大物C作业

第一章质点运动学

1、(习题1.1)：一质点在xOy 平面内运动，运动函数为2x =2t,y =4t 8-。（1）求质点的轨道方程；（2）求t =1 s t =2 s 和时质点的位置、速度和加速度。 解：（1）由x=2t 得，t=x/2，代入y=4t 2

-8

可得：y=x 2

-8，即轨道曲线

（2）质点的位置可表示为：22(48)r ti t j =+-

由d /d v r t = 则速度：28v i tj =+

由d /d a v t = 则加速度：8a j =

则，当t=1s 时，有24,28,8r i j v i j a j =-=+=

当t=2s 时，有48,216,8r i j v i j a j =+=+=

2、（习题1.2）： 质点沿x 在轴正向运动，加速度kv a -=，k 为常数．设从原点出发时速

度为0v ，求运动方程)(t x x =.

解：

kv dt

dv

-= ⎰⎰-=t v v kdt dv v 001 t k e v v -=0

t k e v dt

dx

-=0 dt e v dx t k t x -⎰⎰=000 )1(0

t k e k

v x --=

3、一质点沿x 轴运动，其加速度为a = 4t (SI)，已知t = 0时，质点位于x 0=10 m 处，初速度v 0 = 0．试求其位置和时间的关系式．

解： =a d v /d t 4=t ， d v 4=t d t

⎰

⎰=v

v 0

d 4d t

t t

v 2=t 2

v d =x /d t 2=t 2

t t x t

x

x d 2d 0

20

⎰⎰

=

x 2= t 3 /3+x 0 (SI)

4、 已知质点位矢随时间变化的函数形式为22r t i tj =+

，式中r 的单位为m ，t 的单位为s .求：（1）任一时刻的速度和加速度；（2）任一时刻的切向加速度和法向加速度。

解：1）d 22d r

v ti j t ==+ d 2d v

a i t

== 2）11

2

2

2

2[(2)4]

2(1)v t t =+=+

d d t v a t

=

=

n a ==

第二章质点动力学

习题2.1、2.3、2.4

1、(牛顿定律)质量为M 的气球以加速度a 匀加速上升，突然一只质量为m 的小鸟飞到气球上，并停留在气球上。若气球仍能向上加速，求气球的加速度减少了多少？

解：f

为空气对气球的浮力，取向上为正。

分别由图（a ）、(b)可得：

1

()()f Mg ma

f M m

g M m a -=-+=+

则11()

,Ma mg m a g a a a a m M m M

-+==-=++

2、 (牛顿定律) 两个圆锥摆，悬挂点在同一高度，具有不同的悬线长度，若使它们运动时两个摆球离开地板的高度相同，试证这两个摆的周期相等．

证：设两个摆的摆线长度分别为1l 和2l ，摆线与竖直轴之间的夹角分别为1θ和2θ，摆线中的张力分别为1F 和2F ，则

0cos 111=-g m F θ ① )sin /(sin 112

1111θθl m F v = ②

解得： 1111cos /sin θθgl =v

第一只摆的周期为

g

l l T 1

11

1

11cos 2sin 2θπ

θπ==

v

同理可得第二只摆的周期 g

l T 2

22cos 2θπ

= 由已知条件知 2211cos cos θθl l =

∴ 21T T =

3、(变力作功、功率、质点的动能定理) 设76()F i j N =-

。

（1）当一质点从原点运动到3416(m)r i j k =-++

时，求F 所作的功；

（2）如果质点到r

处时需0.6s ，试求F 的平均功率；

（3）如果质点的质量为1kg ，试求动能的变化。

解：（1）0F dr ⋅⎰

r

A=

(76)()i j dxi dyj dzk -⋅++⎰

r

=

76dx dy -⎰

⎰-3

4

=

45J =-，做负功

（2）45750.6

A P W t =

== （3）0

r

k E A mgj dr ∆=+-⋅⎰

= -45+4

mgdy -⎰

= -85J

4、（机械能守恒、动量守恒）如图所示，一个固定的光滑斜面，倾角为θ，有一个质量为m 小物体，从高H 处沿斜面自由下滑，滑到斜面底C 点之后，继续沿水平面平稳地滑行。设m 所滑过的路程全是光滑无摩擦的，试求：（1）m 到达C

点瞬间的速度；（2）m 离开C 点的速度；（3）m 在C 点的动量损失。

解：（1）由机械能守恒有

2

12

c mgH mv =

带入数据得c v =AC 方向 （2）由于物体在水平方向上动量守恒，所以

cos c mv mv θ=，

得v θ=，方向沿CD 方向

（3）由于受到竖直的冲力作用，m 在C 点损失的动量

p θ∆=，方向竖直向下。