4-3混凝土弹塑性本构关系

f ( J 2 ) 3J 2 K 0
(
1 2
2
)2 (
3 2
2
)2 (
1 3
2
)2 k
常用屈服面-莫尔-库仑

当σ3=0，平面的二轴强 度包络线为一不规则六 边形。当假定拉压相等， ф=0时，则莫尔-库仑强 度相当于Tresca强度准 则。
f ( I 1 , J 2, ) J 2 Sin( / 3) I 1 sin / 3 c cos 0 J2 3 cos( / 3) sin
加卸载准则
强化材料


对于强化材料其加载面 是不断变化的，为区分 加载面和屈服面，加载 面用f表示，屈服面用必 表示。 加载时，塑性应变变化， H也随着变化，因此有 H=/0;而中性变载和卸载 这两种情况，不产生新 的塑性应变，H也就不 变化，因此有H=0。
强化材料
软化材料
流动法则
弹塑性矩阵的一般表达形式
d11 d12 0 0 0 d11 0 0 0 d 33 0 0
对称 d 33 0 d 33
4 E i （ 3 1 2） 9 i 2 E d12 i （ 3 1 2） 9 i d 33 i 3 i d11
混凝土弹塑性本构关系
石建光 厦门大学土木工程系
弹塑性本构关系

形变理论

弹塑性小变形理论--建立全量式的应力-应变关系 适用于比例加载 计算简单 塑性条件下应力和应变间的增量关系 需要按加载过程积分 适用于计算机分析

增量理论,又称流动理论



形变理论基本假定




平均应变（或体积应变） 是弹性的，与平均应力 成比例。 应力主方向和应变主方 向重合，应力偏量与应 变偏量相似，比例因子 随应力状态而变化。 应力强度是应变强度的 确定函数。单向拉伸曲 线. 卸载是弹性的
弹塑性矩阵的一般表达形式
硬化模量A

对于作功硬化， A = H'
弹塑性通用矩阵的编制
Tresca条件
Von Mises条件
Mohr-Coulomb条件
Drucker-Prager条件
WF Chen条件
塑性积分计算步骤

显式方法
wk.baidu.com
逐步积分， 不迭代收敛 迭代直至收敛

隐式方法

显式积分方法
f (, , ) 2COS 3 f t 0
常用屈服面- Tresca (1894年）


当受力物体（质点）中 的最大切应力达到某一 定值时，该物体就发生 屈服。 曲面特征 ：破坏面与静 水压力I1、ξ大小无关， 子午线是与ξ轴平行的平 行线，在偏平面上为一 正六边形。破坏面在空 间是与静水压力轴平行 的正六边形棱拄体。


Mohr-Coulomb 准则在偏平面内 存在6 个奇异点, 在子午面内其顶 点也是奇异点, 这对数值分析带来 较大的困难. 在奇异点附近收敛很 慢, 妨碍了Mohr -Coulomb 准则在 工程中的应用 修正莫尔库仑准则：子午面有多 种选取形式，如采用二次曲线( 如 双曲线、抛物线、椭圆) 逼近.
应力应变增量关系
本构关系的应用：二次开发


ABAQUS提供了用 FORTRAN语言编写的子程 序接口，供用户二次开发之 用。 以大型有限元软件ABAQUS 为平台，采用Fortran 语言编 制了UMAT本构程序【贾善 坡等：基于修正MohrCoulomb 准则的弹塑性本 构模型及其数值实施，岩土 力学 第31卷第7期 2010 年7 月】
强化条件和加卸载准则

强化条件与后继屈服面


荷载进入塑性后卸载再加 载，再次进入塑性状态的 点称为强化点 进入塑性，屈服面发生变 化，称为后继屈服面。不 但与应力，而且与塑性变 形和加载历史有关。
等向硬化

等向硬化规律假定屈服面的位置中心不变，形状不变， 其大小随硬化参数而变化。对硬化材料而言，屈服面 不断扩大，即屈服面在应力空间中均匀膨胀;对软化材 料，屈服面不断缩小。
f ( J 2, ) J 2 sin( / 3) k 0
f ( , ) Sin( / 3) 2k 0
常用屈服面-Von Mises(1913年）



在一定的变形条件下，当受 力物体内一点的应力偏张力 的第二不变量 J 2 ‘ 达到某一 定值时，该点就开始进入塑 性状态 物理意义：在一定的变形条 件下，当材料的单位体积形 状改变的弹性位能（又称弹 性形变能）达到某一常数时， 材料就屈服。 在偏平面上为圆形。因其强 度与ξ无关、拉压破坏强度相 等。
Nilson屈服条件

用椭球面来表示
水科院于丙子屈服条件
帽盖模型和双屈服面准则
屈服面准则
屈服面与后继屈服面


根据不同的可能应力路径所 进行的试验，可以定出从弹 性状态进入塑性状态的各个 屈服应力，在应力空间中将 这些屈服应力点连接起来就 形成了一个区分弹性和塑性 的分界面，即称为屈服面。 在继续加载条件下材料从一 种塑性状态到达另一种塑性 状态，将形成系列的后继屈 服面。
x
xy yz zx
i xy 3 i i yz 3 i i zx 3 i
D
ep
K B
v
T
Dep B dv
d11 d 12 d 12 0 0 0
常用屈服面- Zienkiewicz-Pande

Zienkiewicz-Pande屈服条件 【Zienkiewicz O C, Pande G N. Finite Elements in Geomechanics[M] . New York : McGraw -Hill, 1977. 177-190】
m
E m 1 2 I 其中， m 1 为平均应力； m v 为平均应变； 3 3
x m ( x m ) y m ( y m ) z m ( z m )
1 z xy xy 2 1 z yz yz 2 1 z zx zx 2
常用屈服面-等面积圆屈服准则


由于采用与外顶点重合的圆 锥面过于保守, 而采用与内顶 点重合(或采用内切圆) 的圆 锥面常偏于不安全，为此， 按在π平面上按圆面积与不 等边六边形面积相等的原则， 徐干成等提出了等面积圆屈 服准则 [徐干成, 郑颖人. 岩 石工程中屈服准则应用的研 究[J].岩土工程学报, 1990, 12(2): 93－99.] 如此得到的圆锥面的逼近效 果优于D - P 准则.

流动法则



硬化法则(或加载面)

屈服准则



在一定的变形条件（变形温度、变 形速度等）下，只有当各应力分量 之间符合一定关系时，质点才开始 进入塑性状态，这种关系称为屈服 准则，也称塑性条件。又称为屈服 函数 。 材料达到屈服状态，出现塑性变形 材料屈服后屈服极限随塑性应变增 大而增大，称为硬化 随塑性应变增大而减小称为软化 屈服极限保持不变，理想弹塑性
f (, ) 6 2k 0
常用屈服面- Drucker-Prager



为了计算方便，许多软件（如ANSYS、MARC、 PATRAN、NASTRAN等）采用Drucker-Prager 类屈服准则去近似Mohr-Coulomb 准则 但实际计算表明，按照Drucker-Prager 准则计算 与Mohr-Coulomb 理论计算结果存在较大误差。 为此，Zienkiewice-Pande 等人提出了二次型屈 服准则去逼近Mohr-Coulomb 屈服准则。
强化模型
一种新的随动不均匀强( 软) 化砼本构 模型-刘西拉（2002）


放弃了均匀强软化的传 统假说, 提出了一种完全 由试验数据标定模型的 新方法, 并建立了相应的 弹塑性随动强( 软) 化本 构模型. 加载面属于随动不均匀 强( 软) 化加载面.
流动法则



Drucker在1951年提出了关于稳定材料在弹塑性加卸 载的应力循环过程中塑性功非负的Drucker公设。 稳定材料的加载面是外凸的 在实际应用中Drucker公设对于稳定材料是适用的， 对于非稳定材料就要考虑依留辛公设或非关联的流动 法则。 依留辛提出了一个更一般的塑性公设：在弹塑性材料 的一个应变循环内，外部作用做功是非负的。如果功 是正的，表示有塑性变形，如果做功是零，只有弹性 变形发生。
增量理论的三个基本假定

屈服准则

应力满足什么条件时进入屈服状态 材料屈服后塑性变形增量的方向 塑性流动时应力应变之间的关系。分为正交流动法则(又称相 关流动法则) 和非正交流动法则(又称非相关流动法则)。 屈服函数与塑性势函数
到达屈服面后，屈服极限的后续变化:理想弹塑性,硬化,软化 分为均匀硬化、随动硬化、混合硬化等。假定塑性流动时屈服面大 小、位置和方向均发生改变为混合硬化。
i ( i )
弹塑性矩阵

形变理论的物理方程 弹塑性矩阵 单元刚度矩阵
2 i E ( x m ) m 3 i 1 2 2 E y i ( y m ) m 3 i 1 2 2 E z i ( z m ) m 3 i 1 2
流动法则


在塑性变形中，当应力状态 随着屈服面的发展，为确保 应力转态离开屈服面， Prager(1949) 给出弹塑性增 量理论的一致性条件。 加载或中性变载时，与应力 状态相应的点在屈服面上， 卸载时应力点推回到当前屈 服面的内侧。中性变载和卸 载时表现出不同的本构规律， 所以给出加卸载准则对建立 弹塑性增量本构理论具有重 要意义。
f ( , r , ) 2 sin 3 sin( / 3) sin cos( / 3) 6c cos 0
常用屈服面- Drucker-Prager

曲面为圆锥体，圆锥体 的大小可通过a、k两个 参数来调整。 f (I1 , J 2 ) J 2 I1 k 0
随动硬化

随动硬化规律认为在塑性变形过程中，屈服面的大小和 形状都不改变，仅发生位置的变化，即只是屈服面在应 力空间中作刚体平移，当某个方向的屈服应力升高时， 其相反方向的屈服应力应该降低。
混合硬化

混合硬化规律是由Hodge于1957年将随动硬化规律和 等向硬化规律结合起来导出来的。该规律认为，后继 屈服面可以由初始屈服面经过一个刚体平移和一个均 匀膨胀而得到，即认为后继屈服面的大小、形状和位 置一起随塑性变形的发展而变化。
f ( I1 , J 2 , ) 0
d d d
e p
常用屈服面-最大拉应力

曲面特征 ：若I1相同， 曲面在π平面上投影为 一正三角形。当取θ不变， 则曲面在子午面上为一 直线。曲面在空间的形 状为正三角锥面。
f ( I1 , J 2, ) 2 3 J 2 COS I1 3 f t 0
最大偏应力屈服准则，双剪屈服准则


1932年SchmidtR提出最 大偏应力屈服准则，与 后来我国学者俞茂宏提 出的双剪屈服准则相吻 合。 双剪应力屈服条件叙述 为:当两个较大的主剪应 力绝对值之和达到某极 限值时，材料开始屈服。
W F Chen屈服准则

屈服面分区为

压－压区,压－拉区, 拉－压区, 拉－拉区