向量的加减法运算 PPT课件
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6.3.3平面向量的加减运算的坐标表示课件共12张PPT
A O
C D
x
而 OD = OB + BD = (-1, 3) + (3, -1) = (2, 2)
所以顶点D的坐标为（2，2）
达标检测
1．点 A(1，－3)，A→B的坐标为(3，7)，则点 B 的坐标为( A )
A．(4，4)
B．(－2，4)
C．(2，10)
D．(－2，－10)
【解析】 设点 B 的坐标为(x，y)，由A→B＝(3，7)＝(x，y)－(1，
【解】 如图，正三角形 ABC 的边长为 2，
3．已知边长为 2 的正三角形 ABC，顶点 A 在坐标原点，AB 边在 x
轴上，C 在第一象限，D 为 AC 的中点，分别求向量A→B，A→C，B→C，B→D
的坐标.
则顶点 A(0，0)，B(2，0)，C(2cos 60°，2sin 60°)，
∴C(1，
(1, 2) = (3 - x, 4 - y)
y B
A O
C D
x
1= 3-x 2= 4-y
解得 x=2,y=2 所以顶点D的坐标为（2，2）
y B
解法2：由平行四边形法则可得
BD = BA + BC = (-2 - (-1),1 - 3) + (3 - (-1), 4 - 3) = (3, -1)
O
x
结论：一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段 的终点的坐标减去起点的坐标.
例2：如图，已知平行四边形ABCD 的三个顶点A、B、C的坐标分别 是（-2，1）、（-1，3）、（3，4），试求顶点D的坐标.
解法１：设点D的坐标为（x,y）
AB = (-1, 3) - (-2,1) = (1, 2) DC = (3, 4) - (x, y) = (3 - x, 4 - y) 且AB = DC
高等数学向量及其运算PPT课件.ppt
例如, a、r、v、F 或a 、r 、v 、F .
2
• 自由向量 与起点无关的向量, 称为自由向量, 简称向量.
• 向量的相等 如果向量a和b的大小相
等, 且方向相同, 则说向量a 和b是相等的, 记为a=b.
相等的向量经过平移后可以完全重合.
3
•向量的模 向量的大小叫做向量的模.
向量 a、a 、AB 的模分别记为|a|、|a| 、|AB| .
23
例3 已知两点A(x1, y1, z1)和B(x2, y2, z2)以及实数-1,
在直线 AB 上求一点 M, 使 AM =MB .
解 由于
解 由于 AM =OM-OA , MB=OB-OM ,
=OM-OA , MB=OB-OM ,
因此 OM-OA=(OB-OM) ,
从而
OM =
1
(OA+ OB)
当两个平行向量的起点放在同一点时, 它 们的终点和公共的起点在一条直线上. 因此, 两向量平行又称两向量共线.
设有k(k3)个向量, 当把它们的起点放在同 一点时, 如果k个终点和公共起点在一个平面上, 就称这k个向量共面.
6
二、向量的线性运算
1.向量的加法
设有两个向量a与b, 平移向量, 使b的起点与a
当=0时, |a|=0, 即a为零向量. 当=1时, 有1a=a; 当=-1时, 有(-1)a =-a.
10
•向量与数的乘积的运算规律
(1)结合律 (a)=(a)=()a; (2)分配律 (+)a=a+a;
(a+b)=a+b.
•向量的单位化
设a0, 则向量 a 是与a同方向的单位向量,
记为ea.
|a|
2
• 自由向量 与起点无关的向量, 称为自由向量, 简称向量.
• 向量的相等 如果向量a和b的大小相
等, 且方向相同, 则说向量a 和b是相等的, 记为a=b.
相等的向量经过平移后可以完全重合.
3
•向量的模 向量的大小叫做向量的模.
向量 a、a 、AB 的模分别记为|a|、|a| 、|AB| .
23
例3 已知两点A(x1, y1, z1)和B(x2, y2, z2)以及实数-1,
在直线 AB 上求一点 M, 使 AM =MB .
解 由于
解 由于 AM =OM-OA , MB=OB-OM ,
=OM-OA , MB=OB-OM ,
因此 OM-OA=(OB-OM) ,
从而
OM =
1
(OA+ OB)
当两个平行向量的起点放在同一点时, 它 们的终点和公共的起点在一条直线上. 因此, 两向量平行又称两向量共线.
设有k(k3)个向量, 当把它们的起点放在同 一点时, 如果k个终点和公共起点在一个平面上, 就称这k个向量共面.
6
二、向量的线性运算
1.向量的加法
设有两个向量a与b, 平移向量, 使b的起点与a
当=0时, |a|=0, 即a为零向量. 当=1时, 有1a=a; 当=-1时, 有(-1)a =-a.
10
•向量与数的乘积的运算规律
(1)结合律 (a)=(a)=()a; (2)分配律 (+)a=a+a;
(a+b)=a+b.
•向量的单位化
设a0, 则向量 a 是与a同方向的单位向量,
记为ea.
|a|
【课件】向量的加法运算 向量的减法运算课件高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
第六章 平面向量及其应用
6.2.1 向量的加法运算 6.2.2 向量的减法运算
教学目标
借助实例和平面向量的几何意义，掌握平面向量
1
的加法、减法运算及其运算规律.
2 理解平面向量的加法、减法运算的几何意义.
（1）向量的加法：求两个向量和的运算， 叫做向量的加法.
对于零向量与任意向量a ，规定a+0 0 a a .
本节课学习了平面向量的加法、减 法运算.
解析：由题意和图形可知 BAC 90 ，因为| AB | 300 ，| BC | 300 2 ，
所以| AC | 300 ，因为 ABC 45 ，A 地在 B 地南偏东 30°的方向处. 所以 C 地在 B 地南偏东 75°的方向处. 故飞机从 B 地向 C 地飞行的方向为南偏东 75°.
9.化简下列各式： （1） ( AB MB) (OB MO) . （2） AB AD DC .
B a-b
b Oa A
例 1 长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运 输.如图，一艘船从长江南岸 A 地出发，垂直于对岸航行， 航行速度的大小为 15 km/h，同时江水的速度为向东 6 km/h. （1）用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度； （2）求船实际航行的速度的大小（结果保留小数点后一位）与方向（用与江水速度 间的夹角表示，精确到 1°）.
（2）向量加法的三角形法则：已知非零向量a，b ，在平面内
任取一点 A ，作 AB a ， BC b ，则向量 AC 叫做a 与b 的和，
记作 a b ，即 a b AB BC AC .如图.
C
b a+b
Aa
B
（3）向量加法的平行四边形法则：已知两个不共线向量a，b ， 作 AB a ， AD b ，以 AB ， AD 为邻边作 ABCD ，则对角线 上的向量 AC a b .如图.
6.2.1 向量的加法运算 6.2.2 向量的减法运算
教学目标
借助实例和平面向量的几何意义，掌握平面向量
1
的加法、减法运算及其运算规律.
2 理解平面向量的加法、减法运算的几何意义.
（1）向量的加法：求两个向量和的运算， 叫做向量的加法.
对于零向量与任意向量a ，规定a+0 0 a a .
本节课学习了平面向量的加法、减 法运算.
解析：由题意和图形可知 BAC 90 ，因为| AB | 300 ，| BC | 300 2 ，
所以| AC | 300 ，因为 ABC 45 ，A 地在 B 地南偏东 30°的方向处. 所以 C 地在 B 地南偏东 75°的方向处. 故飞机从 B 地向 C 地飞行的方向为南偏东 75°.
9.化简下列各式： （1） ( AB MB) (OB MO) . （2） AB AD DC .
B a-b
b Oa A
例 1 长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运 输.如图，一艘船从长江南岸 A 地出发，垂直于对岸航行， 航行速度的大小为 15 km/h，同时江水的速度为向东 6 km/h. （1）用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度； （2）求船实际航行的速度的大小（结果保留小数点后一位）与方向（用与江水速度 间的夹角表示，精确到 1°）.
（2）向量加法的三角形法则：已知非零向量a，b ，在平面内
任取一点 A ，作 AB a ， BC b ，则向量 AC 叫做a 与b 的和，
记作 a b ，即 a b AB BC AC .如图.
C
b a+b
Aa
B
（3）向量加法的平行四边形法则：已知两个不共线向量a，b ， 作 AB a ， AD b ，以 AB ， AD 为邻边作 ABCD ，则对角线 上的向量 AC a b .如图.
平面向量的加减法 ppt课件
数与向量的乘法运算叫做向量的数乘运算，容易验证，对于
任意向量a, b及任意实数、，向量数乘运算满足如下的法则：
向量加法及数乘运算
1 1 a在形a， 式上1与 a实数a的 有；关运算规 2 律的相去 a类括似号，、因移a此项 ，、实合数并a运同；算类中项
平行四边形法则不适用于共线向量，可以验证，向量的加法 具有以下的性质：
(1) a＋0 = 0＋a=a； a＋（− a）= 0； (2) a＋b = b＋a； (3) （a＋b）＋ c = a ＋（b＋c）．
ppt课件
11
探究一：当向量共线时，如何相加？
(1)同向
(2)反向
a
b
a
b
A
B
C
AC = a + b
B
CA
AC = a + b
规定：a 0 0 a a
ppt课件
12
探究二：向量的加法是否具备交换律和结合律？
• 数的加法满足交换律与结合律，即对任意a，b∈R， 有a+b=b+a， (a+b)+c=a+(b+c)
• 向量的加法具备吗？你能否画图解释？
向量加法满足交换律和结合律：
a b b a (a+b)+c a (b c)
• 橡皮条在力F1与F2的作用下，从E点伸长到了O点； 同时橡皮条在力F的作用下也从E点伸长到了O点.
• 问:合力F与力F1、F2有怎样的关系？
F1+F2=F
E
O
E
O
F
F
F是以F1与F2为邻边所形成的
平行四边形的对ppt课角件线
5
向量加法运算及其几何意义
任意向量a, b及任意实数、，向量数乘运算满足如下的法则：
向量加法及数乘运算
1 1 a在形a， 式上1与 a实数a的 有；关运算规 2 律的相去 a类括似号，、因移a此项 ，、实合数并a运同；算类中项
平行四边形法则不适用于共线向量，可以验证，向量的加法 具有以下的性质：
(1) a＋0 = 0＋a=a； a＋（− a）= 0； (2) a＋b = b＋a； (3) （a＋b）＋ c = a ＋（b＋c）．
ppt课件
11
探究一：当向量共线时，如何相加？
(1)同向
(2)反向
a
b
a
b
A
B
C
AC = a + b
B
CA
AC = a + b
规定：a 0 0 a a
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探究二：向量的加法是否具备交换律和结合律？
• 数的加法满足交换律与结合律，即对任意a，b∈R， 有a+b=b+a， (a+b)+c=a+(b+c)
• 向量的加法具备吗？你能否画图解释？
向量加法满足交换律和结合律：
a b b a (a+b)+c a (b c)
• 橡皮条在力F1与F2的作用下，从E点伸长到了O点； 同时橡皮条在力F的作用下也从E点伸长到了O点.
• 问:合力F与力F1、F2有怎样的关系？
F1+F2=F
E
O
E
O
F
F
F是以F1与F2为邻边所形成的
平行四边形的对ppt课角件线
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向量加法运算及其几何意义
向量加减法PPT优秀课件
9
例3,如图,已知 向量a,b,c,d,求作向量a-b,c-d
bd
a
c
(1)
a-b
c-d
bd
a
.c o
22.05.2019
10
例题4：如图，平行四边形ABCD，AB=a， AD=b，用a、b表示向量AC、DB。
D
C
b
Aa
B
注意向量的方向，
向量 AC= a+b
向量 DB= a-b
22.05.2019
AB = NB - NA
M
.
B
22.05.2019
A
. O
. N
13
2, 填空
AB - AD = DB BA - BC = CA BC -BA = AC OD -OA = AD OA -OB = BA
22.05.2019
14
(3)填空
(1) AB - AC - CB =
0
(2) AB + BC - AD = DC (3) AB + BC - DC = AD
97.有三个人是我的朋友爱我的人.恨我的人.以及对我冷漠的人。 爱我的人教我温柔；恨我的人教我谨慎；对我冷漠的人教我自立。――[J·E·丁格] 98.过去的事已经一去不复返。聪明的人是考虑现在和未来，根本无暇去想过去的事。――[英国哲学家培根] 99.真正的发现之旅不只是为了寻找全新的景色，也为了拥有全新的眼光。――[马塞尔·普劳斯特] 100.这个世界总是充满美好的事物，然而能看到这些美好事物的人，事实上是少之又少。――[罗丹] 101.称赞不但对人的感情，而且对人的理智也发生巨大的作用，在这种令人愉快的影响之下，我觉得更加聪明了，各种想法，以异常的速度接连涌入我的脑际。――[托尔斯泰] 102.人生过程的景观一直在变化，向前跨进，就看到与初始不同的景观，再上前去，又是另一番新的气候――。[叔本华] 103.为何我们如此汲汲于名利，如果一个人和他的同伴保持不一样的速度，或许他耳中听到的是不同的旋律，让他随他所听到的旋律走，无论快慢或远近。――[梭罗] 104.我们最容易不吝惜的是时间，而我们应该最担心的也是时间；因为没有时间的话，我们在世界上什么也不能做。――[威廉·彭] 105.人类的悲剧，就是想延长自己的寿命。我们往往只憧憬地平线那端的神奇【违禁词，被屏蔽】，而忘了去欣赏今天窗外正在盛开的玫瑰花。――[戴尔·卡内基] 106.休息并非无所事事，夏日炎炎时躺在树底下的草地，听着潺潺的水声，看着飘过的白云，亦非浪费时间。――[约翰·罗伯克] 107.没有人会只因年龄而衰老，我们是因放弃我们的理想而衰老。年龄会使皮肤老化，而放弃热情却会使灵魂老化。――[撒母耳·厄尔曼] 108.快乐和智能的区别在于：自认最快乐的人实际上就是最快乐的，但自认为最明智的人一般而言却是最愚蠢的。――[卡雷贝·C·科尔顿] 109.每个人皆有连自己都不清楚的潜在能力。无论是谁，在千钧一发之际，往往能轻易解决从前认为极不可能解决的事。――[戴尔·卡内基] 110.每天安静地坐十五分钟·倾听你的气息，感觉它，感觉你自己，并且试着什么都不想。――[艾瑞克·佛洛姆] 111.你知道何谓沮丧---就是你用一辈子工夫，在公司或任何领域里往上攀爬，却在抵达最高处的同时，发现自己爬错了墙头。－－[坎伯] 112.「伟大」这个名词未必非出现在规模很大的事情不可；生活中微小之处，照样可以伟大。――[布鲁克斯] 113.人生的目的有二：先是获得你想要的；然后是享受你所获得的。只有最明智的人类做到第二点。――[罗根·皮沙尔·史密斯] 114.要经常听.时常想.时时学习，才是真正的生活方式。对任何事既不抱希望，也不肯学习的人，没有生存的资格。
例3,如图,已知 向量a,b,c,d,求作向量a-b,c-d
bd
a
c
(1)
a-b
c-d
bd
a
.c o
22.05.2019
10
例题4：如图，平行四边形ABCD，AB=a， AD=b，用a、b表示向量AC、DB。
D
C
b
Aa
B
注意向量的方向，
向量 AC= a+b
向量 DB= a-b
22.05.2019
AB = NB - NA
M
.
B
22.05.2019
A
. O
. N
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2, 填空
AB - AD = DB BA - BC = CA BC -BA = AC OD -OA = AD OA -OB = BA
22.05.2019
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(3)填空
(1) AB - AC - CB =
0
(2) AB + BC - AD = DC (3) AB + BC - DC = AD
97.有三个人是我的朋友爱我的人.恨我的人.以及对我冷漠的人。 爱我的人教我温柔；恨我的人教我谨慎；对我冷漠的人教我自立。――[J·E·丁格] 98.过去的事已经一去不复返。聪明的人是考虑现在和未来，根本无暇去想过去的事。――[英国哲学家培根] 99.真正的发现之旅不只是为了寻找全新的景色，也为了拥有全新的眼光。――[马塞尔·普劳斯特] 100.这个世界总是充满美好的事物，然而能看到这些美好事物的人，事实上是少之又少。――[罗丹] 101.称赞不但对人的感情，而且对人的理智也发生巨大的作用，在这种令人愉快的影响之下，我觉得更加聪明了，各种想法，以异常的速度接连涌入我的脑际。――[托尔斯泰] 102.人生过程的景观一直在变化，向前跨进，就看到与初始不同的景观，再上前去，又是另一番新的气候――。[叔本华] 103.为何我们如此汲汲于名利，如果一个人和他的同伴保持不一样的速度，或许他耳中听到的是不同的旋律，让他随他所听到的旋律走，无论快慢或远近。――[梭罗] 104.我们最容易不吝惜的是时间，而我们应该最担心的也是时间；因为没有时间的话，我们在世界上什么也不能做。――[威廉·彭] 105.人类的悲剧，就是想延长自己的寿命。我们往往只憧憬地平线那端的神奇【违禁词，被屏蔽】，而忘了去欣赏今天窗外正在盛开的玫瑰花。――[戴尔·卡内基] 106.休息并非无所事事，夏日炎炎时躺在树底下的草地，听着潺潺的水声，看着飘过的白云，亦非浪费时间。――[约翰·罗伯克] 107.没有人会只因年龄而衰老，我们是因放弃我们的理想而衰老。年龄会使皮肤老化，而放弃热情却会使灵魂老化。――[撒母耳·厄尔曼] 108.快乐和智能的区别在于：自认最快乐的人实际上就是最快乐的，但自认为最明智的人一般而言却是最愚蠢的。――[卡雷贝·C·科尔顿] 109.每个人皆有连自己都不清楚的潜在能力。无论是谁，在千钧一发之际，往往能轻易解决从前认为极不可能解决的事。――[戴尔·卡内基] 110.每天安静地坐十五分钟·倾听你的气息，感觉它，感觉你自己，并且试着什么都不想。――[艾瑞克·佛洛姆] 111.你知道何谓沮丧---就是你用一辈子工夫，在公司或任何领域里往上攀爬，却在抵达最高处的同时，发现自己爬错了墙头。－－[坎伯] 112.「伟大」这个名词未必非出现在规模很大的事情不可；生活中微小之处，照样可以伟大。――[布鲁克斯] 113.人生的目的有二：先是获得你想要的；然后是享受你所获得的。只有最明智的人类做到第二点。――[罗根·皮沙尔·史密斯] 114.要经常听.时常想.时时学习，才是真正的生活方式。对任何事既不抱希望，也不肯学习的人，没有生存的资格。
高等数学向量及其运算PPT(“向量”文档)共40张可修改文字
a相同, 当<0时与a相反.
当=0时, |a|=0, 即a为零向量. 当=1时, 有1a=a; 当=-1时, 有(-1)a =-a.
11
•向量与数的乘积的运算规律
(1)结合律 (a)=(a)=()a;
(2)分配律 (+)a=a+a;
(a+b)=a+b.
•向量的单位化
设a0, 则向量 a 是与a同方向的单位向量,
9
的三角形是等腰三角形 .
思考: 五、向量的模、方向角、投影
“”
以OM为对角线、三条坐标轴为棱作长方体 有
例3 已知两点A(x1 y1 z1)和B(x2 y2 z2)以及实数
1
(1) 如何求在 xoy 面上与A , B 等距离之点的轨迹方程?
(2) 如何求在空间与A , B 等距离之点的轨迹方程 ?
20
任给向量r, 存在点M及xi、yj、zk, 使
则 r =OM = xi + yj + zk .
• 上式称为向量r的坐标分解式. • xi、yj、zk称为向量r沿三个坐标轴方向的分向量.
点M、向量r与三个有序x、y、z之
间有一一对应的关系
M r =OM = xi + yj + zk (x, y, z) .
在直线 AB 上求一点 M, 使 AM =MB .
解 由于
解 由于 AM =OM -OA , MB =OB-OM ,
=OM -OA , MB =OB-OM ,
因此 OM -OA=(OB-OM ) ,
从而
OM
=
1
1+
(OA+
OB)
(x,
y,
z)
当=0时, |a|=0, 即a为零向量. 当=1时, 有1a=a; 当=-1时, 有(-1)a =-a.
11
•向量与数的乘积的运算规律
(1)结合律 (a)=(a)=()a;
(2)分配律 (+)a=a+a;
(a+b)=a+b.
•向量的单位化
设a0, 则向量 a 是与a同方向的单位向量,
9
的三角形是等腰三角形 .
思考: 五、向量的模、方向角、投影
“”
以OM为对角线、三条坐标轴为棱作长方体 有
例3 已知两点A(x1 y1 z1)和B(x2 y2 z2)以及实数
1
(1) 如何求在 xoy 面上与A , B 等距离之点的轨迹方程?
(2) 如何求在空间与A , B 等距离之点的轨迹方程 ?
20
任给向量r, 存在点M及xi、yj、zk, 使
则 r =OM = xi + yj + zk .
• 上式称为向量r的坐标分解式. • xi、yj、zk称为向量r沿三个坐标轴方向的分向量.
点M、向量r与三个有序x、y、z之
间有一一对应的关系
M r =OM = xi + yj + zk (x, y, z) .
在直线 AB 上求一点 M, 使 AM =MB .
解 由于
解 由于 AM =OM -OA , MB =OB-OM ,
=OM -OA , MB =OB-OM ,
因此 OM -OA=(OB-OM ) ,
从而
OM
=
1
1+
(OA+
OB)
(x,
y,
z)
《向量的加减法》课件
03 向量的数乘
数乘的定义
定义
对于向量$overset{longrightarrow}{a}$ 和实数$k$，数乘 $koverset{longrightarrow}{a}$是一个 向量，其长度为 $|k||overset{longrightarrow}{a}|$，方 向与$overset{longrightarrow}{a}$相同 或相反，取决于$k$的正负。
向量加法的性质
向量加法满足结合律
即$(overset{longrightarrow}{a} + overset{longrightarrow}{b}) + overset{longrightarrow}{c} = overset{longrightarrow}{a} + (overset{longrightarrow}{b} + overset{longrightarrow}{c})$。
谢谢聆听
02
当$k < 0$时，$koverset{longrightarrow}{a}$表示向 量$overset{longrightarrow}{a}$按比例缩小$-k$倍。
03
当$k = 0$时，$0overset{longrightarrow}{a} = mathbf{0}$，即零向量。
数乘的性质
箭头表示法
详细描述
向量通常用带箭头的线段表示，箭头指向代表方向，长度代表大小。
向量的模
总结词
向量的长度
详细描述
向量的模表示向量的长度，记作$|overrightarrow{AB}|$，计算公式为$sqrt{x^2+y^2}$。
02 向量的加法
向量加法的定义
定义
向量加法是指将两个向量首尾相接，以第一个向量的起点为 共同起点，以第二个向量的终点为共同终点，连接第一个向 量的终点与第二个向量的起点的向量。
《向量的加法与减法》课件
结果向量的方向由输入向量的相对位 置决定，结果向量的大小则由输入向 量的长度和夹角决定。
THANKS
感谢观看
向量加法的几何意义
总结词
向量加法的几何意义是表示两个向量在平面或空间中的相对 位置关系。
详细描述
向量加法的几何意义在于表示两个向量在平面或空间中的相 对位置关系。通过向量加法，我们可以理解一个向量是如何 由另一个向量产生的，以及它们之间的角度和长度关系。
向量加法的性质
总结词
向量加法满足交换律和结合律，不满足消去律。
向量减法的性质
总结词
向量减法的性质
详细描述
向量减法具有一些重要的性质，包括交换律、结合律和反身性。交换律指的是向量减法 的结果不依赖于减数向量的顺序，结合律指的是向量的加减运算满足结合律，反身性指
的是任意向量减去其自身等于零向量。
03 向量的加法与减 法的应用
在物理中的应用
力的合成与分解
在物理中，向量加法和减法常用于表 示力的合成与分解。通过向量加法， 可以将多个力合成一个力；通过向量 减法，可以将一个力分解成多个分力 。
速度和加速度的计算
在运动学中，向量的加法和减法用于 计算速度和加速度。例如，在平抛运 动中，水平和垂直方向的速度可以通 过向量加法和减法计算出物体的最终 速度和加速度。
在数学中的应用
向量模的计算
向量的加法和减法可以用于计算向量的 模。通过向量加法，可以计算两个向量 的和的模；通过向量减法，可以计算两 个向量的差的模。
详细描述
向量加法满足交换律，即向量a加向量b等于向量b加向量a。同时，向量加法也 满足结合律，即(a+b)+c=a+(b+c)。但是，向量加法不满足消去律，即 a+b=b+a并不意味着a=b。这是因为向量的加法不具有唯一性，与实数加法不 同。
THANKS
感谢观看
向量加法的几何意义
总结词
向量加法的几何意义是表示两个向量在平面或空间中的相对 位置关系。
详细描述
向量加法的几何意义在于表示两个向量在平面或空间中的相 对位置关系。通过向量加法，我们可以理解一个向量是如何 由另一个向量产生的，以及它们之间的角度和长度关系。
向量加法的性质
总结词
向量加法满足交换律和结合律，不满足消去律。
向量减法的性质
总结词
向量减法的性质
详细描述
向量减法具有一些重要的性质，包括交换律、结合律和反身性。交换律指的是向量减法 的结果不依赖于减数向量的顺序，结合律指的是向量的加减运算满足结合律，反身性指
的是任意向量减去其自身等于零向量。
03 向量的加法与减 法的应用
在物理中的应用
力的合成与分解
在物理中，向量加法和减法常用于表 示力的合成与分解。通过向量加法， 可以将多个力合成一个力；通过向量 减法，可以将一个力分解成多个分力 。
速度和加速度的计算
在运动学中，向量的加法和减法用于 计算速度和加速度。例如，在平抛运 动中，水平和垂直方向的速度可以通 过向量加法和减法计算出物体的最终 速度和加速度。
在数学中的应用
向量模的计算
向量的加法和减法可以用于计算向量的 模。通过向量加法，可以计算两个向量 的和的模；通过向量减法，可以计算两 个向量的差的模。
详细描述
向量加法满足交换律，即向量a加向量b等于向量b加向量a。同时，向量加法也 满足结合律，即(a+b)+c=a+(b+c)。但是，向量加法不满足消去律，即 a+b=b+a并不意味着a=b。这是因为向量的加法不具有唯一性，与实数加法不 同。
向量的加减法.35页PPT文档
角来表示）。
解 ： ( 2 ) 在 R tA B C 中 ， |A B | 2 , |B C | 2 3 D
C
| AC | | AB |2 | BC |2
22 (2 3)2
4
tanCAB2 3 3 2
CAB60.
A
B
答：船实际航行速度为4km/h,方向与水的流速间的夹角为60º。
向量进行减法运算，必须先引入
一个什么样的新概念？
实例分析
上周日杨恒从家骑车到八里河公园游
玩, 然后再由八里河公园返回家中,我
们把八里河公园记作B点,杨恒家记作A
Ｂ
点,那么杨恒的位移是多少?
怎样用向量来表示呢?
AB+BA=0
A
1.相反向量
我们把与a长度相等，方向相反的向量，叫作a的 相反向量.记作 －a，a和－a互为相反向量． 并且规定，零向量的相反向量仍是零向量．
abOAOBOC 这 种 求 向 量 和 的 方 法 ， 称 为 向 量 加 法 的 平 行 四 边 形 法 则 。
对 于 零 向 量 与 a,我 任们 一规 向 a00aa
对于向量的加法的理解需要注意下面两点: (1)两个向量的和仍然是向量(简称和向量) (2)位移的合成是三角形法则的物理模型.
例1.如图，已知向量 a , b ，求做向量 a b 。
作法1：在平面内任取一点O，
b
作 OA a ，AB b ，
a
则 OBab。
O
a
A
b
ab
B
三角形法则
例1.如图，已知向量 a , b ，求做向量 a b 。
作法2：在平面内任取一点O，
b
作 OA a ，OB b ，
解 ： ( 2 ) 在 R tA B C 中 ， |A B | 2 , |B C | 2 3 D
C
| AC | | AB |2 | BC |2
22 (2 3)2
4
tanCAB2 3 3 2
CAB60.
A
B
答：船实际航行速度为4km/h,方向与水的流速间的夹角为60º。
向量进行减法运算，必须先引入
一个什么样的新概念？
实例分析
上周日杨恒从家骑车到八里河公园游
玩, 然后再由八里河公园返回家中,我
们把八里河公园记作B点,杨恒家记作A
Ｂ
点,那么杨恒的位移是多少?
怎样用向量来表示呢?
AB+BA=0
A
1.相反向量
我们把与a长度相等，方向相反的向量，叫作a的 相反向量.记作 －a，a和－a互为相反向量． 并且规定，零向量的相反向量仍是零向量．
abOAOBOC 这 种 求 向 量 和 的 方 法 ， 称 为 向 量 加 法 的 平 行 四 边 形 法 则 。
对 于 零 向 量 与 a,我 任们 一规 向 a00aa
对于向量的加法的理解需要注意下面两点: (1)两个向量的和仍然是向量(简称和向量) (2)位移的合成是三角形法则的物理模型.
例1.如图，已知向量 a , b ，求做向量 a b 。
作法1：在平面内任取一点O，
b
作 OA a ，AB b ，
a
则 OBab。
O
a
A
b
ab
B
三角形法则
例1.如图，已知向量 a , b ，求做向量 a b 。
作法2：在平面内任取一点O，
b
作 OA a ，OB b ，
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文字表述为：以同一起点的两个向量为邻边作平行四边形， 则以公共起点为起点的对角线所对应向量就是和向量。
向量加 法
变式训练1：已知向量a、b，求作向量a+b和 b+a。（用三角形法则与平行四边形法则）
2、（1）
b
b
ab a
（2）
b
a
ab
a
变式训练2：已知向量a、b、c，求 作向量(a+b)+c和a+(b+c)
c
ab
数的加法满足交换律与结合律,即对任意
a,b∈R,有a+b=b+a,(a+b)+c=a+(b+c)
任意向量a,b的加法是否也满足交换律与
结合律?
D
D
a
C a+b+c
பைடு நூலகம்
c
b a+b
b
A
b+ac+b
C
A
a
B
a
b
B
a+ b= b+ a
(a + b) + c = a + (b + c)
例2: 求向量 AB+DF +CD+BC+FA 之和.
小结 1.向量加法的三角形法则
(要点：两向量首尾连接)
2.向量加法的平行四边形法则 (要点：同一起点，对角线为 和向量)
3.向量加法满足交换律及结合律 a+ b= b+ a
(a + b) + c = a + (b + c)
作业
课本84页 课本91页
习题（做书上） 2、3作业本
谢谢大家
(3)AB BD CA DC ___0_____
２.根据图示填空
Ee D
gf
d
c
A
bC
a
B
(1)a b c
(2)c d f (3)a b d f (4)c d e g
课堂小结：
向量加法的定义
三角形法则
平行四边形法则
向量加法的运算律 向量加法的运算
2.2.1向量加法运算 及其几何意义
一：复习回顾
1.向量、平行向量、相等向量的含义分别是什么？
向量：既有方向又有大小的量。 平行向量：方向相同或相反的向量。 相等向量：方向相同并且长度相等的向量。 零向量：长度为零的向量叫零向量。
单位向量：长度等于1个单位长度的向量叫单位向量。
二: 2006年大陆和台湾没有直航，因此春节 探亲，乘飞机要先从台北到香港，再从香港 到上海，则飞机的位移是多少?
解 :∵ AB + DF + CD+ BC+FA
= AB+BC+CD+DF +FA
= AC+CD+DF +FA = AD+DF +FA
= AF +FA = 0
∴AB+DF +CD+BC+FA = 0
巩固练习
１.化简 (1)AB CD BC __A_D_____
(2) MA BN AC CB _M__N_____
(3)作OB = a + b
A
位移的合成可以看
这作种向作量法加 叫法 三做角向形量
B 加法法则的的三物角理形模法型则
还有没有其他的做法？
向量加法的平行四边形法则
b a
起点o
相同 连对 B 角
作法（1）在平面内任取一点O
(2)作 OA = a ,OB = b
(3)作 OC = a + b
A
C
这力 量种的 加作合 法法成 的叫可平以行做看四向作边量向形加 法的法平则行的四物理边模形型法则
上海
上海 台北
香港
1、位移 AB BC AC
c
b
香港
台北
a
C
A B
向量加法
向 量
任意给出两个向量a与b. 如何求a+ b.
加
法
的 定
a
b
义
C
C
B
B
A
A
AB BC AC
O
OB OA OC
1.两种方法做出的结果一样吗?
向量加法
向量加法
向 量
任意给出两个向量a与b. 如何求a+ b.
加
法
的 定
a
b
义
三 角 形 法 则:
平行四边形法则:
C
C
b
B
A
a
尾首相连
起点指向终点为和
B
b
b
A
O
a
同一起点，
对角线为和
1.两种方法做出的结果一样吗?
向量加 法
四：向量加法的三角形法则
例1 已知向量 a , b,求作向量a + b
b 首 尾a
相连
接o
作法（1）在平面内任取一点O
(2)作 OA = a , AB = b