最新最详细的集合名词复习课程
集合复习课
Venn图 图 A B
(3)CU A= { x | x ∈ U 且x ∉ A} Venn图 图
U A
CU A
二、典题解析
例1、 填空
φ U A (1)C UU = ____ CUφ = ____ CU (CU A) = ____ ⊆ ⊆ 2 ) A ∩ B ____ A ____ A ∪ B; (
已知S = { x ∈ N + x ≤ 6} , A ⊂ S , B ⊂ S 且A ∩ B = {4,5} , (Cs B ) ∩ A = {1, 2} (CS A) ∩ (CS B) = {6} , 求A, B
S A1 4 2 5 B 3
≠ ≠
探索题： 探索题：
6
答案：A= {1,2,4,5} , B = {3, 4,5}
练习：1， 已知全集U=R,A= {x x ≥ 1} ,
B = { x −1 < x ≤ 2} 求 (C U A) ∩ (CU B), CU ( A ∪ B) 2,求满足 {1,3} ∪ A = {1,3,5}的所有集合A
答案：1、（C U A) ∩ (CU B) = CU ( A ∪ B) = { x x ≤ −1} 2、A= {5} 或 {1， 或 {3， 或 {1，5} 5} 5} 3，
集合复习课
集合结构图 集合
集合含义与表示 集合间关系 集合基本运算
知识要点
一、集合的基本概念及表示方法
1.集合与元素 集合与元素 一般地， 一般地，某些指定的对象集在一起就成为一 个集合，也简称集，通常用大写字母A、B、C… 个集合， 也简称集，通常用大写字母 表示.集合中的每一对象叫做集合的一个元素 集合中的每一对象叫做集合的一个元素， 表示 集合中的每一对象叫做集合的一个元素，通 常用小写字母a 常用小写字母 、b、c…表示 表示 2.集合的分类 2.集合的分类 集合按元素多少可分为： 集合按元素多少可分为： 有限集(元素个数是有限个 元素个数是有限个)， 有限集 元素个数是有限个 ， 无限集(元素个数是无限个 元素个数是无限个)， 无限集 元素个数是无限个 ， 空集(不含任何元素 不含任何元素). 空集 不含任何元素 也可按元素的属性分: 也可按元素的属性分 数集(元素是数 点集(元素是点 元素是数)， 元素是点) 如：数集 元素是数 ，点集 元素是点
最新集合-复习课教案
《集合》复习课教案备课人：左长城教学目的：1.理解集合的概念，知道常用数集的概念及其记法,会判断一组对象是否构成集合。
2.理解元素与集合的“属于”关系，会判断某一个元素属于或不属于某一个集合，了解数集的记法，掌握元素的特征，理解列举法和描述法的意义。
3理解子集、真子集概念，会判断和证明两个集合包含关系，理解“⊂≠”、“⊆”的含义。
4.会判断简单集合的相等关系：（1）结合集合的图形表示，理解交集与并集的概念；（2）掌握交集和并集的表示法，会求两个集合的交集和并集。
5.理解交集与并集的概念，熟练掌握交集和并集的表示法，会求两个集合的交集和并集，掌握集合的交、并的性质。
教学重点：1.集合的基本概念及表示方法。
2.交集和并集的概念，集合的交、并的性质。
3.子集的概念、真子集的概念。
教学难点：1.运用集合的两种常用表示方法——列举法与描述法，正确表示。
2.元素与子集、属于与包含间区别、描述法给定集合的运算。
3.交集和并集的概念、符号之间的区别与联系。
4.集合的交、并、补的性质。
教学内容：一、集合的有关概念：1、集合的概念：（1）集合：集合是由一些确定的对象组成的一个整体，简称集。
（2）元素：组成集合的每一个对象叫做这个集合的元素。
☆二者必居其一Aaa∉∈。
aA:A之间的关系只有两种或者元素,与集合2、常用数集及记法：（1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合。
记作N。
（2）正整数集：非负整数集内排除0的集。
记作N*或N+。
（3）整数集：全体整数的集合。
记作Z。
（4）有理数集：全体有理数的集合。
记作Q。
（5）实数集：全体实数的集合。
记作R。
3.不含任何元素的集合叫空集，记作φ。
☆注意：0和φ不同，0是一个数，可以作为一个集合的元素，而φ是一个集合。
二、集合的表示方法：列举法，描述法。
☆用列举法表示集合时，元素不能重复，不能遗漏，不计顺序；☆用描述法表示集合时，书写格式为：M=｛代表元素︱元素的特征性质｝。
第一章集合复习课
合 若 且 就说A是B的真子集.
与 集 合 的 关
若 ，且 那么 —— .
文氏图： B A 或 A，B
性质： (1)
系
(2)
(3)如果 ， C，那么 C.
4.如果一个集合中含有n个元素, 那么这个集合中
D.
若A B 2,3,5,则A 3_,_5__, B _2_,3__ .
5.若非空集合A x 2a 1 x 3a 5，
B 3 x 22，则使A B成立的集
合是
（ D）
A.a1 a 9 B.a 6 a 9
C.a a 9
复习要求
理解集合、子集、交集、并集、补集 的 概念；了解空集与 全集的意义；了解 属于、包含、相等关系的意义；掌握有 关的术语和符号，会用它们正确地表示 一些简单的集合.
知识结构图
集合
概念
关系
运算
4321
元集 素合 与与 集集 合合
子 交 并补 集 集 集集
1.集合的有关概念
“4”
四种数集N、Ｚ、Ｑ和Ｒ，若去掉元素
能力训练
1.下列集合中正确的是C
A.0 N .0,1 x, y y x 1 C.x x 2k 1, k N x x 2k, k Z
D. y y x2 1 x, y y x 1 0,1,1,2
范例:
A x y x 2 , x R . B y y x 2 , x R 则有 B ：
A.A B C.A B
B.A B D. A与B互不包
反思：认清集合一定要看清代表元素，合思想：解答某些集合问题,一般借助 数轴和文氏图求解，以“形”助“数”,形象、 直观,方便快捷。
第1章 集合复习课件-中职数学-题型解析
= {| − 2 < ≤ 1}，B= {| − 1 ≤ < 3}
∪ = {| − 2 ≤ ≤ 3}
∪
第1章 集合
1.3 集合的运算
知识点2：补集
A
∁U A
全集 = { ∈ | < 7} = {1,2,4,6}
∁ = {0,3,5}
全集 = ，集合 = {| − 2 ≤ < 1, 求∁ }
+=2
方程ቊ
的解集
−=1
3 1
{( , )}
2 2
集合{1,2,3}与集合{2，3，1}是同一个集合
第1章 集合
1.1 集合及其表示
知识点5：描述法
在“{ }”中画一条竖线，竖线
左侧写上集合代表元素，竖
线右侧写上元素的特征。
小于5的实数组成的集合
{x|x<5}
不等式2x+1>9的解集
{x|x>4}
大于-1小于3的整数数组成的集合 {x ∈ Z| − 1 < x < 3}
+=2
方程ቊ
的解集
{(x, y)|x = 32, = 12}
−=1
直角坐标系中第三象限的点组成的集合
{(x, y)|x < 0, y < 0}
第1章 集合
1.2 集合之间的关系
知识点1：子集
集合A中的每一个元素都属于
集合B,则A是B的子集。
记作 ⊆ 或 ⊇
①空集是任何集合的子集
②任何集合是其本身的子集
{1,2,3,4}
⊇
∅ ⊆ 任意集合
{1,2,3} ⊆ {3,2,1}
{1,3}
{| − 2 < < 3}
新高考数学总复习专题一1.1集合课件
1.1 集合
考点一 集合及其关系 1.集合的含义与表示 1)元素与集合的含义:一般地,把研究对象统称为元素;把一些元素组成的 总体叫做集合. 2)集合中元素的特性:确定性、互异性、无序性. 3)表示方法:列举法、描述法、图示法(Venn图). 4)常用数集及其符号表示:非负整数集(自然数集)N、正整数集N*(或 N+)、整数集Z、有理数集Q、实数集R. 5)集合中元素与集合的关系:属于(用符号“∈”表示)和不属于(用符号 “∉”表示).
答案 C
创新 集合的新定义问题 集合中的新定义问题常见类型有定义新概念、新公式、新运算和新法 则等,解决这类问题的基本方法如下:第一读懂新定义,准确把握新信息, 弄清新定义的内涵与外延,然后将新的信息迁移到待解问题中,并将其转 化为熟悉的知识,进而将问题加以解答.
例 (202X浙江绍兴期末,7)用C(A)表示非空集合A中元素的个数,定义A*B=
⌀⊆B ⌀⫋B(B≠⌀)
【知识拓展】 若A为有限集,集合A中的元素个数记为card(A)=n,则集合A 的所有子集个数为2n,所有非空子集个数为2n-1,所有真子集个数为2n-1,所 有非空真子集个数为2n-2.
已知全集U,集合A,B.
集合的并集 符号表示 A∪B 图形表示
考点二 集合的基本运算
集合的交集 A∩B
例1 (1)(202X全国乙理,2,5分)已知集合S={s|s=2n+1,n∈Z},T={t|t=4n+1,n ∈Z},则S∩T= ( ) A.⌀ B.S C.T D.Z (2)(202X广州三模,2)已知集合A={x|ax=1,a∈R},B={-1,1},若A⊆B,则a的 所有取值构成的集合为 ( ) A.{-1} B.{-1,1} C.{0,1} D.{-1,0,1}
集合复习课课件
要点二
4. $M = \{ y
这是错误的，因为集合$N_0$包含0和所有正整数，而集合 $M$只包含非负实数。
y \geqslant 0\}$：这是正确的，因为对于所有实数x，都 有$x^2 \geqslant 0$。
集合练习题及答案解析（二）
练习题
1. 若集合A={y|y=x^2,x∈R}，B={y|y=√x,x≥0} ，则 _______．
集合运算在数学中的应用举例
集合运算在解方程中的应用
通过集合运算可以将方程的解表示为集合的形式，从而方便求解 。
集合运算在几何学中的应用
在几何学中，可以通过集合运算来描述图形的交、并、补等运算。
集合运算在概率论中的应用
在概率论中，事件可以表示为集合的形式，通过集合运算可以计算 事件的概率。
集合运算在计算机科学中的应用举例
交集的性质
若A∩B=A∩C，则B=C；若 A∩B=A∩C，则A∪B=A∪C；若 A∩B=A∩C，则 (A∪B)∩(A∪C)=A∩(B∪C)。
补集的性质
若U(A)=U(B)，则A=B；若 U(A)=U(B)，则 U(A∩B)=U(B)∩U(A)；若 U(A)=U(B)，则 U(A∪B)=U(B)∪U(A)。
感谢观看
2. 若集合M={(x,y)|y=f(x)}，N={(x,y)|x=g(y)}， 则MN中元素的个数为 _______．
集合练习题及答案解析（二）
• 若U={n|n是小于9的正整数}，A={n∈U|n是奇数}，B={n∈U|n 是3的倍数}，则 ___．
集合练习题及答案解析（二）
答案解析
2. 对于集合M和N的交集元素个数，需要考虑函 数f(x)和g(y)的交点个数。如果f(x)和g(y)有n个交 点，则MN中有n个元素。因此，MN中元素的个 数取决于f(x)和g(y)的交点个数。
必修一第一章《集合》复习课
(B)a | a 2,或a 4
a 2 a 4
(C) a | a 0,或a 6
(D)a | 2 a 4
变式：若上题的条件改为A B,则实数a的 取值范围是
.
1 a-1 a+1 5
专题三：集合与方程的联系
例4：已知集合A x ax2 3x 2 0, a R
CCCUUU((CA(AUA(ABBB)))B()C((CCU(UUACAA)U)A)(C(CU(UCBBU),)BC,)CU, CUU(AU(A(ABB)BB)))(C((C(UCCUAUUA)AA)))(C((C(UCCUBUUB)BB)))
2.对任意的有限集合 A、B、C 有: card(A∪B)= card(A)+card(B)-card(A∩B); card(A∪B∪C)
一、知识网络
集合的概念
集 合
集合的表示 方法
集合与集合的 关系与运算
集合的 分类 元素的
性质 列举法 描述法 维恩图法 包含关系
集合运算
无限集 有限集 空集 确定性 互异性 无序性
子集 真子集 相等 交集 并集 补集
二、集合运算中常用结论:
1. A B A B A A B A B B
一种特殊情况，即 A 、忽视它，就会出错。
实战演练
专题一：集合概念的理解 例1:下列九个关系中正确的有（② ④ ⑤ ⑦ ⑧）
① 0 {0,1} ② 0∈{0,1} ③ ∈{0}
④ {0} ⑤ {0} {0,1} ⑥ {0} {0}
⑦ ⑧ ⑨ 0
C. x | 0 x 1
D.
，
专题2：集合与不等式之间的联系
2024年高一集合知识点课件
2024年高一集合知识点课件一、教学内容1. 集合的概念与表示方法（第二章第一节）2. 集合的运算（第二章第二节）3. 集合与方程（第二章第三节）二、教学目标1. 理解集合的概念，学会使用不同的表示方法表示集合。
2. 掌握集合的基本运算，如并集、交集、补集等。
3. 能够运用集合的知识解决实际问题。
三、教学难点与重点难点：集合的运算及其性质。
重点：集合的概念、表示方法及运算。
四、教具与学具准备1. 教具：PPT课件、黑板、粉笔。
2. 学具：练习本、笔。
五、教学过程1. 实践情景引入通过展示生活中关于集合的例子（如购物时挑选商品、图书馆的书籍分类等），引导学生理解集合的概念。
2. 知识讲解（1）集合的概念与表示方法通过PPT展示，讲解集合的定义、元素与集合的关系、集合的表示方法（如列举法、描述法等）。
（2）集合的运算结合实例，讲解集合的并集、交集、补集等运算及其性质。
（3）集合与方程通过例题讲解，展示集合与方程之间的联系，学会运用集合的知识解决方程问题。
3. 随堂练习针对每个知识点设置相应的练习题，让学生当堂巩固所学知识。
六、板书设计1. 集合的概念与表示方法2. 集合的运算并集交集补集3. 集合与方程七、作业设计1. 作业题目（1）列举生活中的集合实例，并用适当的表示方法表示出来。
A = {x | x是小于5的自然数}B = {x | x是大于3的自然数}2x 5 ∈ {x | x是小于3的自然数}2. 答案（1）答案不唯一，只要合理即可。
（2）并集：A ∪ B = {x | x是小于5的自然数}交集：A ∩ B = {x | x是大于3且小于5的自然数}补集：A' = {x | x是大于等于5的自然数}（3）x = 1八、课后反思及拓展延伸1. 集合在生活中的应用还有哪些？2. 除了今天学习的运算，集合还有其他运算吗？3. 如何运用集合的知识解决更复杂的问题？重点和难点解析1. 实践情景引入2. 集合的运算及其性质3. 作业设计一、实践情景引入实践情景的引入是激发学生学习兴趣、引导学生主动参与的关键环节。
第一章 集合复习课
集合的有关概念
1、集合与元素 x是集合A的元素则记作x∈A，若元素x不是 集合A的元素则记作x A。 2、集合的分类 有限集、无限集、 空集 。 3、集合元素的特性 确定性、互异性、无序性 4、集合的表示方法 列举法、描述法 {x | p(x) }、图示法 5、常见数集及符号 N、N*(N+)、Z、Q、R、{x|x=2n,n∈Z}、 {x|x=2n+1,n∈Z}、 CRQ
质
定 A∩B={x|x∈A A∪B={x|x∈ 义 且x ∈ B} A或x ∈ B}
=A ∩(B ∩C)
=A ∪(B ∪ C) 其中 U 为全集
结 合 A 图 形 P.23容斥原理
B
CUA A
U
集合与集合的关系(运算关系)
交集 并集 补集
CSA={x|x∈S 且x∈A} ① A∩A=A ① A∪A=A ① ( CUA)∪A=U 其 ② A∩ = ② A∪ =A 本 ③ A∩B= B∩A ③ A∪B= B∪A ② ( CUA)∩A= ③ 性 ④(A∩B) ∩C ④(A∪ B) ∪ C CU( CUA) =A
质
其 它 性 质
定 A∩B={x|x∈A A∪B={x|x∈ 义 且x ∈ B} A或x ∈ B}
=A ∩(B ∩C)
=A ∪(B ∪ C) 其中 U 为全集
① CU(A∩B)=
(CUA)∪ (CU B) CU(A∪B)= (C UA)∩ (CU B) ② A∩B=A A B ；A∪B=B A B ③ A∩(B∪C)= (A ∩ B) ∪(A ∩ C) A∪(B∩C)= (A ∪ B) ∩(A ∪ C)
①A
的子集数是2n个
第01课集合(课件)
一、【考点逐点突破】
【考点 16】子集个数：若有限集 A 中有 n 个元素，则 A 的子集有 2n 个，真子集有 2n －1 个，非空子集有 2n－1 个，非空真子集有 2n－2 个.
【典例】已知集合 A＝{1，2，3，4}，B＝{y|y＝2x－3，x∈A}，则集合 A∩B 的子集
个数为( )
A．1
【典例】已知集合 A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2m－1≤x≤m＋1}，且 B⊆ A，则实数 m 的取值范围是________．
【解析】∵B⊆ A，①当 B＝∅时，2m－1>m＋1，解得 m>2；
2m－1≤m＋1， ②当 B≠∅时， 2m－1≥－3，
m＋1≤4，
解得－1≤m≤2.综上，实数 m 的取值范围是[－1，＋∞)．
；③集合表示：{x|x
【反思】求集合 A∩B 的常见类型 (1)若 A，B 的元素是方程的根，则应先解方程求出方程的根后，再求两集合的交集. (2)若 A，B 的元素是有序数对，则 A∩B 是指两个方程组成的方程组的解集，交集是点集. (3)若 A，B 是无限数集，可以利用数轴来求解，但要注意利用数轴表示不等式时，含有端点的值用实心点表示，不 含有端点的值用空心圈表示.
一、【考点逐点突破】
【考点 14】集合的交集：①符号表示：A∩B；②图形表示： ∈A，且 x∈B}
；③集合表示：{x|x
【典例】已知集合 A＝{1，a}，B＝{x|log2x<1}，且 A∩B 有 2 个子集，则实数 a 的取 值范围为( ) A．(－∞，0] B．(0,1)∪(1,2] C．[2，＋∞) D．(－∞，0]∪[2，＋∞)
2024年高考一轮复习考点逐点突破经典学案
第一单元 集合与常用逻辑用语、不等式
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集合名词第一类形式为单数，但意义可以用为单数或复数family(家庭），team(队)，class(班)，audience(听众)等，其用法特点为：若视为整体，表示单数意义；若考虑其个体成员，表示复数意义。
比较并体会：His family is large. 他的家是个大家庭。
His family are all waiting for him. 他的一家人都在等他。
This class consists of 45 pupils. 这个班由45个学生组成。
This class are reading English now. 这个班的学生在读英语。
第二类形式为单数，但意义永远为复数包括cattle(牛，牲畜)，people(人)，police(警察)等，其用法特点为：只有单数形式, 但却表示复数意义，用作主语时谓语用复数；不与a(n) 连用，但可与the连用(连用)。
如：People will laugh at you. 人们会笑你的。
The police are looking for him. 警察在找他。
Many cattle were killed for this. 就因为这个原因宰了不少牲畜。
注：表示牲畜的头数，用单位词head(单复数同形)。
如：five head of cattle 5头牛，fifty (head of ) cattle 50头牛第三类形式为复数，意义也为复数包括goods(货物), clothes(衣服)等，其用法特点是：只有复数形式(当然也表示复数意义，用作主语时谓语也用复数)，但通常不与数词连用。
如：Clothes dry slowly in the rainy season. 衣服在雨季不易干。
Such clothes are very expensive. 那样的衣服很贵。
If goods are not well made you should complain to the manufacturer. 如果货物质量不好，则理应向制造商提出控诉。
第四类形式为单数，意义也为单数这类集合名词包括baggage / luggage(行李), clothing(衣服), furniture(家具), machinery(机器), poetry(诗), scenery(风景),jewelry(珠宝), equipment(设备)等, 其用法特点为：是不可数名词，只用单数形式，不用不定冠词(当然更不能用数词)，没有复数形式。
如：Our clothing protects us from [against] the cold. 我们的衣服可以御寒。
<>Have you checked all your baggage? 你所有的行李都托运了吗?The thief stole all her jewelry. 小偷把她所有的首饰都偷走了。
The hospital has no decent equipment. 这家医院没有像样的设备。
The Tang Dynasty is thought of as the high summer of Chinese poetry. 人们认为唐朝是中国诗歌的全盛时期。
注：machinery, poetry, jewelry, scenery等相应的个体可数名词是machine, poem, jewel, scene等。
如：a poem / a piece of poetry 一首诗many machines / much machinery / many pieces of machinery 许多机器第五类补充几个常考的集合名词除上面提到的四类集合名词外，以下几个集合名词也应重点注意：1. hair(头发，毛发)指全部头发或毛发时，为集合名词(不可数)；指几根头发或毛发时，为个体名词(可数)。
如：My hair has grown very long. 我的头发已长得很长了。
The police found two hairs there. 警察在那儿找到了两根头发。
2. mankind(人类)人是一个不可数的集合名词，不用复数形式，也不连用冠词。
如：This is an invention that benefits mankind. 这是一项造福人类的发明。
Mankind has its own problems. 人类有自己的问题。
注：mankind 表示“mankind 人(类)”时，虽不可数，但有时却可以表示复数意义，尤其是当其表语是复数时。
如：Mankind are intelligent animals. 人是理智的动物。
3. fruit(水果)作为集合名词，它通常是不可数的。
如：He doesn’t eat much fruit. 他不大吃水果。
He is growing fruit in the country. 他在乡下种水果。
但是，当要表示种类时，它可视为可数名词，即a fruit 指一种水果，fruits 指多种水果。
比较：Some fruits have thick skins. 有些水果皮很厚。
The potato is a vegetable, not a fruit. 土豆是一种蔬菜，而不是一种水果。
主谓一致问题一、一般某些有生命的集合名词（表示人或者动物），本身有单/复数之分。
其为单数时，若作主语，则谓语可用单数/复数。
主要依据说话者强调的重点而定，若强调许多个体，谓语用复数；若强调一个整体，则用单数。
其为复数时，不言而喻，谓语必须用复数。
注意：此类名词单复数的意义并不完全相同，汉译时一定要当心。
如army（一国之军队），armies （多国部队）；couple（一对夫妇），couples（多对夫妇）；等。
常见的此类集合名词有：army，association，audience，band，board，cast，clan，class，clique，club，college，committee，company，community，congregation（教民，会众），council（市议会，理事会），couple，crew，crowd，enemy，family，firm，fleet，flock，folk，gang，government，group，jury，kingdom ，mob（暴民，暴徒），navy，opposition，orchestra，pack，pair，party，personnel，profession，population，staff，school，team，tribe（部落，部民），union，university 等。
1．The staff is/are hardworking．2．The audience were moved to tears．3．The lecturer draws large audiences．4．The whole school was punished．5．The class consists of 40 students．6．This class are diligent．7．The whole profession fight tooth andnail against it．8．One tenth of the population of Egypt is/are Christian．二、某些有生命的集合名词，本身无复数形式，作主语时，谓语通常用复数。
常见的此类集合名词有：cattle，clergy，faculty（教职工），herd，mankind，military，militia（民团、民兵），people，police，poultry（家禽），swine（猪），vermin，womankind等。
9．There are three people waving at us．10．The police haven't arrived yet．11．There are verm in here．12．Some people are never satisfied．13．The police/military have surrounded the building．【注】people作民族讲时有复数形式。
如：There are 56 peoples in China．三、某些有生命的集合名词，本身无复数形式，其后可跟单/复数谓语动词。
常见的此类集合名词有：aristocracy，bourgeoisie（资产阶级），church，elite（精英），gentry，intelligentsia（知识分子），laity（外行），livestock，majority，minority，proletariat（无产阶级），offspring，public，swarm，youth等。
14．The youth today is /are better off than we used to be．15．Her offspring is /are like her in every respect．16．The intelligentsia are hailing Ranson as their spokesman．【注】youth除了作集合名词以外，还可以作可数和不可数名词。
如：Youth is the tim e for action；age is the tim e for repose．Som e youths don't like jazz．四、某些表示国家、公司、机构、运动队等名称的专有名词也可当作集合名词使用，其后通常跟单/复数谓语动词。
常见的此类集合名词有：Arsenal，BBC，Congress，Krem lin，Liverpool，Macm illan，Netherlands，Parliament，Pentagon，Vatican（梵蒂冈），WhiteHouse等。
17．Arsenal is /are playing well in this season．18．Macmillan have /has made a good profit this year．19．The Seventy-First Congress was predominantly Republican．20．The Netherlands has /have a monarchy．21．The BBC is showing the program on Saturday．22．Liverpool is leading 1—0．23．Liverpool are attacking again．五、某些无生命的集合名词（表示物）作主语时，通常被看成不可数名词，谓语用单数。