三角形“四心”的向量性质及其应用
三角形四心和向量
三角形的四心与平面向量总结三角形“四心”向量形式的充要条件应用1．O 是ABC ∆的重心⇔0OC OB OA =++;若O 是ABC ∆的重心，则ABC AOB AOC BOC S 31S S S ∆∆∆∆===故0OC OB OA =++;1()3PG PA PB PC =++⇔G 为ABC ∆的重心.2．O 是ABC ∆的垂心⇔OA OC OC OB OB OA ⋅=⋅=⋅;若O 是ABC ∆(非直角三角形)的垂心，则C tan B tan A tan S S S A OB A OC BOC ：：：：=∆∆∆ 故0OC C tan OB B tan OA A tan =++3．O 是ABC ∆的外心⇔|OC ||OB ||OA |==(或222O O O ==)若O 是ABC ∆的外心则C 2sin :B 2sin :A 2sin AOB sin AOC sin BOCsin S S S AOB AOC BOC =∠∠∠=∆∆∆：：：： 故0OC C 2sin OB B 2sin OA A 2sin =++4．O是内心ABC ∆的充要条件是|CB ||CA |(|BC ||BA |(AC|AB |(=⋅=⋅=⋅引进单位向量，使条件变得更简洁。
如果记,,的单位向量为321e ,e ,e ，则刚才O 是ABC ∆内心的充要条件可以写成0)e e (O )e e (O )e e (O 322131=+⋅=+⋅=+⋅ ，O是ABC ∆内心的充要条件也可以是0OC c OB b OA a =++ 。
若O 是ABC ∆的内心，则c b a S S S A OB A OC BOC ：：：：=∆∆∆故0OC C sin OB B sin OA A sin 0OC c OB b OA a =++=++或;||||||0AB PC BC PA CA PB P ++=⇔是ABC ∆的内心;向量()(0)||||AC AB AB AC λλ+≠所在直线过ABC ∆的内心(是BAC ∠的角平分线所在直线)(例1．O 是平面上的一定点，A,B,C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OA OP ++=λ，[)+∞∈,0λ则P 点的轨迹一定通过ABC ∆的（）（A ）外心（B ）内心（C ）重心（D ）垂心AB 的单位向量设AB 与AC 方向上的单位向量分别为21e e 和， 又=-，则原式可化为)(21e e +=λ，由菱形的基本性质知AP 平分BAC ∠，那么在ABC∆中，AP 平分BAC ∠，则知选B.(二)将平面向量与三角形垂心结合考查“垂心定理”例2． H 是△ABC 所在平面内任一点，⋅=⋅=⋅⇔点H 是△ABC 的垂心. 由AC HB AC HB HA HC HB HC HB HB HA ⊥⇔=⋅⇔=-⋅⇔⋅=⋅00)(, 同理⊥，⊥.故H 是△ABC 的垂心. （反之亦然（证略））例3.(湖南)P 是△ABC 所在平面上一点，若⋅=⋅=⋅，则P 是△ABC 的（D）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心解析:由0=⋅-⋅⋅=⋅PC PB PB PA PC PB PB PA 得.即0,0)(=⋅=-⋅CA PB PC PA PB 即 则AB PC BC PA CA PB ⊥⊥⊥,,同理 所以P 为ABC ∆的垂心. 故选D.(三)将平面向量与三角形重心结合考查“重心定理”例4． G 是△ABC 所在平面内一点，GC GB GA ++=0⇔点G 是△ABC 的重心.证明 作图如右，图中=+连结BE 和CE ，则CE=GB ，BE=GC ⇔BGCE 为平行四边形⇒D 是BC 的中点，AD 为BC 边上的中线.将=+代入++=0，得EG GA +=0⇒GD GE GA 2-=-=，故G 是△ABC 的重心.（反之亦然（证略）） 例5． P 是△ABC 所在平面内任一点.G 是△ABC 的重心⇔)(31PC PB PA PG ++=. 证明 +=+=+=⇒)()(3+++++= ∵G 是△ABC 的重心 ∴GC GB GA ++=0⇒CG BG AG ++=0，即PC PB PA PG ++=3 由此可得)(31PC PB PA PG ++=.（反之亦然（证略）） 例6 若O 为ABC ∆内一点，0OA OB OC ++= ，则O 是ABC ∆ 的（）A ．内心B ．外心C ．垂心D ．重心 解析：由0OA OB OC ++=得OB OC OA +=-，如图以OB 、OC 为相邻两边构作平行四边形，则OB OC OD +=，由平行四边形性质知12OEOD =，2OA OE =，同理可证其它两边上的这个性质，所以是重心，选D 。
三角形“四心”的向量表示及运用2
三角形“四心”的向量表示及运用示例平面向量有一非常优美的结论:已知O 为△ABC 内一点,则=0BOC AOC AOB S OA S OB S OC ∆∆∆⋅+⋅+⋅,称为平面向量的“奔驰定理”.本文给出平面向量“奔驰定理”的一种证明,并给出O 在△ABC 外的结论,在此基础上探讨三角形“四心”的向量表示及其运用示例.一、两个定理定理1:设O 是△ABC 内一点,且S △BOC : S △AOC :S △AOB ＝k 1:k 2:k 3,则k 1→OA ＋k 2→OB ＋k 3→OC ＝→0证:如图,设→OA ＝－→OA '.过A '作OC 的平行线交OB 于B ',过A '作OB 的平行线交OC 于C ',则→OA '＝→OB '＋→OC ' OB 'OB ＝ S △B 'OC S △BOC ＝ S △A 'OC S △BOC ＝ S △AOC S △BOC ＝ k 2k 1所以→OB '＝k 2k 1→OB ,同理→OC '＝k 3k 1→OC所以－→OA ＝k 2k 1→OB ＋k 3k 1→OC即k 1→OA ＋k 2→OB ＋k 3→OC ＝→0 □定理2:设O 是△ABC 外一点,不妨设点A 和点O 位于直线BC 的两侧,若S △BOC : S △AOC :S △AOB ＝k 1:k 2:k 3,则－k 1→OA ＋k 2→OB ＋k 3→OC ＝→证: 过A 作OC 的平行线交OB 于B ',过A 作OB 的平行线交OC 于C ',则→OA ＝→OB '＋→OC ' OB 'OB ＝ S △B 'OC S △BOC ＝ S △AOC S △BOC ＝ k 2k 1 所以→OB '＝k 2k 1→OB ,同理→OC '＝k 3k 1→OC所以→OA ＝k 2k 1→OB ＋k 3k 1→OC即－k 1→OA ＋k 2→OB ＋k 3→OC ＝→0 □ 特别:当点O 在△ABC 的某一边上,不妨设O 在BC 边上(不与B ,C 重合).则相当于k 1＝0,上面定理仍然成立.二、三角形的“四心”及其向量表示 1.三角形的重心(1)定义:三条边上的中线的交点 (2)设O 是△ABC 的重心,则①设D ,E ,F 分别是边BC ,AC ,AB 的中点,则AO :OD ＝BO :OE ＝CO :OF ＝2:1②→OA ＋→OB ＋→OC ＝→0 证:重心必在三角内.1:1:1::31=⇒===AOB AOC BOC ABC AOB AOC BOC S S S S S S S ∆∆∆∆∆∆∆结合定理1可得结论. □注:还有其他证明方法,此处不表.③点O 的坐标为(x A ＋x B ＋x C 3,y A ＋y B ＋y C3)④推论1: D ,E ,F 分别是边BC ,AC ,AB 的中点,则→AD ＋→BE ＋→CF ＝→0 推论2:P 是△ABC 所在平面内任意一点,则O 是△ABC 的重心⇔→PO ＝13(→P A ＋→PB ＋→PC )2.三角形的外心(1)定义:三角形外接圆的圆心,即三边中垂线的交点(2)O 是△ABC 的外心⇔|→OA |＝|→OB |＝|→OC |(或222OC OB OA ==)(3)O 是△ABC 的外心,则sin 2A ·→OA ＋sin 2B ·→OB ＋sin 2C ·→OC ＝→0 证:S △BOC : S △AOC :S △AOB ＝sin ∠BOC :sin ∠AOC :sin ∠AOB当O 在△ABC 内时, 有sin ∠BOC :sin ∠AOC :sin ∠AOB ＝sin 2A :sin 2B ;sin 2C ; 由定理1有sin 2A ·→OA ＋sin 2B ·→OB ＋sin 2C ·→OC ＝→0 当O 在△ABC 外(不妨设点A 和点O 位于直线BC 两侧)时,有sin ∠BOC :sin ∠AOC :sin ∠AOB ＝－sin 2A :sin 2B ;sin 2C ; 由定理2有－(－sin 2A )·→OA ＋sin 2B ·→OB ＋sin 2C ·→OC ＝→0, 即sin 2A ·→OA ＋sin 2B ·→OB ＋sin 2C ·→OC ＝→0 □3.三角形的内心(1)定义:三角形内切圆的圆心,即三个角的角平分线的交点 (2)设△ABC 的角A ,B ,C 所对边分别为a ,b ,c . 若O 是△ABC 的内心.则a →OA ＋b →OB ＋c →OC ＝→证:内心O 一定在△ABC 内部.设内切圆半径为r 则S △BOC : S △AOC :S △AOB ＝12ar :12br :12cr ＝a :b :c由定理1可得结论 □4.三角形的垂心(1)定义:三角形三条高线的交点(2)若O 是△ABC (非直角三角形)的垂心,则tanA ·→OA ＋tanB ·→OB ＋tanC ·→OC ＝→0 证:当△ABC 为锐角三角形,即O 在△ABC 内部时先证S △BOC : S △AOC :S △AOB ＝tanA :tanB :tanC因为∠BOD ＝∠AOE ,∠AOE ＋∠OAE ＝90° 所以∠BOD ＋∠OAE ＝90°, 同理∠COD ＋∠OAF ＝90°, 所以∠BOC ＋∠A ＝180° 所以sin ∠BOC ＝sinA同理sin ∠AOC ＝sinB ,sin ∠AOB ＝sinC .所以S △BOC S △AOC ＝12OB ·OCsin ∠BOC 12OA ·OCsin ∠AOC ＝OBsinA OAsinB ＝OBcosA ·tanAOA cosB ·tanB＝OBcos ∠BOF ·tanA OAcos ∠AOF ·tanB ＝OF ·tanA OF ·tanB ＝tanAtanB同理S △BOC S △AOB ＝tanAtanC所以S △BOC : S △AOC :S △AOB ＝tanA :tanB :tanC ,由定理1有tanA ·→OA ＋tanB ·→OB ＋tanC ·→OC ＝→当△ABC 为钝角三角形,即O 在△ABC 外部时.结合定理2可得结论. □三、例题1.O 是平面上的一定点,A ,B ,C 是平面上不共线的三个点,动点P 满足 →OP ＝→OA ＋λ(→AB |→AB |＋→AC |→AC |),λ∈[0,＋∞),则P 点的轨迹一定通过ABC ∆的( )A . 重心B . 垂心C . 外心D . 内心 已知O 是△ABC 所在平面上的一点, 若cb a PCc PB b PA a PO ++++= (其中P 是△ABC 所在平面内任意一点),则O 点是△ABC 的( )A . 外心B . 内心C . 重心D . 垂心2.O 是△ABC 所在平面内的一点,且OA ·(→AB |→AB |－→AC |→AC |)＝OB ·(→BA |→BA |－→BC |→BC |)＝OC ·(→CA |→CA |－→CB |→CB |)＝→0 则O 是△ABC 的( )A . 重心B . 垂心C . 外心D . 内心3.若动点P 满足)|||(|AC AB AB AC AP ⋅+⋅=λ,R λ∈,则P 点的轨迹一定通过ABC ∆的（ ）A . 重心B . 内心C . 垂心D . 外心4.O 是△ABC 所在平面内的一点,且→OA ·→OB ＝→OB ·→OC ＝→OC ·→OA ,则O 是△ABC 的( ) A . 重心 B . 垂心 C . 外心 D . 内心5.已知O 是平面上的一定点,A 、B 、C 是平面上不共线的三个点,动点P 满足),0[sin ||sin ||(+∞∈+=λλCAC AC BAB AB OA OP ,则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的( )A . 重心B . 垂心C . 外心D . 内心6.已知O 是平面上的一定点,A 、B 、C 是平面上不共线的三个点,动点P 满足),0[cos ||cos ||(2+∞∈+++=λλCAC ACB AB AB OC OB OP ,则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的( )A . 重心B . 垂心C . 外心D . 内心7.已知O 是平面上的一定点,A 、B 、C 是平面上不共线的三个点,动点P 满足()||cos ||cos AB ACOP OA AB B AC Cλ=++,[0,)λ∈+∞, 则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的( )A . 重心B . 垂心C . 外心D . 内心8.设G 为△ABC 的重心,0||32||2||3=++GC AB GB CA GA BC ,则ACBC BCAB ⋅的值为9.H 是斜三角形ABC 的垂心,A =45°,BACC AB AH tan tan +=λ,λ=________10.若△ABC 外接圆的圆心为O ,半径为4,022=++AC AB OA ,则CA 在CB 方向上 的投影为( )22.7.15.4.D C B A11.在△ABC 中,D 为三角形所在平面内的一点,且AC AB AD 2131+=;则 =ACDBCD S S △△（ ）32.21.31.61.D C B A12.P 是△ABC 所在平面上一点,满足AB PC PB PA 2=++.若S △ABC =6,则 △P AB 的面积等于（ ）A .4B .3C .2D .113.△ABC 内一点O 满足032=++OC OB OA ,直线AO 交BC 于点D ,则（ ） 05.05.023.032.=+=-=+=+OD OA D OD OA C DC DB B DC DB A14.△ABC 内接于以O 为圆心,半径为1的圆,且0543=++OC OB OA ,则 △ABC 的面积为（ ）23.56.65.1.D C B A15.在△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知2acosB =2c ﹣b ,若O 是 △ABC 外接圆的圆心,且AO m AC BCAB C B =⋅+⋅sin cos sin cos ,则m =。
三角形“四心”向量形式的充要条件应用知识总结
三角形“四心”向量形式的充要条件应用1．O 是ABC ∆的重心0OC OB OA=++;若O 是ABC ∆的重心，则ABC AOB AOC BOC S 31S S S ∆∆∆∆===故=++;1()3PG PA PB PC =++u u u r u u u r u u u r u u u r ⇔G 为ABC ∆的重心.2．O 是ABC ∆的垂心OA OC OC OB OBOA ⋅=⋅=⋅;若O 是ABC ∆(非直角三角形)的垂心，则C tan B tan A tan S S S AOB AOC BOC ：：：：=∆∆∆故C tan B tan A tan=++3．O 是ABC ∆的外心||||||==(或222OC OB OA ==)若O 是ABC ∆的外心则C 2sin :B 2sin :A 2sin AOB sin AOC sin BOC sin S S S AOB AOC BOC =∠∠∠=∆∆∆：：：：故0OC C 2sin OB B 2sin OAA 2sin =++4．O是内心ABC ∆的充要条件是|CB ||CA |(|BC ||BA |(AC|AB |(=⋅=⋅=⋅引进单位向量，使条件变得更简洁。
如果记CA ,BC ,AB 的单位向量为321e ,e ,e ，则刚才O 是ABC ∆内心的充要条件可以写成 0)e e ()e e ()e e (322131=+⋅=+⋅=+⋅ ，O 是ABC ∆内心的充要条件也可以是0OC c OB b OAa =++ 。
若O 是ABC ∆的内心，则cb a S S S AOB AOC BOC ：：：：=∆∆∆故0OC C sin OB B sin OA A sin 0OC c OB b OA a =++=++或;||||||0AB PC BC PA CA PB P ++=⇔u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r r是ABC ∆的内心;向量()(0)||||AC AB AB AC λλ+≠u u u r u u u ru u ur u u u r 所在直线过ABC ∆的内心(是BAC ∠的角平分线所在直线)；(一)将平面向量与三角形内心结合考查例1．O 是平面上的一定点，A,B,C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足++=λ，[)+∞∈,0λ则P 点的轨迹一定通过ABC ∆的（）（A ）外心（B ）内心（C ）重心（D ）垂心是向量AB u u u r 的单位向量设AB u u u r 与AC u u ur 方向上的单位向量分别为21e e 和， 又AP OA OP =-，则原式可化为)(21e e +=λ，由菱形的基本性质知AP 平分BAC ∠，那么在ABC∆中，AP 平分BAC ∠，则知选B.(二)将平面向量与三角形垂心结合考查“垂心定理”例2． H 是△ABC 所在平面内任一点，HA HC HC HB HB HA ⋅=⋅=⋅⇔点H 是△ABC 的垂心. 由AC HB AC HB HA HC HB HC HB HB HA ⊥⇔=⋅⇔=-⋅⇔⋅=⋅00)(, 同理AB HC ⊥，BC HA ⊥.故H 是△ABC 的垂心. （反之亦然（证略）） 例3.(湖南)P 是△ABC 所在平面上一点，若PA PC PC PB PBPA ⋅=⋅=⋅，则P 是△ABC 的（D）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心解析:由0=⋅-⋅⋅=⋅PC PB PB PA PC PB PB PA 得.即0,0)(=⋅=-⋅CA PB PC PA PB 即则AB PC BC PA CA PB⊥⊥⊥,,同理 所以P 为ABC ∆的垂心. 故选D.(三)将平面向量与三角形重心结合考查“重心定理”例4． G 是△ABC 所在平面内一点，GC GB GA ++=0⇔点G 是△ABC 的重心. 证明 作图如右，图中GE GC GB =+连结BE 和CE ，则CE=GB ，BE=GC ⇔BGCE 为平行四边形⇒D 是BC 的中点，AD 为BC 边上的中线. 将GE GC GB =+代入GC GB GA ++=0，得EG GA +=0⇒GD GE GA 2-=-=，故G 是△ABC 的重心.（反之亦然（证略）） 例5． P 是△ABC 所在平面内任一点.G 是△ABC 的重心⇔)(31PC PB PA PG ++=. 证明 CG PC BG PB AG PA PG +=+=+=⇒)()(3PC PB PA CG BG AG PG +++++= ∵G 是△ABC 的重心 ∴GC GB GA ++=0⇒CG BG AG ++=0，即PC PB PA PG ++=3 由此可得)(31PC PB PA PG ++=.（反之亦然（证略）） 例6 若O 为ABC ∆内一点，0OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r，则O 是ABC ∆ 的（ ）A ．内心B ．外心C ．垂心D ．重心解析：由0OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r 得OB OC OA +=-u u u r u u u r u u u r ，如图以OB 、OC 为相邻两边构作平行四边形，则OB OC OD +=u u u r u u u r u u u r，由平行四边形性质知12OE OD =u u u r u u u r，2OA OE=，同理可证其它两边上的这个性质，所以是重心，选D 。
三角形四心向量结论
三角形四心向量结论
三角形四心向量结论：
1、三角形有四个中心：重心，质心，内心，中心。
2、重心：三角形的重心是三角形两条边的交点，即三边的重心线的交点，是三边的平分线的交点，也就是三条边的中点。
3、质心：三角形的质心是三角形的三条边的重心，也就是三边的向量矢量的重心，以及三角形的面积重心。
4、内心：内心是三角形三个内角的公共点，是三角形的垂心，也叫外心，但是它不是三角形三边的重心。
5、中心：中心是三角形三个顶点的共同中点，它在三边上，也就是三条边的向量矢量中点。
它是三边中等分线的交点，也是三角形三条边的垂心。
三角形各种心的向量性质
1、三角形重心的向量性质：0=++OC OB OA ．2、三角形外心的向量性质：||||||OC OB OA ==．3、三角形垂心的向量性质：OA OC OC OB OB OA ⋅=⋅=⋅．4、三角形内心的向量性质：0=++OC c OB b OA a ． 证明：内心是内角分线的交点，c AB ，b AC 是AB ，AC 方向上的单位向量， 所以+c AB bAC 平分BAC ∠， 又AO 平分BAC ∠，所以AO 与+c AB bAC 共线， 由共线定理知AO +=c AB (λ)bAC ， 所以AB AO ⋅+=c AB (λAB bAC ⋅)， 所以)(2b AB AC c AB AB AO ⋅+=⋅λ， )cos 1(cos cos 22A c A c c bA bc c c b AB AC c AB +=+=+=⋅+， 由于AO 在AB 方向上的投影是AF ，所以2tan 2tan ||||||A rc c A OF AB AF AB AO =⋅==⋅， 所以)cos 1(2tan A c A rc +=λ，所以)cos 1(2tan A A r +=λ， 而A A A A A AA A sin 2cos 2sin 22cos 22cos 2sin )cos 1(2tan 2==⋅=+， 所以Ar sin =λ， 根据r c b a A bc S ⋅++==∆2sin 21，知道cb a bc A r ++=sin ， c b a F ED O C B A所以cb a bc ++=λ， 将之代入AO +=c AB (λ)b AC ，并整理得：AC c AB b AO c b a +=++)(， 由于OA OB AB -=，OA OC AC -=， 所以)()()(OA OC c OA OB b AO c b a -+-=++， 进一步整理即可得证．。
三角形外心内心重心垂心与向量性质
三 角 形 的“四 心”所谓三角形的“四心”是指三角形的重心、垂心、外心及内心。
当三角形是正三角形时，四心重合为一点，统称为三角形的中心。
一、三角形的外心定 义：三角形三条中垂线的交点叫外心，即外接圆圆心。
ABC ∆的重心一般用字母O 表示。
性 质：1.外心到三顶点等距，即OC OB OA ==。
2.外心与三角形边的中点的连线垂直于三角形的这一边，即AB OF AC OE BC OD ⊥⊥⊥,,.3.向量性质：若点O 为ABC ∆所在的平面内一点，满足AC OA OC CB OC OB BA OB OA ⋅+=⋅+=⋅+)()()(，则点O 为ABC ∆的外心。
二、三角形的内心定 义：三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心，即内切圆圆心。
ABC ∆的内心一般用字母I 表示，它具有如下性质：性 质：1.内心到三角形三边等距，且顶点与内心的连线平分顶角。
2.三角形的面积＝⨯21三角形的周长⨯内切圆的半径． 3.向量性质：设()+∞∈,0λ，则向量||||(AC AB AP =λ，则动点P 的轨迹过ABC ∆的内心。
三、三角形的垂心定 义：三角形三条高的交点叫重心。
ABC ∆的重心一般用字母H 表示。
性 质：1.顶点与垂心连线必垂直对边，即AB CH AC BH BC AH ⊥⊥⊥,,。
2.向量性质：结论1：若点O 为ABC ∆所在的平面内一点，满足OA OC OC OB OB OA ⋅=⋅=⋅，则点O 为ABC ∆的垂心。
结论2：若点O 为△ABC 所在的平面内一点，满足222222AB OC CA OB BC OA +=+=+， 则点O 为ABC ∆的垂心。
四、三角形的“重心”：定 义：三角形三条中线的交点叫重心。
ABC ∆的重心一般用字母G 表示。
性 质：1.顶点与重心G 的连线必平分对边。
2.重心定理：三角形重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的2倍。
即GF GC GE GB GD GA 2,2,2===3.重心的坐标是三顶点坐标的平均值． 即3,3C B AG C B A G y y y y x x x x ++=++=. 4.向量性质：（1）0=++GC GB GA ；（2）)(31PC PB PA PG ++=。
三角形四心的向量性质及应用（详细答案版）
三角形“四心”的向量性质及其应用三角形“四心”的概念介绍(1)重心—三条中线的交点：重心将中线长度分成2：1；(2)外心—三边中垂线的交点(外接圆的圆心)：外心到三角形各顶点的距离相等；(3)垂心—三条高线的交点：高线与对应边垂直；(4)内心—三条内角平分线的交点(内切圆的圆心)：角平分线上的任意点到角两边的距离相等．工具：O 为ABC △内一点，则有：0+⋅+⋅∆∆∆OC S OB S OA S O O CA O BC 证明：作：OA S OA OCB ⋅=∆'，OB S OB OCA ⋅=∆'，S OC OAB =∆'不难得知：AOB COA BOC OC B S S OC OC OB OB S S ∆∆∆∆⋅=⋅=''''即BO C AO B CO A O C B S S S S ∆∆∆∆⋅⋅=''；同理==∆∆''''O B A O A C S S ''O C B BO C AO B CO A S S S S ∆∆∆∆=⋅⋅ 从而：O 为'''C B A ∆的重心，则+'OA +'OB 0'=OC ， 得：0=⋅+⋅+⋅∆∆∆OC S OB S OA S O AB O CA O BC .一、三角形的重心的向量表示及应用知识：G 是ABC △的重心⇔)(31AC AB AG +=⇔0=++GC GB GA ⇔)(31OC OB OA OG ++= (O 为该平面上任意一点)变式：已知D E F ，，分别为ABC △的边BC AC AB ，，的中点．则0=++CF BE AD ． 二、三角形的外心的向量表示及应用知识：O 是ABC △的外心⇔222||||||OC OB OA OC OB OA ==⇔== 02sin 2sin 2sin =⋅+⋅+⋅⇔OC C OB B OA A略证：C B A S S S O AB O CA O BC 2sin :2sin :2sin ::=∆∆∆，得：02sin 2sin 2sin =⋅+⋅+⋅OC C OB B OA A ;常用结论：O 是ABC △的外心⇒.2|| ;2||22AC AO AC AB AO AB =⋅=⋅ 三、三角形的垂心的向量表示及应用知识：H 是ABC △的垂心⇔HA HC HC HB HB HA ⋅=⋅=⋅⇔222222||||||||||||AB HC CA HB BC HA +=+=+0tan tan tan =⋅+⋅+⋅⇔HC C HB B HA A略证：C B A S S S H AB H CA H BC tan :tan :tan ::=∆∆∆，得：0tan tan tan =⋅+⋅+⋅HC C HB B HA A ； 扩展：若O 是ABC △的外心，点H 满足：OC OB OA OH ++=，则H 是ABC △的垂心． 证明：如图：BE 为直径，H 为垂心，O 为外心，D 为BC 中点；'有：为平行四边形AHCE EA CH AB EA AB CH EC AH BC EC BC AH ⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⇒⎭⎬⎫⊥⊥⇒⎭⎬⎫⊥⊥////进而得到：,//EC AH 且EC AH =，即：EC AH =； 又易知：OC OB OD EC +==2；故：OA OH OC OB AH -=+=，即：OC OB OA OH ++=又：OG OC OB OA ⋅=++3（G 为重心），故：OG OH ⋅=3；故：得到欧拉线：ABC △的外心O ，重心G ，垂心H 三点共线(欧拉线)，且GH OG 21=．证毕． 四、三角形的内心的向量表示及应用知识：I 是ABC △的内心⇔⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=⎭⎫⎝⎛-⋅=⎭⎫⎝⎛-⋅=⎭⎫⎝⎛-⋅0||||0||||0||||CB CB CA CA CI BC BC BA BA BI AC AC AB AB AI ⇔⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=⎭⎫⎝⎛+⋅=⎭⎫⎝⎛+⋅=⎭⎫⎝⎛+⋅0||||0||||0||||CA CA BC BC CI BA BA CB CB BI AC AC BA BA AI 0=⋅+⋅+⋅⇔IC c IB b IA a c b a OCc OB b OA a OI ++⋅+⋅+⋅=⇔cb a ACc AB b AI ++⋅+⋅=⇔ 0sin sin sin =⋅+⋅+⋅⇔IC C IB B IA A 注：式子中|||,||,|AB c CA b BC a ===，O 为任一点．略证：C B A c b a S S S IAB ICA IBC sin :sin :sin ::::==∆∆∆，得之． 五．欧拉线：ABC △的外心O ，重心G ，垂心H 三点共线(欧拉线)，且GH OG 21=．（前已证） 测试题一．选择题1．O 是ABC ∆所在平面上一定点，动点P 满足)(AC AB OA OP ++=λ，[)+∞∈,0λ ，则点P 的轨迹一定通过ABC ∆的( )A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心 解析：点P 的轨迹为BC 边的中线（射线），选C2．(03全国理4)O 是ABC ∆所在平面上一定点，动点P 满足AC AB OA OP ++=λ，[)+∞∈,0λ ，则点P 的轨迹一定通过ABC ∆的( )A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心 解析：AC AB OA OP ++=λ⇔AC AB AP +=λAC AB +必平分BAC ∠，理由如下：ADACABACACABAB=+==1111,1==，故四边形11DCAB为菱形，对角线AD平分一组对角，ADACAB=+必定平分11ACB∠，即BAC∠，从而ACABAP+=λ也平分BAC∠.故知点P的轨迹为A∠的内角平分线（射线），选 B3．O是ABC∆所在平面上一定点，动点P满足ACABOAOP++=λ，R∈λ，则点P的轨迹一定通过ABC∆的( )A．外心B．内心C．重心D．垂心解析：ACABOAOP++=λ⇔ACABAP+=λ由BCACBCABBCACBCABBCAP+=+=⋅λλ得：0|)|||(=+-=⋅BCBCBCAPλ，得BCAP⊥点P的轨迹为BC边的高线所在直线. 选D4．O是ABC∆所在平面上一定点，动点P满足ACABOAOP+=λ，[)+∞∈,0λ，则点P的轨迹一定通过ABC∆的( )A．外心B．内心C．重心D．垂心解析：由于CACCbBcBAB sin||sinsinsin||=⋅=⋅=，知点P的轨迹为BC边的中线（射线）,选C5．O是ABC∆所在平面上一定点，动点P满足2cos cosOB OC AB ACOPAB B AC Cλ⎛⎫+ ⎪=++⎪⎝⎭，R∈λ，则点P的轨迹一定通过ABC△的( )．A．外心B．内心C．重心D．垂心解析：0||||=+-=+=⋅+BCBCBCACBCABBCACAB知点P的轨迹为BC边的中垂线, 选A6．O是ABC∆所在平面上一定点，动点P满足])21()1()1[(31OCOBOAOPλλλ++-+-=，*R∈λ，则点P的轨迹一定通过ABC△的( )．A．内心B．垂心C．重心D．AB边的中点解析：])21()1()1[(31OCOBOAOPλλλ++-+-=OCOD3)21(3)22(λλ++-=（D为AB边的中点）知CDP,,三点共线（因1321322=++-λλ），故知点P 的轨迹为AB 边的中线所在直线，但是0≠λ，故除去重心. 选D 7．已知O 是ABC ∆的重心，动点P 满足)22121(31OC OB OA OP ++=,则点P 一定为ABC △的( ) A ．AB 边中线的中点 B ．AB 边中线的三等分点(非重心)C ．重心D ．AB 边的中点解析：)22121(31OC OB OA OP ++=OC OD 3231+=（D 为AB 边的中点） 进而有：PC DP 2=，故为AB 边中线的三等分点(非重心), 选B8．在ABC △中，动点P 满足：CP AB CB CA ⋅-=222，则P 点轨迹一定通过△ABC 的( )Ａ．外心 Ｂ．内心 C ．重心 D ．垂心解析：CP AB CB CA ⋅-=222⇔02))((222=⋅-+-=⋅--CP AB CA CB CA CB CP AB CA CB 进而有：02=⋅PD AB （D 为AB 边的中点），故知点P 的轨迹为AB 边的中垂线, 选A9．已知ABC ∆三个顶点C B A 、、及平面内一点P ，满足0=++PC PB PA ，若实数λ满足：AP AC AB λ=+，则λ的值为( )A ．2B ．23C ．3D ．6 解析：P 为重心，得)(31AC AB AP +=，故AP AC AB ⋅=+3,选C10．设点P 是ABC ∆内一点，用ABC S ∆表示ABC ∆的面积，令ABC PBC S S ∆∆=1λ，ABCPCA S S∆∆=2λ，ABC PAB S S ∆∆=3λ．定义),,()(321λλλ=P f ，若)61,31,21()(),31,31,31()(==Q f G f 则( )A ．点Q 在ABG ∆内B ．点Q 在BCG ∆内C ．点Q 在CAG ∆内D ．以上皆不对 解析：G 为重心，画图得知, 选A11．若ABC ∆的外接圆的圆心为O ，半径为1，0=++OC OB OA ，则=⋅OB OA ( )A ．21 B ．0 C ．1 D ．21- 解析：由OC OB OA -=+，平方得知, 选D12．O 是平面上一定点，C B A 、、是平面上不共线的三个点，若222OB BC OA =+222AB OC CA +=+，则O 是ABC ∆的( )A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心 解析：由2222CA OB BC OA +=+⇔2222BC CA OB OA -=-BA BC CA OB OA BA BC CA BC CA OB OA OB OA ⋅-=+⋅⇔+-=+-⇔)()())(())(( 0)2()(=⋅=-++⋅⇔OC BA CA BC OB OA BA ，得AB OC ⊥；同理得：AC OB ⊥,BC OA ⊥，故为垂心, 选D 13．(06陕西)已知非零向量AB 与AC 满足0||||=⋅⎭⎫⎝⎛+BC AC AC AB AB 21||||=AC AC AB AB , 则ABC ∆为( ) A ．三边均不相等的三角形 B ．直角三角形 C ．等腰非等边三角形 D ．等边三角形解析：21||||=AC AC AB AB 0||||=⋅⎭⎫⎝⎛+BC AC AC AB AB ：表明A ∠的内平分线也垂直于BC （三线合一）， 知ABC ∆等腰；21||||=AC AC AB AB ：得到︒=∠60A ；两者结合得到ABC ∆为等边三角形. 选D 14．已知ABC ∆三个顶点C B A 、、，若CA BC CB AB AC AB AB ⋅+⋅+⋅=2，则ABC ∆为( )A ．等腰三角形B ．等腰直角三角形C ．直角三角形D ．既非等腰又非直角三角形 解析：CA BC CB AB AC AB AB ⋅+⋅+⋅=2CA BC AB CA BC CB AC AB ⋅+=⋅++⋅=2)( 得到：0=⋅CA BC ，得：︒=∠90C ,选C 二．填空题15．ABC ∆的外接圆的圆心为O ，两条边上的高的交点为H ，)(OC OB OA m OH ++=，则实数m = 1 ． 解析：直接用结论16．ABC ∆中，7,3,1===BC AC AB ，O 为重心，则=⋅AC AO27． 解析：)9(31)(31)(312+⋅=+⋅=+=⋅AC AB AC AC AB AC AC AB AC AO 利用：CB AC AB =-，两边平方得.23=⋅AC AB 故27)923(31=+=⋅AC AO17．点O 在ABC ∆内部且满足032=++OC OB OA ，则:ABC S ∆=∆AOC S 3 ．解析：法1：利用工具结论易知：AOB COA BOC S S S ∆∆∆=::3:2:1，得:ABC S ∆=∆AOC S 32:6= 法2：0422232=+=+++=++OD OE OC OB OC OA OC OB OA （E 为AC 的中点，D 为BC 的中点）易得：D O E ,,三点共线，且OD EO 2=，从而得到：ABC ADC AOC S S S ∆∆∆==3132. 法3：作：OA OA ='，OB OB 2'=，OC OC 3'=则+'OA +'OB 0'=OC ，则O 为'''C B A ∆的重心，则：''''''O B A O A C O C B S S S ∆∆∆==.设为S又⎪⎩⎪⎨⎧======∆∆∆∆∆∆SS SS S S S S S AOB OB A COA OA C BOC OC B 236'''''' 从而得：331:13:)236(:==++=∆∆S S S S S S COA ABC ． 18．点O 在ABC ∆内部且满足AC AB AO 5152+=，则:ABC S ∆=∆AOB S 5 ． 解析：法1：AC AB AO 5152+=，用O 拆开得：022=+⋅+⋅OC OB OA ， 'A 'B 'C O)(A BC利用工具结论易知：AO B CO A BO C S S S ∆∆∆=::1:2:2，则:ABC S ∆51:5==∆AO B S 法2：AC AD AC AB AO 51545152+=+=，（D 为AB 边的中点），得到：C O D ,,共线，且OD CO 4=， 则:ABC S ∆5:==∆OD CD S AO B . 法3：同上题中法3，此处略.19．已知ABC ∆中，6,5===BC AC AB ，I 为ABC ∆的内心，且BC AB AI μλ+=，则=+μλ1615. 解析：法1：由BC AB BC AB AB AC AB c b a AC c AB b AI ⋅+⋅=+⋅+⋅=++⋅+⋅=++⋅+⋅=165161016)(5555655法2：如图，线长易知，角平分线分线段成比例，得：3:5:=ID AI ， 故)21(8585BC AB AD AI ⋅+⋅=⋅=AB +⋅=1658520．已知ABC ∆中，1,1,2-=⋅==AC AB AC AB ，O 为ABC ∆的外心，且BC y AB x AO +=，则=+y x 27． 解析：法1：由BC y AB x AO +=AC y AB y x +-=)(，由AC AB y AB y x ABBC y AB y x AB AO AB ⋅+-=⇒+-⋅=⋅22)(2))((，得：y y x --=)(42；同理22)(2))((AC y AC AB y x ACBC y AB y x AC AO AC +⋅-=⇒+-⋅=⋅，得：y y x +--=)(21；易得：34,613==y x ，得27=+y x . 法2：以},{AC AB 为基底，表示：CO BO AO ,,，利用222CO BO AO ==，得之BC y AB x AO +=AC y AB y x +-=)(，y y x y y x AO )(2)(4222--+-=； AC y AB y x AB AO BO +--=-=)1(，y y x y y x BO )1(2)1(4222---+--=； AC y AB y x AC AO CO )1()(-+-=-=，)1)((2)1()(4222----+-=y y x y y x CO ；由22BO AO =0254=--⇒⇒y x 移项做差； 由22CO AO =0142=+-⇒⇒y x 移项做差； 联立方程解得：34,613==y x ，得27=+y x .BCA MNG21．已知O 为锐角ABC ∆的外心，︒=∠30A ，若AO m B C AC C B AB 2sin cos sin cos =⋅+⋅，则=m 21． 解析：由AO m AB B CAC C B AB AB 2)sin cos sin cos (⋅=⋅+⋅⋅ 得：22||sin cos cos ||||sin cos ||AB m B CA AC ABC B AB =⋅⋅⋅+⋅得：C m C A B mc BCA b c CB c sin cos cos cos sin cos cos sin cos 22⋅=+⇒=⋅⋅⋅+⋅得到：C A C A C A C A B C m sin sin cos cos )cos(cos cos cos sin =++-=+=⋅ 得：.2130sin sin =︒==A m 22．在ABC∆中，1,==⊥AD BC AB AD ，则⋅AD AC解析：.33)(2===⋅=⋅+=⋅AD AD AD BC AD BC AB AD AC 三．解答题23． 如图，已知点G 是ABC ∆的重心，过G 作直线与AC AB ,两边分别交于N M ,两点，且AM xAB = ，AN yAC = ，求证：113x y+=．解：由N G M ,,三点共线， 得：AN t AM t AG ⋅+⋅-=)1(AC ty AB x t ⋅+⋅-=)1(--------①又G 是ABC ∆的重心得：AC AB AG ⋅+⋅=3131 ---------② 由①②得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-3131)1(ty x t ，消去t 得：113x y +=.24．设O 在ABC ∆的内部，若有正实数321,,λλλ满足：0321=⋅+⋅+⋅OC OB OA λλλ， 求证：AO B CO A BO C S S S ∆∆∆=::::321λλλ．证明：作：OA OA ⋅=1'λ，OB OB ⋅=2'λ，OC OC ⋅=3'λ 则+'OA +'OB 0'=OC ，则O 为'''C B A ∆的重心，则：''''''O B A O A C O C B S S S ∆∆∆==.设为S又⎪⎩⎪⎨⎧=⋅==⋅==⋅=∆∆∆∆∆∆SS SS S S S S S AOB OB A COA OA C BOC OC B 2!''13''32''λλλλλλ 从而得：AOB COA BOC S S S SSS∆∆∆==::::::211332321λλλλλλλλλ25．已知向量1OP ，2OP ，3OP 满足条件1OP +2OP +3OP =0，|1OP |=|2OP |=|3OP |=1，求证：321P P P ∆为正三角形． 证明：由1OP +2OP +3OP =0⇒1OP +2OP =3OP -平方得：1212112121-=⋅⇒=⋅++OP OP OP OP'A 'B 'C OABC从而得：3||21====P P同理可得：3||||1332==P P P P ，即321P P P ∆为正三角形． 26．在ABC ∆中，︒===60,5,2A AC AB ，求从顶点B A ,出发的两条中线BE AD ,的夹角的余弦值．解：设b AB a AC ==,，则,560cos 25,4,2522=︒⨯⨯=⋅==b a b a且b a BE b a AD -=+=21),(21； 则,3)8525(41)2(41)21()(2122=--=-⋅-=-⋅+=⋅b b a a b a b a BE AD2394102521|)(|21||=++==+=b a AD22116202521|)2(|21||=+-==-=b a BE 故：.919149142212393||||,cos ==⋅=>=<BE AD BEAD BE AD27．已知H 是ABC △的垂心，且||||BC AH =，试求∠A 的度数．解：设ABC △的外接圆半径为R ，点O 是ABC △的外心。
向量中三角形四心的结论和推导
向量中三角形四心的结论和推导一、引言在平面几何中，一个三角形有四个特殊的点，它们分别是三角形的重心、外心、内心和垂心。
这些点被称为三角形的四心。
在向量中，我们也可以推导出三角形的四心的坐标。
二、定义1. 向量向量是一个有大小和方向的量，通常用箭头表示。
在平面直角坐标系中，一个向量可以表示为(x, y)，其中x和y分别是向量在x轴和y轴上的投影长度。
2. 三角形三角形是由三条线段连接而成的图形。
它有三个顶点和三条边。
3. 重心重心是连接三角形每个顶点与对边中点所得线段交于一点的点。
4. 外心外接圆是通过三角形每个顶点并且垂直于对边所得圆。
外接圆圆心就是外心。
5. 内心内切圆是切于三角形每一条边并且内部没有其他点在其内部所得圆。
内切圆圆心就是内心。
6. 垂心垂足分别位于每条高线上，高线即从某个顶点垂直于对边所得线段。
7. 四边形四边形是由四条线段连接而成的图形。
它有四个顶点和四条边。
8. 向量的运算向量的加法：向量相加就是将它们的坐标对应位相加。
向量的减法：向量相减就是将它们的坐标对应位相减。
向量的数量积：两个向量之间的数量积等于这两个向量模长之积与这两个向量夹角余弦值之积。
三、结论1. 重心三角形ABC三个顶点坐标分别为A(x1, y1), B(x2, y2), C(x3, y3)。
则重心G坐标为：G = ((x1 + x2 + x3)/3, (y1 + y2 + y3)/3)2. 外心三角形ABC三个顶点坐标分别为A(x1, y1), B(x2, y2), C(x3, y3)。
则外心O坐标为：OA = OB = OC = R其中R为外接圆半径，有以下公式：R = a/(2sinA) = b/(2sinB) = c/(2sinC)其中a、b、c分别为三角形ABC三条边长度，A、B、C分别为对应角度。
O = ((x1^2+y1^2)(y2-y3)+(x2^2+y2^2)(y3-y1)+(x3^2+y3^2)(y1-y2))/(2(x1(y2-y3)+x2(y3-y1)+x3(y1-y2))), ((x1^2+y1^2)(x3-x2)+(x2^2+y2^2)(x1-x3)+(x3^2+y3^2)(x2-x1))/(2(y1(x3-x2)+y2(x1-x3)+y3(x2-x1)))其中，(x,y)为向量的坐标。
三角形四心的向量应用
→
2
3
|AB| |AC| 2
形．故选 D.
→ →
→
→
→
→
→
→
→
7.已知向量OP1，
OP2，OP3满足条件OP1＋OP2＋OP3＝0，|OP1|＝|OP2|＝|OP3|＝1，
求证：△P1P2P3 是正三角形．
证明
→
→
→
→
→
1
由已知条件可得OP1＋OP2＝－OP3，两边平方，得OP1·OP2＝－ .
2
→
→
→
→
1
同理OP2·OP3＝OP3·OP1＝－ .即∠P1OP2＝∠P2OP3＝∠P1OP3＝120°，
O,N,P 依次是△ABC 的
外心 ,
重心 , 垂心 .
解析 由||=||=||知 O 为△ABC 的外心;
由 + + =0 知 N 为△ABC 的重心;
因为·=·,所以(-)·=0,
所以·=0,所以⊥,即 CA⊥PB,
同理 AP⊥BC,CP⊥AB,所以 P 为△ABC 的垂心.
角形各顶点(1)O是△ABC的重心⇔OA＋OB＋OC＝0；
→ → → → → →
(2)O是△ABC的垂心⇔OA·OB＝OB·OC＝OC·OA；
→
→
→
→
→
→
(3)O是△ABC的外心⇔|OA|＝|OB|＝|OC|(或OA2＝OB2＝OC2)；
→
→
→
→
→
||
+
||
,即=λ
||
+
分别表示平行于和的单位向量,故
||
三角形“四心”向量形式的结论及证明
三角形“四心”向量形式的结论及证明三角形的“四心”是指三角形的重心、外心、内心和垂心。
它们的位置可以用向量的形式来描述。
本文将分别介绍三角形“四心”的向量形式以及其证明。
1.重心:重心是指三角形三个顶点的中线交点所在的点，用G表示。
假设三角形的三个顶点分别为A(x1,y1)、B(x2,y2)和C(x3,y3)，则重心G的坐标可以通过以下公式得到：G=(A+B+C)/3其向量形式为：OG=(OA+OB+OC)/3其中O为坐标原点。
证明：由定义可知，重心是三角形三个顶点的中线交点所在的点。
而中线的坐标可以通过两个顶点的坐标的平均值得到。
因此，重心的坐标是三个顶点坐标的平均值。
根据向量加法的性质，可以得到上述结论。
2.外心:外心是指可以通过三角形的三个顶点作为圆心，找到一个圆使得三条边都是这个圆的切线。
用O表示外心。
假设三角形的三个顶点分别为A(x1,y1)、B(x2,y2)和C(x3,y3)，则外心O的坐标可以通过以下公式得到：O=(a^2*A+b^2*B+c^2*C)/(a^2+b^2+c^2)其中a、b、c分别表示三角形的边长BC、AC和AB的长度。
其向量形式为：OO=(a^2*OA+b^2*OB+c^2*OC)/(a^2+b^2+c^2)其中O为坐标原点。
证明：设外心为O，连接OA、OB、OC，并设AO的长度为R，BO的长度为R'，CO的长度为R''。
根据定义可知，OA，OB，OC都是截圆半径，可以得到以下关系：OA⊥BC，OB⊥AC，OC⊥AB由于OA、OB、OC是向量，因此上述关系可以写为：OA·BC=0，OB·AC=0，OC·AB=0其中“·”表示点乘。
根据向量的点乘性质可知：OA·(B-C)=0，OB·(C-A)=0，OC·(A-B)=0将向量差展开得：OA·B-OA·C=0，OB·C-OB·A=0，OC·A-OC·B=0进一步展开可得：R^2-R'^2=0，R'^2-R''^2=0，R''^2-R^2=0整理得：R^2-R'^2=R''^2-R^2移项得：2R^2=R'^2+R''^2根据圆的定义可知，外心到三角形的每个顶点的距离都相等，因此R=R'=R''。
平面向量的应用之三角形的四心
△ABC 的
心.
第2页 共3页
8. 若 O# A» + O# B» + O# C» = #0»，则点 O 是 △ABC 的
心.
9.
若
#» PO
=
1 3
# (P
» A
+
# P
» B
+
# P
C»)，则点
O
是
△ABC
的
心.
10.
已知
△ABC
的角
A，B，C
所对的边分别为
a，b，c,
若
#» PO
=
#» #» #» aP A + bP B + cP C ，则点
§1 平面向量与三角形的四心
一 知识梳理
1. 三角形的重心
(1) 定义
C
三角形三条中线的交点叫作重心，它到三角形顶点距离与该点到对
边中点距离之比为 2 : 1.
(2) 向量表达式
#» OA
+
#» OB
+
#» OC
=
#0»
#» PO
=
1 3
# (P
» A
+
#» PB
+
# P
C»).
E
F
O
A
D
B
2. 三角形的垂心
C (1) 定义
三角形三条高线的交点叫垂心.
(2) 向量表达式 O# A» · O# B» = O# B» · O# C» = O# A» · O# C» O# A»2 + B# C»2 = O# B»2 + A# C»2 = O# C»2 + A# B»2. A
与三角形四心相关的向量结论
与三角形四心相关的向量结论.doc
下面是一些与三角形的四个特殊点（重心、外心、内心和垂心）相关的向量结论：
1. 重心：三角形的重心是三条中线的交点，表示为G，并且满足以下向量等式：
AG + BG + CG = 0
2. 外心：三角形的外心是三角形外接圆的圆心，表示为O，并且满足以下向量等式：
AO = BO = CO = R（半径）
3. 内心：三角形的内心是三角形内切圆的圆心，表示为I，并
且满足以下向量等式：
AI = BI = CI = r（半径）
4. 垂心：三角形的垂心是三条高线（从顶点到对边垂直的线段）的交点，表示为H，并且满足以下向量等式：
AH + BH + CH = 0。
高考数学专题平面向量与三角形的四心(含解析)
2023届高考专题——平面向量与三角形的“四心”一、三角形的“四心”(1)重心：三角形的三条中线的交点；O 是△ABC 的重心⇔OA →＋OB →＋OC →＝0；(2)垂心：三角形的三条高线的交点；O 是△ABC 的垂心⇔OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →；(3)外心：三角形的三条边的垂直平分线的交点(三角形外接圆的圆心)．O 是△ABC 的外心⇔|OA →|＝|OB →|＝|OC →|(或OA →2＝OB →2＝OC →2)；(4)内心：三角形的三个内角角平分线的交点(三角形内切圆的圆心)；O 是△ABC 的内心⇔OA →·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|－AC →|AC →|＝OB →·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫BA →|BA →|－BC →|BC →|＝OC →·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫CA →|CA →|－CB →|CB →|＝0. 注意：向量λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|(λ≠0)所在直线过△ABC 的内心(是∠BAC 的角平分线所在直线)．类型一 平面向量与三角形的“重心”问题例1 已知A ，B ，C 是平面上不共线的三点，O 为坐标原点，动点P 满足OP →＝13[(1－λ)OA →＋(1－λ)OB →＋(1＋2λ)·OC →]，λ∈R ，则点P 的轨迹一定经过( C )A ．△ABC 的内心B ．△ABC 的垂心 C ．△ABC 的重心D ．AB 边的中点 [解析] 取AB 的中点D ，则2OD →＝OA →＋OB →，∵OP →＝13[(1－λ)OA →＋(1－λ)OB →＋(1＋2λ)OC →]， ∴OP →＝13[2(1－λ)OD →＋(1＋2λ)OC →] ＝21－λ3OD →＋1＋2λ3OC →， 而21－λ3＋1＋2λ3＝1，∴P ，C ，D 三点共线， ∴点P 的轨迹一定经过△ABC 的重心．类型二 平面向量与三角形的“外心”问题例2 设P 是△ABC 所在平面内一点，若AB →·(CB →＋CA →)＝2AB →·CP →，且AB →2＝AC →2－2BC →·AP →，则点P 是△ABC 的( A )A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心[解析] 由AB →·(CB →＋CA →)＝2AB →·CP →，得AB →·(CB →＋CA →－2CP →)＝0，即AB →·[(CB →－CP →)＋(CA →－CP →)]＝0，所以AB →·(PB →＋PA →)＝0.设D 为AB 的中点，则AB →·2PD →＝0，故AB →·PD →＝0.由AB →2＝AC →2－2BC →·AP →，得(AB →＋AC →)·(AB →－AC →)＝－2BC →·AP →，即(AB →＋AC →－2AP →)·BC →＝0.设E 为BC 的中点，则(2AE →－2AP →)·BC →＝0，则2PE →·BC →＝0，故BC →·PE →＝0.所以P 为AB 与BC 的垂直平分线的交点，所以P 是△ABC 的外心．故选A ．跟踪练习在△ABC 中，O 为其外心，OA ―→·OC ―→＝3，且 3 OA ―→＋7OB ―→＋OC ―→＝0，则边AC 的长是________．[解析] 设△ABC 外接圆的半径为R ，∵O 为△ABC 的外心，∴|OA ―→|＝|OB ―→|＝|OC ―→|＝R ，又 3 OA ―→ ＋7 OB ―→＋OC ―→＝0，则 3 OA ―→＋OC ―→＝－7OB ―→，∴3OA ―→2＋OC ―→2＋2 3OA ―→·OC ―→＝7OB ―→2，从而OA ―→·OC ―→＝32R 2，又OA ―→·OC ―→＝3，所以R 2＝2，又OA ―→·OC ―→＝|OA ―→||OC ―→|cos ∠AOC ＝R 2cos ∠AOC ＝3，∴cos ∠AOC ＝32，∴∠AOC ＝π6，在△AOC 中，由余弦定理得AC 2＝OA 2＋OC 2－2OA ·OC ·cos∠AOC ＝R 2＋R 2－2R 2×32＝(2－3)R 2＝4－23．所以AC ＝3－1． 类型三 平面向量与三角形的“垂心”问题例3 (2022·济南质检)已知O 是平面上的一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个动点，点P 满足OP ―→＝OA ―→＋λ⎝⎛⎭⎪⎪⎫AB―→|AB ―→|cos B ＋|AC ―→||AC ―→|cos C ，则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的( )A ．重心B ．外心C ．垂心D ．内心 [解析] OP ―→－OA ―→＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB ―→|AB ―→|cos B ＋AC ―→|AC ―→|cos C ，AP ―→＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB ―→|AB ―→|cos B ＋AC ―→|AC ―→|cos C ，BC ―→·AP ―→＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫BC ―→·AB ―→|AB ―→|cos B ＋BC ―→·AC ―→|AC ―→|cos C ＝λ⎝⎛⎭⎪⎪⎫|BC ―→||AB ―→|cos π－B |AB ―→|cos B ＋|BC ―→||AC ―→|cos C |AC ―→|cos C ＝λ(－|BC ―→|＋|BC ―→|)＝0，所以BC ―→⊥AP ―→，动点P 在BC 的高线上，动点P 的轨迹一定通过△ABC 的垂心，故选C ．类型四 平面向量与三角形的“内心”问题例4 在△ABC 中，|AB →|＝3，|AC →|＝2，AD →＝12AB →＋34AC →，则直线AD 通过△ABC 的( D ) A ．重心B ．外心C ．垂心D ．内心[解析] ∵|AB →|＝3，|AC →|＝2，∴12|AB →|＝34|AC →|＝32.设AE →＝12AB →，AF →＝34AC →，则|AE →|＝|AF →|.∵AD →＝12AB →＋34AC →＝AE →＋AF →，∴AD 平分∠EAF ， ∴AD 平分∠BAC ，∴直线AD 通过△ABC 的内心．跟踪练习(2022·海南模拟)在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝6，cos A ＝15，O 是△ABC 的内心，若OP ―→＝x OB ―→＋y OC ―→，其中x ，y ∈[0,1]，则动点P 的轨迹所覆盖图形的面积为( )A ．1063B ．1463C ．4 3D ．6 2 [解析] 根据向量加法的平行四边形法则可知，动点P 的轨迹是以OB ，OC 为邻边的平行四边形及其内部，其面积为△BOC 的面积的2倍．在△ABC 中，设内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得a ＝7．设△ABC 的内切圆的半径为r ，则12bc sin A ＝12(a ＋b ＋c )r ，解得r ＝263，所以S △BOC ＝12×a ×r ＝12×7×263＝763．故动点P 的轨迹所覆盖图形的面积为2S △BOC ＝1463． 二、三角形形状的判断在△ABC 中，①若|AB →|＝|AC →|，则△ABC 为等腰三角形；②若AB →·AC →＝0，则△ABC 为直角三角形；③若AB →·AC →<0，则△ABC 为钝角三角形；④若AB →·AC →>0，BA →·BC →>0，且CA →·CB →>0，则△ABC 为锐角三角形；⑤若|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，则△ABC 为直角三角形；⑥若(AB →＋AC →)·BC →＝0，则△ABC 为等腰三角形．例5 (2022·驻马店质检)若O 为△ABC 所在平面内任一点，且满足(OB →－OC →)·(OB →＋OC →－2OA →)＝0，则△ABC 的形状为( C )A ．正三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形 [解析] 由题意知CB →·(AB →＋AC →)＝0.所以(AB →－AC →)·(AB →＋AC →)＝0，即|AB →|＝|AC →|，所以△ABC 是等腰三角形，故选C ．〔变式训练4〕(1)若P 为△ABC 所在平面内一点．①若(OP →－OA →)·(AB →－AC →)＝0，则动点P 的轨迹必过△ABC 的垂心.②若OP →＝OA →＋λ(AB →＋AC →)(λ≥0)，则动点P 的轨迹必过△ABC 的重心.③若CA →2＝CB →2－2AB →·CP →，则动点P 的轨迹必过△ABC 的外心.(2)已知非零向量AB →与AC →满足⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0且AB →|AB →|·AC →|AC →|＝12，则△ABC 为( D )A ．三边均不相等的三角形B ．直角三角形C ．等腰非等边三角形D ．等边三角形[解析] (1)①由题意知AP →·CB →＝0，∴AP ⊥BC ，∴动点P 必过△ABC 的垂心；②由题意知AP →＝λ(AB →＋AC →)＝2λAM →(M 为BC 中点)∴P 、A 、M 共线，∴P 必过△ABC 的重心；③2AB →·CP →＝CB →2－CA →2＝(CB →－CA →)·(CB →＋CA →)＝AB →·(CB →＋CA →)，即2AB →·CP →＝AB →·(CB →＋CA →)，∴AB →·(2CP →－CB →－CA →)＝AB →·(BP →＋AP →)＝0.∴以BP →，AP →为邻边的平行四边形的对角线互相垂直．∴点P 在线段AB 的中垂线上，∴P 必过△ABC 的外心．(2)因为非零向量AB →与AC →满足⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0，所以∠BAC 的平分线垂直于BC ，所以AB ＝AC ．又cos ∠BAC ＝AB →|AB →|·AC →|AC →|＝12，所以∠BAC ＝π3.所以△ABC 为等边三角形．故选D ．。
平面向量四心问题
三角形“四心”向量形式的充要条件及其应用1.三角形的“四心”定理的平面几何证明①三角形三边的中垂线交于一点，这一点为三角形外接圆的圆心，称外心。
证明: 设AB 、BC 的中垂线交于点O ， 则有OA=OB=OC ， 故O 也在AC 的中垂线上，因为O 到三顶点的距离相等， 故点O 是ΔABC 外接圆的圆心． 因而称为外心．②三角形三边上的高交于一点，这一点叫三角形的垂心。
证明: AD 、BE 、CF 为ΔABC 三条高，过点A 、B 、C 分别作对边的平行线，相交成ΔA ′B ′C ′，AD 为B ′C ′的中垂线；同理BE 、CF 也分别为 A ′C ′、A ′B ′的中垂线， 由外心定理，它们交于一点， 命题得证．③三角形三边中线交于一点，这一点叫三角形的重心。
设中线BE,CF 交于点(G 证明,连同一法):结EF, 则EF//BC,且EF:BC=FG:GC=EG:GB=1:2.' 同理中线AD,BE 交于G ,连结DE,则:'''''DE//AB,且EG :G B=DG :G A=DE:AB=1:2,故G,G 重合.④三角形三内角平分线交于一点，这一点为三角形内切圆的圆心，称内心。
证明 : 设∠A 、∠C 的平分线相交于I,过I 作ID ⊥BC ，IE ⊥AC ， IF ⊥AB ，则有IE=IF=ID ．因此I 也在∠C 的平分线上，即三角形三内角平分线交于一点．2.三角形的“四心” 定理的平面向量表达式及其证明①O 是123PP P ∆的重心⇔1230OP OP OP ++=(其中,,a b c 是123PP P ∆三边) 证明：充分性1230OP OP OP ++=⇒O 是123PP P ∆的重心 若1230OP OP OP ++=，则123OP OP OP +=-，以1OP ，2OP为邻边作P 12PP 3OP平行四边形132'O P P P ，设/3OP 与12P P 交于点P ，则P 为12P P 的中点，有'123OP OP OP +=，得'33OP OP =-，即'33,,,O PP P 四点共线，故3P P 为123PP P ∆的中线，同理，12,PO P O 亦为123PP P ∆的中线，所以，O 为的重心。
三角形重心、外心、垂心、内心的向量表示及其性质
三角形“四心”向量形式的充要条件应用1．O 是ABC ∆的重心⇔0OC OB OA =++; 若O 是ABC ∆的重心，则AB C AOB AOC B OC S 31S S S ∆∆∆∆===故=++;1()3PG PA PB PC =++⇔G 为ABC ∆的重心.2．O 是ABC ∆的垂心⇔OA OC OC OB OB OA ⋅=⋅=⋅;若O 是ABC ∆(非直角三角形)的垂心，则C tan B tan A tan S S S AOB AOC BOC ：：：：=∆∆∆ 故0OC C tan OB B tan OA A tan =++3．O 是ABC ∆的外心⇔|OC ||OB ||OA |==(或222OC OB OA ==)若O 是ABC ∆的外心则C 2sin :B 2sin :A 2sin AOB sin AOC sin BOC sin S S S AOB AOC BOC =∠∠∠=∆∆∆：：：： 故0OC C 2sin OB B 2sin OA A 2sin =++ 4．O 是内心ABC ∆的充要条件是|CB ||CA |(|BC ||BA |(AC|AB |(=⋅=⋅=-⋅引进单位向量，使条件变得更简洁。
如果记CA ,BC ,AB 的单位向量为321e ,e ,e ，则刚才O 是ABC ∆内心的充要条件可以写成 0)e e ()e e ()e e (322131=+⋅=+⋅=+⋅ ，O 是ABC ∆内心的充要条件也可以是c b a =++ 。
若O 是ABC ∆的内心，则c b a S S S AOB AOC BOC ：：：：=∆∆∆故 0OC C sin OB B sin OA A sin 0OC c OB b OA a =++=++或;||||||0AB PC BC PA CA PB P ++=⇔是ABC ∆的内心;向量()(0)||||AC AB AB AC λλ+≠所在直线过ABC ∆的内心(是BAC ∠的角平分线所在直线)；(一)将平面向量与三角形内心结合考查例1．O 是平面上的一定点，A,B,C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OA OP ++=λ，[)+∞∈,0λ则P 点的轨迹一定通过ABC ∆的（）（A ）外心（B ）内心（C ）重心（D ）垂心 解析：因为是向量AB 的单位向量设AB 与AC 方向上的单位向量分别为21e e 和， 又=-，则原式可化为)(21e e +=λ，由菱形的基本性质知AP 平分BAC ∠，那么在ABC ∆中，AP 平分BAC ∠，则知选B.(二)将平面向量与三角形垂心结合考查“垂心定理”例2． H 是△ABC 所在平面内任一点，HA HC HC HB HB HA ⋅=⋅=⋅⇔点H 是△ABC 的垂心. 由⊥⇔=⋅⇔=-⋅⇔⋅=⋅00)(,同理⊥，BC HA ⊥.故H 是△ABC 的垂心. （反之亦然（证略））例3.(湖南)P 是△ABC 所在平面上一点，若⋅=⋅=⋅，则P 是△ABC 的（D ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心解析:由0=⋅-⋅⋅=⋅得.即0,0)(=⋅=-⋅即 则AB PC BC PA CA PB ⊥⊥⊥,,同理 所以P 为ABC ∆的垂心. 故选D.(三)将平面向量与三角形重心结合考查“重心定理”例4． G 是△ABC 所在平面内一点，GC GB GA ++=0⇔点G 是△ABC 的重心.证明 作图如右，图中=+连结BE 和CE ，则CE=GB ，BE=GC ⇔BGCE 为平行四边形⇒D 是BC 的中点，AD 为BC 边上的中线.将GE GC GB =+代入GC GB GA ++=0，得EG GA +=0⇒GD GE GA 2-=-=，故G 是△ABC 的重心.（反之亦然（证略）） 例5． P 是△ABC 所在平面内任一点.G 是△ABC 的重心⇔)(31++=. 证明 CG PC BG PB AG PA PG +=+=+=⇒)()(3PC PB PA CG BG AG PG +++++= ∵G 是△ABC 的重心 ∴GC GB GA ++=0⇒CG BG AG ++=0，即PC PB PA PG ++=3 由此可得)(31PC PB PA PG ++=.（反之亦然（证略））例6 若O 为ABC ∆内一点，0OA OB OC ++= ，则O 是ABC ∆ 的（ ） A ．内心 B ．外心 C ．垂心 D ．重心解析：由0OA OB OC ++=得OB OC OA +=-，如图以OB 、OC 为相邻两边构作平行四边形，则OB OC OD +=，由平行四边形性质知12OE OD =，2OA OE =，同理可证其它两边上的这个性质，所以是重心，选D 。
三角形“四心”向量形式的结论及证明(附练习答案)
求证：△P1P2P3是正三角形.（《数学》第一册（下），复习参考题五B组第6题）
证明：由已知+=-，两边平方得·=，
同理·=·=，∴||=||=||=，从而△P1P2P3是正三角形.
反之，若点O是正三角形△P1P2P3的中心，则显然有++=0且||=||=||，即O是△ABC所在平面内一点，
则．
证明：，，
．
点评：（1）证法运用了向量加法的三角形法则，
证法2运用了向量加法的平行四边形法则．（2）
若与重合，则上式变0．
(四)．将平面向量与三角形外心结合考查
例7若为内一点，，则是的（）
A．内心B．外心C．垂心D．重心
解析：由向量模的定义知到的三顶点距离相等。故是的外心，选B。
点评：本题将平面向量模的定义与三角形外心的定义及性质等相关知识巧妙结合。
点评：本题需要扎实的平面几何知识，平行四边形的对角线互相平分及三角形重心性质：重心是三角形中线的内分点，所分这比为。本题在解题的过程中将平面向量的有关运算与平行四边形的对角线互相平分及三角形重心性质等相关知识巧妙结合。
变式：已知分别为的边的中点．则．
证明：
．．
变式引申：如图4，平行四边形的中心为，为该平面上任意一点，
（A）外心（B）内心（C）重心（D）垂心
事实上OB⊥CA故选答案D
例3：已知O为三角形ABC所在平面内一点，且满足
，则点O是三角形ABC的（）
（A）外心（B）内心（C）重心（D）垂心
事实上由条件可推出故选答案D
例4：设是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三点，
动点P满足，，则动点P的轨迹一定通过△ABC的（）
三角形重心、外心、垂心、内心的向量表示及其性质
三角形“四心”向量形式的充要条件应用1. 0 是AABC 的重心 O OA+OB + OC=0=AAOe = AAOB若0 是AABC 的重心，则“g AAX一故OA+OB + OC = 0；PC = 4-(戸N + RS + OG 为A4BC的心.ABoe △ABC2. 0 是AABC的垂心o OA OB =OB OC = OC・OA ；若0是AABC （非宜角三角形）的垂心，则^ABOC：S MO"S DB = tan A：taii B：taii C 故tan AOA + tan BOB + tan COC= 03. 0 是AABC的外心o lOAimOBITOCI (或dX? =OB^ =OC^)若0 是AABC 的外心则'ABOC：S^OB = sinZBOCtsinZAOC ：slnZAOB = $ln2A ; sIn2B:sln2C故sInZAOA + slnlBOB + sInZCOC =CAI CAI ICBI4. 0是内心AABC的充要条件是6^"珞-篦川页务-壬引进单位向量，使条件变得更简洁。
如果记而,，不的单位向量为引，则刚才0是IBCIAABC 内心的充要条件可以写成OA. (Cj+63)= OB.(e,+€2)= 00.(62+63) = 0AABC内心的充要条件也可以是aOA + bOB+cOC = 0 。
若o是AABC的内心，则S QM； S4WB = 3： bj c故aOA + b 而 + cOC = OsSsInAOA + sInBOT + sInCOC = 0I丽1疙+|5?1莎+1乙5lP5 = 6oP是AABC的内心;向助鴿+ 所在直线过WC的内心（是ZBAC的角平广n分线所在直线）;（一）将平面向量与三角形内心结合考査例1. 0是平面上的一定点，A,B,C是平面上不共线的三个点，动点P满足OP = OA + 2(AB AC —+）,A € [0,4-3）JOO P点的轨迹一定通过M3C的（）A Cl（A）外心（B）内心（C）重心（D）垂心4 R解析：因为A"_是向量廳的单位向量设廳与疋方向上的单位向量分别为勺和又AB "OP-OA = AP,则原式可化为川>=久2|+勺），由菱形的基本性质知AP平分Z3AC,那么在MBC中，AP平分ZBAC,则知选B.（二）将平面向量与三角形垂心结合考査“垂心定理”例2. 〃是△磁所在平面内任一点，HA H B^HB HC^HC HA O点〃是△磁的垂心.由蔽帀=帀汞0帀蔽-丽=0 0市益-oo丽丄衣,同理花丄而，HA±^•故〃是△磁的垂心•（反之亦然（证略））例3.（湖南）P是△ABC所在平面上一点，若PA・PB = PB、PC = P CPA,则P是ZkABC的（D ）D.垂心A.外心B.内心C.重心解析：由莎•而=而•尢得莎而一而药=0.即PB・（PA — PC）=（X即PB・C4 = 0则PB丄（X同理PA丄BUPC丄AB所以P为MBC的垂心•故选D.（三）将平面向量与三角形重心结合考査“重心定理”例4. G是△磁所在平面内一点，刃+而+云=0o点G是△磁的重心.线. 证明作图如右，图中^ + GC = GE连结朋和⑦ 则d包，庞曲70 磁F为平行四边形=>e是％的中点，Q为％边上的中将而+云=52代入方+而+炭=0,得^ + ^=0=> ^ = -GE = -2GD,故G是△磁的重心•（反之亦然（证略））例5. P是△磁所在平面内任F G是△磁的重心。
高一三角形“四心”的向量性质及其应用(含解析)
1 1 1 1 1 定义 f ( P) = (λ , λ , λ ) ，若 f (G) = ( 1 , , ), f (Q) = ( , , ) 则( ) 3 3 3 2 3 6 A．点 Q 在 ∆ABG 内 B．点 Q 在 ∆BCG 内 C．点 Q 在 ∆CAG 内 D．以上皆不对 解析： G 为重心，画图得知 例 8． 如图，已知点 G 是 ∆ABC 的重心，过 G 作直线与 AB, AC 两边分别交于 M , N 两点，
=
1 5
2 1 AB + AC ，用 O 拆开得： 2 ⋅ OA + 2⋅ OB + OC = 0 ， 法 2： AO = 5 5
由奔驰定理可得： S
∆BOC
: S ∆COA : S ∆AOB = 2 : 2 : 1
，则 S
∆ABC
: S ∆AOB = (2 + 2 + 1) : 1 = 5 .
A
2 1 4 1 AB + AC = AD + AC ， 法 3： AO = 5 （取 D 为 AB 边的中点） ， 5 5 5
∆ABC ∆ABC
∆AOC ∆ABC
⋅ AB +
S ∆AOB ⋅ AC S ∆ABC
A
O B C
两边乘以 S 整理可得： − S 移项整理为 (S − S − S 即得 S ⋅ OA + S ⋅ OB + S 注：若简记三个面积： S = S ， S
∆ABC ∆AOC ∆OBC ∆OCA ∆OBC A
A
=λ
，S S
∆AOB ∆ABC
=µ
，S S
三角形四心的向量视角及其应用
3 3 5 D16 @ 25 E ( 3 3 3 3 3 3 故 C 0> C @6 C 1> C @6 C 2> C @5 E ( 3 3 3 3 即 B C @5 C 06 C 16 C 2 )
-
四心 "依托顶 点各具特色 !
性质 - 设 .是 /0 1 2所 在 平 面 内 一 3 点( 则 . 为 /0 1 2 外 心的 充要 条件 是 4 . 0 4
性质 G 设 D 是 /0 1 2 所在 平 面 内 一 点( 则 D 是 /0 如图B 1 2垂心的充要 条件是 * ,
3 3 3 3 3 也 等价 于 * 54 . 1 4 54 . 2 4 ( . 06 . 1 , 7 0 1 3 3 3 3 3 3 5 * . 16 . 2 , 7 1 25 * . 26 . 0 , 7 2 05 % 证明 如图 8 设 /0 ( 1 2的 三 边 0 1 +
/0 1 2 垂心 ) 3H 必要 性 , D 是 /0 * 1 2 垂 心 F D0
3 3 3 3 3 3 . 97 0 15 . :7 1 25 . ;7 2 05 %
8 3 8 3 3 3 3 < * . 06 . 1 , 7 0 15 * . 16 . 2 , 7 $ $ 8 3 3 3 3 1 25 * . 26 . 0 , 7 2 05 % $ <
3 37 3 3 * 3 3,5 1 2F D0 1 25%F D07 D2>D1 3 7D15 3 3 D0 3) % F D0 D27 同理 可得 3 7D1 3 5 D1 37 3 3 D0 3) D0 D25 D27
3 3 3 3 3 3 * . 06 . 1 , 7 0 15 * . 16 . 2 , 7 1 25 3 3 3 * . 26 . 0 , 7 2 05 %