高二数学数列的极限PPT教学课件
合集下载
《高数》数列极限课件PPT
定义与其他概念的关系
极限与连续性的关系
函数的连续性是指在某一点处的极限 值等于该点的函数值，因此，函数的 连续性可以看作是极限的一种特殊情 况。
极限与可导性的关系
极限与积分的关系
积分是研究面积和体积的重要工具， 而积分的计算需要用到极限的概念。
可导性是指函数在某一点处的切线斜 率存在，而这个切线斜率可以通过函 数在该点的极限值来定义。
数列极限与其他数学概念的关系
数列极限与函数极限的关 系
函数极限是数列极限的一个特例，即当自变 量n趋于无穷大时，函数值趋于一个常数， 这个常数就是函数的极限值。函数极限和数 列极限有许多共同的性质和定理，如单侧极 限、连续性等。
数列极限与微积分学
微积分学中的许多概念都与数列极限有关， 如导数、定积分等。通过数列极限，我们可 以更好地理解这些概念的本质和性质。同时 ，微积分学中的许多问题也需要借助数列极
04
数列极限的应用
在数学分析中的应用
极限是数学分析的基本概念之一，数列极限在数学分析中有 着广泛的应用。通过研究数列极限，可以更好地理解函数的 变化趋势、导数和积分的定义和性质等。
数列极限在证明一些数学定理和推导数学公式中也有着重要 的作用。例如，利用数列极限可以证明实数的完备性定理、 级数收敛的判别法等。
数列极限的几何解释
数列极限的几何解释是通过图形直观 地理解数列收敛和发散的概念。在平 面坐标系中，我们可以绘制数列的图 像，通过观察图像的变化趋势来理解 数列的收敛性和发散性。
收敛数列的图像会趋近于一个固定的 点，而发散数列的图像则会远离这个 点。通过比较不同数列的图像，我们 可以更好地理解数列极限的性质和特 点。
闭区间套定理
总结词
闭区间套定理是数列极限存在的一个充分条件，它表明如果一个数列的项构成一个闭区 间套，则该数列收敛。
《数列极限》课件
性。
适用于任何收敛数列的证明 。
需要选择合适的正数 $varepsilon$，以确保证明
的有效性。
夹逼定理证明法
01 总结词
通过夹逼定理来证明数列的收 敛性。
02 详细描述
03 适用范围
适用于某些收敛数列的证明。
夹逼定理指出，如果存在两个 常数$a$和$b$，使得$a leq a_n leq b$且$lim_{n to infty} a = lim_{n to infty} b = L$， 则数列${a_n}$也收敛于$L$。 通过证明存在这样的常数$a$和 $b$，可以证明数列的收敛性。
利用数列极限探究数学规律或现象，如 探究数学猜想、探究函数的周期性等。
利用数列极限求解复杂数学问题，如求 解高阶导数、求解微分方程等。
详细描述 利用数列极限证明函数的性质或定理。
THANKS
感谢观看
微积分基本定理的推导
01
微积分基本定理的 内容
微积分基本定理是微积分学中的 重要定理，它建立了定积分与不 定积分之间的关系。
02
微积分基本定理的 推导过程
通过极限理论、实数完备性等数 学工具，可以推导出微积分基本 定理。
03
微积分基本定理的 应用
微积分基本定理是计算定积分的 基石，可以用于解决面积、体积 、长度等几何和物理问题。
需要选择合适的正数，以确 保证明的有效性。
柯西收敛准则证明法
总结词
详细描述
适用范围
注意事项
通过柯西收敛准则来证明数 列的收敛性。
柯西收敛准则指出，如果对于任 意正数$varepsilon$，存在正整 数$N$，使得当$n, m > N$时， 有$|a_n - a_m| < varepsilon$ ，则数列收敛。通过证明存在这 样的$N$，可以证明数列的收敛
适用于任何收敛数列的证明 。
需要选择合适的正数 $varepsilon$，以确保证明
的有效性。
夹逼定理证明法
01 总结词
通过夹逼定理来证明数列的收 敛性。
02 详细描述
03 适用范围
适用于某些收敛数列的证明。
夹逼定理指出，如果存在两个 常数$a$和$b$，使得$a leq a_n leq b$且$lim_{n to infty} a = lim_{n to infty} b = L$， 则数列${a_n}$也收敛于$L$。 通过证明存在这样的常数$a$和 $b$，可以证明数列的收敛性。
利用数列极限探究数学规律或现象，如 探究数学猜想、探究函数的周期性等。
利用数列极限求解复杂数学问题，如求 解高阶导数、求解微分方程等。
详细描述 利用数列极限证明函数的性质或定理。
THANKS
感谢观看
微积分基本定理的推导
01
微积分基本定理的 内容
微积分基本定理是微积分学中的 重要定理，它建立了定积分与不 定积分之间的关系。
02
微积分基本定理的 推导过程
通过极限理论、实数完备性等数 学工具，可以推导出微积分基本 定理。
03
微积分基本定理的 应用
微积分基本定理是计算定积分的 基石，可以用于解决面积、体积 、长度等几何和物理问题。
需要选择合适的正数，以确 保证明的有效性。
柯西收敛准则证明法
总结词
详细描述
适用范围
注意事项
通过柯西收敛准则来证明数 列的收敛性。
柯西收敛准则指出，如果对于任 意正数$varepsilon$，存在正整 数$N$，使得当$n, m > N$时， 有$|a_n - a_m| < varepsilon$ ，则数列收敛。通过证明存在这 样的$N$，可以证明数列的收敛
03-第3讲数列极限PPT课件
n 由定义可知数列 { 2 } 是无界的 .
二、数列的极限
数列极限的直观定义
1 1 1 例如 a n n 2 2 2 2
1 1(21)n 1 2 1 2
1 ,2 , ) 1 n , (n1 2
a n 无限接近 1 可以看出， 当 n 无限增大时，
“ 1” 是它的极限.
••••• •••••
… xn … x3
1 2
n
x2
1 4
x1
1 2
0
1 8
x
n 1 n 1 ( 3 ) { ( 1 ) } : 1 , 1 , 1 , 1 , , ( 1 ) ,
n 1 通项 :x ( 1 ) . n
x 2n
–1
所有的偶数项
x 2 n 1
得到的一串数： x ,x , ,x , 1 2 n 称为一个数列, 记为{ xn }.
数列中的每一个数称为数列的一项
xn = f (n) 称为数列的通项或一般项
2. 数列的表示法
公式法 运用数轴表示
图示法
运用直角坐标系表示 表格法
在平面上画出自变量坐标轴和因变量坐标轴, 则数列的几何意义是 平面上一串分离的点. xn
高等院校非数学类本科数学课程
高等 数 学（上）
—— 一元微积分学
第三讲 数列的极限
教案制作：吴洪武
作业
• 习题1-2（教材21页） • 1(1); 2(3); 4; • 5; 6; 7; 8.
第二节 数列的极限 一、数列及其简单性质
二、数列的极限
三、数列极限的性质 四、子列
无限！ 再没有其它的问题
(
x1
二、数列的极限
数列极限的直观定义
1 1 1 例如 a n n 2 2 2 2
1 1(21)n 1 2 1 2
1 ,2 , ) 1 n , (n1 2
a n 无限接近 1 可以看出， 当 n 无限增大时，
“ 1” 是它的极限.
••••• •••••
… xn … x3
1 2
n
x2
1 4
x1
1 2
0
1 8
x
n 1 n 1 ( 3 ) { ( 1 ) } : 1 , 1 , 1 , 1 , , ( 1 ) ,
n 1 通项 :x ( 1 ) . n
x 2n
–1
所有的偶数项
x 2 n 1
得到的一串数： x ,x , ,x , 1 2 n 称为一个数列, 记为{ xn }.
数列中的每一个数称为数列的一项
xn = f (n) 称为数列的通项或一般项
2. 数列的表示法
公式法 运用数轴表示
图示法
运用直角坐标系表示 表格法
在平面上画出自变量坐标轴和因变量坐标轴, 则数列的几何意义是 平面上一串分离的点. xn
高等院校非数学类本科数学课程
高等 数 学（上）
—— 一元微积分学
第三讲 数列的极限
教案制作：吴洪武
作业
• 习题1-2（教材21页） • 1(1); 2(3); 4; • 5; 6; 7; 8.
第二节 数列的极限 一、数列及其简单性质
二、数列的极限
三、数列极限的性质 四、子列
无限！ 再没有其它的问题
(
x1
《高数》数列极限》课件
详细描述
几何级数是每一项都等于前一项乘以一个固 定比例的数列。数列极限的概念用于计算几 何级数的和，帮助我们了解这种数列的增长
趋势和规律。
05
数列极限的扩展知识
无穷级数的概念
要点一
无穷级数定义
无穷级数是无穷多个数按照一定顺序排列的数列，可以表 示为$sum_{n=0}^{infty} a_n$，其中$a_n$是级数的项。
《高数》数列极限》ppt课件
• 数列极限的定义 • 数列极限的性质与定理 • 数列极限的运算 • 数列极限的应用 • 数列极限的扩展知识
01
数列极限的定义
定义及性质
定义
数列的极限是指当项数n无限增大时 ，数列的项无限趋近的数值。
性质
极限具有唯一性、有界性、局部保序 性等性质。
收敛与发散
收敛
如果数列的极限存在，则称该数列收敛。
单调有界定理
如果数列单调递增且有上界或单调递减且有下界，则 该数列收敛。
反例
举出一些不满足单调有界定理的数列，如无界且无周 期的数列等。
应用
单调有界定理在证明某些数学问题时具有重要应用， 如求函数的极值点等。
柯西收敛准则
柯西收敛准则
数列收敛的充要条件是对于任意 给定的正数$varepsilon$，存在 正整数$N$，使得当$n,m>N$时 ，有$|a_n - a_m|<varepsilon$ 。
幂级数求极限
幂级数求极限的方法
介绍如何利用幂级数的方法求极限，包 括将函数展开为幂级数，并利用幂级数 的性质求极限。
VS
举例说明
通过具体例子演示如何运用幂级数求极限 ，如求lim(x->0) (1+x)^1/x的极限值。
高等数学放明亮版课件1.2-数列的极限ppt.ppt
2024/9/27
17
目录
上页
下页
返回
从使用情况来看，闭胸式的使用比较 广泛。 敞开式 盾构之 中有挤 压式盾 构、全 部敞开 式盾构 ，但在 近些年 的城市 地下工 程施工 中已很 少使用 ，在此 不再说 明。
xn
1
(1)n n
无限接近于常数1 ．
怎样用精确的数学语言来阐述“当 n 趋于无穷大时，
数列 xn 无限接近一个确定的常数 a ”这一变化趋势？ 我们知道，两个数 a 与 b 之间的接近程度可以用这两个
数之差的绝对值| b a | 来度量（ | b a | 的几何意义表示点 a
与点 b 之间的距离），| b a | 越小，a 与 b 就越接近．为此，“数
从使用情况来看，闭胸式的使用比较 广泛。 敞开式 盾构之 中有挤 压式盾 构、全 部敞开 式盾构 ，但在 近些年 的城市 地下工 程施工 中已很 少使用 ，在此 不再说 明。
2. 收敛数列一定有界.
(Roundedness)
证: 设nl imxn a, 取 1, 则 N , 当 nN 时, 有 xn a 1,从而有
去求最小的 N．
2024/9/27
9
目录
上页
下页
返回
从使用情况来看，闭胸式的使用比较 广泛。 敞开式 盾构之 中有挤 压式盾 构、全 部敞开 式盾构 ，但在 近些年 的城市 地下工 程施工 中已很 少使用 ，在此 不再说 明。
例2 证明
lim
n
(1)n (n 8)3
0
证:
xn0
( 1) n (n 8)3
极限是唯一的.
2024/9/27
12
目录
上页
下页
12数列极限精品PPT课件
23
n
n
注意1. 数列对应着数轴上一个点列, 可看作一动 点在数轴上依次取x1, x2, ···, xn, ···
x3 x1 x2 x4 xn
注意2. 数列是整标函数, 即定义在正整数集合Z+ 或自然集合N上的函数 xn = f (n).
三、数列的极限
观察数列
xn
1
n
当n→∞时的变化趋势
播放
得证
lim
n
xn
0.
利用定义验证数列极限, 遇到的不等式| xn–a |<
不易考虑时, 往往采用把 | xn–a | 适当放大的方法. 若
能放大到较简单的式子, 就能从一个比较简单的不等
式较容易寻找项数指标N. 放大的原则
① 放大后的式子较简单; ② 放大后的式子以0为极限.
例2:设xn
0,且 lim n
数n, 恒有| xn | M 成立, 则称数列{xn}为有界的, 否则
称数列{xn}为无界的.
例如,
数列 xn
n n1
有界,
数列
xn
2n
无界.
在数轴上, 对应于有界数列{xn}的点都必须落在闭 区间[–M, M]上.
定理1: 收敛的数列必定是有界的.
证: 设
lim
n
xn
a , 由定义,
取
=1,
则
求的N不是唯一的. 用定义验证 xn 以 a 为极限时, 关键
在于设法由给定的 , 求出一个相应的 N, 使当 n>N时, 不等式| xn–a |< 成立。
四、数列极限的几何意义
若
lim
n
xn
a, 则 >0, N, 使得N项以后的所有项
02 数列的极限PPT课件
n
n n n •极限定义的简记形式 牢记 ε-N定义 a.故发散 例如 : 不存在这样的常数 . 1 : 1 , 1 , 1 , 1 , , 1 , , 当 n n n 0, N N n N不存在这样的常数 时, 有|xn-a|a..故发散 lim x a . 2 : 2 , 4 , 6 , 8 , 16 , , 2 , . n
•数列的几何意义
数列{xn}可以看作数轴上的一个动点, 它依次取数轴上的点
x1, x2, x3, , xn , .
x1 xn x4 x3 x5 x2
数列
如果按照某一法则, 对每一nN, 对应着一个确定 的实数xn, 则得到一个序列 x1, x2, x3, , xn , , 这一序列叫做数列, 记为{xn}, 其中第n项xn叫做数列的 一般项.
当n 无限增大时, x
n
无限接近于1，等价于
x 1可 以 任 意 小 . n
即xn - 1能小于任意给定的常数 。
x 1(-1) n-
n-1
1 1 n n
当n 无限增大时, x
1 x 1 nn
n
无限接近于1，等价于
xn - 1能小于任意给定的常数 。
1 1 1 1 1 , , 只要 给定 , 由 n 100 时 , 有x n100 n 100 100
数列
如果按照某一法则, 对每一nN, 对应着一个确定的实数xn, 则得到一个序列 x1, x2, x3, , xn , , 这一序列叫做数列, 记为{xn}, 其中第n项xn叫做数列的一般项.
数列举例: 1 2 3 n n , , , , ; 记为 2 3 4 n 1 n 1 n 2, 4, 8, , 2n , ; 记为 2
n n n •极限定义的简记形式 牢记 ε-N定义 a.故发散 例如 : 不存在这样的常数 . 1 : 1 , 1 , 1 , 1 , , 1 , , 当 n n n 0, N N n N不存在这样的常数 时, 有|xn-a|a..故发散 lim x a . 2 : 2 , 4 , 6 , 8 , 16 , , 2 , . n
•数列的几何意义
数列{xn}可以看作数轴上的一个动点, 它依次取数轴上的点
x1, x2, x3, , xn , .
x1 xn x4 x3 x5 x2
数列
如果按照某一法则, 对每一nN, 对应着一个确定 的实数xn, 则得到一个序列 x1, x2, x3, , xn , , 这一序列叫做数列, 记为{xn}, 其中第n项xn叫做数列的 一般项.
当n 无限增大时, x
n
无限接近于1，等价于
x 1可 以 任 意 小 . n
即xn - 1能小于任意给定的常数 。
x 1(-1) n-
n-1
1 1 n n
当n 无限增大时, x
1 x 1 nn
n
无限接近于1，等价于
xn - 1能小于任意给定的常数 。
1 1 1 1 1 , , 只要 给定 , 由 n 100 时 , 有x n100 n 100 100
数列
如果按照某一法则, 对每一nN, 对应着一个确定的实数xn, 则得到一个序列 x1, x2, x3, , xn , , 这一序列叫做数列, 记为{xn}, 其中第n项xn叫做数列的一般项.
数列举例: 1 2 3 n n , , , , ; 记为 2 3 4 n 1 n 1 n 2, 4, 8, , 2n , ; 记为 2
数列极限-PPT精选文档
2.几个重要极限：
1 0 limC C （C为常数） lim n n n
q 0 当 q 1 时 lim n
n
3．我们可以将an看成是n的函数即an=f(n),n∈N*,an就
是一个特殊的函数，对于一般的函数f(x) x∈R是否有同
样的结论？
3、数列极限的运算法则 lim bn=B 如果 lim an=A，
n
n 1
例2：已) 5 a n b n
2
求常数a、b、c的值。
例3．已知数列{ an }是由正数构成的数列， a1=3，且满足于lgan =lgan-1 +lgc，其中 n 是 大于1的整数，c 是正数
（１）求数列{ an }的通项公式及前n项和Sn
例1：求下列极限
2n n7 (1 )lim 2 5 n 7 n
2
(2 )lim ( n nn )
2 n
2 4 2 n 2 . . . . . 2) ( 3 ) l i m (n 2 n n n
a ( 1 a ) ( 1 a) ( a 1 ) ( 4 ) l i m n 1 n 1 a ) ( 1 a ) . . . . . . . . . . . n a (
2 a n 求 的 值 （2） lim n n 2 a n 1
n 1
课堂小结 1、极限的四则运算，要特别注意四则运 算的条件是否满足。
2.几个重要极限：
limC C （C为常数）
n
1 lim 0 n n
q 0 当 q 1 时 lim n
n
2、本节复习内容是数列极限在代数，平 面几何、三角、解析几何中的综合应用， a1 尤其要注意公式S= 的运用。 1 q
《数列的极限》PPT课件
1．数列极限的定义
设{an}是一个无穷数列，如果当项数 n 无限增大时，项 an 无限地趋近于某个常数 a(即|an
－a|无限地接近于
0)，那么就说数列{an}以
a
为极限(或者说
a
是数列{an}的极限)，记作
lim n→∞
an＝a.
2．几个常用极限
(1)lim C＝C(C 为常数)； n→∞
(2)lim n→∞
答案：1000
首页 上一页 下一页 末页
瀚海导与练 成功永相伴
瀚海书业
瞻前顾后 要点突破 典例精析 演练广场 考题赏析
首页 上一页 下一页 末页
瀚海导与练 成功永相伴
瀚海书业
瞻前顾后 要点突破 典例精析 演练广场 考题赏析
知识要点一：对数列极限的理解 1．数列{an}的极限是指当 n 无限增大时，an 无限趋近的那个常数．如果当 n 无限增大时， an 不趋近于任何一个常数，那么这个数列就没有极限．数列的极限是一个常数，这个常数与 n 无关，求数列的极限就是求这个常数． 2．一个数列如果有极限，那么这个数列的极限是唯一的，即一个数列不可能有两个或 更多个极限．
知识要点二：几种常用数列的极限 1．常数数列的极限是这个常数本身，即n→lim∞C＝C(C 为常数)． 2．如果|a|＜1，那么n→lim∞an＝0；如果n→lim∞an＝0，那么|a|＜1；如果n→lim∞an 存在，那 么－1＜a≤1.
首页 上一页 下一页 末页
瀚海导与练 成功永相伴
瀚海书业
瞻前顾后 要点突破 典例精析 演练广场 考题赏析
首页 上一页 下一页 末页
瀚海导与练 成功永相伴
瀚海书业
瞻前顾后 要点突破 典例精析 演练广场 考题赏析
02数列的极限PPT课件
•数列与函数
数列{xn}可以看作自变量为正整数n的函数: xn=f(n), nN .
首页
上页
返回
下页
结束
铃
❖数列极限的通俗定义 当n无限增大时, 如果数列{xn}的一般项xn无限接近
于常数a, 则常数a称为数列{xn}的极限, 或称数列{xn}收 敛a, 记为
例如
首页
上页
返回
下页
结束
铃
当n无限增大时, 如果数列{xn}的一般项xn无限接近 于常数a, 则数列{xn}收敛a.
2. 数列1, -1, 1, -1, , (-1)N1, 的有界性与收敛 如何？
首页
上页
返回
下页
结束
铃Байду номын сангаас
二、收敛数列的性质
❖定理1(极限的唯一性) 如果数列{xn}收敛, 那么它的极限唯一.
❖定理2(收敛数列的有界性)
如果数列{xn}收敛, 那么数列{xn}一定有界. ❖定理3(收敛数列的保号性)
首页
上页
返回
下页
结束
铃
❖数列极限的精确定义
设{xn}为一数列, 如果存在常数a, 对于任意给定的正
数e , 总存在正整数N, 使得当n>N 时, 不等式
|xn-a |<e
都成立, 则称常数a是数列{xn}的极限, 或者称数列{xn}收 敛于a, 记为
如果不存在这样的常数a, 就说数列{xn}没有极限,
•数列的几何意义
数列{xn}可以看作数轴上的一个动点, 它依次取数轴 上的点x1, x2, x3, , xn , .
x1
xn x4 x3 x5 x2
首页
上页
返回
数列{xn}可以看作自变量为正整数n的函数: xn=f(n), nN .
首页
上页
返回
下页
结束
铃
❖数列极限的通俗定义 当n无限增大时, 如果数列{xn}的一般项xn无限接近
于常数a, 则常数a称为数列{xn}的极限, 或称数列{xn}收 敛a, 记为
例如
首页
上页
返回
下页
结束
铃
当n无限增大时, 如果数列{xn}的一般项xn无限接近 于常数a, 则数列{xn}收敛a.
2. 数列1, -1, 1, -1, , (-1)N1, 的有界性与收敛 如何？
首页
上页
返回
下页
结束
铃Байду номын сангаас
二、收敛数列的性质
❖定理1(极限的唯一性) 如果数列{xn}收敛, 那么它的极限唯一.
❖定理2(收敛数列的有界性)
如果数列{xn}收敛, 那么数列{xn}一定有界. ❖定理3(收敛数列的保号性)
首页
上页
返回
下页
结束
铃
❖数列极限的精确定义
设{xn}为一数列, 如果存在常数a, 对于任意给定的正
数e , 总存在正整数N, 使得当n>N 时, 不等式
|xn-a |<e
都成立, 则称常数a是数列{xn}的极限, 或者称数列{xn}收 敛于a, 记为
如果不存在这样的常数a, 就说数列{xn}没有极限,
•数列的几何意义
数列{xn}可以看作数轴上的一个动点, 它依次取数轴 上的点x1, x2, x3, , xn , .
x1
xn x4 x3 x5 x2
首页
上页
返回
《数列极限的性质》课件
不存在的情况
如果极限不存在，例如 $lim_{n to infty} (frac{1}{n})$，则不能直接 应用四则运算性质。
03
单调有界定理
定理内容
定理
如果数列${ a_{n}}$是单调增加（或减少）的，并且存在一个正数$M$，使得 对于所有$n$，都有$a_{n} leq M$（或$a_{n} geq M$），则数列${ a_{n}}$ 收敛。
举例说明
解：根据极限的四则 运算性质，我们有
• $\lim_{n \to \infty} (a_n b_n) = 2 - 3 = 1$
• $\lim_{n \to \infty} (a_n + b_n) = 2 + 3 = 5$
举例说明
01
• $\lim_{n \to \infty} (a_n \cdot b_n) = 2 \cdot 3 = 6$
04
柯西收敛准则
柯西收敛准则的内容
柯西收敛准则
如果对于任意给定的正数$varepsilon$，存在一个正整数$N$，使得对于所有的$n>N$，都有$|a_n a|<varepsilon$，则称数列${a_n}$收敛于$a$。
柯西收敛准则的数学表达
如果对于任意正数$varepsilon$，存在正整数$N$，使得当$n>N$时，有$|a_{n+1}-a_n|<varepsilon$，则数 列${a_n}$收敛。
极限的四则运算性质
极限的加法性质
若$lim_{n to infty} a_n = A$且$lim_{n to infty} b_n = B$，则$lim_{n to infty} (a_n + b_n) = A + B$。
高等数学(第二版)上册课件：数列的极限
n
n
n
若 0< q 1, 要使 xn 0
,只要 | q |n 即可
取自然对数，得n ln | q | ln ,
因 | q | 1, 故 n
ln
取 N 1
ln | q
则
,
|
则当n N 时 | q
lim q n 0
若数列 xn 收敛，则数列 xn 有界.
定理2
如
2,
3 4
n1
, ,...,
2 3
n
推论
无界数列必发散.
如 2, 4,8, , 2n ,
定理3（保号性） 若 lim xn a，a 0 （或a 0），则
n
正整数 N 0，当n N 时有 xn 0 （或xn 0）.
如 lim q n 0, 其中 | q | 1.
n
定义1.3 设有数列 xn ，若M 0，使对一切n 1, 2, ,
有 xn M，则称数列 xn 是有界的，否则称它为无界的.
1
例如数列 2
(-1)n 有界，数列n 2 无界.
、
n 1
定义1.2’
如果对于任意给定的正数 ，总存在正整数 N ,使得对于 n N 的
一切
xn
,都有不等式
|ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱxn A | 成立，则称常数A为数列
x n 当 n 时的极限，或称数列{xn } 收敛于A，记作
lim xn A
n
，或者 x A n
数列极限的几何意义：
n
2
1
1
又如 xn n , xn 0, lim n 0
n
n
若 0< q 1, 要使 xn 0
,只要 | q |n 即可
取自然对数，得n ln | q | ln ,
因 | q | 1, 故 n
ln
取 N 1
ln | q
则
,
|
则当n N 时 | q
lim q n 0
若数列 xn 收敛，则数列 xn 有界.
定理2
如
2,
3 4
n1
, ,...,
2 3
n
推论
无界数列必发散.
如 2, 4,8, , 2n ,
定理3（保号性） 若 lim xn a，a 0 （或a 0），则
n
正整数 N 0，当n N 时有 xn 0 （或xn 0）.
如 lim q n 0, 其中 | q | 1.
n
定义1.3 设有数列 xn ，若M 0，使对一切n 1, 2, ,
有 xn M，则称数列 xn 是有界的，否则称它为无界的.
1
例如数列 2
(-1)n 有界，数列n 2 无界.
、
n 1
定义1.2’
如果对于任意给定的正数 ，总存在正整数 N ,使得对于 n N 的
一切
xn
,都有不等式
|ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱxn A | 成立，则称常数A为数列
x n 当 n 时的极限，或称数列{xn } 收敛于A，记作
lim xn A
n
，或者 x A n
数列极限的几何意义：
n
2
1
1
又如 xn n , xn 0, lim n 0
人教版高中数学课件：高二数学课件-数列的极限
在研究数列的极限时，需要特别关注 初始项的选择，以确保数列的收敛性 和收敛速度。
收敛数列的性质
收敛数列具有唯一性，即收敛 数列只能收敛到一个唯一的极 限值。
收敛数列具有有界性，即收敛 数列的项值必须在一定范围内 波动，不会无限增大或减小。
收敛数列具有保序性，即如果 一个数列收敛到极限a，那么对 于任何正整数n，都有 an≥an+1。
03
数列极限的应用
利用极限求数列的通项公式
总结词
通过数列的极限，我们可以推导出数列的通项公式。
详细描述
在数列的极限中，如果一个数列的极限值存在，那么这个极限值就是数列的通项 公式。例如，对于等差数列，其通项公式可以通过求差分比值的极限得到。
利用极限证明数列的单调性
总结词
通过比较相邻项的极限，可以证明数 列的单调性。
极限的唯一性
极限的唯一性是数列极限的一个 重要性质，即一个数列只能有一
个极限值。
如果一个数列有两个不同的极限 值，那么这个数列就不会收敛。
极限的唯一性对于研究数列的性 质和函数的变化规律非常重要， 是数学分析中的一个基本原则。
THANK YOU
数列极限的存在性
01
02
03
单调有界定理
如果数列单调递增且有上 界或单调递减且有下界， 则该数列存在极限。
闭区间套定理
如果数列满足闭区间套的 条件，则该数列存在极限 。
柯西收敛准则
如果对于任意给定的正数 $varepsilon$，存在正整 数N，使得当$n, m > N$ 时，有$|a_n - a_m| < varepsilon$，则该数列 存在极限。
04
数列极限的求解方法
直接代入法
收敛数列的性质
收敛数列具有唯一性，即收敛 数列只能收敛到一个唯一的极 限值。
收敛数列具有有界性，即收敛 数列的项值必须在一定范围内 波动，不会无限增大或减小。
收敛数列具有保序性，即如果 一个数列收敛到极限a，那么对 于任何正整数n，都有 an≥an+1。
03
数列极限的应用
利用极限求数列的通项公式
总结词
通过数列的极限，我们可以推导出数列的通项公式。
详细描述
在数列的极限中，如果一个数列的极限值存在，那么这个极限值就是数列的通项 公式。例如，对于等差数列，其通项公式可以通过求差分比值的极限得到。
利用极限证明数列的单调性
总结词
通过比较相邻项的极限，可以证明数 列的单调性。
极限的唯一性
极限的唯一性是数列极限的一个 重要性质，即一个数列只能有一
个极限值。
如果一个数列有两个不同的极限 值，那么这个数列就不会收敛。
极限的唯一性对于研究数列的性 质和函数的变化规律非常重要， 是数学分析中的一个基本原则。
THANK YOU
数列极限的存在性
01
02
03
单调有界定理
如果数列单调递增且有上 界或单调递减且有下界， 则该数列存在极限。
闭区间套定理
如果数列满足闭区间套的 条件，则该数列存在极限 。
柯西收敛准则
如果对于任意给定的正数 $varepsilon$，存在正整 数N，使得当$n, m > N$ 时，有$|a_n - a_m| < varepsilon$，则该数列 存在极限。
04
数列极限的求解方法
直接代入法
高数数列的极限ppt课件
{
}
23
n
n
3, 3 3,, 3 3 3 ,
注意 1 数列对应着数轴上一个点列.可看作一
动点在数轴上依次取 x1 , x2 ,, xn ,.
x3 x1 x2 x4 xn 2 数列是整标函数 xn f (n).
6
3 数列的极限
观察数列{1 (1)n1 } 当 n 时的变化趋势. n
28
第三节 目录 上页 下页 返回 结束
数列 (1 )n1 虽有界但不收敛 . 19
机动 目录 上页 下页 返回 结束
注意 有界性是数列收敛的必要条件. 推论 无界数列必定发散.
20
3. 收敛数列的保号性.
若
且
时, 有
( 0).
证: 对 a > 0 , 取
( 0),
推论: 若数列从某项起
( 0)
( 0). (用反证法证明)
21
机动 目录 上页 下页 返回 结束
n
xn
a
0,N 0,使n N时,恒有 xn a .
其中 : 每一个或任给的; : 至少有一个或存在 .
几何解释
a
2 a
x2 x1 xN 1 a xN 2 x3 x
当n N时, 所有的点 xn都落在(a , a )内,
只有有限个(至多只有N个) 落在其外.
11
注意 数列极限的定义未给出求极限的方法.
证法一:
设
lim
n
xn
a,又 lim n
xn
b, 由定义,
0, N1 , N2 .使得
当n
N
时恒有
1
xn
a
;
当n
N
时恒有
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
问题: 当 n无限增大时, a n 是否无限接近于某一
确定的数值?如果是,如何确定?
通过上面演示实验的观察:
当 n 无 限 增 大 时 ,a n 1 ( 1 n ) n 1 无 限 接 近 于 1 .
对极限仅仅停留于直观的描述和观察是非常不够的
凭观察能判定数列 an
(1
1)n n
的极限是多少吗
2)对无穷多项的和(或积)求极限一般采用先求 和(或积)后求极限.
学习之后，你了解了什么是数列 的极限了吗？如果你有兴趣，努力学 习，你就有机会更深入地学习它们。
按它结束本节学习
三、数列的极限
观察数列 xnn 1 当n时的变化趋势
xn n 1当n时 的 变 化 趋 势
xnn 1当n时的变化趋势
1.数列的极限
连中数学组 WF
一、概念的引入
割圆术：
“割之弥细，所 失弥少，割之又 割，以至于不可 割，则与圆周合 体而无所失矣”
——刘徽
播放幻灯片 8
正六边形的面积 A1
正十二边形的面积 A2
R
正62n1形的面积 An
A 1 ,A 2 ,A 3 , ,A n ,S
二、数列的极限
观察数列 xnn1当n时的变化趋势 观察 1 数 (1n 列 )n1 当 n 时的变 . 化
xnn 1当n时的变化趋势
xn n 1当n时 的 变 化 趋 势
xnn 1当n时的变化趋势
n
n n
n
三.例.求下列数列的极限
1.
lim 3n 1 n 2n
2.
lim n2 1 n n2 1000
3.
lim n
n2 n
3 1
n
4 .ln i m n 2 4 n n 2 7 n ... n 3 n 2 n 1
评析：
1)四则运算法则只对任意有限个数列可进行四 则运算，(1)小题数列个数是无限的，不适用 于四则运算法则，因此应先求和后求极限.
xn n 1当n时 的 变 化 趋 势
xn n 1当n时 的 变 化 趋 势
xn n 1当n时 的 变 化 趋 势
xn n 1当n时 的 变 化 趋 势
xnn 1当n时的变化趋势
xn n 1当n时 的 变 化 趋 势
xn n 1当n时 的 变 化 趋 化 趋 势
显然不能
“无限接近”意味着什么?如何用数 学语言刻划它. 这问题有待在高等数学中 作系统的深入研究.
1. 定义 如果当n时，数列an无 限趋近于一个确定的常数A，那 么A就叫做数列an当n 时的极
限. 记作 lniman A
严格的数学定义
如果对于任意给定的正数 e (不论它多么 小),总存在正数N ,使得对于n > N 时的一切 an, 不等式 an a < e都成立,那么就称常数a 是数列
xn的极限，记作 l i m an＝a, n
2.数列极限:如 的ln果 运 i m an 算 A,ln 法 i m bn 则 B.则
(1)ln i m anbnAB (2)ln i m anbnAB
(3) ln i m a bn n B A(bn0,B0)
3.几个常 : 用的极限
(1 )liC m C(2 )liC m 0(3 )liq m n0.(q< 1)