完全平方数

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完全平方数整理

完全平方数一、完全平方数常用性质1.主要性质 1.完全平方数的尾数只能是0，1，4，5，6，9。

不可能是2，3，7，8。

2.在两个连续正整数的平方数之间不存在完全平方数。

3.完全平方数的约数个数是奇数，约数的个数为奇数的自然数是完全平方数。

4.若质数p 整除完全平方数2a ，则p 能整除a 。

2.重点公式回顾：平方差公式：22()()a b a b a b -=+-模块一、完全平方数基本性质和概念基础练习、指出下列哪些是平方数？1156，5487，5329，8008。

1．在3240,8972,2116，2475,2400这五个数中，哪几个是完全平方数？2.正整数的平方按大小排成1 4 9 16 25 36 49 …,那么第85 个位置上的数字是几【例 1】写出从360到630的自然数中有奇数个约数的数．1、在50～400中，有多少个平方数？2、在50～761中有多少个平方数？例题精讲知识点拨3、123×134的积是平方数吗？4、一个数的完全平方有39个约数，求该数的约数个数是多少？【例2】从1到2008的所有自然数中，乘以72后是完全平方数的数共有多少个？【巩固】1016与正整数a的乘积是一个完全平方数，则a的最小值是________．2、46035乘以一个自然数a，积是一个整数的平方，求最小的a及这个整数。

3、已知3528a恰是自然数b的平方数，a的最小值是。

【例3】已知自然数n满足：12!除以n得到一个完全平方数，则n的最小值是。

1、（04南京冬令营）一个数与2940的积是完全平方数，那么这个数最小是（）。

2、（03甘肃冬令营）祖孙三人，孙子和爷爷的年龄的乘积是1512，而爷爷、父亲、孙子三人的年龄之积是完全平方数，则父亲的年龄是（）岁。

3.求一个能被180整除的最小完全平方数.【例4】一个数减去100是一个平方数，减去63也是一个平方数，问这个数是多少？1、能否找到这么一个数，它加上24，和减去30所得的两个数都是完全平方数？2、三个自然数，它们都是完全平方数，最大的数减去第二大的数的差为80，第二大的数减去最小的数的差为60，求这三个数．3、一个自然数减去45及加上44都仍是完全平方数，求此数。

完全平方数

★20 完全平方数◎概念：一个自然数自乘所得的积称为完全平方数。

◎性质：1、分解质因数，每个质因数都有偶数个。

（即指数都是偶数）2、个位数字只能为0、1、4、5、6、9。

3、完全平方数是奇数被4或8除余1，是偶数能被4整除。

4、完全平方数如能被3整除，一定能被9整除，不能被3整除，一定余1。

5、两个完全平方数的积还是完全平方数。

一个完全平方数与一个非完全平方数的积不是完全平方数。

◎背诵：112=121 122=144 132=169 142=196 152=225 162=256 172=289 182=324 192=361 202=400 212=441 222=484 232=529 242=576 252=625 262 =676 272=729 282=784 292=841 302=900例1在1~2016的自然数中，完全平方数共有多少个？自主测试：在324、897、211、247、546中，哪些数是完全平方数？例2 46035乘以一个自然数a，是一个平方数，a最小是多少？自主测试：203500乘一个自然数a，是一个平方数，a最小是多少?例3 ：1+1×2+1×2×3+1×2×3×4+1×2×3×4×5+1×2×3×4×5×6.这个算式的得数能否是某个数的平方？例4: 试问21世纪中那一年的年份数是一个完全平方数？自主测试：哥哥对弟弟说：“到21世纪的x2年，我恰好是x岁，哥哥生于哪年？例5 把一个两位数的个位数字与其十位数字交换后得到一个新数，它与原来的数加起来的和恰好是某个自然数的平方，这个和是多少？自主测试：一个两位数等于它个位数字的平方与十位数字之和，这个两位数是多少？例6 在前300个自然数中，去掉所有的完全平方数剩下的自然数的和是多少？公式1: 1+2+3+4┄+n=21n(n+1)公式2: 12+ 22+ 32+ 42+┄+ n2= 61n(n+1)(2n+1)自主测试：请说明从1开始的连续n个奇数的和是平方数？练习题1、祖孙三人，孙子年龄与爷爷年龄之积是1512，而爷爷、父亲、孙子三人年龄之积是完全平方数，则父亲年龄是多少岁？2、12+ 22+ 32+ 42+┄+ 20142除以7的余数是几？3、22015与20152的和除以7的余数是多少？4、在2024到2499之间有多少个平方数?5、1234567654321×（1+2+3+4+5+6+7+6+5+4+3+2+1)=____________________★6、少年宫游乐厅内悬挂着200个彩色灯泡，这些灯泡有的亮，有的灭，十分有趣。

完全平方的规律

完全平方的规律一、完全平方公式1. 完全平方和公式- 对于(a + b)^2，根据乘法分配律展开：- (a + b)^2=(a + b)(a + b)=a(a + b)+b(a + b)- 进一步展开得到a^2+ab+ba + b^2=a^2 + 2ab+b^2。

- 例如：(x+3)^2，这里a = x，b = 3，根据公式(x + 3)^2=x^2+2× x×3+3^2=x^2 + 6x+9。

2. 完全平方差公式- 对于(a - b)^2，同样根据乘法分配律展开：- (a - b)^2=(a - b)(a - b)=a(a - b)-b(a - b)- 进一步展开得到a^2 - ab - ba+b^2=a^2-2ab + b^2。

- 例如：(x - 2)^2，这里a=x，b = 2，根据公式(x - 2)^2=x^2-2× x×2+2^2=x^2-4x + 4。

二、完全平方数的规律1. 个位数字规律- 完全平方数的个位数字只能是0、1、4、9、6、5。

- 因为0^2 = 0，个位数字是0；1^2 = 1，个位数字是1；2^2=4，个位数字是4；3^2 = 9，个位数字是9；4^2 = 16，个位数字是6；5^2 = 25，个位数字是5；6^2 = 36，个位数字是6；7^2 = 49，个位数字是9；8^2 = 64，个位数字是4；9^2 = 81，个位数字是1。

2. 十位数字规律（以两位数为例）- 设一个两位数n=10a + b（a是十位数字，b是个位数字），n^2=(10a + b)^2 = 100a^2+20ab + b^2。

- 当b = 0时，n^2的十位数字是0；当b = 1或9时，2ab的个位数字是偶数，b^2的个位数字是1，所以n^2的十位数字是偶数；当b = 2或8时，2ab的个位数字是偶数，b^2的个位数字是4，所以n^2的十位数字是偶数；当b = 3或7时，2ab的个位数字是偶数，b^2的个位数字是9，所以n^2的十位数字是偶数；当b = 4或6时，2ab的个位数字是偶数，b^2的个位数字是6，所以n^2的十位数字是奇数；当b = 5时，n^2的十位数字是2。

小学数学精讲解析：完全平方数

完全平方数完全平方数的定义一个数如果是另一个整数的完全平方，那么我们就称这个数为完全平方数，也叫做平方数。

完全平方数的一般性质①完全平方数的末位数只能是0，1，4，5，6，9；②奇数的平方的个位数字为奇数，十位数字为偶数；③如果完全平方数的十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6；反之，如果完全平方数的个位数字是6，则它的十位数字一定是奇数；⑤平方数除以3余0或者余1；⑥平方数除以16余0或者余1或者余4或者余9；⑦平方数除以余0或者1或者4；⑧在两个相邻的整数的平方数之间的所有整数都不是完全平方数；⑨一个正整数n是完全平方数的充分必要条件是有奇数个因数(包括1和n本身)。

例1如从200到1800的自然数中有奇数个约数的数有多少个？例2有一个四位数的个位数字与千位数字相等，且正好等于其十位数字的5倍与1的和的完全平方，求这个四位数。

例3在2500以内所有完全平方数中，能被9整除的有多少个？例4(04浙江五年级夏令营)袋子里共有415只小球，第一次从袋子里取出1只小球，第二次从袋子里取出3只小球，第三次从袋子里取出5只小球…依次地取球，如果剩下的球不够取，则将剩下的球留在袋中。

那么，最后袋中留下()个球。

例5能不能找到一个自然数n，是完全平方数，且n＋1999也是完全平方数？例6有两个两位数，它们的差是56，它们的平方数末两位数字相同，这两个两位数分别是()。

测试题1．从1到2000的所有正整数中，有多少个数乘以72后是完全平方数？2．请说明任意两个相邻的正整数的积不是平方数。

3．有一个由不同数字组成的四位数A，2；已知A的千位数字是2，十位数字是1，且A各个位数上的数A B字相加的和为3的倍数。

那么这个四位数是几？4．所有六位数中，末四位是2004的完全平方数有多少个?它们的和是多少？答案1．【解析】因为327223=⨯，而根据一个完全平方数的分解质因数形式中所有质因数的个数都必须是偶数的特征，可以得出与72相乘的这个正整数一定是2的倍数，还要再乘以一个完全平方数，这样得到的结果还是完全平方数，乘数应该是221⨯、222⨯、223⨯、、22n ⨯。

完全平方数的判断方法(一)

完全平方数的判断方法(一)完全平方数的判断方法什么是完全平方数？完全平方数是指某个整数可以表示为另一个整数的平方，例如4、9、16等都是完全平方数。

方法一：数学计算法通过数学计算的方法来判断一个数是否为完全平方数。

1.整数平方根法：取待判断的数的平方根，然后将得到的结果向下取整，再平方后与原数进行比较。

如果相等，则是完全平方数，否则不是。

这种方法适用于小范围的数值。

2.二分法：设定上下限，然后在这个范围内进行二分查找，判断平方根的整数部分与原数的大小关系，逐步逼近。

如果找到一个数，它的平方等于原数，那么这个数就是完全平方数。

方法二：编程计算法在编程中，可以利用一些算法来判断一个数是否为完全平方数。

1.暴力法：逐个判断从1到n的数的平方是否等于n，如果找到一个数的平方等于n，则n是完全平方数。

这种方法简单直接，但效率较低。

2.牛顿迭代法：利用牛顿迭代法来逼近方程的根。

在迭代过程中，判断当前迭代点的平方与原数的关系，逐步逼近。

如果找到一个数，它的平方等于原数，那么这个数就是完全平方数。

方法三：数论方法利用一些数论的性质和定理来判断一个数是否为完全平方数。

1.数论性质：平方数的特点是它的质因数的指数都是偶数。

可以对待判断的数进行质因数分解，如果所有质因数的指数都是偶数，则这个数是完全平方数。

2.费马定理：费马定理是指当p为素数且p不能整除n时，n^(p-1)mod p = 1。

基于费马定理，可以用来判断一个数是否为完全平方数。

方法四：位运算法通过位运算的方法来判断一个数是否为完全平方数。

1.位运算性质：任何完全平方数的二进制表示，除了最低位为1，其他位数均为偶数个1。

可以通过统计1的个数来判断一个数是否为完全平方数。

总结以上列举了几种常见的完全平方数的判断方法。

每种方法都有其适用的场景和具体实现方式，具体选择哪种方法可以根据实际需求来确定。

在实际应用中，可以根据数据规模、性能要求等因素综合考虑，选择合适的方法进行判断。

_完全平方数

完全平方数知识要点,255,164,93,42,1122222=====故1,4,9,16,25，…这些数就是完全平方数。

完全平方数有许多性质，例如：1.完全平方数分解质因数时，它的每个质因子都有偶数个。

2.如果一个数分解质因数后，每个质因数的指数都是偶数，这个数就一定是完全平方数。

3.完全平方数的个位数字只可能为0,1,4,5,6,9这六个数。

4.两个完全平方数的积是完全平方数；一个完全平方数与一个非完全平方数的积一定不是完全平方数。

5.偶完全平方数被4整除；奇完全平方数被4除余1. 1. 、把1,2,3，…，9这9个数按另一种顺序填在下表2. 自然数的平方按大小排成1,4,9,16,25,36,49，……。

问第612个位置的数是几？3. 50张卡片，写着1到50这50个数字，正反两面写的数字相同，卡片一面是红，一面是蓝。

某班有50名学生，老师把50张卡片中蓝色的一面都朝上摆放在桌上，对同学说：“请你们按学号顺序逐个到前面来翻开卡片，规则是：只要卡片上的数字是自己学号的倍数，就把它翻过来，蓝色翻成红色，红色翻成蓝色。

”那么到最后，每个学生都翻完后，红色朝上的卡片有多少张？4. 在前100个自然数中，所有非完全平方数的和是多少？5. 从1到1989的自然数中，完全平方数共有多少个？6. 试问21世纪中哪一年的年分数是一个完全平方数？7. 从1到1998的所有自然数中，有多少个数乘以72后是完全平方数？8. 一个四位正整数，加上400后就成为一个自然数的平方数，这样的四位数的个数有多少？9. 135乘以一个自然数a ，是一个平方数，a 最小是多少？10. 46035乘以一个自然数a ，是一个平方数，a 最小是多少？11. 一个四位数的数码是非零的偶数，它又恰是某个偶数数字组成的数的平方。

则这个四位数是几？12. 已知四个数：35□2,3□57,3□36，□329，其中哪几个数可以写出完全平方数？13. 下面是一个算式：1+1×2+1×2×3+1×2×3×4+1×2×3×4×5+1×2×3×4×5×6这个算式的得数是否是某个数的平方？14. 在1，1+1×2，1+1×2+1×2×3，1+1×2+1×2×3+1×2×3×4，……，1+1×2+1×2×3+1×2×3×4+…+1×2×3×4×…n ，…，这一列数中，可知，第一个数1是完全平方数，第三个和数1+1×2+1×2×3=9是完全平方数。

完全平方数

第二十四课完全平方数一个自然数与它本身相乘，乘积叫做完全平方数，或叫做平方数．例如1×1=1，2×2=4，3×3=9，…，那么1、4、9、…就是完全平方数．完全平方数有一些有趣而且重要的性质：（1）完全平方数的尾数只能是0，1，4，5，6，9．因为任何一个完全平方数的尾数，只能等于02，12，22，32，…，92的尾数，而这些数的尾数只有0，1，4，5，6，9．（2）完全平方数的约数个数是奇数个．因为完全平方数a2，a是自然数，则a=a1×a2×a3×…×ar，a1，a2，a3，…，ar是a的质因数．尾数一定是奇数，所以a2的约数个数是奇数个．（3）一个完全平方数被3除的余数是0或1．因为一个自然数被3除的余数只能是0，1，2这3个数中的一个．如果这个自然数被3除余数是0，那么这个数的完全平方数被3除余数也是0；如果这个自然数被3除余数是1，那么这个数的完全平方数被3除的余数是12，也是1；如果这个自然数被3除余数是2，那么这个数的完全平方数被3除余数是22被3除的余数是1；所以一个完全平方数被3除的余数只能是0或1．（4）偶数的平方数能被4整除，奇数的平方被4或8除的余数是1．因为偶数表示为2n，n是整数．那么偶数的平方为（2n）2=4n2，能被4整除．奇数表示为2n+1，n是整数，那么奇数的平方为（2n+1）2=4n2+4n+1=4（n+1）n+1，所以奇数的平方被4除的余数是1；又因为n+1，n是两个连续整数，必有一个是偶数，所以4（n+1）n能被8整除，也就是4（n+1）n+1被8除的余数是1，故奇数的平方被8除的余数是1．（5）一个完全平方数的末位数如果是0，那么它的末两位数也一定都是0． 1，4，9，16，25，36，49，64，81，100，121，144，169，196，225，289，324，361，400．完全平方数的末位数如果是0，那么它的末两位数也一定都是0．（6）末位数是5的正整数的平方数的末两位数一定是25．这是因为，末位数是5的正整数都可以写成10a ＋5的形式(其中a 为正整数)，它的平方数是=+2)510(a 2100a .25)1(10025100++=++a a a 其中一个加数是100a(a ＋1)，它的末两位数都是0，另一个加数是25，它们的和的末两位数一定是25．例：判断1369是否为完全平方数，可作如下分析：1369如果是完全平方数，它的算术平方根一定是二位整数．又它的末位数是9，所以它的算术平方根的末位数只可能是3或7．因为160040,9003022==，而900<1369<1600，所以1369的算术平方根只可能是33或37．经计算验证得136937,10893322==．因此，1369是一个完全平方数，它的算术平方根是37．“”例：如果判断1214是否完全平方数，可以仿照前面对1369的分析，得到它的算术平方根只可能是32或38．验算得1214144438,121410243222≠=≠=，因此可以判断出1214不是完全平方数．例：如果判断237，4323，1348等末位数是3，7，8的数是否完全平方数，则结果是显然的．因为末位是3，7，8的正整数不可能是完全平方数．另外，个位数是0而十位数不是0的数(如38060)一定不是完全平方数．下面举一个可以用完全平方数来解的例子问题 22y x +如果为正整数，则在下面的四组数值中x 和y 只能取( )Ａ．x ＝25530，y ＝29464B ．x ＝37615，y ＝26855C ．x ＝15123，y ＝32477D ．x ＝28326，y ＝28614思路启迪：把题中所给的四组x 、y 的值分别代入22y x +进行计算，就可以得到正确答案．但这种方法运算量太大．可以用筛选法．对所给四组值分别进行分析、筛选，看哪一组数能使22y x +是完全平方数，哪些组数不能使22y x +是完全平方数．如果能使22y x +是完全平方数的只有一组，显然这一组就是正确答案．规范解法对于A ：x ＝25530，y ＝29464，,y ,x 6022的末位数是的末位数是.22是完全平方数中的一组数有可能使y x A +∴对于Ｂ：x ＝37615，y ＝26855．2222,25,25y x y x +是末两位数是的末两位数是的末两位数是50,由于末位数是0时，只有末两位都是0时才能为完全平方数，.y ,x :C .y x B 324771512322==+∴对于为完全平方数中的一组数不可能使,.y x ,y ,x 是完全平方数的数不可能而末位数是的末位数是的末位数也是的末位数是88992222+∴.22为完全平方数中的一组数不可能使y x C +∴ 对于D:x ＝28326，y ＝28614．2222,9,6y x y x +∴的末位数也是是末位数是的末位数是8．而末位数是8的数不可能是完全平方数，.y x D 为完全平方数中的一组数不可能使22+∴根据前面对四组数的分析可知，只有(A)中的一组数有可能使22y x +是完全平方数，其余三组数都没有这个可能．而此题有且只有一个正确答案，所以应选Ａ性质1：完全平方数的末位数只能是0,1,4,5,6,9。

完全平方数的特点

完全平方数的特点
完全平方数是指能表示成某个自然数的平方的数，如1，4，9，16等。

它们具有以下几个特点：
1. 完全平方数的个位数只能是0、1、4、5、6、9中的一个。

2. 完全平方数的十位数只能是0、1、2、3、4、5、6、7、8、9中的一个。

3. 一个数若是完全平方数，那么它的个位数和十位数必然相等。

4. 完全平方数的末两位只能是00、01、04、09、16、21、24、25、29、36、41、44、49、56、61、64、69、76、81、84、89、96、或者99。

5. 如果一个数能被表示成连续的奇数之和，那么它一定是完全
平方数。

例如：9=1+3+5，16=1+3+5+7，25=1+3+5+7+9。

这些特点可以帮助我们判断一个数是否是完全平方数。

在数学中，完全平方数有着重要的应用，例如在勾股定理中。

- 1 -。

完全平方数

完全平方数的性质及推论一个数如果是另一个整数的完全平方，那么我们就称这个数为完全平方数，也叫做平方数。

例如：0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289,324,361,400,441,484,… 观察这些完全平方数，可以获得对它们的个位数、十位数、数字和等的规律性的认识。

下面我们来研究完全平方数的一些常用性质：性质1：完全平方数的末位数只能是0,1,4,5,6,9。

性质2：奇数的平方的个位数字为奇数，十位数字为偶数。

证明奇数必为下列五种形式之一：10a+1, 10a+3, 10a+5, 10a+7, 10a+9分别平方后，得(10a+1) 2=100a 2+20a+1=20a(5a+1)+1(10a+3) 2=100a 2+60a+9=20a(5a+3)+9(10a+5) 2=100a 2+100a+25=20 (5a+5a+1)+5(10a+7) 2=100a 2+140a+49=20 (5a+7a+2)+9(10a+9) 2=100a 2+180a+81=20 (5a+9a+4)+1综上各种情形可知：奇数的平方，个位数字为奇数1,5,9；十位数字为偶数。

性质3：如果完全平方数的十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6；反之，如果完全平方数的个位数字是6，则它的十位数字一定是奇数。

证明已知m2=10k+6，证明k为奇数。

因为的个位数为6，所以m的个位数为4或6，于是可设m=10n+4或10n+6。

则10k+6=(10n+4) 2=100+(8n+1)x10+6或 10k+6=(10n+6) 2=100+(12n+3)x10+6即 k=10+8n+1=2(5+4n)+1或 k=10+12n+3=2(5+6n)+3∴ k为奇数。

推论1：如果一个数的十位数字是奇数，而个位数字不是6，那么这个数一定不是完全平方数。

推论2：如果一个完全平方数的个位数字不是6，则它的十位数字是偶数。

完全平方数

完全平方数一、完全平方数的性质最重要的4个性质：1.完全平方数的尾数只能是0，1，4，5，6，9。

不可能是2，3，7，8。

2.除以4只能余0或者余1。

不可能余2或3。

3.完全平方数分解质因数后，指数都是偶数，指数是偶数的数是完全平方数。

4.完全平方数的约数个数是奇数，约数的个数为奇数的自然数是完全平方数。

其他性质：性质1：在两个连续正整数的平方数之间不存在完全平方数。

性质2：如果一个完全平方数的个位是0，则它后面连续的0的个数一定是偶数性质3：完全平方数被3，4，5，8，16除的余数一定是完全平方数．性质4：如果一个完全平方数的个位是5，则其十位一定是2，且其百位一定是0，2，6中的一个．性质5：完全平方数的个位是6，那么它的十位是奇数．性质6：若质数p整除a的平方，则p能被a整除。

例题1：下面是一个算式：112123123412345123456+⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯，这个算式的得数能否是某个数的平方？【考点】平方数特征之平方数的尾数特征【难度】3星【题型】解答【关键词】华杯赛【答案】判断一个数是否是某个数的平方，首先要观察它的个位数是多少．平方数的个位数只能是0，1，4，5，6，9，而2，3，7，8不可能是平方数的个位数．这个算式的前二项之和为3，中间二项之和的个位数为0，后面二项中每项都有因子2和5，个位数一定是0，因此，这个0算式得数的个位数是3，不可能是某个数的平方．例题2：证明：形如11，111，1111，11111，…的数中没有完全平方数。

【考点】平方数特征之平方数的整除特性【难度】2星【题型】解答【答案】由于奇数的平方是奇数，偶数的平方为偶数，而奇数的平方除以4余1，偶数的平方能被4整除．现在这些数都是奇数，它们除以4的余数都是3，所以不可能为完全平方数．例题3：已知自然数n满足：12!除以n得到一个完全平方数，则n的最小值是。

【考点】完全平方数计算及判断【难度】3星【题型】填空【关键词】2008年，学而思杯，6年级，第9题【答案】（法1）先将12！分解质因数：1052=⨯⨯⨯⨯，由于12!除以n得到一个12!235711完全平方数，那么这个完全平方数是12!的约数，那么最大可以为1042⨯⨯，所以n最小235为104212!2353711÷⨯⨯=⨯⨯231=。

完全平方数

完全平方数若一个数是一个整数的平方，则称这个数是完全平方数，简称平方数。

完全平方数有下列性质：（1）平方数的末位数只能是0，1，4，5，6，9；（2）偶平方数能被4整除，奇平方数被8除余1；（3）平方数只能是形如3k或3k＋1的数；（4）奇平方数的十位数一定是偶数；（5）若平方数的末位数是奇数时，则其十位数字必为偶数例1、设N＝23x＋92y为完全平方数，且N不超过2392，则满足上述条件的一切正整数对（x，y）共有对。

因N＝23x＋92y＝23（x＋4y），且23为质数，故x＋4y＝23m2（m为正整数）例2、使n5－5n3＋4n＋7成为完全平方数的自然数n的取值（）A．有且只有一个B．有有限多个，但多于一个C．有无穷多个D．不存在将原式分解因式，分析个位数例3、已知a是正整数，且a2＋2004a是一个正整数的平方，求a的最大值解题思路设a2＋2004a＝m2，其中m是正整数，通过引入参数、配方将问题转化为解不定方程。

例4、若一个整数能够表示成x2＋2xy＋2y2（x，y是整数）的形式，则称该数为“好数”（1）判断29是否为好数（2）写出80，81，…，100中的好数；（3）如果m，n都是好数，证明：mm也是好数解题思路x2＋2xy＋2y2＝（x＋y）2＋y2，即一个好数可表示成两个完全平方数的和，这是好数的特征，亦是解本例的关键。

例5、某正整数的平方，其末三位是非0的相同数字，求具有该性质的最小正整数．解：设所求数为p，p＞0，p2即具有末三位数，则p2至少有三位数，p至少有两位数。

设p ＝10a士b（a，b为正整数，1≤b≤5），则p2=100a2±20ab+b2=100a2+10(±2ab)+b2。

验证知当b＝1，3，4，5时，p2的十位和个位数字奇偶性相反；当b＝2时，p2的末两位数字奇偶性相同．所以所求数必须形如10a±2，而p＝12时，p2＝144，末两位数字为4．又注意（50n士x）2＝2500n2士100nx＋x2＝100（25n2士nx）＋x2。

完全平方数的性质

完全平方数的性质
完全平方数是指一个正整数能够表示成某个整数的平方的形式，即一个数的平方根是另一个整数。

例如：
4=2×2，9=3×3，16=4×4，25=5×5，36=6×6，
49=7×7，64=8×8，81=9×9……
完全平方数一般有以下性质：
1. 任何一个数都可以分解成素因子的平方，而完全平方数就是这些素因子只有一个或者相同的数的乘积。

2. 完全平方数的奇偶性和它的平方根的奇偶性是一致的。

3. 所有的完全平方数都是非负数，而且所有的非负数都不一定是完全平方数。

4. 对于任意一个数n，如果n+1是一个完全平方数，则n必然是一个奇数；如果n+1不是一个完全平方数，则n 必然是一个偶数。

完全平方数大全.

完全平方数目录一、定义二、基础性质及推论三、重要结论四、区别五、特殊的完全平方数六、范例1.例12.例23.例34.例45.例56.例67.例78.例8七、讨论题一、定义及表达式1、定义：若一个数能表示成某个整数的平方，则称这个数为完全平方数，也叫平方数。

1.1例如：0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289,324,361, 400,441,484,529，…2、标准分解式：大于1的平方数n 的标准分解式如下：1222212kl l l kn pp p =（1）其中12121,,,,k k k p p p p p p ≥<<<是质数，12,,,k l l l 是自然数。

2.1例如：2222422223623,10025,14423,900235,=⨯=⨯=⨯=⨯⨯二、基础性质及推论观察0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289,324,361, 400,441,484,529，…完全平方数，可以获得对它们的个位数、十位数、数字和等的规律性的认识。

下面我们来研究完全平方数的一些常用性质： 1、性质1：末位数只能是0,1,4,5,6,9. （此为完全平方数的必要不充分条件）证明：设2()n n N ∈为完全平方数，0n 是n 的个位数，则2n 的个位数与20n 的个位数相同。

利用整数同余的知识有如果0(mod10)n n ≡，那么220(mod10)n n ≡又0n 的全体是集合{}0,1,2,3,4,5,6,7,8,9，20n 的全体是{}0,1,4,9,16,25,36,49,64,81，20n 的个位数全体是{}0,1,4,5,6,9。

所以平方数末位数只能是0,1,4,5,6,9.2、性质2：奇数的平方的个位数字一定是奇数，偶数的平方的个位数一定是偶数。

判断一个数是不是完全平方数的方法

判断一个数是不是完全平方数的方法完全平方数是指一个数能够表示为某个整数的平方。

例如，4、9、16等都是完全平方数。

那么，我们如何判断一个数是否是完全平方数呢？下面将介绍几种常见的方法。

方法一：数学方法最直观的判断方法就是使用数学运算。

我们可以用一个整数n去分别除以1、2、3，直到n/2。

如果在这个过程中，存在一个整数i，使得i*i=n，那么n就是一个完全平方数。

否则，n就不是完全平方数。

这种方法的时间复杂度为O(n/2)，即O(n)。

虽然这种方法简单易懂，但对于大数来说，运算量较大，效率较低。

方法二：二分查找法二分查找法是一种高效的查找方法，也可以用于判断一个数是否是完全平方数。

首先，我们将要判断的数n设为右边界，左边界设为1。

然后，计算出中间值mid=(left+right)/2。

如果mid*mid=n，那么n就是一个完全平方数，直接返回true。

如果mid*mid>n，那么n是一个较大的数，我们将右边界right设为mid-1，继续进行二分查找。

如果mid*mid<n，那么n是一个较小的数，我们将左边界left设为mid+1，继续进行二分查找。

重复以上步骤，直到找到完全平方数或者左边界大于右边界为止。

这种方法的时间复杂度为O(logn)，效率较高。

方法三：数学规律法除了上述两种常见的方法，还有一种更加巧妙的方法，利用完全平方数的数学规律。

首先，我们观察到完全平方数的特点：完全平方数是一系列连续奇数的和。

例如，1=1，4=1+3，9=1+3+5，16=1+3+5+7，以此类推。

因此，我们可以利用这个规律来判断一个数是否是完全平方数。

我们从1开始，依次累加奇数，直到累加的和等于要判断的数n。

如果等于n，那么n就是一个完全平方数；如果大于n，那么n不是完全平方数。

这种方法的时间复杂度为O(sqrt(n))，效率较高。

综上所述，判断一个数是否是完全平方数有多种方法可供选择。

在实际应用中，我们可以根据具体情况选择合适的方法。

完全平方数的特征与性质

完全平方数的特征与性质
完全平方数的性质
性质1: 完全平方数的末位数只能是0，1，4，5，6，9
性质2:奇数的平方的个位数字为奇数，十位数字为偶数
性质3:如果完全平方数的十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6;反之如果完全平方数的个位数字是6，则它的十位数字一定是奇数性质4:偶数的平方是4的倍数;奇数的平方是4的倍数加1
性质5:完全平方数的约数个数为奇数。

完全平方数的特征
1、末位数字只能是 :0，1，4，5，6，9;反之不成立
2、除以3余0或余1;反之不成立
3、除以4余0或余1;反之不成立
4、约数个数为奇数:反之成立
5、奇数的平方的十位数字为偶数:反之不成立
6、奇数平方个位数字是奇数:偶数平方个位数字是偶数
7、两个相临整数的平方之间不可能再有平方数
1。

完全平方数是什么意思

完全平方数是什么意思
如果一个正整数a是某一个整数b的平方，那么这个正整数a 叫做完全平方数。

零也可称为完全平方数。

1、个位数是
2、
3、7、8的整数一定不是完全平方数。

2、个位数和十位数都是奇数的整数一定不是完全平方数。

3、个位数是6，十位数是偶数的整数一定不是完全平方数。

4、形如3n＋2型的整数一定不是完全平方数。

5、形如4n＋2和4n＋3型的整数一定不是完全平方数。

6、形如5n±2型的整数一定不是完全平方数。

7、形如8n＋2，8n＋3，8n＋5，8n＋6，8n＋7型的整数一定不是完全平方数。

8、数字和是2、3、5、6、8的整数一定不是完全平方数。

9、四平方和定理：每个正整数均可表示为4个整数的平方和。

10、完全平方数的因数个数一定是奇数。

10.完全平方数

【例2】
2.除以3余0或余1；反之不成立。
3.除以4余0或余1；反之不成立。
4.约数个数为奇数；反之成立。
5.奇数的平方的十位数字为偶数；反之不成立。
6.奇数平方个位数字是奇数；偶数平方个位数字是偶数。
7.两个相临整数的平方之间不可能再有平方数。
8.约数个数为3的是质数的平方。
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完全平方数
一、什么是完全平方数？
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二、完全平方数特征：
1.末位数字只能是：0、1、4、5、6、9；反之不成立。