4-3混凝土弹塑性本构关系

f ( , r , ) 2 sin 3 sin( / 3) sin cos( / 3) 6c cos 0
常用屈服面- Drucker-Prager

曲面为圆锥体，圆锥体 的大小可通过a、k两个 参数来调整。 f (I1 , J 2 ) J 2 I1 k 0
f (, ) 6 2k 0
常用屈服面- Drucker-Prager



为了计算方便，许多软件（如ANSYS、MARC、 PATRAN、NASTRAN等）采用Drucker-Prager 类屈服准则去近似Mohr-Coulomb 准则 但实际计算表明，按照Drucker-Prager 准则计算 与Mohr-Coulomb 理论计算结果存在较大误差。 为此，Zienkiewice-Pande 等人提出了二次型屈 服准则去逼近Mohr-Coulomb 屈服准则。
i ( i )
弹塑性矩阵

形变理论的物理方程 弹塑性矩阵 单元刚度矩阵
2 i E ( x m ) m 3 i 1 2 2 E y i ( y m ) m 3 i 1 2 2 E z i ( z m ) m 3 i 1 2
弹塑性矩阵的一般表达形式
硬化模量A

对于作功硬化， A = H'
弹塑性通用矩阵的编制
Tresca条件
Von Mises条件
Mohr-Coulomb条件
Drucker-Prager条件
WF Chen条件
塑性积分计算步骤

显式方法

逐步积分， 不迭代收敛 迭代直至收敛

隐式方法

显式积分方法
Nilson屈服条件

用椭球面来表示
水科院于丙子屈服条件
帽盖模型和双屈服面准则
屈服面准则
屈服面与后继屈服面


根据不同的可能应力路径所 进行的试验，可以定出从弹 性状态进入塑性状态的各个 屈服应力，在应力空间中将 这些屈服应力点连接起来就 形成了一个区分弹性和塑性 的分界面，即称为屈服面。 在继续加载条件下材料从一 种塑性状态到达另一种塑性 状态，将形成系列的后继屈 服面。
f ( J 2, ) J 2 sin( / 3) k 0
f ( , ) Sin( / 3) 2k 0
常用屈服面-Von Mises(1913年）



在一定的变形条件下，当受 力物体内一点的应力偏张力 的第二不变量 J 2 ‘ 达到某一 定值时，该点就开始进入塑 性状态 物理意义：在一定的变形条 件下，当材料的单位体积形 状改变的弹性位能（又称弹 性形变能）达到某一常数时， 材料就屈服。 在偏平面上为圆形。因其强 度与ξ无关、拉压破坏强度相 等。
随动硬，屈服面的大小和 形状都不改变，仅发生位置的变化，即只是屈服面在应 力空间中作刚体平移，当某个方向的屈服应力升高时， 其相反方向的屈服应力应该降低。
混合硬化

混合硬化规律是由Hodge于1957年将随动硬化规律和 等向硬化规律结合起来导出来的。该规律认为，后继 屈服面可以由初始屈服面经过一个刚体平移和一个均 匀膨胀而得到，即认为后继屈服面的大小、形状和位 置一起随塑性变形的发展而变化。
增量理论的三个基本假定

屈服准则

应力满足什么条件时进入屈服状态 材料屈服后塑性变形增量的方向 塑性流动时应力应变之间的关系。分为正交流动法则(又称相 关流动法则) 和非正交流动法则(又称非相关流动法则)。 屈服函数与塑性势函数
到达屈服面后，屈服极限的后续变化:理想弹塑性,硬化,软化 分为均匀硬化、随动硬化、混合硬化等。假定塑性流动时屈服面大 小、位置和方向均发生改变为混合硬化。
m
E m 1 2 I 其中， m 1 为平均应力； m v 为平均应变； 3 3
x m ( x m ) y m ( y m ) z m ( z m )
1 z xy xy 2 1 z yz yz 2 1 z zx zx 2
最大偏应力屈服准则，双剪屈服准则


1932年SchmidtR提出最 大偏应力屈服准则，与 后来我国学者俞茂宏提 出的双剪屈服准则相吻 合。 双剪应力屈服条件叙述 为:当两个较大的主剪应 力绝对值之和达到某极 限值时，材料开始屈服。
W F Chen屈服准则

屈服面分区为

压－压区,压－拉区, 拉－压区, 拉－拉区

流动法则



硬化法则(或加载面)

屈服准则



在一定的变形条件（变形温度、变 形速度等）下，只有当各应力分量 之间符合一定关系时，质点才开始 进入塑性状态，这种关系称为屈服 准则，也称塑性条件。又称为屈服 函数 。 材料达到屈服状态，出现塑性变形 材料屈服后屈服极限随塑性应变增 大而增大，称为硬化 随塑性应变增大而减小称为软化 屈服极限保持不变，理想弹塑性
d11 d12 0 0 0 d11 0 0 0 d 33 0 0
对称 d 33 0 d 33
4 E i （ 3 1 2） 9 i 2 E d12 i （ 3 1 2） 9 i d 33 i 3 i d11
混凝土弹塑性本构关系
石建光 厦门大学土木工程系
弹塑性本构关系

形变理论

弹塑性小变形理论--建立全量式的应力-应变关系 适用于比例加载 计算简单 塑性条件下应力和应变间的增量关系 需要按加载过程积分 适用于计算机分析

增量理论,又称流动理论



形变理论基本假定




平均应变（或体积应变） 是弹性的，与平均应力 成比例。 应力主方向和应变主方 向重合，应力偏量与应 变偏量相似，比例因子 随应力状态而变化。 应力强度是应变强度的 确定函数。单向拉伸曲 线. 卸载是弹性的
常用屈服面- Zienkiewicz-Pande

Zienkiewicz-Pande屈服条件 【Zienkiewicz O C, Pande G N. Finite Elements in Geomechanics[M] . New York : McGraw -Hill, 1977. 177-190】
应力应变增量关系
本构关系的应用：二次开发


ABAQUS提供了用 FORTRAN语言编写的子程 序接口，供用户二次开发之 用。 以大型有限元软件ABAQUS 为平台，采用Fortran 语言编 制了UMAT本构程序【贾善 坡等：基于修正MohrCoulomb 准则的弹塑性本 构模型及其数值实施，岩土 力学 第31卷第7期 2010 年7 月】
x
xy yz zx
i xy 3 i i yz 3 i i zx 3 i
D
ep
K B
v
T
Dep B dv
d11 d 12 d 12 0 0 0


Mohr-Coulomb 准则在偏平面内 存在6 个奇异点, 在子午面内其顶 点也是奇异点, 这对数值分析带来 较大的困难. 在奇异点附近收敛很 慢, 妨碍了Mohr -Coulomb 准则在 工程中的应用 修正莫尔库仑准则：子午面有多 种选取形式，如采用二次曲线( 如 双曲线、抛物线、椭圆) 逼近.
f ( I1 , J 2 , ) 0
d d d
e p
常用屈服面-最大拉应力

曲面特征 ：若I1相同， 曲面在π平面上投影为 一正三角形。当取θ不变， 则曲面在子午面上为一 直线。曲面在空间的形 状为正三角锥面。
f ( I1 , J 2, ) 2 3 J 2 COS I1 3 f t 0
流动法则


在塑性变形中，当应力状态 随着屈服面的发展，为确保 应力转态离开屈服面， Prager(1949) 给出弹塑性增 量理论的一致性条件。 加载或中性变载时，与应力 状态相应的点在屈服面上， 卸载时应力点推回到当前屈 服面的内侧。中性变载和卸 载时表现出不同的本构规律， 所以给出加卸载准则对建立 弹塑性增量本构理论具有重 要意义。
加卸载准则
强化材料


对于强化材料其加载面 是不断变化的，为区分 加载面和屈服面，加载 面用f表示，屈服面用必 表示。 加载时，塑性应变变化， H也随着变化，因此有 H=/0;而中性变载和卸载 这两种情况，不产生新 的塑性应变，H也就不 变化，因此有H=0。
强化材料
软化材料
流动法则
弹塑性矩阵的一般表达形式
强化模型
一种新的随动不均匀强( 软) 化砼本构 模型-刘西拉（2002）


放弃了均匀强软化的传 统假说, 提出了一种完全 由试验数据标定模型的 新方法, 并建立了相应的 弹塑性随动强( 软) 化本 构模型. 加载面属于随动不均匀 强( 软) 化加载面.
流动法则



Drucker在1951年提出了关于稳定材料在弹塑性加卸 载的应力循环过程中塑性功非负的Drucker公设。 稳定材料的加载面是外凸的 在实际应用中Drucker公设对于稳定材料是适用的， 对于非稳定材料就要考虑依留辛公设或非关联的流动 法则。 依留辛提出了一个更一般的塑性公设：在弹塑性材料 的一个应变循环内，外部作用做功是非负的。如果功 是正的，表示有塑性变形，如果做功是零，只有弹性 变形发生。
f ( J 2 ) 3J 2 K 0
(
1 2
2
)2 (
3 2