六年级奥数蝴蝶模型

蝴蝶模型

一、蝴蝶模型与任意四边形

在任意四边形中，两对角线将四边形分成四个三角形，两组相对三角形面积之积相等。

推导：由等积变形模型可知：

OC AO

S S BOC AOB =∆∆ OC AO

S S COD AOD =∆∆ COD AOD

BOC AOB S S S S ∆∆∆∆=∴

2

4

31S S S S =即

4321S S S S ⨯=⨯∴

二、蝴蝶模型与梯形

①

②

推导：① 同上

② 过点A 作三角形ABC 的高1h ，过点D 作

△BCD 的高2h BC AD //

21h h =∴（两平行线之间高相等）

121

h BC S ABC ⨯⨯=∆

22

1

h BC S BDC ⨯⨯=∆

BDC ABC S S ∆∆=∴ 3231S S S S +=+∴ 21S S =∴

三、蝴蝶模型与平行四边形

（一） ①

②

推导：① 同上

② BCD ABC S S ∆∆= ACD BCD S S ∆∆= （同底等高） 4241S S S S +=+∴ 2324S S S S +=+ 21S S =∴ 43S S = OD OB = OC OA = 31S S =∴ 42S S =

即：对角平行四边形面积乘积相等

（在平行四边形ABCD 内作两条分别平行于两组相对边的线段GH 、EF ）

推导：连接GE 、EH 、HF 、FG ，过点E 作EM 垂直于GH 于点M

EM OG S OGE ⨯⨯=∴∆21

EM OG S S ⨯==∴1平行四边形 12

1S S OGE =

∴∆

同理可得：321S S OGF =

∴∆ 221S S OFH =∆ 42

1S S EOH =∆ 由蝴蝶定理可知：EOH OGF OFH OGE S S S S ∆∆∆∆⨯=⨯

432121

212121S S S S ⨯=⨯∴

4321S S S S ⨯=⨯∴ 四、蝴蝶模型与长方形

（一）①

②

即：对角长方形面积乘积相等

五、蝴蝶模型与正方形

“子母图”——两共线相邻的正方形

在上面两个图形中，每组正方形的对角线均互相平行，即a//b、c//d 重要结论：两共线相邻的正方形对角线互相平行。

例1：如下图所示，在梯形ABCD中，对角线BD，AC相交于点O，△AOD的面积是6，△AOB的面积是4，那么梯形ABCD的面积是多少？

分析：梯形ABCD是四个三角形面积的总和，现已经知道两个三角形的面积，由蝴蝶定理容易求出三角形BOC和三角形DOC的面积，进而可以求出梯形ABCD 的面积。

解：由蝴蝶定理可知：S∆BOC=S∆AOD=6

∴S∆DOC=6×6÷4=9

∴梯形ABCD的面积是9+6+4+6=25

答：梯形ABCD的面积是25。

例2：如图，求阴影部分的面积。（单位cm2）

分析：由长方形中的蝴蝶定理“对角长方形面积乘积相等”，可直接求出阴影部分的面积。

解：S

阴影

=28×6÷12=14（cm2）

答：阴影部分的面积为14平方厘米。

例3：下图是两个正方形，大正方形边长是8，小正方形边长是6，求图中阴影部分的面积。（单位：厘米）

分析：图中阴影部分的面积不能通过面积公式直接得出，因此要将其转化为容易算的部分。由“子母图中对角线互相平行”这一重要结论可知，连接AC，所以AC平行于GE，由梯形的蝴蝶定理可知，三角形AOG和三角形COE面积相等，因此，阴影部分的面积就等于三角形GCE的面积，即小正方形面积的一半。

解：连接AC

∵AC∥GE

∴由梯形的蝴蝶定理可知：S∆AOG=S∆COE

∴S

阴=S∆COE+S∆GOE=S∆GCE=1

2

×6×6=18（cm2）

答：阴影部分的面积为18平方厘米。

D F

练习题

1.如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD，被对角线AC，BD分成四个部分，△

AOB面积为1平方千米，△BOC面积为2平方千米，△COD的面积为3平方千米。公园由6.92平方千米的陆地和人工湖组成，则人工湖的面积是多少平方千米？

2.如图，长方形ABCD被CE、DF分成四块，已知其中3块的面积分别为2、5、

8平方厘米，求余下的四边形OFBC的面积。

3.如图，在长方形ABCD中，△ABP的面积为30 cm2，△CDQ的面积为80 cm2，

求阴影部分的面积。

4.如图，四边形ABCG和CDEF都是正方形，DC等于12厘米，CB等于10厘米，

求阴影部分的面积。