x －1＝0为例，因为x ≠0，所以先将其变形为x ＝3＋x
1．用 3＋x
1代替x ，得 x x x 1+31+3=1+3=
反复若干次用3＋x
1代替x ，就得到 x x 1+31
+31+
31+
31+
31+
3=
形如上式右边的式子称为连分数．
可以猜想，随着替代次数的不断增加，右式最后的
x
1对整个式子的值的影响将越来越小．因此可以根据需要，在适当时候把x 1忽略不计．例如，当忽略x =3+x 1中的x 1时，就得到x ＝3；当忽略x x 1
+31+3=中的x 1时，就得到3
1+3=x ；如此等等．于是就可以得到一系列分数：
,31
+31
+31+3,31+31+3,31+3,3…
即
333.3=310,3…，30303.3=33
109,3.3=1033…，
可以发现它们越来越趋于稳定．事实上，这些数越来越近似于方程x2－3x －1＝0的正根，而且它的算法也很简单，就是以3为第一个近似值，然后不断地“求倒数，再加3”而已．在计算机技术极为发达的今天，只要编一个极为简单的程序，计算机就能很快帮你算出它的多个近似值．有兴趣的同学不妨试一试！。
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一元一次方程的解
［例 ］已知关于x的一元二次方程(m1)x2 +3x -5m +4=0有一根为2，求 m。
•［分析］一根为2即x=2,只需把 x=2代入原方程。
一元二次方程的近似解
1.一元二次方程近似解的定义：对于一元二次 方程ax2 bx c 0(a 0)来说，求近似解的过 程就是找到这样的x, 使ax2 bx c的值接近_0__, 则可大致确定x的取值范围.
D. 4&l你有哪些新的认识和体会？
1.布置作业：从教材习题中选取。 2.完成状元导练中本课时练习的“课后作 业”部分。
知识回顾
什么是方程的解？ 使方程左右两边相等的未知数的值，就叫
做方程的解。 什么叫做一元一次方程？ 只含有一个未知数，并且未知数的次数为
“1”的整式方程，叫做一元一次方程。它 的一般形式是：ax﹢b﹦0(a,b为常数,a≠0)
学校图书馆去年年底有图书5万册,预计到 明年年底增加到7.2万册.求这两年的年平均增 长率. 分析 设这两年的年平均增长率为x,已知去年年底 的图书数是5万册,则今年年底的图书数应是 5(1+x)万册.明年年底的图书数为5(1+x)(1+x)万 册,即5(1+x)2(万册).可列得方程 5(1+x)2=7.2
2.估计一元二次方程的解：估计一元二次方程 的解，只是估计“解”的_取_值_范__围_,比如在哪两个 数之间，再通过不断__缩_小_范_围__,逐步获得其近似解.
随堂演练
已知矩形的宽度为xcm,长为2xcm, 面积为24cm2
,则x的取值范围为（C ）
A.1<x<2
B. 2<x<3
C. 3<x<4