倒易格子与衍射
倒格子和X衍射
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X射线光谱
图 2 元素特征X射线的激发机理
X射线的产生：高速电子流轰击金属，内层电子被击出，Kα1 、Kα2、Kβ1高
能级电子跃迁到低能级补充空位, 能量以X光的形式放出。
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图3
X射线的物理性质和穿过物质时的作用
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2、X射线的本质
劳厄斑Laue spots
X射线 X--ray
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劳厄斑 晶体 Laue spots 晶体的三维光栅 crystal Three-dimensional “diffraction grating”
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• 由此，X射线被证实是一种频率很高（波长很 短）的电磁波。 X射线的本质是电磁辐射，与 可见光完全相同，仅是波长短而已，因此具有 波粒二像性。 (1)波动性; (2)粒子性。
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• 2、正、倒格子对应关系 不同空间描写晶体的对称性 • r空间 k空间 • Bravais格子 倒格子 • W-S原胞 Brilliuon区 • 正格子的晶面(hkl)对应于倒格子的格点h,k,l；反之亦然。 • 3、等价的周期性 • 如果Kh是倒格矢，那么物理量的Fourier级数在晶体任何平 移变换下具有所期待的不变性。
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图1 电磁波谱
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X照片
• 伦琴夫人的手
• 戒指
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1、X射线的产生
原子内壳层电子跃迁产生的一种辐射和高速电子在靶上骤然减速 时伴随的辐射，称为X 射线。
倒易空间
倒易空间、波矢与衍射条件2009-10-09 13:07倒易空间、波矢与衍射条件1. 傅立叶展开与倒易空间我们知道，晶体具有周期性的结构，由此使得其许多性质在某些方向上也具有周期性，例如原子核的位置的周期性排列产生了周期性的离子实势场。
因此，如果要研究晶体中的电子的运动，就必须要研究这种周期性的离子实势场。
所以，我们首先要处理的就是周期性函数。
而傅立叶（Fourier, 1768～1830）在他的1807年的论文《固体中的热传导》中所提出傅立叶级数方法就是处理周期性函数的强大工具。
值得一提的是，这个方法在当时曾引起争议，Lagrange、Laplace 一直持保留态度。
后来经过Poisson、Cauchy，直至Dirichlet的努力，傅立叶的方法才最终令人信服地被人接受。
对于一个三维周期性函数u(r)（周期为T=n1a1+ n2a2+ n3a3），即：u(r) = u(r + T)这里，r是实数自变量，可以用来表示三维实空间的坐标。
那么如果将u(r)展开成傅立叶级数，其形式为：u(r) = S G u G exp(i G·r)其中，G是与实空间中的周期性矢量T相关联的一组矢量，它是如下定义的：构成T的三个基矢量a1、a2和a3张成了三维实空间，与此做类比，我们定义与实空间互为“倒易”（reciprocal）的空间，它由三个倒易基矢量b1、b2和b3张成的，即G=k1b1+ k2b2+ k3b3。
而倒易基矢量由如下倒易关系给出：b1 = 2π (a2×a3/ a1·a2×a3)b2 = 2π(a3×a1/ a2·a3×a1)b3 = 2π(a1×a2/ a3·a1×a2)之所以如此定义，是因为这样就能使互为倒易的两组基矢量之间满足如下的漂亮关系：a i·b j= 2πδij这是很好理解的，因为在b1、b2和b3的定义式中(a1·a2×a3)就是基矢量a1、a2和a3围成的平行六面体的体积，而(a2×a3)就是这个平行六面体的底面积，因此(a2×a3/ a1·a2×a3)就是这个平行六面体垂直于a2和a3所在平面的高的倒数，可见，b1的方向沿着这条高，其长度为这条高的倒数乘以2π。
17 倒格子
2 π a a 2 3 a b a 1 1 1 Ω
0 i j
2π
2 π a a 3 1 a b a 1 2 1 0 Ω
2.
R π (为整数) l K h 2
K h b h b h b h 1 2 3 1 2 3
其中 Rl和 Kh分别为正格点位矢和倒格点位矢。
R l a l a l a l 1 2 3 1 2 3
h b h b h b ) 1 2 3 l a l a l a ) ( Rl Kh ( 1 2 3 1 2 3 1 2 3
2 π ( l h l h l h ) 1 1 2 2 3 3
2π
3.
3 2 π Ω*
2π d h1h2h3
。
h b h b h b (1)证明 K h 1 2 3 与晶面族(h1h2h3)正交： 1 2 3
设ABC为晶面族(h1h2h3)中离原点最近的晶面，
a1 a 2 a 3 ABC在基矢 a1 , a 2 , a 3上的 截距分别为 , , 。 h1 h2 h3
a
i a 2 a 2
j a 2 a 2
a a a k a i 2 2 j 2 a a a 2 a 2 2 2 2 a2 a2
a a a Байду номын сангаас 2 k 2 2 a a a 2 2 2
2 2 π 2 πa 2 π b a a 2 3 j k j k 1 3 Ω a 2 a 2
是该晶面的法线方向，它的大小则为该晶面族面间距倒数的2 倍。
晶体结构
正格子
倒格子 1.
1. R n a n a n a n 1 2 3 1 2 3
倒易格子与电子衍射
倒易格子对电子衍射的深入理解
理解电子衍射原理
倒易格子有助于深入理解电子衍射的原 理，通过将复杂的电子衍射过程简化为 倒易格子中的数学运算，有助于更好地 掌握电子衍射的基本概念和理论。
探索新型材料
利用倒易格子可以探索新型材料，通 过分析电子衍射图谱，可以研究材料 的原子结构和分子排列，从而发现具 有潜在应用价值的材料。
倒易格子与电子衍射
• 引言 • 倒易格子基础 • 电子衍射原理 • 倒易格子与电子衍射的关系 • 实际应用案例 • 结论
目录
01
引言
主题简介
倒易格子
倒易格子是晶体学中的基本概念，用于描述晶体中原子或分 子的排列方式。它是一个抽象的数学模型，通过将原子或分 子的位置映射到一个连续的空间格子上，可以方便地描述和 预测晶体中的各种性质。
布拉格定律
当电子束满足布拉格定律时，即电子束方向与晶体中原子面网法线方向 平行，且入射角等于晶面间距与波长的比值，将产生衍射。
03
倒易格子
倒易格子是描述晶体中原子排列周期性的数学工具，通过倒易格子可以
方便地计算出电子衍射图样中各衍射斑点的位置和强度。
电子衍射与晶体结构
晶体结构分析
点阵常数测量
通过电子衍射图样中各衍射斑点的位 置和强度，可以反推出晶体的结构信 息，如晶面间距、晶胞参数等。
通过电子衍射技术可以观察金属材料的微观结构，如晶粒大小、晶界特征等，进一步研究 这些结构特征对金属材料力学性能的影响。
陶瓷材料的电子衍射分析
陶瓷材料的晶体结构和相变
利用电子衍射技术可以研究陶瓷材料的晶体结构、相变过 程以及晶体缺陷等，有助于理解陶瓷材料的物理和化学性 质。
陶瓷材料的微观结构和性能
通过电子衍射技术可以观察陶瓷材料的微观结构，如晶粒 大小、晶界特征等，进一步研究这些结构特征对陶瓷材料 性能的影响。
倒易点阵及X射线衍射几何条件
布喇菲晶胞:
The 14 possible BRAVAIS LATTICES
立方 正方
斜方
六方 菱方
单斜
三斜
3. 点阵类型
◆阵点的坐标表示 ●以任意顶点为坐标原点，以与原点相交的三个棱边 为坐标轴，分别用点阵周期（ a、 b、c）为度量单位。 四种点阵类型 •简单(P:primitive) •底心(C:side-centred) •体心(I:body-centred) •面心(F:face-centred)
◆简单点阵的阵点坐标为[000]
◆底心点阵C
除八个顶点上有阵点外， 两个相对的面心上有阵点， 面心上的阵点为两个相邻 的平行六面体所共有。因 此，每个阵胞占有两个阵 点 。 阵 点 坐 标 为 [000] ， [1/2 1/2 0]
◆体心点阵I
除 8 个顶点外，体 心上还有一个阵点， 因此，每个阵胞含有 两个阵点，阵点坐标 为[000]，[1/2 1/2 1/2]
晶面指数具有如下规律：
晶面指数，并非仅指一晶格中的某一个晶面，而是
泛指该晶格中所有那些与其相平行的位向相同的晶面。
在一种晶格中，如果某些晶面，虽然它们的位向不
同，但原子排列相同。如（100）、（010）及 （001） 等，这时若不必要予以区别时，可把这些晶面统一用 {100}表示。
6. 晶带定律
线的方向，它们的原子排列完全相同，属于同一晶向族，用
<111>表示。
5. 晶体学指数—晶面指数
⑴ 如图设晶格中，某一原子为原点，通过该点平行于晶胞的
三棱边作 OX、OY、OZ三坐标轴，以晶格常数 a、 b、 c分别作 为相应的三个坐标轴上的度量单位，求出所需确定的晶面在三 坐标轴上的截距； ⑵ 将所得三截距之值变为倒数； ⑶ 再将这三个倒数按比例化为最 小整数并加上一圆括号，即为晶 面指数。 一般表示形式：(hkl) 。
第二部分 倒易点阵和晶体衍射-总结与习题指导
ϕG = ∑ f j ( G ) exp ( −iG ⋅ r j )
j
(2.11)
其中 rj 是基元中第 j 原子的坐标，
r j = x j a1 + y j a2 + z j a3 , ( 0 ≤ x j , y j , z j < 1) f j 是第 j 原子的形状因子，
4
f j = ∫ dVn j ( r ) exp ( −iG ⋅ r )
j
(2.13)
当基元的几何结构因子为零时，空间点阵所允许的反射消失，而根据消失了 的反射(即消光规则)又可以帮助我们确定晶体结构．
5
例题
2．1 体心立方和面心立方点阵的倒易点阵 证明体心立方点阵的倒易点阵
是面心立方点阵．反之，面心立方点阵的倒易点阵是体心立方点阵．
[证明]
选体心立方点阵的初基矢量如图 1．8 所示，
2
2
{
}
这里引用了公式： ( A × B ) × ( C × D ) = ⎡ ⎣( A × B ) ⋅ D ⎤ ⎦C − ⎡ ⎣( A × B ) ⋅ C ⎤ ⎦D。 由于 ( a3 × a1 ) ⋅ a1 = 0 ，故有
⎛ 2π ⎞ b2 × b3 = ⎜ ⎟ ⎡ ⎣( a3 × a1 ) ⋅ a2 ⎤ ⎦ a1 ⎝ Vc ⎠
2k ⋅ G + G 2 = 0
或
(2.9a)
2k ⋅ G = G 2
(2.9b)
可以证明，布喇格定律和劳厄条件完全是等价的。
相应于倒易点阵矢量 G 所给出的波矢改变 Δk = G ，有劳厄衍射的峰值，这 个劳厄衍射峰正好相当于来自和 G 相垂直的晶面族的布喇格反射，而出现在布 喇格定律中的反射级 n 正是倒易点阵矢量 G 除以和它平行的最短倒易点阵矢量 而得的倍数。
倒易点阵与衍射
Xi’an Jiaotong University
倒易矢量的数学定义
a*·a=c*·c=b*·b=1 同文字的倒易矢量与正矢量的 数量积为1的图形解释见图2. 从图2可知，c cosδ是（001） 面的面间距d001，因此： c*·c=c* c cosδ=c*d001=1 可得 c*=1/d001 b*
倒易空间不同点阵面与反射球相交的投影示意图
磁学与磁性材料
Xi’an Jiaotong University
几点讨论 （2）如果晶胞的尺寸增加，倒易点阵参数将较小， 各个结点将更互相靠近，从而使它们与反射球交 截得几率更大，衍射斑点也更靠近。 （3）如果用于照射晶体的X射线波长较短，则反射 球的半径增大，这时能落到球面上的结点当然亦 会增多，增加晶体衍射的光点数目。
磁学与磁性材料
d P a B θ 1 2θ A t b
图6.在倒易空间中反射的几何条件 a—入射线；b—反射球； C—反射线；d—反射线方向。
c θ θ
R t
Hhkl O
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三、厄瓦尔（Ewald）图解
将倒易点阵置于反射球中， 就可将衍射和倒易点阵联系 起来。 如图6，以O点作为倒易点阵 原点，而入射线的方向BO与 倒易点阵的基本平移矢量一 致。在这种情况下，所有落 到球面上的结点均处于射线 束的反射位置。例如有一个 倒易结点落到球面的P点 处，则反射线的方向将与反 射球的中心A到P点的连线相 平行。
磁学与磁性材料
Xi’an Jiaotong University
二、衍射方程
倒易点阵不仅可使晶体几何 学问题的解决简化，更为重 要的是同衍射问题相联系。 设入射光波长为λ，其方向 由单位质量 S0 表示；衍射光 方向由单位矢量 S 表示。 设晶体沿三个轴方向的的那 位矢量为 a, b, c. 若希望 在 S 方向上的散射加强，则 在与此相垂直的波阵面上， 晶体中各原子的散射线的位 相必须相同。
倒格子讲解
中文名称：倒格子英文名称：Reciprocal lattice术语来源：固体物理学倒格子，亦称倒易格子(点阵)，它在固体物理学中，特别是在晶格动力学理论、晶体电子论以及晶体衍射方面有着较为广泛的应用。
1定义假定晶格点阵基矢a1、a2、a3（1、2、3表示 a 的下标，粗体字表示a1 是矢量，以下类同）定义一个空间点阵，我们称之为正点阵或正格子，若定义b1 = 2 π ( a2× a3) /νb2 = 2 π ( a3× a1) /νb3 = 2 π ( a1× a2) /ν其中 v = a1· ( a2× a3 ) 为正点阵原胞的体积，新的点阵的基矢b1、b2、b3是不共面的，因而由b1、b2、b3也可以构成一个新的点阵，我们称之为倒格子，而b1、b2、b3 称为倒格子基矢。
2性质1. 倒格子的一个矢量是和晶格原胞中一组晶面相对应的，它的方向是该晶面的法线方向，而它的大小则为该晶面族面间距倒数的2π倍。
2. 由倒格子的定义，不难得到下面的关系a i ·b j = 2 πδij3. 设倒格子与正点阵（格子）中的位置矢量分别为G = αb1+ βb2 + γb3R = ηa1 + θa2 + λa3 (α,η,β,θ,γ,λ皆为整数)不难证明G·R = 2π ( αη + βθ +γλ ) = 2π n，其中n为整数。
4. 设倒格子原胞体积为ψ，正格子原胞体积为 v ，根据倒格子基矢的定义，并利用矢量乘法运算知识，则可得到ψ v = ( 2 π )^3.5. 正格子晶面族(αβγ)与倒格子矢量G = αb1+ βb2 + γb3 正交（具体的内容及证明过程，请参考文献[1]）3倒格子引入的意义这里简单的说一点，如上面的性质1，倒格子中的一个基矢对应于正格子中的一族晶面，也就是说，晶格中的一族晶面可以转化为倒格子中的一个点，这在处理晶格的问题上有很大的意义。
第二章晶体衍射-总结
G
如何寻找满足条件的矢量组 G ？
n(r
T)
nG
ex
p[iG
(r
T )]
G
nG exp(iG r ) exp(iG T ) n(r )
G
bbb123222πππaaa231ΩΩΩaaa31倒2 格子与W正(((3Ω21*)格))为* G子倒bΩbi格T*1a子(jb原(222胞nπ2πb)的π,33)体/nijΩ积 Z
正格矢 ：
T u1a1 u2a2 u3a3
倒格 矢：
G v1b1 v2b2 v3b3, v1, v2,v3 Z
倒格子：
简单立方 体心立方结构 面心立方结构 六角密堆结构
晶面间距
倒格子空间中任一倒格点都体现了正格子中一族晶面的 特征，倒格点位矢的方向是这族晶面的法向，而它的大 小比例于该晶面族面间距的倒数。
k
晶胞的散射振幅
FG
N
dVn(r ) exp( iG r )
cell
NSG
结构因子可以利用原子的形状因子重新写为
SG f j exp(iG rj )
j
SG (v1v2v3) f j exp[i2π(v1xj v2 y j v3z j )]
j
衍射波强度
I | FG |2 N 2 | SG |2
为零，相应的反射消失。
例3： 金刚石结构的几何结构因子
金刚石结构平均每个布拉维原胞包含8个原子，将其坐标：
000, 1 1 0, 1 0 1 ,0 1 1 , 22 2 2 22
1 1 1,1 3 3,3 31,31 3, 444 444 444 444
代入 Fhkl
f e i 2πn hu j kv j lw j j
第二章 X射线衍射和倒格子
第二章 X 射线衍射和倒格子大多数探测晶体中原子结构的方法都是以辐射的散射概念为基础的。
早在1895年伦琴发现X 射线不久，劳厄在1912年就意识到X 射线的波长量级与晶体中原子的间距相同，大约是0.1nm 量级，晶体必然可以成为X 射线的衍射光栅。
随后布拉格用X 射线衍射证明了NaCl 等晶体具有面心立方结构，从而奠定了用X 射线衍射测定晶体中的原子周期性长程有序结构的地位。
随着科学技术的不断发展，电子、中子衍射有为人类认识晶体提供了有效的探测方法。
但到目前为止，X 射线衍射仍然是确定晶体结构、甚至是只具有短程有序的无定形材料结构的重要工具。
本章以X 射线衍射为例介绍晶体的衍射理论，引入倒格子的概念，在此基础上介绍原子形状因子和几何结构因子，并介绍几种确定晶格结构的实验方法。
§2.1 晶体衍射理论一、布拉格定律 （Bragg ’s Law ）X 射线是一种可以用来探测晶体结构的辐射，其波长可以用下式来估算012.4()()hcE h A E KeV νλλ==⇒= （2.1.1） 能量为2~10KeV 的X 射线适用于晶体结构的研究。
在固体中，X 射线与原子的电子壳层相互作用，电子吸收并重新发射X 射线，重新发射的X 射线可以探测得到，而原子核的质量相对较大，对这个过程没有响应。
X 射线的反射率大约是10-3~10-5量级，在固体中穿透比较深，所以X 射线可以作为固体探针。
1912年劳厄（ul ）等发现了X 射线通过晶体的衍射现象之后，布拉格（W.L.Bragg ）父子测定了NaCl 、KCl 的晶体结构，首次给出了晶体中原子规则排列的实验数据，发现了晶态固体反射X 射线特征图像，推导出了用X 射线与晶体结构关系的第一个公式，著名的布拉格定律（Bragg ’s Law ）。
布拉格对于来自晶体的衍射提出了一个简单的解释。
假设入射波从晶体中的平行晶面作镜面反射，每个平面反射很少的一部分辐射，就像一个轻微镀银的镜子一样。
倒格子
倒格子的定义： 倒格子的定义：
• 在固体物理学中：实际观测无法直接测量 在固体物理学中： 正点阵， 正点阵，倒格子的引入能够更好的描述很 多晶体问题， 多晶体问题，更适于处理声子与电子的晶 格动量。 格动量。 • 在X射线或电子衍射技术中：一种新的点阵， 射线或电子衍射技术中： 射线或电子衍射技术中 一种新的点阵， 该点阵的每一个结点都对应着正点阵中的 一个晶面，不仅反映该晶面的取向， 一个晶面，不仅反映该晶面的取向，还反 映着晶面间距。 映着晶面间距。
b1 =
2
(a ×a ) a ⋅ (a ×a ) 1 (a ×a ) b = a ⋅ (a ×a )
1
2 2 3 1 3 3 1
b3 =
(a ×a ) a ⋅ (a ×a )
1
1 1 2 3 2
2
3
1
确定倒格矢的方法：对于一切整数 h,k,l,作出 作出 ( hb1 + k b 2 + l b3),这些向 这些向 量的终点就是倒格 子的节点。 子的节点。
倒格子（倒易点阵）的基本性质： 倒格子（倒易点阵）的基本性质：
• 正点阵与倒易点阵的同名基矢的点积为 ，不同 正点阵与倒易点阵的同名基矢的点积为1， 名基矢的点积为零； 名基矢的点积为零； • 正点阵晶胞的体积与倒易点阵晶胞的体积成倒数 关系； 关系； • 正点阵的基矢与倒易点阵的基矢互为倒易； 正点阵的基矢与倒易点阵的基矢互为倒易； h • 任意倒易矢量（ b1 + kb2 + lb3 ）垂直于正点阵中的 任意倒易矢量（ （hkl）面； ） • 倒易矢量的模等于正点阵中晶面间距的倒数。 倒易矢量的模等于正点阵中晶面间距的倒数。
• 任何一个晶体结构都有两个格子：一个是 任何一个晶体结构都有两个格子： 正格子空间(位置空间 位置空间)， 正格子空间 位置空间 ，另一个为倒格子空 状态空间)。 间(状态空间 。二者互为倒格子，通过傅里 状态空间 二者互为倒格子， 叶变换。 叶变换。晶格振动及晶体中电子的运动都 是在倒格子空间中的描述。 是在倒格子空间中的描述。
倒易格子与衍射
倒易格子与衍射--3.倒易点阵与电子衍射四、电子衍射1. 电子波的波长电子束的波长很短，因此根据布拉格方程，其衍射角度2θ也特别小。
波长C射线衍射仪0.1——100 Å电子显微分析0.0251 Å(200kV)2. 晶体形状与倒易点形状的关系3. 倒易格子与倒易球因为电子束的波长很短，只有一半X射线波长的1%，因此倒易球的半径很大，能与倒易球直接相交的一般只能是0层倒易面(即在垂直入射光束的方向倒易原点所在的平面)。
另外，由于电子衍射时，样品制作成为很薄的片状，因此，倒易点阵中的各倒易点体现为棒状，可以有更多的0层倒易点与倒易球相交。
图4-1. 倒易点阵图4-2 倒易点阵与倒易球图4-3. 0层的棒状倒易点与倒易球相交产生点阵衍射4. 电子衍射方程如图所示，倒易点G与倒易球相交，产生的衍射效果记录在胶片的G’点。
图4-4 电子衍射方程的推导因为电子波长很短，倒易球的半径很大，在倒易原点附近，倒易球面非常接近平面，因此，O1O/O1O’ = OG / OG’1/λ/L = 1/d/RRd=Lλ在恒定的实验条件下，Lλ是一个常数，即衍射常数(单位：mm.nm)。
此即电子衍射的衍射方程。
由以上分析可知，单晶电子衍射花样可视为某个（uvw）*方向的0零层倒易平面的放大像[（uvw）*的0层平面法线方向[uvw]近似平行于入射束方向（但反向）]。
因而，单晶电子衍射花样与二维（uvw）*的0层平面相似，具有周期性排列的特征。
5. 单晶电子衍射花样的标定标定是指确定衍射花样中各斑点的指数(hkl)及其晶带轴方向[UVW]，并确定样品的点阵类型和位向。
（1）对斑点进行指标化如图所示，晶带轴方向[uvw]，指向与入射电子束方向相反，属于该晶带的0层倒易面为[uvw]*0，记录的衍射花样相当于0层倒易面面的放大象。
中心为倒易点阵原点(000)，图4-5记录的衍射花样与倒易点阵的关系图4-6一例典型的电子衍射花样图4-7衍射斑点的矢量关系如图4-7所示，表达衍射花样周期性的基本单元（可称特征平行四边形）的形状与大小可由花样中最短和次最短衍射斑点矢量R1与R2描述，平行四边形中3个衍射斑点连接矢量满足矢量运算法则：R3=R1+R2|R3|2=|R1|2+|R2|2+2|R1||R2|cosφ(φ为R1,R2夹角)同理：R4=R1+2R2|R4|2=|R1|2+|2R2|2+2|R1||2R2|cosφ=|R1|2+4|R2|2+4|R1||R2|cosφR5=R1-R2|R5|2=|R1|2+|R2|2-2|R1||R2|cosφ若5个向量终点的衍射斑点衍射指标分别为(h1k1l1), (h2k2l2), (h3k3l3), (h4k4l4), (h5k5l5), 则斑点指标之间有如下关系：h3=h1+h2k3=k1+k2l3=l1+l2h4=h3+h2k4=k3+k2l4=l3+l2h5=h1-h2k5=k1-k2l5=l1-l2假定(h1k1l1), (h2k2l2)倒易指数为 (100)和(010), 则上图中各点的指标化结果如下：图4-8衍射斑点的指标化结果如果晶体是面心结构的，则其衍射效果要满足面心结构的衍射消光规律，即衍射指标要全奇或全偶（见图），体心结构的晶体，衍射指标要符合h+k+l=偶数(见图)，因此，可根据电子衍射图的指标化结果确定空间格子类型。
固体物理(第4课)倒易空间讲解
Γ (r)＝ C e C e n1 n2 n3
iGn
r
n
n
iGn
r
n
n1 n2 n3
n
Γ (r)＝ C e C e n1 n2 n3
iGn
r
n
n
iGn
2
Gh k -k0 (S S0 )
有 Rl• Gh = 2π u
( Rl和Gh 不一定平行)
可见， Rl和 Gh的量纲是互为倒逆的， Rl是格点P的位 置矢量，称为正矢量， kh称为倒易矢量。
若令Gh= h1b1+h2b2+h3b3， 则称由b1，b2，b3为基矢构成的点阵为倒易点阵.
)e
iGn
r
Γ
(
r
)是
(Gn
)的傅里叶逆变换
n
傅 里 叶 变 换 ： F () f (t)eit dt -
傅 里 叶 逆 变 换 ：f (t) 1 F ()eit d 2 -
2
T
总结：
晶体点阵 实际晶体结构
显微图像 微观粒子 线度量纲：L 位置空间 坐标空间
(b1，b2，b3)如何确定？
1.9.2 倒格子空间(倒易点阵)*
（1）.倒矢与正格矢的关系：
点 阵 ： 原 胞 基 矢a1、a2、a3
b1 b2
b3
2
2 2
a2 a3 V a3 a1 ， V V a1 a2
VBiblioteka a1 (a2r
n
n1 n2 n3
n
Gn为倒格矢，Gn n1b1 n2b2 n3b3，n1、n2、n3 Z
第二章-晶体衍射和倒格子
G n(r)
即可用 G 展成傅氏
级数，用数学式子来表示就是：
n(r)
neiGr
G
G
22
证：
若
n(r)
n(G)eiGr
G
则
n (rR )
n G eiG reiG R
G
G R(hAkBlC )(uavbw c)
∴ 2(h uk vlw )2整数
必有
故
eiGR 1
n (r ) n (r R )
电子衍射 总能在微区细节上显神通，但晶胞参数等定量结果不能作为标准，而 且电子衍射的制样困难，好的制样技术甚至比电镜操作本身更难以掌 握 。物质对电子的散射作用很强[主要来源于原子核对电子的散射作 用，远强于物质对X射线的散射作用]，因而电子(束)穿透物质的能力 大大减弱，故电子衍射只适于材料表层或薄膜样品的结构分析
（ h、k、l 为整数），具有以上形式的矢量称 为倒易点阵矢量，即倒易点阵平移矢量，同 晶体点阵类似，倒易点阵就是由倒易点阵矢 量所联系的诸点的列阵。
21
期可函以数证n明(r )由n 此(r 定R 义)傅的氏倒级易数点中阵的矢波量矢正，是即前G面 由周
n(r)
neiG r
G
若
R u a v b w c ，则
h 、k 、l ，
只需证明
GCA
GCB
则 G 肯定垂直于（ hkl）平面。
32
∵
CA
= OA
-
OC
=
ac hl
而
CB = OB
-OC
= ah
c l
G h A k B lC
∴
GCA
=
(h A k B lC )(a c ) 2 2 0 hl
第二章——晶体衍射和倒格子
1.
K n h1b1 h2 b2 h3 b3
2.与晶体中一族晶面相 对应； 3.是与真实空间相联系的 傅里叶空间中点的周期性 排列； 4.线度量纲为[长度]-1
4
晶体 结构
求解倒格
正格 基矢 倒格 基矢
正格
倒格
2π b1 a2 a3 Ω 2π b2 a3 a1 Ω 2π b3 a1 a2 Ω
R l K h 2π
(为整数)
其中 R l 和K h 分别为正格点位矢和倒格点位矢。
a1 l2 a 2 l3 a3 R l l1
b1 h2 b 2 h3 b3 K h h1
b 1 h2 b 2 h3 b3 ) a1 l2 a 2 l3 a 3 ) ( h1 R l K h ( l1
*
3
3
（ 4）
倒格矢 K h h1 b1 h2 b 2 h3 b 3 与正格中晶面族(h1h2h3) 正交，且其长度为
2π d h1h2 h3
。
a） 证明 K h h b1 h b 2 h b 3 与晶面族(h1h2h3)正交。 1 2 3
b） 证明
K h h1 b1 h2 b 2 h3 b 3
Statement: the Fourier transform of a function:
ik r e f (r ) f k k
To a periodic function in Bravais lattice:
ik r ik r R ik r ik R f (r ) f (r R) f k e f k e f k e e
倒易格子与电子衍射
• 单斜晶系倒易格子平面举例
47
• 放置上倒易球和极限球后可以发现，极限 球内的倒易点皆有可能产生衍射效果，观 察图中的H*点，处在极限球内，但与倒易 球不相交。
48
• 假定入射线方向不 变，则倒易球的位 置不改变。但晶体 的取向可以改变， 从而带动倒易格子 转动(倒易原点不 变)，则总可以使 得H*倒易点与倒易 球面相交从而产生 衍射效果。 • 同样道理，晶体采 取其它不同取向方 式后，总可以使得 极限球内的所有倒 易点皆有机会与倒 易球相交，从而产 生衍射效果。
• 在3D空间考 虑，该点的可 能轨迹构成一 个以倒易原点 的中心的球体
52
• 点1的轨迹球与倒易球的交点分布在一个圆周上， 因此，产生的衍射线分布在一个圆锥面上。
53
极限球内的 任意点，皆 可与倒易点1 一样产生衍 射圆锥，因 此，最终形 成的衍射分 布为一系列 的同轴圆锥。
Hhkl=ha*+kb*+lc*
(1) Hhkl ⊥(hkl)
•
(2) |Hhkl| = 1/dhkl
即倒易向量Hhkl垂直于正点阵中的面网(hkl)，且倒易向量 的长度为面网间距的倒数。
•
正点阵中的每一组面网相当于倒易点阵中的一个倒易 点，该点的位置在面网的法线方向，该点距离倒易原点的 距离为面网间距的倒数。
45
• 3. 厄瓦尔德倒易球及 极限球 • 以倒易原点O为球心，
以2/λ为半径，作圆 （球），凡是落在该球 范围内的倒易点，则有 可能产生衍射，而落在 该球范围外的倒易点， 则不管晶体怎么取向， 也不可能与倒易球相交， 因此称之为极限球。
极限球内的倒易点，其倒易矢量长度< 2/λ，即 dhkl > λ/2，而极限球外的倒易点，dhkl < λ/2。
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倒易格子与衍射--3.倒易点阵与电子衍射四、电子衍射1. 电子波的波长电子束的波长很短，因此根据布拉格方程，其衍射角度2θ也特别小。
波长C射线衍射仪0.1——100 Å电子显微分析0.0251 Å(200kV)2. 晶体形状与倒易点形状的关系3. 倒易格子与倒易球因为电子束的波长很短，只有一半X射线波长的1%，因此倒易球的半径很大，能与倒易球直接相交的一般只能是0层倒易面(即在垂直入射光束的方向倒易原点所在的平面)。
另外，由于电子衍射时，样品制作成为很薄的片状，因此，倒易点阵中的各倒易点体现为棒状，可以有更多的0层倒易点与倒易球相交。
图4-1. 倒易点阵图4-2 倒易点阵与倒易球图4-3. 0层的棒状倒易点与倒易球相交产生点阵衍射4. 电子衍射方程如图所示，倒易点G与倒易球相交，产生的衍射效果记录在胶片的G’点。
图4-4 电子衍射方程的推导因为电子波长很短，倒易球的半径很大，在倒易原点附近，倒易球面非常接近平面，因此，O1O/O1O’ = OG / OG’1/λ/L = 1/d/RRd=Lλ在恒定的实验条件下，Lλ是一个常数，即衍射常数(单位：mm.nm)。
此即电子衍射的衍射方程。
由以上分析可知，单晶电子衍射花样可视为某个（uvw）*方向的0零层倒易平面的放大像[（uvw）*的0层平面法线方向[uvw]近似平行于入射束方向（但反向）]。
因而，单晶电子衍射花样与二维（uvw）*的0层平面相似，具有周期性排列的特征。
5. 单晶电子衍射花样的标定标定是指确定衍射花样中各斑点的指数(hkl)及其晶带轴方向[UVW]，并确定样品的点阵类型和位向。
（1）对斑点进行指标化如图所示，晶带轴方向[uvw]，指向与入射电子束方向相反，属于该晶带的0层倒易面为[uvw]*0，记录的衍射花样相当于0层倒易面面的放大象。
中心为倒易点阵原点(000)，图4-5记录的衍射花样与倒易点阵的关系图4-6一例典型的电子衍射花样图4-7衍射斑点的矢量关系如图4-7所示，表达衍射花样周期性的基本单元（可称特征平行四边形）的形状与大小可由花样中最短和次最短衍射斑点矢量R1与R2描述，平行四边形中3个衍射斑点连接矢量满足矢量运算法则：R3=R1+R2|R3|2=|R1|2+|R2|2+2|R1||R2|cosφ(φ为R1,R2夹角)同理：R4=R1+2R2|R4|2=|R1|2+|2R2|2+2|R1||2R2|cosφ=|R1|2+4|R2|2+4|R1||R2|cosφR5=R1-R2|R5|2=|R1|2+|R2|2-2|R1||R2|cosφ若5个向量终点的衍射斑点衍射指标分别为(h1k1l1), (h2k2l2), (h3k3l3), (h4k4l4), (h5k5l5), 则斑点指标之间有如下关系：h3=h1+h2k3=k1+k2l3=l1+l2h4=h3+h2k4=k3+k2l4=l3+l2h5=h1-h2k5=k1-k2l5=l1-l2假定(h1k1l1), (h2k2l2)倒易指数为 (100)和(010), 则上图中各点的指标化结果如下：图4-8衍射斑点的指标化结果如果晶体是面心结构的，则其衍射效果要满足面心结构的衍射消光规律，即衍射指标要全奇或全偶（见图），体心结构的晶体，衍射指标要符合h+k+l=偶数(见图)，因此，可根据电子衍射图的指标化结果确定空间格子类型。
图4-9 面心结构的晶体的典型电子衍射图图4-10 体心结构的晶体典型的电子衍射图实际上，在考虑倒易点阵时，可把衍射消光的倒易阵点取消掉，因此我们可以说体心格子的倒易阵点也是带心的形式。
（2）确定与入射电子束平行(但反向)的晶带轴方向[uvw]因为不在同一平面的两个晶面即可决定一个晶带。
一般选取上述的R1向量终点即R2向量终点的两个倒易点的指标，该两个点代表不互相平行的两组面网，面网符号分别为 (h1k1l1)(h2k2l2)，按下式即可求得晶带轴[uvw]。
即u:v:w =(k1l2-k2l1) : (l1h2-h1l2) : (h1k2-k1h2)另外，电子衍射图上的所有斑点一般皆属于该晶带，因此所有点的指标化结构皆应满足晶带定律：(u a+v b+w c)(h a*+k b*+l c*)=0即：hu+kv+lw=06. 衍射斑点指标化举例(1)已知样品晶体结构(晶系与点阵类型及点阵常数)和相机常数的衍射花样标定图4-11 某低碳钢基体电子衍射花样例1：已知铁素体为体心立方、a=0.287nm，相机常数C=1.41mm·nm。
(常数即Lλ)①选取靠近中心斑的不在一条直线上的几个斑点(应包括与中心斑组成特征平行四边形的3个斑点)。
②测量各斑点R值及各R之夹角。
③按Rd＝C，由各R求相应衍射晶面间距d值④按晶面间距公式(立方系为d2＝a2/N)，由各d值及a值求相应各N值。
N=h2+k2+l2⑤由各N值确定各晶面族指数hkl(尝试法+角度验算)。
衍射点R/mm d/nmN{hkl}(hkl)（尝试法）计算值规整值A7.10.199 2.0802{110}(011)(1-10)B10.00.141 4.1434{200}(200)(002)C12.30.115 6.2286{211}(211)(1-12)D21.50.065618.22018{411}(411)(1-14)晶带轴[uvw][0-11][-1-10]⑥选定R最短(距中心斑最近)之斑点指数。
⑦按N尝试选取R次短之斑点指数并用f校核。
⑧按矢量运算法则确定其它斑点指数。
⑨求晶带轴图4-12 某低碳钢基体电子衍射花样的指标化结果1图4-13 某低碳钢基体电子衍射花样的指标化结果2实际上根据两种指标化结果，最后得出的晶带轴方向[0-11] [-1-10]，对于立方晶系是等效的，都是在ab轴的角平分线方向，即立方晶系空间群国际符号中的第3个方位。
所以以上两种指标化结果相等。
例2.已知纯镍(fcc)的衍射花样(a=0.3523nm),相机常数Ll为1.12mm×nm。
确定该衍射花样的晶带轴。
①各衍射斑点离中心斑点的距离为：r1=13.9mm, r2=3.5mm, r3=14.25mm。
②夹角f1=82°，f2=76°图4-14 纯镍的电子衍射及指标化③由rd= Ll算出did1=0.0805nm N=19，指标为 {331}d2=0.2038nm N=3，指标为 {111}d3=0.0784nm N=20，指标为{420}④任意确定(h1k1l1)为(111)，⑤试选((h2k2l2) 为得φ=82.36°，符合实测值，而其他指数如(-313) (33-1)，不符合夹角要求。
⑥根据矢量运算可确定出全部衍射斑点的指标(h3k3l3) = (h1k1l1)- (h2k2l2) = (111)-(-331)=(4-20)图4-15纯镍的电子衍射及指标化结果⑦由晶带定律可求得晶带方向为：[111]×[-331] = [-123](2)立方晶系样品(未知点阵类型及点阵常数)电子衍射花样标定①选取衍射斑点，测量各斑点R及各R之夹角大小。
②求R2值顺序比(整数化)并由此确定各斑点相应晶面族指数。
③以N和f校核按矢量运算求出的各斑点指数。
④求晶带轴指数一般，若仅知样品为立方晶系，一幅衍射花样也可能出现同时可被标定为两种不同点阵结构类型指数或被标定为同一结构类型中居于不同晶带的指数而且不被否定的情况，这种情况称为衍射花样的“偶合不唯一性”。
(3)非立方晶系样品电子衍射花样标定非立方晶系电子衍射花样仍可采用尝试-核算法标定，但由于其衍射斑点之R与晶面指数间关系远不如立方系来得简单，因而标定工作烦琐、计算量大。
计算机的应用为解决这一困难提供了便利。
、(4)标准花样对照法预先制作各种晶体点阵主要晶带的倒易平面(图)，称为标准花样。
通过与标准花样对照，实现电子衍射花样斑点指数及晶带轴标定的方法即为标准花样对照法。
标准花样对照法标定过程简单，不需烦琐计算。
但一般文献资料中给出的标准花样(见本书附录)数量有限，往往不能满足标定工作的需要。
而根据实际需要，利用计算机自行制作标准花样，可以解决这一问题7. 复杂电子衍射花样实际遇到的单晶电子衍射花样并非都如前述单纯，除上述规则排列的斑点外，由于晶体结构本身的复杂性或衍射条件的变化等，常常会出现一些“额外的斑点”或其它图案，构成所谓“复杂花样”。
例如，高阶劳埃区电子衍射谱。
(a)对称入射(b)不对称入射图4-16 高阶劳埃区衍射谱示意图8. 利用电子衍射确定超结构举例合金Cu3Au可以为无序分布，亦可以为有序分布。
无序分布时，结构为立方面心格子，有序分布时为立方原始格子。
图4-17 Cu3Au的无序和有序结构图4-18 合金Cu3Au的无序相和有序相[001]方向的电子衍射花样思考题选择题1.单晶体电子衍射花样是（）。
A. 规则的平行四边形斑点；B. 同心圆环；C. 晕环；D.不规则斑点。
2. 薄片状晶体的倒易点形状是（）。
A. 尺寸很小的倒易点；B. 尺寸很大的球；C. 有一定长度的倒易杆；D. 倒易圆盘。
3. 如果单晶体衍射花样是正六边形，那么晶体结构是（）。
A. 六方结构；B. 立方结构；C. 四方结构；D. A或B。
判断题1.多晶衍射环和粉末德拜衍射花样一样，随着环直径增大，衍射晶面指数也由低到高。
（）2.单晶衍射花样中的所有斑点同属于一个晶带。
（）3.对于未知晶体结构，仅凭一张衍射花样是不能确定其晶体结构的。
还要从不同位向拍摄多幅衍射花样，并根据材料成分、加工历史等或结合其它方法综合判断晶体结构。
（）4.电子衍射和X射线衍射一样必须严格符合布拉格方程。
（）简述题1．从原理及应用方面分析电子衍射与X衍射在材料结构分析中的异、同点。
2．用爱瓦尔德图解法证明布拉格定律。
3．试推导电子衍射的基本公式，并指出Lλ的物理意义。
4．简述单晶子电子衍射花样的标定方法。
5．说明多晶、单晶衍射花样的特征及形成原理。
6. 为什么说斑点花样是相应倒易面放大投影？绘出fcc(111)﹡倒易面。