二次函数与方程、不等式PPT精讲

使不等式 x≤f(x)≤ x22+1对一切实数 x 都成立? 解: 假设存在常数 a, b, c, 使题中不等式对一切实数 x 都成立.
则由f(x)=ax2+bx+c的图象过点(-1, 0), 得 a-b+c=0. ① ∵ x≤f(x)≤ x22+1对一切实数 x 都成立, 当 x=1 时也成立, ∴ 1≤f(1)≤1, 即 f(1)=1, 得 a+b+c=1. ②
∴由 ①, ② 得: a+c=b= 故应x≤ax2+ 12x+ 12-a≤
12x2.2+∴1对一f(x切)=实ax数2+x12都x+成12 立-a..
即2ax2-x+1-2a≥0与(1-2a)x2-x+2a≥0对一切实数 x 都成立.
则必有: 1-8a(1-2a)≤0,
其中,
0<a<
1 2
.
即 (4a-1)2≤0.
1 2
,
13 ),
求 a, b, c 的取值范围.
解: 由已知, 二次方程 ax2+bx+c -25＝0 有实根.
∴ △=b2-4a(c -25)≥0.
又不等式 ax2+bx+c>0 的解集是(-
1 2
,
13),
∴
a<0,
且有
-
b a
=-
1 6
,
c a
=-
1 6
.
∴
b=
1 6
a,
c=-
1 6
a>0.
而当 0≤a≤2 时, -3a2+6a+7>0 恒成立. ∴ 0≤a≤2.
③当 a-1>1 即 a>2 时, f(x)min=f(1)=-a2-2a+15. 由 -a2-2a+15>0 得: -5<a<3. ∵ a>2, ∴ 2<a<3.
综上所述, -1<a<3. 即实数 a 的取值范围是 (-1, 3).
二次函数与方 程、不等式
一、二次函数的解析式
1.一般式: y=ax2+bx+c(a≠0); 2.顶点式: y=a(x -m)2+n(其中(m, n)为抛物线的顶点坐标);
3.两根式: y=a(x -x1)(x -x2)(其中x1, x2为抛物线与 x 轴两交点 的横坐标);
注: 求二次函数的解析式, 一般都采用待定系数法. 做题时, 要根据题设条件, 合理地设出解析式.
(2)当 3-2a≥a, 即 0<a≤1 时, S(x)min=S(3-2a)=12a-8a2.
由 12a-8a2=4 得:
a=1 或
1 2
,
均满足 0<a≤1.
综上所述,
参数 a 的值为
1 2
或 1 或 5.
4.已知二次函数 f(x)=ax2+bx+c 的图象与直线 y=25 有公共点,
且不等式 ax2+bx+c>0 的解集是(-
或
-
b 2a
>n
f(n)>0.
f(m)>0, f(x)min>0(x∈[m, n])
f(x)=ax2+bx+c<0(a>0) 在 [m, n] 上恒成立.
f(m)<0 f(n)<0.
六、二次方程 ax2+bx+c=0(a>0) 的实根分布问题
记 f(x)=ax2+bx+c(a>0),
1.方程 f(x)=0 有两正根
∴ b=-c, 代入 b2-4a(c -25)≥0 得:
c2+24c(c -25)≥0. 解得: c≥24.
∴ b≤-24, a≤-144.
故 a, b, c 的取值范围分别是 a≤-144, b≤-24, c≥24.
5.已知f(x)=ax2+bx+c的图象过点(-1, 0), 是否存在常数 a, b, c,
即 f(x)=ax2-ax-2a-1. 又 f(x) 的最大值是 8,
∴
4a(-2a-1)-a2 4a =8,
解得 a=-4 或 a=0(舍去).
故所求函数的解析式为f(x)=-4(x-2)(x+1)=-4x2+4x+7.
2.已知函数 f(x)=4x2-4ax+a2-2a+2 在区间[0, 2]上有最小值 3,
{x | x<x1 或 x>x2}
{x | x≠- 2ba}
R
ax2+bx+c<0
(a>0)的解集 {x | x1<x<x2}
八、典型例题
1.已知二次函数 f(x) 满足 f(2)=-1, f(-1)=-1, 且 f(x) 的最大值 是 8, 试确定此二次函数的解析式.
解法一: 利用二次函数的一般式. 设f(x)=ax2+bx+c(a≠0), 则
,
f(m), f(n) 中
的较大者即为 f(x) 在 [m, n] 上的最大值.
2.若 x0[m, n], 则
(1)当 x0<m 时, f(x)min=f(m), f(x)max=f(n);
(2)当 x0>n 时, f(x)min=f(n), f(x)max=f(m).
五、不等式 ax2+bx+c>0 恒成立问题
解: f(x) 的图象是开口向上的抛物线, 其对称轴为直线 x=a-1.
(1)问题等价于“对于 x∈[-1, 1], 有 f(x)max>0.” 讨论如下: ①当 a-1≤0 即 a≤1 时, f(x)max=f(1)=-a2-2a+15. 由 -a2-2a+15>0 得: -5<a<3. ∵ a≤1, ∴ -5<a≤1. 注: 亦可 ②当 a-1>0 即 a>1 时, f(x)max=f(-1)=-a2+6a+7. 用补集法 由 -a2+6a+7>0 得: -1<a<7. ∵ a>1, ∴ 1<a<7. 求解. 综上所述, -5<a<7. 即实数 a 的取值范围是 (-5, 7).
△=b2-4ac≥0 f(m)>0
f(n)>0.
8.方程 f(x)=0 的两实根中, 有且只有一个在区间(m, n)内.
f(m)f(n)<0, 或
f(m)=0
m< -
b 2a
<
m+n 2
,
或
f(n)=0
m+n 2
<
-
b 2a
<
n.
思考 方程的两根有且只有一个在区间[m, n]上时等价于?
9.方程 f(x)=0 的两根分别在区间(m, n)和(p, q)(n<p)内.
(2)问题等价于“对于 x∈[-1, 1], 有 f(x)min>0.” 讨论如下: ①当 a-1<-1 即 a<0 时, f(x)min=f(-1)=-a2+6a+7. 由 -a2+6a+7>0 得: -1<a<7. ∵ a<0, ∴ -1<a<0.
②当 -1≤a-1≤1 即 0≤a≤2 时, f(x)min=f(a-1)=-3a2+6a+7.
-
b 2a
<k
4.方程 f(x)=0 的两实根都小于 k △=b2-4ac≥0
f(k)>0.
5.方程 f(x)=0 的两实根一个大于 k, 另一个小于 k f(k)<0.
-
b 2a
>k
6.方程 f(x)=0 的两实根都大于 k △=b2-4ac≥0
f(k)>0.
m< -
b 2a
<n
7.方程 f(x)=0 的两实根都在区间(m, n)内
4a+2b+c=-1,
a-b+c=-1,
4ac-b2 4a
=8.
解得
a=-4, b=4, c=7.
故所求函数的解析式为 f(x)=-4x2+4x+7.
解法二: 利用二次函数的顶点式.
设f(x)=a(x-m)2+n, ∵f(2)=f(-1)=-1,
∴抛物线的对称轴为直线
x=
1 2
,
∴m=
1 2
.
又 f(x) 的最大值是 8, ∴n=8.
∴f(x)=a(x -
1 2
)2+8,∵f(2)=-1,
∴a(2
-
1 2
)2+8=-1, ∴a=-4.
故所求函数的解析式为f(x)=-4(x-
1 2
)2+8=-4x2+4x+7.
解法三: 利用二次函数的两根式. 由已知 百度文库(x)+1=0 的两根为 2 和 -1,
故可设 f(x)+1=a(x-2)(x+1), 从而 f(x)=a(x-2)(x+1)-1.
∴
a=
1 4
.
∴
c=
1 2
-a
=
1 4
.
故存在一组常数: a= 对一切实数 x 都成立.
1 4
,
b=
1 2
,
c=
1 4
,
使不等式 x≤f(x)≤
x2+1 2
解法二:
可得
ac≥
1 16
且 ac≤116 , ∴ac=116 且 a=c,
从而得解.
6.已知二次函数 f(x)=2x2-4(a-1)x-a2+2a+9. (1) 若在 [-1, 1] 上 至少存在一个实数 m, 使得 f(m)>0, 求实数 a 的取值范围; (2)若 对 [-1, 1] 上的一切实数 m, 都有 f(m)>0, 求实数 a 的取值范围.
二、二次函数的图象
有关知识: 图象形状; 对称轴; 顶点坐标; 与 x 轴交点坐标; 截 x 轴线段长.
三、二次函数的性质
1.当 a>0 时,
抛物线开口向上,
函数在(-∞,
-
b 2a
]上单调递
减,
在[-
b 2a
,
+∞)上单调递增,
当
x=
-
b 2a
时,
f(x) 取得最小值,
为 4ac-b2 .
4a
2.当 a<0 时,
∵a≥4, ∴a=5+ 10.
综上所述, a=1- 2 或 a=5+ 10.
3.已知 y2=4a(x -a)中a>0, 且当 x≥a 时, S=(x -3)2+y2 的最小值 为 4, 求参数 a 的值.
解: 由已知 S=(x -3)2+y2=(x -3)2+4a(x -a)=[x-(3-2a)]2+12a-8a2.
抛物线开口向下,
函数在(-∞,
-
b 2a
]上单调递
增,
在[- b 2a
,
+∞)上单调递减,
当
x=
-
b 2a
时,
f(x) 取得最大值,
为 4ac-b2 .
4a
四、二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0)在[m, n]上的最值
1.若 x0=-
b 2a
∈[m,
n],
则
f(x)min=f(x0)=
4ac-b2 4a
判别式
△=b2-4ac 二次函数
△>0 y
△=0 y
△<0 y
y=ax2+bx+c (a>0)的图象
x x1 o x2
o x1=x2 x
o
x
一元二次方程
ax2+bx+c=0 (a>0) 的根
有两相异实根 x1, x2 (x1<x2)
有两相等实根 没有实根
x1=x2=
-
b 2a
ax2+bx+c>0 (a>0)的解集
1. ax2+bx+c>0在R上恒成立.
a>0 △=b2-4ac<0,
或
a=b=0 c>0.
ax2+bx+c<0在R上恒成立.
a<0 △=b2-4ac<0,
或
a=b=0 c<0.
2. f(x)=ax2+bx+c>0(a>0) 在 [m, n] 上恒成立.
-
b 2a
<m
或
m≤- 2ba≤n △=b2-4ac<0,
∵当 x≥a 时, S(x)=[x-(3-2a)]2+12a-8a2 的最小值为 4,
∴对正数 a, 可分情况讨论如下:
(1)当 3-2a<a, 即 a>1 时, 函数 S(x) 在[a, +∞]上是增函数.
∴ S(x)min=S(a)=(a-3)2. 由 (a-3)2=4 得: a=1 或 5.
∵a>1, ∴a=5.
∵a≤0, ∴a=1- 2.
(2)当
0<
a 2
<2,
由 -2a+2=3
即 得:
0<a<4 时,
a=-
1 2
(0,
f(x)min=f( 4), 舍去.
a 2
)=-2a+2.
(3)当
a 2
≥2,
即 a≥4 时,
函数 f(x) 在[0, 2]上是减函数.
∴ f(x)min=f(2)=a2-10a+18. 由 a2-10a+18=3 得: a=5 10.
f(m)>0 f(n)<0
f(p)<0 f(q)>0.
注 涉及方程 f(x)=ax2+bx+c=0(a≠0)的实根分 布问题, 一般情况下要从四个方面考虑:
① f(x) 图象的开口方向;
②方程 f(x)=0的判别式;
③ f(x) 图象的对称轴与区间的关系;
④区间端点处函数值的符号.
七、二次函数与方程、不等式的关系
xx11+x2x=2=ac-
b a
>0
>0
-
b 2a
>0
△=b2-4ac≥0
△=b2-4ac≥0. f(0)>0.
2.方程 f(x)=0 有两负根
xx11+x2x=2=ac-
b a
<0
>0
-
b 2a
<0
△=b2-4ac≥0
△=b2-4ac≥0. f(0)>0.
3.方程 f(x)=0 有一正根一负根 c<0.
求实数 a 的值.
解:
由已知 f(x)=4(x -
a 2
)2
-
2a+2.
∵f(x) 在区间[0, 2]上的最小
值为 3, ∴可分情况讨论如下:
(1)当
a 2
≤0,
即 a≤0 时,
函数 f(x) 在[0, 2]上是增函数.
∴ f(x)min=f(0)=a2-2a+2. 由 a2-2a+2=3 得: a=1 2 .
7.已知二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a>0), 方程 f(x) -x=0 的两根x1,
x2
满足
0<x1<x2<
1 a
.
(1)当 x∈(0, x1)
数 f(x) 的图象关于直线 x=x0 对称,
证时明, 证: x明0<:x2x1<.f(x)<x1;
(2)设函
证: (1)令 F(x)=f(x) -x, 由于 x1, x2 是方程 f(x) -x=0 的两根,