2019-2020学年湖州市长兴县高二(下)期中数学试卷(含答案解析)

2019-2020学年湖州市长兴县高二(下)期中数学试卷一、单选题（本大题共10小题，共40.0分）1. 函数f(2x −1)的定义域是[1,2]，则函数f(x +1)的定义域是( )A. [1,3]B. [2,4]C. [0,1]D. [0,2]2. i 是虚数单位，复数7−i3+i 对应的点在( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 假设200件产品中有3件次品，现在从中任取5件，其中至少有2件次品的抽法有( )A. 种B. ( )种C.种D.种4. 已知函数f(x)=x +1(0≤x ≤1)，g(x)=2x −12(x ≥1)，函数ℎ(x)={f(x),0≤x <1g(x),x ≥1，若方程ℎ(x)−k =0，k ∈[32,2)有两个不同的实根m ，n(m >n ≥0)，则n ⋅g(m)的取值范围为( )A. [32,2)B. [14,2)C. [34,3]D. [34,2)5. 已知函数f(x)满足−f(x)=f(−x)，且当x ∈(−∞,0)时，f(x)+xf′(x)<0成立，若a =(20.1)⋅f(20.1)，b =(ln2)⋅f(ln2)，c =(log 218)⋅f(log 218)，则a ，b ，c 的大小关系是( )A. a >b >cB. c >b >aC. c >a >bD. a >c >b6. 已知偶函数y =f(x)在区间[0,+∞)上单调递增，且满足f(3)=1，则不等式f(2x −1)<1的解集是( )A. (−1,2)B. (−2,1)C. (12,2)D. [12,2)7. 已知(1−x −x 8)=a 0+a 1x +a 2x 2+⋯+a n x n ，则a 1+a 2+⋯+a n 的值为( )A. −1B. 1C. 0D. −28. 已知函数，若存在，使得，则的取值范围为( )A.B.C.D.9.已知函数f(x)=−ax3+x2−ax在(−∞,+∞)上是单调减函数，则实数a的取值范围是()9A. (−∞,−√3]∪[√3,+∞)B. [−√3,√3]C. [√3,+∞)D. (−∞,√3]10.已知定义在R上的偶函数f(x)满足f(x−4)=f(x)，且在区间[0,2]上f(x)=x，若关于x的方程f(x)=log a x有三个不同的根，则a的范围为()A. (2,4)B. (2,2√2)C. (√6,2√2)D. (√6,√10)二、单空题（本大题共3小题，共12.0分）11.6名大学毕业省先分成三组，其中两组各1人，一组4人，再分配到3个不同的工作岗位实习，则符合条件的不同分法数为______．12.已知函数，若函数g(x)=f(x)+2x−a有三个不同的零点，则实数a的取值范围是______．13.用M I表示函数y=sinx在闭区间I上的最大值，若正数a满足M[0,a]=√2M[a,2a]，则a的为______．三、多空题（本大题共4小题，共24.0分）14.已知集合M={x|x2−4x+3<0}，N={x|log2x<1}，则M∪N=(1)，C R M=(2)．(i是虚数单位)，则z2=(1)；|z|=(2)．15.已知复数z满足z=1−ii16.计算：lg2+lg5=；1lg25+lg2−log39=．217.多项式(x+1)(x+2)4的展开式中，含x2的系数为(1)，展开式的各项系数和为(2).(均用数字作答)四、解答题（本大题共5小题，共74.0分）18.7个小孩站成2排，3个女孩站在前排，4个男孩站在后排，有多少种站法？x2+ax，其中a为常数．19.已知函数f(x)=(x+a−1)e x，g(x)=12(1)若a=2时，求函数f(x)在点(0,f(0))处的切线方程；(2)若对任意x∈[0,+∞)，不等式f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围．20.设的极小值为，其导函数的图像是经过点开口向上的抛物线，如图所示．(1)求的解析式；(2)若，且过点(1,m)可作曲线的三条切线，求实数的取值范围．21.已知a>b>0，m>0，试用分析法证明：ba <b+ma+m．22.设函数f(x)=x3−6x+5，x∈R．(1)若关于x的方程f(x)=a有3个不同实根，求实数a的取值范围；(2)已知当x∈(1,+∞)时，f(x)≥k(x−1)恒成立，求实数k的取值范围．【答案与解析】1.答案：D解析：解：∵函数f(2x−1)的定义域为[1,2]，∴1≤2x−1≤3，即函数f(x)的定义域为[1,3]，∴函数f(x+1)的定义域需满足1≤x+1≤3，即0≤x≤2，函数f(x+1)的定义域为[0,2]，故选：D．函数f(2x−1)的定义域为[1,2]，求出2x+1的范围，再得出函数f(x)的定义域，最后求出函数f(x+ 1)的定义域．本题考查了函数的概念，符合函数定义域的求解方法思路，要求对函数要素的理解非常好．2.答案：D解析：解：∵7−i3+i =(7−i)(3−i)(3+i)(3−i)=20−10i10=2−i，∴复数7−i3+i对应的点为(2,−1)，在第四象限，故选：D．易求7−i3+i =(7−i)(3−i)(3+i)(3−i)=2−i，从而可得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，分母实数化是关键，属于基础题．3.答案：B解析：本题考查组合数公式的运用，解题时要注意“至少”“至多”“最少”“最少”等情况的分类讨论．根据题意，“至少有2件次品”可分为“有2件次品”与“有3件次品”两种情况，由组合数公式分别求得两种情况下的抽法数，进而相加可得答案解：根据题意，“至少有2件次品”可分为“有2件次品”与“有3件次品”两种情况，“有2件次品”的抽取方法有C32C1973种，“有3件次品”的抽取方法有C 33C 1972种， 则共有C 32C 1973+C 33C 1972种不同的抽取方法，故选B .4.答案：D解析：解：函数f(x)=x +1(0≤x ≤1)，g(x)=2x −12(x ≥1)，作出函数ℎ(x)={f(x),0≤x <1g(x),x ≥1，的图象，若方程ℎ(x)−k =0，k ∈[32,2)有两个不同的实根m ，n(m >n ≥0)，则：12≤n <1，ng(m)=nf(n)=n(n +1)=n 2+n =(n +12)2−14∴34≤ng(m)<2． 故选：D ．画出函数的图象，利用图象结合已知条件，推出n ⋅g(m)的取值范围即可．本题考查函数与方程的综合应用，一次函数二次函数指数函数的值域等知识，作出函数的图象是解题的关键．5.答案：C解析：解：∵−f(x)=f(−x)，∴f(x)是奇函数， ∴xf(x)是偶函数．设g(x)=xf(x)，当x ∈(−∞,0)时，g′(x)=f(x)+xf′(x)<0， ∴函数g(x)在x ∈(−∞,0)上单调递减， ∴函数g(x)在x ∈(0,+∞)上单调递增． ∵−log 218=3>20.1>1>ln2>0， ∴g(log 218)>g(20.1)>g(ln2)， 故选：C ．令g(x)=xf(x)，得g(x)是偶函数；由x ∈(−∞,0)时，g′(x)=f(x)+xf′(x)<0，得函数g(x)在x ∈(−∞,0)上单调递减，从而得g(x)在(0,+∞)上单调递增；再由∴函数g(x)在x ∈(0,+∞)上单调递增．再由−log 218=3>20.1>1>ln2>0，得a ，b ，c 的大小．本题考查了函数的图象与奇偶性关系以及用导数研究函数的单调性等知识，解题的关键是构造函数g(x)并求导，属于易出错的题目．6.答案：A解析：本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，关键是得到关于x 的不等式，属于基础题． 根据题意，由函数的奇偶性与单调性分析可得f(2x −1)<1⇒f(2x −1)<f(3)⇒|2x −1|<3，解可得x 的取值范围，即可得答案．解：根据题意，偶函数y =f(x)在区间[0,+∞)上单调递增，且满足f(3)=1， 则f(2x −1)<1⇒f(2x −1)<f(3)⇒|2x −1|<3， 解可得：−1<x <2， 即不等式的解集为(−1,2)； 故选A ．7.答案：D解析：解：由(1−x −x 8)=a 0+a 1x +a 2x 2+⋯+a n x n ，可得a 0=1， 令x =1，可得1+a 1+a 2+⋯+a n =1−1−1， 故a 1+a 2+⋯+a n =−2， 故选：D ．由题意可得可得a 0=1，在所给的等式中，令x =1，可得1+a 1+a 2+⋯+a n =1−1−1，由此求得a 1+a 2+⋯+a n 的值．本题主要考查二项式定理的应用，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的x 赋值，求展开式的系数和，可以简便的求出答案，属于基础题．8.答案：C解析：试题分析：由已知得，当时，；当时，.因为存在，使得，所以使得的，那么，所以设，则，在上是单调递增的， 设，则，，所以的取值范围为．考点：1.分段函数的图像与性质；2.二次函数的单调性与最值9.答案：C解析：解：∵f′(x)=−3ax 2+2x −a9，由题意f′(x)≤0在R 上恒成立． 则{a >0△≤0，即{a >04−43a 2≤0解得a ≥√3． 故选C ．求出f′(x)，由题意f′(x)≤0在R 上恒成立，利用二次函数的性质求出a 的取值范围即可得到满足题意的a 范围．此题要求学生会利用导函数的正负研究函数的单调性，是一道中档题．函数f(x)是R 上的单调递减函数，则f′(x)≤0，易错误地求解成f′(x)<0．10.答案：D解析：解：：由f(x −4)=f(x)可得周期等于4， 当x ∈(0,10]时，函数的图象如图f(2)=f(6)=f(10)=2，再由关于x 的方程f(x)=log a x 有三个不同的根， 可得{log a 6<2log a 10>2，解得 a ∈(√6,√10)， 故选：D ．首先求出f(x)的周期是4，画出函数的图象，得到关于a 的不等式，解得即可 本题主要考查函数的图象特征，体现了数形结合的数学思想，属于基础题．11.答案：90解析：解：根据题意，分2步进行分析：①、先将6名大学毕业生先分成三组，其中两组各1人，一组4人，有C 64C 21C 11A 22=15种分组方法，②、将分好的3组全排列，对应3个不同的工作岗位，有A 33=6种情况， 则符合条件的不同分法有15×6=90种； 故答案为：90．根据题意，分2步进行分析：①、先将6名大学毕业生先分成三组，其中两组各1人，一组4人，②、将分好的2组全排列，对应2个不同的工作岗位，由分步计数原理计算可得答案． 本题考查组合数公式的应用，关键是正确计算将6人分成三组的可能情况．12.答案：(−∞,−3)解析：解：g(x)={2x +2x −a,x ≤0x 2+2(a +1)x +1−a,x >0, 当x ≤0时，g(x)单调递增，且g(x)≤g(0)=1−a ， 当x >0时，g(x)的对称轴为直线x =−a −1，(1)当−a −1≤0即a ≥−1时，g(x)在(0,2)上单调递增，∴g(x)不可能有3个零点，(2)当−a −1>0即a <−1时，g(x)在(0,−a −1)上单调递减，在(−a −1,+∞)上单调递增， ∴当x =−a −1时，g(x)取得极小值f(−a −1)=−a 2−3a ， ∵g(x)有3个零点， ∴{1−a >0−a 2−3a <0，解得a <−3．综上，a <−3， 故答案为(−∞,−3)．判断g(x)的单调性，求出g(x)的极值，根据零点个数列不等式组解出a 的范围． 本题考查了函数零点与函数单调性、极值的关系，函数单调性的判断，属于中档题．13.答案：3π4或9π8解析：解：当a ∈[0,π2]时，2a ∈[0,π]，M [0,a]=sina ，M [a,2a]=1， 由M [0,a]=√2M [a,2a]，得sina =√2，此时不成立； 当a ∈[π2,π]时，2a ∈[π,2π]，M [0,a]=1，M [a,2a]=sina ，由M [0,a]=√2M [a,2a]，得1=√2sina ，即sina =√22，a =3π4；当a ∈[π,3π2]时，2a ∈[2π,3π]，M [0,a]=1，M [a,2a]=sin2a 或1，由M [0,a]=√2M [a,2a]，得1=√2sin2a ，即sin2a =√22，得a =9π8；当a ∈[3π2,+∞)时，2a ∈[3π,+∞)，M [0,a]=1，M [a,2a]=1，不合题意． 综上，a 的为3π4或9π8． 故答案为：3π4或9π8．分a 在不同区间进行讨论，得出符合条件的a 值即可．本题考查三角函数的最值的求法，考查分类讨论的数学思想方法，考查计算能力，是中档题．14.答案：{x|0<x <3}{x|x ≤1或x ≥3}解析：解：∵集合M={x|x2−4x+3<0}={x|1<x<3}，N={x|log2x<1}={x|0<x<2}，∴M∪N={x|0<x<3}，C R M={x|x≤1或x≥3}．故答案为：{x|0<x<3}，{x|x≤1或x≥3}．先求出集合M，N，由此能求出M∪N，C R M.本题考查并集、补集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意并集、补集定义的合理运用．15.答案：2i√2解析：本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．利用复数代数形式的乘除运算化简z，进一步求得z2，再由复数模的计算公式求|z|．解：∵z=1−ii =(1−i)(−i)−i2=−1−i，∴z2=(−1−i)2=2i，|z|=√2．故答案为2i；√2．16.答案：1−1解析：解：lg2+lg5=lg(2×5)=1；12lg25+lg2−log39=lg5+lg2−2=lg(2×5)−2=−1．直接由对数的运算性质求解即可．本题考查了对数的运算性质，是基础题．17.答案：56163解析：解：(x+1)(x+2)4=x(x+2)4+(x+2)4，在x(x+2)4的展开式中，含x2的项为：x⋅C41x⋅23=32x2，在(x+2)4的展开式中，含x2的项为：C42x2⋅22=24x2，∴多项式(x+1)(x+2)4的展开式中，含x2的系数为：32+24=56．多项式(x+1)(x+2)4的展开式中，令x=1，得展开式的各项系数和为：(1+1)(1+2)4=162．故答案为：56，162．(x+1)(x+2)4=x(x+2)4+(x+2)4，在x(x+2)4的展开式中，含x2的项为：x⋅C41x⋅23=32x2，在(x+2)4的展开式中，含x2的项为：C42x2⋅22=24x2，由此能求出多项式(x+1)(x+2)4的展开式中，含x2的系数；令x=1，能求出展开式的各项系数和．本题考查二项展开式中含x2项的系数、各项系数和的求法，考查二项式定理等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．18.答案：解：第一步3个女孩站在前排有A33=6，4个男孩站在后排有A44=24，则共有6×24=144种站法．解析：根据分步计数原理进行求解即可．本题主要考查排列数的应用，结合分步计数原理是解决本题的关键．比较基础．19.答案：解：(1)a=2时，f(x)=(x+1)e x，∴f′(x)=(x+2)e x，∴f′(0)=2，又因为切点(0,1)，所以切线为2x−y+1=0；(2)令ℎ(x)=f(x)−g(x)，由题得ℎ(x)min≥0在x∈[0,+∞)恒成立，x2−ax，所以ℎ′(x)=(x+a)(e x−1)，ℎ(x)=(x+a−1)e x−12①若a≥0，则x∈[0,+∞)时ℎ′(x)≥0，所以函数ℎ(x)在[0,+∞)上递增，所以ℎ(x)min=ℎ(0)=a−1，则a−1≥0，得a≥1，②若a<0，则当x∈[0,−a]时，ℎ′(x)≤0，当x∈[−a,+∞)时，ℎ′(x)≥0，所以函数ℎ(x)在[0,−a]上递减，在[−a,+∞)上递增，所以ℎ(x)min=ℎ(−a)，又因为ℎ(−a)<ℎ(0)=a−1<0，所以不合题意．综合得：a≥1．解析：(1)求出函数的导数，计算f′(0)的值，求出切线方程即可；(2)求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，从而求出a的范围即可．本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．20.答案：(1)；(2)m的取值范围是(−3,−2)．解析：解：(1)由题意得，，∴，∴，由导函数图像可知函数y=f(x)在(−∞,−1)上单调递增，在(−1,1上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，所以，解得a=1，∴函数；(2)设切点为，由题设知，则切线斜率可表示为和，所以，，所以，要有三条切线，则上述关于x0的方程应有三个不同的实数根，令，即，，所以由，故m的取值范围是(−3,−2)．21.答案：证明：由a>b>0，m>0得am>bm，故得am+ab>bm+ab，即a(b+m)>b(a+m)又因为a>0，b>0，m>0，在不等式两边同时除以a(a+m)得ba <b+ma+m．不等式得证．解析：利用不等式的性质，即可证明结论．本题考查不等式的证明，考查综合法，考查学生的计算能力，比较基础．22.答案：解：(1)∵f(x)=x3−6x+5，∴f′(x)=3x2−6，令f′(x)=3x2−6=0得x=±√2，列表如下：x(−∞,−√2)−√2(−√2,√2)√2(√2,+∞) f′(x)+0−0+f(x)↗5+4√2↘5−4√2↗所以函数f(x)的极大值为5+4√2，极小值为5−4√2，∵关于x的方程f(x)=a有三个不同的实根，∴5−4√2<a<5+4√2；(2)x∈(1,+∞)时，f(x)≥k(x−1)恒成立，也就是k≤x3−6x+5x−1恒成立，令g(x)=x 3−6x+5x−1(x >1)，则g(x)=x 2+x −5(x >1)，又∵g(x)的最小值为−3， ∴k ≤−3．解析：(1)利用导数，确定函数的单调性，求出函数f(x)的极大值为5+4√2，极小值为5−4√2，利用关于X 的方程f(x)=a 有三个不同的实根，即可求实数a 的取值范围； (2)因为x ∈(1,+∞)，所以f(x)≥k(x −1)恒成立可转化为k ≤x 3−6x+5x−1恒成立，再化简k ≤x 3−6x+5x−1，求最小值即可．本题主要考查了利用导数求函数单调区间，极值，以及函数的极值的应用，综合性强．。