立体几何第二讲球体测试题(含答案)
球体运动测试题及答案高中
球体运动测试题及答案高中一、选择题1. 以下哪个选项不是描述球体运动的术语？A. 滚动B. 旋转C. 抛物线运动D. 振动答案：D2. 当一个球体在水平面上滚动时，其运动状态是：A. 直线运动B. 曲线运动C. 随机运动D. 静止答案：A3. 抛物线运动是球体在受到什么力的作用下的运动？A. 重力B. 摩擦力C. 弹性力D. 离心力答案：A二、填空题4. 当球体从一定高度自由落下时，其运动轨迹是________。
答案：抛物线5. 球体在旋转时，其角速度是恒定的，这种运动称为________。
答案：匀速旋转三、简答题6. 描述一下球体在不同介质中的滚动摩擦力是如何变化的。
答案：球体在不同介质中滚动时，摩擦力的大小会因介质的硬度、粗糙度等因素而变化。
例如，在光滑的冰面上滚动时，摩擦力较小；而在粗糙的沙地上滚动时，摩擦力较大。
7. 解释一下为什么抛物线运动是球体在空气中运动时常见的轨迹。
答案：抛物线运动是球体在空气中运动时常见的轨迹，因为球体受到重力的作用，同时空气阻力也会影响其运动。
在没有其他外力作用的情况下，球体会沿着抛物线轨迹下落。
四、计算题8. 假设有一个球体从10米高的地方自由落下，忽略空气阻力，求球体落地时的速度。
答案：根据自由落体运动的公式v = √(2gh)，其中 g 为重力加速度，取9.8 m/s²，h 为高度。
代入数值计算得v = √(2 × 9.8 × 10) ≈ 14.1 m/s。
五、论述题9. 论述球体在不同条件下的运动特性，并给出相应的实例。
答案：球体的运动特性受多种因素影响，如重力、摩擦力、空气阻力等。
例如，在无重力环境下，球体可以保持静止或匀速直线运动；在有重力的地球上，球体会受到重力的影响而下落。
在滚动时，球体会受到摩擦力的作用，其运动速度会逐渐减小。
抛物线运动是球体在受到重力作用下，同时受到空气阻力影响时的典型运动轨迹，如篮球投篮时的轨迹。
立体几何练习题及答案
立体几何练习题及答案在学习立体几何的过程中，练习题对于巩固知识、提高应用能力起着至关重要的作用。
本文将为大家提供一些立体几何的练习题，并给出详细的答案解析，以帮助读者更好地理解和掌握立体几何的知识。
一、球的表面积和体积1. 某个球的半径为3cm，求其表面积和体积。
解析：球的表面积公式为S = 4πr²，体积公式为V = (4/3)πr³。
将半径r代入公式进行计算即可。
表面积：S = 4π(3)² = 4π(9) ≈ 113.04cm²体积：V = (4/3)π(3)³ = (4/3)π(27)≈ 113.04cm³因此，该球的表面积约为113.04cm²，体积约为113.04cm³。
二、立方体的表面积和体积2. 一个立方体的边长为5cm，求其表面积和体积。
解析：立方体的表面积公式为S = 6a²，体积公式为V = a³。
将边长a代入公式进行计算即可。
表面积：S = 6(5)² = 6(25) = 150cm²体积：V = (5)³ = 5(5)(5) = 125cm³因此，该立方体的表面积为150cm²，体积为125cm³。
三、圆柱的表面积和体积3. 一个圆柱的底面半径为4cm，高度为10cm，求其表面积和体积。
解析：圆柱的表面积公式为S = 2πr² + 2πrh，体积公式为V = πr²h。
将底面半径r和高度h代入公式进行计算即可。
表面积：S = 2π(4)² + 2π(4)(10) = 2π(16) + 2π(40) ≈ 321.2cm²体积：V = π(4)²(10) = π(16)(10) ≈ 502.4cm³因此，该圆柱的表面积约为321.2cm²，体积约为502.4cm³。
球体练习题和答案
球体练习题和答案题一：计算球体的体积和表面积已知球体的半径为$r$，求球体的体积$V$和表面积$A$。
解答：球体的体积$V$可以通过以下公式计算：\[V = \frac{4}{3}\pi r^3\]球体的表面积$A$可以通过以下公式计算：\[A = 4\pi r^2\]题二：计算球体内切立方体的体积和表面积已知球体的半径为$r$，求球体内切立方体的体积$V_c$和表面积$A_c$。
解答：球体内切立方体的体积$V_c$可以通过以下公式计算：\[V_c = \frac{4}{3}\pi r^3\]球体内切立方体的表面积$A_c$可以通过以下公式计算：\[A_c = 6r^2\]题三：计算球体外切立方体的体积和表面积已知球体的半径为$r$，求球体外切立方体的体积$V_o$和表面积$A_o$。
解答：球体外切立方体的体积$V_o$可以通过以下公式计算：\[V_o = 8\pi r^3\]球体外切立方体的表面积$A_o$可以通过以下公式计算：\[A_o = 24\pi r^2\]题四：整数半径球体问题已知球体的体积为整数，求球体的半径$r$。
解答：对于整数半径球体问题，可以通过以下步骤求解：1. 设球体的体积为$V$，则可以得出方程：$\frac{4}{3}\pi r^3 = V$；2. 由于要求半径$r$为整数，解方程可以得到$r =\sqrt[3]{\frac{3V}{4\pi}}$；3. 将体积$V$代入上述公式，即可求得整数半径球体的半径$r$。
题五：球体的体积比和表面积比已知两个球体的半径分别为$r_1$和$r_2$，求它们的体积比$V_{\text{比}}$和表面积比$A_{\text{比}}$。
解答：两个球体的体积比$V_{\text{比}}$可以通过以下公式计算：\[V_{\text{比}} = \frac{\frac{4}{3}\pi r_1^3}{\frac{4}{3}\pi r_2^3} = \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^3\]两个球体的表面积比$A_{\text{比}}$可以通过以下公式计算：\[A_{\text{比}} = \frac{4\pi r_1^2}{4\pi r_2^2} =\left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2\]总结：本文介绍了球体的体积和表面积的计算方法，包括球体内切立方体和外切立方体的体积和表面积，整数半径球体的求解方法，以及球体的体积比和表面积比的计算公式。
高中数学立体几何.球专题附练习题不看后悔.doc
立体几何 - 球 - 专题学案练习1.下列四个命题中错误的个数是（）．．①经过球面上任意两点，可以作且只可以作一个球的大圆②球面积是它大圆面积的四倍③球面上两点的球面距离，是这两点所在截面圆上以这两点为端点的劣弧的长2.一平面截一球得到直径为 6 cm 的圆面，球心到这个平面的距离是 4 cm，则该球的体积是A. 100π208πcm3 C.500π416 3πcm3 B. cm 3 D. cm3 3 3 3 33.某地球仪上北纬 30°纬线的长度为12π cm，该地球仪的半径是_____________cm ，表面积是 _____________cm2.预备1. 球心到截面的距离d与球半径 R 及截面的半径 r 有以下关系：．2. 球面被经过球心的平面截得的圆叫．被不经过球心的平面截得的圆叫．3.在球面上两点之间的最短连线的长度，就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧长，这个弧长叫．4. 球的表面积表面积S＝；球的体积V＝．5.球面距离计算公式： __________典例剖析（ 1）球面距离，截面圆问题例 1．球面上有 3 个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的1，经过这 3 个点的小圆的周长为 4π，那么6这个球的半径为3 3 D. 3练习：球面上有三点A、 B、 C， A 和 B 及 A 和 C 之间的球面距离是大圆周长的1，B和C之间的球面距离是大圆4周长的1，且球心到截面ABC的距离是21，求球的体积．67例 2. 如图，四棱锥A－BCDE中，AD底面BCDE，且 AC⊥ BC，AE⊥ BE．A(1) 求证： A、 B、 C、 D、E 五点都在以 AB 为直径的同一球面上；E(2) 若 CBE 90 ,CE 3, AD 1,求 B、 D 两点间的球面距离．DB C（ 2）注意体会立体空间想象能力，不要把图形想象错误例 3. 在底面边长为 2 的正方体容器中，放入大球，再放入一个小球，正好可以盖住盖子（小球与大球都与盖子相切），求小球的半径。
立体几何之与球有关的高考试题
立体几何分类复习一、球的相关知识考试核心：方法主要是“补体”和“找球心”1. 长方体、正方体的外接球其体对角线长为该球的直径.2. 正方体的内切球其棱长为球的直径.3•正三棱锥的外接球中要注意正三棱锥的顶点、球心及底面正三角形中心共线.4.正四面体的外接球与内切球的半径之比为 3 : 1.5•性质的应用d? =°°； = R，构造直角三角形建立三者之间的关系。
1.（2015高考新课标2,理9）已知A,B是球°的球面上两点，/ AOB=90,C为该球面上的动点，若三棱锥O-ABC体积的最大值为36,则球°的表面积为（）A. 36 nB.64 nC.144 nD.256 n2.（2015* iX宁為善）已知宜三核柱』滋的6个顶点都在球0的球面上”若AS=3t AC =4, ABX AC t 44 = 12±则球0的半径为（）S、3. （2016 •扶麻模拟〕若一金正四iS俸的展面叙为久其内如球妁表丙积为则g= ____________4.四棱锥P 矽何的五个顶点帶在一个球面上’该四棱锥的三视瞬如图所示，E t F分别是按朋，他的中点，直线矿祓球面所厳得的戢段长为2边，财该球的表面抿为（参考答案【解听】T图所示，当点C位千垂亶于面貝OE的亶径嵋（点眄三O -.ABC的体私嚴大*设球O的半径为卫.此时「二近口 = 说“夙=丄便=玮・故湮=6・则球0加衰而积为3 2 6S=4 J R: =144^.故选G【考点定位】外攥球展面叔和権律詢体報.2.輕析：选C 如国，由球芒作平面朋C菇垂线.则垂足为血的中点闍又用戶］Ott^AAx答案:半4.解析：薩D该几何体妁直观囲如图所示「该几何体可看作由正方体截得「则正方体外接球的直径餌为PG由直銭EF社蛭面所截得的坝掘长为曲*可知正方弼曲仞对角銭M的长为2品可得a=2t 3PAG中吩匚在灵厅=曲.球的半栓片晶X3.解析：设正四面体棱搅为色则正四面体表面积为& =斗孑=£鎖其内切球半径为正四面空屿即V逹e執国此内切球表面和为知亠『则睿=豊6^=6T浙以球"的半径R=OA=类型一：有公共底边的等腰三角形，借助余弦定理求球心角。
立体几何《球》 专题(提高题)(题目及答案)
《球》【类型1:求长度】1、设正三棱锥A BCD -的所有顶点都在球O 的球面上，1BC =，,E F 分别是,AB BC 的中点，EF DE ⊥，则球O 的半径为2、点S 、A 、B 、C 2的同一球面上，点S 到平面ABC 的距离为12，3AB BC CA ===则点S 与ABC ∆中心的距离为（ ）A 3B 2C ．1D ．123、已知球O 的半径为4，圆M 与圆N 为该球的两个小圆，AB 为圆M 与圆N 的公共弦，4AB =．若3OM ON ==，则两圆圆心的距离MN = ．4、高为24的四棱锥S-ABCD 的底面是边长为1的正方形，点S 、A 、B 、C 、D 均在半径为1的同一球面上，则底面ABCD 的中心与顶点S 之间的距离为5、（2013年辽宁卷）已知三棱柱111C B A ABC - 的6个顶点都在球O 的球面上，若AB = 3，AC = 4 ,AB AC ⊥ 121=AA ，则球O 的半径为（ ）A 317B ．210C ．132D ．3106、已知球的表面积为20π，球面上有A、B、C三点.如果AB=AC=2，BC=32，则球心到平面ABC的距离为（）A．1 B．2C．3D．27、已知球的半径为2，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆．若两圆的公共弦长为2，则两圆的圆心距等于（）A．1 B．2C．3D．28、已知两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上．若圆锥底面面积是这个球面面积的316，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为______________．9、（2013年天津卷）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上. 若球的体积为92, 则正方体的棱长为______.【类型2:求面积】1、在四面体ABCD 中，若AB CD ==2AC BD ==，AD BC ==ABCD 的外接球的表面积为（ ）A ．2πB ．4πC ．6πD ．8π2、四棱锥P -ABCD 的底面是边长为42的正方形，侧棱长都等于45，则经过该棱锥五个顶点的球面面积为_________．3、已知点A 、B 、C 、D 均在球O 上，AB ＝BC ＝错误!未找到引用源。
球体练习题
球体练习题一、球体基础知识1. 球体的定义2. 球体的几何特征3. 球体的表面积公式4. 球体的体积公式5. 球体的对称性6. 球体的截面形状7. 球体的重心位置8. 球体的旋转对称性9. 球体的物理性质10. 球体的应用领域二、球体计算题1. 计算半径为5cm的球体的表面积。
2. 计算直径为10cm的球体的体积。
3. 若一个球体的表面积是200π平方厘米，求其半径。
4. 一个球体的体积是1250立方厘米，求其半径。
5. 计算半径为8cm的球体在x轴、y轴、z轴上的截面面积。
6. 一个球体的表面积是64π平方厘米，求其体积。
7. 计算半径为3cm的球体在z轴上的截面面积。
8. 若一个球体的体积是πr³，求其表面积。
9. 计算直径为12cm的球体在xy平面上的截面面积。
10. 一个球体的表面积是36π平方厘米，求其半径。
三、球体应用题1. 一个球体的直径是20cm，求其表面涂漆所需油漆的量。
2. 一个球体的半径是10cm，求其内部可以装满多少个半径为2cm的小球。
3. 一个球体的表面积是144π平方厘米，求其内部可以装满多少个半径为3cm的小球。
4. 一个球体的体积是1000立方厘米，求其半径。
5. 一个球体的直径是15cm，求其重量（假设密度为0.8g/cm³）。
6. 一个球体的表面积是78.5π平方厘米，求其体积。
7. 一个球体的半径是5cm，求其内部可以装满多少个直径为4cm的小球。
8. 一个球体的直径是30cm，求其表面涂漆所需油漆的量。
9. 一个球体的体积是125立方厘米，求其半径。
10. 一个球体的表面积是25π平方厘米，求其体积。
四、球体证明题1. 证明球体的表面积公式S=4πr²。
2. 证明球体的体积公式V=(4/3)πr³。
3. 证明球体的重心位于球心。
4. 证明球体的截面形状为圆。
5. 证明球体的对称性。
6. 证明球体的旋转对称性。
7. 证明球体的物理性质，如重心、惯性等。
高二数学立体几何试题答案及解析
高二数学立体几何试题答案及解析1.一个球的Л体积为，则此球的表面积为．【答案】【解析】因为球的体积公式：,所以=所以R=1，由表面积公式S=4=2.已知球的半径为2，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆．若两圆的公共弦长为2，则两圆的圆心距等于（）A．1B．C．D．2【答案】C【解析】略3.已知长方体中，，点在棱上移动，当时，直线与平面所成角为．【答案】【解析】为直线与平面所成角，，,,所以．【考点】线面角4.已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，且AB=6，BC=，则棱锥O-ABCD 的体积为_____________．【答案】【解析】矩形外接圆的直径为对角线长。
棱锥的体积为【考点】棱锥外接球问题5.某几何体的三视图如图所示，其中左视图为半圆，则该几何体的体积是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由三视图可得其还原图是半个圆锥，由题可得其底面圆半径为1，母线长为3，所以其体积为。
故选A。
【考点】由三视图求面积、体积。
6.（本小题满分12分）已知如图，四边形是直角梯形，，，平面，，点、、分别是、、的中点．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值．【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）先证明平面∥平面，由面面平行可得线面平行；（Ⅱ）建立直角坐标系，由空间微量公式计算即可.试题解析：（Ⅰ）证明：∵点、、分别是、、的中点，∴∥，∥.∵平面，平面，平面，平面，∴∥平面，∥平面.∵，∴平面∥平面∵平面，∴∥平面．（Ⅱ）解：根据条件，直线，，两两垂直，分别以直线，，为建立如图所示的空间直角坐标系．设，∵，∴∴.设分别是平面和平面的一个法向量，∴，∴，即，．不妨取，得．∴．∵二面角是锐角，∴二面角的余弦值是．【考点】1.线面平行、面面平行的判定与性质；2.空间向量的应用.7.一个几何体的三视图如图所示，已知这个几何体的体积为，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】根据题中所给的三视图，可知该几何体为底面为边长为和的长方形，顶点在底面上的摄影是左前方的顶点，所以有，解得，故选B．【考点】根据所给的几何体的三视图，还原几何体，求其体积及其他量．8.如图，三棱柱中，侧棱平面，为等腰直角三角形，，且分别是的中点．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求锐二面角的余弦值．【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）；【解析】（Ⅰ）本题考查线面垂直的判定定理．可由勾股定理证明；另外平面即可；（Ⅱ）过程为作---证---算．根据二面角的定义找到角，注意不要忽略了证明的过程．试题解析：（Ⅰ）证明：由条件知平面，令，经计算得，即，又因为平面；（Ⅱ）过作，连结由已知得平面就是二面角的平面角经计算得，【考点】1．线面垂直的判定定理；2．二面角；9.已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等,在底面内的射影为的中心,则与底面所成角的正弦值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】设该棱柱各棱长为a,底面中心为O，则A1O平面ABC．在三角形A1AO中,可得．设AB中点为D，可证，AD A1D．在直角三角形ADA1中，AA1=a,AD=,解得，．故与底面所成角的正弦值为．故选B．10.已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为________．【答案】【解析】【考点】圆锥体积11.如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E、F，且EF= ．则下列结论中正确的个数为①AC⊥BE；②EF∥平面ABCD；③三棱锥A﹣BEF的体积为定值；④的面积与的面积相等，A．4B．3C．2D．1【答案】B【解析】①中AC⊥BE，由题意及图形知，AC⊥面DD1B1B，故可得出AC⊥BE，此命题正确；②EF∥平面ABCD，由正方体ABCD-A1B1C1D1的两个底面平行，EF在其一面上，故EF与平面ABCD无公共点，故有EF∥平面ABCD，此命题正确；③三棱锥A-BEF的体积为定值，由几何体的性质及图形知，三角形BEF的面积是定值，A点到面DD1B1B距离是定值，故可得三棱锥A-BEF的体积为定值，此命题正确；④由图形可以看出，B到线段EF的距离与A到EF的距离不相等，故△AEF的面积与△BEF的面积相等不正确【考点】1．正方体的结构特点；2．空间线面垂直平行的判定与性质12.设为两个不重合的平面，为两条不重合的直线，给出下列四个命题：①若,则；[②若,则；③若则；④若与相交且不垂直，则与一定不垂直．其中，所有真命题的序号是．【答案】①③【解析】②中两平面平行或垂直；④中两直线可能相交，平行或异面，可能出现异面直线垂直的情况；①③由线面垂直平行的判定与性质可知结论正确【考点】空间线面垂直平行的判定与性质13.一个的长方体能装卸8个半径为1的小球和一个半径为2的大球，则的最小值为（）A．B．C．D．8【答案】B【解析】在的面上放4个小球，在在上面放一个大球，4个小球每个都与相邻两个相切，大球与四个小球都相切，记4个小球的球心依次为，大球球心为，则为正四棱锥，底面边长为2，侧棱长为3，其高为，对应上面再放4个小球，因此的最小值为，故选B．【考点】长方体与球．14.如图，在四面体中，，，点分别是的中点（1）求证：平面平面；（2）当，且时，求三棱锥的体积【答案】（1）见解析；（2）．【解析】（1）证明面面垂直应证线面垂直，首先根据图形分析需要证明面即可说明平面平面；（2）解决本题关键是找出底面上的高，由（1）很容易可以得到高为，由此可以计算三棱锥的体积．试题解析：（1）证明：∵中，分别是的中点，．，．中，，是的中点，．，面，平面平面；（2）解：，是的中点，，，，∴平面，，，，，，．【考点】空间几何体的垂直、平行、体积问题．15.如图，已知四棱锥的底面为菱形，，，．（1）求证：；（2）求二面角的余弦值．【答案】（1）详见解析；（2）．【解析】（1）用几何法证明线线垂直的主要思路是证明线面垂直，则线线垂直，所以首先根据所给的条件能够确定是等腰直角三角形，是等边三角形，然后取的中点，连接，最后证明平面;（2）根据上一问的结论，根据勾股定理，证明，从而可以以为原点建立空间直角坐标系，分别求两个平面的法向量，利用公式求解．试题解析：（1）证明：取的中点，连接．∵，∴又四边形是菱形，且，∴是等边三角形，∴又，∴，又，∴（2）由，，易求得，，∴，以为坐标原点，以，，分别为轴，轴，轴建立空间直坐标系，则，，，，∴，，设平面的一个法向量为，则，，∴，∴，，∴设平面的一个法向量为，则，，∴，∴，，∴∴【考点】1．线与线的位置关系；2．二面角．16.如图，在正三棱锥中，．分别为棱．的中点，并且，若侧棱长，则正三棱锥的外接球的体积为__________．【答案】【解析】由题意推出MN⊥平面SAC，即SB⊥平面SAC，∠ASB=∠BSC=∠ASC=90°，将此三棱锥补成正方体，则它们有相同的外接球，正方体的对角线就是球的直径，求出直径即可求出球的体积．∵M，N分别为棱SC，BC的中点，∴MN∥SB，∵三棱锥S-ABC为正棱锥，∴SB⊥AC（对棱互相垂直）∴MN⊥AC，又∵MN⊥AM，而AM∩AC=A，∴MN⊥平面SAC，∴SB⊥平面SAC ∴∠ASB=∠BSC=∠ASC=90°以SA，SB，SC为从同一定点S出发的正方体三条棱，将此三棱锥补成以正方体，则它们有相同的外接球，正方体的对角线就是球的直径．【考点】球的体积与表面积【方法点睛】一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径．设其外接球的半径为，则有．17.如图，在三棱锥中，△和△都为正三角形且，，，，分别是棱，，的中点，为的中点．（1）求异面直线和所成的角的大小；（2）求证：直线平面．【答案】（1）;（2）见解析．【解析】（1）通过构造中位线，得到，即为异面直线和所成的角，由已知数据求之即可；（2）要证平面，可在平面中构造一条直线与平行即可，连接交于点，连接，证明即可．试题解析：（1）∵，分别是，的中点，∴，∴为异面直线和所成的角．在△中，可求，，，故，即异面直线和所成的角是．（2）连接交于点，连接，∵为的中点，为的中点，∴为△的重心，∴．∵为的中点，为的中点，∴，∴，∴，∵面，面，∴面．【考点】1．异面直线所成的角；2．线线、线面平行的判定与性质．18.如图1，已知正方体ABCD－A1B1ClD1的棱长为a，动点M、N、Q分别在线段上，当三棱锥Q-BMN的俯视图如图2所示时，三棱锥Q-BMN的正视图面积等于（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由俯视图可知为的中点，与重合，与点重合．所以此时三棱锥的正视图为三角形，其面积为．故B正确．【考点】三视图．【思路点晴】本题主要考查的是三视图，属于中档题．应先根据三棱锥的俯视图确定四点的位置，还原出三棱锥的立体图，根据其立体图可得其正视图，从而可求得正视图的面积．19.如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，是的中点．则与底面所成的角的正切值为________．【答案】【解析】设底面边长为1，取中点，连接，，所以底面，那么为与底面所成的角，，，所以．【考点】线面角【思路点睛】主要考察了线面角的求法，属于基础题型，根据线面角的定义，线与射影所成角，所以此题的关键是求在平面内的射影，所以根据底面，取中点，得底面，再连接，为与底面所成的角，根据正切公式求解．20.在四棱锥中，底面，，，，，是的中点．（1）证明：；（2）证明：平面；（3）（限理科生做，文科生不做）求二面角的余弦值．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）．【解析】（1）证明异面直线垂直，一般的思路是证明线面垂直，线在面内，所以线线垂直的思路，所以根据条件转化为先证明平面，而要证明平面，得先证明，条件所给，易证；（2）证明线面垂直的思路是证明线与平面内的两条相交直线垂直，则线面垂直，根据上一问已证明，所以只需再证明，根据条件需证明，问题会迎刃而解；（3）由题可知两两垂直，建立空间直角坐标系，设，那就可以写出各点的坐标，并分别求两个平面的法向量与，利用公式，并观察是钝二面角．试题解析：（1）证明：底面，．又面，面，．（2）证明：，是等边三角形，，又是的中点，，又由（1）可知，面（3）解：由题可知两两垂直，如图建立空间直角坐标系，设，则．设面的一个法向量为，即取则，即设面的一个法向量为，即取则即，由图可知二面角的余弦值为．【考点】1．线线垂直，线面垂直的证明；2．二面角；3．向量法．21.如图，已知圆柱的高为，是圆柱的三条母线，是底面圆的直径，．（1）求证：//平面；（2）求二面角的正切值．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】（1）先利用垂直关系建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，通过证明的方向向量和平面的法向量垂直进行证明；（2）先求出两个平面的法向量，利用空间向量求出其二面角的余弦值，再利用同角三角函数基本关系式求解．试题解析：由是直径，可知,故由可得：,以点为坐标原点建立空间直角坐标系（如图）则（1）由可得平面的一个法向量又又平面平面（2）由可得平面的一个法向量，由可得平面的一个法向量设二面角为，则所以二面角的正切值为．【考点】1．线面平行的判定；2．二面角；3．空间向量在立体中的应用．22.（2015秋•黄冈校级期末）如图，△ADP为正三角形，四边形ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD．M为平面ABCD内的一动点，且满足MP=MC．则点M在正方形ABCD内的轨迹为（O为正方形ABCD的中心）（）A． B． C． D．【答案】A【解析】在空间中，过线段PC中点，且垂直线段PC的平面上的点到P，C两点的距离相等，此平面与平面ABCD相交，两平面有一条公共直线．解：在空间中，存在过线段PC中点且垂直线段PC的平面，平面上点到P，C两点的距离相等，记此平面为α，平面α与平面ABCD有一个公共点D，则它们有且只有一条过该点的公共直线．取特殊点B，可排除选项B，故选A．【考点】轨迹方程．23.（2015秋•内江期末）若一个几何体的正视图是一个三角形，则该几何体不可能是（）A．圆锥B．圆柱C．棱锥D．棱柱【答案】B【解析】圆柱的正视图可能是矩形，可能是圆，不可能是三角形．解：圆锥的正视图有可能是三角形，圆柱的正视图可能是矩形，可能是圆，不可能是三角形，棱锥的正视图有可能是三角形，三棱柱放倒时正视图是三角形，∴在圆锥、圆柱、棱锥、棱柱中，正视图是三角形，则这个几何体一定不是圆柱．故选：B．【考点】简单空间图形的三视图．24.已知两条不重合的直线和两个不重合的平面、，有下列命题：①若，，则；②若，，，则；③若是两条异面直线，，，，则；④若，，，，则．其中正确命题的个数是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】①不正确，还可能；②正确，，，又，；③不正确，还可能相交；④由面面垂直的性质定理可知④正确．综上可得②④正确．故B正确．【考点】1线面位置关系；2面面位置关系．25.如图，在三棱锥P﹣ABC中，E、F、G、H分别是AB、AC、PC、BC的中点，且PA=PB，AC=BC．（Ⅰ）证明：AB⊥PC；（Ⅱ）证明：平面PAB∥平面FGH．【答案】见解析【解析】（Ⅰ）根据线面垂直的性质定理证明AB⊥面PEC，即可证明：AB⊥PC；（Ⅱ）根据面面平行的判定定理即可证明平面PAB∥平面FGH．解：（Ⅰ）证明：连接EC，则EC⊥AB又∵PA=PB，∴AB⊥PE，∴AB⊥面PEC，∵BC⊂面PEC，∴AB⊥PC（Ⅱ）连结FH，交于EC于O，连接GO，则FH∥AB在△PEC中，GO∥PE，∵PE∩AB=E，GO∩FH=O∴平面PAB∥平面FGH【考点】平面与平面平行的判定；空间中直线与直线之间的位置关系．26.以正方体的顶点D为坐标原点，如图建立空间直角坐标系，则与共线的向量的坐标可以是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】不妨令正方体的边长为1,则由图可知.,与共线的向量的坐标为.故D正确.【考点】空间向量共线问题.27.如图，在四棱锥P-ABCD中，PC⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB=" 2AD" ="2CD" =2．E是PB的中点．（I）求证；平面EAC⊥平面PBC；（II）若二面角P-AC-E的余弦值为，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．【答案】（I）证明见解析；（II）．【解析】对于问题（I），可以先证明平面，再证明，然后即可证明所需结论；对于问题（II），首先建立以为坐标原点的空间坐标系，然后再求出相应点的坐标，再由题设条件求出的长以及平面的法向量，最后利用向量的夹角公式，就可以得到直线与平面所成角的正弦值．试题解析：（I），，，，，错误！未指定书签。
立体几何第二讲球体测试题(含答案)
第二节 球一，选择题1.平面α截球O 的球面所得圆的半径为 1，球心O 到平面α的距离为2，则此球的体积为 （A ）6π （B ）43π （C ）46π （D ）63π2.一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为，则球的表面积是（ ） Ａ．28cm π Ｂ．212cm π Ｃ．216cm π Ｄ．220cm π 3.如果两个球的体积之比为8:27,那么两个球的表面积之比为( )A. 8:27B. 2:3C. 4:9D. 2:94.已知三棱锥S-ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，ABC ∆是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且SC=2，则此棱锥的体积为( )A.26323 D.225.已知平面α截一球面得圆M ，过圆心M 且与α成060二面角的平面β截该球面得圆N ，若该球面得半径为4，圆M 的面积为4π，则圆N 的面积为（ ）A. 7πB. 9πC. 11πD. 13π6.2的四棱锥S-ABCD 的底面是边长为1的正方形，点S,A,B,C,D 均在半径为1的同一球面上，则底面ABCD 的中心与顶点S 之间的距离为（ ）A.102B. 232C. 322 二，填空题1.球的半径扩大为原来的2倍,它的体积扩大为原来的 _________ 倍.2.若三个球的表面积之比是1:2:3，则它们的体积之比是_____________。
3.已知点P ，A ，B ，C ，D 是球O 表面上的点，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是边长为3方形。
若6则△OAB 的面积为______________.4.直三棱柱111ABC A B C -的各顶点都在同一球面上，若12AB AC AA ===，∠=,则球的表面积为______________.BAC1205.已知正三棱锥P-ABC，点P,A,B,C PA,PB,PC两两互相垂直，则球心都到截面ABC的距离为______________.三，简答题1，正三棱锥的高为1，底面边长为，内有一个球与它的四个面都相切，求内切球的表面积和体积。
立体几何表面积体积和球专题(有答案)
A． B．
C． D．
6．如图，直角梯形 中， ， ， ．若将直角梯形绕 边旋转一周，所得几何体的体积为（）
A． B．
C． D．
7．如图，在四面体 中，已知 ， ， ，则四面体 被截面 分得的上下两部分的体积之比为（）
（2）内切球的半径.
35．如图所示，正方体 的棱长为 ，过顶点 、 、 截下一个三棱锥.
（1）求剩余部分的体积；
（2）求三棱锥 的高.
36．如图所示，正四棱台 的高是 ，两底面的边长分别是 和 .
（1）求这个棱台的侧棱长和斜高.
（2）求该棱台的侧面积与表面积.
37．如图，正三棱锥 的底面边长为2，侧棱长为3.
29．在三棱锥 中， 平面 ， ， ，其外接球表面积为 ，则三棱锥 的体积的最大值为________.
30．在三棱锥 中， ， ， ， ，若该三棱锥的体积为 ，则棱锥 外接球的表面积为_________.
31．在三棱柱 中侧棱垂直于底面， ，三棱柱 的高为4，则三棱柱 的外接球的表面积为________．
A． B． C． D．
17．在三棱锥 中， 平面 ， ， ， ，Q是边 上的一动点，且直线 与平面 所成角的最大值为 ，则三棱锥 的外接球的表面积为（）
A． B． C． D．
二、填空题
18．三棱锥 中， ， ，面 的面积为 ，则此三棱锥外接球的表面积为___．
19．已知 是球 的球面上的四个点， 平面 ，则该球的表面积为________．
A． B． C． D．
4．张衡(78年~139年)是中国东汉时期伟大的天文学家､文学家､数学家.他的数学著作有《算罔论》，他曾经得出结论：圆周率的平方除以十六等于八分之五.已知正方体的外接球与内切球上各有一个动点 ， ，若线段 的最小值为 ，利用张衡的结论可得该正方体的外接球的表面积为（）
2018-2019学年高中数学 第一章 空间几何体 1.3.2 球的体积和表面积练习(含解析)新人教A版必修2
1.3.2球的体积和表面积A组1.若一个球的体积扩大到原来的27倍,则它的表面积扩大到原来的()A.3倍B.3倍C.9倍D.9倍答案:C2.一个正方体内接于表面积为4π的球,则正方体的表面积等于()A.4B.8C.8D.8解析:设正方体棱长为x,球半径为R,则S球=4πR2=4π,解得R=1.因为正方体内接于球,所以x=2R=2,所以x=,故S正=6x2=6×=8.答案:B3.一个各棱长都为的四面体的四个顶点在同一球面上,则该球的表面积为()A.3πB.4πC.3πD.6π解析:以四面体的棱为正方体的面对角线构造正方体,则四面体的外接球就是正方体的外接球,且正方体的棱长为1,设球半径为R,所以2R=,所以S球=4πR2=3π.答案:A4.右图是一个几何体的三视图,根据图中数据,可得该几何体的表面积是()A.9πB.10πC.11πD.12π解析:该几何体的上部是一个球,其表面积是4π×12=4π;下部是一个圆柱,其表面积是2π×1×3+2π×12=8π,则该几何体的表面积是4π+8π=12π.答案:D5.用与球心距离为1的平面去截球,所得截面面积为π,则球的体积为()A.B.C.8πD.解析:设球的半径为R,截面圆的半径为r,所得截面圆的半径为r=1,因此球的半径R=,球的体积为πR3=.答案:D6.用过球心的平面将一个球平均分成两个半球,则两个半球的表面积是原来整球表面积的倍.解析:设球半径为R,则球表面积为S1=4πR2,两个半球的表面积为S2=2(2πR2+πR2)=6πR2,∴S2∶S1=6∶4=3∶2.答案:7.将一钢球放入底面半径为3 cm的圆柱形玻璃容器中,水面升高4 cm,则钢球的半径是.解析:设钢球半径为r cm,则r3=π×32×4,即r=3.答案:3 cm8.球的一个内接圆锥满足:球心到该圆锥底面的距离是球半径的一半,则该圆锥的体积和此球体积的比值为.解析:如图,设球半径为r,则球心到该圆锥底面的距离是,于是圆锥的底面半径为.因为圆锥的高为,所以圆锥的体积为×π×r3,球的体积为r3,所以该圆锥的体积和此球体积的比值为.答案:9.某组合体的直观图如图,它的中间为圆柱形,左右两端均为半球形,若图中r=1,l=3,试求该组合体的表面积和体积.解:该组合体的表面积S=4πr2+2πrl=4π×12+2π×1×3=10π,该组合体的体积V=πr3+πr2l=π×13+π×12×3=.10.三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱垂直于底面,且各顶点都在同一球面上.若AB=AC=AA1=2,∠BAC=120°,求此球的表面积.解:设球心为O,球半径为R,△ABC外接圆的圆心为M,则O在底面ABC上的射影就是点M.如图,在△ABC中,AB=AC=2,∠BAC=120°,∴∠MAC=60°.又MA=MC,∴MA=MC=AC=2.∴R2=22+=5.∴此球的表面积为S=4πR2=20π.B组1.一个体积为1 cm3的正方体的顶点都在球面上,则球的表面积是()A.π cm2B.3π cm2C.9π cm2D.12π cm2解析:体积为1 cm3的正方体的棱长为1 cm,所以球的半径为 cm,表面积为3π cm2.答案:B2.有一个球与棱长为a的正方体的12条棱都相切,则这个球的体积应为()A.a3B.a3C.a3D.a3解析:由题意可知正方体的面对角线是球的直径,设球的半径为r,则r=a,故V=a3.答案:C3.如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8 cm,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm,如果不计容器的厚度,则球的体积为() A. cm3 B. cm3C. cm3D. cm3解析:设球半径为R,由题可知R,R-2,正方体棱长一半可构成直角三角形,即△OBA为直角三角形,如图.BC=2,BA=4,OB=R-2,OA=R,由R2=(R-2)2+42,得R=5,所以球的体积为π53=π(cm3),故选A.答案:A4.圆柱形容器内盛有高度为8的水,若放入3个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后,水恰好淹没最上面的球(如图),则球的半径是.解析:设球的半径为r,则圆柱形容器的水高为6r(放置球后),容积为πr2×6r=6πr3,高度为8的水的体积为8πr2,3个球的体积和为3×πr3=4πr3,由题意得6πr3-8πr2=4πr3,解得r=4.答案:45.已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱高为4,体积为16,则这个球的体积为.解析:由题意得,该正四棱柱的底面边长为2,外接球的直径就是该正四棱柱的对角线,所以外接球的半径为,所以该球的体积为)3=8π.答案:8π6.如图,球O的半径为5,一个内接圆台的两底面半径分别为3和4(球心O在圆台的两底面之间),则圆台的体积为.解析:作经过球心的截面(如图),O1A=3,O2B=4,OA=OB=5,则OO1=4,OO2=3,O1O2=7,V=×7=.答案:7.据说阿基米德死后,敌军将领给他建了一块墓碑,在墓碑上刻了一个图案(如图),图案中球的直径与圆柱底面的直径和圆柱的高相等,圆锥的顶点为圆柱上底面的圆心,圆锥的底面是圆柱的下底面.试计算出图形中圆锥、球、圆柱的体积比.解:设圆柱的底面半径为r,高为h,则V圆柱=πr2h,由题意,圆锥的底面半径为r,高为h,∴V圆锥=πr2h.球的半径为r,∴V球=πr3.又h=2r,∴V圆锥∶V球∶V圆柱=∶(πr2h)=∶(2πr3)=1∶2∶3.8.在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD是边长为3的正方形,且各侧棱长均为2.求该四棱锥外接球的表面积.解:取正方形ABCD的中心O1,连接SO1并延长交球面于点E.连接CO1,CE,如图.则球心O在SE上,即SE为球的直径,且SC⊥EC.∵AB=3,∴O1C=3.在Rt△SO1C中,SC=2,∴SO1=.在Rt△SCE中,Rt△SCE∽Rt△SO1C,∴SC2=SO1·SE,∴SE==4.∴球半径R=2.∴球的表面积为S=4πR2=4π·(2)2=48π.9.某几何体的三视图如图所示(单位:m).(1)求该几何体的表面积S(结果保留π);(2)求该几何体的体积V(结果保留π).解:由三视图可知,该几何体的下半部分是棱长为2 m的正方体,上半部分是半径为1 m的半球.(1)几何体的表面积S=×4π×12+6×22-π×12=24+π(m2).(2)几何体的体积V=23+×π×13=8+(m3).。
高三数学 立体几何的难点突破 1球的体积、表面积 试题
球的体积、外表积1.1 球的体积【例1】两个半径为1的铁球，熔化成一个大球，这个大球的半径为( )A ．2 B. 2 C.32 D.1234【解析】设大球半径为r ，那么43πr 3＝2×4π3，∴r ＝32，应选C.【评注】球的体积公式为：V=43πr 3，设半径列方程求半径即可.【变式1】利用正方体的对角线长等于其外接球的直径求正方体的棱长〔2021〕一个正方体的所有顶点在一个球面上. 假设球的体积为92π, 那么正方体的棱长为 .1.3【解析】设球半径为R ， 球的体积为34932=R ππ，∴R=32，又由球的直径与其内接正方体对角线的相等知正方体的对角线长为3，那么棱长为3.【变式2】一个正方体削去一个角所得到的几何体的三视图如下图(图中三个四边形都是边长为2的正方形)，那么该几何体外接球的体积为________．2.43π【解析】依题意可知，新的几何体的外接球也就是原正方体的外接球，所求外接球的直径就是正方体的体对角线；∴2R ＝23(R 为球的半径)，∴R ＝3，∴球的体积V ＝43πR 3＝43π.【变式3】利用球截面圆圆心与球心连线与截面垂直的性质求球的半径用与球心间隔 为1的平面去截球，所得的截面面积为π，那么球的体积为( ) A.8π3 B.82π3 C ．82π D.32π33.B 【解析】 S 圆＝πr 2＝1，而截面圆圆心与球心的间隔 d ＝1，∴球的半径为R ＝r 2＋d 2＝ 2.∴V ＝43πR 3＝82π3，应选B. 1.2 球的外表积【例2】如图是一个无盖器皿的三视图，正视图、侧视图和俯视图中的正方形边长为2，正视图、侧视图中的虚线都是半圆，那么该器皿的外表积是 ．【解析】该器皿的外表积可分为两局部：去掉一个圆的正方体的外表积1s 和半球的外表积2s ， 21622124s ππ=⨯⨯-⨯=- 2214122s ππ=⨯⨯= ， 故1224s s s π=+=+. 【评注】由三视图求外表积与体积，关键是正确分析原图形的几何特征.【变式1】〔2021·高考文科〕某几何体的三视图如下图, 那么其外表积为 .1.3π【解析】综合三视图可知几何体是一个半径r=1的半个球体,其外表积= πππ342122=+⋅r r . 1.3 正方体的外接球、内切球和棱切球【例3】 有三个球和一个正方体,第一个球与正方体各个面内切,第二个球与正方体各条棱相切,第三个球过正方体各顶点,那么三个球面积之比为 ．【解析】设正方体棱长为a,那么有内切球半径12a R =;棱切球其直径为正方体各面上的对角线长,那么有222R a =; 外接球直径为正方体的对角线长,∴有332R a =, 所以面积之比为()()2221:2:31:2:3=.【评注】 正方体的内切球：截面图为正方形EFHG 的内切圆，如下图．设正方体的棱长为a ，那么内切球半径|OJ |＝r ＝a 2；正方体的棱切球：|GO |＝R ＝22a ；正方体的外接球：那么|A 1O |＝R ′＝32a .用构造法易知：棱长为a 的正四面体的外接球半径为64a . 【变式1】构建正方体求解三棱锥有关问题假设正三棱锥P —ABC 的三条侧棱两两垂直，那么该正三棱锥的内切球与外接球的半径之比为 .1.()3:13-.【解析】设正三棱锥侧棱长为a ，纳入正方体中易知外接球半径为,23a 体积63a V =，内切球球心将正三棱锥分成四个高为内切球半径的三棱锥，那么()3221332,6324a a V r a ⎡⎤==⨯+∴⎢⎥⎣⎦33,6r a -=31:3R r -∴=. 【变式2】构建正方体利用等积法求点到面的间隔正三棱锥P －ABC ，点P ，A ，B ，C 都在半径为3的球面上．假设PA ，PB ，PC 两两互相垂直，那么球心到截面ABC 的间隔 为________．2.33【解析】由条件可知，以PA ，PB ，PC 为棱可以补充成球的内接正方体，故而PA 2＋PB 2＋PC 2＝()2R 2，由PA ＝PB ＝PC, 得到PA ＝PB ＝PC ＝2, V P －ABC ＝V A －PBC ⇒13h ·S △ABC ＝13PA ·S △PBC, 得到h ＝233，故而球心到截面ABC 的间隔 为R －h ＝33.【变式3】构建正方体求解正四面体的外接球的体积三棱锥BCD A -的所有棱长都为2，那么该三棱锥外接球的体积是________. 3.32π 【解析】如图构造正方体FBEC ANDM -，那么∵三棱锥BCD A -的所有棱长都为2，∴该正方体的棱长为1，∴三棱锥BCD A -的外接球半径：R=23.故所求3433()322V ππ==球. 【变式4】通过等价转化求解正方体的内切球的截面圆面积如图，球O 是棱长为1的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的内切球，那么平面ACD 1截球O 的截面面积为( )A.π6B.π3C.66πD.33π 4.A 【解析】：根据正方体的几何特征知，平面ACD 1是边长为2的正三角形，且球与以点D 为公一共点的三个面的切点恰为三角形ACD 1三边的中点，故所求截面的面积是该正三角形的内切圆的面积，由图得△ACD 1内切圆的半径是22×tan30°＝66，故所求的截面圆的面积是π×⎝ ⎛⎭⎪⎫662＝π6.【例4】 (2021) 直三棱柱ABC-A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上．假设AB ＝3，AC ＝4，AB ⊥AC ，AA 1＝12，那么球O 的半径为 ．【解析】∵AB ⊥AC ，且AA 1⊥底面ABC ，将直三棱柱补成内接于球的长方体，那么长方体的对角线l ＝ 32＋42＋122＝2R ，R ＝132.【评注】利用底面为直角三角形的直三棱柱补成长方体求外接球半径,长方体的模型可以使抽象问题详细化.【变式1】利用三棱两两垂直的四面体补成长方体求解在四面体ABCD 中，AB ，AC ，AD 两两垂直，AB=3,AD=2,AC=5，那么该四面体外接球的外表积为 ． 1.π12 【解析】由球的对称性及,,AB AC AD 两两垂直可以补形为长方体ABD C DC A B ''''-,长方体的对称中心即为球心, ∴222235423R AB AC AD =++=++=，∴ ()24312S ππ== .【变式2】如图，在三棱锥O ABC -中，三条棱,,OA OB OC 两两垂直，且OA OB OC >>，分别经过三条棱,,OA OB OC 作一个截面平分三棱锥的体积，截面面积依次为123,,S S S ，那么123,,S S S 的大小关系为________________．2.123S S S <<【解析】 由题意OC OB OA ,,两两垂直，可将其放置在以O 为一顶点的长方体中，设三边OC OB OA ,,分别为c b a >>，从而易得22121c b a S +=，22221c a b S +=，22321b a c S +=，∴()()()222222222222221414141b a c c b a b c a b a S S -=+-+=-，又b a >，∴02221>-S S ，即21S S >．同理，用平方后作差法可得32S S >．∴123S S S <<．【变式3】利用特殊的四棱锥补成长方体求解 点P A B C D ，，，，是球O 外表上的点，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是边长为2326PA =,那么△OAB 的面积为3.33【解析】∵点P A B C D ，，，，是球O 外表上的点，PA ⊥平面ABCD ， ∴点A B CO C O A B D EFP A B C D ，，，，为球O 内接长方体的顶点，球心O 为长方体对角线的中点.∴△OAB 的面积是该长方体对角面面积的14. ∵23,26AB PA ==，∴6PB =,∴1=236=334OAB S ∆⨯⨯. 【变式4】利用半球的内接正方体补成球的长方体求解半球内有一个内接正方体，那么这个半球的体积与正方体的体积之比为( )A.5π∶6 B ．6π∶2 C．π∶2 D ．5π∶124.B 【解析】 将半球补成整个球，同时把原半球的内接正方体再补接一个同样的正方体，构成的长方体恰好是球的内接长方体，那么这个长方体的体对角线就是它的外接球的直径．设正方体的棱长为a ，球的半径为R ，那么(2R )2＝a 2＋a 2＋(2a )2，即R ＝62a . ∴V 半球＝12×43πR 3＝23π⎝ ⎛⎭⎪⎫62a 3＝62πa 3，V 正方体＝a 3. ∴V 半球∶V 正方体＝62πa 3∶a 3＝6π∶2. 【变式5】利用半球的内接三棱柱运用截面圆性质求解(2021·统考)如图，直三棱柱ABC A 1B 1C 1的六个顶点都在半径为1的半球面上，AB ＝AC ，侧面BCC 1B 1是半球底面圆的内接正方形，那么侧面ABB 1A 1的面积为( )A ．2B ．1 C. 2 D.225.C.【解析】由题意知，球心在侧面BCC 1B 1的中心O 上，BC 为截面圆的直径，∴∠BAC ＝90°，△ABC 的外接圆圆心N 是BC 的中点，同理△A 1B 1C 1的外心M 是B 1C 1的中心．设正方形BCC 1B 1的边长为x ，Rt△OMC 1中，OM ＝x 2，MC 1＝x 2，OC 1＝R ＝1(R 为球的半径)，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22＝1，即x ＝2，那么AB ＝AC ＝1，∴11A ABB S 矩形＝2×1＝ 2.【例5】 正四面体的内切球、与棱相切的球、外接球的三类球的半径比为 ．【解析】设正四面体的棱长为1，外接球和内切球半径依次为,R r ，由正四面体三个球心重合及其特征， 6R r =+,其体积为1633V =,另一面1343V r =⨯,那么内切球和外接球的半径比1：3，6 而与棱相切的球直径为对棱的间隔2，那么内切球、与各棱都相切的球、外接球的半径之比为 61263)::()33444=. 【变式1】利用正四面补成正方体求解体积正四面体ABCD 的外接球的体积为34π，那么正四面体ABCD 的体积是_____. 1. 83.【解析】由于外接球的体积为34434333r r πππ∴=∴=，故其内接正方体的棱长为2，故正方体体积为8，正四面体的体积为1833V =正方体.【变式2】利用正四面体的高与外接球半径的关系求球的外表积正四面体的四个顶点都在同一个球面上，且正四面体的高为4，那么这个球的外表积是________．2.36π【解析】正四面体的外接球半径R 为其高的34，且正四面体的高为4，那么R ＝3 ，S ＝4πR 2＝36π.【变式2】利用正四面体补成正方体求解的球心角半径为1的球面上的四点D C B A ,,,是正四面体的顶点，那么A 与B 两点与球心连线的夹角余弦值为 ．2.13-.【解析】设正四面体棱长a 2，将其纳入正方体中,其正方体棱长a ，所求角为对角面内两条对角线的夹角为APB ∠，AP=BP=a AB a 2,23=，由余弦定理314322432cos 222-=⨯-⨯=∠a a a APB .【变式3】利用正四面体补成正方体求异面直线所成的角如图，正四面体A-BCD 中，E 、F 分别是AD 、BC 的中点，那么EF 与CD 所成的角等于 〔 〕A ．45° B．90° C ．60° D．30°3.A 【解析】如图，将正四面体补形为正方体，答案就脱口而出，应该选A.【变式4】利用长方体的性质确定折叠四面体的外接球球心(2021·四校联考)将长、宽分别为4和3的长方形ABCD 沿对角线AC 折起，得到四面体A BCD ，那么四面体A BCD 的外接球的体积为________．4. 【解析】 设AC 与BD 相交于O ，折起来后仍然有OA ＝OB ＝OC ＝OD ，∴外接球的半径r ＝32＋422＝52，从而体积V ＝4π3×⎝ ⎛⎭⎪⎫523＝125π6. 【变式5】(2021·一模)一个圆锥过轴的截面为等边三角形，它的顶点和底面圆周在球O 的球面上，那么该圆锥的体积与球O 的体积的比值为________．5． 932【解析】 设等边三角形的边长为2a ，那么V 圆锥＝13·πa 2·3a ＝33πa 3； 又R 2＝a 2＋(3a －R )2，所以R ＝233a ，故 V 球＝4π3·⎝ ⎛⎭⎪⎫233a 3＝323π27a 3，那么其体积比F E DC B A FED C BAD CB A O O 为932. 【变式6】利用正六棱柱的对称性求外接球的体积一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面。
高中数学必修2立体几何常考题型：球的体积和表面积
球的体积和表面积【知识梳理】1．球的体积设球的半径为R ，则球的体积V ＝43πR 3. 2．球的表面积设球的半径为R ，则球的表面积S ＝4πR 2，即球的表面积等于它的大圆面积的4倍．【常考题型】题型一、球的体积与表面积【例1】 若圆锥与球的体积相等，且圆锥底面半径与球的直径相等，求圆锥侧面积与球面面积之比．[解] 设圆锥的底面半径为r ，高为h ，母线长为l ，球的半径为R ，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧13πr 2·h ＝43πR 3r ＝2R∴13π(2R )2·h ＝43πR 3，∴R ＝h ，r ＝2h ， ∴l ＝ r 2＋h 2＝ 5h ， ∴S 圆锥侧＝πrl ＝π×2h ×5h ＝25πh 2，S 球＝4πR 2＝4πh 2，∴S 圆锥侧S 球＝25πh 24πh 2＝52. 【类题通法】求球的体积与表面积的方法(1)要求球的体积或表面积，必须知道半径R 或者通过条件能求出半径R ，然后代入体积或表面积公式求解．(2)半径和球心是球的最关键要素，把握住了这两点，计算球的表面积或体积的相关题目也就易如反掌了．【对点训练】1．球的体积是32π3，则此球的表面积是( ) A ．12πB ．16π C.16π3 D.64π3解析：选B 设球的半径为R ，则由已知得43πR 3＝32π3，解得R ＝2. 故球的表面积S 表＝4πR 2＝16π.题型二、根据三视图计算球的体积与表面积【例2】 一个几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的表面积是________cm 2.[解析] 由三视图知该几何体为一个四棱柱、一个半圆柱和一个半球的组合体，其中四棱柱上表面与半球重合部分之外的面积为1×2－12×π×12＝2－π2，四棱柱中不重合的表面积为2－π2＋1×2×2＋2×2＋1×2＝12－π2，半圆柱中不重合的表面积为12×2π×2＋12π＝52π，半球的表面积为12×4π＝2π，所以该几何体的表面积为4π＋12. [答案] 4π＋12【类题通法】1．由三视图计算球或球与其他几何体的组合体的表面积或体积，最重要的是还原组合体，并弄清组合体的结构特征和三视图中数据的含义．根据球与球的组合体的结构特征及数据计算其表面积或体积．此时要特别注意球的三种视图都是直径相同的圆．2．计算球与球的组合体的表面积与体积时要恰当地分割与拼接，避免重叠和交叉．【对点训练】2．如图是一个几何体的三视图，根据图中的数据可得该几何体的表面积为( )A ．18πB ．30πC ．33πD ．40π解析：选C由三视图知该几何体由圆锥和半球组成．球半径和圆锥底面半径都等于3，圆锥的母线长等于5，所以该几何体的表面积S＝2π×32＋π×3×5＝33π.题型三、球的截面问题【例3】已知球的两平行截面的面积为5π和8π，它们位于球心的同一侧，且相距为1，求这个球的表面积．[解]如图所示，设以r为半径的截面面积为5π，以r2为半径的截面1面积为8π，O1O2＝1，球的半径为R，OO2＝x，那么可得下列关系式：r22＝R2－x2且πr22＝π(R2－x2)＝8π，r21＝R2－(x＋1)2且πr21＝π[R2－(x＋1)2]＝5π，于是π(R2－x2)－π[R2－(x＋1)2]＝8π－5π，即R2－x2－R2＋x2＋2x＋1＝3，∴2x＝2，即x＝1.又∵π(R2－x2)＝8π，∴R2－1＝8，R2＝9，∴R＝3.球的表面积为S＝4πR2＝4π×32＝36π.【类题通法】球的截面问题的解题技巧(1)有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆，将问题转化为平面中圆的问题．(2)解题时要注意借助球半径R，截面圆半径r，球心到截面的距离d构成的直角三角形，即R2＝d2＋r2.【对点训练】3．已知过球面上三点A、B、C的截面到球心的距离等于球半径的一半，且AC＝BC＝6，AB＝4，求球的表面积与球的体积．解：如图，设球心为O，球半径为R，作OO1垂直平面ABC于O1，由于OA＝OB＝OC＝R，则O1是△ABC的外心．设M是AB的中点，由于AC＝BC，则O1在CM上．设O1M＝x，易知O1M⊥AB，设O 1A ＝22＋x 2，O 1C ＝CM －O 1M ＝62－22－x .又O 1A ＝O 1C ，∴22＋x 2＝62－22－x .解得x ＝724.则O 1A ＝O 1B ＝O 1C ＝924. 在Rt △OO 1A 中，O 1O ＝R 2，∠OO 1A ＝90°，OA ＝R . 由勾股定理得(R 2)2＋(924)2＝R 2. 解得R ＝362. 故S 球＝4πR 2＝54π，V 球＝43πR 3＝276π. 【练习反馈】1．两个球的半径之比为1∶3，那么两个球的表面积之比为( )A ．1∶9B ．1∶27C ．1∶3D ．1∶1答案：A2．棱长为2的正方体的外接球的表面积是( )A ．8πB ．4πC ．12πD ．16π 解析：选C 正方体的体对角线长为23，即2R ＝23，∴R ＝3，S ＝4πR 2＝12π.3．火星的半径约是地球半径的一半，则地球的体积是火星体积的________倍．解析：设火星半径为r ，地球半径则为2r ，V 地V 火＝43π(2r )343πr 3＝8. 答案：84．已知OA 为球O 的半径，过OA 的中点M 且垂直于OA 的平面截球面得到圆M .若圆M 的面积为3π，则球O 的表面积等于________．解析：由题意得圆M 的半径r ＝3，又球心到圆M 的距离为R 2，由勾股定理得R 2＝r 2＋(R 2)2，R ＝2，则球的表面积为16π.答案：16π5．(1)已知球的直径为2，求它的表面积和体积．(2)已知球的体积为108π3，求它的表面积． 解：(1)∵直径为2，∴半径r ＝1，∴表面积S 球＝4πr 2＝4π×12＝4π，体积V 球＝43πr 3＝43π×13＝43π. (2)∵V 球＝43πr 3＝1083π，∴r 3＝27，r ＝3，∴S 球＝4π×32＝36π.。
高中数学第六章立体几何初步6.6.3球的表面积和体积作业含解析北师大版第二册
6。
3 球的表面积和体积(15分钟30分）1.圆柱形容器内盛有高度为8 cm的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同）后,水恰好淹没最上面的球（如图)，则球的半径是（）A。
cm B。
2 cm C。
3 cm D。
4 cm【解析】选D.设球的半径为r，则V水=8πr2，V球=4πr3，加入小球后，液面高度为6r,所以πr2·6r=8πr2+4πr3，解得r=4。
【补偿训练】已知正方体外接球的体积是π,则此正方体的棱长为（）A.1B。
C。
D。
【解析】选C.因为该正方体外接球的体积是π,则该正方体外接球的半径R=2,正方体的体对角线的长为4，棱长等于.2.若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为1，,，则此三棱锥的外接球的表面积为（)A.6πB。
12π C.18πD。
24π【解析】选A。
由题意，三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为1,,，看成是长方体的长宽高分别为1,，，所以长方体的外接球半径R==,所以此三棱锥的外接球的表面积S=4πR2=6π。
3. (2020·全国Ⅱ卷）已知△ABC是面积为的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上。
若球O的表面积为16π，则O到平面ABC的距离为（）A.B。
C.1 D.【解析】选C。
设△ABC的外接圆圆心为O1，记OO1=d,圆O1的半径为r，球O的半径为R,△ABC的边长为a,则S△ABC=a2=,可得a=3，于是r=，由题知,球O的表面积为16π,则R=2，由R2=r2+d2易得d=1，即O到平面ABC的距离为1.4。
面积为的正六边形的六个顶点都在球O的球面上,球心O 到正六边形所在平面的距离为，则球O的表面积为________。
【解析】如图△O′AB是正六边形的六分之一，为正三角形,设其边长为a，则6×a2=,解得a=1，所以OB=,所以S球=4π×OB2=π.答案：π5.中国古代数学经典《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鐅臑。
立体几何之外接球练习题(二) 菁优网
立体几何之外接球练习题（二）一．选择题（共23小题）1．（2014•陕西）已知底面边长为1，侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一球面上，则该球的体积为（）A ．B．4πC．2πD．2．（2012•黑龙江）平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，则此球的体积为（）A ．πB．4πC．4πD．6π3．（2006•安徽）表面积为的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为（）A ．B．C．D．4．（2006•四川）如图，正四棱锥P﹣ABCD底面的四个顶点A、B、C、D在球O的同一个大圆上，点P在球面上，如果，则求O的表面积为（）A ．4πB．8πC．12πD．16π5．（2005•江西）在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角B﹣AC﹣D，则四面体ABCD的外接球的体积为（）A ．πB．πC．πD．π6．（2004•辽宁）设A、B、C、D是球面上的四个点，且在同一平面内，AB=BC=CD=DA=3，球心到该平面的距离是球半径的一半，则球的体积是（）A ．B．C．D．7．已知过球面上A、B、C三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB=BC=CA=2，则球面面积是（）A ．B．C．4πD．8．如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如不计容器的厚度，则球的体积为（）A ．B．C．D．9．（2014•乌鲁木齐三模）点A，B，C，D在同一个球的球面上，AB=BC=2，AC=2，若四面体ABCD体积的最大值为，则该球的表面积为（）A ．B．8πC．9πD．12π10．（2014•兴安盟一模）在三棱椎A﹣BCD中，侧棱AB，AC，AD两两垂直，△ABC，△ACD，△ADB的面积分别为，，，则该三棱椎外接球的表面积为（）A ．2πB．6πC．πD．24π11．（2014•河南模拟）四面体ABCD中，已知AB=CD=，AC=BD=，AD=BC=，则四面体ABCD的外接球的表面积为（）A ．25πB．45πC．50πD．100π12．（2014•辽宁二模）设A、B、C、D是半径为2的球面上的四点，且满足AB⊥AC、AD⊥AC、AB⊥AD，则S△ABC+S△ABD+S△ACD的最大值为（）A ．4 B．8 C．12 D．1613．（2014•梧州模拟）四棱锥S﹣ABCD的底面ABCD是正方形，侧面SAB是以AB为斜边的等腰直角三角形，且侧面SAB⊥底面ABCD，若AB=2，则此四棱锥的外接球的表面积为（）A ．14πB．18πC．20πD．24π14．（2014•河池一模）如图，在三棱锥S﹣ABC中，M、N分别是棱SC、BC的中点，且MN⊥AM，若AB=2，则此正三棱锥外接球的体积是（）A ．12πB．4πC．πD．12π15．（2014•唐山三模）三棱锥S﹣ABC的四个顶点都在球面上，SA是球的直径，AC⊥AB，BC=SB=SC=2，则该球的表面积为（）A ．4πB．6πC．9πD．12π16．（2014•河南模拟）已知正三棱锥P﹣ABC的四个顶点均在球O上，且PA=PB=PC=2，AB=BC=CA=2，则球O的表面积为（）A ．25πB．C．D．20π17．（2014•怀化一模）圆柱形容器内盛有高度为6cm的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示），则球的半径是（）A ．cmB．2cm C．3cm D．4cm18．（2014•四川模拟）三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的表面上，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，又SA=AB=BC=1，则球O的表面积为（）A ．B．C．3πD．12π19．（2014•贵阳模拟）已知四棱锥V﹣ABCD的顶点都在同一球面上，底面ABCD为矩形，AC∩BD=G，VG⊥平面ABCD，AB=，AD=3，VG=，则该球的体积为（）A ．36πB．9πC．12πD．4π20．（2011•广州一模）如图所示，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，长为2的线段MN的一个端点M在棱DD1上运动，另一端点N在正方形ABCD内运动，则MN的中点的轨迹的面积为（）A ．4πB．2πC．πD．21．棱长为的正四面体内切一球，然后在正四面体和该球形成的空隙处各放入一个小球，则这些球的最大半径为（）A ．B．C．D．22．点A、B、C、D在同一球面上，AB=BC=，AC=2，若四面体ABCD的体积的最大值为，则这个球的表面积为（）A ．B．8πC．D．23．在球O的表面上有A、B、C三个点，且，△ABC的外接圆半径为2，那么这个球的表面积为（）A ．48πB．36πC．24πD．12π二．填空题（共7小题）24．（2008•浙江）如图，已知球O的面上四点A、B、C、D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA=AB=BC=，则球O的体积等于_________．25．（2008•海南）一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面．已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的高为，底面周长为3，那么这个球的体积为_________．26．（2003•北京）如图，一个底面半径为R的圆柱形量杯中装有适量的水．若放入一个半径为r的实心铁球，水面高度恰好升高r，则=_________．27．已知OA为球O的半径，过OA的中点M且垂直于OA的平面截球面得到圆M．若圆M的面积为3π，则球O 的表面积等于_________．28．三棱锥P﹣ABC的各顶点都在一半径为R的球面上，球心O在AB上，且有PA=PB=PC，底面△ABC中∠ABC=60°，则球与三棱锥的体积之比是_________．29．将4个半径都是R的球体完全装入底面半径是2R的圆柱形桶中，则桶的最小高度是_________．30．已知圆O1，O2，O3为球O的三个小圆，其半径分别为，若三个小圆所在的平面两两垂直且公共点P在球面上，则球的表面积为_________．立体几何之外接球练习题（二）参考答案与试题解析一．选择题（共23小题）1．（2014•陕西）已知底面边长为1，侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一球面上，则该球的体积为（）A ．B．4πC．2πD．考点：球的体积和表面积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由长方体的对角线公式，算出正四棱柱体对角线的长，从而得到球直径长，得球半径R=1，最后根据球的体积公式，可算出此球的体积．解答：解：∵正四棱柱的底面边长为1，侧棱长为，∴正四棱柱体对角线的长为=2又∵正四棱柱的顶点在同一球面上，∴正四棱柱体对角线恰好是球的一条直径，得球半径R=1根据球的体积公式，得此球的体积为V=πR3=π．故选：D．点评：本题给出球内接正四棱柱的底面边长和侧棱长，求该球的体积，考查了正四棱柱的性质、长方体对角线公式和球的体积公式等知识，属于基础题．2．（2012•黑龙江）平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，则此球的体积为（）A ．πB．4πC．4πD．6π考点：球的体积和表面积．专题：计算题．分析：利用平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，求出球的半径，然后求解球的体积．解答：解：因为平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，所以球的半径为：=．所以球的体积为：=4π．故选B．点评：本题考查球的体积的求法，考查空间想象能力、计算能力．3．（2006•安徽）表面积为的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为（）A ．B．C．D．考点：球的体积和表面积．专题：计算题；综合题．分析：设出正八面体的边长，利用表面积，求出边长，然后求球的直径，再求体积．解答：解：此正八面体是每个面的边长均为a的正三角形，所以由知，a=1，则此球的直径为，球的体积为．故选A．点评：本题考查学生空间想象能力，逻辑思维能力，正八面体的外接球的体积，是中档题．4．（2006•四川）如图，正四棱锥P﹣ABCD底面的四个顶点A、B、C、D在球O的同一个大圆上，点P在球面上，如果，则求O的表面积为（）A ．4πB．8πC．12πD．16π考点：球的体积和表面积．专题：计算题；综合题．分析：由题意可知，PO⊥平面ABCD，并且是半径，由体积求出半径，然后求出球的表面积．解答：解：如图，正四棱锥P﹣ABCD底面的四个顶点A，B，C，D在球O的同一个大圆上，点P在球面上，PO⊥底面ABCD，PO=R，S ABCD=2R2，，所以，R=2，球O的表面积是16π，故选D．点评：本题考查球的内接体问题，球的表面积、体积，考查学生空间想象能力，是基础题．5．（2005•江西）在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角B﹣AC﹣D，则四面体ABCD的外接球的体积为（）A ．πB．πC．πD．π考点：球的体积和表面积．专题：计算题．分析：球心到球面各点的距离相等，即可知道外接球的半径，就可以求出其体积了．解答：解：由题意知，球心到四个顶点的距离相等，所以球心在对角线AC上，且其半径为AC长度的一半，则V球=π×（）3=．故选C．点评：本题考查学生的思维意识，对球的结构和性质的运用，是基础题．6．（2004•辽宁）设A、B、C、D是球面上的四个点，且在同一平面内，AB=BC=CD=DA=3，球心到该平面的距离是球半径的一半，则球的体积是（）A ．B．C．D．考点：球的体积和表面积．专题：计算题；综合题．分析：设出球的半径，球心到该平面的距离是球半径的一半，结合ABCD的对角线的一般，满足勾股定理，求出R即可求球的体积．解答：解：设球的半径为R，由题意可得R=球的体积是：=故选A．点评：本题考查球的体积，考查空间想象能力，计算能力，是基础题．7．已知过球面上A、B、C三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB=BC=CA=2，则球面面积是（）A ．B．C．4πD．考点：球的体积和表面积．专题：计算题．分析：由AB=BC=CA=2，求得△ABC的外接圆半径为r，再由R2﹣（R）2=，求得球的半径，再用面积求解．解答：解：因为AB=BC=CA=2，所以△ABC的外接圆半径为r=．设球半径为R，则R2﹣（R）2=，所以R2=S=4πR2=．故选D点评：本题主要考查球的球面面积，涉及到截面圆圆心与球心的连垂直于截面，这是求得相关量的关键．8．如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如不计容器的厚度，则球的体积为（）A ．B．C．D．考点：球的体积和表面积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：设正方体上底面所在平面截球得小圆M，可得圆心M为正方体上底面正方形的中心．设球的半径为R，根据题意得球心到上底面的距离等于（R﹣2）cm，而圆M的半径为4，由球的截面圆性质建立关于R的方程并解出R=5，用球的体积公式即可算出该球的体积．解答：解：设正方体上底面所在平面截球得小圆M，则圆心M为正方体上底面正方形的中心．如图．设球的半径为R，根据题意得球心到上底面的距离等于（R﹣2）cm，而圆M的半径为4，由球的截面圆性质，得R2=（R﹣2）2+42，解出R=5，∴根据球的体积公式，该球的体积V===．故选A．点评：本题给出球与正方体相切的问题，求球的体积，着重考查了正方体的性质、球的截面圆性质和球的体积公式等知识，属于中档题．9．（2014•乌鲁木齐三模）点A，B，C，D在同一个球的球面上，AB=BC=2，AC=2，若四面体ABCD体积的最大值为，则该球的表面积为（）A ．B．8πC．9πD．12π考点：球的体积和表面积．专题：计算题；球．分析：根据几何体的特征，判定外接球的球心，求出球的半径，即可求出球的表面积．解答：解：根据题意知，△ABC是一个直角三角形，其面积为1．其所在球的小圆的圆心在斜边AC的中点上，设小圆的圆心为Q，若四面体ABCD的体积的最大值，由于底面积S△ABC不变，高最大时体积最大，所以，DQ与面ABC垂直时体积最大，最大值为×S△ABC×DQ=，S△ABC=AC•BQ=即××DQ=，∴DQ=2，如图．设球心为O，半径为R，则在直角△AQO中，OA2=AQ2+OQ2，即R2=（）2+（2﹣R）2，∴R=则这个球的表面积为：S=4π（）2=9π；故选：C．点评：本题考查的知识点是球内接多面体，球的表面积，其中分析出何时四面体ABCD的体积的最大值，是解答的关键．10．（2014•兴安盟一模）在三棱椎A﹣BCD中，侧棱AB，AC，AD两两垂直，△ABC，△ACD，△ADB的面积分别为，，，则该三棱椎外接球的表面积为（）A ．2πB．6πC．πD．24π考点：球的体积和表面积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：三棱锥A﹣BCD中，侧棱AB、AC、AD两两垂直，补成长方体，两者的外接球是同一个，长方体的对角线就是球的直径，求出长方体的三度，转化为对角线长，即可求三棱锥外接球的表面积．解答：解：三棱锥A﹣BCD中，侧棱AB、AC、AD两两垂直，补成长方体，两者的外接球是同一个，长方体的对角线就是球的直径，∵侧棱AC、AC、AD两两垂直，△ABC、△ACD、△ADB 的面积分别为、、，∴AB•AC=，AD•AC=，AB•AD=∴AB=，AC=1，AD=∴球的直径为：=∴半径为∴三棱锥外接球的表面积为4π×=6π故选：B．点评：本题考查三棱锥外接球的表面积，三棱锥转化为长方体，两者的外接球是同一个，以及长方体的对角线就是球的直径是解题的关键所在．11．（2014•河南模拟）四面体ABCD中，已知AB=CD=，AC=BD=，AD=BC=，则四面体ABCD的外接球的表面积为（）A ．25πB．45πC．50πD．100π考点：球的体积和表面积．专题：空间位置关系与距离．分析：将四面体补成长方体，通过求解长方体的对角线就是球的直径，然后求解外接球的表面积．解答：解：由题意可采用割补法，考虑到四面体ABCD的四个面为全等的三角形，所以可在其每个面补上一个以，，为三边的三角形作为底面，且以分别x，y，z长、两两垂直的侧棱的三棱锥，从而可得到一个长、宽、高分别为x，y，z的长方体，并且x2+y2=29，x2+z2=34，y2+z2=37，则有（2R）2=x2+y2+z2=50（R为球的半径），得R2=，所以球的表面积为S=4πR2=50π．故选：C．点评：本题考查几何体的外接球的表面积的求法，割补法的应用，判断外接球的直径是长方体的对角线的长是解题的关键之一．12．（2014•辽宁二模）设A、B、C、D是半径为2的球面上的四点，且满足AB⊥AC、AD⊥AC、AB⊥AD，则S△ABC+S△ABD+S△ACD的最大值为（）A ．4 B．8 C．12 D．16考点：球的体积和表面积．专题：球．分析：三棱锥A﹣BCD是长方体的三个面，扩展为长方体，它的对角线就是球的直径，设出AB=a，AC=b，AD=c，求出三个三角形面积的和，利用直径等于长方体的对角线的关系，以及基本不等式，求出面积最大值．解答：解：设AB=a，AC=b，AD=c，因为AB，AC，AD两两互相垂直所以a2+b2+c2=4×22S△ABC+S△ACD+S△ADB=（ab+ac+bc）≤（a2+b2+c2）=8．即最大值8．故选：B．点评：本题考查球的内接体问题，考查基本不等式，空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．13．（2014•梧州模拟）四棱锥S﹣ABCD的底面ABCD是正方形，侧面SAB是以AB为斜边的等腰直角三角形，且侧面SAB⊥底面ABCD，若AB=2，则此四棱锥的外接球的表面积为（）A ．14πB．18πC．20πD．24π考点：球的体积和表面积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：利用侧面SAB是以AB为斜边的等腰直角三角形，且侧面SAB⊥底面ABCD，设AC∩BD=O，取AB中点E，可得O为球心，球的半径，即可求出四棱锥S﹣ABCD的外接球表面积．解答：解：∵侧面SAB是以AB为斜边的等腰直角三角形，且侧面SAB⊥底面ABCD，∴设AC∩BD=O，取AB中点E，有OE=SE=AB，OS=AB，∴O为球心，球的半径为∴四棱锥S﹣ABCD的外接球表面积为4π×（）2=24π．故选：D．点评：本题考查四棱锥S﹣ABCD的外接球表面积，考查学生的计算能力，确定四棱锥S﹣ABCD的外接球的半径是关键．14．（2014•河池一模）如图，在三棱锥S﹣ABC中，M、N分别是棱SC、BC的中点，且MN⊥AM，若AB=2，则此正三棱锥外接球的体积是（）A ．12πB．4πC．πD．12π考点：球的体积和表面积；直线与平面垂直的判定．专题：球．分析：由题意推出MN⊥平面SAC，即SB⊥平面SAC，∠ASB=∠BSC=∠ASC=90°，将此三棱锥补成正方体，则它们有相同的外接球，正方体的对角线就是球的直径，求出直径即可求出球的表面积．解答：解：∵三棱锥S﹣ABC正棱锥，∴SB⊥AC（对棱互相垂直）∴MN⊥AC又∵MN⊥AM而AM∩AC=A，∴MN⊥平面SAC即SB⊥平面SAC∴∠ASB=∠BSC=∠ASC=90°，将此三棱锥补成正方体，则它们有相同的外接球．∴侧棱长为：2，∴R=，∴正三棱锥外接球的体积是=．故选：B．点评：本题是中档题，考查三棱锥的外接球的体积，考查空间想象能力，三棱锥扩展为正方体，它的对角线长就是外接球的直径，是解决本题的关键．15．（2014•唐山三模）三棱锥S﹣ABC的四个顶点都在球面上，SA是球的直径，AC⊥AB，BC=SB=SC=2，则该球的表面积为（）A ．4πB．6πC．9πD．12π考点：球的体积和表面积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由题意，SA是球的直径，可得SC⊥AC，SB⊥BA，利用AC⊥AB，BC=SB=SC=2，可得AC=，AC==，即可求出SA，从而可求球的表面积．解答：解：由题意，SA是球的直径，∴SC⊥AC，SB⊥BA，∵AC⊥AB，BC=SB=SC=2，∴AC=，AC===∴=∴SA2=6，∴SA=，∴球的半径为，∴球的表面积为4π•=6π，故选：B．点评：本题考查球的表面积，考查学生的计算能力，确定SA是关键．16．（2014•河南模拟）已知正三棱锥P﹣ABC的四个顶点均在球O上，且PA=PB=PC=2，AB=BC=CA=2，则球O的表面积为（）A ．25πB．C．D．20π考点：球的体积和表面积．专题：空间位置关系与距离．分析：先确定底面三角形外接圆的半径，进而求得正三棱锥的高，再利用勾股定理，求得外接球的半径，即可求得外接球的表面积．解答：解：设P在平面ABC中的射影为D，则∵AB=BC=CA=2，∴AD=××2=2，∵PA=2，∴PD==4，设外接球的半径为R，则R2=22+（4﹣R）2，∴R=，∴外接球的表面积为4πR2=25π，故选：A．点评：本题考查正三棱锥的外接球的表面积，考查学生的计算能力，正确运用正三棱锥的性质是关键．17．（2014•怀化一模）圆柱形容器内盛有高度为6cm的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示），则球的半径是（）A ．cmB．2cm C．3cm D．4cm考点：球的体积和表面积．专题：球．分析：设出球的半径，三个球的体积和水的体积之和，等于柱体的体积，求解即可．解答：解：设球半径为r，则由3V球+V水=V柱可得3×πr3+πr2×6=πr2×6r，解得r=3．故选：C．点评：本题考查几何体的体积，考查学生空间想象能力，是基础题．18．（2014•四川模拟）三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的表面上，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，又SA=AB=BC=1，则球O的表面积为（）A ．B．C．3πD．12π考点：球的体积和表面积．专题：计算题；球．分析：根据题意，三棱锥S﹣ABC扩展为正方体，正方体的外接球的球心就是正方体体对角线的中点，求出正方体的对角线的长度，即可求解球的半径，从而可求三棱锥S﹣ABC的外接球的表面积．解答：解：三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的表面上，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，又SA=AB=BC=1，三棱锥扩展为正方体的外接球，外接球的直径就是正方体的对角线的长度，∴球的半径R==．球的表面积为：4πR2=4=3π．故选：C．点评：本题考查三棱锥S﹣ABC的外接球的表面积，解题的关键是确定三棱锥S﹣ABC的外接球的球心与半径．19．（2014•贵阳模拟）已知四棱锥V﹣ABCD的顶点都在同一球面上，底面ABCD为矩形，AC∩BD=G，VG⊥平面ABCD，AB=，AD=3，VG=，则该球的体积为（）A ．36πB．9πC．12πD．4π考点：球的体积和表面积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：分析可知，△V AC所在的圆为球的大圆，从而知要解△V AC；从而得到体积．解答：解：∵底面ABCD为矩形，AB=，AD=3，∴AC=．由AC∩BD=G，VG⊥平面ABCD知，△V AC所在的圆为球的大圆，且在△V AC中，由AC=，VG=，VG⊥平面ABCD知，V A=VC==，∴AC2=V A2+VC2，则△V AC为直角三角形，则球的半径R==．则该球的体积为V===4π．故选D．点评：本题考查了学生的空间想象能力，难点在于找到球的半径与四棱锥之间的量的关系．属于中档题．20．（2011•广州一模）如图所示，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，长为2的线段MN的一个端点M在棱DD1上运动，另一端点N在正方形ABCD内运动，则MN的中点的轨迹的面积为（）A ．4πB．2πC．πD．考点：球的体积和表面积．专题：计算题；压轴题．分析：根据题意，连接N点与D点，得到一个直角三角形△NMD，P为斜边MN的中点，所以|PD|的长度不变，进而得到点P的轨迹是球面的一部分．解答：解：如图可得，端点N在正方形ABCD内运动，连接N点与D点，由ND，DM，MN构成一个直角三角形，设P为MN的中点，根据直角三角形斜边上的中线长度为斜边的一半可得不论△MDN如何变化，P点到D点的距离始终等于1．故P点的轨迹是一个以D为中心，半径为1的球的球面积．所以答案为，故选D．点评：解决此类问题的关键是熟悉结合体的结构特征与球的定义以及其表面积的计算公式．21．棱长为的正四面体内切一球，然后在正四面体和该球形成的空隙处各放入一个小球，则这些球的最大半径为（）A ．B．C．D．考点：球的体积和表面积．专题：计算题；压轴题；转化思想．分析：棱长为的正四面体内切一球，那么球O与此正四面体的四个面相切，即球心到四个面的距离都是半径，由等体积法求出球的半径，求出上面三棱锥的高，利用相似比求出上部空隙处放入一个小球，求出这球的最大半径．解答：解：由题意，此时的球与正四面体相切，由于棱长为的正四面体，故四个面的面积都是=3又顶点A到底面BCD的投影在底面的中心G，此G点到底面三个顶点的距离都是高的倍，又高为=3，故底面中心G到底面顶点的距离都是2由此知顶点A到底面BCD的距离是=2此正四面体的体积是×2×3=2，又此正四面体的体积是×r×3×4，故有r==．上面的三棱锥的高为，原正四面体的高为2，所以空隙处放入一个小球，则这球的最大半径为a，，∴a=．故选C．点评：本题考查球的体积和表面积，用等体积法求出球的半径，熟练掌握正四面体的体积公式及球的表面积公式是正确解题的知识保证．相似比求解球的半径是解题的关键．22．点A、B、C、D在同一球面上，AB=BC=，AC=2，若四面体ABCD的体积的最大值为，则这个球的表面积为（）A ．B．8πC．D．考点：球的体积和表面积；球内接多面体．专题：空间位置关系与距离．分析：根据几何体的特征，判定外接球的球心，求出球的半径，即可求出球的表面积．解答：解：根据题意知，△ABC是一个直角三角形，其面积为1．其所在球的小圆的圆心在斜边AC的中点上，设小圆的圆心为Q，若四面体ABCD的体积的最大值，由于底面积S△ABC不变，高最大时体积最大，所以，DQ与面ABC垂直时体积最大，最大值为S△ABC×DQ=，即×1×DQ=，∴DQ=2，如图．设球心为O，半径为R，则在直角△AQO中，OA2=AQ2+OQ2，即R2=12+（2﹣R）2，∴R=则这个球的表面积为：S=4π（）2=；故选C．点评：本题考查的知识点是球内接多面体，球的表面积，其中分析出何时四面体ABCD的体积的最大值，是解答的关键．23．在球O的表面上有A、B、C三个点，且，△ABC的外接圆半径为2，那么这个球的表面积为（）A ．48πB．36πC．24πD．12π考点：球的体积和表面积；球内接多面体．专题：计算题．分析：根据，OA=OB=OC，可得四面体O﹣ABC为正四面体，利用△ABC的外接圆半径为2，确定球的半径，进而可求球的表面积．解答：解：由题意，∵，OA=OB=OC∴四面体O﹣ABC为正四面体设球的半径为r，则正四面体的棱长为r∵△ABC的外接圆半径为2，∴∴r=∴球的表面积为故选A．点评：本题考查球的表面积，考查正四面体的性质，解题的关键是确定球的半径．二．填空题（共7小题）24．（2008•浙江）如图，已知球O的面上四点A、B、C、D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA=AB=BC=，则球O的体积等于π．考点：球的体积和表面积；球内接多面体．专题：计算题．分析：说明△CDB是直角三角形，△ACD是直角三角形，球的直径就是CD，求出CD，即可求出球的体积．解答：解：AB⊥BC，△ABC的外接圆的直径为AC，AC=，由DA⊥面ABC得DA⊥AC，DA⊥BC，△CDB是直角三角形，△ACD是直角三角形，∴CD为球的直径，CD==3，∴球的半径R=，∴V球=πR3=π．故答案为：π．点评：本题是基础题，考查球的内接多面体，说明三角形是直角三角形，推出CD是球的直径，是本题的突破口，解题的重点所在，考查分析问题解决问题的能力．25．（2008•海南）一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面．已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的高为，底面周长为3，那么这个球的体积为．考点：球的体积和表面积；棱柱的结构特征．专题：计算题；综合题；压轴题．分析：先求正六棱柱的体对角线，就是外接球的直径，然后求出球的体积．解答：解：∵正六边形周长为3，得边长为，故其主对角线为1，从而球的直径，∴R=1，∴球的体积故答案为：．点评：正六棱柱及球的相关知识，易错点：空间想象能力不强，找不出球的直径．空间想象能力是立体几何中的一个重要能力之一，平时要加强培养．26．（2003•北京）如图，一个底面半径为R的圆柱形量杯中装有适量的水．若放入一个半径为r的实心铁球，水面高度恰好升高r，则=．考点：球的体积和表面积．专题：计算题；综合题．分析：先求半径为r的实心铁球的体积，等于升高的水的体积，可得结论．解答：解：半径为r的实心铁球的体积是：升高的水的体积是：πR2r所以：∴故答案为：．点评：本题考查球的体积，考查空间想象能力，是基础题．27．已知OA为球O的半径，过OA的中点M且垂直于OA的平面截球面得到圆M．若圆M的面积为3π，则球O 的表面积等于16π．考点：球的体积和表面积．专题：计算题；压轴题．分析：由题意求出圆M的半径，设出球的半径，二者与OM构成直角三角形，求出球的半径，然后可求球的表面积．解答：解：∵圆M的面积为3π，∴圆M的半径r=，设球的半径为R，由图可知，R2=R2+3，∴R2=3，∴R2=4．∴S球=4πR2=16π．故答案为：16π点评：本题是基础题，考查球的体积、表面积的计算，理解并能够应用小圆的半径、球的半径、以及球心与圆心的连线的关系，是本题的突破口，解题重点所在，仔细体会．28．三棱锥P﹣ABC的各顶点都在一半径为R的球面上，球心O在AB上，且有PA=PB=PC，底面△ABC中∠ABC=60°，则球与三棱锥的体积之比是．考点：球的体积和表面积；棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题；压轴题．分析：由题意推知AB为球的直径，PO为三棱锥的高，求出底面面积，即可求出三棱锥的体积，求出球的体积可得比值．。
球体与圆球的认识与计算测验题及答案
球体与圆球的认识与计算测验题及答案一、选择题1. 下列符合球体的是：A. 篮球B. 圆盘C. 平板电视D. 方形桌子2. 下列哪个选项是正确的？A. 球体的表面是平的B. 圆球的半径是球体的直径C. 球体和圆球的体积一样D. 圆球的直径是球体的半径3. 已知圆球的半径为4cm，求其直径是多少？A. 8cmB. 6cmC. 12cmD. 2cm4. 若球体的表面积为200π cm²，则球体的半径是多少？A. 10cmB. 5cmC. 20cmD. 25cm二、填空题1. 已知球体的半径为6cm，求其体积是______cm³。
【答案】288π2. 若球体的体积为1000π cm³，求其半径是______cm。
【答案】10cm3. 圆球的表面积为______cm²，球体的表面积是圆球表面积的______倍。
【答案】4π，24. 若球体的体积为256π cm³，求其半径是______cm。
【答案】8cm三、计算题1. 一个圆球的半径为10cm，求该圆球的体积和表面积。
【答案】体积为4000π cm³，表面积为400π cm²。
2. 已知球体的表面积为314π cm²，求该球体的半径和体积。
【答案】半径为5cm，体积为500π cm³。
3. 一个球体的直径为14cm，求该球体的体积和表面积。
【答案】体积为448π cm³，表面积为196π cm²。
四、应用题小明想要制作一个水果篮，他想用一个球体的一半作为篮子。
已知球体的体积为4000π cm³，小明想知道这个篮子能放多少个苹果（假设一个苹果的体积为100 cm³）。
请你帮小明计算出答案。
【解答】球体的体积为4000π cm³，所以球体的直径为20cm。
球体的直径为篮子的直径，所以篮子的半径为10cm。
篮子的体积为球体体积的一半，即2000π cm³。
中考数学模拟试题立体几何与球体的性质
中考数学模拟试题立体几何与球体的性质中考数学模拟试题立体几何与球体的性质立体几何是数学中的一个重要分支，常常在中考数学考试中出现。
球体作为立体几何中的一种基本几何体，具有许多特殊性质。
本文将通过解析中考数学模拟试题，深入探讨立体几何与球体的性质。
第一题：已知球体O的半径为r，质点A从球面上的一点以角速度ω沿着球面运动，将其初始位置与终止位置所形成的锥体体积为V，试证明这个锥体的高恒定。
解析：首先，连接OA，我们可以得到三个不同位置的球冠，并分别记为V₁、V₂和V₃。
由于质点A从球面上的一点沿着球面运动，所以V₁、V₂和V₃所对应的底面积分别为S₁、S₂和S₃，而这三个底面积都相等。
又因为垂直于底面积的高的长度都是r，因此这个锥体的高就是三个锥体的高的最大值，即h = max(h₁, h₂, h₃)。
在球冠V₁、V₂和V₃内固定任意一点P₁、P₂和P₃，可以观察到当质点A从初始位置运动到终止位置时，锥体的高并不会发生改变。
因为当质点A沿着球面运动时，连接O和A的线段OA会始终保持与P₁P₂P₃平行，即高始终保持恒定。
因此，这个锥体的高是恒定的，无论质点A从球面上的哪一点出发，最终形成的锥体的高始终相等。
第二题：已知一个圆台的高为h，底面半径为R，顶面半径为r。
若将该圆台的高缩短到原长的一半，底面和顶面的半径分别变为原来的a倍和b倍，则圆台的体积变为原来的多少倍？解析：设原圆台的体积为V₁，根据圆台的体积公式 V₁ =(π(R²+Rr+r²)h)/3，我们可以得到：V₁ = (π(R²+Rr+r²)h)/3将圆台的高缩短到原长的一半，底面和顶面的半径分别变为原来的a倍和b倍，新圆台的体积为V₂。
根据圆台的体积公式，我们可以得到：V₂ = (π((aR)²+(aR)(br)+(br)²)(h/2))/3= (π(a²R²+2a²Rbr+b²r²)(h/2))/3= ((πR²+2πRbr+πr²)(h/2))/3将原圆台的体积和新圆台的体积相除，即 V₂/V₁，即可得到圆台体积的倍数：V₂/V₁ = (((πR²+2πRbr+πr²)(h/2))/3) / ((π(R²+Rr+r²)h)/3)= ((πR²+2πRbr+πr²)(h/2))/((π(R²+Rr+r²)h))= (πR²+2πRbr+πr²)/(π(R²+Rr+r²))化简上式，得：V₂/V₁ = (R²+2Rbr+r²)/(R²+Rr+r²)因此，圆台的体积变为原来的 (R²+2Rbr+r²)/(R²+Rr+r²) 倍。
最终版球体积和表面积(附答案)
球的体积和外表积[学习目标] 1.记准球的外表积和体积公式，会计算球的外表积和体积.2.能解决与球有关的组合体的计算问题.知识点一 球的体积公式与外表积公式 1.球的体积公式V ＝43πR 3(其中R 为球的半径).2.球的外表积公式S ＝4πR 2.思考 球有底面吗？球面能展开成平面图形吗？ 答 球没有底面，球的外表不能展开成平面. 知识点二 球体的截面的特点1.球既是中心对称的几何体，又是轴对称的几何体，它的任何截面均为圆，它的三视图也都是圆.2.利用球半径、截面圆半径、球心到截面的距离构建直角三角形是把空间问题转化为平面问题的主要途径.题型一 球的外表积和体积例1 (1)球的外表积为64π，求它的体积； (2)球的体积为5003π，求它的外表积.解 (1)设球的半径为R ，那么4πR 2＝64π，解得R ＝4， 所以球的体积V ＝43πR 3＝43π·43＝2563π.(2)设球的半径为R ，那么43πR 3＝5003π，解得R ＝5，所以球的外表积S ＝4πR 2＝4π×52＝100π.跟踪训练1 一个球的外表积是16π，那么它的体积是( ) A.64π B.64π3 C.32π D.32π3答案 D解析 设球的半径为R ，那么由题意可知4πR 2＝16π，故R ＝2.所以球的半径为2，体积V ＝43πR 3＝323π. 题型二 球的截面问题例2 平面α截球O 的球面所得圆的半径为1.球心O 到平面α的距离为2，那么此球的体积为( )A.6πB.43πC.46πD.63π 答案 B解析 如图，设截面圆的圆心为O ′， M 为截面圆上任一点， 那么OO ′＝2，O ′M ＝1. ∴OM ＝(2)2＋1＝ 3. 即球的半径为 3. ∴V ＝43π(3)3＝43π.跟踪训练2 长方体共顶点的三个侧面面积分别为3，5，15，那么它的外接球外表积为________.答案 9π解析 如图，是过长方体的一条体对角线AB 的截面，设长方体有公共顶点的三条棱的长分别为x ，y ，z ，那么由，得⎩⎨⎧xy ＝3，yz ＝5，zx ＝15，解得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝1，z ＝ 5.所以球的半径R ＝12AB ＝12x 2＋y 2＋z 2＝32，所以S 球＝4πR 2＝9π.题型三 球的组合体与三视图例3 某个几何体的三视图如下图，求该几何体的外表积和体积.解 由三视图可知该几何体的下部是棱长为2的正方体，上部是半径为1的半球，该几何体的外表积为S ＝12×4π×12＋6×22－π×12＝24＋π. 该几何体的体积为 V ＝23＋12×43π×13＝8＋2π3.跟踪训练3 有三个球，第一个球内切于正方体，第二个球与这个正方体各条棱相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的外表积之比.解 设正方体的棱长为a .①正方体的内切球球心是正方体的中心， 切点是正方体六个面的中心， 经过四个切点及球心作截面， 如图(1)所示，那么有2r 1＝a ， 即r 1＝a 2，所以S 1＝4πr 21＝πa 2.②球与正方体的的各棱的切点在每条棱的中点，过球心作正方体的对角面得截面，如图(2)所示，那么2r 2＝2a ，即r 2＝22a ， 所以S 2＝4πr 22＝2πa 2.③正方体的各个顶点在球面上，过球心作正方体的对角面得截面，如图(3)所示，那么有2r 3＝3a ，即r 3＝32a ， 所以S 3＝4πr 23＝3πa 2.综上可得S 1∶S 2∶S 3＝1∶2∶3.轴截面的应用例4 有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内部放一个半径为r 的铁球，并注入水，使水面没过铁球和球正好相切，然后将球取出，求这时容器中水的深度. 分析 分别表示出取出铁球前后水的体积→由水的体积不变建立等式→求出所求量. 解 如图，⊙O 是球的最大截面，它内切于△ABC ，球的半径为r .设将球取出后，水平面在MN 处，MN 与CD 交于点E .那么DO ＝r ，AD ＝3r ，AB ＝AC ＝BC ＝23r ， ∴CD ＝3r .由图形知V 圆锥CE ∶V 圆锥CD ＝⎝⎛⎭⎫13π·ME 2·CE ∶⎝⎛⎭⎫13π·AD 2·CD ＝CE 3∶CD 3.又∵V 圆锥CD ＝π3(3r )2·3r ＝3πr 3，V 圆锥CE ＝V 圆锥CD －V 球O ＝3πr 3－43πr 3＝53πr 3，∴5πr 33∶3πr 3＝CE 3∶(3r )3，∴CE ＝315r .∴球沉着器中取出后，水的深度为315r .1.直径为6的球的外表积和体积分别是( ) A.36π，144π B.36π，36π C.144π，36πD.144π，144π2.假设球的体积与其外表积数值相等，那么球的半径等于( ) A.12B.1C.2D.3 3.两个半径为1的实心铁球，熔化成一个球，这个大球的半径是________.4.假设球的半径由R 增加为2R ，那么这个球的体积变为原来的________倍，外表积变为原来的________倍.5.某几何体的三视图如下图，那么其外表积为________.一、选择题1.设正方体的外表积为24，那么其外接球的体积是( ) A.43π B.8π3C.43πD.323π 2.一个正方体的八个顶点都在半径为1的球面上，那么正方体的外表积为( ) A.8 B.8 2 C.8 3 D.423.两个球的半径之比为1∶3，那么两个球的外表积之比为( ) A.1∶9 B.1∶27 C.1∶3 D.1∶14.设正方体的外表积为24 cm 2，一个球内切于该正方体，那么这个球的体积是( )A.6π cm 3B.323π cm 3C.83π cm 3D.43π cm 35.假设与球外切的圆台的上、下底面半径分别为r ，R ，那么球的外表积为( ) A.4π(r ＋R )2 B.4πr 2R 2 C.4πRrD.π(R ＋r )26.底面边长为1，侧棱长为2的正四棱柱的各顶点均在同一球面上，那么该球的体积为( ) A.32π3 B.4π C.2π D.43π 7.如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm ，如果不计容器厚度，那么球的体积为( ) A.500π3 cm 3B.866π3 cm 3C.1 372π3 cm 3D.2 048π3cm 3二、填空题8.一个几何体的三视图(单位：m)如下图，那么该几何体的体积为________ m 3.9.一个正方体的所有顶点在一个球面上.假设球的体积为9π2，那么正方体的棱长为_____.10.正四棱锥的顶点都在同一球面上，假设该棱锥的高为4，底面边长为2，那么该球的外表积是________.11.圆柱形容器内盛有高度为8 cm的水，假设放入三个一样的球(球的半径与圆柱的底面半径一样)后，水恰好淹没最上面的球(如下图)，那么球的半径是______cm.三、解答题12.如下图，半径为R的半圆内的阴影局部以直径AB所在直线为轴，旋转一周得到一几何体，求该几何体的外表积.(其中∠BAC＝30°)13.一个高为16的圆锥内接于一个体积为972π的球，在圆锥内又有一个内切球，求：(1)圆锥的侧面积；(2)圆锥的内切球的体积.当堂检测答案解析 球的半径为3，外表积S ＝4π·32＝36π，体积V ＝43π·33＝36π.2.答案 D解析 设球的半径为R ，那么4πR 2＝43πR 3，所以R ＝3.3.答案 32解析 设大球的半径为R ，那么有43πR 3＝2×43π×13，R 3＝2，∴R ＝32. 4.答案 8 4解析 球的半径为R 时，球的体积为V 1＝43πR 3，外表积为S 1＝4πR 2，半径增加为2R 后，球的体积为V 2＝43π(2R )3＝323πR 3，外表积为S 2＝4π(2R )2＝16πR 2.所以V 2V 1＝323πR 343πR 3＝8，S 2S 1＝16πR 24πR 2＝4，即体积变为原来的8倍，外表积变为原来的4倍. 5.答案 3π解析 由三视图可知，该几何体为一个半径为1的半球，其外表积为半个球面面积与截面面积的和，即12×4π＋π＝3π.课时精练一、选择题解析 由题意可知，6a 2＝24，∴a ＝2. 设正方体外接球的半径为R ，那么 3a ＝2R ，∴R ＝3，∴V 球＝43πR 3＝43π.2.答案 A解析 ∵球的半径为1，且正方体内接于球，∴球的直径即为正方体的对角线，即正方体的对角线长为2.不妨设正方体的棱长为a ，那么有3a 2＝4，即a 2＝43.∴正方体的外表积为6a 2＝6×43＝8.3.答案 A解析 由外表积公式知，两球的外表积之比为R 21∶R 22＝1∶9.4.答案 D解析 由正方体的外表积为24 cm 2，得正方体的棱长为2 cm ，故这个球的直径为2cm ，故这个球的体积为43π cm 3.5.答案 C解析 方法一 如图，设球的半径为r 1，那么在Rt △CDE 中，DE ＝2r 1，CE ＝R －r ，DC ＝R ＋r .由勾股定理得4r 21＝(R ＋r )2－(R －r )2，解得r 1＝Rr .故球的外表积为S 球＝4πr 21＝4πRr .方法二 如图，设球心为O ，球的半径为r 1，连接OA ，OB ，那么在Rt △AOB 中，OF 是斜边AB 上的高.由相似三角形的性质得OF 2＝BF ·AF ＝Rr ，即r 21＝Rr ，故r 1＝Rr ，故球的外表积为S 球＝4πRr . 6.答案 D解析 ∵正四棱柱的底面边长为1，侧棱长为2，∴正四棱柱的体对角线的长为1＋1＋(2)2＝2.又∵正四棱柱的顶点在同一球面上，∴正四棱柱体对角线恰好是球的一条直径，∴球的半径R ＝1.故球的体积为V ＝43πR 3＝43π. 7.答案 A 解析 利用球的截面性质结合直角三角形求解.如图，作出球的一个截面，那么MC ＝8－6＝2(cm)，BM ＝12AB ＝12×8＝4(cm).设球的半径为R cm ，那么R 2＝OM 2＋MB 2＝(R －2)2＋42，∴R ＝5，∴V 球＝43π×53＝500π3(cm 3). 二、填空题8.答案 9π＋18解析 将三视图复原为实物图后求解.由三视图知，几何体下面是两个球，球半径为32； 上面是长方体，其长、宽、高分别为6、3、1，所以V ＝43π×278×2＋1×3×6＝9π＋18. 9.答案 3解析 先求出球的半径，再根据正方体的体对角线等于球的直径求棱长.设正方体棱长为a ，球半径为R ，那么43πR 3＝92π，∴R ＝32，∴3a ＝3，∴a ＝ 3. 10.答案 814π 解析 由条件可知，球心在正四棱锥的高所在的直线上.设球的半径为R ，球心为O ，正四棱锥底面中心为E ，那么OE ＝|4－R |，所以(4－R )2＋(2)2＝R 2，解得R ＝94.所以球的外表积S ＝4πR 2＝81π4.11.答案 4解析 设球的半径为r ，那么圆柱形容器的高为6r ，容积为πr 2×6r ＝6πr 3，高度为8 cm 的水的体积为8πr 2,3个球的体积和为3×43πr 3＝4πr 3，由题意得6πr 3－8πr 2＝4πr 3，解得r ＝4(cm).三、解答题12.解 如下图，过C 作CO 1⊥AB 于O 1.在半圆中可得∠BCA ＝90°，∠BAC ＝30°，AB ＝2R ，∴AC ＝3R ，BC ＝R ，CO 1＝32R ，∴S 球＝4πR 2， 1AO S 圆锥侧＝π×32R ×3R ＝32πR 2，1BO S 圆锥侧＝π×32R ×R ＝32πR 2，∴S 几何体表＝S 球＋1AO S 圆锥侧＋1BO S 圆锥侧 ＝112πR 2＋32πR 2＝11＋32πR 2. 故旋转所得几何体的外表积为11＋32πR 2. 13.解 (1)如图作轴截面，那么等腰三角形CAB 内接于⊙O ，⊙O 1内切于△ABC .设⊙O 的半径为R ，由题意，得43πR 3＝972π， 所以R 3＝729，R ＝9，所以CE ＝18.CD ＝16，所以ED ＝2.连接AE ，因为CE 是直径，所以CA ⊥AE ，所以CA 2＝CE ·CD ＝18×16＝288，所以CA ＝122， 因为AB ⊥CD ，所以AD 2＝CD ·DE ＝16×2＝32， 所以AD ＝42，S 圆锥侧＝π×42×122＝96π.(2)设内切球O 1的半径为r ，因为△ABC 的周长为2×(122＋42)＝322，所以S △ABC ＝12r ·322＝12×82×16，解得r ＝4， 所以内切球O 1的体积V 球＝43πr 3＝2563π.。
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一，选择题
1. 平面a 截球O 的球面所得圆的
半径为 (A)/6n ( B ) ^/3n
2. 一个正方体的顶点都在球面上，
a 的距离为｛2,则此球的体积为 (D) 6后 '，则球的表面积是(
2 2 A. 81 cm
B. 12jicm 2 2
C. 16兀 cm
D. 20；1 cm 3. 如果两个球的体积之比为 8: A. 8:27 B. 2:3 C.
4. 已知三棱锥S-ABC 的所有顶
点都在球 O 的球面上， MBC 是边长为1的正三角形, 球O 的直径，且sc=2则此棱锥的体积为
该球面得半径为 4,圆M 的面积为4兀，则圆N 的面积为(
A. B. 9 兀 C. 11兀 D. 137!
一球面上，则底面 ABCD 勺中心与顶点S 之间的距离为(
A.亟
B. 2
二，填空题 1. 球的半径扩大为原来的 2倍,它的体积扩大为原来的 _
2. 若三个球的表面积之比是 1: 2:3，则它们的体积之比是
3.已知点P , A, B , C, D 是球O 表面上的点，PA 1平面ABCD 四边形ABCD 是边长为2^3正 方形。
若PA=^/6 ,则△ OAB 的面积为
4.直三棱柱ABC - ARG 的各顶点都在同一球面上，若AB = AC = AA = 2 ,
NBAC =120°,则球的表面积为
5. 已知正三棱锥 P-ABC 点P,A,B,C 都在半径为 J 3的球面上，若 PA,PB,PC 两两互相垂直, 则球心都到截面 ABC 的距离为 三，简答题
1, 正三棱锥的高为1，底面边长为2
恵，内有一个球与它的四个面都相切，求内切球的表
面积和体积。
1,球心O 到平面 (C )知6 n 它的棱长为
27,那么两个球的表面积之比为 ()
4:9 D. 2:9 SC 为
5.已知平面a 截一球面得圆
M 过圆心M 且与a 成60°二面角的平面P 截该球面得圆 N,若
6.高为J 2的四棱锥S-ABCD 的底面是边长为1的正方形，点
S,A,B,C,D 均在半径为 1的同 C. 42
因此，球心O 到截面P 的距离等于ON = J 3,截面圆N 的半径r =(42 -3 = J 13,截面圆N
的面积等于 兀『=13兀，选D
6. A ［命题立意］本小题主要考察考生的空间想象力以及如何有效的利用已知条件恰当的将空
一。
选择题
1.【答案】B
【解析】球半径r = +(72)2 = J 3，所以球的体积为 ｝佔—B.
2.B 正方体的顶点都在球面上，则球为正方体的外接球，则2j 3 = 2R ，
R = ^/3, S=4JI R 2 =12兀
3.C V | : V 2 =8: 27, » :「2 = 2: 3,8): S^ = 4 : 9
4.A 解析：本题考查与球有关的组合体与球的性质及空间几何体体积的运算，难度中等
2 7
3 73
CD 二—x —>c i =二， 3 2 3 据题意得 3 2 3 故 |OD | =7|CO
2 -CD 因此顶点S 到底面ABC 的距离为
h =2|OD | = ^6,故 V S ^B ^^—^l 2^2^6 3 3 4 3
5.D ［命题立意］本小题主要考察球的半径，球心到截面的距离和截面圆半径间的关系；二面 角的平面角以及相关的平面几何知识的综合应用能力，解题关键是确定二面角的位置。
解析：设圆N 的半径为r ，球心为O ,平面a C P = AB ，其中线段AB 是圆M 的一条直径,
联接OM,ON,MN,NA,NB,则有NA=NB;又M 为AB 的中点，于是又NM 丄AB ，过点
M 在平
面 a 内 做 AB 得 垂 线 交 圆 M 于 点 N NMC = 600.又AB 丄OM , AB 丄ON ,因此AB 丄平面OMN ;又AB 丄平面CMN 平面OMN 与平面CMN 重合, 即点O,C,M,N 四点共面，在四边形 OCMN 中,
NOMN =NOMC -ZNMC
= 90°—60° =30°, N ONM =90°, OM 二如-22 =2虫,ON
J OM =73? 2
间问题平面化，从而借助于平面几何知识将相关问题解
决。
解析：设题中的球的球心为O,球心0与顶点S在底面ABCD上的射影分别是O1,E,联接OA,OB,OC,OD,OS,则有0A=0B=0C=0D=0S=1 ，点O i 是底面正方形ABCD 的中心, 00, P S E且00,=抉2 _00小2 =J l2 _（亍）2S'2雄,SE=V2.
2
在直角梯形O O J ES中，作OF丄SE,于点F则四边形00i ES是矩形,
返,SF =SE-EF =72-血近
2
EF= 0 0, =在RTASO F中，0尸=0S2
二，填空题
72
即0i E =——•在RTiSOi中,
2
SO二J01E2 +SE2二j（¥）2+（72）2尿
1. 8 r^2r1,V^8V1
2.1:2^2:373 r :「2:「3 =1:72:73, r31: ^3:「33=13:（72）3:（73）3
=1:2^/2:373
3.【答案】3襄
【命题意图】本题主要考查组合体的位置关系、抽象概括能力、空间想象能力、运算求解能
力以及转化思想，该题灵活性较强，难度较
大。
【解析】点P、A、B、C、D为球0内接长方体的顶
点,
球心0为该长方体对角线的中点,
1
二也0AB的面积是该长方体对角面面积的-,
4
寫AB =25/3, PA =2虫,”•. PB =6,，.A 0ABD面积=丄咒273^6=373
4
【点评】该题若直接利用三棱锥来考虑不宜入手，注意到条件中的垂直关系，把三棱锥转化
为长方体来考虑就容易多
了。
4. 20
兀
5.—【命题立意】本题考查正三棱锥的结构特点与球的相关知识,
3
同时考查了空间想象力,
难度较大。
解析：因为PA,PB,PC 两两互相垂直，故正三棱锥 P-ABC 的外接球即是以 PA,PB,PC 为棱的 正方体的外接球，所以球心到截面
ABC 的距离即为球半径减去正三棱锥的高 。
设
2 2 PA=PB=PC=a,则3a =4R =12,所以a=2,设正三棱锥 P-ABC 的高为h ，则
三，简答题 1解析：设正三棱锥 P-ABC 的内切球心为 0,连接0P,0A,0B,0C,而0点到三棱锥的四个 面的距离都为球的半径 r ，
—V O _PAB +V 0_PBC +V 0_PAC 中 V ojBC
=3 s « 3 又V P 」BC A A 'r 十1 S ABC r = 1 'S 表 r =(^/2 十2!/3)r 3 3
丄1%^?^2%! =2^/3, 3 2 2 /. (3^2 + 2妁r =273, 得 r = 2 爲 273(372-273) 3 旋+2^3 18-12 二 ％切球=4(J 6-2)2=(40-16J 6)
兀. = 4Q -2. V 内切球=4（76-2）3=-（9 屈22） 3 3
V 丄 1a 3
3 2 =3呼（2歼h,解得h ^^
故球心到截面
ABC 的距离为=— 3 3。