四边形专题训练一

第四讲四边形专题训练（一）

【知识精讲】

1. 主要概念

（1）平行四边形——有两组对边分别平行的四边形叫平行四边形．

（2）矩形——有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．

（3）菱形——有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．

（4）正方形——有一个角是直角的菱形叫做正方形（有一组邻边相等的矩形叫做正方形）．

（5）梯形——只有一组对边平行的四边形叫做梯形．

（6）等腰梯形——两腰相等的梯形叫做等腰梯形．

（7）直角梯形——有一个角是直角的梯形叫做直角梯形．

（8）三角形中位线——连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．

2. 几种特殊四边形的关系

3.

附:矩形菱形正方形的性质和判定总表

矩形 菱形

正方形 性 质 边 对边平行且相等 对边平行，四边相等

对边平行，四边相等 角 四个角都是直角 对角相等 四个角都是直角

对

角线

互相平分且相等 互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角

互相垂直平分且相等,每条对角线平分一组对角

判定

·有三个角是直角; ·是平行四边形且有一个角是直角; ·是平行四边形且两条对角线相等.

·四边相等的四边形； ·是平行四边形且有一

组邻边相等；

·是平行四边形且两条对角线互相垂直。

·是矩形，且有一组邻边相等；

·是菱形，且有一个角是直角。

对称性

既是轴对称图形，又是中心对称图形

（1）有些四边形问题可以转化为三角形问题来解决． （2）有些梯形的问题可以转化为三角形、平行四边形问题来解决． （3）有时也可以运用平移、轴对称来构造图形，解决四边形问题． 考点分析：

四边形的内容是平行线与三角形两部分知识的应用和深化．是中考考查的重点内容，所占分值较高．考查内容主要是与四边形有关的角、周长、面积、线段、折叠、证明等问题，近年来又出现了许多与四边形有关的开放探索题、操作题，以及四边形与相似、函数知识结合的综合题．

【典型例题】一. 矩形

矩形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点，矩形也是轴对称图形，对称轴是通过对边中点的直线，有两条对称轴； 矩形的性质:(具有平行四边形的一切特征)

矩形性质1: 矩形的四个角都是直角．矩形性质2: 矩形的对角线相等且互相平分．

如图，在矩形ABCD 中，AC 、BD 相交于点O ，由性质2有AO=BO=CO=DO=2

1

AC=2

1BD ．因此可以得到直角三角形的一个性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．

矩形的判定方法．

矩形判定方法1：对角钱相等的平行四边形是矩形． 矩形判定方法2：有三个角是直角的四边形是矩形． 矩形判定方法3：有一个角是直角的平行四边形是矩形． 矩形判定方法4： (4)对角线相等且互相平分的四边形是矩形． 例1已知：如图 ，矩形 ABCD ，AB 长8 cm ，对角线比AD 边长4 cm ．求AD 的长及点A 到BD 的距离AE 的长．

例2 已知：如图，矩形ABCD 中，E 是BC 上一点，DF ⊥AE 于F ，若AE=BC ． 求证：CE ＝EF ．

例3．如图，已知矩形ABCD 中，E 是AD 上的一点，F 是AB 上的一点，EF ⊥EC ，且EF =EC ，DE =4cm ，矩形ABCD 的周长为32cm ，求AE 的长．

例4、

ABCD 中，E 为BC 的中点，连接AE 并延长交DC 的延长线于点F ．

(1)求证：AB=CF ；

(2)当BC 与AF 满足什么数量关系时，四边形ABFC 是矩形，并说明理由． 【强调】 菱形（1）是平行四边形；（2）一组邻边相等． 菱形的性质

性质1 菱形的四条边都相等；

性质2 菱形的对角线互相平分，并且每条对角线平分一组对角； 菱形的判定

菱形判定方法1:对角线互相垂直的平行四边形是菱形．

F E

D C

B

A

注意此方法包括两个条件：（1）是一个平行四边形；（2）两条对角线互相垂直．

菱形判定方法2:四边都相等的四边形是菱形．

例1 已知：如图，四边形ABCD 是菱形，F 是AB 上一点，DF 交AC 于E ．

求证：∠AFD=∠CBE ． 例2已知：如图ABCD 的对角线AC 的垂直平分线与边AD 、BC 分别交于E 、F ．

求证：四边形AFCE 是菱形．

例3、如图，在 平行四边形 ABCD 中，O 是对角线AC 的中点， 过点O 作AC 的垂线与边AD 、BC 分别交于E 、F ，求证：四边形AFCE 是菱形.

例4、已知如图，菱形ABCD 中，E 是BC 上一点，AE 、BD 交于M ，若AB=AE,∠EAD=2∠BAE 。求证：AM=BE 。 例5． 如图，在菱形ABCD 中，∠A =60°,AB =4,O 为对角线BD 的中点，过O 点作OE ⊥AB ，垂足为E ． 求线段BE 的长．

3．（平行四边形）（2008佛山）如图，△ACD 、△ABE 、△BCF 均为直线BC 同侧的等边三角形.

(1) 当AB ≠AC 时，证明四边形ADFE 为平行四边形； (2) 当AB = AC 时，顺次连结A 、D 、F 、E 四点所构

成的图形有哪几类？直接写出构成图形的类型和相应的条件

B M A

D

C

E D

A B

C

O

60

A

B

C

D

E

F

O

1

2