解三角形复习资料(上课)

解三角形专题复习

解三角形基本知识

一.正弦定理：

1.正弦定理：

R C

c

B b A a 2sin sin sin ===（其中R 是三角形外接圆的半径） 2.变形：①

C B A c b a sin :sin :sin ::=

②角化边 C R c B R b A R a sin 2sin 2sin 2===

③边化角 R

c

C R b B R a A 2sin 2sin 2sin ===

如：△ABC 中，①B b A a cos cos =

②B a A b cos cos =3.三角形内角平分线定理：

如图△ABC 中，AD 是A ∠

4.△ABC 中，已知锐角A ，边b ，则 ①A b a sin <时，a 无解；

②A b a sin =或b a ≥时，a 有一个解； ③b a A b <

如：①已知32,2,60===O b a A ,求(有一个解)

②已知32,2,60===O a b A ,求B (有两个解) 注意：由正弦定理求角时，注意解的个数。 二.三角形面积 1.B ac A bc C ab S ABC sin 21

sin 21sin 21===∆ 2. r c b a S ABC

)(2

1

++=∆,其中r 是三角形内切圆半径. 注:由面积公式求角时注意解的个数 三.余弦定理

1.余弦定理：)cos 1(2)(cos 22

2

2

2

A bc c b A bc c b a +-+=-+= )cos 1(2)(cos 22

2

2

2

B ac c a B ac c a b +-+=-+= )cos 1(2)(cos 22

2

2

2

C ab b a C ab b a c +-+=-+= 注：后面的变形常与韦达定理结合使用。

2.变形：bc a c b A 2cos 2

22-+=

ac b c a B 2cos 2

22-+=

ab

c b a C 2cos 2

22-+=

注意整体代入，如：2

1cos 2

2

2

=⇒=-+B ac b c a 3.三角形中线：

△ABC 中， D 是BC 的中点，则22222

1

BC AC AB AD -+= 4.三角形的形状

①若2

2

2

c b a >+时,角C 是锐角 ②若2

2

2

c b a =+时,角C 是直角 ③若2

2

2

c b a <+时,角C 是钝角

如:锐角三角形的三边为x ,2,1,求x 的取值范围; 钝角三角形的三边为x ,2,1,求x 的取值范围; 5.应用

①用余弦定理求角时只有一个解 ②已知32,2,60===O b a A ,求边c

四.应用题

1.步骤：①由已知条件作出图形，②在图上标出已知量和要求的量；

③将实际问题转化为数学问题； ④答

2.注意方位角；俯角；仰角；张角；张角等

如：方位角是指北方向顺时针转到目标方向线的角。

（3）在△ABC 中，熟记并会证明：

1）∠A ，∠B ，∠C 成等差数列的充分必要条件是∠B=60°；

2）△ABC 是正三角形的充分必要条件是∠A ，∠B ，∠C 成等差数列且a ，b ，c 成等比数列。

二、典例解析

题型1：正、余弦定理

（2009岳阳一中第四次月考）.已知△ABC 中，AB a = ，AC b = ，0a b ⋅< ，154

ABC S ∆=，3,5a b == ，

则BAC ∠=

（ ）

A.． 30

B ．150-

C ．0

150 D ． 30

或0

150 答案 C

1、在△ABC 中，由已知条件解三角形，其中有两解的是（ ） A ．b =20，A =45°，C =80° B ．a =30，c =28，B =60° C ．a =14，b =16，A =45°

D ．a =12，c =15，A =120

2、301205,, 在中，已知，解三角形。ABC A B b ∆===

3、已知1

22

tan ,tan ,ABC B C ∆==-面积为1，

求ABC ∆的边长以及外接圆的面积。

1、在ABC ∆

中，若其面积222

S =，则C ∠=_______。

2、边长为5，7，8的三角形的最大角与最小角的和是（ ） A ．090 B ．0120 C ．0135 D ．0150

3、在ABC ∆中，3

2104

,,cos ,.C A a c A b =+==求

例2．（1）在∆ABC

中，已知=a

c 060=B ，求b 及A ；

∴=b ∴060.=A

题型2：三角形面积

例3．在∆ABC 中，sin cos A A +=

2

2

，AC =2，AB =3，求A tan 的值和∆ABC 的面积。

tan tan(4560)2

A ∴=+=

=- S AC AB A ABC ∆=

⨯=⨯⨯⨯+=+12122326434

26sin ()。

例4．（2009湖南卷文）在锐角ABC ∆中，1,2,BC B A ==则

cos AC

A

的值等于 ， AC 的取值范围为 .

答案 2)3,2(

例5．（2009浙江理）（本题满分14分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足

cos 2A =

，3AB AC ⋅=

． （I ）求ABC ∆的面积； （II ）若6b c +=，求a 的值．

1

sin 22

ABC S bc A ∆∴== a ∴=

例6．（2009全国卷Ⅰ理）在ABC ∆中，内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，已知2

2

2a c b -=，且sin cos 3cos sin ,A C A C = 求b

4b =.

题型3：三角形中求值问题

例7．ABC ∆的三个内角为A B C 、、，求当A 为何值时，cos 2cos 2

B C

A ++取得最大值，并求出这个最大值。

最大值为3

2。