高等数学速成教程

1 tgx 1

( tgx 1)
2 tgx 1 tg 2 x
解
洛必达法则
lim(tgx )
x 4
tg 2 x
lim e
x 4
ln( tgx )tg 2 x
lim e
x 4
tg 2 xln( tgx )
e
x 4
lim ( tg 2 x ln( tgx ))
1 x
(1 0)
1 x ) e x
解法讨论
含 f ( x) 的 (1 0) 型:
1
lim(1 x ) lim(1
x 0 x
解:
1 1 t gx 3 t gx sin x x 原式 lim[1 ( 1)] x lim[1 ] x 0 x 0 1 sin x 1 sin x
证明
则 0,
1 则 , 2
1 f (0 ) f (0); 2 1 1 1 f ( ) f ( ); 2 2 2
1 1 F (0) F ( ) [ f ( ) f (0)]2 2 2
1 若F (0) 0, F ( ) 0, 则 2
由零点定理知,
0.
高等数学复习课件 例4
1 t gx x 3 求 lim( ) . x 0 1 sin x
1
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1 0 1 0


1
(1 0)
解法讨论
设 lim f ( x ) 0, lim g( x ) , 则
g( x )
(1 0) e 0
讨论:
1 令 F ( x ) f ( x ) f ( x ), 则 F ( x )在[0, 1 ]上连续. 2 2 1 1 1 F (0) f ( ) f (0), F ( ) f (1) f ( ), 2 2 2
若F (0) 0,
1 若 F ( ) 0, 2
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显然f ( x )在( ,1), ( 1,1), (1,)内连续.
当x 1时,
x 1
lim f ( x ) lim (1 x ) 2. x 1
x 1 x 1
lim f ( x ) lim f ( x ) 故f ( x )在x 1间断.
lim 3 3
n
n
n
注意:
n lim(3yn与 zn的极限是容易求的 . 并且 3 ) n 3
利用夹逼准则求极限关键是构造出 yn与 zn , 1
lim(1 2 3 ) 3
n
1 n n
求极限的方法(技巧)
高等数学复习课件 例6 解
x 1, x 1 讨论f ( x ) x 的连续性. cos 2 , x 1 1 x , x 1 x 将f ( x )改写成 f ( x ) cos , 1 x 1 2 x 1, x 1
用
1 lim (1 ) x e x x
1
lim(1 x ) x e
x 0
洛必达法则
高等数学复习课件
点连续 概念 区间连续
lim f ( x 函数y f ( x)在 x 0 处连续 ) f ( x 0 ) xx
0
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lim lim 特殊： 左连续 x x f ( x ) f ( x 0 ) 右连续 x x f ( x ) f ( x 0 )
3 (0 1)0 e 0 3
1 n
n(2 3 )
n n
1
高等数学复习课件 例
5、 lim(1 2 3 )
n n 1 n n
n 1 n n 0
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n
解:
(1 2 3 ) (1 )
1 n n
(1 0)
lim(1 2 3 ) lim 3
e
ln( tgx ) x ctg 2 x lim
4
e
ln( tgx ) x ctg 2 x lim
4
e 1
高等数学复习课件 例4
1 t gx x 3 求 lim( ) . x 0 1 sin x
1
g( x)
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1 0 1 0


1
1 2
3
b x
M B C
介值定理
o
A m
a
x1
1
2
3
x2
b
x
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典型例题
例
解
lim(tgx )
x 4 tg 2 x
含 f ( x) 的 (1 0) 型:
g( x)

lim(1 x ) lim(1
x 0 x
1 x
1 x ) e x
lim
n
(2n 3n ) n n 1 n n 2 3 (2 3 ) (1 n ) n 2 3
1

1 n

0
lim(2 3 )
n n
1 n n
n n 1 (1 n )(2 3 ) 2 3n
n(2 3 )
n n
1
1 2 n 1 (2n 3n ) lim 3 ( ) (1 n ) n 3 1 2 3n
lim f ( i )xi f ( x )dx
b n
0
分解因式消零因子 ( x x0 ) 含(反)三角函数用 洛必达法则
lim
x0
i 1
a
sinx 1. x
4.(
)
用最高次或“最大”项除分子分母 洛必达法则
5.(1 0)
含
f ( x) g ( x )
Biblioteka Baidu

tgx sin x 1 1 sin x x 3
e .
1 2
lim
sin x(1 cos x ) 1 t gx sin x 1 3 lim x 0 (1 sin x ) cos x x 3 x 0 1 sin x x
lim
sin x 1 cos x 1 1 2 x 0 x x (1 sin x ) cos x 2
lim[ 1 f ( x )]
e
lim g ( x ) ln[1 f ( x )]
e lim g ( x )[ f ( x )]
常用等价无穷小 ( ln[1 f ( x )] ~ f ( x ))
e lim g ( x ) f ( x ) .
1
解:
1 t gx 3 原式 lim[1 ( 1)] x x 0 1 sin x
0
0
在区间上每一点都连续的函数 基本初等函数在定义域内是连续的.
函 数 连 续
初等函数 连续性
一切初等函数在其定义区间内都是连续的.
闭区间上 连续函数 性质 最大值和最 小值定理 有界性定理 零点定理
y
y f ( x)
y
M
y f ( x)
m
o
a
2
1 b
x
y
y f ( x)
a o
当x 1时,
x 1
lim f ( x )
x 1
lim cos
x 2
0.
lim f ( x ) lim cos x 0. x 1 x 1 2

lim f ( x ) lim ( x 1) 0. x 1 x 1

lim f ( x ) lim f ( x )
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高等数学
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第一章 函数与极限
主要内容
（一）函数极限的概念 （二）函数极限的运算
（三）函数连续的概念
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数列极限
lim x n a
n x
函
数
极
x x0
1 n n
含 f ( x) 的 (1 0) 型:
n 1 n n

lim(1 x ) lim(1
x 0
1 x ) e x
(1 2 3 ) (1 )0 (1 0)
解:
lim
n
1 (2 3 ) (1 n ) 2 3n
n n

1 n
1
t gx sin x x 3 lim[1 ] x 0 1 sin x
lim
1
e
lim
x 0 x
ln[1 3
t gx sin x ] 1 sin x
e
1 t gx sin x x 0 x 3 1 sin x lim
e
1 2
t gx sin x 1 lim sin x(1 cos x ) 1 3 x 0 (1 sin x ) cos x x 3 x 0 1 sin x x
1 即 f ( ) f ( )成立. 2
1 (0, ), 使F ( ) 0. 2
1 必有一点 [0, ] [0,1], 综上, 2
1 使 f ( ) f ( ) 成立. 2
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一、 证明方程 x a sin x b ，其中 a 0 , b 0 ，至 少有一个正根，并且它不超过 a b . 二、若 f ( x ) 在 [ a , b ] 上连续，
3
t gx sin x lim 1 x 0 1 sin x

1 sin x tgx sin x 1 tgx sin x 1 sin x x 3
lim
x 0

t gx sin x 1 1 sin x

1 sin x tgx sin x
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x x0
1.常规型: 2.特殊型:
极 限 运 算 类 型
3.( 0 0 )
lim f ( x ) f ( x0 )
分段点处极限:
x 0
lim f ( x ) lim f ( x )
x 0
∞型:
A0型: 和式极限:
倒数求无穷小 有界变量与无穷小量之积 先求和式再求极限 定积分的定义
x 1 x 1
故f ( x )在x 1连续.
f ( x )在( ,1) ( 1,)连续.
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例
设f ( x )在闭区间[0,1]上连续, 且f ( 0) f (1), 1 证明必有一点 [0,1]使得f ( ) f ( ). 2
限
无穷大
lim f ( x )
lim f ( x ) A
lim f ( x ) A
两者的 关系
极限存在的 充要条件 判定极限 存在的准则
左右极限
无穷小的比较
无穷小
lim f ( x ) 0
两个重要 极限
等价无穷小 及其性质
无穷小 的性质
唯一性
求极限的常用方法
极限的性质
高等数学复习课件
lim(tgx )tg 2 x lim 1 (tgx 1) x
x 4
4

tg 2 x
lim 1 ( tgx 1)
x 4

1 (tgx 1) tg 2 x tgx 1
拼、配、凑
e 1
lim
x 4

1 ( tgx 1)
sin x 1 cos x 1 x 0 x x2 (1 sin x ) cos x
1 2
lim
高等数学复习课件 例
5、 lim(1 2 3 ) n
n
g( x)
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1 n n
n
(1 2 3 ) (1 )0
n
1 x x
n n n n
1 2 ( )n 1 3n 3
n

1 n
lim 3
n
1 2 n ( ) 1 n 3 3
lim 3 (0 0 1)
1 n
0
3
n
1 2 n 1 ,( ) , 0 n 3 3 n
1 n n 1 n n
解:
3 (1 2n 3 ) (3 3 )
讨论:
1 F ( ) f ( ) f ( ) 0 2
1 F ( x ) f ( x ) f ( x ), 2
y
1 则 F ( x )在[0, ]上连续. 2
y f ( x)
零点定理
a o
1 2
3
b x
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例
设f ( x )在闭区间[0,1]上连续, 且f ( 0) f (1), 1 证明必有一点 [0,1]使得f ( ) f ( ). 2