高考数学一轮复习试题 x42 理

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2025年新人教版高考数学一轮复习讲义第八章 §8.13 圆锥曲线中定点与定值问题

2025年新人教版高考数学一轮复习讲义
第八章
§8.13 圆锥曲线中定点与定值问题
题型一定点问题
例 1 (2023·全国乙卷)已知椭圆 C：ay22＋bx22＝1(a>b>0)的离心率是 35，点 A(－2,0)在 C 上. (1)求C的方程；
b＝2，由题意可得a2＝b2＋c2，
e＝ac＝ 35，
思维升华
求解直线或曲线过定点问题的基本思路 (1)把直线或曲线方程中的变量x，y当作常数看待，把方程一端化为零，既然是过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于x，y的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点. (2)由直线方程确定其过定点时，若得到了直线方程的点斜式y－y0＝k(x－ x0)，则直线必过定点(x0，y0)；若得到了直线方程的斜截式y＝kx＋m，则直线必过定点(0，m).
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y＝kx＋m，联立x32－y62＝1，得(2－k2)x2－2kmx－m2－6＝0， 2－k2≠0， Δ＝2km2＋42－k2m2＋6>0，所以 x1＋x2＝22－kmk2，x1x2＝－m2－2＋k62 ，因为 kAF＋kBF＝0，所以x1y－1 3＋x2y－2 3＝0，
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所以kxx11－＋3m＋kxx22－＋3m＝0，所以(kx1＋m)(x2－3)＋(kx2＋m)(x1－3)＝0，整理得2kx1x2＋(m－3k)(x1＋x2)－6m＝0. 所以－2k·m2－2＋k62 ＋(m－3k)·22－kmk2－6m＝0，化简得k＋m＝0，即m＝－k，所以直线l的方程为y＝kx－k＝k(x－1)，恒过点(1,0)，所以直线l过定点.
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因为双曲线 C：ax22－by22＝1(a>0，b>0)的渐近线为 y＝±bax，又因为双曲线 C 的右焦点 F(c,0)到其渐近线的距离为 6，所以 ab2＋c b2＝b＝ 6，又 e＝ac＝ 3，a2＋b2＝c2，联立解得 a＝ 3，所以双曲线 C 的方程为x32－y62＝1.

高考数学总复习考点知识讲解与提升练习42 数列中的构造问题

高考数学总复习考点知识讲解与提升练习专题42 数列中的构造问题数列中的构造问题是历年高考的一个热点内容，主、客观题均可出现，一般通过构造新的数列求数列的通项公式．题型一形如a n＋1＝pa n＋f(n)型命题点1a n＋1＝pa n＋q(p≠0,1，q≠0)例1(1)数列{a n}满足a n＝4a n－1＋3(n≥2)且a1＝0，则a2024等于()A．22023－1 B．42023－1 C．22023＋1 D．42023＋1答案B解析∵a n＝4a n－1＋3(n≥2)，∴a n＋1＝4(a n－1＋1)(n≥2)，∴{a n＋1}是以1为首项，4为公比的等比数列，则a n＋1＝4n－1.∴a n＝4n－1－1，∴a2024＝42023－1.(2)已知数列{a n}的首项a1＝1，且1an＋1＝3an＋2，则数列{a n}的通项公式为__________．答案a n＝1 2·3n－1－1解析∵1a n＋1＝3an＋2，等式两边同时加1整理得1an＋1＋1＝3⎝⎛⎭⎪⎫1an＋1，又∵a 1＝1，∴1a 1＋1＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n ＋1是首项为2，公比为3的等比数列．∴1a n＋1＝2·3n －1，∴a n ＝12·3n －1－1.命题点2a n ＋1＝pa n ＋qn ＋c (p ≠0,1，q ≠0)例2已知数列{a n }满足a n ＋1＝2a n －n ＋1(n ∈N *)，a 1＝3，求数列{a n }的通项公式．解∵a n ＋1＝2a n －n ＋1， ∴a n ＋1－(n ＋1)＝2(a n －n )， ∴a n ＋1－(n ＋1)a n －n＝2，∴数列{a n －n }是以a 1－1＝2为首项，2为公比的等比数列， ∴a n －n ＝2·2n －1＝2n ， ∴a n ＝2n ＋n .命题点3a n ＋1＝pa n ＋q n (p ≠0,1，q ≠0,1)例3(1)已知数列{a n }中，a 1＝3，a n ＋1＝3a n ＋2·3n ＋1，n ∈N *.则数列{a n }的通项公式为() A ．a n ＝(2n ＋1)·3n B ．a n ＝(n －1)·2n C ．a n ＝(2n －1)·3n D ．a n ＝(n ＋1)·2n 答案C解析由a n ＋1＝3a n ＋2·3n ＋1得a n ＋13n ＋1＝a n 3n ＋2·3n ＋13n ＋1， ∴a n ＋13n ＋1－a n3n ＝2，即数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n 3n 是首项为1，公差为2的等差数列，∴a n3n ＝2n －1，故a n ＝(2n －1)·3n .(2)在数列{a n }中，a 1＝1，且满足a n ＋1＝6a n ＋3n ，则a n ＝________. 答案6n3－3n －1解析将已知a n ＋1＝6a n ＋3n 的两边同乘13n ＋1，得a n ＋13n ＋1＝2·a n 3n ＋13，令b n ＝a n3n ，则b n ＋1＝2b n ＋13，利用命题点1的方法知b n ＝2n 3－13，则a n ＝6n3－3n －1.思维升华跟踪训练1(1)在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋2n .则数列{a n }的通项公式a n 等于() A ．n ·2n －1 B ．n ·2n C ．(n －1)·2n D ．(n ＋1)·2n 答案A解析由a n ＋1＝2a n ＋2n 得a n ＋12n＝a n 2n －1＋1，设b n ＝a n 2n －1，则b n ＋1＝b n ＋1，又b 1＝1，∴{b n }是首项为1，公差为1的等差数列． ∴b n ＝n ， ∴a n ＝n ·2n －1.(2)(2023·黄山模拟)已知数列{a n }满足a 1＝1，(2＋a n )·(1－a n ＋1)＝2，设⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n 的前n 项和为S n，则a2023(S2023＋2023)的值为()A．22023－2 B．22023－1 C．2 D．1 答案C解析(2＋a n)(1－a n＋1)＝2，则a n＋1＝a na n ＋2，即1an＋1＝2an＋1，得1an＋1＋1＝2⎝⎛⎭⎪⎫1an＋1，故⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1an＋1是以2为首项，2为公比的等比数列，1an＋1＝2n，1an＝2n－1，a n＝12n－1，S2023＋2023＝2＋22＋…＋22023＝22024－2，∴a2023(S2023＋2023)＝2.(3)已知数列{a n}满足a n＋1＝2a n＋n，a1＝2，则a n＝________.答案2n＋1－n－1解析令a n＋1＋x(n＋1)＋y＝2(a n＋xn＋y)，即a n＋1＝2a n＋xn＋y－x，与原等式比较得，x＝y＝1，所以an＋1＋(n＋1)＋1an＋n＋1＝2，所以数列{a n＋n＋1}是以a1＋1＋1＝4为首项，2为公比的等比数列，所以a n＋n＋1＝4×2n－1，即a n＝2n＋1－n－1. 题型二相邻项的差为特殊数列(形如a n＋1＝pa n＋qa n－1)例4(1)已知数列{a n}满足：a1＝a2＝2，a n＝3a n－1＋4a n－2(n≥3)，则a9＋a10等于() A．47 B．48 C．49 D．410答案C解析由题意得a1＋a2＝4，由a n＝3a n－1＋4a n－2(n≥3)，得a n ＋a n －1＝4(a n －1＋a n －2)，即a n ＋a n －1a n －1＋a n －2＝4(n ≥3)，所以数列{a n ＋a n ＋1}是首项为4，公比为4的等比数列，所以a 9＋a 10＝49.(2)已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，且a n ＋1＝2a n ＋3a n －1(n ≥2，n ∈N *)．则数列{a n }的通项公式为a n ＝________. 答案3n －(－1)n4解析方法一因为a n ＋1＝2a n ＋3a n －1(n ≥2，n ∈N *)，设b n ＝a n ＋1＋a n ，所以b n b n －1＝a n ＋1＋a n a n ＋a n －1＝3(a n ＋a n －1)a n ＋a n －1＝3，又因为b 1＝a 2＋a 1＝3，所以{b n }是以首项为3，公比为3的等比数列．所以b n ＝a n ＋1＋a n ＝3×3n －1＝3n ，从而a n ＋13n ＋1＋13·a n 3n ＝13，不妨令c n ＝a n 3n ，即c n ＋1＋13c n ＝13，故c n ＋1－14＝－13⎝ ⎛⎭⎪⎫c n －14，即c n ＋1－14c n －14＝－13，又因为c 1－14＝a 13－14＝112，所以数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫c n －14是首项为112，公比为－13的等比数列，故c n －14＝112×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13n －1＝a n 3n －14，从而a n ＝3n －(－1)n4.方法二因为方程x 2＝2x ＋3的两根为－1,3，可设a n ＝c 1·(－1)n －1＋c 2·3n －1，由a 1＝1，a 2＝2，解得c 1＝14，c 2＝34，所以a n ＝3n －(－1)n4.思维升华可以化为a n ＋1－x 1a n ＝x 2(a n －x 1a n －1)，其中x 1，x 2是方程x 2－px －q ＝0的两个根，若1是方程的根，则直接构造数列{a n －a n －1}，若1不是方程的根，则需要构造两个数列，采取消元的方法求数列{a n }．跟踪训练2若x ＝1是函数f (x )＝a n ＋1x 4－a n x 3－a n ＋2x ＋1(n ∈N *)的极值点，数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝3，则数列{a n }的通项公式a n ＝________. 答案3n －1解析f ′(x )＝4a n ＋1x 3－3a n x 2－a n ＋2，∴f ′(1)＝4a n ＋1－3a n －a n ＋2＝0，即a n ＋2－a n ＋1＝3(a n ＋1－a n )，∴数列{a n ＋1－a n }是首项为2，公比为3的等比数列， ∴a n ＋1－a n ＝2×3n －1，则a n ＝a n －a n －1＋a n －1－a n －2＋…＋a 2－a 1＋a 1＝2×3n －2＋…＋2×30＋1＝3n －1.题型三倒数为特殊数列⎝ ⎛⎭⎪⎫形如a n ＋1＝pa n ra n ＋s 型例5(1)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝a n 4a n ＋1(n ∈N *)，则满足a n >137的n 的最大取值为()A ．7B ．8C ．9D ．10 答案C 解析因为a n ＋1＝a n 4a n ＋1，所以1a n ＋1＝4＋1a n ，所以1a n ＋1－1a n ＝4，又1a 1＝1，所以数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n 是以1为首项，4为公差的等差数列．所以1a n ＝1＋4(n －1)＝4n －3，所以a n ＝14n －3，由a n >137，即14n －3>137，即0<4n －3<37，解得34<n <10，因为n 为正整数，所以n 的最大取值为9.(2)(多选)数列{a n }满足a n ＋1＝a n 1＋2a n(n ∈N *)，a 1＝1，则下列结论正确的是()A.2a 10＝1a 3＋1a 17B.1{2}na 是等比数列C ．(2n －1)a n ＝1D ．3a 5a 17＝a 49 答案ABC解析由a n ＋1＝a n1＋2a n ，可得1a n ＋1＝1＋2a na n ＝1a n ＋2，所以1a n ＋1－1a n ＝2，且1a 1＝1，所以数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n 是等差数列，且该数列的首项为1，公差为2，所以1a n＝1＋2(n －1)＝2n －1，则(2n －1)a n ＝1，其中n ∈N *，故C 对；1111112=22n n nna a a a ++-＝22＝4，所以数列1{2}na 是等比数列，故B 对；由等差中项的性质可得2a 10＝1a 3＋1a 17，故A 对；由上可知a n ＝12n －1，则3a 5a 17＝3×12×5－1×12×17－1＝199，a 49＝12×49－1＝197，所以3a 5a 17≠a 49，故D 错．思维升华两边同时取倒数转化为1a n ＋1＝s p ·1a n ＋r p的形式，化归为b n ＋1＝pb n ＋q 型，求出1a n的表达式，再求a n .跟踪训练3已知函数f (x )＝x 3x ＋1，数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝f (a n )(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式为____________．答案a n ＝13n －2(n ∈N *) 解析由已知得，a n ＋1＝a n 3a n ＋1，∴1a n ＋1＝1a n＋3，即1a n ＋1－1a n＝3，∴数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n 是首项为1a 1＝1，公差为d ＝3的等差数列，∴1a n＝1＋(n －1)×3＝3n －2.故a n ＝13n －2(n ∈N *)．课时精练1．已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝2a n ＋1，则a 4的值为() A ．15 B ．23 C ．32 D ．42 答案B解析因为a n ＋1＝2a n ＋1，所以a n＋1＋1＝2(a n＋1)，所以{a n＋1}是以3为首项，2为公比的等比数列，所以a n＋1＝3·2n－1，所以a n＝3·2n－1－1，a4＝23.2．在数列{a n}中，a1＝5，且满足an＋12n－5－2＝an2n－7，则数列{a n}的通项公式为()A．2n－3B．2n－7C．(2n－3)(2n－7) D．2n－5 答案C解析因为a n＋12n－5－2＝an2n－7，所以an＋12n－5－an2n－7＝2，又a12－7＝－1，所以数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫an2n－7是以－1为首项，公差为2的等差数列，所以an2n－7＝－1＋2(n－1)＝2n－3，所以a n＝(2n－3)(2n－7)．3．已知数列{a n}满足：a1＝1，且a n＋1－2a n＝n－1，其中n∈N*，则数列{a n}的通项公式为()A．a n＝2n－n B．a n＝2n＋nC．a n＝3n－1D．a n＝3n＋1答案A解析由题设，a n＋1＋(n＋1)＝2(a n＋n)，而a1＋1＝2，∴{a n＋n}是首项、公比均为2的等比数列，故a n＋n＝2n，即a n ＝2n －n .4．已知数列{a n }满足a 2＝14，a n －a n ＋1＝3a n a n ＋1，则数列的通项公式a n 等于()A.13n －2B.13n ＋2C ．3n －2D ．3n ＋2 答案A解析∵a n －a n ＋1＝3a n a n ＋1，a 2＝14，∴a 1－a 2＝3a 1a 2，即a 1－14＝34a 1，解得a 1＝1. 由题意知a n ≠0，由a n －a n ＋1＝3a n a n ＋1得1a n ＋1－1a n＝3，又1a 1＝1，∴数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n 是以1为首项，3为公差的等差数列，∴1a n＝1＋3(n －1)＝3n －2，则a n ＝13n －2.5．在数列{a n }中，若a 1＝3，a n ＋1＝a 2n ，则a n 等于() A ．2n －1 B.3n －1 C ．132n － D ．123n －答案D解析由a 1＝3，a n ＋1＝a 2n 知a n >0，对a n ＋1＝a 2n 两边取以3为底的对数得，log 3a n ＋1＝2log 3a n ，则数列{log 3a n }是以log 3a 1＝1为首项，2为公比的等比数列，则log 3a n ＝1·2n －1＝2n －1，即a n ＝123n －.6．设数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝－a n －1＋2n (n ≥2)，则数列的通项公式a n 等于() A.13·2n ＋13 B.13·2n＋13·(－1)n C.2n ＋13＋13 D.2n ＋13＋13·(－1)n 答案D解析∵a n －1＋a n ＝2n ，两边同时除以2n得，a n 2n ＋12·a n －12n －1＝1.令c n ＝a n2n ，则c n ＝－12c n －1＋1.两边同时加上－23得c n －23＝－12·⎝⎛⎭⎪⎫c n －1－23.∴数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫c n－23是以c 1－23为首项，－12为公比的等比数列，∴c n －23＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c 1－23·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1＝13·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n ，∴c n ＝23＋13·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n，∴a n ＝2n·c n ＝2n ＋13＋13·(－1)n .7．(多选)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝a n 2＋3a n(n ∈N *)，则下列结论正确的是()A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n ＋3为等差数列 B ．{a n }的通项公式为a n ＝12n －1－3C ．{a n }为递减数列 D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n 的前n 项和T n ＝2n ＋2－3n －4答案CD 解析因为a n ＋1＝a n 2＋3a n，所以1a n ＋1＝2＋3a na n＝2a n＋3，所以1a n ＋1＋3＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n ＋3，且1a 1＋3＝4≠0，所以⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n ＋3是以4为首项，2为公比的等比数列，即1a n＋3＝4×2n －1，所以1a n＝2n ＋1－3，可得a n ＝12n ＋1－3，故选项A ，B 错误；因为1a n＝2n ＋1－3单调递增，所以a n ＝12n ＋1－3单调递减，即{a n }为递减数列，故选项C 正确；⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n 的前n 项和T n ＝(22－3)＋(23－3)＋…＋(2n ＋1－3)＝(22＋23＋…＋2n ＋1)－3n＝22×1－2n1－2－3n ＝2n ＋2－3n －4，故选项D 正确．8．将一些数排成如图所示的倒三角形，其中第一行各数依次为1,2,3，…，2023，从第二行起，每一个数都等于它“肩上”的两个数之和，最后一行只有一个数M ，则M 等于()A ．2023×22020B ．2024×22021C ．2023×22021D ．2024×22022 答案B解析记第n 行的第一个数为a n ，则a 1＝1，a 2＝3＝2a 1＋1，a 3＝8＝2a 2＋2，a 4＝20＝2a 3＋4，…，a n ＝2a n －1＋2n －2，∴a n 2n －2＝a n －12n －3＋1，即⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n 2n －2是以a 12－1＝2为首项，1为公差的等差数列．∴a n 2n －2＝2＋(n －1)×1＝n ＋1，∴a n ＝(n ＋1)×2n －2.又每行比上一行的数字少1个， ∴最后一行为第2023行， ∴M ＝a 2023＝2024×22021.9．已知数列{a n }满足a 1＝32，a n ＋1＝3a n a n ＋3，若c n ＝3n a n ，则c n ＝____________.答案(n ＋1)3n －1解析因为a 1＝32，a n ＋1＝3a na n ＋3，所以1a n ＋1＝a n ＋33a n ＝13＋1a n，即1a n ＋1－1a n ＝13，所以数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n 是首项为1a 1＝23，公差为13的等差数列，所以1a n ＝23＋13(n －1)＝n ＋13，则c n ＝3na n＝(n ＋1)3n －1.10．已知数列{a n }满足a n ＋1＝3a n －2a n －1(n ≥2，n ∈N *)，且a 1＝0，a 6＝124，则a 2＝________. 答案4解析由a n ＋1＝3a n －2a n －1(n ≥2，n ∈N *)可得a n ＋1－a n ＝2(a n －a n －1)，若a n －a n －1＝0，则a 6＝a 5＝…＝a 1，与题中条件矛盾，故a n －a n －1≠0，所以a n ＋1－a na n －a n －1＝2，即数列{a n ＋1－a n }是以a 2－a 1为首项，2为公比的等比数列，所以a n ＋1－a n ＝a 2·2n －1，所以a 6－a 1＝a 2－a 1＋a 3－a 2＋a 4－a 3＋a 5－a 4＋a 6－a 5＝a 2·20＋a 2·21＋a 2·22＋a 2·23＋a 2·24＝31a 2＝124，所以a 2＝4.11．在数列{a n }中，a 1＝1，且满足a n ＋1＝3a n ＋2n ，则a n ＝________. 答案52·3n －1－n －12解析∵a n ＋1＝3a n ＋2n ①，∴a n ＝3a n －1＋2(n －1)(n ≥2)，两式相减得，a n ＋1－a n ＝3(a n －a n －1)＋2，令b n ＝a n ＋1－a n ，则b n ＝3b n －1＋2(n ≥2)，利用求a n ＋1＝pa n ＋q 的方法知，b n ＝5·3n －1－1，即a n ＋1－a n ＝5·3n －1－1②，再利用累加法知，a n ＝52·3n－1－n－12⎝⎛⎭⎪⎫或联立①②解出a n＝52·3n－1－n－12.12．英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点时，给出的“牛顿数列”在航空航天中应用广泛，若数列{x n}满足x n＋1＝x n－f(xn)f′(xn)，则称数列{x n}为牛顿数列．如果函数f(x)＝2x2－8，数列{x n}为牛顿数列，设a n＝ln xn＋2xn－2，且a1＝1，x n>2.数列{a n}的前n项和为S n，则S n＝________. 答案2n－1解析∵f(x)＝2x2－8，∴f′(x)＝4x，又∵x n＋1＝x n－f(xn)f′(xn)＝x n－2x2n－84x n＝x2n＋42x n，∴x n＋1＋2＝(x n＋2)22x n，x n＋1－2＝(x n－2)22x n，∴xn＋1＋2xn＋1－2＝⎝⎛⎭⎪⎫x n＋2xn－22，又x n>2，∴ln xn＋1＋2xn＋1－2＝ln⎝⎛⎭⎪⎫x n＋2xn－22＝2lnxn＋2xn－2，又a n＝ln xn＋2xn－2，且a1＝1，∴a n＋1＝2a n，∴数列{a n}是首项为1，公比为2的等比数列，∴{a n}的前n项和S n＝1×(1－2n)1－2＝2n－1.。

2021年高三理科数学一轮复习题组层级快练42含答案

2021年高三理科数学一轮复习题组层级快练42含答案1．下列不等式中解集为R 的是( ) A ．－x 2＋2x ＋1≥0 B ．x 2－25x ＋5>0 C ．x 2＋6x ＋10>0 D ．2x 2－3x ＋4<0答案 C解析在C 项中，Δ＝36－40＝－4<0，所以不等式解集为R .2．若0＜m ＜1，则不等式(x －m )(x －1m )＜0的解集为( )A ．{x |1m ＜x ＜m }B ．{x |x ＞1m 或x ＜m }C ．{x |x ＞m 或x ＜1m }D ．{x |m ＜x ＜1m}答案 D解析当0<m <1时，m <1m .3．函数y ＝ln (x ＋1)－x 2－3x ＋4的定义域为( )A ．(－4，－1)B ．(－4,1)C ．(－1,1)D ．(－1,1]答案 C解析由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，－x 2－3x ＋4>0，解得－1<x <1.4．不等式x 2－x －6x －1>0的解集为( )A.{}x |x <－2或x >3B.{}x |x <－2或1<x <3C.{}x |－2<x <1或x >3D.{}x |－2<x <1或1<x <3 答案 C解析 x 2－x －6x －1>0，(x －3)(x ＋2)x －1>0，所以－2<x <1或x >3.5．(xx·重庆文)关于x 的不等式x 2－2ax －8a 2<0(a >0)的解集为(x 1，x 2)，且x 2－x 1＝15，则a ＝( )A.52B.72C.154D.152答案 A解析由条件知x 1，x 2为方程x 2－2ax －8a 2＝0的两根，则x 1＋x 2＝2a ，x 1x 2＝－8a 2.故(x 2－x 1)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝(2a )2－4×(－8a 2)＝36a 2＝152，得a ＝52，故选A.6．已知不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集为{x |－1<x <2}，则不等式2x 2＋bx ＋a <0的解集为( ) A ．{x |－1<x <12}B ．{x |x <－1或x >12}C ．{x |－2<x <1}D ．{x |x <－2或x >1} 答案 A解析由题意知x ＝－1，x ＝2是方程ax 2＋bx ＋2＝0的根．由韦达定理⎩⎨⎧－1＋2＝－b a，(－1)×2＝2a⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1. ∴不等式2x 2＋bx ＋a <0，即2x 2＋x －1<0. 可知x ＝－1，x ＝12是对应方程的根，∴选A.7．不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0，对一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，2] B ．(－2,2] C ．(－2,2) D ．(－∞，2)答案 B解析 ∵⎩⎪⎨⎪⎧a －2<0，Δ<0，∴－2<a <2，另a ＝2时，原式化为－4<0，恒成立，∴－2<a ≤2.故选B.8．已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f (2x －1)<f (|x |)的x 的取值范围是( )A ．(13，23)B ．(13，1)C ．(12，23)D ．(12，1)答案 B解析由于f(x)是偶函数，故f(x)＝f(|x|)，故f(|2x－1|)<f(|x|)．再根据f(x)的单调性得|2x－1|<|x|⇒(2x－1)2<x2⇔3x2－4x＋1<0⇔(3x－1)(x－1)<0⇔13<x<1.9．(xx·郑州质检)不等式f(x)＝ax2－x－c>0的解集为{x|－2<x<1}，则函数y＝f(－x)的图像为()答案 C解析由题意得⎩⎨⎧a<0，－2＋1＝1a，－2×1＝－ca，解得a＝－1，c＝－2.则函数y＝f(－x)＝－x2＋x＋2.10．已知a1>a2>a3>0，则使得(1－a i x)2<1(i＝1,2,3)都成立的x的取值范围是()A．(0，1a1) B．(0，2a1)C．(0，1a3) D．(0，2a3)答案 B11．(xx·安徽理)已知一元二次不等式f(x)<0的解集为{x|x<－1或x>12}，则f(10x)>0的解集为()A．{x|x<－1或x>lg2} B．{x|－1<x<lg2}C．{x|x>－lg2} D．{x|x<－lg2}答案 D解析方法一：由题意可知f(x)>0的解集为{x|－1<x<12}，故f(10x)>0等价于－1<10x<12.由指数函数的值域为(0，＋∞)，知一定有10x>－1.而10x<12可化为10x<10lg12，即10x<10－lg2.而指数函数的单调性可知x <－lg2，故选D.方法二：当x ＝1时，f (10)<0，排除A ，C 选项．当x ＝－1时，f (110)>0，排除选项B ，选D.12．不等式2x 2－3|x |－35>0的解集为________．答案 {x |x <－5或x >5}解析 2x 2－3|x |－35>0⇔2|x |2－3|x |－35>0⇔(|x |－5)(2|x |＋7)>0⇔|x |>5或|x |<－72(舍)⇔x >5或x <－5.13．已知－12<1x <2，则实数x 的取值范围是________．答案 x <－2或x >12解析当x >0时，x >12；当x <0时，x <－2.所以x 的取值范围是x <－2或x >12.14．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (x ∈R )的部分对应值如表：则不等式答案 (－∞，－2)∪(3，＋∞)解析方程的根是对应不等式解集的端点，画草图即可．15．(xx·四川理)已知f (x )是定义域为R 的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－4x .那么，不等式f (x ＋2)<5的解集是________．答案 (－7,3)解析当x ≥0时，f (x )＝x 2－4x <5的解集为[0,5)，又f (x )为偶函数，所以f (x )<5的解集为(－5,5)．所以f (x ＋2)<5的解集为(－7,3)．16．若不等式a ·4x －2x ＋1>0对一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是________．答案 a >14解析不等式可变形为a >2x －14x ＝(12)x －(14)x ，令(12)x ＝t ，则t >0.∴y ＝(12)x －(14)x ＝t －t 2＝－(t －12)2＋14，因此当t ＝12时，y 取最大值14，故实数a 的取值范围是a >14.17．解关于x 的不等式log 2a x －log a x 2－3>0.答案 a >1时，不等式解集为(0，1a )∪(a 3，＋∞)；0<a <1时，不等式解集为(0，a 3)∪(1a ，＋∞)解析原不等式化为log 2a x －2log a x －3>0(a ≠1)，令log a x ＝t ，则原不等式变为t 2－2t －3>0，得t <－1或t >3. ∴log a x <－1或log a x >3. 当a >1时，0<x <1a 或x >a 3；当0<a <1时，0<x <a 3或x >1a.∴a >1时，不等式解集为(0，1a )∪(a 3，＋∞)；0<a <1时，不等式解集为(0，a 3)∪(1a ，＋∞)．18．解关于x 的不等式：a (x －1)x －2>1(a <1)．答案 0<a <1时，{x |2<x <a －2a －1}；a ＝0时，∅；a <0时，{x |a －2a －1<x <2}解析 (x －2)[(a －1)x ＋2－a ]>0，当a <1时有(x －2)(x －a －2a －1)<0，若a －2a －1>2，即0<a <1时，解集为{x |2<x <a －2a －1}．若a －2a －1＝2，即a ＝0时，解集为∅. 若a －2a －1<2，即a <0时，解集为{x |a －2a －1<x <2}．1．(xx·江苏)已知f (x )是定义在R 上的奇函数．当x >0时，f (x )＝x 2－4x ，则不等式f (x )>x 的解集用区间表示为________．答案 (－5,0)∪(5，＋∞)解析由于f (x )为R 上的奇函数，所以当x ＝0时，f (0)＝0；当x <0时，－x >0，所以f (－x )＝x 2＋4x ＝－f (x )，即f (x )＝－x 2－4x ，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ，x >0，0，x ＝0，－x 2－4x ，x <0.由f (x )>x ，可得⎩⎨⎧x 2－4x >x ，x >0或⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－4x >x ，x <0，解得x >5或－5<x <0，所以原不等式的解集为(－5,0)∪(5，＋∞)．2．不等式log 2(x ＋1x ＋6)≤3的解集为________．答案 (－3－22，－3＋22)∪{1}解析原不等式⇔0<x ＋1x＋6≤8⇔①⎩⎪⎨⎪⎧x >0，x 2＋6x ＋1>0，x 2－2x ＋1≤0或②⎩⎪⎨⎪⎧x <0，x 2＋6x ＋1<0，x 2－2x ＋1≥0.解①得x ＝1，解②得－3－22<x <－3＋2 2. ∴原不等式的解集为(－3－22，－3＋22)∪{1}．3．定义在(－1,1)上的函数f (x )＝－5x ＋sin x ，如果f (1－a )＋f (1－a 2)>0，求实数a 的取值范围．答案 1<a < 2解析 ∵f (－x )＝－f (x )，x ∈(－1,1)， ∴f (x )为奇函数．又∵f ′(x )＝－5＋cos x <0， ∴f (x )在x ∈(－1,1)上单调递减． ∴f (1－a )＋f (1－a 2)>0⇔f (1－a )>f (a 2－1)⇔⎩⎪⎨⎪⎧－1<1－a <1，－1<a 2－1<1，1－a <a 2－1.解之得1<a < 2.4．已知二次函数f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋1(a ∈Z )，且函数f (x )在(－2，－1)上恰有一个零点，求不等式f (x )>1的解集．答案 (－1,0)解析 ∵f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋1，Δ＝(a ＋2)2－4a ＝a 2＋4>0， ∴函数f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋1必有两个不同的零点．因此f (－2)f (－1)<0，∴(6a ＋5)(2a ＋3)<0.∴－32<a <－56.又a ∈Z ，∴a ＝－1.不等式f (x )>1即为－x 2－x >0，解得－1<x <0.#}30951 78E7 磧Ar27101 69DD 槝36309 8DD5 跕w[31397 7AA5 窥 %30589 777D 睽e0。

2019苏教版高考一轮优化探究理数练习：第二章第一节函数及其表示 Word版含解析

一、填空题1．已知f (x )＝⎩⎨⎧－cos (πx )，x >0，f (x ＋1)＋1，x ≤0，则f (43)＋f (－43)的值等于________．解析：f (43)＝12；f (－43)＝f (－13)＋1＝f (23)＋2 ＝52，f (43)＋f (－43)＝3. 答案：32．已知f (1－x 1＋x )＝1－x 21＋x 2，则f (x )的解析式可取为________．解析：(换元法)令t ＝1－x 1＋x ，由此得x ＝1－t1＋t，所以f (t )＝1－(1－t 1＋t )21＋(1－t 1＋t)2＝2t1＋t2，从而f (x )的解析式可取为2x1＋x 2. 答案：2x1＋x 23．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x －1|－2，|x |≤1，11＋x 2，|x |>1，则f [f (12)]＝________. 解析：f [f (12)]＝f (－32)＝413. 答案：4134．定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )＋2xy (x ，y ∈R)，f (1)＝2，则f (－3)等于________．解析：令x ＝－3，y ＝1，则f(－2)＝f(1)＋f(－3)－6.又∵f(1)＝2，∴f(－3)＝f(－2)＋4.令x＝－2，y＝1，则f(－1)＝f(1)＋f(－2)－4，∴f(－2)＝f(－1)＋2.令x＝－1，y＝1，f(0)＝f(－1)＋f(1)－2.又x＝y＝0时，f(0)＝0，∴f(－1)＝0，∴f(－3)＝f(－2)＋4＝f(－1)＋6＝6.答案：65．已知函数f(x)＝ax＋bx－4(a，b为常数)，f(lg 2)＝0，则f(lg12)＝________.解析：由题意得f(lg 2)＝a lg 2＋blg 2－4＝0，有a lg 2＋blg 2＝4，则f(lg 12)＝a lg12＋blg12－4＝－a lg 2－blg 2－4＝－8.答案：－86．定义在R上的函数f(x)满足f(m＋n2)＝f(m)＋2[f(n)]2，m，n∈R，且f(1)≠0，则f(2 014)＝________.解析：令m＝n＝0，得f(0＋02)＝f(0)＋2[f(0)]2，所以f(0)＝0；令m＝0，n＝1，得f(0＋12)＝f(0)＋2[f(1)]2，由于f(1)≠0，所以f(1)＝12；令m＝x，n＝1，得f(x＋12)＝f(x)＋2[f(1)]2，所以f(x＋1)＝f(x)＋2×(12)2，即f(x＋1)＝f(x)＋12，这说明数列{f(x)}(x∈Z)是首项为12，公差为12的等差数列，所以f(2 014)＝12＋(2 014－1)×12＝1007.答案：1 0077．已知f (2x ＋1)＝lg x ，则f (x )＝________. 解析：令2x ＋1＝t (t >1)，则x ＝2t －1，∴f (t )＝lg2t －1(t >1)，f (x )＝lg 2x －1(x >1)．答案：lg2x －1(x >1)8．函数f (x )在闭区间[－1,2]上的图象如图所示，则函数的解析式为________．答案：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，－1≤x <0，－12x ，0≤x ≤29．已知a 、b 为实数，集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫b a ，1，N ＝{a, 0}，f ：x → x 表示把集合M 中的元素x 映射到集合N 中仍为x ，则a ＋b ＝________.解析：由题意可知ba ＝0，a ＝1，解得a ＝1，b ＝0，所以a ＋b ＝1. 答案：1 二、解答题10．已知f (x )＝x 2－1，g (x )＝⎩⎨⎧x －1，x >0，2－x ，x <0，(1)求f [g (2)]和g [f (2)]的值； (2)求f [g (x )]和g [f (x )]的表达式．解析：(1)由已知，g (2)＝1，f (2)＝3， ∴f [g (2)]＝f (1)＝0，g [f (2)]＝g (3)＝2. (2)当x >0时，g (x )＝x －1，故f [g (x )]＝(x －1)2－1＝x 2－2x ；当x <0时，g (x )＝2－x ，故f [g (x )]＝(2－x )2－1＝x 2－4x ＋3，∴f [g (x )]＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x >0，x 2－4x ＋3，x <0.当x >1或x <－1时，f (x )>0，故g [f (x )]＝f (x )－1＝x 2－2；当－1<x <1时， f (x )<0，故g [f (x )]＝2－f (x )＝3－x 2.∴g [f (x )]＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2，x >1或x <－1，3－x 2，－1<x <1.11．如图，在△AOB 中，点A (2,1)，B (3,0)，点E 在射线OB 上自O开始移动．设OE ＝x ，过E 作OB 的垂线l ，记△AOB 在直线l 左边部分的面积为S ，试写出S 与x 的函数关系式，并画出大致的图象．解析：当0≤x ≤2时，△OEF 的高EF ＝12x ， ∴S ＝12x ·12x ＝14x 2；当2<x ≤3时，△BEF 的高EF ＝3－x ， ∴S ＝12×3×1－12(3－x )·(3－x ) ＝－12x 2＋3x －3；当x >3时，S ＝32.∴S ＝f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 24(0≤x ≤2)－12x 2＋3x －3(2<x ≤3)32(x >3).函数图象如图所示．12．已知定义域为R 的函数f (x )满足f (f (x )－x 2＋x )＝f (x )－x 2＋x . (1)若f (2)＝3，求f (1)；又若f (0)＝a ，求f (a )；(2)若有且仅有一个实数x 0，使得f (x 0)＝x 0，求函数f (x )的解析式．解析： (1)因为对任意x ∈R 有 f (f (x )－x 2＋x )＝f (x )－x 2＋x ，所以f (f (2)－22＋2)＝f (2)－22＋2，又f (2)＝3，从而f (1)＝1.又f (0)＝a ，则f (a －02＋0)＝a －02＋0，即f (a )＝a . (2)因为对任意x ∈R ，有f (f (x )－x 2＋x )＝f (x )－x 2＋x ，又有且仅有一个实数x 0，使得f (x 0)＝x 0，故对任意x ∈R ，有f (x )－x 2＋x ＝x 0. 在上式中令x ＝x 0，有f (x 0)－x 20＋x 0＝x 0. 又因为f (x 0)＝x 0，所以x 0－x 20＝0，故x 0＝0或x 0＝1.若x0＝0，则f(x)＝x2－x，但方程x2－x＝x有两个不相同实根，与题设条件矛盾，故x0≠0. 若x0＝1，则有f(x)＝x2－x＋1，易验证该函数满足题设条件．综上，函数f(x)的解析式为f(x)＝x2－x＋1.。

高考数学一轮复习 42课时作业

高考数学一轮复习 42课时作业一、选择题1．(2010·重庆卷，文)在等差数列{a n }中，a 1＋a 9＝10，则a 5的值为( ) A ．5 B ．6 C ．8 D ．10答案 A解析依题意得a 1＋a 9＝2a 5＝10，a 5＝5，选A.2．在等差数列{a n }中，a 2＋a 6＝3π2，则sin(2a 4－π3)＝( )A.32 B.12 C ．－32D ．－12答案 D解析 ∵a 2＋a 6＝3π2，∴2a 4＝3π2，∴sin(2a 4－π3)＝sin(3π2－π3)＝－cos π3＝－12，选D.3．(2011·合肥质检)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 4＝9，S 3＝15，则数列{a n }的通项a n ＝( )A ．2n －3B ．2n －1C ．2n ＋1D ．2n ＋3答案 C解析由⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝9S 3＝15⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋3d ＝93a 1＋3d ＝15⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3d ＝2，所以通项a n ＝2n ＋1.4．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a m －1＋a m ＋1－2a 2m ＝0，S 2m －1＝39，则m ＝( ) A ．38 B ．39 C ．20 D ．19答案 C解析 ∵a m －1＋a m ＋1＝2a 2m 又∵a m －1＋a m ＋1＝2a m ∴a m ＝1或0(舍去) ∵S 2m －1＝2m －1a 1＋a 2m －12＝(2m －1)a m∴(2m －1)a m ＝39，∴2m －1＝39 ∴m ＝20.5．设{a n }是公差为正数的等差数列，若a 1＋a 2＋a 3＝15，a 1a 2a 3＝80，则a 11＋a 12＋a 13＝( ) A ．120 B ．105 C ．90 D ．75答案 B解析设公差为d 且d >0.由已知⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＝15a 1a 2a 3＝80，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝5a 1a 1＋d a 1＋2d ＝80.解得a 1＝2，d ＝3(∵d >0)．∴a 11＋a 12＋a 13＝3a 12＝3(a 1＋11d )＝1056．若两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别是S n ，T n ，已知S n T n ＝7n n ＋3，则a 5b 5等于( )A ．7 B.23 C.278D.214答案 D解析 a 5b 5＝2a 52b 5＝a 1＋a 9b 1＋b 9＝92a 1＋a 992b 1＋b 9＝S 9T 9＝214. 7．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3＝6，a 3＝4，则公差d 等于( ) A ．1 B.53 C ．2 D ．3答案 C解析由⎩⎪⎨⎪⎧3a 1＋42＝6a 1＋2d ＝4，解得d ＝2.二、填空题8．已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，且a 4＝15，S 5＝55，则过点P (3，a 3)、Q (4，a 4)的直线的斜率是________．解析设数列{a n }的公差为d ，则依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝a 1＋3d ＝15S 5＝5a 1＋10d ＝55⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3d ＝4，故直线PQ 的斜率为a 4－a 34－3＝d1＝4.9．已知数列{a n }中，a 3＝2，a 5＝1，若{11＋a n}是等差数列，则a 11＝________. 答案 0解析记b n ＝11＋a n ，则b 3＝13，b 5＝12，数列{b n }的公差为12×(12－13)＝112，b 1＝16，∴b n ＝n ＋112，即11＋a n ＝n ＋112，∴a n ＝11－nn ＋1，故a 11＝0. 10．等差数列{a n }中，S n 是其前n 项和，a 1＝－2010，S 20092009－S 20072007＝2，则S 2010的值为________．答案－2010解析在等差数列{a n }中，设公差为d ，则S n n＝na 1＋n2n －1dn＝a 1＋d 2(n －1)，∴S 20092009－S 20072007＝a 1＋d 2×2008－a 1－d2×2006＝d ＝2，∴S 2010＝－2010×2010＋2010×20092×2＝－2010×2010＋2010×2009＝－2010.11．方程(x 2－x ＋m )(x 2－x ＋n )＝0有四个不等实根，且组成一个公差为12的等差数列，则mn 的值为________．答案－15256解析设四个根组成的等差数列为x 1，x 2，x 3，x 4，根据等差数列的性质，则有x 1＋x 4＝x 2＋x 3＝1∴2x 1＋3d ＝1，又d ＝12，∴x 1＝－14∴x 2＝14，x 3＝34，x 4＝54∴mn ＝(x 1x 4)(x 2x 3)＝－1525612．(2010·浙江卷，文)在如下数表中，已知每行、每列中的数都成等差数列，那么位于表中的第n 行第n ＋1列的数是________．答案 n 2＋n解析第n 行的第一个数是n ，第n 行的数构成以n 为公差的等差数列，则其第n ＋1项为n ＋n ·n ＝n 2＋n .13．(2010·苏北四市调研)已知数列{a n }共有m 项，记{a n }的所有项和为S (1)，第二项及以后所有项和为S (2)，第三项及以后所有项和为S (3)，…，第n 项及以后所有项和为S (n )，若S (n )是首项为1，公差为2的等差数列的前n 项和，则当n <m 时，a n ＝________.答案－2n －1解析由题意得S (n )＝a n ＋…＋a m ＝n ×1＋n n －12×2＝n 2，当n <m 时，S (n ＋1)＝a n ＋1＋…＋a m ＝(n ＋1)2.故a n ＝S (n )－S (n ＋1)＝n 2－(n ＋1)2＝－2n －1.三、解答题14．在编号为1～9的九个盒子中，共放有351粒米，已知每个盒子都比前一号盒子多放同样粒数的米．(1)如果1号盒子内放了11粒米，那么后面的盒子比它前一号的盒子多放几粒米？ (2)如果3号盒子内放了23粒米，那么后面的盒子比它前一号的盒子多放几米粒？答案 (1)7 (2)8解析 1～9号的九个盒子中米的粒数依次组成等差数列{a n } (1)a 1＝11，S 9＝351，求得：d ＝7 (2)a 3＝23，S 9＝351，求得：d ＝815．(2010·浙江卷，文)设a 1，d 为实数，首项为a 1，公差为d 的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S 5S 6＋15＝0.(1)若S 5＝5，求S 6及a 1； (2)求d 的取值范围．解析 (1)由题意知S 6＝－15S 5＝－3，a 6＝S 6－S 5＝－8，所以⎩⎪⎨⎪⎧5a 1＋10d ＝5，a 1＋5d ＝－8.解得a 1＝7，所以S 6＝－3，a 1＝7.(2)因为S 5S 6＋15＝0，所以(5a 1＋10d )(6a 1＋15d )＋15＝0，即2a 21＋9da 1＋10d 2＋1＝0，故(4a 1＋9d )2＝d 2－8，所以d 2≥8. 故d 的取值范围为d ≤－22或d ≥2 2.16．设等差数列{a n }的首项a 1及公差d 都为整数，前n 项和为S n . (1)若a 11＝0，S 14＝98，求数列{a n }的通项公式；(2)若a 1≥6，a 11>0，S 14≤77，求所有可能的数列{a n }的通项公式．答案 (1)a n ＝22－2n (2)a n ＝12－n 和a n ＝13－n解 (1)由S 14＝98得2a 1＋13d ＝14，又a 11＝a 1＋10d ＝0，故解得d ＝－2，a 1＝20. 因此{a n }的通项公式是a n ＝22－2n ，n ＝1,2,3，….(2)由⎩⎪⎨⎪⎧S 14≤77a 11>0a 1≥6，得⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋13d ≤11a 1＋10d >0a 1≥6，即⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋13d ≤11 ①－2a 1－20d <0， ②－2a 1≤－12 ③由①＋②得－7d <11，即d >－117.由①＋③得13d ≤－1，即d ≤－113.于是－117<d ≤－113.又d ∈Z ，故d ＝－1.④ 将④代入①②得10<a 1≤12. 又a 1∈Z ，故a 1＝11或a 1＝12. 所以所有可能的数列{a n }的通项公式是a n ＝12－n 和a n ＝13－n ，n ＝1,2,3，….。

2024届高考一轮复习数学课件(新教材人教A版)：解析几何

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当m＝－k时，直线PQ的方程为y＝kx－k＝k(x－1). 此时直线PQ过定点(1,0). 当直线PQ的斜率不存在时，若直线PQ过定点(1,0)， P，Q 的坐标分别为1，32，1，－32. 满足 kAP·kAQ＝－14. 综上，直线PQ过定点(1,0).
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②求△APQ面积的最大值.
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则 x1·x2 ＋ 2(x1 ＋ x2) ＋ 4 ＋ 4(kx1 ＋ m)(kx2 ＋ m) ＝ (1 ＋ 4k2)x1x2 ＋ (2 ＋ 4km)(x1＋x2)＋4m2＋4＝1＋4k32＋44mk22－12＋(2＋4km)·3－＋84kmk2＋4m2＋ 4＝0，则m2－km－2k2＝0， ∴(m－2k)(m＋k)＝0，∴m＝2k或m＝－k. 当m＝2k时，直线PQ的方程为y＝kx＋2k＝k(x＋2)，此时直线PQ过定点(－2,0)，显然不符合题意；
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设l1的方程为x＝my＋1，M(x1，y1)，N(x2，y2)， x＝my＋1，
联立x42＋y32＝1，消去 x 得(3m2＋4)y2＋6my－9＝0，易知 Δ>0 恒成立，由根与系数的关系得 y1＋y2＝3－m26＋m4，y1y2＝3m－2＋9 4，
由直线 A1M 的斜率为kA1M＝x1y＋1 2，得直线 A1M 的方程为 y＝x1y＋1 2(x＋2)，
第八章直线和圆、圆锥曲线
必刷大题17 解析几何
1.(2022·南通模拟)已知P为抛物线C：y2＝4x上位于第一象限的点，F为C 的焦点，PF与C交于点Q(异于点P).直线l与C相切于点P，与x轴交于点M. 过点P作l的垂线交C于另一点N. (1)证明：线段MP的中点在定直线上；
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设 P(x0，y0)，则 y20＝4x0，

高三数学第一轮复习试卷

一、选择题（每题5分，共50分）1. 若函数f(x) = ax^2 + bx + c在x=1时取得最小值，则下列选项中正确的是（）A. a > 0, b = 0, c < 0B. a < 0, b = 0, c > 0C. a > 0, b ≠ 0, c > 0D. a < 0, b ≠ 0, c < 02. 下列各数中，无理数是（）A. √3B. -√2C. 3/4D. 1.4143. 若复数z满足|z - 2i| = 3，则复数z在复平面内对应的点的轨迹是（）A. 圆B. 线段C. 直线D. 双曲线4. 已知函数f(x) = log2(x - 1)，则f(x)的定义域是（）A. (1, +∞)B. (0, 1)C. (1, 2]D. (2, +∞)5. 若等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3 = 9，S5 = 21，则该数列的公差d是（）A. 2B. 3C. 4D. 56. 下列命题中，正确的是（）A. 若两个函数的图像关于y轴对称，则这两个函数互为反函数B. 若两个函数的图像关于x轴对称，则这两个函数互为反函数C. 若两个函数的图像关于原点对称，则这两个函数互为反函数D. 若两个函数的图像关于直线y = x对称，则这两个函数互为反函数7. 已知函数f(x) = x^3 - 3x，若存在实数a和b，使得f(a) + f(b) = 0，则a + b的值为（）A. 0B. 1C. -1D. 28. 下列方程中，无解的是（）A. x^2 + 2x + 1 = 0B. x^2 + 2x - 1 = 0C. x^2 - 2x + 1 = 0D. x^2 - 2x - 1 = 09. 若不等式x^2 - 4x + 3 < 0的解集是（）A. (1, 3)B. (-∞, 1) ∪ (3, +∞)C. (-∞, 1) ∩ (3, +∞)D. (1, +∞) ∪ (-∞, 3)10. 已知函数f(x) = (x - 1)/(x + 1)，则f(-1)的值为（）A. 0B. 1C. -1D. 不存在二、填空题（每题5分，共50分）11. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1 = 2，d = 3，则S10 = ________.12. 若复数z = a + bi（a, b ∈ R），则|z|^2 = ________.13. 函数f(x) = log2(3 - 2x)的定义域为 ________.14. 若等比数列{an}的公比q = -2，且a1 = 3，则第5项a5 = ________.15. 已知函数f(x) = x^2 - 2x + 3，则f(-1) = ________.16. 若不等式x^2 - 4x + 3 ≤ 0的解集为A，则不等式x^2 - 4x + 3 > 0的解集为 ________.17. 已知函数f(x) = 2x - 1，则f(-3) + f(2) = ________.18. 若复数z满足|z - 2i| = 3，则复数z在复平面内对应的点的坐标是________.19. 已知函数f(x) = (x - 1)/(x + 1)，则f(1)的值为 ________.20. 若等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3 = 9，S5 = 21，则该数列的第4项a4 = ________.三、解答题（每题20分，共60分）21. （本题满分20分）已知函数f(x) = ax^2 + bx + c（a ≠ 0），若f(1) = 2，f(2) = 5，求a，b，c的值。

2020版江苏高考数学一轮复习教程：随堂巩固训练42含答案解析

随堂巩固训练(42)1. 已知集合M ＝{(x ，y)|x ＋y ＝2}，N ＝{(x ，y)|x －y ＝4}，则集合M ∩N ＝__{(3，－1)}__．解析：联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，x －y ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－1，则M ∩N ＝{(3，－1)}．2. 已知直线l 经过两直线l 1：x －2y ＋4＝0和l 2：x ＋y －2＝0的交点P ，且与直线l 3：3x －4y ＋5＝0垂直，则直线l 的方程为__4x ＋3y －6＝0__．解析：方法一：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4＝0，x ＋y －2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2，故点P(0，2)．因为l 3的斜率为34，且l ⊥l 3，所以直线l 的斜率为－43，由斜截式可知直线l 的方程为y ＝－43x ＋2，即4x ＋3y －6＝0.方法二：设直线l 的方程为x －2y ＋4＋λ(x ＋y －2)＝0，即(1＋λ)x ＋(λ－2)y ＋4－2λ＝0.又l ⊥l 3，所以3×(1＋λ)＋(－4)×(λ－2)＝0，解得λ＝11，所以直线l 的方程为4x ＋3y －6＝0.点评：本题方法一采用常规方法，先通过方程组求出两直线交点，再根据垂直关系求出斜率，由于交点在y 轴上，故采用斜截式求解；方法二则采用了过两直线A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点的直线系方程：A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0，直接设出过两直线交点的直线方程，再根据垂直条件用待定系数法求解．3. 若三条直线2x ＋3y ＋8＝0，x －y －1＝0，x ＋ky ＝0相交于一点，则实数k 的值为__－12__．解析：联立方程⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＋8＝0，x －y －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－2，所以交点为(－1，－2)．又三条直线交于一点，所以－1－2k ＝0，解得k ＝－12.4. 点P(4，3)关于直线x －y ＋1＝0的对称点Q 的坐标是__(2，5)__．解析：设点Q(x ，y)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧y －3x －4＝－1，x ＋42－y ＋32＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝5.故点Q 的坐标是(2，5)．5. 若三条直线ax －y ＋1＝0，x －ay －1＝0，x ＋y ＋a ＝0能构成三角形，则实数a 满足的条件是__a ≠2且a ≠±1__．解析：由题意知任意两条直线都相交，则a 1≠－1－a 且a 1≠－11，故a ≠±1.因为三条直线不共点，所以直线x －ay －1＝0与x ＋y ＋a ＝0的交点(1－a ，－1)不在直线ax －y ＋1＝0上，即a(1－a)＋1＋1≠0，解得a ≠2且a ≠－1.综上，a ≠2且a ≠±1.6. 若一条直线被直线4x ＋y ＋6＝0和3x －5y －6＝0截得的线段的中点恰好是坐标原点，则这条直线的方程为__x ＋6y ＝0__．解析：设A ，B 为截得的线段的两个端点，若点A(m ，n)在直线4x ＋y ＋6＝0上，则点B(－m ，－n)在直线3x －5y －6＝0上，所以⎩⎪⎨⎪⎧4m ＋n ＋6＝0，－3m －（－5n ）－6＝0，解得⎩⎨⎧m ＝－3623，n ＝623.因为所求直线过原点，所以斜率k ＝n m ＝623×⎝⎛⎭⎫－2336＝－16，故所求方程为y ＝－16x ，即x ＋6y ＝0.7. 已知定点A(0，1)，点B 在直线x ＋y ＝0上运动，当线段AB 最短时，点B 的坐标为__⎝⎛⎭⎫－12，12__．解析：当线段AB 最短时，就是直线AB 与直线x ＋y ＝0垂直时，则直线AB 的方程为y －1＝x ，联立x ＋y ＝0，解得x ＝－12，y ＝12，所以点B 的坐标为⎝⎛⎭⎫－12，12.8. 设直线l 1的方程为x ＋2y －2＝0，将直线l 1绕原点按逆时针方向旋转90°得到直线l 2，则直线l 2的方程是__y ＝2x ＋2__．解析：直线l 1绕原点按逆时针方向旋转90°得到直线l 2，则原点到直线l 1和直线l 2的距离相等，且直线l 1和直线l 2相互垂直，所以设直线l 2的方程为y ＝2x ＋b ，所以|b|5＝25，解得b ＝±2.又直线是按逆时针方向旋转90°，所以b＝2，所以直线l 2的方程是y ＝2x ＋2.9. 直线2x ＋3y ＋1＝0关于直线x －y －1＝0的对称直线方程为__3x ＋2y ＝0__．解析：在对称直线上任取一点A(x ，y)，点A 关于直线x －y －1＝0的对称点A′(x′，y′)，所以⎩⎪⎨⎪⎧y －y′x －x′＝－1，x ＋x′2－y ＋y′2－1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x′＝1＋y ，y′＝x －1，即点A′(1＋y ，x －1)在直线2x ＋3y ＋1＝0上，代入得3x ＋2y ＝0.故所求对称直线的方程为3x ＋2y＝0.10. 已知正方形ABCD 的相对顶点A(0，－1)和C(2，5)，则顶点B 和D 的坐标分别为__(4，1)，(－2，3)__．解析：由已知得AC 的中点坐标为(1，2)且k AC ＝3，则k BD ＝－13.设点B 的坐标为(a ，b)，则⎩⎪⎨⎪⎧b ＋1a ·b －5a －2＝－1，b －2a －1＝－13，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝3，所以点B 的坐标为(4，1)，点D 的坐标为(－2，3)．11. 已知△ABC 的顶点A(5，1)，AB 边上的中线CM 所在的直线方程为2x －y －5＝0，AC 边上的高BH 所在的直线方程为x －2y －5＝0，求顶点C 的坐标．解析：由题意知BH 与AC 垂直，所以k BH ·k AC ＝12k AC ＝－1，即k AC ＝－2，所以直线AC 的方程为2x ＋y －11＝0.联立⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －5＝0，2x ＋y －11＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝3，所以点C 的坐标为(4，3)．12. 已知点A(1，3)，B(3，1)，C 是直线l 1：3x －2y ＋3＝0和直线l 2：2x －y ＋2＝0的交点． (1) 求交点C 的坐标； (2) 求△ABC 的面积．解析：(1) 联立⎩⎪⎨⎪⎧3x －2y ＋3＝0，2x －y ＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝0，所以直线l 1与l 2的交点C 的坐标为(－1，0)．(2) 由题意知AB ＝（3－1）2＋（1－3）2＝22，AB 边所在直线方程为y －31－3＝x －13－1，即x ＋y －4＝0，所以点C 到直线x ＋y －4＝0的距离为h ＝|－1＋0－4|12＋12＝52，所以S △ABC ＝12×22×52＝5.13. 已知过点A(1，1)且斜率为－m(m>0)的直线l 与x 轴、y 轴分别交于P ，Q 两点，过点P ，Q 作直线2x ＋y ＝0的垂线，垂足分别为R ，S.求四边形PRSQ 面积的最小值．解析：如图，由题意知直线l 的方程为y －1＝－m(x －1)，则点P ⎝⎛⎭⎫1＋1m ，0，Q(0，1＋m)，从而可得直线PR ，QS 的方程分别为：x －2y －m ＋1m＝0，x －2y ＋2(m ＋1)＝0.又PR ∥QS ，所以RS ＝⎪⎪⎪⎪2m ＋2＋1＋1m 5＝3＋2m ＋1m 5.又PR ＝2＋2m 5，QS ＝m ＋15，四边形PRSQ 为梯形，所以S梯形PRSQ ＝＝15⎝⎛⎭⎫m ＋1m ＋942－180 ≥15×⎝⎛⎭⎫2＋942－180＝3.6，当且仅当m ＝1m，即m ＝1时取等号，所以当m ＝1时，四边形PRSQ 面积的最小值为3.6.。

2024年高考数学一轮复习一隅三反系列(新高考)1.2 逻辑用语与充分必要条件(精讲)含答案

1.2 逻辑用语P充V必要条þÿ精讲Ā一．充V条þ、必要条þP充要条þ的概念2024年高考数学一轮复习一隅三反系列（新高考）1.2 逻辑用语与充分必要条件（精讲）1.判断充V、必要条þ的3种方法(1)定义法:根据p⇒q,q⇒p进行判断,适用于定义、定理判断性问题.(2)集合法:根据p,q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断,多适用于命题中涉及_母范围的推断问题.(3)数形结合法:充要条þ的判定问题中,若给出的条þP结论之间有明显的几何意义,`ÿ以`出满足条þ的几何Ā形,则ÿ`出其几何Ā形^利用数形结合思想求解.2.根据充V、必要条þ求解参数范围的方法(1)把充V条þ、必要条þ或充要条þ转W为集合之间的关系,然^根据集合之间的关系列出关于参数的O等式(或O等式Ā)求解.(2)要注意区间端点值的检验.尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时,O等式是否能够取等号决定端点值的取舍,处理O当容易出现漏解或增解的现象.3.充V、必要条þ的探求方法(1)若P范围有关，ÿ先求使结论成立的充要条þ，然^根据<以小推大=的方法确定符合题意的条þ．(2)若P范围无关，则利用定义法从充V性和必要性两个方面推理探求．(3)探求充要条þ的关键在于转W的等ÿ性，解题时要考虑条þ包含的各种情况，保证条þ的充V性和必要性．4.全称量词P`在量词命题真假的判断(1)要确定一个全称量词命题是真命题,需保证该命题对所有的元素都成立;若能举出一个反例说明命题O成立,则该全称量词命题是假命题;(2)要确定一个`在量词命题是真命题,举出一个例子说明该命题成立即ÿ;若经过逻辑推理得到命题对所有的元素都O成立,则该`在量词命题是假命题.考法一充V、必要条þ的判断0例1-11ÿ2023·y津河X·统考一模Ā设xþR，则<2x==是<24x==的ÿĀA．充VO必要条þB．必要O充V条þC．充要条þD．既O充V_O必要条þ0例1-21ÿ2023春·y津和平·高O耀华中学校考阶段ÿ`Ā在ABC 中，<π6A þ=是<1sin 2A þ=的ÿ Ā A ．充VO必要条þB ．必要O充V条þC ．充要条þD ．既O充V_O必要条þ0例1-31ÿ2023·广东_山·统考二模Ā记数列{}n a 的前n 项和为n S ，则<323S a ==是<{}n a 为等差数列=的ÿ Ā A ．充VO必要条þ B ．必要O充V条þ C ．充要条þ D ．既O充V_O必要条þ0一隅O反11．ÿ2023·重庆·统考二模Ā<20x x −ü=是<e 0x þ=的ÿ Ā A ．充VO必要条þ B ．必要O充V条þ C ．充要条þ D ．既O充V_O必要条þ2．ÿ2023·y津·y津市宁河区芦Ā第一中学校联考模拟预测Ā设x þR ，则<1x ü=是<ln 0x ü=的ÿ Ā A ．充VO必要条þ B ．必要O充V条þ C ．充要条þ D ．既O充V_O必要条þ3．ÿ2023·山西z原·z原五中校考一模Ā"2sin 2sin cos 0ααα−="是<tan 2α="的ÿ Ā A ．充要条þ B ．充VO必要条þ C ．必要O充V条þ D ．既O充V_O必要条þ4．ÿ2023·X京延庆·统考一模Ā若R m þ，则<1m ==是<复数2(1i)(i 1)z m m =++−是纯虚数=的ÿ Ā A ．充V而O必要条þ B ．必要而O充V条þ C ．充V必要条þD ．既O充V_O必要条þ考法二充V、必要条þ的探索0例2-11ÿ2023·全ÿ·高O_题ÿ`Ā<O等式20x x m −+þ在R P恒成立=的必要O充V条þ是ÿ Ā A ．m >0 B ．m <14C ．m <1D ．m >140例2-21．ÿ2023·全ÿ·高O_题ÿ`Āÿ多选Ā函数()23f x x mx =−+在区间[]1,2−O单调的充VO必要条þ是ÿ ĀA ．24m −üüB ．1m =C ．22m −üüD ．44m −üü0一隅O反11．ÿ2023·云南Ā函数()()2lg 23f x x x =−−在[),+∞a P单调递增的一个充VO必要条þ是ÿ ĀA ．0a þB ．1a þC ．3a þD ．4a þ2．ÿ2023·全ÿ·高O_题ÿ`Ā圆221x y +=P直线3y kx =−有}共点的充要条þ是ÿ Ā A ．k ≤−k ≥B ．k ≤−C ．2k ≥ D ．k ≤−2k þ3．ÿ2023·全ÿ·高O_题ÿ`Āÿ多选Ā命题<23R,208x kx kx ∀þ+−ü=为真命题的一个充VO必要条þ是ÿ ĀA ．()30−，B ．(]30−，C ．()31−−，D ．()3∞−+，考法O 充V、必要条þ的求参0例3-11ÿ2023·湖南邵阳·统考二模Ā已知集合[]2,5A =−，[]1,21B m m =+−．若<x B þ=是<x A þ=的充V O必要条þ，则m 的取值范围是ÿ Ā A ．(],3−∞ B ．(]2,3C ．∅D ．[]2,30例3-21ÿ2023·全ÿ·高O_题ÿ`Ā设命题():0ln 2ln 3p x ü−≤，命题()():2230q x m x m −−−≤．若q 是p 的必要O充V条þ，则实数m 的取值范围是______．0一隅O反11．ÿ2023·福建福Þ·高O福ÞO中校考阶段ÿ`Ā设431p x −üÿĀ210q x a −+üÿÿĀ，若p 是q 的充VO必要条þ，则ÿ Ā A ．0a þB ．1a þC ．0a ≥D ．1a ≥2．ÿ2023·安徽Ā若<12x üü=是<O等式2()1x a −ü成立=的充VO必要条þ，则实数a 的取值范围是ÿ Ā A ．[)1,2 B ．(]1,2C ．[]1,2D ．()1,23．ÿ2023·全ÿ·高O对口高考Ā已知集合{}2|320,|0,02x a A x x x B x a x −üü=−+≤=þþýý+þþ，若<x A þ=是<x B þ=的充V非必要条þ，则a 的取值范围是ÿ Ā A ．01a üüB ．2a ≥C ．12a üüD ．1a ≥考法四含量词命题的否定0例4-11ÿ2023·四Ý达Þ·统考二模Ā命题p ÿx ∀þR ，2210x x x +−+þ，则p ⌝为ÿ Ā A ．x ∀þR ，2210x x x +−+≤B ．x ∀þR ，2210x x x +−+üC ．0x ∃þR ，0200210x x x +−+üD ．0x ∃þR ，0200210x x x +−+≤0例4-21ÿ2023·重庆·统考模拟预测Ā命题R x ∃þ，0x x +ü的否定是ÿ Ā A ．R x ∃þ，0x x +≥ B ．R x ∀þ，0x x +ü C ．R x ∀þ，0x x +≥ D ．R x ∀þ，0x x +þ0一隅O反11．ÿ2023·y津河东·一模Ā命题<有一个偶数是素数=的否定是ÿ Ā A ．任意一个奇数是素数 B ．`在一个偶数O是素数 C ．`在一个奇数O是素数 D ．任意一个偶数都O是素数2．ÿ2023·河南郑Þ·统考二模Ā命题ÿR x ∀þ，ln 0x x +þ的否定是ÿ Ā A ．R x ∀ÿ，ln 0x x +þ B ．R x ∀ÿ，ln 0x x +≤ C ．R x ∃þ，ln 0x x +þ D ．R x ∃þ，ln 0x x +≤3ÿ2023·河南·校联考模拟预测Ā已知命题p ÿ1x ∀þ，()10x x −≥，则p ⌝为ÿ Ā A ．1x ∀þ，()10x x −ü B ．1x ∃þ，()10x x −ü C ．1x ∀ü，()10x x −≥D ．1x ∃þ，()10x x −≥考法五含量词命题的真假0例5-11ÿ2023·全ÿ·高O_题ÿ`Ā已知集合{}0A x x =≥，集合{}1B x x =þ，则以Q命题为真命题的是ÿ ĀA ．x A ∃þ，xB þ B ．x B ∃þ，x A ÿC ．x A ∀þ，x B þD ．x B ∀þ，x A ÿ0例5-21ÿ2023·全ÿ·高O_题ÿ`ĀQ列命题中，真命题是ÿ Ā A ．<1,1a b þþ=是<1ab þ=的必要条þ B ．R x ∀þ，e 0x þ C ．2R,2x x x ∀þþ D ．0a b +=的充要条þ是1ab=−0一隅O反11．ÿ2023·全ÿ·高O_题ÿ`ĀQ列命题中，真命题的是ÿ Ā A ．函数sin ||y x =的周期是2π B ．2,2x x R x ∀þþ C ．函数2()ln 2x f x x+=−是奇函数. D ．0a b +=的充要条þ是1ab=−2．ÿ2023·全ÿ·高O_题ÿ`ĀQ列命题为真命题的是ÿ Ā A ．10þ`34þ B ．12þ或45þ C ．x R ∃þ，cos 1x þ D ．x ∀þR ，20x ≥3．ÿ2023春·河X ·高O统考阶段ÿ`Ā已知命题:N e 0，x p x ∃þüÿe 为自然对数的底数Ā2;:R 0q x x x ∀þ+≥，，则Q列为真命题的是ÿ Ā A ．p 真，q 假 B ．p 真，q 真 C ．p 假，q 真D ．p 假，q 假4．ÿ2023春·黑龙江哈尔滨·高O哈九中校考开学考试ĀQ列命题中，真命题是ÿ ĀA ．0R x ∃þ，4300x üB ．0x ∀þ，lg 0x þC ．<31x þ=是<1x þ=的必要O充V条þD ．命题<0x ∀≥，tan sin x x ≥=的否定为<00x ∃ü，00tan sin x x ≥=考法~ 含量词命题的求参0例6-11ÿ2023·河南郑Þ·统考一模Ā若<2,630x x ax a ∃þ−+üR =为假命题，则实数a 的取值范围为_____.0例6-21ÿ2023春·河X衡水·高O河X衡水中学校考阶段ÿ`Ā条þ[]:1,3p x ∃þ，230x ax −+þ，则p 的一个必要O充V条þ是ÿ ĀA ．5a üB ．5a þC ．4a üD ．4a þ0一隅O反11.ÿ2023·全ÿ·高O_题ÿ`Ā若命题:p x ∃þR ，220x ax a ++≤是假命题，则实数a 的一个值为_____________． 2．ÿ2023·全ÿ·高O_题ÿ`Āp ÿ[]4,2x ∀þ−，20x a −≥为真命题的一个充VO必要条þ是ÿ ĀA ．2a ≤−B ．0a ≤C ．4a ≤D ．16a ≤3．ÿ2023·全ÿ·高O_题ÿ`Ā若命题<[]()21,3,2130a ax a x a ∃þ−−−+−ü=为假命题，则实数x 的取值范围为ÿ ĀA ．[]1,4−B ．50,3ùùúúûûC ．[]51,0,43ùùúúû−ûD ．[)51,0,43öù−÷úøû4．ÿ2023·全ÿ·高O_题ÿ`Ā命题<,e 1e x x x R a −∃þ+ü−=为假命题，则实数a 的取值范围为___________.1.2 逻辑用语P充V必要条þÿ精讲Ā一．充V条þ、必要条þP充要条þ的概念1.判断充V、必要条þ的3种方法(1)定义法:根据p ⇒q,q ⇒p 进行判断,适用于定义、定理判断性问题.(2)集合法:根据p,q 成立的对象的集合之间的包含关系进行判断,多适用于命题中涉及_母范围的推断问题. (3)数形结合法:充要条þ的判定问题中,若给出的条þP结论之间有明显的几何意义,`ÿ以`出满足条þ的几何Ā形,则ÿ`出其几何Ā形^利用数形结合思想求解. 2.根据充V、必要条þ求解参数范围的方法(1)把充V条þ、必要条þ或充要条þ转W为集合之间的关系,然^根据集合之间的关系列出关于参数的O等式(或O等式Ā)求解.(2)要注意区间端点值的检验.尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时,O等式是否能够取等号决定端点值的取舍,处理O当容易出现漏解或增解的现象. 3.充V、必要条þ的探求方法(1)若P范围有关，ÿ先求使结论成立的充要条þ，然^根据<以小推大=的方法确定符合题意的条þ． (2)若P范围无关，则利用定义法从充V性和必要性两个方面推理探求．(3)探求充要条þ的关键在于转W的等ÿ性，解题时要考虑条þ包含的各种情况，保证条þ的充V性和必要性．4.全称量词P`在量词命题真假的判断(1)要确定一个全称量词命题是真命题,需保证该命题对所有的元素都成立;若能举出一个反例说明命题O成立,则该全称量词命题是假命题;(2)要确定一个`在量词命题是真命题,举出一个例子说明该命题成立即ÿ;若经过逻辑推理得到命题对所有的元素都O成立,则该`在量词命题是假命题.考法一充V、必要条þ的判断0例1-11ÿ2023·y津河X ·统考一模Ā设x þR ，则<2x ==是<24x ==的ÿ Ā A ．充VO必要条þ B ．必要O充V条þ C ．充要条þ D ．既O充V_O必要条þ0答案1A0解析1当2x =时24x =，故充V性成立，由24x =ÿ得2x =或2x =−，故必要性O成立，所以<2x ==是<24x ==的充VO必要条þ.故选ÿA0例1-21ÿ2023春·y津和平·高O耀华中学校考阶段ÿ`Ā在ABC 中，<π6A þ=是<1sin 2A þ=的ÿ Ā A ．充VO必要条þB ．必要O充V条þC ．充要条þD ．既O充V_O必要条þ0答案1B0解析1在ABC 中，()0,πA þ，由1sin 2A þ，ÿ得π5π66A üü，所以<π6A þ=是<1sin 2A þ=的必要O充V条þ.故选ÿB.0例1-31ÿ2023·广东_山·统考二模Ā记数列{}n a 的前n 项和为n S ，则<323S a ==是<{}n a 为等差数列=的ÿ Ā A ．充VO必要条þ B ．必要O充V条þ C ．充要条þ D ．既O充V_O必要条þ0答案1B0解析1等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，则312323S a a a a =++=，数列{}n a 的前n 项和为n S ，取12341,2,3,5a a a a ====，显然有323S a =，而43322a a a a −=≠−，即数列{}n a O是等差数列，所以<323S a ==是<{}n a 为等差数列=的必要O充V条þ. 故选ÿB 0一隅O反11．ÿ2023·重庆·统考二模Ā<20x x −ü=是<e 0x þ=的ÿ Ā A ．充VO必要条þ B ．必要O充V条þ C ．充要条þ D ．既O充V_O必要条þ 0答案1A0解析1由20x x −üÿ得其解集为ÿ}{01x x x þüü，由e 0x þÿ得其解集为ÿx þR .而}{01x x üüÜR ，即由<20x x −ü=ÿ以推出<e 0x þ=，反过来<e 0x þ=O能推出<20x x −ü=，故<20x x −ü=是<e 0x þ=的充VO必要条þ.故选ÿA2．ÿ2023·y津·y津市宁河区芦Ā第一中学校联考模拟预测Ā设x þR ，则<1x ü=是<ln 0x ü=的ÿ Ā A ．充VO必要条þ B ．必要O充V条þ C ．充要条þD ．既O充V_O必要条þ0答案1B0解析1当1x ü时，若0x ≤，则ln x 无意义，充V性O成立Ā 当ln 0x ü时，01x üü，1x üü成立，必要性成立Ā 综P所述ÿx þR ，则<1x ü=是<ln 0x ü=的必要O充V条þ. 故选ÿB.3．ÿ2023·山西z原·z原五中校考一模Ā"2sin 2sin cos 0ααα−="是<tan 2α="的ÿ Ā A ．充要条þ B ．充VO必要条þ C ．必要O充V条þ D ．既O充V_O必要条þ0答案1C0解析1因为2sin 2sin cos 0ααα−=，所以()sin sin 2cos 0ααα−=，sin 2cos 0αα−=或sin 0α=，所以tan 2α=或tan 0α=，故<2sin 2sin cos 0ααα−=是<tan 2α==的必要O充V条þ.故选ÿC. 4．ÿ2023·X京延庆·统考一模Ā若R m þ，则<1m ==是<复数2(1i)(i 1)z m m =++−是纯虚数=的ÿ Ā A ．充V而O必要条þ B ．必要而O充V条þ C ．充V必要条þ D ．既O充V_O必要条þ0答案1C0解析1()()222(1i)(i 1)i z m m m m m m =++−=−++，当1m =时，复数2i z =，是纯虚数Ā复数2(1i)(i 1)z m m =++−是纯虚数时，有220m m m m ü−=ý+≠þ，解得1m =. 则<1m ==是<复数2(1i)(i 1)z m m =++−是纯虚数=的充V必要条þ.故选ÿC考法二充V、必要条þ的探索0例2-11ÿ2023·全ÿ·高O_题ÿ`Ā<O等式20x x m −+þ在R P恒成立=的必要O充V条þ是ÿ Ā A ．m >0 B ．m <14C ．m <1D ．m >140答案1A0解析1因为<O等式20x x m −+þ在R P恒成立=，所以等ÿ于二次方程的20x x m −+=判别式140m ∆=−ü，即14m þ.易知D 选项是充要条þ，O成立Ā A 选项中，14m þÿ推导0m þ，`0m þOÿ推导14m þ，故0m þ是14m þ的必要O充V条þ，正确ĀB 选项中，14m þOÿ推导出14m ü，B O成立ĀC 选项中，14m þOÿ推导1m ü，C O成立.故选ÿA.0例2-21．ÿ2023·全ÿ·高O_题ÿ`Āÿ多选Ā函数()23f x x mx =−+在区间ûý1,2−O单调的充VO必要条þ是ÿ Ā A ．24m −üü B ．1m = C ．22m −üü D ．44m −üü0答案1BC 0解析1()23f x x mx =−+在区间ûý1,2−PO单调，又()f x 的Ā象是开口向P，对称轴为12x m =的抛物线，ü原命题的充要条þ为1122m −üü，即24m −üü，ü原命题的一个充VO必要条þ只有B 、C 选项满足，故选ÿBC ． 0一隅O反11．ÿ2023·云南Ā函数()()2lg 23f x x x =−−在û),+∞a P单调递增的一个充VO必要条þ是ÿ ĀA ．0a þB ．1a þC ．3a þD ．4a þ0答案1D0解析1设()223g x x x =−−，ÿ得函数()g x 在(),1−∞单调递减，在()1,+∞单调递增，又由函数()2lg 23y x x =−−，满足2230x x −−þ，解得1x ü−或3x þ，根据复合函数的单调性，ÿ得函数()f x 的单调递增区间为()3,+∞.()()2lg 23f x x x =−−在û),+∞a P单调递增3a ⇔þ.所以对照四个选项，ÿ以得到一个充VO必要条þ是ÿ4a þ. 故选ÿD2．ÿ2023·全ÿ·高O_题ÿ`Ā圆221x y +=P直线3y kx =−有}共点的充要条þ是ÿ Ā A ．k ≤−k ≥B ．k ≤−C ．2k ≥D ．k ≤−2k þ0答案1A0解析1若直线P圆有}共点，则圆心()0,0到直线30kx y −−=的距离1d =≤3，∴219k +≥，即28k ≥， ∴k ≤−或k ≥∴圆221x y +=P直线3y kx =−有}共点的充要条þ是k ≤−或k ≥ 故选ÿA3．ÿ2023·全ÿ·高O_题ÿ`Āÿ多选Ā命题<23R,208x kx kx ∀þ+−ü=为真命题的一个充VO必要条þ是ÿ ĀA ．()30−，B ．(ý30−，C ．()31−−，D ．()3∞−+，0答案1AC0解析1因为23R,208x kx kx ∀þ+−ü为真命题，所以0k =或230k k k üüý+üþ30k ⇔−ü≤，所以()30−，是命题<23R,208x kx kx ∀þ+−ü=为真命题充VO必要条þ，A 对，所以(ý30−，是命题<23R,208x kx kx ∀þ+−ü=为真命题充要条þ，B 错，所以()31−−，是命题<23R,208x kx kx ∀þ+−ü=为真命题充VO必要条þ，C 对，所以()3∞−+，是命题<23R,208x kx kx ∀þ+−ü=为真命题必要O充V条þ，D 错，故选ÿAC考法O 充V、必要条þ的求参0例3-11ÿ2023·湖南邵阳·统考二模Ā已知集合ûý2,5A =−，ûý1,21B m m =+−．若<x B þ=是<x A þ=的充V O必要条þ，则m 的取值范围是ÿ Ā A ．(ý,3−∞ B ．(ý2,3C ．∅D ．ûý2,30答案1B0解析1若<x B þ=是<x A þ=的充VO必要条þ，则B A ，所以12112215m m m m +ü−üÿ+≥−ýÿ−≤þ，解得23m ü≤，即m 的取值范围是(ý2,3.故选ÿB.0例3-21ÿ2023·全ÿ·高O_题ÿ`Ā设命题():0ln 2ln 3p x ü−≤，命题()():2230q x m x m −−−≤．若q 是p 的必要O充V条þ，则实数m 的取值范围是______． 0答案1312m ≤≤0解析1由():0ln 2ln 3p x ü−≤，得123x ü−≤，即35x ü≤Ā 由()():2230q x m x m −−−≤，得223m x m ≤≤+，因为q 是p 的必要O充V条þ，所以5}|3{x x ü≤是{|223}x m x m ≤≤+的真子集，所以23235m m ≤üý+≥þ`两个等号O\时取，解得312m ≤≤.故答案为ÿ312m ≤≤ 0一隅O反11．ÿ2023·福建福Þ·高O福ÞO中校考阶段ÿ`Ā设431p x −üÿĀ210q x a −+üÿÿĀ，若p 是q 的充VO必要条þ，则ÿ Ā A ．0a þ B ．1a þC ．0a ≥D ．1a ≥0答案1A0解析1由已知ÿ得:1,:21p x q x a üü+，因为p 是q 的充VO必要条þ，所以211a +þ，所以0a þ，故选ÿA ．2．ÿ2023·安徽Ā若<12x üü=是<O等式2()1x a −ü成立=的充VO必要条þ，则实数a 的取值范围是ÿ Ā A ．û)1,2 B ．(ý1,2C ．ûý1,2D ．()1,20答案1C0解析1由2()1x a −ü得11a x a −üü+，12x üüQ 是不等式2()1x a −ü成立的充分不必要条件，ü满足1112a a −≤üý+≥þ，且等号不能同时取得，即21a a ≤üý≥þ，解得12a ≤≤，故选：C ． 3．ÿ2023·全ÿ·高O对口高考Ā已知集合{}2|320,|0,02x a A x x x B x a x −üü=−+≤=þþýý+þþ，若<x A þ=是<x B þ=的充V非必要条þ，则a 的取值范围是ÿ Ā A ．01a üüB ．2a ≥C ．12a üüD ．1a ≥0答案1A0解析1由题意ÿ得ÿ{}|12A x x =≤≤，{|2B x x =ü−或}x a þ，若<x A þ=是<x B þ=的充V非必要条þ，则A 是B 的真子集，所以01a üü.故选ÿA.考法四含量词命题的否定0例4-11ÿ2023·四Ý达Þ·统考二模Ā命题p ÿx ∀þR ，2210x x x +−+þ，则p ø为ÿ Ā A ．x ∀þR ，2210x x x +−+≤B ．x ∀þR ，2210x x x +−+üC ．0x ∃þR ，0200210x x x +−+üD ．0x ∃þR ，0200210x x x +−+≤0答案1D0解析1因为对全称量词的否定用特称量词，所以命题p ÿx ∀þR ，2210x x x +−+þ的否定为ÿ0x ∃þR ，0200210x x x +−+≤.故选ÿD0例4-21ÿ2023·重庆·统考模拟预测Ā命题R x ∃þ，0x x +ü的否定是ÿ Ā A ．R x ∃þ，0x x +≥ B ．R x ∀þ，0x x +ü C ．R x ∀þ，0x x +≥ D ．R x ∀þ，0x x +þ0答案1C0解析1由特称命题的否定为全称命题，故原命题的否定为R x ∀þ，0x x +≥.故选ÿC 0一隅O反11．ÿ2023·y津河东·一模Ā命题<有一个偶数是素数=的否定是ÿ Ā A ．任意一个奇数是素数 B ．`在一个偶数O是素数 C ．`在一个奇数O是素数 D ．任意一个偶数都O是素数 0答案1D0解析1由于`在量词命题:,()p x M p x ∃þ，否定为:,()p x M p x ø∀þø.所以命题<有一个偶数是素数=的否定是<任意一个偶数都O是素数=.故选ÿD2．ÿ2023·河南郑Þ·统考二模Ā命题ÿR x ∀þ，ln 0x x +þ的否定是ÿ Ā A ．R x ∀ÿ，ln 0x x +þ B ．R x ∀ÿ，ln 0x x +≤ C ．R x ∃þ，ln 0x x +þ D ．R x ∃þ，ln 0x x +≤ 0答案1D0解析1由全称命题的否定为特称命题，则原命题的否定为R x ∃þ，ln 0x x +≤.故选ÿD 3ÿ2023·河南·校联考模拟预测Ā已知命题p ÿ1x ∀þ，()10x x −≥，则p ø为ÿ Ā A ．1x ∀þ，()10x x −ü B ．1x ∃þ，()10x x −ü C ．1x ∀ü，()10x x −≥ D ．1x ∃þ，()10x x −≥0答案1B0解析1根据全称命题的否定为特称命题，ÿ知p ø为<1x ∃þ，()10x x −ü=，故选ÿB.考法五含量词命题的真假0例5-11ÿ2023·全ÿ·高O_题ÿ`Ā已知集合{}0A x x =≥，集合{}1B x x =þ，则以Q命题为真命题的是ÿ ĀA ．x A ∃þ，xB þ B ．x B ∃þ，x A ÿC ．x A ∀þ，x B þD ．x B ∀þ，x A ÿ0答案1A0解析1由题知，集合{}0A x x =≥，集合{}1B x x =þ，所以B 是A 的真子集，所以x A ∃þ，x B þ或x A ∃þ，x B ÿ或x B ∀þ，x A þ，只有A 选项符合要求，故选ÿA.0例5-21ÿ2023·全ÿ·高O_题ÿ`ĀQ列命题中，真命题是ÿ Ā A ．<1,1a b þþ=是<1ab þ=的必要条þ B ．R x ∀þ，e 0x þ C ．2R,2x x x ∀þþ D ．0a b +=的充要条þ是1ab=− 0答案1B0解析1对于A ，当2,1a b ==时，满足1ab þ，但O满足1,1a b þþ，故<1,1a b þþ=O是<1ab þ=的必要条þ，故错误Ā对于B ，根据指数函数的性质ÿ得，对于R x ∀þ，e 0x þ，故正确Ā 对于C ，当2x =时，22x x =，故错误Ā 对于D ，当0a b ==时，满足0a b +=，但1ab=−O成立，故错误Ā故选ÿB0一隅O反11．ÿ2023·全ÿ·高O_题ÿ`ĀQ列命题中，真命题的是ÿ Ā A ．函数sin ||y x =的周期是2π B ．2,2x x R x ∀þþ C ．函数2()ln 2x f x x+=−是奇函数. D ．0a b +=的充要条þ是1ab=− 0答案1C0解析1由于5sin |||2|sin()333ππππ−−+==sin ||y x =的周期O是2π，故选项A 是假命题Ā当2x =时22x x =，故选项B 是假命题Ā 函数2()ln 2x f x x+=−的定义域(2,2)−关于原点对称，`满足()()f x f x −=−，故函数()f x 是奇函数，即选项C 是真命题Ā 由1a b =−得0a b +=`0b ≠，所以<0a b +==的必要O充V条þ是<1ab=−=，故选项D 是假命题故选ÿC2．ÿ2023·全ÿ·高O_题ÿ`ĀQ列命题为真命题的是ÿ Ā A ．10þ`34þ B ．12þ或45þ C ．x R ∃þ，cos 1x þ D ．x ∀þR ，20x ≥0答案1D0解析1A 项ÿ因为43þ，所以10þ`34þ是假命题，A 错误Ā B 项ÿ根据12ü、45<易知B 错误Ā C 项ÿ由余弦函数性质易知cos 1≤x ，C 错误Ā D 项ÿ2x 恒大于等于0，D 正确，故选ÿD.3．ÿ2023春·河X ·高O统考阶段ÿ`Ā已知命题:N e 0，x p x ∃þüÿe 为自然对数的底数Ā2;:R 0q x x x ∀þ+≥，，则Q列为真命题的是ÿ Ā A ．p 真，q 假 B ．p 真，q 真 C ．p 假，q 真 D ．p 假，q 假0答案1C0解析1,e 0,x x ∀þþüN 命题p 为假命题，x ∀þQ R ，必有20,0x x ≥≥，所以20x x +≥，ü命题q 为真命题.故选ÿC.4．ÿ2023春·黑龙江哈尔滨·高O哈九中校考开学考试ĀQ列命题中，真命题是ÿ Ā A ．0R x ∃þ，4300x üB ．0x ∀þ，lg 0x þC ．<31x þ=是<1x þ=的必要O充V条þD ．命题<0x ∀≥，tan sin x x ≥=的否定为<00x ∃ü，00tan sin x x ≥= 0答案1C0解析1对于选项A，因为43x =x þR 时，40x ≥恒成立，所以430x =≥，故A 项错误Ā 对于选项B ，当1x =时，lg10=，故B 项错误Ā对于选项C ，因为310x x þ⇒þ，0x þ是1x þ的必要O充V条þ，故C 项正确Ā 对于选项D ，命题<0,tan sin x x x ∀≥≥=的否定为<0000,tan sin x x x ∃≥ü=，故D 项错误. 故选ÿC.考法~ 含量词命题的求参0例6-11ÿ2023·河南郑Þ·统考一模Ā若<2,630x x ax a ∃þ−+üR =为假命题，则实数a 的取值范围为_____.0答案110,3ùùúúûû0解析1由条þÿ知<2,630x x ax a ∀þ−+≥R =为真命题，则2Δ36120a a =−≤，即103a ≤≤.故答案为ÿ10,3ùùúúûû0例6-21ÿ2023春·河X衡水·高O河X衡水中学校考阶段ÿ`Ā条þûý:1,3p x ∃þ，230x ax −+þ，则p 的一个必要O充V条þ是ÿ Ā A ．5a ü B ．5a þC ．4a üD ．4a þ0答案1A0解析1若ûý1,3x ∃þ，使得230x ax −+þ，则23ax x ü+，ÿ得3ü+a x x ，则max 3a x x ööü+÷÷øø，因为函数()3f x x x=+在ùûP单调递减，在ùûP单调递增，`()()134f f ==，故当ûý1,3x þ时，()max 4f x =，即:4p a ü，所以，p 的一个必要O充V条þ是5a ü.故选ÿA.0一隅O反11.ÿ2023·全ÿ·高O_题ÿ`Ā若命题:p x ∃þR ，220x ax a ++≤是假命题，则实数a 的一个值为_____________． 0答案112ÿ(0,1)P任一数均ÿĀ0解析1由题意2,20x R x ax a ∀þ++þ是真命题，所以2440a a −ü，解得01a üü．故答案为ÿ12ÿ(0,1)P任一数均ÿĀ．2．ÿ2023·全ÿ·高O_题ÿ`Āp ÿûý4,2x ∀þ−，20x a −≥为真命题的一个充VO必要条þ是ÿ Ā A ．2a ≤− B ．0a ≤ C ．4a ≤ D ．16a ≤0答案1A0解析1由题设命题为真，即2x a ≥在ûý4,2x þ−P恒成立，所以2min ()0a x ≤=，故A 为充VO必要条þ，B为充要条þ，CD 必要O充V条þ.故选ÿA3．ÿ2023·全ÿ·高O_题ÿ`Ā若命题<ûý()21,3,2130a ax a x a ∃þ−−−+−ü=为假命题，则实数x 的取值范围为ÿ Ā A ．ûý1,4− B ．50,3ùùúúûûC ．ûý51,0,43ùùúúû−ûD ．û)51,0,43öù−÷úøû0答案1C0解析1命题<ûý()21,3,2130a ax a x a ∃þ−−−+−ü=为假命题，其否定为真命题，即<ûý()21,3,2130a ax a x a ∀þ−−−+−≥=为真命题．î22()23(21)30g a ax ax x a x x a x =−++−=−−++≥，则(1)0(3)0g g −≥üý≥þ，即22340350x x x x ü−++≥ý−≥þ，解得14503x x x −≤≤üÿý≥≤ÿþ或，所ï实数x 的取值范围为ûý51,0,43ùùúúû−û. 故选：C4．ÿ2023·全ÿ·高O_题ÿ`Ā命题<,e 1e x x x R a −∃þ+ü−=为假命题，则实数a 的取值范围为___________. 0答案1(,3]−∞0解析1若命题<,e 1e x x x R a −∃þ+ü−=为假命题，则命题<,e 1e x x x R a −∀þ+≥−=为真命题，即e e 1x x a −≤++在R P恒成立，则()min e e 1x xa −≤++，因为e e 113x x −++≥=，当`仅当e e x x −=，即0x =时，等号成立，所以()min e e 13x x−++=，所以3a ≤，故答案为ÿ(,3]−∞1.2 逻辑用语P充V必要条件ÿ精练Ā1.ÿ2023·江西·统考模拟预测Ā设x þR Ā则<21x x −ó=是<220x x +−ó=的ÿ Ā A ．充VO必要条件 B ．必要O充V条件 C ．充要条件 D ．既O充V_O必要条件0答案1A0解析1v 21x x −óĀ得21021x x x −óüý−óþ或21021x x x −üüý−+óþĀ解得113x óó. v 220x x +−óĀ解得21x −óóĀ当113x óó÷Ā21x −óó一定成立Ā反之ĀO一定成立Ā 所ï<21x x −ó=是<220x x +−ó=的充VO必要条件.故选ÿA.2．ÿ2023春·天津和平·高O耀华中学校考阶段练`Ā已知命题p ÿx ∃þR Ā2220x x a ++−üĀ若p 为假命题Ā则实数a 的取值范围为ÿ Ā A ．(1,)+∞ B ．[1,)+∞ C ．(,1)−∞ D ．(,1]−∞0答案1D0解析1因为命题p ÿx ∃þR Ā2220x x a ++−üĀ所ïp øÿx ∀þR Ā2220x x a ++−óĀ 又因为p 为假命题Ā所ïp ø为真命题Ā即x ∀þR Ā2220x x a ++−ó恒成立Ā 所ï0∆óĀ即224(2)0a −−óĀ解得1a óĀ故选ÿD ．3.ÿ2023·黑龙江哈尔滨·哈九中校考Ð模Ā命题<[1,2]x ∀þĀ20x a −ó=是真命题的充要条件是ÿ Ā A ．4a þ B ．4a ó C ．1a ü D ．1a ó0答案1B0解析1命题<[1,2]x ∀þĀ20x a −ó=为真命题Ā则2a x ó在[1,2]P恒成立Ā7[1,2]x þĀ6ûý21,4x þĀ则4a ó.故选8B ．4．ÿ2023·全ÿ·高O_题练`Ā命题<200,1x x ∃þ≠R =的否定是ÿ ĀA ．2,1x x ∀þ=RB ．2,1x x ∀ÿ=RC ．200,1x x ∃þ=RD ．200,1∃ÿ=x x R0答案1A0解析1根据特Ā命题的否定是全Ā命题Ā可知命题<200,1x x ∃þ≠R =的否定是<2,1x x ∀þ=R =.故选ÿA.5．ÿ2023·全ÿ·高O_题练`Ā已知命题ÿx ∀þZ Āx þN Ā则该命题的否定是ÿ Ā A ．x ∀þZ Āx ÿN B ．x ∃þZ Āx þN C ．x ∃þZ Āx ÿN D ．x ∃ÿZ Āx ÿN0答案1C0解析1v特Ā命题的否定知ÿ原命题的否定为x ∃þZ Āx ÿN .故选ÿC. 6．ÿ2023·天津·校联考一模Ā设x þR Ā则<2log 1x ü=是<260x x +−ü=的ÿ Ā A ．充VO必要条件 B ．必要O充V条件 C ．充要条件 D ．既O充V_O必要条件0答案1A0解析1v 2log 1x üĀ解得ÿ02x üüĀ260x x +−ü解得32x −üüĀ v ()0,2()3,2−Ā6<2log 1x ü=是<260x x +−ü=的的充VO必要条件．故选ÿA7．ÿ2023·全ÿ·高O_题练`Ā若关于x 的O等式2x a −ü 成立的充V条件是06x üüĀ则实数a 的取值范围是ÿ Ā A ．2)∞−ÿĀ B ．[24]ĀC ．4)∞+ÿĀD ．[4)+∞Ā0答案1D0解析1当0a ó÷Ā2x a −üO成立Ā故0a þ Āl÷v 2x a −ü得22a x a −üü+Ā 因为O等式2x a −ü 成立的充V条件是06x üüĀ即2(0,6)(,2)a a −+ýĀ故2062a a −óüýó+þĀ解得4a óĀ故选:D8．ÿ2023·四Ý遂宁·四Ý省遂宁市第Ð中学校校考模拟预测Ā明——罗贯中:Oÿ演O;第49回<欲破曹公Ā宜用火攻;万Ï倶备Ā只k东风=Ā比喻一W都准备好了Ā只差最后一个Ý要的条件.你认为<东风=是<赤壁之战东吴打败曹操=的ÿ ĀA ．充VO必要条件B ．必要O充V条件C ．充要条件D ．既O充V_O必要条件0答案1B0解析1<东风=是<赤壁之战东吴打败曹操=的必要条件Ā但O是充V条件.故选ÿB.9．ÿ2023·天津·统考一模Ā设0a þĀ0b þĀ则<a b þ=是<11a b ü=的ÿ Ā A ．充VO必要条件 B ．必要O充V条件 C ．充要条件 D ．既O充V_O必要条件0答案1C0解析1因为0a þĀ0b þĀv11a b ü可得110a b b a ab−−=þĀ则0a b −þĀ即a b þĀ 因lĀ若0a þĀ0b þĀ则<a b þ=是<11a bü=的充要条件. 故选ÿC.10．ÿ2023·河南郑Þ·高O校联考阶段练`ĀQ列命题中的假命题是ÿ ĀA ．x ∃þR Āsin xB ．x ∃þR Āln 1x =−C ．x ∀þR Ā20x þD ．x ∀þR Ā30x þ0答案1C0解析1对于A Ā1sin 1x −óóĀx ü∃þR Āsin x A k确Ā 对于B Ā当1ex =÷Āln 1x =−ĀB k确Ā 对于C Ā当0x =÷Ā20x =ĀC 错误Ā 对于D Ā3x y =值域为()0,∞+Āx ü∀þR Ā30x þĀD k确.故选ÿC.11．ÿ2023·全ÿ·高O_题练`ĀQ列命题为真命题的是ÿ Ā A ．,1x x R e x ∀þó+ B ．,1x x R e x ∃üþ+ C ．2,2x x R x ∀þó D ．()10,,2x x x∃þ+∞+ü 0答案1A0解析1对于A 选项Ā构造函数()()()'1,00,1x x f x e x f f x e =−−==−Ā所ï()f x 在区间(),0∞−P ()'0f x üĀ递减Ā在()0,∞+P ()'0f x þĀ递增.所ï()f x 在0x =处取得极小值_即是最小值Ā所ï()()00f x f ó=Ā即10,1x x e x e x −−óó+.所ïA 选项k确. 对于B 选项Āv于A 选项k确Ā所ïB 选项错误. 对于C 选项Ā当=1x −÷Ā22x x üĀ所ïC 选项Ok确.对于D 选项Ā当0x þ÷Ā12x x +ó=Ā当`仅当1x =÷等号成立Ā所ïD 选项错误. 故选ÿA12．ÿ2023秋·贵Þ贵阳·高O统考期末Ā已知命题2:R,220p x x x ∀þ−+þĀ则p ø是ÿ ĀA ．2000R,220x x x ∃þ−+ó B ．2R,220x x x ∀þ−+ó C ．2000R,220x x x ∃þ−+þD ．2R,220x x x ∀þ−+ü0答案1A0解析1全Āß词命题的否定是存在ß词命题Ā命题2:R,220p x x x ∀þ−+þĀ则p ø是2000R,220x x x ∃þ−+ó.故选ÿA.13．ÿ2023·福建漳Þ·统考Ð模Ā已知命题p ÿ0x ∀óĀ2ln(1)2x x x +ó−Ā则命题p 的否定为ÿ ĀA ．0x ∀óĀ2ln(1)2x x x +ü−B ．0x ∃óĀ2ln(1)2x x x +ü−C ．0x ∀üĀ2ln(1)2x x x +ü−D ．0x ∃üĀ2ln(1)2x x x +ü−0答案1B0解析1根据含有全Āß词命题的否定可知Ā命题p ÿ0x ∀óĀ2ln(1)2x x x +ó−Ā则命题p 的否定为ÿ0x ∃óĀ2ln(1)2x x x +ü−.故选ÿB14．ÿ2023·安徽·校联考Ð模Ā设a þR Ā则<1a ==是<)()ln f x ax =为奇函数=的ÿ ĀA ．充VO必要条件B ．必要O充V条件C ．充要条件D ．既O充V_O必要条件0答案1A0解析1若)()ln f x ax =为奇函数Ā则))()22()()lnlnln 110f x f x ax ax a x ùù+−=+=−+=ûûĀ210a ü−=Ā解得1a =ñĀ经检验Ā符合题意Āü<1a ==是<)()lnf x ax =为奇函数=的充VO必要条件.故选ÿA ．15．ÿ2023·天津·校联考一模Ā若,R x y þĀ则<22x y þ=是<x y þ=的ÿ Ā. A ．充VO必要条件 B ．必要O充V条件 C ．充要条件 D ．既O充V_O必要条件0答案1D0解析1O妨设1,0x y =−=Ā满足22x y þĀ但O满足x y þĀ充V性O成立Ā 若0,1x y ==−Ā满足x y þĀ但O满足22x y þĀ故必要性O成立Ā 所ï22x y þ是x y þ的既O充V_O必要条件. 故选ÿD16.ÿ2023·¿宁沈阳·高O校联考学业考试Ā已知圆221:1C x y +=和圆()222:16C x a y −+=Ā其中0a þĀ则使得两圆相交的一个充VO必要．．．．．条件可ï是ÿ Ā A ．35a üü B ．36a üü C ．45a üü D ．25a üü0答案1C0解析1v 1(0,0)C `半径11r =Ā2(,0)C a `半径24r =Ā结合a 大于0Ā 所ï2121r r a r r −üü+÷Ā两圆相交Ā则35a üüĀ v选项可得A 选项为35a üü的充要条件Ā B 、D 选项为35a üü的必要O充V条件Ā C 选项为35a üü的充VO必要条件Ā 故选ÿC17．ÿ2023·天津滨海新·天津市滨海新区塘沽第一中学校考模拟预测Ā设向ß()1,sin a ñ=−Ā()sin2,sin b ññ=Ā则<a b ⊥=是<tan 2ñ==的ÿ Ā A ．充VO必要条件 B ．必要O充V条件 C ．充要条件 D ．既O充V_O必要条件0答案1B0解析1v条件可知Ā2sin 2sin 0a b ññ÷=−=Ā得22sin cos sin 0ñññ−=ĀW简得()sin 2cos sin 0ñññ−=Ā 得sin 0ñ=或2cos sin 0ññ−=Ā。

「精选」人教版最新江苏省高三数学一轮复习备考试题：立体几何(含答案)Word版-精选文档

高考一轮复习备考试题(附参考答案)立体几何一、填空题1、（2014年江苏高考）设甲、乙两个圆柱的底面积分别为21S ,S ，体积分别为21V ,V ，若它们的侧面积相等，49S S 21=，则=21V V▲ ． 2、（2013年江苏高考）如图，在三棱柱ABC C B A -111中，F E D ，，分别是1AA AC AB ，，的中点，设三棱锥A D E F -的体积为1V ，三棱柱ABC C B A -111的体积为2V ，则=21:V V 。

3、（2012年江苏高考）如图，在长方体1111ABCD ABC D -中，3cm AB AD ==，12cm AA =，则四棱锥11A BB D D -的体积为 ▲ cm 3．4、（2015届江苏南京高三9月调研）已知圆锥的侧面展开图是一个半径为2的半圆，则这个圆锥的高是 ▲5、（2015届江苏南通市直中学高三9月调研）如图，各条棱长均为2的正三棱柱111ABC A B C -中，M 为11A C 的中点，则三棱锥1M AB C -的体积为 ▲6、（2015届江苏苏州高三9月调研）若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等圆柱、球的表面积分别记为1S 、2,S 则有12:S S = ▲7、（南京市2014届高三第三次模拟）已知m ，n 是不重合的两条直线，α，β是不重合的两个平面．下列命题：①若α⊥β，m ⊥α，则m ∥β； ②若m ⊥α，m ⊥β，则α∥β； ③若m ∥α，m ⊥n ，则n ⊥α； ④若m ∥α，m ⊂β，则α∥β．其中所有真命题的序号是 ▲8、（苏锡常镇四市2014届高三5月调研（二））已知△ABC 为等腰直角三角形，斜边BC 上的中线AD = 2，将△ABC 沿AD 折成60°的二面角，连结BC ，则三棱锥C - ABD 的体积为 ▲ 9、（徐州市2014届高三第三次模拟）已知圆柱的底面半径为1，母线长与底面的直径相等，则该圆柱的表面积为 ▲ 10、（南京、盐城市2014届高三第二次模拟（淮安三模））表面积为12π的圆柱，当其体积最大时，该圆柱的底面半径与高的比为 ▲二、解答题 1、（2014年江苏高考）如图，在三棱锥P 错误！未找到引用源。

2020-2021学年高考总复习数学(理科)一轮复习模拟试题及答案解析一

最新高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）1．已知集合M={x|（x+2）（x﹣2）≤0}，N={x|x﹣1＜0}，则M∩N=（）A．{x|﹣2≤x＜1} B．{x|﹣2≤x≤1} C．{x|﹣2＜x≤1} D．{x|x＜﹣2} 2．设i是虚数单位，则复数（1﹣i）（1+2i）=（）A．3+3i B．﹣1+3i C．3+i D．﹣1+i3．已知函数f（x）为奇函数，且当x＜0时，f（x）=2x2﹣1，则f（1）的值为（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣24．已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，顶角为120°，则E的离心率为（）A．B．2 C．D．5．如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数．从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为（）A．B．C．D．6．在北京召开的国际数学家大会会标如图所示，它是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一大正方形，若直角三角形中较小的锐角为θ，大正方形的面积是1，小正方形的面积是，则sin2θ﹣cos2θ的值等于（）A．1 B．﹣C．D．﹣7．已知向量=（cosα，﹣2），=（sinα，1），且∥，则tan（α﹣）等于（）A．3 B．﹣3 C．D．8．下面命题中假命题是（）A．∀x∈R，3x＞0B．∃α，β∈R，使sin（α+β）=sinα+sinβC．∃m∈R，使是幂函数，且在（0，+∞）上单调递增D．命题“∃x∈R，x2+1＞3x”的否定是“∀x∈R，x2+1＞3x”9．执行如图所示的程序框图，则输出的S=（）A．1023 B．512 C．511 D．25510．已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若=3，则|QF|=（）A．B．C．3 D．611．一个三棱锥的三视图是三个直角三角形，如图所示，则该三棱锥的外接球的表面积为（）A．29πB．30πC．D．216π12．若函数f（x）=x3+ax2+bx+c有极值点x1，x2，且f（x1）=x1＜x2，则关于x的方程3（f（x））2+2af（x）+b=0的不同实根个数是（）A．3 B．4 C．5 D．6二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）13．（a+x）（1+x）4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a= ．14．已知p：﹣2≤x≤11，q：1﹣3m≤x≤3+m（m＞0），若¬p是¬q的必要不充分条件，则实数m的取值范围为．15．如图，菱形ABCD的边长为1，∠ABC=60°，E、F分别为AD、CD的中点，则= ．16．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若2ccosB=2a+b，△ABC的面积为S=c，则ab的最小值为．三、解答题（共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．设{a n}是公比大于1的等比数列，S n为数列{a n}的前n项和．已知S3=7且a1+3，3a2，a3+4构成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）令b n=lna n，n=1，2，…，求数列{b n}的前n项和T n．18．某批发市场对某种商品的日销售量（单位：吨）进行统计，最近50天的结果如下：日销售量 1 1.5 2频数10 25 15频率0.2 a b（1）求表中a，b的值（2）若以上表频率作为概率，且每天的销售量相互独立，①求5天中该种商品恰有2天销售量为1.5吨的概率；②已知每吨该商品的销售利润为2千元，X表示该种商品两天销售利润的和（单位：千元），求X的分布列和期望．19．如图，在三棱锥D﹣ABC中，DA=DB=DC，D在底面ABC上的射影为E，AB⊥BC，DF⊥AB于F（Ⅰ）求证：平面ABD⊥平面DEF（Ⅱ）若AD⊥DC，AC=4，∠BAC=60°，求直线BE与平面DAB所成的角的正弦值．20．已知椭圆的左右焦点分别为F1，F2，离心率为，点M在椭圆上，且满足MF2⊥x轴，．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若直线y=kx+2交椭圆于A，B两点，求△ABO（O为坐标原点）面积的最大值．21．已知a∈R，函数f（x）=xln（﹣x）+（a﹣1）x．（Ⅰ）若f（x）在x=﹣e处取得极值，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）求函数f（x）在区间[﹣e2，﹣e﹣1]上的最大值g（a）．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22．已知四边形ABCD内接于⊙O，AD：BC=1：2，BA、CD的延长线交于点E，且EF 切⊙O于F．（Ⅰ）求证：EB=2ED；（Ⅱ）若AB=2，CD=5，求EF的长．23．在平面直角坐标系xoy中，以O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=4cosθ，直线l的参数方程为：（t为参数），两曲线相交于M，N两点．（Ⅰ）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（Ⅱ）若P（﹣2，﹣4），求|PM|+|PN|的值．24．设函数f（x）=|x﹣4|+|x﹣a|（a＞1），且f（x）的最小值为3．（1）求a的值；（2）若f（x）≤5，求满足条件的x的集合．参考答案与试题解析一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）1．已知集合M={x|（x+2）（x﹣2）≤0}，N={x|x﹣1＜0}，则M∩N=（）A．{x|﹣2≤x＜1} B．{x|﹣2≤x≤1} C．{x|﹣2＜x≤1} D．{x|x＜﹣2} 【考点】交集及其运算．【分析】求出M与N中不等式的解集确定出M与N，找出两集合的交集即可．【解答】解：由M中不等式解得：﹣2≤x≤2，即M={x|﹣2≤x≤2}，由N中不等式变形得：x＜1，即N={x|x＜1}，则M∩N={x|﹣2≤x＜1}，故选：A．2．设i是虚数单位，则复数（1﹣i）（1+2i）=（）A．3+3i B．﹣1+3i C．3+i D．﹣1+i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数的多项式乘法展开求解即可．【解答】解：复数（1﹣i）（1+2i）=1+2﹣i+2i=3+i．故选：C．3．已知函数f（x）为奇函数，且当x＜0时，f（x）=2x2﹣1，则f（1）的值为（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2【考点】函数奇偶性的性质．【分析】直接利用函数的奇偶性以及函数的解析式求解即可．【解答】解：函数f（x）为奇函数，且当x＜0时，f（x）=2x2﹣1，则f（1）=﹣f（﹣1）=﹣（2×12﹣1）=﹣1．故选：B．4．已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，顶角为120°，则E的离心率为（）A．B．2 C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】设M在双曲线﹣=1的左支上，由题意可得M的坐标为（﹣2a，a），代入双曲线方程可得a=b，再由离心率公式即可得到所求值．【解答】解：设M在双曲线﹣=1的左支上，且MA=AB=2a，∠MAB=120°，则M的坐标为（﹣2a，a），代入双曲线方程可得，﹣=1，可得a=b，c==a，即有e==．故选：D．5．如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数．从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为（）A．B．C．D．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】一一列举出所有的基本事件，再找到勾股数，根据概率公式计算即可．【解答】解：从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，有（1，2，3），（1，2，4），（1，2，5），（1，3，4），（1，3，5），（1，4，5）（2，3，4），（2，3，5），（2，4，5），（3，4，5）共10种，其中只有（3，4，5）为勾股数，故这3个数构成一组勾股数的概率为．故选：C6．在北京召开的国际数学家大会会标如图所示，它是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一大正方形，若直角三角形中较小的锐角为θ，大正方形的面积是1，小正方形的面积是，则sin2θ﹣cos2θ的值等于（）A．1 B．﹣C．D．﹣【考点】三角形中的几何计算．【分析】求出每个直角三角形的长直角边，短直角边的长，推出小正方形的边长，先利用小正方形的面积求得（cosθ﹣sinθ）2的值，判断出cosθ＞sinθ求得cosθ﹣sinθ的值，然后求得2cosθsinθ利用配方法求得（cosθ+sinθ）2的进而求得cosθ+sinθ，利用平方差公式把sin2θ﹣cos2θ展开后，把cosθ+sinθ和cosθ﹣sinθ的值代入即可求得答案．【解答】解：依题意可知拼图中的每个直角三角形的长直角边为cosθ，短直角边为sinθ，小正方形的边长为cosθ﹣sinθ，∵小正方形的面积是，∴（cosθ﹣sinθ）2=又θ为直角三角形中较小的锐角，∴cosθ＞sinθ∴cosθ﹣sinθ=又∵（cosθ﹣sinθ）2=1﹣2sinθcosθ=∴2cosθsinθ=∴1+2sinθcosθ=即（cosθ+sinθ）2=∴cosθ+sinθ=∴sin2θ﹣cos2θ=（cosθ+sinθ）（sinθ﹣cosθ）=﹣=﹣故选：B．7．已知向量=（cosα，﹣2），=（sinα，1），且∥，则tan（α﹣）等于（）A．3 B．﹣3 C．D．【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示；两角和与差的正切函数．【分析】根据两个向量共线的充要条件，得到关于三角函数的等式，等式两边同时除以cos α，得到角的正切值，把要求的结论用两角差的正切公式展开，代入正切值，得到结果．【解答】解：∵，∴cosα+2sinα=0，∴tanα=，∴tan（）==﹣3，故选B8．下面命题中假命题是（）A．∀x∈R，3x＞0B．∃α，β∈R，使sin（α+β）=sinα+sinβC．∃m∈R，使是幂函数，且在（0，+∞）上单调递增D．命题“∃x∈R，x2+1＞3x”的否定是“∀x∈R，x2+1＞3x”【考点】命题的否定；命题的真假判断与应用．【分析】根据含有量词的命题的真假判断方法和命题的否定分别进行判断．【解答】解：A．根据指数函数的性质可知，∀x∈R，3x＞0，∴A正确．B．当α=β=0时，满足sin（α+β）=sinα+sinβ=0，∴B正确．C．当m=1时，幂函数为f（x）=x3，且在（0，+∞）上单调递增，∴C正确．D．命题“∃x∈R，x2+1＞3x”的否定是“∀x∈R，x2+1≤3x”，∴D错误．故选：D．9．执行如图所示的程序框图，则输出的S=（）A．1023 B．512 C．511 D．255【考点】程序框图．【分析】根据题意，模拟程序框图的运行过程，即可得出该程序运行后输出的S值．【解答】解：模拟程序框图的运行过程，得出该程序运行后输出的是：S=2°+21+22+23+…+28==29﹣1=511．故选：C．10．已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若=3，则|QF|=（）A．B．C．3 D．6【考点】抛物线的简单性质．【分析】考查抛物线的图象，利用抛物线的定义以及=3，求解即可．【解答】解：如下图所示，抛物线C'：B的焦点为（3，0），准线为A，准线与C'轴的交点为AB，P过点f（x）=|x+1|+|x﹣1|作准线的垂线，垂足为f（x）＜4，由抛物线的定义知M 又因为M，所以，a，b∈M所以，2|a+b|＜|4+ab|，所以，．故选：B．11．一个三棱锥的三视图是三个直角三角形，如图所示，则该三棱锥的外接球的表面积为（）A．29πB．30πC．D．216π【考点】球内接多面体；球的体积和表面积．【分析】几何体复原为底面是直角三角形，一条侧棱垂直底面直角顶点的三棱锥，扩展为长方体，长方体的对角线的长，就是外接球的直径，然后求其的表面积．【解答】解：由三视图复原几何体，几何体是底面是直角三角形，一条侧棱垂直底面直角顶点的三棱锥；把它扩展为长方体，两者有相同的外接球，它的对角线的长为球的直径：，球的半径为：．该三棱锥的外接球的表面积为：，故选A．12．若函数f（x）=x3+ax2+bx+c有极值点x1，x2，且f（x1）=x1＜x2，则关于x的方程3（f（x））2+2af（x）+b=0的不同实根个数是（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】函数在某点取得极值的条件；根的存在性及根的个数判断．【分析】求导数f′（x），由题意知x1，x2是方程3x2+2ax+b=0的两根，从而关于f（x）的方程3（f（x））2+2af（x）+b=0有两个根，作出草图，由图象可得答案．【解答】解：f′（x）=3x2+2ax+b，x1，x2是方程3x2+2ax+b=0的两根，由3（f（x））2+2af（x）+b=0，则有两个f（x）使等式成立，x1=f（x1），x2＞x1=f（x1），如下示意图象：如图有三个交点，故选A．二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）13．（a+x）（1+x）4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a= 3 ．【考点】二项式定理的应用．【分析】给展开式中的x分别赋值1，﹣1，可得两个等式，两式相减，再除以2得到答案．【解答】解：设f（x）=（a+x）（1+x）4=a0+a1x+a2x2+…+a5x5，令x=1，则a0+a1+a2+…+a5=f（1）=16（a+1），①令x=﹣1，则a0﹣a1+a2﹣…﹣a5=f（﹣1）=0．②①﹣②得，2（a1+a3+a5）=16（a+1），所以2×32=16（a+1），所以a=3．故答案为：3．14．已知p：﹣2≤x≤11，q：1﹣3m≤x≤3+m（m＞0），若¬p是¬q的必要不充分条件，则实数m的取值范围为[8，+∞）．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】将条件¬p是¬q的必要不充分条件，转化为q是p的必要不充分条件，进行求解．【解答】解：因为¬p是¬q的必要不充分条件，所以q是p的必要不充分条件，即p⇒q，但q推不出p，即，即，所以m≥8．故答案为：[8，+∞）15．如图，菱形ABCD的边长为1，∠ABC=60°，E、F分别为AD、CD的中点，则= ．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】把要求的式子化为（）•（），再利用两个向量的数量积的定义可得要求的式子等于1×1cos60°+++1×1cos60°，运算求得结果．【解答】解：=（）•（）=+++=1×1cos60°+++1×1cos60°=+=，故答案为．16．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若2ccosB=2a+b，△ABC的面积为S=c，则ab的最小值为．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】由条件里用正弦定理、两角和的正弦公式求得cosC=﹣，C=．根据△ABC 的面积为S=ab•sinC=ab=c，求得c=3ab．再由余弦定理化简可得9a2b2=a2+b2+ab≥3ab，由此求得ab的最小值．【解答】解：在△ABC中，由条件用正弦定理可得2sinCcosB=2sinA+sinB=2sin（B+C）+sinB，即2sinCcosB=2sinBcosC+2sinCcosB+sinB，∴2sinBcosC+sinB=0，∴cosC=﹣，C=．由于△ABC的面积为S=ab•sinC=ab=c，∴c=3ab．再由余弦定理可得c2=a2+b2﹣2ab•cosC，整理可得9a2b2=a2+b2+ab≥3ab，当且仅当a=b时，取等号，∴ab≥，故答案为：．三、解答题（共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．设{a n}是公比大于1的等比数列，S n为数列{a n}的前n项和．已知S3=7且a1+3，3a2，a3+4构成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）令b n=lna n，n=1，2，…，求数列{b n}的前n项和T n．【考点】数列的求和．【分析】（I）设{a n}是公比q大于1的等比数列，由于a1+3，3a2，a3+4构成等差数列，可得6a2=a3+4+a1+3，即6a1q=+7+a1，又S3=a1（1+q+q2）=7，联立解出即可得出．（II）b n=lna n=（n﹣1）ln2，再利用等差数列的前n项和公式即可得出数列{b n}的前n项和．【解答】解：（I）设{a n}是公比q大于1的等比数列，∵a1+3，3a2，a3+4构成等差数列，∴6a2=a3+4+a1+3，化为6a1q=+7+a1，又S3=a1（1+q+q2）=7，联立解得a1=1，q=2．∴a n=2n﹣1．（II）b n=lna n=（n﹣1）ln2，∴数列{b n}的前n项和T n=ln2．18．某批发市场对某种商品的日销售量（单位：吨）进行统计，最近50天的结果如下：日销售量 1 1.5 2频数10 25 15频率0.2 a b（1）求表中a，b的值（2）若以上表频率作为概率，且每天的销售量相互独立，①求5天中该种商品恰有2天销售量为1.5吨的概率；②已知每吨该商品的销售利润为2千元，X表示该种商品两天销售利润的和（单位：千元），求X的分布列和期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；相互独立事件的概率乘法公式．【分析】（1）利用频率等于频数除以样本容量，求出样本容量，再求出表中的a，b．（2）①利用二项分布的概率公式求出5天中该种商品恰好有2天的销售量为1.5吨的概率．②写出X可取得值，利用相互独立事件的概率公式求出X取每一个值的概率．列出分布列，求得期望．【解答】解：（1）∵=50∴a==0.5，b==0.3（2）①依题意，随机选取一天，销售量为1.5吨的概率p=0.5设5天中该种商品有X天的销售量为1.5吨，则X～B（5，0.5）P（X=2）=C52×0.52×（1﹣0.5）3=0.3125②X的可能取值为4，5，6，7，8，则p（X=4）=0.22=0.04p（X=5）═2×0.2×0.5=0.2p（X=6）═0.52+2×0.2×0.3=0.37p（X=7）═2×0.3×0.5=0.3p（X=8）=0.32=0.09所有X的分布列为：X 4 5 6 7 8P 0.0 4 0.20.370.30.09EX=4×0.04+5×0.2+6×0.37+7×0.3+8×0.09=6.2．19．如图，在三棱锥D﹣ABC中，DA=DB=DC，D在底面ABC上的射影为E，AB⊥BC，DF⊥AB于F（Ⅰ）求证：平面ABD⊥平面DEF（Ⅱ）若AD⊥DC，AC=4，∠BAC=60°，求直线BE与平面DAB所成的角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角；平面与平面垂直的判定．【分析】（I）由DE⊥平面得出DE⊥AB，又DF⊥AB，故而AB⊥平面DEF，从而得出平面ABD⊥平面DEF；（II）以E为坐标原点建立空间直角坐标系，求出和平面DAB的法向量，则|cos＜＞|即为所求．【解答】证明：（Ⅰ）∵DE⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，∴AB⊥DE，又AB⊥DF，DE，DF⊂平面DEF，DE∩DF=D，∴AB⊥平面DEF，又∵AB⊂平面ABD，∴平面ABD⊥平面DEF．（Ⅱ）∵DA=DC，DE⊥AC，AC=4，AD⊥CD，∴E为AC的中点，DE==2．∵AB⊥BC，AC=4，∠BAC=60°，∴AB=．以E为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则E（0，0，0），A（0，﹣2，0），D（0，0，2），B（，﹣1，0）．∴=（0，﹣2，﹣2），=（，﹣1，﹣2），=（，﹣1，0）．设平面DAB的法向量为=（x，y，z）．则，∴，令z=1，得=（，﹣1，1）．∴=2，||=，||=2，∴cos＜＞==．∴BE与平面DAB所成的角的正弦值为．20．已知椭圆的左右焦点分别为F1，F2，离心率为，点M在椭圆上，且满足MF2⊥x轴，．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若直线y=kx+2交椭圆于A，B两点，求△ABO（O为坐标原点）面积的最大值．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（I）运用离心率公式和a，b，c的关系，以及两点的距离公式，解方程可得椭圆方程；（II）设A（x1，y1），B（x2，y2），将y=kx+2代入椭圆，可得x的方程，运用韦达定理和判别式大于0，求得三角形的面积，化简整理，运用基本不等式即可得到所求最大值．【解答】解：（I）由已知得，又由a2=b2+c2，可得a2=3c2，b2=2c2，得椭圆方程为，因为点M在第一象限且MF2⊥x轴，可得M的坐标为，由，解得c=1，所以椭圆方程为；（II）设A（x1，y1），B（x2，y2），将y=kx+2代入椭圆，可得（3k2+2）x2+12kx+6=0，由△＞0，即144k2﹣24（3k2+2）＞0，可得3k2﹣2＞0，则有所以，因为直线y=kx+2与轴交点的坐标为（0，2），所以△OAB的面积，令3k2﹣2=t，由①知t∈（0，+∞），可得，所以t=4时，面积最大为．21．已知a∈R，函数f（x）=xln（﹣x）+（a﹣1）x．（Ⅰ）若f（x）在x=﹣e处取得极值，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）求函数f（x）在区间[﹣e2，﹣e﹣1]上的最大值g（a）．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件．【分析】（I）先对函数y=f（x）进行求导，然后令导函数大于0（或小于0）求出x的范围，根据f′（x）＞0求得的区间是单调增区间，f′（x）＜0求得的区间是单调减区间，即可得到答案．（II）先研究f（x）在区间[﹣e2，﹣e﹣1]上的单调性，再利用导数求解f（x）在区间[﹣e2，﹣e﹣1]上的最大值问题即可，故只要先求出函数的极值，比较极值和端点处的函数值的大小，最后确定出最大值即得．【解答】解：（Ⅰ）f'（x）=ln（﹣x）+a，由题意知x=﹣e时，f'（x）=0，即：f'（﹣e）=1+a=0，∴a=﹣1∴f（x）=xln（﹣x）﹣2x，f'（x）=ln（﹣x）﹣1令f'（x）=ln（﹣x）﹣1=0，可得x=﹣e令f'（x）=ln（﹣x）﹣1＞0，可得x＜﹣e令f'（x）=ln（﹣x）﹣1＜0，可得﹣e＜x＜0∴f（x）在（﹣∞，﹣e）上是增函数，在（﹣e，0）上是减函数，（Ⅱ）f'（x）=ln（﹣x）+a，∵x∈[﹣e2，﹣e﹣1]，∴﹣x∈[e﹣1，e2]，∴ln（﹣x）∈[﹣1，2]，①若a≥1，则f'（x）=ln（﹣x）+a≥0恒成立，此时f（x）在[﹣e2，﹣e﹣1]上是增函数，f max（x）=f（﹣e﹣1）=（2﹣a）e﹣1②若a≤﹣2，则f'（x）=ln（﹣x）+a≤0恒成立，此时f（x）在[﹣e2，﹣e﹣1]上是减函数，f max（x）=f（﹣e2）=﹣（a+1）e2③若﹣2＜a＜1，则令f'（x）=ln（﹣x）+a=0可得x=﹣e﹣a∵f'（x）=ln（﹣x）+a是减函数，∴当x＜﹣e﹣a时f'（x）＞0，当x＞﹣e﹣a时f'（x）＜0∴f（x）在（﹣∞，﹣e）[﹣e2，﹣e﹣1]上左增右减，∴f max（x）=f（﹣e﹣a）=e﹣a，综上：请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22．已知四边形ABCD内接于⊙O，AD：BC=1：2，BA、CD的延长线交于点E，且EF 切⊙O于F．（Ⅰ）求证：EB=2ED；（Ⅱ）若AB=2，CD=5，求EF的长．【考点】相似三角形的性质；相似三角形的判定．【分析】（Ⅰ）根据圆内接四边形的性质，可得∠EAD=∠C，进而可得△AED∽△CEB，结合相似三角形的性质及已知可得结论；（Ⅱ）根据切割线定理可得EF2=ED•EC=EA•EB，设DE=x，由AB=2，CD=5构造方程，解得DE，进而可得EF长．【解答】证明：（Ⅰ）∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠EAD=∠C，又∵∠DEA=∠BEC，∴△AED∽△CEB，∴ED：EB=AD：BC=1：2，即EB=2ED；解：（Ⅱ）∵EF切⊙O于F．∴EF2=ED•EC=EA•EB，设DE=x，则由AB=2，CD=5得：x（x+5）=2x（2x﹣2），解得：x=3，∴EF2=24，即EF=223．在平面直角坐标系xoy中，以O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=4cosθ，直线l的参数方程为：（t为参数），两曲线相交于M，N两点．（Ⅰ）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（Ⅱ）若P（﹣2，﹣4），求|PM|+|PN|的值．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）根据x=ρcosθ、y=ρsinθ，写出曲线C的直角坐标方程；用代入法消去参数求得直线l的普通方程．（Ⅱ）把直线l的参数方程代入y2=4x，得到，设M，N对应的参数分别为t1，t2，利用韦达定理以及|PM|+|PN|=|t1+t2|，计算求得结果．【解答】解：（Ⅰ）根据x=ρcosθ、y=ρsinθ，求得曲线C的直角坐标方程为y2=4x，用代入法消去参数求得直线l的普通方程x﹣y﹣2=0．（Ⅱ）直线l的参数方程为：（t为参数），代入y2=4x，得到，设M，N对应的参数分别为t1，t2，则t1+t2=12，t1•t2=48，∴|PM|+|PN|=|t1+t2|=．24．设函数f（x）=|x﹣4|+|x﹣a|（a＞1），且f（x）的最小值为3．（1）求a的值；（2）若f（x）≤5，求满足条件的x的集合．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（1）由条件利用绝对值的意义可得|a﹣4|=3，再结合a＞1，可得a的值．（2）把f（x）≤5等价转化为的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．【解答】解：（1）函数f（x）=|x﹣4|+|x﹣a|表示数轴上的x对应点到4、a对应点的距离之和，它的最小值为|a﹣4|=3，再结合a＞1，可得a=7．（2）f（x）=|x﹣4|+|x﹣7|=，故由f（x）≤5可得，①，或②，或③．解①求得3≤x＜4，解②求得4≤x≤7，解③求得7＜x≤8，所以不等式的解集为[3，8]．2016年6月20日。

2021年高考数学一轮总复习必考解答题模板成形练理苏教版

2021年高考数学一轮总复习必考解答题模板成形练理苏教版(建议用时：60分钟)1．在△ABC 中，cos A ＝63，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边． (1)求sin 2A ；(2)若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋B ＝－223，c ＝22，求△ABC 的面积．解 (1)因为cos A ＝63，A ∈(0，π)，∴sin A ＝33. ∴sin 2A ＝2sin A cos A ＝223. (2)由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋B ＝－223，得cos B ＝223，由于B ∈(0，π)，∴sin B ＝13.则sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝63.由正弦定理，得a ＝c sin Asin C ＝2，∴△ABC 的面积为S ＝12ac sin B ＝223.2．设a ，b ，c 分别为△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos C 2，sin C 2，n ＝⎝⎛⎭⎪⎫cos C 2，－sin C 2，m 与n 的夹角为π3.(1)求角C 的大小；(2)已知c ＝72，△ABC 的面积S ＝332，求a ＋b 的值．解 (1)由条件得m ·n ＝cos 2C 2－sin 2C2＝cos C ，又m ·n ＝|m ||n |cos π3＝12，∴cos C ＝12，0＜C ＜π，因此C ＝π3.(2)S △ABC ＝12ab sin C ＝34ab ＝332，∴ab ＝6.由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝a 2＋b 2－ab ＝(a ＋b )2－3ab ，得出(a ＋b )2＝1214，∴a ＋b ＝112. 3．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且cos 2C ＝1－8b 2a 2.(1)求1tan A ＋1tan C的值； (2)若tan B ＝815，求tan A 及tan C 的值．解 (1)∵cos 2C ＝1－8b 2a 2，∴sin 2C ＝4b 2a2.∵C 为三角形内角，∴sin C ＞0，∴sin C ＝2ba.∵asin A ＝b sin B ，∴b a ＝sin B sin A∴2sin B ＝sin A sin C .∵A ＋B ＋C ＝π，∴sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C . ∴2sin A cos C ＋2cos A sin C ＝sin A sin C . ∵sin A ·sin C ≠0，∴1tan A ＋1tan C ＝12.(2)∵1tan A ＋1tan C ＝12，∴tan A ＝2tan Ctan C －2.∵A ＋B ＋C ＝π， ∴tan B ＝－tan(A ＋C ) ＝－tan A ＋tan C 1－tan A tan C＝tan 2C2tan 2C －tan C ＋2. ∴815＝tan 2C 2tan 2C －tan C ＋2整理得tan 2C －8tan C ＋16＝0 解得，tan C ＝4，tan A ＝4.4．已知向量m ＝(3sin x －cos x,1)，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x ，12，若f (x )＝m ·n . (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)已知△ABC 的三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 且c ＝3，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫C 2＋π12＝32(C 为锐角)，2sin A ＝sin B ，求C ，a ，b 的值．解 (1)f (x )＝m ·n ＝3sin x cos x －cos 2x ＋12＝32sin 2x －1＋cos 2x 2＋12＝32sin 2x －12cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6，∴f (x )的最小正周期为π.(2)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫C 2＋π12＝sin C ＝32，∵0＜C ＜π2，∴C ＝π3，∵2sin A ＝sin B ，由正弦定理得b ＝2a .① ∵c ＝3，由余弦定理，得9＝a 2＋b 2－2ab cos π3，②解①②组成的方程组，得⎩⎨⎧a ＝3，b ＝2 3.∴C ＝π3，a ＝3，b ＝2 3.必考解答题——模板成形练(二) (对应学生用书P411)立体几何(建议用时：60分钟)1．如图，在四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1中，已知平面AA 1C 1C ⊥平面ABCD ，且AB ＝BC ＝CA ＝3，AD ＝CD ＝1.(1)求证：BD ⊥AA 1；(2)若E 为棱BC 的中点，求证：AE ∥平面DCC 1D 1.证明 (1)在四边形ABCD 中，因为BA ＝BC ，DA ＝DC ，所以BD ⊥AC ，又平面AA 1C 1C ⊥平面ABCD ，且平面AA 1C 1C ∩平面ABCD ＝AC ，BD ⊂平面ABCD ，所以BD ⊥平面AA 1C 1C ，又因为AA 1⊂平面AA 1C 1C ，所以BD ⊥AA 1.(2)在三角形ABC 中，因为AB ＝AC ，且E 为BC 中点，所以AE ⊥BC ，又因为在四边形ABCD 中，AB ＝BC ＝CA ＝3，DA ＝DC ＝1，所以∠ACB ＝60°，∠ACD ＝30°，所以DC ⊥BC ，所以AE ∥DC ，因为DC ⊂平面DCC 1D 1，AE ⊄平面DCC 1D 1，所以AE ∥平面DCC 1D 1 2.如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为矩形，BC ⊥平面PAB ，∠APB ＝90°，PB ＝BC ，N 为PC 的中点．(1)若M 为AB 的中点，求证：MN ∥平面ADP ； (2)求证：平面BDN ⊥平面ACP .证明 (1)设AC ∩BD ＝G ，连接NG ，MG ，易知G 是AC ，BD 的中点，又N 是PC 的中点，M 为AB 的中点， ∴NG ∥PA ，MG ∥AD ，∴平面GMN ∥平面APD .又MN ⊂平面GMN ，∴MN ∥平面APD . (2)∵BC ⊥平面PAB ，AP ⊂平面PAB ，∴BC ⊥PA ， ∵∠APB ＝90°，∴BP ⊥PA .∵BC ∩BP ＝B ，∴PA ⊥平面PBC ，∴BN ⊥PA . ∵PB ＝BC ，点N 为PC 的中点，∴BN ⊥PC . ∵PC ∩PA ＝P ，∴BN ⊥平面ACP .又BN ⊂平面BDN ，∴平面BDN ⊥平面ACP . 3.如图，已知PA ⊥矩形ABCD 所在平面，E ，F 分别是AB ，PC 的中点． (1)求证：EF ∥平面PAD ； (2)求证：EF ⊥CD ；证明 (1)取PD 的中点G ，连接AG ，FG .因为FG 为△PCD 的中位线，所以FG ∥CD ，且FG ＝12CD ，又AE ∥CD ，且AE ＝12CD ，所以AE ∥FG ，且AE ＝FG ，故四边形AEFG为平行四边形，所以EF∥AG.又AG⊂平面PAD，EF⊄平面PAD，所以EF∥平面PAD.(2)因为PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，所以PA⊥CD.在矩形ABCD中，AD⊥CD，又PA∩AD＝A，所以CD⊥平面PAD.因为AG⊂平面PAD，所以CD⊥AG.又EF∥AG，所以EF⊥CD.4.如图，在平行四边形ABCD中，AB＝2BC＝4，∠ABC＝120°，E，M分别为AB，DE的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A′DE，连接A′C，A′B，F为A′C的中点，A′C＝4.(1)求证：平面A′DE⊥平面BCD；(2)求证：FB∥平面A′DE.证明(1)由题意得△A′DE是△ADE沿DE翻折而成，∴△A′DE≌△ADE.∵∠ABC＝120°，四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝60°.又∵AD＝AE＝2，∴△A′DE和△ADE都是等边三角形．连接A′M，MC.∵M是DE的中点，∴A′M⊥DE，A′M＝ 3.在△DMC中，MC2＝DC2＋DM2－2DC·DM·cos 60°＝42＋12－2×4×1·cos 60°，∴MC＝13. 在△A′MC中，A′M2＋MC2＝(3)2＋(13)2＝42＝A′C2.∴△A′MC是直角三角形，∴A′M⊥MC.又∵A′M⊥DE，MC∩DE＝M，∴A′M⊥平面BCD.又∵A′M⊂平面A′DE，∴平面A′DE⊥平面BCD.(2)取DC的中点N，连接FN，NB.∵A′C＝DC＝4，F，N分别是A′C，DC的中点，∴FN∥A′D.又∵N，E分别是平行四边形ABCD的边DC，AB的中点，∴BN∥DE.又∵A′D∩DE＝D，FN∩NB＝N，∴平面A′DE∥平面FNB.∵FB⊂平面FNB，∴FB∥平面A′DE.必考解答题——模板成形练(三) (对应学生用书P413)直线与圆及圆锥曲线(建议用时：60分钟)1．已知圆C 的方程为x 2＋(y －4)2＝4，点O 是坐标原点．直线l ：y ＝kx 与圆C 交于M 、N 两点．(1)求k 的取值范围：(2)设Q (m ，n )是线段MN 上的点，且2|OQ |2＝1|OM |2＋1|ON |2.请将n 表示为m 的函数．解 (1)将y ＝kx 代入x 2＋(y －4)2＝4，得(1＋k 2)x 2－8kx ＋12＝0(*)，由Δ＝(－8k )2－4(1＋k 2)×12＞0得k 2＞3.所以k 的取值范围是(－∞，－3)∪(3，＋∞)．(2)因为M 、N 在直线l 上，可设点M 、N 的坐标分别为(x 1，kx 1)，(x 2，kx 2)，则|OM |2＝(1＋k 2)x 21，|ON |2＝(1＋k 2)x 22，又|OQ |2＝m 2＋n 2＝(1＋k 2)m 2，由2|OQ |2＝1|OM |2＋1|ON |2得，21＋k2m2＝11＋k2x 21＋11＋k2x 22，所以2m 2＝1x 21＋1x 22＝x 1＋x 22－2x 1x 2x 21x 22由(*)知x 1＋x 2＝8k 1＋k 2，x 1x 2＝121＋k 2，所以m 2＝365k 2－3，因为点Q 在直线l 上，所以k ＝n m ，代入m 2＝365k 2－3可得5n 2－3m 2＝36，由m 2＝365k 2－3及k 2＞3得0＜m 2＜3，即m ∈(－3，0)∪(0，3)．依题意，点Q 在圆C 内，则n ＞0，所以n ＝36＋3m 25＝15m 2＋1805，综上，n 与m 的函数关系为n ＝15m 2＋1805(m ∈(－3，0)∪(0，3)．2．已知圆C ：(x ＋3)2＋y 2＝16，点A (3，0)，Q 是圆上一动点，AQ 的垂直平分线交CQ 于点M ，设点M 的轨迹为E . (1)求轨迹E 的方程；(2)过点P (1,0)的直线l 交轨迹E 于两个不同的点A ，B ，△AOB (O 是坐标原点)的面积S ＝45，求直线AB 的方程．解 (1)由题意|MC |＋|MA |＝|MC |＋|MQ |＝|CQ |＝4＞23，所以轨迹E 是以A ，C 为焦点，长轴长为4的椭圆，即轨迹E 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)记A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意，直线AB 的斜率不可能为0，而直线x ＝1也不满足条件，故可设AB 的方程为x ＝my ＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝4，x ＝my ＋1，消x 得(4＋m 2)y 2＋2my －3＝0，所以y 1＝－m ＋23＋m 24＋m 2，y 2＝－m －23＋m 24＋m 2. S ＝12|OP ||y 1－y 2|＝2m 2＋3m 2＋4. 由S ＝45，解得m 2＝1，即m ＝±1.故直线AB 的方程为x ＝±y ＋1，即x ＋y －1＝0或x －y －1＝0为所求．3．已知过点A (－4,0)的动直线l 与抛物线G ：x 2＝2py (p ＞0)相交于B ，C 两点．当直线l 的斜率是12时，AC →＝4AB →.(1)求抛物线G 的方程；(2)设线段BC 的中垂线在y 轴上的截距为b ，求b 的取值范围．解 (1)设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，当直线l 的斜率是12时，l 的方程为y ＝12(x ＋4)，即x ＝2y－4，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2py ，x ＝2y －4得2y 2－(8＋p )y ＋8＝0，∴y 1＝8＋p ＋p 2＋16p 4，y 2＝8＋p －p 2＋6p 4由已知AC →＝4AB →，∴y 2＝4y 1， ∴可得p 2＋16p －36＝0∵p ＞0可得y 1＝1，y 2＝4，p ＝2， ∴抛物线G 的方程为x 2＝4y .(2)由题意知直线l 的斜率存在，且不为0，设l ：y ＝k (x ＋4)，BC 中点坐标为(x 0，y 0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y ，y ＝k x ＋4得x 2－4kx －16k ＝0，由Δ＞0得k ＜－4或k ＞0，x ＝2k ±2k 2＋4k .∴x B ＋x C ＝2k ∴x 0＝x B ＋x C2＝2k ，y 0＝k (x 0＋4)＝2k 2＋4k .BC 中垂线方程为y －2k 2－4k ＝－1k(x －2k )，∴b ＝2(k ＋1)2，∴b ＞2.4．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为22.以原点为圆心，椭圆的短轴长为直径的圆与直线x －y ＋2＝0相切． (1)求椭圆C 的方程；(2)如图，若斜率为k (k ≠0)的直线l 与x 轴、椭圆C 顺次相交于A ，M ，N (A 点在椭圆右顶点的右侧)，且∠NF 2F 1＝∠MF 2A .求证直线l 过定点(2,0)，并求出斜率k 的取值范围．解 (1)由题意知e ＝c a ＝22，∴e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝12，即a 2＝2b 2.又∵b ＝21＋1＝1，∴a 2＝2，b 2＝1，∴椭圆方程为x 22＋y 2＝1.(2)由题意，设直线l 的方程为y ＝kx ＋m (k ≠0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2＋2y 2＝2得(2k 2＋1)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0.由Δ＝16k 2m 2－4(2k 2＋1)(2m 2－2)＞0，得m 2＜2k 2＋1， ∵x 1＝－2km ＋4k 2－2m 2＋12k 2＋1，x 2－2km －4k 2－2m 2＋22k 2＋1 则有x 1＋x 2＝－4km 2k 2＋1，x 1x 2＝2m 2－22k 2＋1.∵∠NF 2F 1＝∠MF 2A ，且∠MF 2A ≠90°，kMF 2＋kNF 2＝0. 又F 2(1,0)，则y 1x 1－1＋y 2x 2－1＝0，即kx 1＋m x 1－1＋kx 2＋mx 2－1＝0，化简得2kx 1x 2＋(m －k )(x 1＋x 2)－2m ＝0.将x 1＋x 2＝－4km 2k 2＋1，x 1x 2＝2m 2－22k 2＋1代入上式得m ＝－2k ，∴直线l 的方程为y ＝kx －2k ，即直线过定点(2,0)．将m ＝－2k 代入m 2＜2k 2＋1，得4k 2＜2k 2＋1，即k 2＜12，又∵k ≠0，∴直线l 的斜率k 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0∪⎝⎛⎭⎪⎫0，22.必考解答题——模板成形练(四) (对应学生用书P415)实际应用题(建议用时：60分钟)1．在边长为a 的正三角形铁皮的三个角切去三个全等的四边形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的正三角形底铁皮箱，当箱底边长为多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？解 (1)设箱底边长为x ，则箱高为h ＝33×a －x2(0＜x ＜a )，箱子的容积为V (x )＝12x 2×sin 60°×h ＝18ax 2－18x 3(0＜x ＜a )．由V ′(x )＝14ax －38x 2＝0解得x 1＝0(舍)，x 2＝23a ，且当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23a 时，V ′(x )＞0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ，a 时，V ′(x )＜0，所以函数V (x )在x ＝23a 处取得极大值．这个极大值就是函数V (x )的最大值：V ⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ＝18a ×⎝ ⎛⎭⎪⎫23a 2－18×⎝ ⎛⎭⎪⎫23a 3＝154a 3.所以当箱子底边长为23a 时，箱子容积最大，最大值为154a 3.2．如图，某小区有一边长为2(单位：百米)的正方形地块OABC ，其中OAE 是一个游泳地，计划在地块OABC 内修一条与池边AE 相切的直路l (宽度不计)，切点为M ，并把该地块分为两部分，现以点O 为坐标原点，以线段OC 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系，若池边AE 满足函数y ＝－x 2＋2(0≤x ≤2)的图象，且点M 到边OA 距离为t ⎝ ⎛⎭⎪⎫23≤t ≤43.(1)当t ＝23时，求直路l 所在的直线方程；(2)当t 为何值时，地块OABC 在直路l 不含泳池那侧的面积取到最大，最大值是多少？解 (1)M ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，149，l ：12x ＋9y －22＝0 (2)M (t ，－t 2＋2)，过切点M 的切线l ：y －(－t 2＋2)＝－2t (x －t )即y ＝－2tx ＋t 2＋2，令y ＝2得x ＝t 2，故切线l 与AB 交于点⎝ ⎛⎭⎪⎫t2，2；令y ＝0，得x ＝t 2＋1t ，又x ＝t 2＋1t 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，43递减，所以x ＝t 2＋1t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1712，116故切线l 与OC 交于点⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2＋1t ，0.∴地块OABC 在切线l 右上部分区域为直角梯形，面积S ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫2－t 2－1t ＋2－t 2·2＝4－t －1t ＝4－⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t ≤2，t ＝1时取到等号，S max ＝2. 3．济南市“两会”召开前，某政协委员针对自己提出的“环保提案”对某处的环境状况进行了实地调研．据测定，该处的污染指数与附近污染源的强度成正比，与到污染源的距离成反比，比例常数为k (k ＞0)．现已知相距36 km 的A ，B 两家化工厂(污染源)的污染强度分别为正数a ，b ，它们连线上任意一点C 处的污染指数y 等于两化工厂对该处的污染指数之和．设AC ＝x (km)． (1)试将y 表示为x 的函数；(2)若a ＝1时，y 在x ＝6处取得最小值，试求b 的值．解 (1)设点C 受A 污染源污染指数为ka x ，点C 受B 污染源污染指数为kb36－x ，其中k 为比例系数，且k ＞0.从而点C 处污染指数y ＝ka x ＋kb36－x (0＜x ＜36)．(2)因为a ＝1，所以，y ＝k x ＋kb36－x，y ′＝k ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1x2＋b 36－x 2，令y ′＝0，得x ＝361＋b，当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，361＋b 时，函数单调递减；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫361＋b ，＋∞时，函数单调递增；∴当x ＝361＋b 时，函数取得最小值．又此时x ＝6，解得b ＝25，经验证符合题意．所以，污染源B 的污染强度b 的值为25.4．某个公园有个池塘，其形状为直角△ABC ，∠C ＝90°，AB ＝200米，BC ＝100米． (1)现在准备养一批供游客观赏的鱼，分别在AB 、BC 、CA 上取点D ，E ，F ，如图(1)，使得EF ∥AB ，EF ⊥ED ，在△DEF 喂食，求△DEF 面积S △DEF 的最大值；(2)现在准备新建造一个荷塘，分别在AB ，BC ，CA 上取点D ，E ，F ，如图(2)，建造△DEF 连廊(不考虑宽度)供游客休憩，且使△DEF 为正三角形，求△DEF 边长的最小值．解 (1)Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝200米，BC ＝100米．∴cos B ＝BC AB ＝12，可得B ＝60°∵EF ∥AB ，∴∠CEF ＝∠B ＝60°设CE CB＝λ(0＜λ＜1)，则CE ＝λCB ＝100λ米， Rt △CEF 中，EF ＝2CE ＝200λ米，C 到FE 的距离d ＝32CE ＝503λ米， ∵C 到AB 的距离为32BC ＝503米， ∴点D 到EF 的距离为h ＝503－503λ＝503(1－λ)米可得S △DEF ＝12EF ·h ＝5 0003λ(1－λ)米2∵λ(1－λ)≤14[λ＋(1－λ)]2＝14，当且仅当λ＝12时等号成立，∴当λ＝12时，即E 为AB 中点时，S △DEF 的最大值为1 2503米2(2)设正△DEF 的边长为a ，∠CEF ＝α，则CF ＝a ·sin α，AF ＝3－a ·sin α. 设∠EDB ＝∠1，可得∠1＝180°－∠B －∠DEB ＝120°－∠DEB ，α＝180°－60°－∠DEB ＝120°－∠DEB ∴∠ADF ＝180°－60°－∠1＝120°－α在△ADF 中，a sin 30°＝3－a sin αsin ∠ADF即a12＝3－a sin αsin 120°－α，化简得a [2sin(120°－α)＋sin α]＝ 3 ∴a ＝32sin α－3cos α＝37sin α－φ≥37＝217(其中φ是满足tan φ＝32的锐角)．∴△DEF 边长最小值为217米．必考解答题——模板成形练(五) (对应学生用书P417)数列(建议用时：60分钟)1．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且2S n ＝1－a n . (1)求数列{a n }的通项公式；(2)记b n ＝log 13a n ，数列{b n }的前n 项和为T n ，求证∑k ＝1n1T k＜2.解 (1)当n ＝1时，2S 1＝1－a 1,2a 1＝1－a 1，∴a 1＝13；当n ≥2时，⎩⎪⎨⎪⎧2S n ＝1－a n ，2S n －1＝1－a n －1，两式相减得2a n ＝a n －1－a n (n ≥2)，即3a n ＝a n －1(n ≥2)，又a n －1≠0，∴a n a n －1＝13(n ≥2)，∴数列{a n }是以13为首项，13为公比的等比数列．∴a n ＝13·⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13n.(2)由(1)知b n ＝log 13⎝ ⎛⎭⎪⎫13n＝n ，∴T n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n 2＋n2， ∑k ＝1n1T k ＝21×2＋22×3＋…＋2n n ＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝2⎝⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＜2. 2．数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝2，且S n ＝S n －1＋2n (n ≥2，n ∈N *)． (1)求S n ；(2)是否存在等比数列{b n }满足b 1＝a 1，b 2＝a 3，b 3＝a 9？若存在，求出数列{b n }的通项公式；若不存在，说明理由．解 (1)因为S n ＝S n －1＋2n ，所以有S n －S n －1＝2n 对n ≥2，n ∈N *成立，即a n ＝2n 对n ≥2成立，又a 1＝2·1. 所以a n ＝2n 对n ∈N *成立．所以a n ＋1－a n ＝2对n ∈N *成立，所以{a n }是等差数列，所以有S n ＝a 1＋a n2·n ＝n 2＋n ，n ∈N *.(2)存在．由(1)，得a n ＝2n ，n ∈N *成立，所以有a 3＝6，a 9＝18，又a 1＝2，所以由b 1＝a 1，b 2＝a 3，b 3＝a 9，则b 2b 1＝b 3b 2＝3.所以存在以b 1＝2为首项，公比为3的等比数列{b n }，其通项公式为b n ＝2·3n －1.3．已知数列{a n }是首项a 1＝1的等差数列，其前n 项和为S n ，数列{b n }是首项b 1＝2的等比数列，且b 2S 2＝16，b 1b 3＝b 4. (1)求a n 和b n ；(2)令c 1＝1，c 2k ＝a 2k －1，c 2k ＋1＝a 2k ＋kb k (k ＝1,2,3，…)，求数列{c n }的前2n ＋1项和T 2n ＋1.解 (1)设数列{a n }的公差为d ，数列{b n }的公比为q ，则a n ＝1＋(n －1)d ，b n ＝2qn －1.由b 1b 3＝b 4，得q ＝b 4b 3＝b 1＝2，由b 2S 2＝2q (2＋d )＝16，解得d ＝2. ∴a n ＝2n －1，b n ＝2n.(2)∵T 2n ＋1＝c 1＋a 1＋(a 2＋b 1)＋a 3＋(a 4＋2·b 2)＋…＋a 2n －1＋(a 2n ＋nb n )＝1＋S 2n ＋(b 1＋2b 2＋…＋nb n )．令A ＝b 1＋2b 2＋…＋nb n ，则A ＝2＋2·22＋…＋n ·2n， ∴2A ＝22＋2·23＋…＋(n －1)2n ＋n ·2n ＋1，∴－A ＝2＋22＋…＋2n －n ·2n ＋1，∴A ＝n ·2n ＋1－2n ＋1＋2.又S 2n ＝2n1＋a 2n 2＝4n 2，∴T 2n ＋1＝1＋4n 2＋n ·2n ＋1－2n ＋1＋2＝3＋4n 2＋(n －1)2n ＋1.4．已知数列{a n }满足：a n ≠±1，a 1＝12，3(1－a 2n ＋1)＝2(1－a 2n )，b n ＝1－a 2n ，c n ＝a 2n ＋1－a 2n (n∈N *)．(1)证明数列{b n }是等比数列，并求数列{b n }、{c n }的通项公式．(2)是否存在数列{c n }的不同项c i ，c j ，c k (i ＜j ＜k )使之成为等差数列？若存在，请求出这样的不同项c i ，c j ，c k (i ＜j ＜k )；若不存在，请说明理由．(3)是否存在最小的自然数M ，对一切n ∈N *都有(n －2)c n ＜M 恒成立？若存在，求出M 的值，若不存在，说明理由．(1)证明因为a n ≠±1，a 1＝12，3(1－a 2n ＋1)＝2(1－a 2n )，b n ＝1－a 2n ，所以b n ＋1b n ＝1－a 2n ＋11－a 2n ＝23(n ∈N *)，b 1＝1－a 21＝34，所以{b n }是以34为首项，23为公比的等比数列，所以b n ＝34×⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1(n ∈N *)，所以a 2n ＝1－b n ＝1－34×⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1(n ∈N *)所以c n ＝a 2n ＋1－a 2n ＝14×⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1(n ∈N *)(2)解假设存在c j ，c j ，c k (i ＜j ＜k )满足题意，则有2c j ＝c i ＋c k 代入得 2×14×⎝ ⎛⎭⎪⎫23j －1＝14×⎝ ⎛⎭⎪⎫23i －1＋14×⎝ ⎛⎭⎪⎫23k －1化简得2j －i ＋1＝3j －1＋2k ＋j －i ，即2j －i ＋1－2k ＋j －i＝3j －1，左边为偶数，右边为奇数不可能相等．所以假设不成立，这样的三项不存在． (3)∵(n －2)c n －(n －1)c n ＋1＝14×⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1×n －43，∴(1－2)c 1＜(2－2)c 2＜(3－2)c 3＜(4－2)c 4，(4－2)c 4＝(5－2)c 5，(5－2)c 5＞(6－2)c 6＞(7－2)c 7＞……即在数列{(n －2)c n }中，第4项和第5项是最大项，当n ＝4时(n －2)c n ＝2×14×⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝427，所以存在最小自然数M ＝1符合题意．必考解答题——模板成形练(六) (对应学生用书P419)函数与导数(建议用时：60分钟)1．已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2＋b (a ，b ∈R )． (1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)若对任意a ∈[3,4]，函数f (x )在R 上都有三个零点，求实数b 的取值范围．解 (1)因为f (x )＝－x 3＋ax 2＋b ，所以f ′(x )＝－3x 2＋2ax ＝－3x ⎝⎛⎭⎪⎫x －2a 3.当a ＝0时，f ′(x )≤0，函数f (x )没有单调递增区间；当a ＞0时，令f ′(x )＞0，得0＜x ＜2a3.故f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23a ；当a ＜0时，令f ′(x )＞0，得2a3＜x ＜0.故f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ，0. 综上所述，当a ＝0时，函数f (x )没有单调递增区间；当a ＞0时，函数f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23a ；当a ＜0时，函数f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ，0. (2)由(1)知，a ∈[3,4]时，f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23a ，单调递减区间为(－∞，0)和⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ，＋∞，所以函数f (x )在x ＝0处取得极小值f (0)＝b ，函数f (x )在x ＝2a 3处取得极大值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 3＝4a 327＋b ，由于对任意a ∈[3,4]，函数f (x )在R 上都有三个零点，所以⎩⎪⎨⎪⎧f 0＜0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 3＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧b ＜0，4a327＋b ＞0，解得－4a327＜b ＜0，因为对任意a ∈[3,4]，b ＞－4a327恒成立，所以b ＞⎝ ⎛⎭⎪⎫－4a 327max ＝－4×3327＝－4，所以实数b 的取值范围是(－4,0)． 2．已知函数f (x )＝ax＋ln x －1，a ∈R .(1)若曲线y ＝f (x )在点P (1，y 0)处的切线平行于直线y ＝－x ＋1，求函数y ＝f (x )的单调区间；(2)若a ＞0，且对x ∈(0,2e]时，f (x )＞0恒成立，求实数a 的取值范围．解 (1)直线y ＝－x ＋1的斜率k ＝－1，函数y ＝f (x )的导数为f ′(x )＝－a x2＋1x，f ′(1)＝－a ＋1＝－1，即a ＝2.∴f (x )＝2x ＋ln x －1，f ′(x )＝－2x 2＋1x ＝x －2x2.∵f (x )的定义域为(0，＋∞)．由f ′(x )＞0，得x ＞2；由f ′(x )＜0，得0＜x ＜2.∴函数f (x )的单调增区间是(2，＋∞)，单调减区间是(0,2)． (2)∵a ＞0，f (x )＞0对x ∈(0,2e]恒成立，即a x＋ln x －1＞0对x ∈(0,2e]恒成立．即a ＞x (1－ln x )对x ∈(0,2e]恒成立，设g (x )＝x (1－ln x )＝x －x ln x ，x ∈(0,2e]．g ′(x )＝1－ln x －1＝－ln x ，当0＜x ＜1时，g ′(x )＞0，g (x )为增函数，当1＜x ≤2e 时，g ′(x )＜0，g (x )为减函数，所以当x＝1时，函数g(x)在x∈(0,2e]上取到最大值．∴g(x)≤g(1)＝1－ln 1＝1，∴a的取值范围是(1，＋∞)．3．已知函数f(x)＝13x3＋bx2＋cx－3，y＝f′(x)为f(x)的导函数，满足f′(2－x)＝f′(x)；f′(x)＝0有解，但解却不是函数f(x)的极值点．(1)求f(x)；(2)设g(x)＝x f′x，m＞0，求函数g(x)在[0，m]上的最大值；(3)设h(x)＝ln f′(x)，若对于一切x∈[0,1]，不等式h(x＋1－t)＜h(2x＋2)恒成立，求实数t的取值范围．解(1)f′(x)＝x2＋2bx＋c，∵f′(2－x)＝f′(x)，∴函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，b＝－1.由题意，f′(x)＝x2－2x＋c＝0中Δ＝4－4c＝0，故c＝1.所以f(x)＝13x3－x2＋x－3.(2)∵f′(x)＝x2－2bx＋1＝(x－1)2，∴g(x)＝x|x－1|＝⎩⎪⎨⎪⎧x2－x，x≥1，x－x2，x＜1.当0＜m≤12时，g(x)max＝g(m)＝m－m2当12＜m≤1＋22时，g(x)max＝g⎝⎛⎭⎪⎫12＝14，当m＞1＋22时，g(x)max＝g(m)＝m2－m，综上g(x)max＝⎩⎪⎨⎪⎧m－m20＜m≤121412＜m≤1＋22m2－m m＞1＋22(3)h (x )＝2ln|x －1|，h (x ＋1－t )＝2ln|x －t |，h (2x ＋2)＝2ln|2x ＋1|当x ∈[0,1]时，|2x ＋1|＝2x ＋1，所以不等式等价于0＜|x －t |＜2x ＋1恒成立，解得－x －1＜t ＜3x ＋1，且x ≠t ，由x ∈[0,1]，得－x －1∈[－2，－1]，3x ＋1∈[1,4]，所以－1＜t ＜1，又x ≠t ，∴t ∈[0,1]，∴所求的实数t 的取值范围是(－1,0)． 4．已知函数f (x )＝k [(log a x )2＋(log x a )2]－(log a x )3－(log x a )3，g (x )＝(3－k 2)(log a x ＋log x a )，(其中a ＞1)，设t ＝log a x ＋log x a .(1)当x ∈(1，a )∪(a ，＋∞)时，试将f (x )表示成t 的函数h (t )，并探究函数h (t )是否有极值；(2)当∈(1，＋∞)时，若存在x 0∈(1，＋∞)，使f (x 0)＞g (x 0)成立，试求k 的范围．解 (1)∵(log a x )2＋(log x a )2＝(log a x ＋log x a )2－2 ＝t 2－2，(log a x )3＋(log x a )3＝(log a x ＋log x a )[(log a x ＋log x a )2－3]＝t 3－3t ， ∴h (t )＝－t 3＋kt 2＋3t －2k ，(t ＞2)． ∴h ′(t )＝－3t 2＋2kt ＋3设t 1，t 2是h ′(t )＝0的两根，则t 1t 2＜0，∴h ′(t )＝0在定义域内至多有一解，欲使h (t )在定义域内有极值，只需h ′(t )＝－3t 2＋2kt ＋3＝0在(2，＋∞)内有解，且h ′(t )的值在根的左右两侧异号，∴h ′(2)＞0得k ＞94.综上：当k ＞94时h (t )在定义域内有且仅有一个极植，当k ≤94时h (t )在定义域内无极值．(2)∵存在x 0∈(1，＋∞)，使f (x 0)＞g (x 0)成立等价于f (x )－g (x )的最大值大于0. ∵t ＝log a x ＋log x a ，∴m (t )＝－t 3＋kt 2＋k 2t －2k ，(t ≥2)， ∴m ′(t )＝－3t 2＋2kt ＋k 2＝0得t 1＝k ，t 2＝－k3.当k ＞2时，m (t )max ＝m (k )＞0得k ＞2；当0＜k ≤2时，m (t )max ＝m (2)＞0得17－12＜k ≤2；当k ＝0时，m (t )max ＝m (2)＜0不成立．当－6≤k ＜0时，m (t )max ＝m (2)＞0得－6≤k ＜－17－12；当k ＜－6时，m (t )max ＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫－k 3＞0得k ＜－6.综上得：k 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－17－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫17－12，＋∞.必考附加题——模板成形练(一)1．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝2，AA 1＝6，点E ，F 分别在棱BB 1，CC 1上，且BE ＝13BB 1，C 1F ＝13CC 1.(1)求异面直线AE 与A 1F 所成角的大小； (2)求平面AEF 与平面ABC 所成角的余弦值．解 (1)建立如图所示的直角坐标系，则A (0,0,0)，E (2,0,2)，A 1(0,0,6)，F (0,2,4)，从而AE →＝(2,0,2)，A 1F →＝(0,2，－2)．记AE →与A 1F →的夹角为θ，则有cos θ＝AE →·A 1F →|AE →|·|A 1F →|＝－48·8＝－12.又由异面直线AE 与A 1F 所成角的范围为(0，π)，可得异面直线AE 与A 1F 所成的角为60°.(2)记平面AEF 和平面ABC 的法向量分别为n 和m ，则由题设可令n ＝(1，y ，z )，且有平面ABC 的法向量为m ＝AA 1→＝(0,0,6)，AF →＝(0,2,4)，AE →＝(2,0,2)．由n ·AF →＝0，得2y ＋4z ＝0；由n ·AE →＝0，得2＋2z ＝0. 所以z ＝－1，y ＝2，即n ＝(1,2，－1)．记平面AEF 与平面ABC 所成的角为β，有cos β＝n ·m |n |·|m |＝－66·6＝－66. 由图形可知β为锐角，所以cos β＝66. 2．已知数列{b n }满足b 1＝12，1b n＋b n －1＝2(n ≥2，n ∈N *)． (1)求b 2，b 3，猜想数列{b n }的通项公式，并用数学归纳法证明；(2)设x ＝b n n ，y ＝b n ＋1n ，比较x x 与y y 的大小．解 (1)当n ＝2时，1b 2＋12＝2，解得b 2＝23；当n ＝3时，1b 3＋23＝2，解得b 3＝34. 猜想b n ＝nn ＋1.证明：①当n ＝1时，b 1＝12. ②假设当n ＝k (k ∈N *)时，即b k ＝k k ＋1，则当n ＝k ＋1时，1b k ＋1＋b k ＝2，即1b k ＋1＋k k ＋1＝2， ∴1b k ＋1＝2－k k ＋1＝k ＋2k ＋1，b k ＋1＝k ＋1k ＋2也成立．由①②得b n ＝nn ＋1. (2)x ＝b nn ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n n ＋1n ， x x ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫n n ＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫n n ＋1n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n n ＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫n n ＋1n y ＝b n＋1n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n n ＋1n ＋1， y y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫n n ＋1n ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫n n ＋1n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n n ＋1(n ＋1)n n ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫n n ＋1n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n n ＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫n n ＋1n ∴x x ＝y y .3．三棱柱ABC －A 1B 1C 1在如图所示的空间直角坐标系中，已知AB ＝2，AC ＝4，A 1A ＝3.D 是BC 的中点．(1)求直线DB 1与平面A 1C 1D 所成角的正弦值；(2)求二面角B 1－A 1D －C 1的大小的正弦值．解 (1)由题意，A (0,0,0)，B (2,0,0)，C (0,4,0)，D (1,2,0)，A 1(0,0,3)，B 1(2,0,3)，C 1(0,4,3).A 1D →＝(1,2，－3)，A 1C 1→＝(0,4,0)．设平面A 1C 1D 的法向量为n ＝(x ，y ，z )．∵n ·A 1D →＝x ＋2y －3z ＝0，n ·A 1C 1→＝4y ＝0.∴x ＝3z ，y ＝0.令z ＝1，得x ＝3.n ＝(3,0,1)．设直线DB 1与平面A 1C 1D 所成角为θ，∵DB 1→＝(1，－2,3)，∴sin θ＝|cos 〈DB 1→，n 〉|＝|3×1＋0×－2＋1×3|10×14＝33535. (2)设平面A 1B 1D 的法向量为m ＝(a ，b ，c )． A 1B 1→＝(2,0,0)，∵m ·A 1D →＝a ＋2b －3c ＝0，m ·A 1B 1→＝2a ＝0.∴a ＝0,2b ＝3c .令c ＝2，得b ＝3.m ＝(0,3,2)．设二面角B 1－A 1D －C 1的大小为α，∴|cos α|＝|cos 〈m ，n 〉|＝|m ·n ||m |·|n |＝|0×3＋3×0＋2×1|13×10＝265，则sin α＝3765＝345565， ∴二面角B 1－A 1D －C 1的大小的正弦值为345565. 4．已知整数n ≥4，集合M ＝{1,2,3，…，n }的所有3个元素的子集记为A 1，A 2，…，A C (C ∈N *)．(1)当n ＝5时，求集合A 1，A 2，…，A C 中所有元素之和；(2)设m i为A i中的最小元素，设P n＝m1＋m2＋…＋m C，试求P n(用n表示)．解(1)当n＝5时，含元素1的子集中，必有除1以外的两个数字，两个数字的选法有C24＝6个，所以含有数字1的集合有6个．同时含2,3,4,5的子集也各有6个．于是所求元素之和为(1＋2＋3＋4＋5)×C24＝15×6＝90.(2)证明不难得到1≤m i≤n－2，m i∈Z，并且以1为最小元素的子集有C2n－1个，以2为最小元素的子集有C2n－2个，以3为最小元素的子集有C2n－3个，…，以n－2为最小元素的子集有C22个，则P n＝m1＋m2＋…＋m C3n＝1×C2n－1＋2C2n－2＋3C2n－3＋…＋(n－2)C22＝(n－2)C22＋(n－3)C23＋(n－4)C2n＋…＋C2n－1＝C22＋(n－3)(C22＋C23)＋(n－4)C24＋…＋C2n－1＝C22＋(n－3)(C33＋C23)＋(n－4)C24＋…＋C2n－1＝C22＋(n－3)C34＋(n－4)C24＋…＋C2n－1＝C22＋C34＋(n－4)(C34＋C24)＋…＋C2n－1＝C22＋C34＋(n－4)C35＋…＋C2n－1＝C44＋C34＋C35＋…＋C3n＝C4n＋1.必考附加题——模板成形练(二) (对应学生用书P423)1．如图，圆锥的高PO ＝4，底面半径OB ＝2，D 为PO 的中点，E 为母线PB 的中点，F 为底面圆周上一点，满足EF ⊥DE .(1)求异面直线EF 与BD 所成角的余弦值；(2)求二面角O －DF －E 的余弦值．解 (1)以O 为原点，底面上过O 点且垂直于OB 的直线为x 轴，OB 所在的直线为y 轴，OP 所在的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，则B (0,2,0)，P (0,0,4)，D (0,0,2)，E (0，1,2)．设F (x 0，y 0,0)(x 0>0，y 0>0)，且x 20＋y 20＝4，则EF →＝(x 0，y 0－1，－2)，DE →＝(0,1,0)，∵EF ⊥DE ，即EF →⊥DE →，则EF →·DE →＝y 0－1＝0，故y 0＝1.∴F (3，1,0)，EF →＝(3，0，－2)，BD →＝(0，－2,2)．设异面直线EF 与BD 所成角为α，则cos α＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪EF →·BD →|EF →||BD →|＝47×22＝147. (2)设平面ODF 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧ n ⊥OD →，n ⊥OF →，即⎩⎨⎧ z 1＝0，3x 1＋y 1＝0.令x 1＝1，得y 1＝－3，平面ODF 的一个法向量为n 1＝(1，－3，0)．设平面DEF 法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)，同理可得平面DEF 的一个法向量为n 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，0，32. 设二面角O －DF －E 的平面角为β，则|cos β|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪n 1·n 2|n 1||n 2|＝17＝77，∴sin β＝42 7.2．已知数列{a n}满足a1＝2，a n＋1＝a n＋1n－(n＋1)．(1)证明：a n>n(n≥3)；(2)证明：2＋33＋44＋…＋nn<2.证明(1)因为a1＝2，a2＝2，所以a3＝a32－3＝5>3. 假设当n＝k时，a k>k(k≥3)，则a k＋1k>k k＋1>k2·k≥9k>2k＋2，那么，当n＝k＋1时，有a k＋1＝a k＋1k－(k＋1)>2k＋2－(k＋1)＝k＋1.这就是说，当n＝k＋1时，结论也成立．所以当n≥3时，a n>n.(2)当n＝2时，2<2显然成立，由(1)知，当n≥3时，a n＝a n n－1－n>0，得a n n－1>n，所以a n－1>nn，所以a n－1n－2－(n－1)>nn，即a n－1n－2>(n－1)＋nn，所以a n－2>n－1n－1＋nn，以此类推，得2＝a1> 2＋33＋44＋…＋nn，问题得证．3．如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为AD，DC的中点．(1)求直线BC1与平面EFD1所成角的正弦值；(2)设直线BC1上一点P满足平面PAC∥平面EFD1，求PB的长．解(1)建立以D点为原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DD1所在直线为z轴的空间直角坐标系．D1(0,0,2)，A(2,0,0)，B(2,2,0)，E(1,0,0)，C1(0,2,2)，F(0,1,0)，BC 1→＝(－2,0,2)，D 1E →＝(1,0，－2)，EF →＝(－1,1,0)．设平面D 1EF 的法向量为n ＝(x 1，y 1，z 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧ n ·D 1E →＝0，n ·EF →＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧ x 1－2z 1＝0，－x 1＋y 1＝0，令x 1＝2，则n ＝(2,2,1)，cos 〈n ，BC 1→〉＝－222×3＝－26， ∴直线BC 1与平面EFD 1所成角的正弦值为26. (2)BP →＝λBC 1→＝(－2λ，0,2λ)，AP →＝AB →＋BP →＝(－2λ，2,2λ)， n ·AP →＝－4λ＋4＋2λ＝0，∴λ＝2.∵AP 不在平面EFD 1内，AP ∥平面EFD 1，又AC ∥EF ，EF ⊆平面EFD 1，∴AC ∥平面EFD 1.又AP 与AC 相交于点A ，∴平面PAC ∥平面EFD 1，BP →＝(－4,0,4)，|BP →|＝4 2.4．已知数集A ＝{a 1，a 2，…，a n }，其中0≤a 1<a 2<…<a n ，且n ≥3，若∀i ，j (1≤i ≤j ≤n )，a j ＋a i 与a j －a i 两数中至少有一个属于A ，则称数集A 具有性质P .(1)分别判断数集{0,1,3}与数集{0,2,4,6}是否具有性质P ，说明理由；(2)已知数集A ＝{a 1，a 2，…，a n }具有性质P ，判断数列a 1，a 2，…，a 8是否为等差数列，若是等差数列，请证明；若不是，请说明理由．解 (1)由于3－1和3＋1都不属于集合{0,1,3}，所以该数集不具有性质P ；由于2＋0,4＋0,6＋0,4＋2,6－2,6－4,0－0,2－2,4－4,6－6都属于集合{0,2,4,6}，所以该数集具有性质P .(2)∵A ＝{a 1，a 2，…，a 8}具有性质P ，所以a 8＋a 8与a 8－a 8中至少有一个属于A ，由0≤a 1<a 2<…<a 8，有a 8＋a 8>a 8，故a 8＋a 8∉A ，∴0＝a 8－a 8∈A ，故a 1＝0.∵0＝a1<a2<…<a8，∴k≥2时，a8＋a k>a8，故a8＋a k∉A(k＝2,3，…，8)．由A具有性质P知，a8－a k∈A(k＝2,3，…，8)，又∵a8－a8<a8－a7<…<a8－a2<a8－a1，∴a8－a8＝a1，a8－a7＝a2，…，a8－a2＝a7，a8－a1＝a8，即a i＋a9－i＝a8(i＝1,2，…，8)．①由a2＋a7＝a8知，a3＋a7，a4＋a7，…，a7＋a7均不属于A，由A具有性质P，a7－a3，a7－a4，…，a7－a7均属于A，∴a7－a7<a7－a6<…<a7－a4<a7－a3<a8－a3，而a8－a3＝a6，∴a7－a7＝a1，a7－a6＝a2，a7－a5＝a3，…，a7－a3＝a5，即a i＋a8－i＝a7(i＝1,2，…，7)．②由①②可知a i＝a8－a9－i＝a8－(a7－a i－1)(i＝2,3，…，8)，即a i－a i－1＝a8－a7＝a2(i＝2,3，…，8)．故a1，a2，…，a8构成等差数列．20843 516B 八AEf25139 6233 戳28795 707B 灻 30943 78DF 磟W34153 8569 蕩33176 8198 膘23075 5A23 娣 39511 9A57 驗24246 5EB6 庶。

新教材高考数学一轮复习课时规范练42椭圆及几何性质含解析新人教A版

课时规范练42 椭圆及几何性质基础巩固组1.已知焦点坐标为(0，-4)，(0，4)，且过点(0，-6)的椭圆方程为()A.x236+y220=1 B.x220+y236=1C.x236+y216=1 D.x216+y236=12.(2020广东深圳外国语学校高三考试)已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√53，椭圆上一点P到两焦点的距离之和为12，则椭圆的短轴长为()A.8B.6C.5D.43.(2020湖南长沙一中高三段考)已知P是椭圆上一点，F是椭圆的一个焦点，则以线段PF为直径的圆和以椭圆长轴为直径的圆的位置关系是()A.相离B.内切C.内含D.相交4.已知F1，F2为椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个焦点，B为椭圆短轴的一个端点，BF1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BF2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ≥14F1F2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2，则椭圆的离心率的取值范围为()A.0，12B.0，√22C.0，√33D.(12,1)5.(多选)如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P点第三次变轨进入以F为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，下列式子中正确的是()A.a1+c1=a2+c2B.a1-c1=a2-c2C.c1a2>a1c2D.c1a1<c2a26.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F(1，0)，点F关于直线y=bx的对称点Q在椭圆C上，则离心率e=，S△FOQ=.7.(2019全国3，理15)设F1，F2为椭圆C:x236+y220=1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限.若△MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为.综合提升组8.(2019全国1，理10)已知椭圆C的焦点为F1(-1，0)，F2(1，0)，过F2的直线与C交于A，B两点.若|AF2|=2|F2B|，|AB|=|BF1|，则C的方程为()A.x22+y2=1 B.x23+y22=1C.x24+y23=1 D.x25+y24=19.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是椭圆上一点，△PF1F2是以F2P为底边的等腰三角形，且60°<∠PF1F2<120°，则该椭圆的离心率的取值范围是()A.(√3-12,1) B.(√3-12,12)C.(12,1) D.(0,12)10.(2020福建福州模拟)已知F1，F2为椭圆x24+y2=1的左、右焦点，P为椭圆上异于顶点的任意一点，K为△F1PF2内切圆的圆心，过点F1作F1M⊥PK于点M，O为坐标原点，则|OM|的取值范围为.创新应用组11.(2020江西八校联考)已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)，F1，F2为其左、右焦点，B1，B2为其上、下顶点，四边形F1B1F2B2的面积为2，P为椭圆E上任意一点，以P为圆心的圆(记为圆P)总经过坐标原点O.(1)求椭圆E的长轴A1A2的长的最小值，并确定此时椭圆E的方程.(2)对于(1)中确定的椭圆E，若给定圆F1:(x+1)2+y2=3，则圆P和圆F1的公共弦MN的长是否为定值?若是，求|MN|的值;若不是，请说明理由.参考答案课时规范练42 椭圆及几何性质1.B 由题意，椭圆焦点坐标为(0，-4)，(0，4)，可得椭圆的焦点在y 轴，且c=4，又由过点(0，-6)，则a=6，所以b 2=a 2-c 2=62-42=20，所以椭圆的标准方程为x 220+y 236=1.故选B . 2.A 椭圆x 2a2+y 2b 2=1(a>b>0)的离心率e=ca=√53，椭圆上一点P 到两焦点距离之和为12，即2a=12，则a=6，c=2√5，所以b=√a 2-c 2=√36-20=4，则椭圆短轴长为2b=8.故选A . 3.B 不妨设椭圆的方程为x 2a2+y 2b 2=1(a>b>0)，F ，F'分别是椭圆的左右焦点，作出以线段PF 为直径的圆和以长轴为直径的圆x 2+y 2=a 2，如图所示.设PF 中点为M ，连接PF'，∴OM 是△PFF'的中位线，∴|OM|=12|PF'|，即两圆的圆心距为12|PF'|，根据椭圆定义，可得|PF|+|PF'|=2a ，∴圆心距|OM|=12|PF'|=12(2a-|PF|)=a-12|PF|，即两圆的圆心距等于它们半径之差，∴以PF 为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆的位置关系是内切.故选B . 4.C 由椭圆定义可知|BF 1|=|BF 2|=a ，|OF 1|=|OF 2|=c ，则sin ∠OBF 1=ca =e ，所以cos ∠F 1BF 2=1-2sin 2∠OBF 1=1-2e 2，因为BF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ≥14F 1F 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2，即(1-2e 2)a 2≥c 2，(1-2e 2)≥e 2，即e 2≤13.所以0<e ≤√33.故选C .5.BC 由题图可知a 1>a 2，c 1>c 2，∴a 1+c 1>a 2+c 2，∴A 不正确;∵a 1-c 1=|PF|，a 2-c 2=|PF|， ∴a 1-c 1=a 2-c 2，B 正确;由a 1+c 2=a 2+c 1，可得(a 1+c 2)2=(a 2+c 1)2，a 12−c 12+2a 1c 2=a 22−c 22+2a 2c 1，即b 12+2a 1c 2=b 22+2a 2c 1，∵b 1>b 2，∴a 2c 1>a 1c 2，C 正确; 可得c 1a 1>c 2a 2，D 不正确.故选BC .6.√22 12 设点Q (x ，y )，则由点Q 与椭圆的右焦点F (1，0)关于直线y=bx 对称得{yx -1=-1b ,y 2=b ·x+12,解得{x =1-b 21+b 2,y =2b 1+b 2,代入椭圆C 的方程得(1-b 2)2a 2(1+b 2)2+4b 2b 2(1+b 2)2=1，结合a 2=b 2+1解得{a =√2,b =1,则椭圆的离心率e=ca =√22，S △FOQ =12|OF|·|2b 1+b 2|=12×1×21+12=12.7.(3，√15) ∵a 2=36，b 2=20，∴c 2=a 2-b 2=16，∴c=4. 由题意得，|MF 1|=|F 1F 2|=2c=8. ∵|MF 1|+|MF 2|=2a=12， ∴|MF 2|=4.设点M 的坐标为(x 0，y 0)(x 0>0，y 0>0)，则S △MF 1F 2=12×|F 1F 2|×y 0=4y 0.又S △MF 1F 2=12×4×√82-22=4√15，∴4y 0=4√15，解得y 0=√15.又点M 在椭圆C 上， ∴x 0236+(√15)220=1，解得x 0=3或x 0=-3(舍去). ∴点M 的坐标为(3，√15). 8.B 如图，由已知可设|F 2B|=n ，|BF 1|=m.由|AB|=|BF 1|，则|AF 2|=m-n ，|AB|=m.又|AF 1|+|AF 2|=|BF 1|+|BF 2|，故|AF 1|=2n. 由椭圆的定义及|AF 2|=2|F 2B|，得{m -n =2n ,m +n =2a ,解得{m =3a2,n =a 2.∴|AF 1|=a ，|AF 2|=a.∴点A 为(0，-b ).∴k AF 2=b1=b.过点B 作x 轴的垂线，垂足为点P. 由题意可知△OAF 2∽△PBF 2. 又|AF 2|=2|F 2B|，∴|OF 2|=2|F 2P|. ∴|F 2P|=12. 又k AF 2=|BP ||F 2P |=|BP |12=b ，∴|BP|=12b.∴点B (32,12b).把点B 坐标代入椭圆方程x 2a 2+y 2b 2=1中，得a 2=3.又c=1，故b 2=2. 所以椭圆方程为x 23+y 22=1.9.B 由题意可得，|PF 2|2=|F 1F 2|2+|PF 1|2-2|F 1F 2|·|PF 1|cos ∠PF 1F 2=4c 2+4c 2-2·2c·2c·cos ∠PF 1F 2，即|PF 2|=2√2c ·√1F 2所以a=|PF 1|+|PF 2|2=c+√2c ·√1-cos∠PF 1F 2，又60°<∠PF 1F 2<120°，所以-12<cos ∠PF 1F 2<12，所以2c<a<(√3+1)c ，则√3+1<ca <12，即√3-12<e<12. 10.(0，√3) 如图，延长PF 2，F 1M 相交于点N ，∵K 是△F 1PF 2内切圆的圆心， ∴PK 平分∠F 1PF 2， ∵F 1M ⊥PK ，∴|PN|=|PF 1|，M 为F 1N 中点， ∵O 为F 1F 2中点，M 为F 1N 中点，∴|OM|=12|F 2N|=12||PN|-|PF 2||=12||PF 1|-|PF 2||<12|F 1F 2|=c=√3，∴|OM|的取值范围为(0，√3). 11.解(1)依题意四边形F 1B 1F 2B 2的面积为2bc ，所以2bc=2.因为|A 1A 2|=2a=2√b 2+c 2≥2√2bc =2√2，当且仅当b=c=1时，等号成立，此时a=√2，所以长轴A 1A 2的长的最小值为2√2，此时椭圆E 的方程为x 22+y 2=1.(2)是定值.设点P (x 0，y 0)，则x 022+y 02=1，所以y 02=1-x 022. 圆P 的方程为(x-x 0)2+(y-y 0)2=x 02+y 02，即x 2+y 2-2x 0x-2y 0y=0，① 圆F 1的方程为(x+1)2+y 2=3，即x 2+y 2+2x-2=0， ②①-②得公共弦MN 所在直线的方程为(x 0+1)x+y 0y-1=0，所以点F 1到公共弦MN 所在直线的距离d=0√(x 0+1)+y 0=0√(x 0+1)+1-12x 0=0√12x 0+2x 0+2=√2，则|MN|=2√3-d 2=2，所以圆P 和圆F 1的公共弦MN 的长为定值2.。

2024年高考数学一轮复习一隅三反系列(新高考)集合(精讲)含答案

1.1集\ÿ精讲Ā2024年高考数学一轮复习一隅三反系列（新高考）集合（精讲）一Ă集\P元素(1)集\中元素的三个特性：确定性、à异性、无序性Ă(2)元素P集\的关系是属于或O属于Ā用符号∈或∉表示Ă(3)集\的表示法：列举法、描述法、Ā示法Ă(4)常É数集的记法二Ă集\间的基本关系(1)概念或ÿ2Ā子集个数对于有限集\A,其元素个数为n,则集\A的子集个数为2n,真子集个数为2n-1,非空真子集个数为2n-2.ÿ3Ā易错点d A¦B包含两层含O:AÜB或A=Beö是任何集\的子集,是任何非空集\的真子集三Ă集\的基本运算1.解决集\含O问题的关键有三点： d 是确定构r集\的元素 e 是确定元素的限制条件f 是根据元素的特征(满足的条件)构造关系式解决相应问题Ă 2. à异性考查利用集\元素的限制条件求参数的值或确定集\中元素的个数时,注意检验集\中的元素是否满足à异性. 3.集\运算的两种常用方法(1)当集\是用列举法表示的数集时Ā可以通过列举集\的元素进行运算Ā_可借助Venn Ā运算Ă (2)当集\是用O等式表示时Ā可运用数轴求解Ă对于端点处的取舍Ā可以单独检验Ă 4.已知集\关系求参数(1)空集是任何集\的子集Ā在涉及集\关系问题时Ā必须考虑空集的情况Ā否则易造r漏解Ă(2)已知两个集\间的关系求参数时Ā关键是将条件转W为元素或区间端点间的关系Ā进而转W为参数所满足的关系Ā常用数轴、V enn Ā等来直Ê解决这类问题Ă 5.集\间的运算d 集\中的元素是离散的Ā可用Venn Ā表示Ā注意所求参数是否满足集\中元素的性质中的à异性e 集\中的元素是连续的Ā可用数轴表示Āl时要注意端点的情况Ă考法一元素P集\的关系0例1-11ÿ2023·X京海淀·校考模拟预测Ā设集\{}21,3M m m =−−Ā若3M −þĀ则à数m =ÿ Ā A Ă0 B Ă1− C Ă0或1− D Ă0或10例1-21ÿ2023·X京东城·统考一模Ā已知集\{}220A x x =−üĀ`a A þĀ则a 可以为ÿ ĀA Ăā2B Ăā1C Ă32D0一隅三反11Ăÿ2023·ß南Ā若{}22,a a a þ−Ā则a 的值为ÿ ĀA Ă0B Ă2C Ă0或2D Ă2−2Ăÿ2023·河南·开封高中校考模拟预测Ā已知{}210A xx ax =−+ü∣Ā若2A þĀ`3A ÿĀ则a 的取值围是ÿ Ā A Ă5,2öö+∞÷÷øøB Ă510,23öù÷úøûC Ă510,23öù÷úûøD Ă03,1öù−∞÷úøû3.ÿ2023广东湛江Ā已知集\A ＝{m ÿ2Ā2m 2ÿm }Ā若3∈A Ā则m 的值为________Ă考法二元素的à异性0例2-11ÿ2023·全ÿ·高三_题ÿ`Ā集\{},,A a b c =中的三个元素分别表示某一个三角形的三边长度Ā那N这个三角形一定O是ÿ Ā A Ă等腰三角形 B Ă锐角三角形 C Ă直角三角形 D Ă钝角三角形0例2-21(2023·山东)已知a Āb ∈R Ā若þýüþýüa Āb aĀ1 ＝{a 2Āa ÿb Ā0}Ā则a 2 021ÿb 2 021为( )A Ă1B Ă0C Ăā1D Ă±10一隅三反11.ÿ2022·浙江·高三_题ÿ`Ā已知a R þĀb R þĀ若集\{}2,,1,,0b a a a b a üü=+ýýþþĀ则20192019a b +的值为ÿ ĀA Ă2−B Ă1−C Ă1D Ă22.ÿ2023湖南Ā若以集\A 的四个元素a b c d ,,,为边长构r一个四边形Ā则这个四边形可能是ÿ Ā A Ă矩形 B Ă平行四边形 C Ă梯形 D Ă菱形3.ÿ2023湖XĀ已知集\A ＝þýüþýü2x Āy ā1x Ā1 ĀB ＝{x 2Āx ÿy Ā0}Ā若A ＝B Ā则x ÿy ＝________Ă考法三集\间的关系0例3-11ÿ2023春·四Ýr都Ā集\{}1,2A =Ā若A B ýĀ则集\B 可以是ÿ Ā A Ă{}1 B Ă{}2C Ă{}0,1,2D Ăö0例3-21ÿ1Āÿ2023·全ÿ·高三_题ÿ`Ā集\A ＝{1Ā2Ā3}的非空子集个数为ÿ Ā A Ă5 B Ă6 C Ă7D Ă8ÿ2Āÿ2023·全ÿ·高三_题ÿ`Ā已知集\()()(){}(){}||,11,,0A x y y x x x B x y y ==+−==Ā则集\A B ÷的子集个数为ÿ Ā A Ă3 B Ă4C Ă6D Ă80例3-31ÿ1Āÿ2023·山西朔Þ·怀仁市第一中学校校考二模Ā已集\{}2{30},9A xax B x x =+===∣∣Ā若A B ýĀ则à数a 的取值集\是ÿ ĀA Ă{1}B Ă{1,1}−C Ă{1,0,1}−D Ă{0,1}ÿ2Āÿ2023·广东 ]·统考二模Ā已知集\{}1A x x =≤Ā{}20B x x a =−üĀ若A B ýĀ则à数a 的取值围是ÿ Ā A Ă()2,+∞ B Ă[)2,+∞C Ă(),2−∞D Ă(],2−∞0一隅三反11Ăÿ2023·宁夏银Ý·校联考一模Ā设全集{}1,3,5,7,9U =Ā若集\M 满足{}1,3,5U M =ðĀ则ÿ Ā A Ă7M ý B Ă9M ý C Ă7M þ D Ă9M ÿ2Ăÿ2023·陕西ß鸡·校考模拟预测Ā设A 、B 、C 是三个集\Ā若A B B C ø=÷Ā则下列结论Ok确的是ÿ ĀĂ A ĂA B ý B ĂB C ý C ĂB A ý D ĂA C ý3Ăÿ2023·全ÿ·高三_题ÿ`Ā已知集\(){}22,|4A x y x y =+=Ā(){}|,0B x y x y =+=Ā则A ∩B 的子集个数ÿ Ā A Ă1 B Ă2C Ă3D Ă44Ăÿ2023春·湖南岳·Ā已知集\{}20,1,2,1,A B x üü==ýýþþĀ`B A ýĀ则à数x =ÿ ĀA Ă1B Ă2C Ă1或2D Ă05Ăÿ2023春·河X保定·高三校考阶段ÿ`Ā已知集\{|11}A x x =≥Ā{}20B x x m =−þĀ若A B ýĀ则à数m 的取值围是ÿ ĀĂ A Ă(],4∞−B Ă(),4−∞C Ă(),22−∞D Ă(],22−∞考法四集\间的运算0例4-11ÿ1Āÿ2023·陕西西安Ā若集\{}29A x x =≤Ā集\{}13B x x =−üĀ则A B ø中整数的个数为ÿ ĀĂA Ă5B Ă6C Ă7D Ă8ÿ2Āÿ2023春·广东韶关·高三南雄中学校考阶段ÿ`Ā设集\{}lg 1M x Z x =þüĀ{}2100x N x Z =þþĀ则M N ÷=ÿ ĀĂA Ă{}5,6,7B Ă{}6,7,8C Ă{}7,8,9D Ă{}8,9,10ÿ3Āÿ2023·海南Ā设集\1{|2},03x A x x B xx −üü=ü=≤ýý−þþĀ则R A B =ðÿ Ā A Ă()1,2 B Ă[]1,2 C Ă[)2,3 D Ă[]2,30例4-21ÿ2023·全ÿ·高三_题ÿ`Ā已知集\{}22(,)4A x y x y =+=Ā(){},4B x y y ==+Ā则A B ÷中元素的个数为ÿ Ā A Ă0 B Ă1 C Ă2 D Ă30例4-31ÿ1Āÿ2023·天津河东·一模Ā已知集\{}21,3,A a =Ā{1,2}B a =+ĀA B A ø=Ā则à数a 的值为ÿ ĀA Ă{2}B Ă{1,2}−C Ă{1,2}D Ă{0,2}0一隅三反11Ăÿ2023·广西南宁·统考二模Ā已知集\{}2,1,2,3A =−Ā{}12B x x =−üüĀ则()R A B ÷=ðÿ Ā A Ă{}1,2 B Ă{}2,3− C Ă{}2,1,2− D Ă{}2,2,3−2Ăÿ2023·广东湛江·统考二模Ā已知集\{}234A x x x =−þĀ{}22x B x =þĀ则()A B =R I ðÿ ĀA Ă[)1,2−B Ă()4,+∞C Ă()1,4D Ă(]1,43Ăÿ2023春·天津和平·高三耀华中学校考阶段ÿ`Ā已知集\(){}2ln 1A x y x ==−Ā{}245B y y x x ==−−Ā则A B =ÿ Ā A Ă()1,1− B Ă()1,+∞C Ă[)9,−+∞D Ă[)()9,11,−−ø+∞4Ăÿ2023·全ÿ·高三_题ÿ`Ā设集\{}2A x x a =üĀ{}B x x a =þĀ若R A B A ÷=ðĀ则à数a 的取值围为ÿ Ā A Ă[]0,1B Ă[)0,1C Ă()0,1D Ă(][),01,−∞+∞5Ăÿ2022秋·河X沧ÞĀ已知集\{}15A x x =≤üĀ{}3B x a x a =−ü≤+Ā若()B A B ýĀ则a 的取值围为ÿ ĀA Ă3|12x x üü−üü−ýýþþB Ă3|2x x üüü−ýýþþC Ă{}|1x x ≤−D Ă3|2x x üüþ−ýýþþ6Ăÿ2022·全ÿ·高三_题ÿ`ÿ理ĀĀ设集\{}11A x x =−≤Ā{}20B x x a =−+üĀ若A B B ø=Ā则a 的取值围为ÿ Ā A Ă(),0−∞ B Ă(],0−∞ C Ă()2,+∞ D Ă[)2,+∞7Ăÿ2023ß南Ā已知集\{}2230A x N x x ú=þ−−üĀ{}20B x ax =+=Ā若A B B =Ā则à数a 的取值集\为ÿ Ā A Ă{}1,2−− B Ă{}1,0−C Ă{}2,0,1-D Ă{}2,1,0−−8Ăÿ2023湖南Ā已知集\(){},30A x y x y =−=Ā(){},10B x y x my =++=.若A B =öĀ则à数m =ÿ Ā A Ă-3B Ă13−C Ă13D Ă3考法五韦恩Ā0例5-11ÿ2023·内蒙ô赤峰·校联考一模Ā如ĀĀ设全集N U =Ā集\{}1,3,5,7,8A =Ā{}1,2,3,5,9B =Ā则Ā中¸影部分表示的集\为ÿ ĀA Ă{}29,B Ă{}7,8C Ă{}1,3,5D Ă{}1,2,3,5,90例5-21ÿ2023·广东·统考一模Ā已知集\(){20},{10}M xx x N x x =−ü=−ü∣∣Ā则下列Venn Ā中¸影部分可以表示集\{12}xx ≤ü∣的是ÿ ĀA ĂB ĂC ĂD Ă0一隅三反11Ăÿ2023春·河X ·高三统考学业考试Ā已知R 是à数集Ā集\{314},{10}A xx B x x =−ü+≤=−þ∣∣Ā则下Ā中¸影部分表示的集\是ÿ ĀA Ă{43}xx −ü≤∣ B Ă{41}xx −üü∣ C Ă{13}xx ü≤∣ D Ă{}4xx ≤−∣2Ăÿ2023·]林通W ·梅河ó市第五中学校考二模Ā已知全集R U =Ā集\{}|1A x x =≥−Ā{}2|230B x x x =+−üĀ则¸影部分表示的集\为ÿ ĀA Ă{}3|1x x −≤≤B Ă{}|31x x −üü−C Ă{}|31x x −ü≤D Ă{}|31x x −≤ü−3Ăÿ2023春·浙江·高三校联考开学考试Ā已知全集U =R Ā集\{1A x x =≤−∣或3}x ≥Ā{}2log (3)B x y x ==−∣Ā则如Ā中¸影部分表示的集\为ÿ ĀA Ă()1,3−B Ă(3,)+∞C Ă(,3]−∞D Ă(1,3]−考法六集\中的新定O0例6-11ÿ2023春·四Ý内江·高三四Ý省内江市第六中学校考阶段ÿ`Ā设集\的全集为U Ā定O一种运算Ā(){}U MN x x M N =þ÷ðĀ若全集U =R Ā{}2M x x =≤Ā{}31N x x =−üüĀ则MN =ÿ ĀA Ă{}21x x −≤üB Ă{}12x x ü≤C Ă{}12x x ≤≤D Ă{}21x x −≤≤0例6-21ÿ2023·全ÿ·本溪高中校联考模拟预测Ā对于集\A ĀB Ā定O集\{A B x x A −=þ`}x B ÿĀ已知集\{}37,Z U x x x =−üüþĀ{}1,0,2,4,6E =−Ā{}0,3,4,5F =Ā则()U E F −=ðÿ Ā A Ă{}2,0,1,3,4,5− B Ă{}0,1,3,4,5C Ă{}1,2,6−D Ă{}2,0,1,3,4−0一隅三反11Ăÿ2023·江苏·高三统考学业考试Ā对于两个非空à数集\A 和B Ās们把集\{},,x x a b a A b B =+þþ∣记作A B ú.若集\{}{}0,1,0,1A B ==−Ā则A B ú中元素的个数为ÿ Ā A Ă1 B Ă2 C Ă3 D Ă42Ăÿ2023·全ÿ·高三_题ÿ`Ā定O集\{}*,,A B zz xy x A y B ==þþ∣Ā设集\{}1,0,1A =−Ā{}1,1,3B =−Ā则*A B 中元素的个数为ÿ Ā A Ă4 B Ă5C Ă6D Ă73Ăÿ2023·全ÿ·高三_题ÿ`Ā定O集\运算()2,,2x A B x y A B y üüõ=þþýýþþ∣Ā若集\()15{N14},,63A B x x C x y y x üü==þüü==−+ýýþþ∣∣Ā则()A B C õ÷=ÿ ĀA ĂöB Ă(){}4,1C Ă21,3üüööýý÷÷øøþþD Ă()24,1,6,3üüööýý÷÷øøþþ1.1集\ÿ精讲Ā一Ă集\P元素(1)集\中元素的O个特性ÿ确定性、à异性、无序性Ă(2)元素P集\的关系是属于或O属于Ā用符号∈或∉表示Ă(3)集\的表示法ÿ列举法、描述法、Ā示法Ă(4)常É数集的记法二Ă集\间的基本关系(1)概念或ÿ2Ā子集个数对于有限集\A,其元素个数为n,则集\A的子集个数为2n,真子集个数为2n-1,非空真子集个数为2n-2.ÿ3Ā易错点d A¦B包含两层含O:AÜB或A=Beö是任何集\的子集,是任何非空集\的真子集OĂ集\的基本运算1.解决集\含O问题的关键有O点ÿ d 是确定构r集\的元素 e 是确定元素的限制条件f 是根据元素的特征(满足的条件)构造关系式解决相应问题Ă 2. à异性考查利用集\元素的限制条件求参数的值或确定集\中元素的个数时,注意检验集\中的元素是否满足à异性. 3.集\运算的两种常用方法(1)当集\是用列举法表示的数集时Ā可以通过列举集\的元素进行运算Ā_可借助Venn Ā运算Ă (2)当集\是用O等式表示时Ā可运用数轴求解Ă对于端点处的取舍Ā可以单独检验Ă 4.已知集\关系求参数(1)空集是任何集\的子集Ā在涉及集\关系问题时Ā必须考虑空集的情况Ā否则易造r漏解Ă(2)已知两个集\间的关系求参数时Ā关键是将条件转W为元素或区间端点间的关系Ā进而转W为参数所满足的关系Ā常用数轴、V enn Ā等来直Ê解决这类问题Ă 5.集\间的运算d 集\中的元素是离散的Ā可用Venn Ā表示Ā注意所求参数是否满足集\中元素的性质中的à异性e 集\中的元素是连续的Ā可用数轴表示Āl时要注意端点的情况Ă考法一元素P集\的关系0例1-11ÿ2023·X京海淀·校考模拟预测Ā设集\{}21,3M m m =−−Ā若3M −þĀ则à数m =ÿ Ā A Ă0 B Ă1− C Ă0或1− D Ă0或10答案1C0解析1设集\{}21,3M m m =−−Ā若3M −þĀ3M −þĀ213m ü−=−或33m −=−Ā 当213−=−m 时Ā1m =−Āl时{}3,4M =−−Ā当33m −=−时Ā0m =Āl时{}3,1M =−−Ā所以1m =−或0.故选ÿC0例1-21ÿ2023·X京东城·统考一模Ā已知集\{}220A x x =−üĀ`a A þĀ则a 可以为ÿ ĀA Ăā2B Ăā1C Ă32D 0答案1B0解析17220x −üĀ6x üü{|A x x =üĀ可知32,2A A A −ÿÿĀ故A 、C 、D 错误Ā1A −þĀ故B k确.故选ÿB0一隅O反11Ăÿ2023·ß南Ā若{}22,a a a þ−Ā则a 的值为ÿ ĀA Ă0B Ă2C Ă0或2D Ă2−0答案1A0解析1若2a =Ā则22a a −=ĀO符\集\元素的à异性Ā若2a a a =−Ā则0a =或2a =ÿ舍ĀĀl时{}{}22,2,0a a −=Ā符\题意Ā综P所述ÿ0a =.故选ÿA.2Ăÿ2023·河南·开封高中校考模拟预测Ā已知{}210A xx ax =−+ü∣Ā若2A þĀ`3A ÿĀ则a 的取值围是ÿ Ā A Ă5,2öö+∞÷÷øøB Ă510,23öù÷úøûC Ă510,23öù÷úûøD Ă03,1öù−∞÷úøû0答案1B0解析1由题意Ā22210a −+ü`23310a −+óĀ解得51023a ü≤Ā故选ÿB 3.ÿ2023广东湛江Ā已知集\A ＝{m ÿ2Ā2m 2ÿm }Ā若3∈A Ā则m 的值为________Ă0答案1ā320解析1由题意得m ÿ2＝3或2m 2ÿm ＝3Ā则m ＝1或m ＝ā32 Ă当m ＝1时Ām ÿ2＝3`2m 2ÿm ＝3Ā根据集\元素的à异性可知O满足题意Ā当m ＝ā32 时Ām ÿ2＝12 Ā而2m 2ÿm ＝3Ā故m ＝ā32Ă考法二元素的à异性0例2-11ÿ2023·全ÿ·高O_题ÿ`Ā集\{},,A a b c =中的O个元素分别表示某一个O角形的O边长度Ā那N这个O角形一定O是ÿ Ā A Ă等腰O角形 B Ă锐角O角形 C Ă直角O角形 D Ă钝角O角形0答案1A0解析1根据集\中元素的à异性得,,a b b c a c ≠≠≠Ā故O角形一定O是等腰O角形.故选ÿA.0例2-21(2023·山东)已知a Āb ∈R Ā若þýüþýüa Āb aĀ1 ＝{a 2Āa ÿb Ā0}Ā则a 2 021ÿb 2 021为( )A Ă1B Ă0C Ăā1D Ă±10答案1C0解析1由已知得a ≠0Ā则b a＝0Ā所以b ＝0Ā于是a 2＝1Ā即a ＝1或a ＝ā1Ă根据集\中元素的à异性可知a ＝1应舍去Ā因l a ＝ā1Ā故a 2 021ÿb2 021＝ā1Ă0一隅O反11.ÿ2022·浙江·高O_题ÿ`Ā已知a R þĀb R þĀ若集\{}2,,1,,0b a a a b a üü=+ýýþþĀ则20192019a b +的值为ÿ Ā A Ă2− B Ă1− C Ă1 D Ă20答案1B0解析1因为{}2,,1,,0b a a a b a üü=+ýýþþĀ所以201b a a a b a ü=ÿÿ=+ýÿ=ÿþĀ解得01b a =üý=þ或01b a =üý=−þĀ 当1a =时ĀO满足集\元素的à异性Ā故1a =−Ā0b =Ā()2019201920192019101a b +=−+=−Ā故选ÿB.2.ÿ2023湖南Ā若以集\A 的四个元素a b c d ,,,为边长构r一个四边形Ā则这个四边形可能是ÿ Ā A Ă矩形B Ă平行四边形C Ă梯形D Ă菱形0答案1C0解析1由题意Ā集\A 的四个元素a b c d ,,,为边长构r一个四边形Ā根据集\中元素的à异性Ā可得a b c d ,,,四个元素àO相等Ā以四个元素a b c d ,,,为边长构r一个四边形Ā结\选项Ā只能为梯形.故选ÿC. 3.ÿ2023湖XĀ已知集\A ＝þýüþýü2x Āy ā1x Ā1 ĀB ＝{x 2Āx ÿy Ā0}Ā若A ＝B Ā则x ÿy ＝________Ă 0答案120解析1显然y ＝1Ā即A ＝{2x Ā0Ā1}ĀB ＝{x 2Āx ÿ1Ā0}Ă若x ÿ1＝1Ā则x ＝0Ā集\A 中元素O满足à异性Ā舍去Ă6x 2＝1Ā`2x ＝x ÿ1Ā6x ＝1Ā故x ÿy ＝2Ă考法O 集\间的关系0例3-11ÿ2023春·四Ýr都Ā集\{}1,2A =Ā若A B ýĀ则集\B 可以是ÿ Ā A Ă{}1 B Ă{}2C Ă{}0,1,2D Ăö0答案1C0解析1A 、B 、D ÿ{}1A ý、{}2A ý、A öýĀP题设O符ĀC ÿ{}0,1,2A ýĀ满足要求.故选ÿC 0例3-21ÿ1Āÿ2023·全ÿ·高O_题ÿ`Ā集\A ＝{1Ā2Ā3}的非空子集个数为ÿ Ā A Ă5 B Ă6 C Ă7D Ă8ÿ2Āÿ2023·全ÿ·高O_题ÿ`Ā已知集\()()(){}(){}||,11,,0A x y y x x x B x y y ==+−==Ā则集\A B ÷的子集个数为ÿ Ā A Ă3B Ă4C Ă6D Ă80答案1ÿ1ĀC ÿ2ĀD0解析1ÿ1Ā因为集\A ＝{1Ā2Ā3}Ā知集\中有4个元素Ā则子集个数为328=个Ā非空子集个数为321817−=−=个.故选ÿC.ÿ2Ā由已知集\()()(){}(){}||,11,,0A x y y x x x B x y y ==+−==Ā联立()()11y x x x =+−和0y =Ā可得0x =或=1x −或1x =Ā则{(0,0),(1,0),(1,0)}A B =−Ā 故集\A B ÷的子集个数为328=个Ā故选ÿD0例3-31ÿ1Āÿ2023·山西朔Þ·怀仁市第一中学校校考二模Ā已集\{}2{30},9A xax B x x =+===∣∣Ā若A B ýĀ则à数a 的取值集\是ÿ ĀA Ă{1}B Ă{1,1}−C Ă{1,0,1}−D Ă{0,1}ÿ2Āÿ2023·广东 ]·统考二模Ā已知集\{}1A x x =≤Ā{}20B x x a =−üĀ若A B ýĀ则à数a 的取值围是ÿ Ā A Ă()2,+∞B Ăû)2,+∞C Ă(),2−∞D Ă(ý,2−∞0答案1ÿ1ĀC ÿ2ĀA0解析1ÿ1Ā{3,3}B =−Ā6当0a =时ĀA =öĀ满足A B ýĀ 当0a ≠时Ā若A B ýĀ则{3}=A 时Ā1;{3}a A =−=−时Ā1a =Ăa ü的取值集\是{1,0,1}−Ă故选ÿC Ăÿ2Ā集\{}{}111A x x x x =≤=−≤≤Ā2a B x x üü=üýýþþ.要使A B ýĀ只需12aüĀ解得ÿ2a þ. 故选ÿA 0一隅O反11Ăÿ2023·宁夏银Ý·校联考一模Ā设全集{}1,3,5,7,9U =Ā若集\M 满足{}1,3,5U M =ðĀ则ÿ Ā A Ă7M ý B Ă9M ý C Ă7M þ D Ă9M ÿ0答案1C0解析1因为全集{}1,3,5,7,9U =Ā{}1,3,5U M =ðĀ所以{}7,9M =. 根据元素P集\的关系可知ĀABD 错误ĀC k确.故选ÿC2Ăÿ2023·陕西ß鸡·校考模拟预测Ā设A 、B 、C 是O个集\Ā若A B B C ø=÷Ā则Q列结论Ok确的是ÿ ĀĂ A ĂA B ý B ĂB C ý C ĂB A ý D ĂA C ý0答案1C0解析1B A B ýø,A B B C ø=÷,B B C üý,B C üýĀ故B k确Ā B C B ü=ĀAB BC B ü==,A B C üýý,故AD k确Ā故选ÿC3Ăÿ2023·全ÿ·高O_题ÿ`Ā已知集\(){}22,|4A x y x y =+=Ā(){}|,0B x y x y =+=Ā则A ∩B 的子集个数ÿ Ā A Ă1 B Ă2 C Ă3 D Ă40答案1D0解析1集\(){}22,|4A x y x y =+=表示以(0,0)为圆心Ā2为半径的圆P的所有点Ā集\(){}|,0B x y x y =+=表示直线0x y +=P的所有点Ā 因为直线0x y +=经过圆心(0,0)Ā所以直线P圆相交Ā 所以A B ÷的元素个数有2个Ā则A B ÷的子集个数为4个Ā 故选ÿD .4Ăÿ2023春·湖南岳·Ā已知集\{}20,1,2,1,A B x üü==ýýþþĀ`B A ýĀ则à数x =ÿ ĀA Ă1B Ă2C Ă1或2D Ă00答案1A0解析1因为集\{}20,1,2,1,A B x üü==ýýþþĀ`B A ýĀ所以2{0,2,1}x þĀ`21x ≠Ā则22x =Ā解得ÿ1x =Ā故选ÿA .5Ăÿ2023春·河X保定·高O校考阶段ÿ`Ā已知集\{|11}A x x =óĀ{}20B x x m =−þĀ若A B ýĀ则à数m 的取值围是ÿ ĀĂ A Ă(ý,4∞− B Ă(),4−∞C Ă(),22−∞D Ă(ý,22−∞0答案1C0解析1由题设Ā2m B x x üü=ýýþþĀ又{|11}A x x =ó`A B ýĀ所以112m üĀ即22m ü.故选ÿC考法四集\间的运算0例4-11ÿ1Āÿ2023·陕西西安Ā若集\{}29A x x =≤Ā集\{}13B x x =−üĀ则A B ø中整数的个数为ÿ ĀĂA Ă5B Ă6C Ă7D Ă8ÿ2Āÿ2023春·广东韶关·高O南雄中学校考阶段ÿ`Ā设集\{}lg 1M x Z x =þüĀ{}2100x N x Z =þþĀ则M N ÷=ÿ ĀĂA Ă{}5,6,7B Ă{}6,7,8C Ă{}7,8,9D Ă{}8,9,10ÿ3Āÿ2023·海南Ā设集\1{|2},03x A x x B xx −üü=ü=≤ýý−þþĀ则R A B =ðÿ Ā A Ă()1,2 B Ăûý1,2 C Ăû)2,3 D Ăûý2,30答案1ÿ1ĀC ÿ2ĀC ÿ3ĀC0解析1ÿ1Ā由题意Ā可得集\{}{}2933A x x x x =≤=−≤≤Ā{}{}1324B x x x x =−ü=−üüĀ则{}34A B x x ø=−≤üĀ其中集\A B ø有3,2,1,0,1,2,3Z −−−þĀ共有7个. 故选ÿC.ÿ2Ā集\{|Z |lg 1}{|Z |010}{1,2,3,4,5,6,7,8,9}M x x x x x x =þü=þüü=Ā 又因为集\{Z |2100}{7,8,9,10,11,}x N x =þþ=Ā由交集的定O可得Ā{7,8,9}M N =Ā故选ÿC.ÿ3Ā由题设R {|2}A x x =óðĀ由103x x −≤−知ÿ(1)(3)030x x x −−≤üý−≠þĀ则13x ≤üĀ所以{|13}x B x =≤üĀ故R {|23}A B x x =≤üI ð.故选ÿC0例4-21ÿ2023·全ÿ·高O_题ÿ`Ā已知集\{}22(,)4A x y x y =+=Ā(){},4B x y y ==+Ā则A B ÷中元素的个数为ÿ Ā A Ă0 B Ă1 C Ă2 D Ă30答案1B0解析1集\{}22(,)4A x y x y =+=Ā{}(,)4B x y y ==+Ā把4y =+代入224x y +=Ā得230x ++=Ā即x =有唯一解Ā故集\A B ÷中元素的个数为1Ă 故选ÿB0例4-31ÿ1Āÿ2023·天津河东·一模Ā已知集\{}21,3,A a =Ā{1,2}B a =+ĀA B A ø=Ā则à数a 的值为ÿ ĀA Ă{2}B Ă{1,2}−C Ă{1,2}D Ă{0,2}0答案1ÿ1ĀA0解析1ÿ1Ā由A B A ø=知ÿB A ýĀ当23a +=Ā即1a =Ā则21a =ĀP集\中元素à异性有矛盾ĀO符\Ā 当22a a +=Ā即1a =−或2a =Ā若1a =−Ā则21a =ĀP集\中元素à异性有矛盾ĀO符\Ā 若2a =Ā则{}1,3,4A =Ā{1,4}B =Ā满足要求. 综PĀ2a =.故选ÿA0一隅O反11Ăÿ2023·广西南宁·统考二模Ā已知集\{}2,1,2,3A =−Ā{}12B x x =−üüĀ则()R A B ÷=ðÿ ĀA Ă{}1,2B Ă{}2,3−C Ă{}2,1,2−D Ă{}2,2,3−0答案1D0解析1因为{}12B x x =−üüĀ所以{R 1B x x =≤−ð或}2x óĀ 又{}2,1,2,3A =−Ā所以()R A B ÷=ð{}2,2,3−Ā故A ĀB ĀC 错误.故选ÿD.2Ăÿ2023·广东湛江·统考二模Ā已知集\{}234A x x x =−þĀ{}22x B x =þĀ则()A B =R I ðÿ ĀA Ăû)1,2−B Ă()4,+∞C Ă()1,4D Ă(ý1,40答案1D0解析1由题意可得ÿ{}ûý{}()2|341,4,221,xA x x xB x ∞=−≤=−=þ=+R ð所以()(ý1,4A B ÷=R ð.故选ÿD.3Ăÿ2023春·天津和平·高O耀华中学校考阶段ÿ`Ā已知集\(){}2ln 1A x y x ==−Ā{}245B y y x x ==−−Ā则A B =ÿ Ā A Ă()1,1− B Ă()1,+∞C Ăû)9,−+∞D Ăû)()9,11,−−ø+∞0答案1D0解析1要使函数2ln(1)y x =−有意OĀ则有210x −þĀ解得1x þ或1x ü−Ā 所以{1A xx =þ∣或1}x ü−Ā 由2245(2)99y x x x =−−=−−ó−Ā得{}9B y y =ó−∣Ā 所以û)()9,11,A B =−−+∞Ă故选ÿD.4Ăÿ2023·全ÿ·高O_题ÿ`Ā设集\{}2A x x a =üĀ{}B x x a =þĀ若R A B A ÷=ðĀ则à数a 的取值围为ÿ Ā A Ăûý0,1 B Ăû)0,1C Ă()0,1D Ă(ýû),01,−∞+∞0答案1A0解析1因为{}B x x a =þĀ所以{}R |B x x a =≤ðĀ又R A B A ÷=ðĀ所以R A B ýðĀ又{}2A x x a =üĀ所以2a a ≤Ā解得01a ≤≤Ā即à数a 的取值围为ûý0,1.故选ÿA5Ăÿ2022秋·河X沧ÞĀ已知集\{}15A x x =≤üĀ{}3B x a x a =−ü≤+Ā若()B A B ýĀ则a 的取值围为ÿ ĀA Ă3|12x x üü−üü−ýýþþB Ă3|2x x üüü−ýýþþC Ă{}|1x x ≤−D Ă3|2x x üüþ−ýýþþ0答案1C0解析1因为()B AB ýĀ所以B A ýĀd 当B =ö时Ā满足B A ýĀl时3a a −ó+Ā解得32a ≤−Āe 当B ≠ö时Ā由B A ýĀ得3135a a a a −ü+üÿ−óýÿ+üþĀ解得312a −ü≤−Ā综P所述Ā1a ≤−Ā故选ÿC.6Ăÿ2022·全ÿ·高O_题ÿ`ÿ理ĀĀ设集\{}11A x x =−≤Ā{}20B x x a =−+üĀ若A B B ø=Ā则a 的取值围为ÿ Ā A Ă(),0−∞ B Ă(ý,0−∞ C Ă()2,+∞ D Ăû)2,+∞0答案1A0解析1{}{}11=02A x x x x =−≤≤≤Ā2a B x x üü=þýýþþĀ由A B B ø=得A B ýĀ所以0a ü.故选ÿA. 7Ăÿ2023ß南Ā已知集\{}2230A x N x x ú=þ−−üĀ{}20B x ax =+=Ā若A B B =Ā则à数a 的取值集\为ÿ Ā A Ă{}1,2−− B Ă{}1,0− C Ă{}2,0,1- D Ă{}2,1,0−−0答案1D0解析1{}{}22301,2A x N x x ú=þ−−ü=Ā因为A B B =Ā所以B A ýĀ当0a =时Ā集\{}20B x ax φ=+==Ā满足B A ýĀ 当0a ≠时Ā集\{}220B x ax x a üü=+===−ýýþþĀ由B A ýĀ{}1,2A =得21a−=或22a −=Ā解得2a =−或1a =−Ā综PĀà数a 的取值集\为{}2,1,0−−.故选ÿD .8Ăÿ2023湖南Ā已知集\(){},30A x y x y =−=Ā(){},10B x y x my =++=.若A B =öĀ则à数m =ÿ ĀA Ă-3B Ă13−C Ă13D Ă30答案1B0解析1因为A B =öĀ所以直线30x y −=P直线10x my ++=平行Ā所以3(1)10m ô−−ô=所以13m =−. 经检验Ā当13m =−时Ā两直线平行.故选ÿB.考法五韦恩Ā0例5-11ÿ2023·内蒙ô赤峰·校联考一模Ā如ĀĀ设全集N U =Ā集\{}1,3,5,7,8A =Ā{}1,2,3,5,9B =Ā则Ā中¸影部分表示的集\为ÿ ĀA Ă{}29,B Ă{}7,8C Ă{}1,3,5D Ă{}1,2,3,5,90答案1A0解析1由Venn Ā可知¸影部分表示的集\为()U A B ÷ðĀ因为集\{}1,3,5,7,8A =Ā{}1,2,3,5,9B =Ā所以(){}2,9U A B =ð.故选:A.0例5-21ÿ2023·广东·统考一模Ā已知集\(){20},{10}M xx x N x x =−ü=−ü∣∣Ā则Q列Venn Ā中¸影部分可以表示集\{12}xx ≤ü∣的是ÿ Ā A Ă B ĂC ĂD Ă0答案1B0解析1()2002,101x x x x x −ü⇒üü−ü⇒üĀ 选项A 中Venn Ā中¸影部分表示()0,1MN =ĀO符\题意Ā选项B 中Venn Ā中¸影部分表示()[1,2)M M N =ðĀ符\题意Ā 选项C 中Venn Ā中¸影部分表示()(,0]N M N =−∞ðĀO符\题意Ā选项D 中Venn Ā中¸影部分表示(),2M N =−∞ĀO符\题意Ā故选ÿB 0一隅O反11Ăÿ2023春·河X ·高O统考学业考试Ā已知R 是à数集Ā集\{314},{10}A xx B x x =−ü+≤=−þ∣∣Ā则QĀ中¸影部分表示的集\是ÿ ĀA Ă{43}xx −ü≤∣ B Ă{41}xx −üü∣ C Ă{13}xx ü≤∣ D Ă{}4xx ≤−∣ 0答案1D0解析1依题意Ā{43},{1}A xx B x x =−ü≤=ü∣∣Ā 由韦恩Ā知Ā¸影部分表示的集\是R ()ðA B Ā而R {|4A x x =≤−ð或3}x þĀ 所以{}R 4()x A B x =≤−∣ð.故选ÿD2Ăÿ2023·]林通W ·梅河ó市第五中学校考二模Ā已知全集R U =Ā集\{}|1A x x =ó−Ā{}2|230B x x x =+−üĀ则¸影部分表示的集\为ÿ ĀA Ă{}3|1x x −≤≤B Ă{}|31x x −üü−C Ă{}|31x x −ü≤D Ă{}|31x x −≤ü−0答案1B0解析1由题知Ā中¸影部分表示的集\为()U A B ÷ðĀ又{}2|230B x x x =+−üĀ得{}|31B x x =−üüĀ又{}|1A x x =ó−Ā则{}|1U A x x =ü−ðĀ 所以(){}|31U A B x x ÷=−üü−ðĂ 故选ÿB Ă3Ăÿ2023春·浙江·高O校联考开学考试Ā已知全集U =R Ā集\{1A x x =≤−∣或3}x óĀ{}2log (3)B x y x ==−∣Ā则如Ā中¸影部分表示的集\为ÿ ĀA Ă()1,3−B Ă(3,)+∞C Ă(,3]−∞D Ă(1,3]−0答案1A0解析1{}2log (3)(,3)B x y x ∞==−=−∣Ā(,1][3,)A =−∞−+∞Ā (1,3)A =−üR ðĀ由Ā可知¸影部分表示的集\是()(1,3)A B =−R ðĀ 故选ÿA.考法六集\中的新定O0例6-11ÿ2023春·四Ý内江·高O四Ý省内江市第六中学校考阶段ÿ`Ā设集\的全集为U Ā定O一种运算Ā(){}U MN x x M N =þ÷ðĀ若全集U =R Ā{}2M x x =≤Ā{}31N x x =−üüĀ则MN =ÿ ĀA Ă{}21x x −≤üB Ă{}12x x ü≤C Ă{}12x x ≤≤D Ă{}21x x −≤≤0答案1C0解析1由题意得{}2{|22}M x x x x =≤=−≤≤Ā{3U N x x =≤−ð或1}x óĀ 则MN ={}12x x ≤≤Ā故选ÿC0例6-21ÿ2023·全ÿ·本溪高中校联考模拟预测Ā对于集\A ĀB Ā定O集\{A B x x A −=þ`}x B ÿĀ已知集\{}37,Z U x x x =−üüþĀ{}1,0,2,4,6E =−Ā{}0,3,4,5F =Ā则()U E F −=ðÿ Ā A Ă{}2,0,1,3,4,5− B Ă{}0,1,3,4,5C Ă{}1,2,6−D Ă{}2,0,1,3,4−0答案1A0解析1结\新定O可知{}1,2,6E F −=−Ā又{}2,1,0,1,2,3,4,5,6U =−−Ā 所以(){}2,0,1,3,4,5U E F −=−ðĂ 故选ÿA 0一隅O反11Ăÿ2023·江苏·高O统考学业考试Ā对于两个非空à数集\A 和B Ās们把集\{},,x x a b a A b B =+þþ∣记作A B ú.若集\{}{}0,1,0,1A B ==−Ā则A B ú中元素的个数为ÿ Ā A Ă1 B Ă2 C Ă3 D Ă40答案1C0解析1{}{}0,1,0,1A B ==−Ā则{}0,1,1A B ú=−Ā则A B ú中元素的个数为3 故选ÿC2Ăÿ2023·全ÿ·高O_题ÿ`Ā定O集\{}*,,A B zz xy x A y B ==þþ∣Ā设集\{}1,0,1A =−Ā{}1,1,3B =−Ā则*A B 中元素的个数为ÿ Ā A Ă4 B Ă5C Ă6D Ă70答案1B0解析1因为{}1,0,1A =−Ā{}1,1,3B =−Ā 所以{}*3,1,0,1,3A B =−−Ā 故*A B 中元素的个数为5. 故选ÿB.3Ăÿ2023·全ÿ·高O_题ÿ`Ā定O集\运算()2,,2x A B x y A B y üüõ=þþýýþþ∣Ā若集\()15{N14},,63A B x x C x y y x üü==þüü==−+ýýþþ∣∣Ā则()A B C õ÷=ÿ ĀA ĂöB Ă(){}4,1C Ă21,3üüööýý÷÷øøþþD Ă()24,1,6,3üüööýý÷÷øøþþ0答案1D0解析1因为{}2,3A B ==Ā所以22x =或3,2x=所以4x =或6x =Ā22y=或23,y =所以1y =或23y =Ā()()224,1,4,,6,1,6,33A B üüööööüõ=ýý÷÷÷÷øøøøþþĀ代入1563y x =−+验证Ā故()()24,1,6,3A B C üüööõýý÷÷ø=øþþ.故选ÿD.1.1 集\ÿ精ÿĀ1．ÿ2023·河北ĀQ列各Ā对象不能构成集\的是ÿ Ā A ．所有直角O角形B ．û物线2y x =P的所有点C ．某中学高一级开设的所有课程 D2．ÿ2023·全ÿ·高O_题ÿ习ĀQ列集\中表示\一集\的是ÿ Ā A ．{}{}(,)1,1M x y x y N y x y =+==+= B ．{1,2},{2,1}M N == C ．{(3,2)},{(2,3)}M N == D ．{1,2},{(1,2)}M N ==3．ÿ2023·天津和 ·统考一模Ā已知全集{}(){}N7,1,3,5,7UU A B x x A B ==þ≤=∣ð，则B 中元素个数ÿ Ā A ．3个 B ．4个 C ．5个 D ．6个4．ÿ2023·全ÿ·高O_题ÿ习Ā已知集\{}{}2Z1,,A x x B x y x y A =þ≤=−þ∣∣，则A B =ÿ Ā A ．{}0,1,2 B ．{}1,0,1,2− C ．{}2,1,0,1,2−− D ．{}1,0,1−5．ÿ2023·全ÿ·高O_题ÿ习Ā定O集\{A B x x A ⊗=þ∣`}x B ÿ，已知集\{3,2,2,3},{3,1,1,2}A B =−−=−−，则A B ⊗=ÿ Ā A ．{3,2}− B ．{1,1}− C ．{2,3}− D ．{0}6．ÿ2023·全ÿ·高O_题ÿ习Ā集\{}**(,)10,N ,N A x y x y x y =+=þþ∣的元素个数 ÿ Ā A ．8 B ．9 C ．10 D ．1007.ÿ2023·江西·金溪一中校联考模拟预测Ā已知集\{}1,,A a b =，{}2,,B a a ab =，若A B =，则20232022a b +=ÿ Ā A ．1− B ．0 C ．1 D ．28．ÿ2023·浙江金华·浙江金华第一中学校考模拟预测Ā已知集\M 满足{}{}2,31,2,3,4,5M ýý，那N这样的集\M 的个数 ÿ Ā A ．6 B ．7 C ．8 D ．99．ÿ2023·全ÿ·高O_题ÿ习Ā设,2k M x x k üü==þýýþþZ ，1,2N x x k k üü==+þýýþþZ ，则ÿ ĀA ．M N ÜB ．N M ÜC ．M N =D ．M N ÷=ö10．ÿ2023·福建厦门·厦门双十中学校考模拟预测Ā已知集\{}2Z 20A x x x =þ−−≤，{B x y ==，则A B ÷的元素个数 ÿ Ā A ．1 B ．2 C ．3 D ．411．ÿ2023·江苏南通·统考模拟预测Ā已知集\{}21log 2A x x =üü ，集\{}2Z 8120B x x x =þ−+≤ ，则AB =ÿ ĀA ．[]2,6B ．()2,4C ．{}3D ．{}2,3,4,5,612．ÿ2023春·天津河西·高O天津市新华中学校考阶段ÿ习Ā已知集\{}22x A x =þ，{}12B x x =−ü，则AB =ÿ ĀA ．(),3−∞B ．()1,1−C ．()1,3D ．()3,+∞13．ÿ2023·北京通Þ·统考模拟预测Ā已知全集{|33}U x x =−üü，集\{|02}A x x =üü，则U A =ðÿ Ā A ．()0,2 B ．()()3,02,3−øC ．()2,0−D ．(][)3,02,3−14．ÿ2023春·江西úÞ·高O金溪一中校考阶段ÿ习Ā已知全集{}2560U x x x =þ−−≤Z ，集\(){}30A x x x =þ−≥Z ，{}1,2,4B =，则集\()U A B ø=ðÿ ĀA ．{}1−B ．{}3C ．{}1,3−D ．{}1,5,6−15．ÿ2023·四Ý巴中·南江中学校考模拟预测Ā已知集\A x y ü==ýþ，{}2560B x x x =−−≥，则A B ø=ÿ Ā A ．(][),13,−∞−+∞ B ．(](),13,−∞−+∞C ．[)1,3−D ．(]3,616．ÿ2023·河北邯郸·统考Ð模Ā已知集\{}2A x x =ü，{}23B x x x =≤，则()R A B ÷=ðÿ ĀA ．{}20x x −üüB ．{}02x x ≤üC ．{}3x x þD ．{}23x x −ü≤17．ÿ2023·全ÿ·高O_题ÿ习Ā已知集\{}(){}2,R ,,1,,R A x y x x B x y y x x y ==þ==+þ，则ÿ Ā A ．{1,2}A B = B ．{(1,2)}A B = C ．R A B == D ．A B ÷=ö18．ÿ2023·全ÿ·高O_题ÿ习Ā已知集\}N {,|26A x x x =üüþ，则集\A 的子集的个数 ÿ Ā A ．3 B ．4C ．7D ．819．ÿ2023·云南·高O云南师大附中校考阶段ÿ习Ā设集\{}|3,N A x x k k ==þ，{}|6,N B x x z z +==þ，则ÿ Ā A ．0B þ B ．A B ýC ．B AD ．A B A =。

2025年高考数学一轮复习-8.5.2-直线与椭圆的位置关系-专项训练【含解析】

2025年高考数学一轮复习-8.5.2-直线与椭圆的位置关系【原卷版】1．直线y ＝kx ＋1与焦点在x 轴上的椭圆x 29＋y 2m ＝1总有公共点，则实数m 的取值范围是()A ．12≤m ＜9B ．9＜m ＜10C ．1≤m ＜9D ．1＜m ＜92．若直线mx ＋ny ＝9和圆x 2＋y 2＝9没有交点，则过点(m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 216＝1的交点有()A ．1个B ．至多一个C ．2个D ．0个3．已知F 1，F 2是椭圆G ：x 252＋y 242＝1的左、右焦点，过F 1作直线l 交G 于A ，B 两点，若|AB |＝325，则△F 2AB 的面积为()A ．245B ．485C ．965D ．164154．已知点P (x ，y )是椭圆x 29＋y 24＝1上任意一点，则点P 到直线l ：y ＝x ＋5的最大距离为()A ．52＋262B ．52－262C ．52＋26D ．52－265．国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图①所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆．某校体育馆的钢结构与“鸟巢”相同，其平面图如图②所示，若由外层椭圆长轴一端点A 和短轴一端点B 分别向内层椭圆引切线AC ，BD ，且两切线斜率之积等于－58，则椭圆的离心率为()A ．34B ．58C ．74D ．646．(多选)设椭圆x 29＋y 23＝1的右焦点为F ，直线y ＝m (0＜m ＜3)与椭圆交于A ，B 两点，则()A ．|AF |＋|BF |为定值B ．△ABF 的周长的取值范围是[6,12]C ．当m ＝32时，△ABF 为直角三角形D ．当m ＝1时，△ABF 的面积为67．已知F 1，F 2分别为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，|F 1F 2|＝2，过椭圆左焦点且斜率为2的直线交椭圆于A ，B 两点，若S △ABF 2＝4，则弦长|AB |＝________．8．直线5x ＋4y －1＝0交椭圆C ：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)于M ，N 两点，设MN 中点为P ，直线OP 的斜率等于54，O 为坐标原点，则椭圆C 的离心率为________．9．已知直线y ＝kx －1与椭圆x 24＋y 23＝1交于点A ，B ，与y 轴交于点P ，若AP ―→＝3PB ―→，则实数k 的值为________．10．已知点B 是圆C ：(x －1)2＋y 2＝16上的任意一点，点F (－1,0)，线段BF 的垂直平分线交BC 于点P ．(1)求动点P 的轨迹E 的方程；(2)直线l ：y ＝2x ＋m 与E 交于点M ，N ，且|MN |＝123019，求m 的值．11．(多选)已知P 是椭圆E ：x 24＋y 2m ＝1(m ＞0)上任意一点，M ，N 是椭圆上关于坐标原点对称的两点，且直线PM ，PN 的斜率分别为k 1，k 2(k 1k 2≠0)，若|k 1|＋|k 2|的最小值为1，则下列结论正确的是()A ．椭圆E 的方程为x 24＋y 2＝1B ．椭圆E 的离心率为12C ．曲线y ＝log 3x －12经过E 的一个焦点D ．直线2x －y －2＝0与E 有两个公共点12．已知椭圆x 22＋y 2＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线AB 与椭圆交于A ，B两点，则△F 1AB 的周长是________，△F 1AB 内切圆面积的最大值是________．13．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)左焦点为F 1(－1,0)，经过点F 1的直线l 与圆F 2：(x －1)2＋y 2＝8相交于P ，Q 两点，M 是线段PF 2与C 的公共点，且|MF 1|＝|MP |．(1)求椭圆C 的方程；(2)l 与C 的交点为A ，B ，且A 恰为线段PQ 的中点，求△ABF 2的面积．14．如图，椭圆x 2a 2＋y 24＝1(a ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线交椭圆于M ，N 两点，交y 轴于点H ．若F 1，H 是线段MN 的三等分点，则△F 2MN 的周长为()A ．20B ．10C ．25D ．4515．定义：由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”．如果两个椭圆的“特征三角形”相似，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，并将三角形的相似比称为椭圆的相似比．已知椭圆C 1：x 24＋y 2＝1．(1)若椭圆C 2：x 216＋y 241，试判断C 2与C 1是否相似？如果相似，求出C 2与C 1的相似比；如果不相似，请说明理由；(2)写出与椭圆C 1相似且短半轴长为b 的焦点在x 轴上的椭圆C b 的标准方程．若在椭圆C b 上存在两点M ，N 关于直线y ＝x ＋1对称，求实数b 的取值范围．2025年高考数学一轮复习-8.5.2-直线与椭圆的位置关系【解析版】1．直线y ＝kx ＋1与焦点在x 轴上的椭圆x 29＋y 2m ＝1总有公共点，则实数m 的取值范围是()A ．12≤m ＜9B ．9＜m ＜10C ．1≤m ＜9D ．1＜m ＜9解析：C 直线y ＝kx ＋1恒过定点P (0,1)，焦点在x 轴上的椭圆x 29＋y 2m＝1，可得0＜m＜9①，由直线y ＝kx ＋1与焦点在x 轴上的椭圆x 29＋y 2m＝1总有公共点，可得P 在椭圆上或椭圆内，即有09＋1m≤1，解得m ≥1②，由①②可得1≤m ＜9．故选C ．2．若直线mx ＋ny ＝9和圆x 2＋y 2＝9没有交点，则过点(m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 216＝1的交点有()A ．1个B ．至多一个C ．2个D ．0个解析：C 因为直线mx ＋ny ＝9和圆x 2＋y 2＝9没有交点，所以9m 2＋n2＞3，即m 2＋n 2＜9，所以m 29＋n 216≤m 29＋n 29＜1，即点(m ，n )在椭圆x 29＋y 216＝1内，所以过点(m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 216＝1的交点有2个，故选C ．3．已知F 1，F 2是椭圆G ：x 252＋y 242＝1的左、右焦点，过F 1作直线l 交G 于A ，B 两点，若|AB |＝325，则△F 2AB 的面积为()A ．245B ．485C ．965D ．16415解析：C由G ：x 252＋y 2421知c 2＝52－42＝32，所以F 1(－3，0)，把x ＝－3代入椭圆方程可得y 2＝4425，故y ＝±165，又|AB |＝325，所以AB ⊥x 轴，则S △F 2AB ＝12|AB |×2c ＝12×325×6＝965，故选C ．4．已知点P (x ，y )是椭圆x 29＋y 24＝1上任意一点，则点P 到直线l ：y ＝x ＋5的最大距离为()A ．52＋262B ．52－262C ．52＋26D ．52－26解析：A设直线y ＝x ＋m ＋y 24＝1，x ＋m得13x 2＋18mx ＋9m 2－36＝0，∴Δ＝(18m )2－4×13(9m 2－36)＝0，解得m ＝±13，切线方程为y ＝x ＋13和y ＝x －13，与l 距离较远的是y ＝x －13，∴所求最大距离为d ＝|－13－5|2＝52＋262．故选A ．5．国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图①所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆．某校体育馆的钢结构与“鸟巢”相同，其平面图如图②所示，若由外层椭圆长轴一端点A 和短轴一端点B 分别向内层椭圆引切线AC ，BD ，且两切线斜率之积等于－58，则椭圆的离心率为()A ．34B ．58C ．74D ．64解析：D设内层椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，∵内外椭圆离心率相同，∴外层椭圆可设成x 2(ma )2＋y 2(mb )2＝1(m ＞1)，设切线AC 的方程为y ＝k 1(x ＋ma )，与x 2a 2＋y 2b 2＝1联立得：(b 2＋a 2k 21)x 2＋2ma 3k 21x ＋m 2a 4k 21－a 2b 2＝0，由Δ＝0,则k 21＝b 2a 2·1m 2－1，同理可得k 22＝b 2a 2·(m 2－1)，∴k 21·k 22＝b 4a 4＝则b 2a 2＝58，因此，e ＝c a ＝1－b 2a 2＝1－58＝64．故选D ．6．(多选)设椭圆x 29＋y 23＝1的右焦点为F ，直线y ＝m (0＜m ＜3)与椭圆交于A ，B 两点，则()A ．|AF |＋|BF |为定值B ．△ABF 的周长的取值范围是[6,12]C．当m＝32时，△ABF为直角三角形D．当m＝1时，△ABF的面积为6解析：ACD设椭圆的左焦点为F′，则|AF′|＝|BF|，∴|AF|＋|BF|＝|AF|＋|AF′|＝6为定值，A正确；△ABF的周长为|AB|＋|AF|＋|BF|，∵|AF|＋|BF|为定值6，且|AB|的取值范围是(0,6)，∴△ABF的周长的取值范围是(6,12)，B错误；设点A在点B的左侧，将y＝3 2与椭圆方程联立，可解得－332，F(6，0)，∴AF―→·BF―→＝＝0．∴△ABF为直角三角形，C正确；将y＝1与椭圆方程联立，解得A(－6，1)，B(6，1)，∴S△ABF＝12×26×1＝6，D正确．故选A、C、D．7．已知F1，F2分别为椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，|F1F2|＝2，过椭圆左焦点且斜率为2的直线交椭圆于A，B两点，若S△ABF2＝4，则弦长|AB|＝________．解析：∵S△ABF2＝4，∴12×2c×|y A－y B|＝4，又∵|F1F2|＝2，∴|y A－y B|＝4，∵直线过椭圆左焦点且斜率为2，∴|AB|＝1＋1k2|y A－y B|4＝25．答案：258．直线5x＋4y－1＝0交椭圆C：y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)于M，N两点，设MN中点为P，直线OP的斜率等于54，O为坐标原点，则椭圆C的离心率为________．解析：设M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN中点为P(x0，y0)＋x21b2＝1，＋x22b2＝1，两式相减得b2(y21－y22)＋a2(x21－x22)＝0，即y1－y2x1－x2＝－k MN＝－a2b2·1k OP，因为k MN＝－54，k OP＝54，所以b2a2＝1625，所以e＝ca＝1－b2a2＝35．答案：359．已知直线y＝kx－1与椭圆x24＋y23＝1交于点A，B，与y轴交于点P，若AP―→＝3PB―→，则实数k的值为________．解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为直线y＝kx－1与y轴交于点P，所以P(0，－1)．联kx －1，＋y 23＝1，消去y 得(3＋4k 2)x 2－8kx －8＝0，Δ＞0．由根与系数的关系得x 1＋x 2＝8k3＋4k 2，x 1x 2＝－83＋4k 2．因为AP ―→＝3PB ―→，所以(－x 1，－1－y 1)＝3(x 2，y 2＋1)，所以x 1＝－3x 2，将其代入x 1＋x 2＝8k3＋4k 2，得x 2＝－4k 3＋4k 2．将x 1＝－3x 2，x 2＝－4k 3＋4k2代入x 1x 2＝－83＋4k 2，可得－＝－83＋4k 2k 2＝32，所以k ＝±62．答案：±6210．已知点B 是圆C ：(x －1)2＋y 2＝16上的任意一点，点F (－1,0)，线段BF 的垂直平分线交BC 于点P ．(1)求动点P 的轨迹E 的方程；(2)直线l ：y ＝2x ＋m 与E 交于点M ，N ，且|MN |＝123019，求m 的值．解：(1)由条件可得|PC |＋|PF |＝|PC |＋|PB |＝|BC |＝4＞|FC |＝2，所以动点P 的轨迹E 是以F ，C 为焦点的椭圆，设其方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，所以2a ＝4,2c ＝2，所以a ＝2，c ＝1，b ＝3，所以动点P 的轨迹方程为x 24＋y 23＝1．(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，＋y 23＝1，2x ＋m可得19x 2＋16mx ＋4m 2－12＝0，由Δ＝256m 2－76(4m 2－12)＞0，得m ∈(－19，19)，由根与系数的关系得，x 1＋x 2＝－16m19，x 1x 2＝4m 2－1219，因为|MN |＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝123019，解得m ＝±1．11．(多选)已知P 是椭圆E ：x 24＋y 2m ＝1(m ＞0)上任意一点，M ，N 是椭圆上关于坐标原点对称的两点，且直线PM ，PN 的斜率分别为k 1，k 2(k 1k 2≠0)，若|k 1|＋|k 2|的最小值为1，则下列结论正确的是()A ．椭圆E 的方程为x 24＋y 2＝1B ．椭圆E 的离心率为12C ．曲线y ＝log 3x －12经过E 的一个焦点D ．直线2x －y －2＝0与E 有两个公共点解析：ACD设P (x 0，y 0)，M (x 1，y 1)，x 0≠±x 1，y 0≠±y 1，则N (－x 1，－y 1)，x 204＋y 20m＝1，x 214＋y 21m ＝1，所以y 20＝m －mx 204，y 21＝m －mx 214，k 1k 2＝y 0－y 1x 0－x 1·y 0＋y 1x 0＋x 1＝y 20－y 21x 20－x 21＝－m 4．于是|k 1|＋|k 2|≥2|k 1|·|k 2|＝2|k 1k 2|＝2|－m 4|＝m ，依题意，得m ＝1，解得m ＝1，故E 的方程为x 24＋y 2＝1，A 正确；离心率为32，B 错误；焦点坐标为(±3，0)，曲线y ＝log 3x －12经过焦点(3，0)，C 正确；又直线2x －y －2＝0过点(1,0)，且点(1,0)在E 内，故直线2x －y －2＝0与E 有两个公共点，D 正确．故选A 、C 、D ．12．已知椭圆x 22＋y 2＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线AB 与椭圆交于A ，B两点，则△F 1AB 的周长是________，△F 1AB 内切圆面积的最大值是________．解析：根据椭圆定义可知△F 1AB 的周长C ＝4a ＝42；在△F 1AB 内，S ＝12Cr ＝22r ，问题转化为求△F 1AB 面积最大值，设AB ：x ＝my ＋1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则(m 2＋2)y 2＋2my －1＝01＋y 2＝－2mm 2＋2，1y 2＝－1m 2＋2，于是S ＝12|F 1F 2|·|y 1－y 2|22m 2＋1m 2＋2＝22m 2＋1＋1m 2＋1≤222m 2＋1·1m 2＋1＝2，则22r ≤2⇒r ≤12⇒πr 2≤π4，等号在m ＝0时取到．答案：42π413．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)左焦点为F 1(－1,0)，经过点F 1的直线l 与圆F 2：(x －1)2＋y 2＝8相交于P ，Q 两点，M 是线段PF 2与C 的公共点，且|MF 1|＝|MP |．(1)求椭圆C 的方程；(2)l 与C 的交点为A ，B ，且A 恰为线段PQ 的中点，求△ABF 2的面积．解：(1)由圆F 2：(x －1)2＋y 2＝8可得|PF 2|＝22，因为|MF 1|＝|MP |，所以2a ＝|MF 1|＋|MF 2|＝|MP |＋|MF 2|＝|PF 2|＝22，即a ＝2，又c ＝1，故b ＝1，所以椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1．(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，因为A 为线段PQ 的中点，则AF 1⊥AF 2，所以AF 1―→·AF 2―→＝x 21＋y 21－1＝0，又x 212＋y 21＝1，解得x 1＝0，y 1＝±1，若y 1＝1，则A (0,1)，直线l 的方程为y ＝x ＋1，x ＋1，y 2＝12＝－43，2＝－13，即－43，－所以△ABF 2的面积S ＝12|F 1F 2|·|y 1－y 2|＝12×2×43＝43，若y 1＝－1，同理可求得△ABF 2的面积S ＝43，综上所述，△ABF 2的面积为43．14．如图，椭圆x 2a 2＋y 24＝1(a ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线交椭圆于M ，N 两点，交y 轴于点H ．若F 1，H 是线段MN 的三等分点，则△F 2MN 的周长为()A ．20B ．10C ．25D ．45解析：D由F 1，H 是线段MN 的三等分点，得H 是F 1N 的中点，又F 1(－c,0)，∴点N的横坐标为c c ，＋y 24＝1，得2c 点M 的坐标代入椭圆方程得4c 2a2＋1，化简得c 2＝a 2－14，又c 2＝a 2－4，∴a 2－14＝a 2－4，得a 2＝5，∴a ＝5．由椭圆的定义知|NF 2|＋|NF 1|＝|MF 2|＋|MF 1|＝2a ，∴△F 2MN 的周长为|NF 2|＋|MF 2|＋|MN |＝|NF 2|＋|MF 2|＋|NF 1|＋|MF 1|＝4a ＝45，故选D ．15．定义：由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”．如果两个椭圆的“特征三角形”相似，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，并将三角形的相似比称为椭圆的相似比．已知椭圆C 1：x 24＋y 2＝1．(1)若椭圆C 2：x 216＋y 241，试判断C 2与C 1是否相似？如果相似，求出C 2与C 1的相似比；如果不相似，请说明理由；(2)写出与椭圆C 1相似且短半轴长为b 的焦点在x 轴上的椭圆C b 的标准方程．若在椭圆C b 上存在两点M ，N 关于直线y ＝x ＋1对称，求实数b 的取值范围．解：(1)椭圆C 2与C 1相似．如图，在同一坐标系中作出C 1，C 2的图象．∵椭圆C 2的“特征三角形”是腰长为4，底边长为43的等腰三角形，而椭圆C 1的“特征三角形”是腰长为2，底边长为23的等腰三角形，∴两三角形的三边对应成比例，∴这两个等腰三角形相似，且相似比为2∶1，∴椭圆C 2和C 1相似，且相似比为2∶1．(2)椭圆C b 的方程为x 24b 2＋y 2b2＝1(b ＞0)．由题意，可设l MN ：y ＝－x ＋t ，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，MN 的中点为(x 0，y 0)．x ＋t ，＋y 2b 2＝1，消去y ，整理得5x 2－8tx ＋4(t 2－b 2)＝0，则x 0＝x 1＋x 22＝45t ，y 0＝t5．∵MN 的中点在直线y ＝x ＋1上，∴t 5＝45t ＋1，解得t ＝－53．故直线l MN 的方程为y ＝－x －53．若M ，N 存在，则方程5x 2－8＋－b 2＝0有两个不同的实数解，∴Δ－4×5×40，解得b ＞53．。

高2020届高2017级高考一轮复习理科数学专题训练42Word版及试题解析

A.(－∞,－1) B.(4,＋∞)
C.(－1,4) D.(－4,－1)
【参考答案】：C
【试题解析】：复数z＝(2＋i)(a＋2i3)＝(2＋i)(a－2i)＝2a＋2＋(a－4)i,其在复平面内对应的点(2a＋2,a－4)在第四象限,则2a＋2>0,且a－4<0,解得－1<a<4,则实数a的取值范围是(－1,4).故选C.
∴ ∴b＝2,故z＝1＋2i, ＝1－2i,虚部为－2.
故选A.
6.[2019·河南百校联盟质检]设z＝1－i(i为虚数单位),若复数＋z2在复平面内对应的向量为 ,则向量的模是()
A.1 B.
C. D.2
【参考答案】：B
【试题解析】：∵z＝1－i,∴ ＋z2＝＋(1－i)2＝1＋i＋1－2i－1＝1－i,∴向量的模是|1－i|＝ .
C.－4i D.4i
【参考答案】：A
【试题解析】：－(1－i)2－4i＝－(1－2i－1)－4i＝2i＋2i－4i＝0,故选A.
3.已知i是虚数单位,z＝ ,则|z|＝()
A. B.2
C. D.3
【参考答案】：C
【试题解析】：∵z＝＝＝＝1－2i,
∴|z|＝ .
4.已知i为虚数单位,如图,网格纸中小正方形的边长是1,复平面内点Z对应的复数为z,则复数的共轭复数是()
A.－6 B.6
C.0 D.
【参考答案】：B
【试题解析】：∵ ＝＝＋ , 是实数,
∴ ＝0,∴b＝6.
8.[2019·益阳、湘潭两市联考]已知命题p：若复数z满足(z－i)(－i)＝5,则z＝6i,命题q：复数的虚部为－ i,则下面为真命题的是()
A.(綈p)∧(綈q) B.(綈p)∧q

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高考数学一轮复习试题 x42 理
(时间：40分钟满分：60分)
1．已知点A 在变换T ：⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢
⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
x ＋2y y 作用后，再绕原点逆时针旋转90°，得到点B .
若点B 的坐标为(－3,4)，求点A 的坐标．
解 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0 ⎣⎢
⎡⎦⎥⎤1
20 1＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤0 －11 2. 设A (a ，b )，则由⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 2 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b ＝⎣⎢⎡⎦⎥
⎤
－3 4，得⎩⎪⎨⎪⎧
－b ＝－3，a ＋2b ＝4.
所以⎩⎪⎨
⎪⎧
a ＝－2，
b ＝3，
即A (－2,3)．
2．(2011·扬州调研测试)已知在一个二阶矩阵M 对应变换的作用下，点A (1,2)变成了点
A ′(7,10)，点
B (2,0)变成了点B ′(2,4)，求矩阵M .
解设M ＝⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤a
b c d ，
则⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c
d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤710，⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c
d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤20＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤24，即⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋2b ＝7，c ＋2d ＝10，2a ＝2，2c ＝4，
解得⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝1，
b ＝3，
c ＝2，
d ＝4.
所以M ＝⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤1
32
4.
3．(2011·南京模拟)求曲线C ：xy ＝1在矩阵M ＝⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤
1
1－1
1对应的变换作用下得到的曲线C 1的方程．
解设P (x 0，y 0)为曲线C ：xy ＝1上的任意一点，
它在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
1 1－1 1对应的变换作用下得到点Q (x ，y )．
由⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 1－1 1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤
x y ，得⎩⎪⎨
⎪⎧
x 0＋y 0＝x ，－x 0＋y 0＝y .
解得⎩⎪⎨⎪⎧
x 0＝x －y 2
，
y 0
＝x ＋y
2.
因为P (x 0，y 0)在曲线C ：xy ＝1上，所以x 0y 0＝1.
所以
x －y 2×
x ＋y
2
＝1，即x 2－y 2
＝4.
所以所求曲线C 1的方程为x 2
－y 2
＝4.
4．已知矩阵M ＝⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤
1
22
x 的一个特征值为3，求其另一个特征值．
解矩阵M 的特征多项式为
f (λ)＝⎪⎪⎪⎪
⎪⎪
λ－1 －2－2 λ－x ＝(λ－1)(λ－x )－4.
因为λ1＝3为方程f (λ)＝0的一根，所以x ＝1，由(λ－1)(λ－1)－4＝0，得λ2＝－1，所以矩阵M 的另一个特征值为－1.
5．求矩阵⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤2
11
2的特征值及对应的特征向量．
解特征多项式f (λ)＝⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪λ－2 －1 －1 λ－2＝(λ－2)2－1＝λ2
－4λ＋3.
由f (λ)＝0，解得λ1＝1，λ2＝3.
将λ1＝1代入特征方程组，得⎩
⎪⎨
⎪⎧
－x －y ＝0，
－x －y ＝0⇒x ＋y ＝0，
可取⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤
1－1为属于特征值λ1＝1的一个特征向量．同理，当λ2＝3时，由⎩⎪⎨
⎪⎧
x －y ＝0，
－x ＋y ＝0
⇒x －y ＝0，所以可取⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
11为属于特征值λ2＝3的一个特
征向量．
综上所述，矩阵⎣⎢
⎡⎦⎥⎤
2
11
2有两个特征值λ1＝1，λ2＝3；属于λ1＝1的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
1－1，属于λ2＝3的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
11.
6．在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋y ＋2＝0在矩阵M ＝⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤
1
a b
4对应的变换作用下得到直线
m ：x －y －4＝0，求实数a ，b 的值．
解法一在直线l ：x ＋y ＋2＝0上取两点A (－2,0)，B (0，－2)．
A 、
B 在矩阵M 对应的变换作用下分别对应于点A ′、B ′.
因为⎣⎢
⎡⎦⎥⎤1 a b 4 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 0＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤ －2 －2b ，所以点A ′的坐标为(－2，－2b )；
⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 a b 4 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0－2＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－2a －8，所以点B ′的坐标为(－2a ，－8)．由题意，点A ′、B ′在直线m ：x －y －4＝0上，
所以⎩
⎪⎨
⎪⎧
－2－－2b －4＝0，－2a －－8－4＝0.
解得a ＝2，b ＝3.
法二设P (x ，y )为直线x ＋y ＋2＝0上的任意一点，它在矩阵M ＝⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤
1 a b
4对应的变换作用下得
到点Q (x ′，y ′)，则⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤1 a b 4⎝⎛⎭⎫x y ＝⎝⎛⎭⎫x ′y ′，得⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＋ay ＝x ′，bx ＋4y ＝y ′，解得⎩
⎪⎨⎪
⎧
x ＝－4x ′＋ay ′，y ＝bx ′－y ′
ab －4.
因此－4x ′＋ay ′ab －4＋bx ′－y ′
ab －4＋2＝0，
即(b －4)x ′＋(a －1)y ′＋(2ab －8)＝0.
因为直线l 在矩阵M 对应的变换作用下得到直线m ：x －y －4＝0.所以b －41＝a －1－1
＝
2ab －8
－4
.
解得a ＝2，b ＝3.。