高考数学一轮复习试题 x42 理
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高考数学一轮复习试题 x42 理
(时间：40分钟 满分：60分)
1．已知点A 在变换T ：⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢
⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
x ＋2y y 作用后，再绕原点逆时针旋转90°，得到点B .
若点B 的坐标为(－3,4)，求点A 的坐标．
解 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0 ⎣⎢
⎡⎦⎥⎤1
20 1＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤0 －11 2. 设A (a ，b )，则由⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 2 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b ＝⎣⎢⎡⎦⎥
⎤
－3 4，得⎩⎪⎨⎪⎧
－b ＝－3，a ＋2b ＝4.
所以⎩⎪⎨
⎪⎧
a ＝－2，
b ＝3，
即A (－2,3)．
2．(2011·扬州调研测试)已知在一个二阶矩阵M 对应变换的作用下，点A (1,2)变成了点
A ′(7,10)，点
B (2,0)变成了点B ′(2,4)，求矩阵M .
解 设M ＝⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤a
b c d ，
则⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c
d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤710，⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c
d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤20＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤24， 即⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋2b ＝7，c ＋2d ＝10，2a ＝2，2c ＝4，
解得⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝1，
b ＝3，
c ＝2，
d ＝4.
所以M ＝⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤1
32
4.
3．(2011·南京模拟)求曲线C ：xy ＝1在矩阵M ＝⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤
1
1－1
1对应的变换作用下得到的曲线C 1的方程．
解 设P (x 0，y 0)为曲线C ：xy ＝1上的任意一点，
它在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
1 1－1 1对应的变换作用下得到点Q (x ，y )．
由⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 1－1 1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤
x y ，得⎩⎪⎨
⎪⎧
x 0＋y 0＝x ，－x 0＋y 0＝y .
解得⎩⎪⎨⎪⎧
x 0＝x －y 2
，
y 0
＝x ＋y
2.
因为P (x 0，y 0)在曲线C ：xy ＝1上，所以x 0y 0＝1.
所以
x －y 2×
x ＋y
2
＝1，即x 2－y 2
＝4.
所以所求曲线C 1的方程为x 2
－y 2
＝4.
4．已知矩阵M ＝⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤
1
22
x 的一个特征值为3，求其另一个特征值．
解 矩阵M 的特征多项式为
f (λ)＝⎪⎪⎪⎪
⎪⎪
λ－1 －2－2 λ－x ＝(λ－1)(λ－x )－4.
因为λ1＝3为方程f (λ)＝0的一根，所以x ＝1， 由(λ－1)(λ－1)－4＝0，得λ2＝－1， 所以矩阵M 的另一个特征值为－1.
5．求矩阵⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤2
11
2的特征值及对应的特征向量．
解 特征多项式f (λ)＝⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪λ－2 －1 －1 λ－2＝(λ－2)2－1＝λ2
－4λ＋3.
由f (λ)＝0，解得λ1＝1，λ2＝3.
将λ1＝1代入特征方程组，得⎩
⎪⎨
⎪⎧
－x －y ＝0，
－x －y ＝0⇒x ＋y ＝0，
可取⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤
1－1为属于特征值λ1＝1的一个特征向量． 同理，当λ2＝3时，由⎩⎪⎨
⎪⎧
x －y ＝0，
－x ＋y ＝0
⇒x －y ＝0，所以可取⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
11为属于特征值λ2＝3的一个特
征向量．
综上所述，矩阵⎣⎢
⎡⎦⎥⎤
2
11
2有两个特征值λ1＝1，λ2＝3；属于λ1＝1的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
1－1，属于λ2＝3的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
11.
6．在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋y ＋2＝0在矩阵M ＝⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤
1
a b
4对应的变换作用下得到直线
m ：x －y －4＝0，求实数a ，b 的值．
解 法一 在直线l ：x ＋y ＋2＝0上取两点A (－2,0)，B (0，－2)．
A 、
B 在矩阵M 对应的变换作用下分别对应于点A ′、B ′.
因为⎣⎢
⎡⎦⎥⎤1 a b 4 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 0＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤ －2 －2b ， 所以点A ′的坐标为(－2，－2b )；
⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 a b 4 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0－2＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－2a －8，所以点B ′的坐标为(－2a ，－8)． 由题意，点A ′、B ′在直线m ：x －y －4＝0上，
所以⎩
⎪⎨
⎪⎧
－2－－2b －4＝0，－2a －－8－4＝0.
解得a ＝2，b ＝3.
法二 设P (x ，y )为直线x ＋y ＋2＝0上的任意一点，它在矩阵M ＝⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤
1 a b
4对应的变换作用下得
到点Q (x ′，y ′)， 则⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤1 a b 4⎝⎛⎭⎫x y ＝⎝⎛⎭⎫x ′y ′， 得⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＋ay ＝x ′，bx ＋4y ＝y ′，解得⎩
⎪⎨⎪
⎧
x ＝－4x ′＋ay ′，y ＝bx ′－y ′
ab －4.
因此－4x ′＋ay ′ab －4＋bx ′－y ′
ab －4＋2＝0，
即(b －4)x ′＋(a －1)y ′＋(2ab －8)＝0.
因为直线l 在矩阵M 对应的变换作用下得到直线m ：x －y －4＝0.所以b －41＝a －1－1
＝
2ab －8
－4
.
解得a ＝2，b ＝3.