立体几何第二讲球体测试题(含答案)

一，选择题

1. 平面a 截球O 的球面所得圆的

半径为 (A)/6n ( B ) ^/3n

2. 一个正方体的顶点都在球面上，

a 的距离为｛2,则此球的体积为 (D) 6后 '，则球的表面积是(

2 2 A. 81 cm

B. 12jicm 2 2

C. 16兀 cm

D. 20；1 cm 3. 如果两个球的体积之比为 8: A. 8:27 B. 2:3 C.

4. 已知三棱锥S-ABC 的所有顶

点都在球 O 的球面上， MBC 是边长为1的正三角形, 球O 的直径，且sc=2则此棱锥的体积为

该球面得半径为 4,圆M 的面积为4兀，则圆N 的面积为(

A. B. 9 兀 C. 11兀 D. 137!

一球面上，则底面 ABCD 勺中心与顶点S 之间的距离为(

A.亟

B. 2

二，填空题 1. 球的半径扩大为原来的 2倍,它的体积扩大为原来的 _

2. 若三个球的表面积之比是 1: 2:3，则它们的体积之比是

3.已知点P , A, B , C, D 是球O 表面上的点，PA 1平面ABCD 四边形ABCD 是边长为2^3正 方形。若PA=^/6 ,则△ OAB 的面积为

4.直三棱柱ABC - ARG 的各顶点都在同一球面上，若AB = AC = AA = 2 ,

NBAC =120°,则球的表面积为

5. 已知正三棱锥 P-ABC 点P,A,B,C 都在半径为 J 3的球面上，若 PA,PB,PC 两两互相垂直, 则球心都到截面 ABC 的距离为 三，简答题

1, 正三棱锥的高为1，底面边长为2

恵，内有一个球与它的四个面都相切，求内切球的表

面积和体积。 1,球心O 到平面 (C )知6 n 它的棱长为

27,那么两个球的表面积之比为 ()

4:9 D. 2:9 SC 为

5.已知平面a 截一球面得圆

M 过圆心M 且与a 成60°二面角的平面P 截该球面得圆 N,若

6.高为J 2的四棱锥S-ABCD 的底面是边长为1的正方形，点

S,A,B,C,D 均在半径为 1的同 C. 42

因此，球心O 到截面P 的距离等于ON = J 3,截面圆N 的半径r =(42 -3 = J 13,截面圆N

的面积等于 兀『=13兀，选D

6. A ［命题立意］本小题主要考察考生的空间想象力以及如何有效的利用已知条件恰当的将空

一。选择题

1.【答案】B

【解析】球半径r = +(72)2 = J 3，所以球的体积为 ｝佔—B.

2.B 正方体的顶点都在球面上，则球为正方体的外接球，则2j 3 = 2R ，

R = ^/3, S=4JI R 2 =12兀

3.C V | : V 2 =8: 27, » :「2 = 2: 3,8): S^ = 4 : 9

4.A 解析：本题考查与球有关的组合体与球的性质及空间几何体体积的运算，难度中等

2 7

3 73

CD 二—x —>c i =二， 3 2 3 据题意得 3 2 3 故 |OD | =7|CO

2 -CD 因此顶点S 到底面ABC 的距离为

h =2|OD | = ^6,故 V S ^B ^^—^l 2^2^6 3 3 4 3

5.D ［命题立意］本小题主要考察球的半径，球心到截面的距离和截面圆半径间的关系；二面 角的平面角以及相关的平面几何知识的综合应用能力，解题关键是确定二面角的位置。

解析：设圆N 的半径为r ，球心为O ,平面a C P = AB ，其中线段AB 是圆M 的一条直径,

联接OM,ON,MN,NA,NB,则有NA=NB;又M 为AB 的中点，于是又NM 丄AB ，过点

M 在平

面 a 内 做 AB 得 垂 线 交 圆 M 于 点 N NMC = 600.又AB 丄OM , AB 丄ON ,因此AB 丄平面OMN ;又AB 丄平面CMN 平面OMN 与平面CMN 重合, 即点O,C,M,N 四点共面，在四边形 OCMN 中,

NOMN =NOMC -ZNMC

= 90°—60° =30°, N ONM =90°, OM 二如-22 =2虫,ON

J OM =73? 2

间问题平面化，从而借助于平面几何知识将相关问题解

决。

解析：设题中的球的球心为O,球心0与顶点S在底面ABCD上的射影分别是O1,E,联接OA,OB,OC,OD,OS,则有0A=0B=0C=0D=0S=1 ，点O i 是底面正方形ABCD 的中心, 00, P S E且00,=抉2 _00小2 =J l2 _（亍）2S'2雄,SE=V2.

2

在直角梯形O O J ES中，作OF丄SE,于点F则四边形00i ES是矩形,

返,SF =SE-EF =72-血近

2

EF= 0 0, =在RTASO F中，0尸=0S2

二，填空题

72

即0i E =——•在RTiSOi中,

2

SO二J01E2 +SE2二j（¥）2+（72）2尿

1. 8 r^2r1,V^8V1

2.1:2^2:373 r :「2:「3 =1:72:73, r31: ^3:「33=13:（72）3:（73）3

=1:2^/2:373

3.【答案】3襄

【命题意图】本题主要考查组合体的位置关系、抽象概括能力、空间想象能力、运算求解能

力以及转化思想，该题灵活性较强，难度较

大。

【解析】点P、A、B、C、D为球0内接长方体的顶

点,

球心0为该长方体对角线的中点,

1

二也0AB的面积是该长方体对角面面积的-,

4

寫AB =25/3, PA =2虫,”•. PB =6,，.A 0ABD面积=丄咒273^6=373

4

【点评】该题若直接利用三棱锥来考虑不宜入手，注意到条件中的垂直关系，把三棱锥转化

为长方体来考虑就容易多

了。

4. 20

兀

5.—【命题立意】本题考查正三棱锥的结构特点与球的相关知识,

3

同时考查了空间想象力,