浙教版初中数学八年级下册 一元二次方程(2) 课件
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2021年浙教版八年级数学下册第二章《一元二次方程》公开课课件 (2).ppt
No
并且未知数的最高次数是1次,这样的方程叫做 一元一次方程.
像这样，两边都是整式,只含有Im一个a未g知e数,
并且两未边都知是数整的式,只最含高有次一个数未是知数2次, ,这样的方程叫做 一元并二且未次知方数程的最. 高次数是1次,这样的方程叫做 一元一次方程.
2.1一元二次方程（1）
x2 12x 20 0 x23x4 6700(1x)29200
能使一元二次方程两边相等的未知数的值叫一元 二次方程的解(或根).
已知关于x的一元二次方程 x2+ax+a=0 的一个根是3，求a的值。
畅谈收获
１、一元二次方程的定义 2、一元二次方程的一般形式
ax２＋bx＋c＝０(a, b，c为常数, a≠０)
3、会用一元二次方程表示实际生活中的数 量关系
布置作业: 1、作业本（2）
故事
从前有一天，一个“笨人”拿着竹竿进屋，横拿
竖拿都进不去，横着比门框宽４尺，竖着比门框高２
尺，一位“智者”教他沿着门的两个对角斜着拿竿，
这个“笨人”一试，不多不少刚好进去了．你知道竹 竿有多长吗？
解：设竹竿的长
为x尺,则门的宽 度为(x－4)尺,长 为 (x－2)尺,依题 意得方程：
2尺 x
数学化 x－2
• 9、春去春又回，新桃换旧符。在那桃花盛开的地方，在这醉人芬芳的季节，愿你生活像春天一样阳光，心情像桃花一样美丽，日子像桃子一样甜蜜。 2020/12/142020/12/14Monday, December 14, 2020
• 10、人的志向通常和他们的能力成正比例。2020/12/142020/12/142020/12/1412/14/2020 5:02:38 PM • 11、夫学须志也，才须学也，非学无以广才，非志无以成学。2020/12/142020/12/142020/12/14Dec-2014-Dec-20 • 12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的错儿。2020/12/142020/12/142020/12/14Monday, December 14, 2020 • 13、志不立，天下无可成之事。2020/12/142020/12/142020/12/142020/12/1412/14/2020
浙教版八年级下册数学课件第2章全章热门考点整合2
全章热门考点整合
解：∵关于 x 的方程 x2＋(b＋2)x＋(6－b)＝0 有两个相等的实数 根，∴(b＋2)2－4(6－b)＝0， 整理得 b2＋8b－20＝0，(b－2)(b＋10)＝0， ∴b1＝2，b2＝－10(舍去)． 当 a 为腰长时，△ABC 的周长为 5＋5＋2＝12. 当 b 为腰长时，2＋2＜5，不能构成三角形． ∴△ABC 的周长为 12.
全章热门考点整合
8．【中考·赤峰】如图，一块长 5 m、宽 4 m 的地毯，为了美观， 设计了两横、两纵的配色条纹(图中阴影部分)，已知配色条纹 的宽度相同，所占面积是整个地毯面积的1870.
(1)求配色条纹的宽度；
全章热门考点整合
解：设配色条纹的宽度为 x m，依题意得 2x×5＋2x×(4－2x)＝1870×5×4. 解得 x1＝147(不符合题意，舍去)，x2＝14. 答：配色条纹的宽度为14 m.
全章热门考点整合
11．已知 x＝a 是 2x2＋x－2＝0 的一个根，求代数式 2a4＋a3＋2a2 ＋2a＋1 的值．
解：∵x＝a 是 2x2＋x－2＝0 的一个根， ∴2a2＋a－2＝0，即 2a2＋a＝2. ∴原式＝a2(2a2＋a)＋2a2＋2a＋1＝2a2＋2a2＋2a＋1 ＝2(2a2＋a)＋1＝5.
全章热门考点整合
6．关于 x 的一元二次方程 x2＋(2k＋1)x＋k2＋1＝0 有两个不相 等的实数根 x1，x2.
(1)求实数 k 的取值范围； 解：∵原方程有两个不相等的实数根， ∴b2－4ac＝(2k＋1)2－4(k2＋1)＝4k－3>0. 解得 k>34.
全章热门考点整合
(2)若方程的两个实数根 x1，x2 满足 x1＋x2＝－x1·x2，求 k 的值． 解：由根与系数的关系，得 x1＋x2＝－(2k＋1)，x1·x2＝k2＋1. ∵x1＋x2＝－x1·x2，∴－(2k＋1)＝－(k2＋1)． 整理得 k2－2k＝0，解得 k＝0 或 k＝2. 又∵k>34，∴k＝2.
一元二次方程与实际问题—传播、增长率、利润问题(课件)八年级数学下册(浙教版)
(4)商店若准备获利2000元，则应进货多少个?定价为多少?
件，
(4)商店若准备获利2000元，则应进货多少个?定价为多少?
解：设定价为x元
(x-40)[180-10(x-52)]=2000
-10x2+1100x-28000=2000
x2-110x+3000=0
(x-50)(x-60)=0
x1=50＜52（舍去）;x2=60
的年平均下降率较大？
解：设乙种药品成本的年平均下降率为 x
6000(1 − ) 元，
一年后乙种药品成本为____________
6000 1 − 2 元．
两年后乙种药品成本为____________
列方程得6000 1 − 2 =3600
解方程，得 x1≈0.225， x2≈1.775．
答：乙种药品成本的年平均下降率为0.225
2、
3、
a(1＋x)2=b ；
a(1－ x)2=b
售价−进价
利润
利润率=
×100% =
×100%
进价
进价
进价×(1+利润率)= 标价×
打折数
10
举一反三
1. 某校去年对操场改造的投资为3万元，预计今明两年的投资总额为9万元，
若设该校今明两年在操场改造投资上的平均增长率是x，则可列方程
为
.
等量关系为：今年投资额+明年投资额=9万元
年平均增长率为 x
2
50 000(1 + x )
50 000
5．某粮食厂2016年面粉产量为a吨，如果在以后两年平均减产
a(1 – x)
的百分率为 x，那么预计 2017 年的产量将是_________．
浙教版八年级下册 2.4 一元二次方程的根与系数的关系(选学)课件(共19张PPT)
方x1＋程xa2x＝2＋__－b_x_ba＋__c_＝,x01x(2a＝≠_0_)_的_a_c根__如. 果是x1，x2，那么
一般地，一元二次方程根与系数有如下关系：
如果x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两
个根，那么x1＋x2＝－
b a
c ，x1x2＝ a
.
你能证明上面的结论吗？
深入探究
拓展训练
1 方程 2x2－3x＋1＝0的两个根记作x1 ， x2
不解方程，求x1 －x2的值.
解：由根与系数的关系，得
x1＋x2＝
3 2
，x1
x2＝
1 2
.
x1－x2 2 ＝ x1＋x2 2 －4x1x2
＝
3 2
2
－4
1＝ 2
1 4
.
∴x1－x2＝
1 2
.
总结归纳
求与根有关的代数式的值时，看代数式 是否具有对称性，若具有对称性，则直接变 形，将两根之和或积代入求值；若不具有对 称性，则将其中的某一个根单独代入方程中， 得到与待求值的代数式相关的结构，进行整 体代入求值．
方法规律总结
(1)不用解方程，即可求得两根之和、两根之积
(2)可根据已知一根求另一根，也可求一元二次方程
的待定系数
课堂小结
利用根与系数关系解决问题的一般步骤： 第一步：先将方程化为一般式
ax2+bx+c=0 （a≠0） 第二步：计算b2-4ac的值
b2-4ac≥0 有实数根 b2-4ac＜0 无实数根 第三步：有实数根写出两根之和，两根之积
1 x1
1 x2
x1 x2 x1 x2
7 5
3 5
7 5
5 3
浙教版八年级下册数学一元二次方程的应用学习课件
北
西C
A
东
B 南
巩固练习：
某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件 赢利40元。为了扩大销售，增加利润，商场决定采取适 当降价措施。经调查发现，如果每件衬衫每降价1元， 商场平均每天可多售出2件。
若商场平均每天要赢利1200元，则每件衬衫应降价 多少元？
变式练习：
某商场销售一批名牌衬衫，每件进价60元,当售价为100 元时，平均每天可售出20件。为了扩大销售，增加利润， 商场决定采取适当降价措施。经调查发现，如果每件衬 衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件。
例1、某花圃用花盆培育某种花苗,经过试验发现每盆的盈利与 每盆的株数构成一定的关系.每盆植入3株时,平均单株盈利3元; 以同样的栽培条件,若每盆增加1株,平均单株盈利就减少0.5元. 要使每盆的盈利达到10元,每盆应该植多少株?
解:设每盆花苗增加的株数为x株,则每盆花苗有(_x_+__3_)_ 株,平均单株盈利为__(3__-_0_._5_x__)元. 由题意,得
2
892
答:从2000年12月31日至2002年12月31日,我国上 网计算机总台数的年平均增长率为52.8﹪
（2）上网计算机总数2001年12月31日至2003年12月31日 的年平均增长率与2000年12月31日至2002年12月31日的 年平均增长率相比，哪段时间年平均增长率较大？
想一想:
(1)已知哪段时间 3200 的年平均增长率? 2400
则降价多少元？
（2）能不能通过适当的降价，使商场的每天衬衫销售 获利达到最大？若能，则降价多少元？最大获利是多
少元？(小组合作探究)
2、我校图书馆至去年年底藏书3.2万册,计划到明年年底 藏书达到5万册,若设每年平均增长率为x,则可列出方程 是( C )
西C
A
东
B 南
巩固练习：
某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件 赢利40元。为了扩大销售，增加利润，商场决定采取适 当降价措施。经调查发现，如果每件衬衫每降价1元， 商场平均每天可多售出2件。
若商场平均每天要赢利1200元，则每件衬衫应降价 多少元？
变式练习：
某商场销售一批名牌衬衫，每件进价60元,当售价为100 元时，平均每天可售出20件。为了扩大销售，增加利润， 商场决定采取适当降价措施。经调查发现，如果每件衬 衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件。
例1、某花圃用花盆培育某种花苗,经过试验发现每盆的盈利与 每盆的株数构成一定的关系.每盆植入3株时,平均单株盈利3元; 以同样的栽培条件,若每盆增加1株,平均单株盈利就减少0.5元. 要使每盆的盈利达到10元,每盆应该植多少株?
解:设每盆花苗增加的株数为x株,则每盆花苗有(_x_+__3_)_ 株,平均单株盈利为__(3__-_0_._5_x__)元. 由题意,得
2
892
答:从2000年12月31日至2002年12月31日,我国上 网计算机总台数的年平均增长率为52.8﹪
（2）上网计算机总数2001年12月31日至2003年12月31日 的年平均增长率与2000年12月31日至2002年12月31日的 年平均增长率相比，哪段时间年平均增长率较大？
想一想:
(1)已知哪段时间 3200 的年平均增长率? 2400
则降价多少元？
（2）能不能通过适当的降价，使商场的每天衬衫销售 获利达到最大？若能，则降价多少元？最大获利是多
少元？(小组合作探究)
2、我校图书馆至去年年底藏书3.2万册,计划到明年年底 藏书达到5万册,若设每年平均增长率为x,则可列出方程 是( C )
浙教版八年级数学下册第二章《一元二次方程的解法复习》公开课课件
) (
x-22)
强化训练
2、比一比，看谁做得快：
① (y+ 2 )(y- 2 )=2(2y-3) y1=y2=2
② 3t(t+2)=2(t+2)
t1=-2,t2=2/3
③ x2=4 3 x-11
x1=2 3 1 x2=2 3 1
④ (x+101)2-10(x+101)+9=0
x1=-92,x2=-100
无论m取何值，此方程都是一元二次方程
总结：方程中有括号时，应先用整体思想考虑有没
有简单方法，若看不出合适的方法时，则把它去括号 并整理为一般形式再选取合理的方法。
变1： 2(x-2)2+5(2-x)-3=0
变2： 2(2-x)2+5(2-x)-3=0
再变为： 2(x-2)2+5x-13=0
2(x-2)2+5x-10-3=0
2(x-2)2+5(x-2)-3=0
1.必需是一般形式的一元二次方程: ax2+bx+c=0(a≠0).
2.b2-4ac≥0.
x b b2 4ac .b2 4ac 0 . 2a
填空：
① x2-3x+1=0 ② 3x2-1=0
③ -3t2+t=0
④ x2-4x=2
⑤ 2x2－x=0
⑥ 5(m+2)2=8
⑦ 3y2-y-1=0 ⑧ 2x2+4x-1=0 ⑨ (x-2)2=2(x-2) 适合运用直接开平方法 ② 3x2-1=0 ⑥ 5(m+2)2=8
6
36
开平方，得: x 5
6
1
x1
2, x2
. 3
浙教版数学八年级下册《一元二次方程》课件
当k
3
≠
时，是一元二次方程．
2.关于 x 的方程(k2－1)x2 ＋ 2 (k－1) x ＋ 2k ＋ 2＝0,
且
当k ≠±1
时，是一元二次方程．,
当k ＝－1
时，是一元一次方程．
同时满足
联立：联合建立
.
k2－1 = 0
2 (k－1) ≠ 0
.
3.
将一元二次方程（x- 5）（x+ 5）+(2x-1)2=0化为一般形式，
距离为 8m. 如果梯子的顶端下滑 1m，那么梯子的底端滑动多少米？
A
1m
D
设梯子底端滑动 x m，可列出方程
7m
( x + 6 )2 + 72 = 102.
B
6m
C xE
分析：由勾股定理可知，滑动前梯子底端
距墙
6
m. 如果设梯子底端滑动 x m，
那么滑动后梯子底端距墙 x+6 m.
整理得 x2 +12x-15 ＝0.
4=0
x2 +12x-15 ＝0.
5x2
+10x-2.2＝0.
x2-x-56=0
像这样，两边都是整式,只含有一个未知数且未知数的最高次数是2次的方程
叫做一元二次方程.
学以致用：
判断下列方程是否为一元二次方程：
① 10x2=9
(√ )
③2x2-3x-1=0
(√ )
②2(x-1)=3x ( × )
④
1
2
梯子底端滑动的距离 x (m) 满足方程 ( x + 6 )2 + 72 = 102，
也就是 x2 + 12x - 15 = 0.
3
≠
时，是一元二次方程．
2.关于 x 的方程(k2－1)x2 ＋ 2 (k－1) x ＋ 2k ＋ 2＝0,
且
当k ≠±1
时，是一元二次方程．,
当k ＝－1
时，是一元一次方程．
同时满足
联立：联合建立
.
k2－1 = 0
2 (k－1) ≠ 0
.
3.
将一元二次方程（x- 5）（x+ 5）+(2x-1)2=0化为一般形式，
距离为 8m. 如果梯子的顶端下滑 1m，那么梯子的底端滑动多少米？
A
1m
D
设梯子底端滑动 x m，可列出方程
7m
( x + 6 )2 + 72 = 102.
B
6m
C xE
分析：由勾股定理可知，滑动前梯子底端
距墙
6
m. 如果设梯子底端滑动 x m，
那么滑动后梯子底端距墙 x+6 m.
整理得 x2 +12x-15 ＝0.
4=0
x2 +12x-15 ＝0.
5x2
+10x-2.2＝0.
x2-x-56=0
像这样，两边都是整式,只含有一个未知数且未知数的最高次数是2次的方程
叫做一元二次方程.
学以致用：
判断下列方程是否为一元二次方程：
① 10x2=9
(√ )
③2x2-3x-1=0
(√ )
②2(x-1)=3x ( × )
④
1
2
梯子底端滑动的距离 x (m) 满足方程 ( x + 6 )2 + 72 = 102，
也就是 x2 + 12x - 15 = 0.
2021年浙教版八年级数学下册第二章《一元二次方程的应用(第一课时) 》公开课课件.ppt
练习1
春节期间，某旅行社为吸引市民组团去风景区旅 游，推出如下收费标准：如果人数不超过25人，人均 旅游费用为1000元；如果人数超过25人，每增加1人， 人均旅游费用降低20元，但人均旅游费用不得低于 700元。某单位组织员工去天水湾风景区旅游，共支 付给该旅行社旅游费用27000元，请问该单位这次共 有多少员工去旅游？
❖ 10、人的志向通常和他们的能力成正比例。2021/1/92021/1/92021/1/91/9/2021 8:41:51 PM ❖ 11、夫学须志也，才须学也，非学无以广才，非志无以成学。2021/1/92021/1/92021/1/9Jan-219-Jan-21 ❖ 12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的错儿。2021/1/92021/1/92021/1/9Saturday, January 09, 2021 ❖ 13、志不立，天下无可成之事。2021/1/92021/1/92021/1/92021/1/91/9/2021
2015年该区居民购置花苗费用约为__________________元；
n年后该区居民购置花苗费用约为__________________元；
增长率问题
设基数为a，平均增长率为x，则一次增长后的值为 二次增长后的值为
依次类推n次增长后的值为
a(1+x) a(1+x)2 a(1+x)n
设基数为a，平均降低率为x，则一次降低后的值为 二次降低后的值为
❖
THE END 17、一个人如果不到最高峰，他就没有片刻的安宁，他也就不会感到生命的恬静和光荣。2021/1/92021/1/92021/1/92021/1/9
谢谢观看
（1）若每盆增加1株，此时每盆花苗有（3+____）株， 平均单株盈利为（3－0.5×____）元
新浙教版八年级数学下册第二章《一元二次方程根与系数的关系》精品课件
例1 则：
x1 x2
1. 2.
4
x1 x2
2 2
1
x
2 1
x
2பைடு நூலகம்
( x1 x2 )
另外几种常见的求值
x1 x2 1 1 1. x1 x 2 x1 x2
x1 x 2 x x 2. x1 x2 x 2 x1
2 1
2 2
( x1 x2 ) 2 2 x1 x2 x1 x2
2 2
c ＝ ． a
【总结发现】
如果一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 （a≠0）， 的两个根分别x1、x2，那么：
c b x1 x2 ， x1 x2 a a
．
这就是一元二次方程根与系数的关系，也叫韦达定理。
【例题精讲】
例 求下列方程两根的和与两根的积： （1）x2＋2x－5＝0； （2）2x2＋x＝1. 需要解方程吗？
2.4一元二次方程的根与系数的关系
探究：观察下表，你能发现下列一元二次方程的根与系数有什么关
系吗？
ax²+bx+c=0
x1
1 -1 2 -2 0
x2 x x x x 1 2 1 2
2 -2 3 -3 2 3 -3 5 -5 2 2 2 6 6 0
x²-3x+2=0 x²+3x+2=0
x²-5x+6=0
2
2
B、 D、
y －3y-5=0 y2－3y＋5=0
2
分析:设原方程两根为
新方程的两根之和为 ( x1 ) ( x2 )
3 新方程的两根之积为( x1 ) ( x2 ) 5
x1 , x 2 则: x1 x2 3, x1 x2 5
x1 x2
1. 2.
4
x1 x2
2 2
1
x
2 1
x
2பைடு நூலகம்
( x1 x2 )
另外几种常见的求值
x1 x2 1 1 1. x1 x 2 x1 x2
x1 x 2 x x 2. x1 x2 x 2 x1
2 1
2 2
( x1 x2 ) 2 2 x1 x2 x1 x2
2 2
c ＝ ． a
【总结发现】
如果一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 （a≠0）， 的两个根分别x1、x2，那么：
c b x1 x2 ， x1 x2 a a
．
这就是一元二次方程根与系数的关系，也叫韦达定理。
【例题精讲】
例 求下列方程两根的和与两根的积： （1）x2＋2x－5＝0； （2）2x2＋x＝1. 需要解方程吗？
2.4一元二次方程的根与系数的关系
探究：观察下表，你能发现下列一元二次方程的根与系数有什么关
系吗？
ax²+bx+c=0
x1
1 -1 2 -2 0
x2 x x x x 1 2 1 2
2 -2 3 -3 2 3 -3 5 -5 2 2 2 6 6 0
x²-3x+2=0 x²+3x+2=0
x²-5x+6=0
2
2
B、 D、
y －3y-5=0 y2－3y＋5=0
2
分析:设原方程两根为
新方程的两根之和为 ( x1 ) ( x2 )
3 新方程的两根之积为( x1 ) ( x2 ) 5
x1 , x 2 则: x1 x2 3, x1 x2 5
第2章复习课-2020春浙教版八年级数学下册课件 (共22张PPT)
析错纠错
易错点1
【典例 1】
忽视一元二次方程ax2+bx+c=0中的 隐含条件a≠0
若方程(m－2)x2－ 3－mx＋14＝0 有两个实
数根，则 m 的取值范围是
()
A. m＞52
B. m≤52且 m≠2
C. m≥3
D. m≤3 且 m≠2
【错解】 ∵方程有两个实数根，
∴Δ＝(－ 3－m)2－4(m－2)×14≥0，
∴方程有两个不相等的实数根. (2)∵x1＋x2＝2m－2，x1x2＝m2－2m， ∴x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2＝(2m－2)2－2(m2－2m)＝ 10， ∴m2－2m－3＝0，∴m1＝－1，m2＝3.
【变式 3-1】 若 m2＝m＋1，n2＝n＋1，且 m≠n，求 m5＋n5 的值.
示例：当 x＞0 时，求 y＝x＋4x＋1 的最小值.
解：y＝x＋4x＋1≥2 x·4x＋1＝5，当 x＝4x，即 x＝2 时，y 的 最小值为 5. (1)探究：当 x＞0 时，求 y＝x2＋3xx＋1的最小值. (2)问题解决：随着人们生活水平的提高，汽车已成为越来越多
家庭的交通工具，假设某种汽车的购车费用为 10 万元，每年 应缴保险费等各类费用共计 0.4 万元，n 年的保养维修费用总 和为n21＋0 n万元.问：这种汽车使用多少年报废最合算(即使用 多少年的年平均费用最少，年平均费用 w＝所有费用÷年数 n)？最少年平均费用为多少万元？
【解析】 ∵m2＝m＋1，n2＝n＋1, 且 m≠n， ∴m，n 是方程 x2－x－1＝0 的两个根. 由韦达定理，得 m＋n＝1. m5＝(m2)2·m＝(m＋1)2·m ＝(m2＋2m＋1)·m＝(m＋1＋2m＋1)·m ＝(3m＋2)·m＝3m2＋2m ＝3(m＋1)＋2m＝5m＋3. 同理可得 n5＝5n＋3， ∴m5＋n5＝5(m＋n)＋6＝5＋6＝11.
2021年浙教版八年级数学下册第二章《一元二次方程》公开课课件1.ppt
解：当x 1时，
左边 x2 2 （ 1）2 2 1 2 1
右边 x 1 左边 右边
x 1是原方程的解
大显身手：☞
已知关于x的方程x2 ax a 0的 一个根是3，求a的值.
解：把x 3代入方程，得：
32 3a a 0
解得：a 9 4
合作学习二: 想(1一)想x2 2 x 48 0
x2 10.21 x21.210
x 猜一猜
方程x２－1.21=0 的解是多少？
猜一猜:x等于多少？
x
1.2- 2x x
0.8- 2x
x
0.8
x
1.2
如果在长1.2m,宽0.8m的照片的四周内部镶上宽度相 等的边框,要求中间照片的面积是整个图形原面积的 0.75倍,那么边宽又有多宽呢?
谈一谈本节课我们的收获......
在什么条件下此方程为一元二次方程？在 什么条件下此方程为一元一次方程？
解：当a≠2时是一元二次方程；
当a＝2，b≠0时是一元一次方程；
!
看 谁 最 有 创 意 请 你 来 设
１m
照片是边长为1米的正方形,请大家帮老师为照片设计 一个边框,使边框的面积为0.21米2,设出未知数,并列 出方程.
１m
二次项 一次项 常数 系数 系数 项
x24 x30x24 x30 1
－4 －3
22xx4 22xx40 2
－1
－4ห้องสมุดไป่ตู้
2y4y2 0 4y2 2y0 －4 2
0
( 22x)( x12)3x22x10 3
－2 －1
关于x的方程(3-m)x2+6=0是一 元二次方程的条件是什么？
m≠3
大显身手：☞
左边 x2 2 （ 1）2 2 1 2 1
右边 x 1 左边 右边
x 1是原方程的解
大显身手：☞
已知关于x的方程x2 ax a 0的 一个根是3，求a的值.
解：把x 3代入方程，得：
32 3a a 0
解得：a 9 4
合作学习二: 想(1一)想x2 2 x 48 0
x2 10.21 x21.210
x 猜一猜
方程x２－1.21=0 的解是多少？
猜一猜:x等于多少？
x
1.2- 2x x
0.8- 2x
x
0.8
x
1.2
如果在长1.2m,宽0.8m的照片的四周内部镶上宽度相 等的边框,要求中间照片的面积是整个图形原面积的 0.75倍,那么边宽又有多宽呢?
谈一谈本节课我们的收获......
在什么条件下此方程为一元二次方程？在 什么条件下此方程为一元一次方程？
解：当a≠2时是一元二次方程；
当a＝2，b≠0时是一元一次方程；
!
看 谁 最 有 创 意 请 你 来 设
１m
照片是边长为1米的正方形,请大家帮老师为照片设计 一个边框,使边框的面积为0.21米2,设出未知数,并列 出方程.
１m
二次项 一次项 常数 系数 系数 项
x24 x30x24 x30 1
－4 －3
22xx4 22xx40 2
－1
－4ห้องสมุดไป่ตู้
2y4y2 0 4y2 2y0 －4 2
0
( 22x)( x12)3x22x10 3
－2 －1
关于x的方程(3-m)x2+6=0是一 元二次方程的条件是什么？
m≠3
大显身手：☞
浙教版数学八下课件2.2一元二次方程解法
练习1、用直接开平方法解下列方程 （1）3x2-75=0（2）x2+4=0
（3） x2 1(a 0) a
例3、解方程：16(x-3)2=25 分析：用换元法，(x-3)看成一个整体。 练习1、解方程9(2x+3)2=(x-3)2
2、方程ax2=c有实根的条件是————
配方法 先把方程的常数项移到方程的右边，再把左边 配成一个完全平方式，如果右边是非负数，就 可以进一步通过直接开平方法来求出它的解.
(1)当每辆车的月租金定3600元时,能租出多少辆?
100-（3600-3000）÷50=88（辆）
(2)当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益
(租金收入扣除维护费)可达到306600元?
设月租金定为x元，得：
(x 150)(100 x 3000) 306600 (3)3x2=4
x1+x2=3;x1·x2=0 x1+x2=0;x1·x2=－4/3
例3 已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是２，求 它的另一个根和k的值．
解：设方程的另一个根为x1 把x＝２代入方程，得 ４－２（k＋１）＋３k＝０, 解这个方程，得 k＝－２,
9.某种药品原价为36元/盒，经过连续两次降价后售价
为25元/盒。设平均每次降价的百分率为x，根据题意所
列方程正确的是() C
A．36（1－x)2＝36－25 B．36（1－2x）＝25
C．36（1－x）2＝25
D．36（1－x2）＝25
12.如果关于x的一元二次方程kx2－x＋1＝0有两个不相 等的实数根，那么k的取值范围是() D
怎样解形如与ax 2 0
ax2 c 0
的一元二次方程呢？
（3） x2 1(a 0) a
例3、解方程：16(x-3)2=25 分析：用换元法，(x-3)看成一个整体。 练习1、解方程9(2x+3)2=(x-3)2
2、方程ax2=c有实根的条件是————
配方法 先把方程的常数项移到方程的右边，再把左边 配成一个完全平方式，如果右边是非负数，就 可以进一步通过直接开平方法来求出它的解.
(1)当每辆车的月租金定3600元时,能租出多少辆?
100-（3600-3000）÷50=88（辆）
(2)当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益
(租金收入扣除维护费)可达到306600元?
设月租金定为x元，得：
(x 150)(100 x 3000) 306600 (3)3x2=4
x1+x2=3;x1·x2=0 x1+x2=0;x1·x2=－4/3
例3 已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是２，求 它的另一个根和k的值．
解：设方程的另一个根为x1 把x＝２代入方程，得 ４－２（k＋１）＋３k＝０, 解这个方程，得 k＝－２,
9.某种药品原价为36元/盒，经过连续两次降价后售价
为25元/盒。设平均每次降价的百分率为x，根据题意所
列方程正确的是() C
A．36（1－x)2＝36－25 B．36（1－2x）＝25
C．36（1－x）2＝25
D．36（1－x2）＝25
12.如果关于x的一元二次方程kx2－x＋1＝0有两个不相 等的实数根，那么k的取值范围是() D
怎样解形如与ax 2 0
ax2 c 0
的一元二次方程呢？
2.2一元二次方程的解法(2)课件2004年浙教版八年级下
解下列方程:
(1)2 x 18 0
2
(2)(3 x 1) 4
2
倍 速 课 时 学 练
(3)2( x 1) 8
2
一般地，对于形如
（a≥0）的 x a
2
方程，根据平方根的意义，可解得
x a, x a
1 2
倍 速 课 时 学 练
这种解一元二次方程的方法叫做开平 （square root extraction）法
1 (1)5(t 1) 0 5
2
(2)(2 x 3) 5
2
倍 速 课 时 学 练
１、方程 x 2 0.25 的根是
；
２、方程 2 x
2
18 的根是
2
；
；
3、 方程(2 x 1) 9 的根是
倍 速 课 时 学 练
课内练习P30 T3
x 10 x 25 9 变形为 ( x 5) 9
2
(2) x 6 5 x
2
倍 速 课 时 学 练
课内练习P30 T4
倍 速 课 时 学 练
2
2
x 6x 7 0
2
倍 速 课 时 学 练
变 形 为
这种方 程怎样 解？
的形式．（ａ为非负常数）
2
a
把一元二次方程的左边配成一 个完全平方式,然后用开平方法 求解,这种解一元二次方程的方 法叫做配方法.
倍Hale Waihona Puke 速 课 时 学 练例题2(1) y 6 y 4 0
(1)2 x 18 0
2
(2)(3 x 1) 4
2
倍 速 课 时 学 练
(3)2( x 1) 8
2
一般地，对于形如
（a≥0）的 x a
2
方程，根据平方根的意义，可解得
x a, x a
1 2
倍 速 课 时 学 练
这种解一元二次方程的方法叫做开平 （square root extraction）法
1 (1)5(t 1) 0 5
2
(2)(2 x 3) 5
2
倍 速 课 时 学 练
１、方程 x 2 0.25 的根是
；
２、方程 2 x
2
18 的根是
2
；
；
3、 方程(2 x 1) 9 的根是
倍 速 课 时 学 练
课内练习P30 T3
x 10 x 25 9 变形为 ( x 5) 9
2
(2) x 6 5 x
2
倍 速 课 时 学 练
课内练习P30 T4
倍 速 课 时 学 练
2
2
x 6x 7 0
2
倍 速 课 时 学 练
变 形 为
这种方 程怎样 解？
的形式．（ａ为非负常数）
2
a
把一元二次方程的左边配成一 个完全平方式,然后用开平方法 求解,这种解一元二次方程的方 法叫做配方法.
倍Hale Waihona Puke 速 课 时 学 练例题2(1) y 6 y 4 0
浙教版八年级数学下册第二章一元二次方程小结复习课件(分层走班A)公开课
一元二次方程复习
明辨是非
判断下列方程是不是一元二次方程，若不是一元二 次方程，请说明理由？
1、(x－1)２＝４
√ ２、x2－2x=8
√
1
3、x2+ ＝１
× ４、x２＝y+１
×
x
5、x３－２x２＝１ × 6、x（x－２）＝１+x2 ×
方程两边都是整式 一元二次方程的定义 只含有一个未知数
求知数的最高次数是2
3、方程中有括号时，应先用整体思想考虑有没有简单
方法，若看不出合适的方法时，则把它去括号并整理
为一般形式再选取合理的方法。
综合提高（整体思想在方程解法应用 及其方程解的. 已知: (a2+b2)(a2+b2-3)=10 求a2+b2 的值。
x
80cm
x
50cm
x x
列方程解应用题的步骤有:
审 即审题，找出题中的量，分清有哪些已知量、未知量， 哪些是要求的未知量和所涉及的基本数量关系、相等关 系。
设 设元，包括设直接未知数或间接未知数，以及用 未知数字母的代数式表示其他相关量（注意未知 数的取值范围）。
列 根据等量关系列出方程
解 解方程
3 x2 4x 1
4 x2 3x 1 0
（5）y 22 3y 1（2 6）3xx 2 x 2
直接开平方法 化成x2 mm 0 x m
因 式 分解法 化成A• B 0 A 0或B 0
一元二次方程的解法 配 方 法 二次项系数为1，而一次项系数为偶数
求 根 公式法 先将方程化成一般形式，确定a，b，c。
1、若 m 2x2 m 2x 2 0 是关于x的一元二次
方程则m ≠－ 2 。
明辨是非
判断下列方程是不是一元二次方程，若不是一元二 次方程，请说明理由？
1、(x－1)２＝４
√ ２、x2－2x=8
√
1
3、x2+ ＝１
× ４、x２＝y+１
×
x
5、x３－２x２＝１ × 6、x（x－２）＝１+x2 ×
方程两边都是整式 一元二次方程的定义 只含有一个未知数
求知数的最高次数是2
3、方程中有括号时，应先用整体思想考虑有没有简单
方法，若看不出合适的方法时，则把它去括号并整理
为一般形式再选取合理的方法。
综合提高（整体思想在方程解法应用 及其方程解的. 已知: (a2+b2)(a2+b2-3)=10 求a2+b2 的值。
x
80cm
x
50cm
x x
列方程解应用题的步骤有:
审 即审题，找出题中的量，分清有哪些已知量、未知量， 哪些是要求的未知量和所涉及的基本数量关系、相等关 系。
设 设元，包括设直接未知数或间接未知数，以及用 未知数字母的代数式表示其他相关量（注意未知 数的取值范围）。
列 根据等量关系列出方程
解 解方程
3 x2 4x 1
4 x2 3x 1 0
（5）y 22 3y 1（2 6）3xx 2 x 2
直接开平方法 化成x2 mm 0 x m
因 式 分解法 化成A• B 0 A 0或B 0
一元二次方程的解法 配 方 法 二次项系数为1，而一次项系数为偶数
求 根 公式法 先将方程化成一般形式，确定a，b，c。
1、若 m 2x2 m 2x 2 0 是关于x的一元二次
方程则m ≠－ 2 。
浙教版八年级数学下册第二章《一元二次方程》PPT课件
（1） x2 3x 2 0. 答：a=1, b=3, c= -2. （2） 2x2 5x 3 0.答：a=-2, b=-5, c= 3.
（3） 3x2 5x 2. 3x2 5x 2 0.
答：a=3, b=-5, c= 2.
（4） 2x 13x 2 3. 6x2 4x 3x 2 3,
想一想
为什么要限制a≠0，b,c可以为零吗？
其中ax2,bx,c分别称为二次项，一次项，常数项，
a,b分别称为二次项系数,一次项系数.
ax2 + bx + c = 0 (a≠0)
二次项系数 一次项系数 常数项
注意:要确定一元二次方程的系数和常数项 ,必
须先将方程化为一般形式 在写一元二次方程的一般形式时,通常按未知
• [2] 5x2 125x
• [3] y2 6 y 0
• [4] x2 14x 49
• [5] 16 x 2 (5x 1)2
我们先来看看例题。 解下列方程： x2 36
x2 学科网 0.25 2x2 32 2x2 50 0 (x 1)2 49 (x 1)2 1
x2 2 5x 5 0
例1、用因式分解法解下列一元二次方程 (1)(x－5)(3x－2)＝10 (2)(3x－4)2=(4x－3)2 (3)27x2－18x＝－3
试一试
1、填空：
（1）方程x2+x=0的根是 X1=0, x2=-1 ；
（2）x2－25=0的根是 X1=5, x2=-5 。
试一试
2、用因式分解法解下列一元二次方程
2.若一个数的平方等于这个数本身,你能求 出这个数吗(要求列出一元二次方程求解)?
能说出你这节课的收获和体验让大 家与你分享吗？
注意：当方程的一边为0时，另一边容易分解成两个
（3） 3x2 5x 2. 3x2 5x 2 0.
答：a=3, b=-5, c= 2.
（4） 2x 13x 2 3. 6x2 4x 3x 2 3,
想一想
为什么要限制a≠0，b,c可以为零吗？
其中ax2,bx,c分别称为二次项，一次项，常数项，
a,b分别称为二次项系数,一次项系数.
ax2 + bx + c = 0 (a≠0)
二次项系数 一次项系数 常数项
注意:要确定一元二次方程的系数和常数项 ,必
须先将方程化为一般形式 在写一元二次方程的一般形式时,通常按未知
• [2] 5x2 125x
• [3] y2 6 y 0
• [4] x2 14x 49
• [5] 16 x 2 (5x 1)2
我们先来看看例题。 解下列方程： x2 36
x2 学科网 0.25 2x2 32 2x2 50 0 (x 1)2 49 (x 1)2 1
x2 2 5x 5 0
例1、用因式分解法解下列一元二次方程 (1)(x－5)(3x－2)＝10 (2)(3x－4)2=(4x－3)2 (3)27x2－18x＝－3
试一试
1、填空：
（1）方程x2+x=0的根是 X1=0, x2=-1 ；
（2）x2－25=0的根是 X1=5, x2=-5 。
试一试
2、用因式分解法解下列一元二次方程
2.若一个数的平方等于这个数本身,你能求 出这个数吗(要求列出一元二次方程求解)?
能说出你这节课的收获和体验让大 家与你分享吗？
注意：当方程的一边为0时，另一边容易分解成两个
2020年浙教版八年级数学下册第二章《一元二次方程的解法》精品课件 (2)
即：(x+1)2=5/2
时 学
∴x+1=
5 或x+1=-
5
练∴x1= -1+ 5 或x2= -1-
解：方程两边同除以2，得
x2-8/3x-1=0 移项，得 x2-8/3x=1 方程两边都加上16/9，得
x2-8/3x+16/9=25/9 即：（x-4/3)2=25/9
∴x- 4/3= 5/3 或x- 4/3=- 5/3
b a
x+
c a
=0
2.移项，得 x2+
倍
b a
x= -
c a
速 课
3.方程两边都加上(
b 2a
)2 ，得
时
x2+
b a
x+(2ba
)2=
b2-4ac 4a2
学 练
4.用开平方法，解得答案。
(1) n (n - 1) - 3n = 1
2
倍 速
(2) 3 x 2 - 1 x - 1 = 0
课
4
28
时
学
练
比一比：看谁做得快
用配方法解下列方程：
(1) 2x 2 - 5x + 2 = 0
倍 (2) 2 - 1 x 2 = 5 x
速 课
3
3
时
学
练
小结
ax2+bx+c=0
1.方程两边同时除以a,得 x2+
速 课 时 学 练
开平方法解一元二次方程
• 一般地，对于形如： ① x 2 = a
( ) ②
m
2
x+n =b
其中 a,b 是非负数,
这样的一元二次方程，可用开平方法 直接得
2021年浙教版八年级数学下册第二章《一元二次方程》精品课件 (2).ppt
。2021年1月9日星期六2021/1/92021/1/92021/1/9
❖ 15、会当凌绝顶，一览众山小。2021年1月2021/1/92021/1/92021/1/91/9/2021
❖ 16、如果一个人不知道他要驶向哪头，那么任何风都不是顺风。2021/1/92021/1/9January 9, 2021
• 14、Thank you very much for taking me with you on that splendid outing to London. It was the first time that I had seen the Tower or any of the other famous sights. If I'd gone alone, I couldn't have seen nearly as much, because I wouldn't have known my way about.
x
2、将下列方程化为一般式。
(1)6y2 y (2 ) x 2 x 3 8 (3 )x 2 x 2 4
强化训练二：
1 已 . 知一 a2 x 元 x c 二 0 的次 两 x 1 方 个 1 2, x 2 程 根 1 ,求 为 这
2．已知关于x的一元二次方程 有一个解是0，求m的值。
作业:
2.1 一元二次方程
归纳
❖ 方程 x2 3x4和
(1 x ) 2 1 2
的两边都是整
式，只含有一个未知数，并且未知数的最高
次数是2次，这样的方程叫做一元二次方程.
完成P26做一做
一元二次方程的一般形式
ax2bxc0
Байду номын сангаас
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请利用因式分解解下列方程：
（1）y2－3y＝0;
解：（1）y（y-3）=0 ∴ y=0或y-3=0 ∴ x1=0， x2=3
(2) 4x2=9
（2）移项，得 4x2-9=0 （2x+3）（2x-3）=0 ∴x1=-1.5， x2=1.5
像上面这种利用因式分解解一元二次方程 的方法叫做因式分解法。它的基本步骤是：
练一练
用因式分解法解下列方程： （1）（ｘ－2）（2ｘ－3）＝6； （2）x（ｘ－4）＝-4 （3）（2x-1）2=-8x
例3、解方程x2=2 x－2 解 移项，得 x2 －2 x+2=0,
即 x2 －2 x+( )2=0. ∴(x － )2=0,
∴x1=x2=
1.解方程 x2－2 x=-3
2.若一个数的平方等于这个数本身,你能求 出这个数吗(要求列出一元二次方程求解)?
1.若方程的右边不是零，则先移项，使方程的右边为零； 2、将方程的左边分解因式； 3、根据若A·B=0,则A=0或B=0,将解一元二次方程转化 为解两个一元一次方程。
例1、用因式分解法解下列一元二次方程 (1)(x－5)(3x－2)＝10 (2)(3x－4)2=(4x－3)2 (3)27x2－18x＝－3
复习回顾
1、一元二次方程的定义 2、一元二次方程的一般式：
（a≠0）
3、一元二次方程的根的含义
复习回顾
因式分解: 把一个多项式化成几个整式的积的形式 主要方法:
(1)提取公因式法 (2)公式法:
a2－b2=(a+b) (a－b) a2±2ab+b2=(a±b)2
在学习因式分解时，我们已经知道， 可以利用因式分解求出某些一元二次方 程的解
即:
做一做
用因式分解法解下列一元二次方程 (1)7x2＝21x； (2)(ｘ＋2)2＝2x＋4； (3)(7ｘ-1)2＝4x2； (4)4(ｘ－3)2-x(x－3)＝0； (5)9x2＝(x－1)2；
例2 、解下列一元二次方程：
（1）（x－5) (3x－2)=10; (2) (3x－4)2=(4x－3)2.
再见！
试一试
1、填空：
（1）方程x2+x=0的根是 X1=0, x2=-1 ；
（2）x2－25=0的根是 X1=5, x2=-5 。
试一试
2、用因式分解法解下列一元二次方程
辨一辨:
下列解一元二次方程的方法对吗?若不对请改正。
解方程:
解:方程两边都除以
移项得: 合并同类项得:
得:
解:移项得: 方程左边因式分解得:
解：(1) 化简方程，得 3x2－17x=0.
将方程的左边分解因式，得 x(3x－17)=0, ∴x=0 ,或3x－17=0 解得 x1=0,4x－3)2=0. 将方程的左边分解因式，得 〔能(用3x因－式4)分+(解4x法－解3)一〕元〔二(次3x方－程4)遇－到(类4x似－例3)2〕这=样0,的， 移即项后(能7x直－接7)因(式-x分－解1)就=0直. 接因式分解，否则移项后 先∴化7x成－一7=般0,式或再因-x式－分1=解0.. ∴x1=1, x2=-1
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注意：当方程的一边为0时，另一边容易分解成两个
一次因式的积时，则用因式分解法解方程比较方便.
因式分解法解一元二次方程的基本步骤 （1）将方程变形，使方程的右边为零； （2）将方程的左边因式分解； （3）根据若A·B=0，则A=0或B=0，将解一元二次方程 转化为解两个一元一次方程； 能用因式分解法解一元二次方程遇到类似例2这样的， 移项后能直接因式分解就直接因式分解， 否则移项后先化成一般式再因式分解.