幂函数教学设计

2.3幂函数教学设计

教材分析：

幂函数作为一类重要的函数模型，是学生在系统地学习了指数函数、对数函数之后研究的又一类基本的初等函数。幂函数模型在生活中是比较常见的，学习时结合生活中的具体实例来引出常见的幂函数。组织学生画出他们的图象，根据图象观察、总结这几个常见幂函数的性质。对于幂函数只需重点掌握这五个函数的图象和性质。学习中学生容易将幂函数和指数函数混淆，因此在引出幂函数的概念之后，可以组织学生对两类不同函数的表达式进行辨析。学生已经有了学习指数函数和对数函数的学习经历，这为学习幂函数做好了方法上的准备。因此，学习过程中，引入幂函数的概念之后，尝试放手让学生自己进行合作探究学习。

教学目标

知识与技能：通过实例，了解幂函数的概念，结合函数的图像，了解他们的变化情况，掌握研究一般幂函数的方法和思想.

过程与方法：使学生通过观察函数的图像来总结性质，并通过已学的知识对总结出的性质进行解释，从而达到对任一幂函数性质的分析

情感、态度、价值观：通过引导学生主动参与作图，分析图像的过程，培养学生的探索精神，在研究函数的变化过程中渗透辩证唯物主义观点。

重难点

重点：从五个具体幂函数中认识并总结幂函数的性质

难点: 画出幂函数的图象并概括其性质，体会变化规律

教学方法与手段

借助多媒体，探究+反思+总结

教学基本流程

教学过程设计：

（一）实例观察，引入新课

(1) 如果张红购买了每千克1元的蔬菜w千克，那么她需要支付p＝w元，这里

p是w的函数；

(2) 如果正方形的边长为a ，那么正方形的面积S=a 2

，这里S 是a 的函数； (3) 如果立方体的边长为a ，那么立方体的体积V =a 3

，这里V 是a 的函数； (4) 如果一个正方形场地的面积为S ，那么这个正方形的边长a=12

S ，这里a 是S 的函数；

(5) 如果某人t 秒内骑车行进了1 km ，那么他骑车的平均速度v=t -1，这里v 是t 的函数.

若将它们的自变量全部用x 来表示,函数值用y 来表示,则它们的函数关系式将是:

x y = 2x y = 3

x y = 2

1

x y = 1-=x y

【师生互动】：

以上问题中的函数有什么共同特征？

都是函数; 均是以自变量为底的幂; 指数为常数; 自变量前的系数为1; 幂

前的系数也为1

【设计意图】引导学生从具体的实例中进行总结，从而自然引出幂函数的一

般特征.

（二）类比联想，探究新知

1、幂函数的定义

幂函数的概念：一般地，函数y ＝x α叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数。（注意：y ＝x α系数为1，未知数x 在底数位置，α在指数位置） 幂函数与指数函数的对比：(关键看自变量X 的位置) 【师生互动】：判断下列函数是否是幂函数 （1）y=x 4 （2）2

1x

y = (3)y=2x

(4) 2

1

x y =

(5) y=2x 2 (6)y=x 3+2

【设计意图】加深学生对幂函数定义和呈现形式的理解.

2、组织探究：在同一平面直角坐标系内作出下列幂函数的图像

y=x y=x 2 y=x 3

y=12

x y=x -1

x y = 2x y = 3

x y = 2

1

x y = 1-=x y 定义域 R R R [0,+∞) {x |x ≠0} 值域 R [0,+∞) R [0,+∞) {y |y ≠0} 奇偶性

奇

偶 奇

非奇非偶

奇 单调性

增

[0,+∞)增

增

增

(0,+∞)减

(-∞,0]减

(-∞,0)减

公共点

(1,1) 问题一：所有图像都过第几象限？所有图像都过哪个公共点？

问题二:第一象限内函数图像的单调性是怎样的？对于原点，什么样的幂函数过，什么样的幂函数不过？

问题三: y=x 2

,y=x 3

和y=12

x 在第一象限的变化趋势有什么区别？

【设计意图】通过创设问题情境，激发学生的思维，并在新知探究的过程中自然形成一般方法的呈现，使学生易于领悟和接受.

4、幂函数的性质

(1) 所有的幂函数在(0,+∞)都有定义，并且图象都通过点(1,1);

()()(

)(

)2

1212

12

12

12121x x x x x x x x x x x x x f x f ++=

++=

=---0

,0,0212121>+>+<

21x f x f <所以(2) 如果α＞０，则幂函数图象过原点，并且在区间[0,+∞)上是增函数；

(3) 如果α＜０，则幂函数图象在区间(0,+∞)上是减函数，在第一象限内，图象无限地逼近坐标轴；

(4)当α为奇数时，幂函数为奇函数；当α为偶数时，幂函数为偶函数． (5)在直线x=1的右侧， α的值从上到下，由大变小。

【设计意图】通过创设问题情境，激发学生的思维，并在新知探究的过程中自然形成一般方法的呈现，使学生易于领悟和接受.

(三）运用新知，理论迁移

【例1】比较下列各组数的大小 （1）1

.02

.02

.52.5和 （2）8

7

87

)1)

8

1

(9

( 和 5

.14.15

3 )3(和

比较两个数的大小方法:

(1)若能化为同指数，则用幂函数的单调性比较； (2)若能化为同底数，则用指数函数的单调性比较 ；

(3)当不能直接进行比较时，可在两个数中间插入一个中间数，间接比较。 练一练：（1）3

13

1

.71 5.1和 （2）

25

4.1和328

.5

【例2】证明幂函数[0，+∞)上是增函数

证明：[)则且任取,,,0,211x x x x <+∞∈

【设计意图】增强学生对新知的应用能力，从而达到能力转型和对知识理解 （四）课堂小结，归纳提升

(1) 幂函数的定义；

(2) 幂函数的性质；

(3) 利用幂函数的单调性判别大小.

（五）课后作业，巩固训练 P79习题2.3： 1，2，3.