6—4 定积分的应用

3
-1

y=sin2x
x
例3. y=1-x2在第一象限的 弧段与二坐标轴所围
y 1 x2 得 解：由 2 y ax
成的图形，被 y=ax2(a>0) 分割成两部分， 若要两部分相等， a 应等于多少？
y 1
y0 a 1 a
y=ax2 y=1-x2
S1
x
y a
1 a ( x0, y0 ) a 1, a 1
c
d
S [ ( y) ( y)]dy [ ( y) ( y)]dy
c e
如：
y
7/4
如：
y e x
3y x 6
y e
y ex
1
-1
4 y x 1
2
e-1 x
1 e
S [(3 y 6) (4 y 2 1)]dy 83 13 96
(x0, y0)
S2 •x= 1-y
1 x
S1
x0
0
2 1 [(1 x ) ax ]dx 3 a 1
2 2
X0=
1 a 1
S2
a a 1 0
1 2 1 y dy 1 1 y 3 a 1 a
若 S 1 = S2
x
2 y b 4 a b 2 2 2 a ( y 2 ) 2 a (b ) 3b 0 3 3 3
b
三. 经济应用举例
1. 已知总产量变化率求总产量 总产量：Q(t ) Q(t ) f (t ) 总产量变化率： 总产量增量函数： t1 Q Q(t1 ) Q(t0 ) f ( )d (t1 t0 ) 当t0=0时，总产量函数：
2. 已知边际函数求总量函数 ⑴ 已知边际成本，求总成本； ⑵ 已知边际收益，求总收益； ⑶ 已知边际利润，求总利润。
例7 已知边际成本
1 M C C ( x) 3 x 3 （万元/百台）
已知边际收益 M R R( x) 7 x （万元/百台）
⑴ 若固定成本C(0)=1(万元)，求总成本函数﹑ 总收益函数﹑总利润函数； ⑵ 当产量由100台变化到500台时，求总成本 和总收益； ⑶ 产量为多少时，总利润最大？最大总利润 为多少？
§6. 4
一.
定积分的应用
平面图形的面积
1. 由y=f(x)﹑y=0﹑x=a﹑x=b围成图形的面积
S f ( x) dx
a
b
例如：
y
y
y=f (x) y=f (x)
⑴
o a b
x
⑵
S f ( x)dx
a b
a o
c
c
d
d
b
b
x
如:
S x 2 dx
0 2
y
S f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx
4 0 x 3 为极大值点（最大值点） 3
4 x 0 x 3 （百台） 3
作业 p.211 13(1) (3) (5) (7)
14、15、16
t0
Q(t ) f ( )d
0
t
(Q(0) 0)
例6 已知总产量变化率：
f (t ) 100 10t 0.45t （吨/小时）
2
求：⑴总产量函数 Q(t ) ； ⑵ t0 4 , t1 8 时的总产量（增量）。
2 Q ( t ) (100 10 0.45 ) d 解：⑴ 0 2 3 100t 5t 0.15t （吨） ⑵ Q Q(8) Q(4) 572.8 （吨） t
S ( x x )dx
2 4 0
1
S (cos x sin x)dx (sin x cos x)dx
2 4
3. 由 x ( y) ﹑y c ﹑y d ﹑y 0 围成图形的面积
S ( y) dy
c d
例如：
⑴
y
y
d
d
x ( y)
2. 平行截面面积已知的立体的体积
垂直于同一直线（取为x轴）的平行截面 面积S(x)为已知的立体体积:
V S ( x)dx
a b
o
a
x
S(X)
b
x
例4 已知球半径为R，高为H的球缺，
求其体积V。
x
H
B
S(x)
x
y
R A
o
r
解：取球缺的高线为x轴，球缺底面圆心为
原点，建立坐标系（如图），这时球缺 的顶点坐标为(H，0)。点(x，0)处垂直 于x轴的截面面积S(x)为已知 x S ( x) y 2
R( x) R(0) M R dx (7 x)dx 7 x
0 0
x
x
1 2 x 2
R R(5) R(1) 16(万元)
L( x) 4
又 L( x)
x 300 台时总利润最大，最大总利润为 2 2 Lmax 1 4 3 3 5(万元) 3
y=f (x)
Leabharlann Baidu
⑵
b a
c
a y=g(x)
b
x
o
c
b
x
S [ f ( x) g ( x)]dx
a
S [ f ( x) g ( x)]dx
a
[ g ( x) f ( x)]dx
c
b
如:
y 1
y=x2
y=x4
如:
y
y=cosx y=sinx


2
x
1
x
4 0
4
例5′例5中的椭圆绕y轴旋转一周，所生成
的立体体积.
解：
y 2 y b x2 a 2 (1 ) 2
b
2 x2 y 2 y -b 由 2 2 1, 得x 2 a 2 (1 2 ) a b b 2 2 b b y y Vy a 2 (1 2 )dy 2 a 2 (1 2 )dy b 0 b b
1
e
4 . x ( y)﹑x ( y)﹑y c﹑y d 围成图形的面积
S ( y) ( y) dy
c
d
例如： ⑴
x ( y)
y d
y
d
⑵
x ( y)
x ( y) x ( y)
e c
c o
x
e
o
d
x
S [ ( y) ( y)]dy
即
就是
2 1 2 1 2 1 1 3 a 1 3 a 1 a 1
a 1 2
1
a 3
2
2 亦可： S1 S2 0 (1 x )dx 3
作业：12②、④、⑥
S1=S2
1 S1 3
2 1 1 a3 3 a 1 3
其中
2
y R [( R H ) x]
2
2
B R y
y
x
这时
S ( x) {R2 [( R H ) x]2}
0 0
o
A
r
故 V H S ( x)dx H {R 2 [( R H ) x]2}dx

H 0
H {2RH H 2( R H ) x x }dx H R 3
b
x2 y b 1 2 a
x x+dx a x
a b Vx 2 (a 2 x 2 )dx 0 a 2 b2 a 2 2 (a x 2 )dx a 0
o
b2 2 1 3 2 (a x x ) a 3
a 0
2 2 ab 3
4 Vx ab 2 3
二. 立体的体积
用定积分可以求两种立体的体积： ⑴平行截面面积已知的立体的体积； ⑵旋转体的体积。
1. 定积分的元素法
将定积分定义中的“分割” ﹑“近似” ﹑“求和”﹑ “取极限” 四个步骤简化为： dV f ( x)dx b ⑴取微元： V f ( x)dx a ⑵求无限和（两边积分）： 这种方法称为微小元素法（简称元素法）
a c d
如:
y=x2
y sin x
o


2
2
o
2
x
S sin xdx sin xdx sin xdx
0 0
2

2. 由y=f(x)﹑y=g(x)﹑x=a﹑x=b围成图形的面积
S f ( x) g ( x) dx
a b
例如：
⑴
o
y
y=f (x)
y
y=g(x)
2 2
2
3. 旋转体的体积
y y=f(x)
dVx [ f ( x)] dx
2
b x
o
a
x x+dx
Vx [ f ( x)]2 dx
a
b
例5
x y 椭圆 2 2 1 绕x轴旋转一周 a b
2
2
所产生的旋转体的体积 Vx
y
解：y b
x 1 2 a
2
2
x [0, a]
y
4 y=4-x2 3
S [(4 x ) ( x 4 x 2)]dx
2 2 1
3
(2 x 4 x 6)dx
2 1
x
3
-1
64 1 21 3 3
y=x2-4x-2
(2,-6)
例2求y=sinx与y=sin2x在x=0与x= 之间的面积。
y 1 y=sinx
⑵
e c o
e
x ( y)
c o
x
d
x
d
S ( y)dy ( y)dy
c e
S ( y )dy
c
如：
y 1
如：
y
e
y x2
x
y ex
1 e-1
x
S
1
0
ydy
S 1 ( ln y)dy ln ydy 2 e1
e 1
7 4 1
S 1 ( ln y ln y )dy (ln y ln y )dy
e 1
2 4 e
例1
求由 y 4 x , y x 4x 2 围成图形的面积
2 2
解：由 y 4 x2和y x2 4 x 2 得x1=-1, x2=3
解：⑴
C ( x) C (0) M C dx 1 (3
0 0
x
x
1 x)dx 3
1 2 1 3x x 6
⑵
⑶
2 2 L( x) R( x) C ( x) 1 4 x x 3 100 500 时： C C (5) C (1) 16(万元)