12章平方根与立方根(教案)
数的开方精品教案学生版
第12章 数的开方（平方根与立方根）一、知识点归纳： 1、平方根（1）平方根的意义：如果一个数的平方等于a ，这个数就叫做a 的平方根。
a 的平方根记作:a 2±±或a 。
求一个数a 的平方根的运算叫做开平方. （2）平方根的性质①一个正数有两个平方根，它们互为相反数 ②0有一个平方根，它是0本身 ③负数没有平方根。
（3）平方和开平方互为逆运算； 2、算术平方根（1）算术平方根的意义：非负数a 的正的平方根。
一个非负数a 的平方根用符号表示为：“a ”，读作：“根号a ”，其中a 叫做被开方数 （2）算术平方根的性质①正数a 的算术平方根是一个正数； ②0的算术平方根是0； ③负数没有算术平方根。
重要性质：a a =2，())0(2≥=a a a3、立方根（1）立方根的意义如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根（也叫三次方根）。
如果x3=a ，则x 叫做a 的立方根。
记作：3a x = ,读作“三次根号a ” 求一个数的立方根的运算叫做开立方。
（2）立方根的性质①一个正数有一个正的立方根，即若a>0，则03>a②一个负数有一个负的立方根，即若a<0，则03<a③0的立方根是0，即若a=0，则03=a 。
重要性质：33a a -=- （3）立方与开立方互为逆运算。
4、实数与数轴（1）无限不循环小数叫无理数。
如：2，3 ，5，π，32 ，33 ,2.030030003……等。
（2）有理数与无理数统称为实数。
①按定义分类：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎭⎪⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧无限不循环小数负无理数正无理数无理数数有限小数或无限循环小负有理数正有理数有理数实数0②按大小分类:（3）实数与数轴上的点一一对应。
4、实数的性质与运算（1）实数a 的相反数为﹣a（2）若a 为非零实数，则a 的倒数为a1 （3）若a 表示实数，则a 的绝对值为 a （a > 0）∣ a ∣= 0 （ a = 0 ） －a （a < 0）(4) 有理数范围内的数的性质、运算法则和运算律在实数范围内全部适用。
初中数学教案：平方根与立方根的计算教学设计
初中数学教案：平方根与立方根的计算教学设计平方根与立方根的计算教学设计引言：在初中数学教学中，平方根与立方根是常见的数学概念。
了解和掌握这些概念对于培养学生的数学思维能力以及日常生活中的应用具有重要意义。
本篇教案将介绍一种有效的教学设计，旨在帮助初中生理解和计算平方根与立方根。
一、知识导入1. 引入正整数平方和立方概念：使用一组简单但引人注目的图象或实物（如乐高积木）展示不同边长或体积的正方形和正方体，引导学生思考边长或体积之间的关系，并与平方与立方概念联系起来。
2. 启发式问题：提问类似“当一个正整数被乘以自己时，结果是多少？”或“当一个正整数被乘以自己两次时，结果是多少？”等问题，鼓励学生通过试验、发现规律。
二、平方根计算1. 引入符号√ 作为平方根表示法。
解释√符号意义，并使用几个简单例子讲解其使用方法。
2. 示范计算：将几个简单的平方根计算示例放映或展示给学生。
请学生观察并思考运算规律，并进行讨论。
3. 提供计算技巧：教授学生一些简单的平方根计算技巧，如近似法、递归法、查表法等。
鼓励学生在练习中灵活运用这些技巧。
4. 实践应用：引导学生使用所学知识解决实际问题，例如计算直角三角形的斜边长度等。
通过实践应用，加深对平方根的理解和记忆。
三、立方根计算1. 引入符号³√ 作为立方根表示法。
解释³√符号意义，并与平方根符号进行对比说明。
2. 示范计算：展示几个普通整数的立方根的计算过程，并引导学生参与其中，帮助他们理解和掌握立方根的概念。
3. 探索性任务：要求学生尝试使用已掌握的数学知识和方法推断立方根的性质或寻找特殊规律，鼓励运用多种方法互相印证答案。
4. 实践应用：给学生提供几个实际问题，如计算某物体的体积或边长。
指导学生使用立方根概念解决这些问题，并引导他们思考立方根在日常生活中的应用。
四、综合练习与拓展1. 综合练习：提供一系列平方根和立方根计算题目，包括整数和小数。
初中平方根与立方根(教案)
初中平方根与立方根教学目标：1. 理解平方根与立方根的概念。
2. 学会计算平方根与立方根。
3. 能够应用平方根与立方根解决实际问题。
教学重点：1. 平方根与立方根的概念。
2. 计算平方根与立方根的方法。
教学难点：1. 平方根与立方根的计算。
教学准备：1. 课件或黑板。
2. 练习题。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入平方根与立方根的概念。
2. 举例说明平方根与立方根的应用。
二、平方根（10分钟）1. 讲解平方根的定义。
2. 演示如何计算一个数的平方根。
3. 练习计算平方根。
三、立方根（10分钟）1. 讲解立方根的定义。
2. 演示如何计算一个数的立方根。
3. 练习计算立方根。
四、平方根与立方根的应用（10分钟）1. 举例说明如何应用平方根与立方根解决实际问题。
2. 练习应用平方根与立方根解决实际问题。
2. 布置作业：练习计算平方根与立方根，并应用解决实际问题。
教学反思：本节课通过讲解平方根与立方根的概念，演示计算方法，并应用解决实际问题，使学生掌握平方根与立方根的知识。
在教学过程中，注意引导学生积极参与，提问解答问题，以提高学生的学习兴趣和积极性。
作业布置是为了巩固所学知识，并培养学生的实际应用能力。
在下一节课中，将继续深入讲解平方根与立方根的性质和应用。
六、平方根与立方根的性质（10分钟）1. 讲解平方根与立方根的性质。
2. 演示如何应用性质计算平方根与立方根。
3. 练习应用性质计算平方根与立方根。
七、平方根与立方根的乘除法（10分钟）1. 讲解平方根与立方根的乘除法规则。
2. 演示如何应用规则计算平方根与立方根的乘除法。
3. 练习应用规则计算平方根与立方根的乘除法。
八、平方根与立方根的综合应用（10分钟）1. 举例说明如何综合应用平方根与立方根解决实际问题。
2. 练习综合应用平方根与立方根解决实际问题。
九、平方根与立方根在科学中的应用（10分钟）1. 讲解平方根与立方根在科学中的重要性。
2. 举例说明平方根与立方根在科学中的应用。
平方根与立方根教案
平方根与立方根教案章节一：平方根的定义与性质教学目标：1. 理解平方根的概念；2. 掌握平方根的性质；3. 学会求一个数的平方根。
教学内容：1. 引入平方根的概念，举例说明；2. 引导学生探究平方根的性质；3. 讲解求一个数的平方根的方法。
教学步骤：1. 引入平方根的概念，举例说明；2. 引导学生探究平方根的性质，如正数的平方根有两个，零的平方根是零，负数的平方根是虚数等；3. 讲解求一个数的平方根的方法，如利用平方根的性质，求一个正数的平方根时，可以先找到一个数的平方等于该正数，再求这个数的平方根。
教学评价：1. 学生能理解平方根的概念；2. 学生能掌握平方根的性质；3. 学生能学会求一个数的平方根。
章节二：立方根的定义与性质教学目标：1. 理解立方根的概念；2. 掌握立方根的性质；3. 学会求一个数的立方根。
教学内容：1. 引入立方根的概念，举例说明；2. 引导学生探究立方根的性质；3. 讲解求一个数的立方根的方法。
教学步骤：1. 引入立方根的概念，举例说明；2. 引导学生探究立方根的性质，如正数的立方根有两个，零的立方根是零，负数的立方根是虚数等；3. 讲解求一个数的立方根的方法，如利用立方根的性质，求一个正数的立方根时，可以先找到一个数的立方等于该正数，再求这个数的立方根。
教学评价：1. 学生能理解立方根的概念；2. 学生能掌握立方根的性质；3. 学生能学会求一个数的立方根。
章节三：平方根与立方根的运算教学目标：1. 掌握平方根与立方根的运算方法；2. 学会运用平方根与立方根解决实际问题。
教学内容：1. 讲解平方根与立方根的运算方法；2. 举例说明如何运用平方根与立方根解决实际问题。
教学步骤：1. 讲解平方根与立方根的运算方法，如求一个数的平方根时，可以先求该数的立方根，再求其平方根；2. 举例说明如何运用平方根与立方根解决实际问题，如求一个正方形的边长，可以先求其面积的平方根，再求其边长。
第十二章数的开方教案
12.1.1平方根教学目标:1．理解平方根和算术平方根的概念，掌握它的求法及表示方法；2．会用根号表示一个数的平方根3. 体会到平方根和算术平方根这两个概念的联系和区别教学重点：了解一个非负数平方根的概念，求某些非负数的平方根。
教学难点：平方根和算术平方根的区别和联系，以及对a的理解。
教学过程：一、复习引入1、我们已学过哪些数的运算?(加、减、乘、除、乘方5种)2、加法与减法这两种运算之间有什么关系?乘法与除法之间呢?(均为互逆运算)3、一个正方形的边长是5米，它的面积是多少?其运算是什么运算?(面积25平方米，运算是乘方运算)二、创设问题情境，解决问题正方形面积为25 cm2, 的正方形纸片，纸片的边长应是多少？答案：边长是5cm．∵2525=，∴正方形的边长是5cm．如果把正方形的面积改为9，16，29呢？一定存在面积为29的正方形边长，那么是多少呢？我们今天就来解决这个问题（板书课题——平方根）平方根定义：2525=，25是5的平方，而5是25的平方根．还有没有平方能等于25的数，()2525-=，25是-5的平方，-5是也是25的平方根．如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根．即若2x a=，则x叫做a的平方根．问：4，9，16，25，81，916，164的平方根是多少？为什么？【例1】求下列各数的平方根（1）81；（2）425；（3）100；（4）0.49．示范：∵()2981±=，∴81的平方根是9±．记作：9=±三、平方根的性质通过上面例题的解答，你能发现什么？1、一个正数有两个平方根，它们互为相反数．①0的平方根是多少呢？2、∵200=，∴零只有一个平方根，是零．②负数的平方根多少呢？3、∵任何数的平方都是非负数，∴负数没有平方根．③ 四、算术平方根我们把正数a a 的负的平方根表示为a 的平方根表示为【例2】求下列各数的算术平方根49，100，144，925，0.64， 2.89 ； 971．81示范：∵2749=，∴49的算术平方根是7．3497134916971)3(=±=±=±所以，因为【例3】说出下列各式的值；；．引言：∵2290a a a a ==∵大于∴五、开平方：求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方，也叫做开二次方．“开平方是一种运算” 代数运算共有六种三个级别，加、减；乘、除；乘方、开方．【例3】将下列各数开平方0.04，1，1169，641225，0.81，36．示范：∵()20.20.04±=，∴0.04的平方根是0.2±，即0.2=±．六、小结：两个定义（平方根与算术平方根），三条性质（一个正数有两个平方根，它们互为相反数；零只有一个平方根为零；负数没有平方根．） 七、作业：B4一张．12.1.1平方根——符号及逆运算教学目标：1会求非负数的平方根，2掌握a表示的算术平方根中的a的条件和a的本身的意义3应用平方根的性质解决问题教学重点和难点：区分应用平方根的性质解决问题教学过程：【例1】说出下列式子的值．；．三、a的关系．（一样给一列，依次推导公式，以会计算为主）2a=(2a=(2a=，，a=．【例2】计算下列各式的值．2；2(；2(；2(3)±．例3：求下列各式的值：．；；；；9005136.0314120)5(432425)4(362324)3(25214)2(625)1(2222--+⋅--±-例4 求下列各式字母的取值范围(2；(3同步：1x的值为________．2．已知3y=，求2x y+的值．【例5】23x y+的平方根．∴30x y-+=，10x y+-=．解得，1x=-，2y=，∴234x y+=．∴23x y+的平方根为2±．同步：若20a -=，求2a b -的值．四、加深平方与平方根的互逆关系【例6】已知21a -的平方根是3±，31a b +-的平方根为4±，求2a b +的平方根．解：由题意，得219a -=，3116a b +-=， ∴5a =，2b =，29a b +=． ∴2a b +的平方根为3±．同步：1．若54x +的平方根是1±，则x = _______．2．若x 是16的一个平方根，y 是9的一个平方根，则x +y =______． 五、利用平方根性质解题【例7】如果A 的两个平方根分别是21x -与34x -，求A 的值？解：由题意，得()()21340x x -+-=．解得1x =． ∴21211x -=-=，∴A 211==．同步：如果21x -和34x -是A 的平方根，求A 的值？ 六、利用平方根解一元二次方程 【例8】求下列各式的值：（1）0252=-x ； （2）81)1(42=+x ； （3）6442=x ； （4）09822=-x ． 解：（1）225x =，5x =±； （2）()28114x +=，912x +=±，∴72x =或112x =-． （3）216x =，∴4x =±． （4）2196x =，∴13x =±． 小结：作业：一张卷11.1.2立方根教学目标1．了解一个数的立方根的意义； 2．会用根号表示一个数的立方根；3．弄清立方根与平方根的区别，了解开立方和立方互为逆运算。
平方根与立方根的计算教案
平方根与立方根的计算教案教案：平方根与立方根的计算一、教学目标1. 了解平方根与立方根的定义和概念；2. 学会使用计算器等工具来计算平方根与立方根；3. 掌握平方根与立方根的简便计算方法。
二、教学准备1. 教学投影仪或黑板、白板等教具；2. 计算器或电脑。
三、教学过程Step 1：引入知识（约150字）平方根和立方根是数学中的基本概念。
平方根是指一个数的平方等于该数本身的非负实数解，用符号√表示；立方根是指一个数的立方等于该数本身的实数解，用符号³√表示。
在日常生活中，我们经常用到平方根和立方根来计算和求解各种问题。
本节课将学习平方根和立方根的计算方法，帮助同学们更好地掌握这两个数学概念。
Step 2：平方根的计算方法（约500字）平方根的计算可以通过计算器或手算的方式进行。
计算器通常拥有一个平方根按钮，可以直接输入要计算的数，按下该按钮即可得到平方根的结果。
手算的方式可以使用开平方法来进行，具体步骤如下：1. 将要计算平方根的数写出来，用一对水平线隔开；2. 从个位开始，从左到右将数字两两分组，若数字不能配对，可以在左边加一个零；3. 在水平线上面的一组数字中，找出一个最大的数，使其平方小于或等于这一组数字；4. 把这个最大的数写在水平线下面的下一行；5. 将这个最大的数乘以2，所得积记为P；6. 在上一步求得的那个最大的数的下面写下它的平方；7. 在第一组数字上面，再加上第一个数字，使得能够凑成一个数，记为C；8. 在P后面写上一个数，使得这个数的平方末尾小于或等于C；9. 将这个数记为C2，然后将P和C2连在一起，得到一个新的大数；10. 重复步骤7、8、9，直到所有的数都被连接起来；11. 写一个不知道的数，记为N；12. 把最后一个数记为S，即最后一个数的开方S；13. 若N减去S的平方小于一个数，那么N减去S的平方就是最后的差；14. 将这个差记为C，然后再次连接C和S，得到一个新的数；15. 重复步骤13、14，直到差小于一个数为止；16. 最后得到的这个差就是所求的平方根。
初中数学教案：平方根与立方根
初中数学教案：平方根与立方根平方根与立方根的教学目标一、基本目标：1. 了解平方根和立方根的含义和计算方法。
2. 能够正确利用平方根和立方根求解实际问题。
二、能力目标：1. 能够灵活运用平方根和立方根进行数值计算。
2. 能够应用平方根和立方根解决生活中的实际问题。
3. 培养学生分析问题、解决问题的能力。
三、情感目标：1. 提高学生对数学知识的兴趣，增强学习动力。
2. 培养学生合作意识，培养团队合作精神。
一、引入在开展平方根与立方根教学之前，首先要从生活中的实例出发，引导学生认识到平方和立方的概念。
可以通过测量物体边长或边长关系等方法，让学生观察并总结出相关规律。
通过与学生互动交流，激发学生对于数学概念的好奇心，为后续的教学做好铺垫。
二、重点难点1. 理解平方与立方在引入部分已经向学生解释了平方和立方的概念，但仅依靠一次说明不足以让学生完全理解。
教师可通过展示物体的立方和平方等实例，引导学生再次思考关于平方和立方的定义，并探究其特性。
2. 理解平方根与立方根对于初中学生来说，平方根和立方根的概念可能相对陌生。
教师可以通过展示求平方根和立方根的方法，并结合简单的计算练习，让学生有机会亲自动手尝试，进一步加深对这两个概念的理解。
三、教学内容1. 平方根（1）理论知识讲解：介绍平方根的含义、符号表示以及计算方法。
要重点强调在开展计算时如何利用已有信息来简化计算过程。
（2）应用实例：选取几个易于理解且与学生实际生活相关的示例，指导学生使用平方根来求解具体问题。
2. 立方根（1）理论知识讲解：介绍立方根的内涵、表示方法以及求解步骤。
与求解平方根类似，在授课过程中要重点呈现立方根的特性和计算方法。
（2）实际应用：通过引导学生观察并解决生活中的立方根问题，让他们明白运用知识解决实际问题的重要性。
四、教学方法1. 案例分析法：以典型案例为基础，引导学生观察并思考问题，在教师的引导下进行分析、解答。
2. 活动讨论法：设置小组活动或班级互动讨论环节，鼓励学生在小组中合作学习，通过交流与分享加深对平方根和立方根概念的理解。
平方根与立方根的计算教案
平方根与立方根的计算教案教案：平方根与立方根的计算引言：计算数的平方根和立方根是基础数学技能中的重要部分。
本教案将介绍如何计算平方根和立方根，并提供一些实用的计算方法和示例，帮助学生掌握这一技能。
一、平方根的计算平方根是一个数的二次方根，表示为√x。
计算平方根的一种常用方法是通过开平方根运算符，即√x。
下面是一些计算平方根的示例：1. 计算√9：使用开平方根运算符，√9 = 3。
2. 计算√16：使用开平方根运算符，√16 = 4。
3. 计算√2：对于无理数（不是完全平方数）如√2，可以使用近似值来计算，√2 ≈ 1.414。
4. 计算√25：使用开平方根运算符，√25 = 5。
二、立方根的计算立方根是一个数的三次方根，表示为³√x。
计算立方根的一种常用方法是通过使用立方根运算符，即³√x。
下面是一些计算立方根的示例：1. 计算³√8：使用立方根运算符，³√8 = 2。
2. 计算³√27：使用立方根运算符，³√27 = 3。
3. 计算³√64：使用立方根运算符，³√64 = 4。
4. 计算³√125：使用立方根运算符，³√125 = 5。
三、计算平方根和立方根的近似值除了使用开平方根和立方根运算符计算平方根和立方根之外，还可以使用近似值来计算。
下面是一些常用的近似值计算方法：1. 迭代法：迭代法是一种逐步逼近平方根和立方根的方法。
通过反复迭代计算，可以逐渐接近准确的解。
这种方法需要重复计算，可以使用计算机编程或电子计算器来实现。
2. 查表法：可以使用数学手册或相关工具书中提供的平方根和立方根表格来查找近似值。
这种方法适用于需要快速估算结果的情况。
四、示例问题下面是一些示例问题，帮助学生练习计算平方根和立方根的能力：1. 计算√121。
2. 计算³√216。
3. 计算√7的近似值。
4. 计算³√98的近似值。
初中数学教案：平方根与立方根
初中数学教案：平方根与立方根一、平方根的引入与求解方法在初中数学中，平方根是一个重要的概念。
平方根是指一个数的平方等于给定数的数值。
在中学数学中，我们常常需要求解平方根。
在本节中，我们将探讨平方根的引入与求解方法。
1. 引入平方根概念首先，要理解平方根的概念，我们需要回顾一下平方的定义。
平方是指一个数与自身相乘的运算，用符号"²"表示，例如2的平方记作2²，读作2的平方。
平方根就是平方的反运算。
假设一个数x的平方等于给定的数a，即x²=a，那么这个数x就是a的平方根。
平方根用符号"√"表示，我们读作根号。
例如，√9=3，表示9的平方根等于3，因为3²=9。
2. 求解平方根的方法在初中数学中，常用的求解平方根的方法有两种：试算法和公式法。
（1）试算法试算法是一种通过逐步试探来逼近平方根的方法。
其步骤如下：a. 将给定的数写成平方的形式，找到一个接近的整数，作为试算值。
b. 用试算值除以给定数，计算商和余数。
c. 如果商与试算值相等或相差很小，那么试算值就是近似的平方根；否则，将试算值与商的平均值作为新的试算值，继续迭代计算，直到满足条件为止。
例如，求解√13的过程如下：首先，我们将13写成平方的形式，发现3²=9小于13，而4²=16大于13。
因此，我们选择3作为试算值。
然后，用3除以13，得到商4和余数1。
由于3和4相差较大，需要进一步迭代。
我们将3和4的平均值3.5作为新的试算值，重复除法运算，得到商3.5和余数0.25。
此时，商和试算值相差很小，可以认为3.5是近似的平方根。
所以，近似的平方根为√13≈3.5。
（2）公式法公式法是一种通过使用数学公式来求解平方根的方法。
其中最常用的公式就是二次根式的公式：如果一个数x的平方等于给定的数a，即x²=a，那么x可以表示为±√a。
平方根教案
平方根教案【篇一：平方根与立方根(教案)】平方根1教学目的：1、使学生理解数的平方根的概念，能运用根号表示一个数的平方根；2、掌握用平方运算求某些数的平方根的方法；教学重点和难点：重点：平方根的概念及求某些数的平方根的方法；难点：平方根的概念；关键：对符号“”意义的理解。
学法指导：根据教师为主导，学生为主体的原则，始终贯穿“激发情趣—手脑并用—启发诱导—反馈矫正”的教学方法。
教法指导：1、针对八年级学生的认知特点，体现“以学生发展为本”的教育理念，发展学生的个性特长，让学生学会学习。
本堂课主要采用引探式和启发式的教学方法，教师引导为辅，学生自主思考解决问题为主。
2、数学概念的学习比较抽象、枯燥，用多媒体辅助教学，增加课堂的趣味性，提高学生的学习积极性。
教学过程：一、引入新课：我们学习了有理数的加、减、乘、除和乘方运算，但在现实生活中，有些问题仅运用这五种运算是无法解决的。
例如已知正方形一边长是4厘米，那么它的一条对角线的长是多少厘米?解决这个问题就要运用一种新的运算方法，这种运算叫做开方。
这节课我们就要学习开方运算和平方根。
可以先预练1—20的平方计算。
二、新课学习： 1、知识设疑：（1）计算：4； (－4)；(0.8)； (－0.8)（2）如果已知一个数的平方等于162、知识形成：知识点一：我们可以设这个数为x，则x＝16，问题归结为求x。
这个问题可以通过乘方运算来解决。
因为4＝16所以x＝4；又因为(－4)＝16，所以x＝－4。
4或－4的平方都等于16，22222222因为4或－4的平方都等于16，我们把4及－4叫做16的平方根。
概括1：一般地，如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根(或二次方根)。
就是说，如果x＝a,那么x就叫做a的平方根。
如：23与－23都是529的平方根。
问：（1）16，49，100，1 100都是正数，它们有几个平方根?平方根之间有什么关系? （2）0的平方根是什么?概括2：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根。
初中数学教案：平方根与立方根的计算与应用
初中数学教案：平方根与立方根的计算与应用一、平方根与立方根的概念及计算方法1. 平方根的概念与计算方法平方根是指一个数的平方等于给定数时的值。
例如，若a²=b，则称b为数a的平方根，记作√b=a。
计算一个数的平方根可以使用开平方运算符√（radical sign），或者直接使用幂运算规则，将指数化为分数形式；特别地，当指数是2时，即为求平方根。
2. 立方根的概念与计算方法立方根是指一个数的立方等于给定数时的值。
例如，若a³=b，则称b为数a的立方根，记作³√b=a。
计算一个数的立方根可以使用开立法运算符³√（cube root sign），或者在特殊情况下，利用倍乘、除法与估算进行近似计算。
二、平方根与立方根的应用场景1. 平面几何中利用勾股定理求边长勾股定理表达了直角三角形中三条边长度之间的关系：直角边上两个较短边长分别为a和b，则斜边长c满足c²=a²+b²。
在实际问题中需要求解两条边长已知的直角三角形斜边长时，可以利用平方根计算出准确的结果。
2. 物理学中求速度、加速度等的计算物体在运动过程中，常常需要求解其速度（v）与加速度（a）。
例如，在匀变速直线运动中，由于物体的位移（S）与时间（t）的关系为S=ut+½at²，若已知位移和时间，利用平方根便可得到物体的初速度。
3. 代数方程式中求根求解代数方程式常涉及平方根与立方根的计算。
例如，二次方程ax²+bx+c=0（其中a≠0）有两个实数解时，可以使用一元二次方程公式x=-b±√(b²-4ac) / 2a来计算。
4. 概率统计中标准差的计算标准差是概率统计领域中衡量数据分散情况的一项指标。
在计算标准差时，首先需要计算每个数据点与均值之间差值的平方和。
然后再对该平方和开根号即可得到标准差。
5. 工程建设中测量误差补偿在工程建设过程中，测量误差是不可避免的。
平方根与立方根学案
平⽅根与⽴⽅根学案12.1.1 平⽅根（第⼀课时）【平⽅根】如果⼀个数x 的平⽅等于a ，那么，这个数x 就叫做a 的平⽅根；也即，当)0(2≥=a a x 时，我们称x 是a 的平⽅根，记做：)0(≥±=a a x 。
因此：1.当a=0时，它的平⽅根只有⼀个，也就是0本⾝；2.当a ＞0时，也就是a 为正数时，它有两个平⽅根，且它们是互为相反数，通常记做：a x ±=。
3.当a ＜0时，也即a 为负数时，它不存在平⽅根。
例1.（1）的平⽅是64，所以64的平⽅根是；（2）的平⽅根是它本⾝。
（3）若x 的平⽅根是±2，则x=；的平⽅根是（4）当x 时，x 23－有意义。
（5）⼀个正数的平⽅根分别是m 和m-4，则m 的值是多少？这个正数是？ 1、若x 2= a ，则叫的平⽅根，如16的平⽅根是，972的平⽅根是2、3±表⽰的平⽅根，12-表⽰12的3、196的平⽅根有个，它们的和为4、下列说法是否正确？说明理由（1）0没有平⽅根；（2）—1的平⽅根是1±；（3）64的平⽅根是8；（4）5是25的平⽅根；（5）636±=5、求下列各数的平⽅根（1）100 （2）)8()2(-?- （3）1.21 （4）49151◆典例分析例若42-m 与13-m 是同⼀个数的平⽅根，试确定m 的值●拓展提⾼⼀、选择1、如果⼀个数的平⽅根是a+3和2a-15，那么这个数是（）A 、49B 、441C 、7或21D 、49或441 2、2)2(-的平⽅根是（）A 、4 B 、2 C 、-2 D 、2± ⼆、填空3、若5x+4的平⽅根为1±，则x=4、若m —4没有平⽅根，则|m —5|=5、已知1-a 的平⽅根是4±，3a+b-1的平⽅根是4±，则a+2b 的平⽅根是三、解答题6、a 的两个平⽅根是⽅程3x+2y=2的⼀组解（1）求a 的值（2）2a 的平⽅根7、已知1-x +∣x+y-2∣=0 求x-y 的值12.1.1平⽅根（第⼆课时）【算术平⽅根】：（1）如果⼀个正数x 的平⽅等于a ，即a x =2，那么，这个正数x 就叫做a 的算术平⽅根，记为：“a ”，读作，“根号a”，其中，a 称为被开⽅数。
数学课教案：平方根与立方根的计算
数学课教案：平方根与立方根的计算一、引言在数学课上，学习平方根与立方根的计算是一个重要的内容。
掌握这个计算方法可以帮助学生更好地理解数的性质和运算规律。
本教案将以平方根与立方根的计算为主题，通过清晰的步骤和适当的练习，帮助学生掌握这个技巧。
二、知识概述1. 平方根与立方根的定义：平方根是指一个数的平方等于给定数的非负实数解。
立方根是指一个数的立方等于给定数的实数解。
2. 平方根与立方根的特点：- 一个非负实数可能有两个平方根(正负)。
- 一个正实数只有一个正立方根。
三、教学目标通过本节课的学习，学生应能够：1. 理解平方根和立方根的定义；2. 能够正确计算给定数字或表达式的平方根和立方根；3. 掌握常用数字平方和立法表达式；4. 运用所学知识解决实际问题。
四、教学过程1. 引入新知识：请同学们回顾平方和立方的基本概念，并尝试计算一些简单的平方数和立方数。
2. 介绍平方根的计算方法：- 对于一个非负实数a，设x是它的平方根，则有x² = a。
- 通过解这个方程，可以得到x = √a。
- 如果给定数a是负数，则无实数解。
- 如果给定数a是一个表达式，则需要先将表达式化简为最简形式，再进行计算。
3. 介绍立方根的计算方法：- 对于一个实数b，设y是它的立方根，则有y³ = b。
- 通过解这个方程，可以得到y = ∛b。
4. 综合练习：提供一系列数字或表达式，并要求学生计算其平方根或立方根。
鼓励学生之间相互交流讨论解题思路，并提供必要的指导。
5. 实际应用：引导学生发现平方根与立方根在现实生活中的应用场景，比如房地产估价、物体体积计算等。
设计相应问题，让学生运用已掌握的知识解决问题。
六、扩展与拓展1. 进一步挑战：提升学生对平方根和立方根计算的能力，鼓励他们尝试解决更复杂的计算题目。
2. 探索更多：引导学生自主探索其他根号运算，如四次根、五次根等，并思考其运算规律。
七、课堂小结通过本节课的学习，我们掌握了平方根和立方根的定义与计算方法。
八年级数学 12章平方根与立方根学案 华东师大版
学习任务：1、了解立方根的概念及性质，会用根号表示一个数的立方根。
2、能用开立方运算求数的立方根，了解开立方与立方互为逆运算。
3、会用计算器求一个数的立方根。
重点、.难点：理解立方根的意义学习过程：任务1问题：现有一只体积为3216cm的正方形纸盒，它的棱长是？这个问题在数学上可以提出怎样的一个计算问题？对比平方根的概念，概括什么是立方根？立方根：。
试一试（1）27的立方根是什么？（2）－27的立方根是什么？（3）0的立方根是什么？概括通过上面求立方根的运算，回答下列问题：1．⑴一个正数有个立方根，是数.⑵负数有个立方根，是数.⑶0的立方根是 .(4)任何数的立方根个.2．如何来表示一个数的立方根？试互相举例说明,并指明被开方数及根指数?任务2 （自主探究）开立方：这种运算与是互逆运算.与同伴交流立方根与平方根的区别?（小组合作）例题解析例4见课本P6.例1求下式中的x. 343x3+27=0;例2：若3x+16的立方根是4，求2x+4的平方根练习：课本P7练习任务3见课本P6.例5当堂达标1．下列计算中，正确的是（ ）0.5=34=34= D.25=- 2.下列说法正确的是( ) A.－（－8）的立方根是－2 B.负数没有立方根C.任何一个数都有立方根，而且只有一个D.一个数的立方根不是正数就是负数3．如果一个数的立方根是这个数本身，则这个数是（ ）A.1B.-1C.0D.以上都是40.2==0.02，则a ：b 等于（ ） A.100 B.1000 C.1100 D.110005．已知0a ≠，a ，b 互为相反数，则下列各组数中，不是互为相反数的一组是（ ）A.3a 与3bB.2a +与2b +6．125的立方根是 ， 的立方根是－5。
练习：1．若1x -是125的立方根，则7x -的立方根是（ ）2．一个正方体的体积是棱长为3cm 的正方体体积的8倍，则这个正方体的棱长为（ ）3．已知()215169x -=，()310.125y -=-作业 P7习题12.1的1,2,3.反思。
七年级数学下册《平方根立方根》教案、教学设计
1.基础作业：针对平方根、立方根的基本概念和计算方法，布置以下作业：
（1）计算以下各数的平方根和立方根：2、9、16、-1、0、27。
（2）判断以下各命题的真假，并说明理由：
①一个正数的平方根有两个。
②一个负数有一个平方根。
③ 0的平方根是0。
④一个正数的立方根是正数。
⑤一个负数的立方根是负数。
（三）学生小组讨论
1.教学内容：平方根、立方根的性质和计算方法。
2.教学方法：采用小组合作交流的方式，让学生在讨论中加深理解。
3.教学实施：
（1）将学生分成小组，每个小组针对平方根、立方根的性质和计算方法进行讨论。
（2）教师巡回指导，解答学生在讨论过程中遇到的问题。
（3）小组代表分享讨论成果，其他小组进行补充。
4.培养学生的创新意识，鼓励学生敢于质疑、敢于挑战，培养独立思考和解决问题的能力。
5.通过数学学习，引导学生树立正确的价值观，认识到学习数学不仅是为了提高自己的能力，更是为了服务社会、造福人类。
二、学情分析
七年级下册的学生已经具备了一定的数学基础，掌握了基本的算术运算和简易方程，对于数学符号和概念也有了一定的理解。在此基础上，学习平方根、立方根这一章节，学生需要在新知识的基础上进行拓展和深化。然而，由于平方根、立方根的概念较为抽象，学生可能会在理解上存在困难，特别是在求解过程中可能会出现混淆。因此，在教学过程中，教师需关注以下几点：
4.通过学习平方根、立方根，提高学生的逻辑思维能力和数学运算能力。
（二）过程与方法
1.通过自主探究、合作交流的学习方式，引导学生发现平方根、立方根的性质，培养学生自主学习和合作学习的能力。
2.通过举例、练习、总结等教学环节，让学生在实践中掌握平方根、立方根的计算方法，提高学生的实际操作能力。
初中数学教案平方根与立方根的计算
初中数学教案平方根与立方根的计算初中数学教案：平方根与立方根的计算导引：本教案旨在帮助初中学生掌握平方根和立方根的计算方法，并通过丰富的练习题提高他们的计算能力和解决问题的能力。
一、平方根的计算平方根是一个数在乘方运算下的逆运算，即寻找一个数的平方等于给定的数。
例如，2的平方根记为√2，即√2 = 2^1/2。
1. 教学目标：学生能够理解平方根的概念，掌握平方根的计算方法。
2. 教学内容：a) 平方根的定义和符号表示；b) 简化平方根的方法；c) 平方根的运算规则。
3. 教学步骤：a) 引入平方根的概念，解释其定义和符号表示；b) 教授简化平方根的方法，例如√16 = 4，√64 = 8；c) 通过练习题让学生巩固平方根的计算方法；d) 引导学生发现平方根的运算规则，如√(ab) = √a × √b。
二、立方根的计算立方根是一个数在乘方运算下的逆运算，即寻找一个数的立方等于给定的数。
例如，3的立方根记为³√3，即³√3 = 3^(1/3)。
1. 教学目标：学生能够理解立方根的概念，掌握立方根的计算方法。
2. 教学内容：a) 立方根的定义和符号表示；b) 简化立方根的方法；c) 立方根的运算规则。
3. 教学步骤：a) 引入立方根的概念，解释其定义和符号表示；b) 教授简化立方根的方法，例如³√8 = 2，³√27 = 3；c) 通过练习题让学生巩固立方根的计算方法；d) 引导学生发现立方根的运算规则，如³√(ab) = ³√a × ³√b。
三、综合应用通过练习题和实际问题的讨论，将平方根和立方根的计算方法应用到实际生活中。
1. 教学目标：学生能够独立解决使用平方根和立方根进行计算的实际问题。
2. 教学内容：a) 平方根和立方根的实际应用；b) 解决实际问题的思路和方法。
3. 教学步骤：a) 提供实际问题并引导学生运用平方根和立方根的计算方法解决；b) 讨论解题思路和方法；c) 鼓励学生在小组中合作解决问题，并展示他们的解题过程。
数学平方根与立方根教案
数学平方根与立方根教案一、引言数学中的平方根和立方根是基础而重要的概念，在中学数学中占据着重要的位置。
本教案将介绍平方根和立方根的定义、性质以及计算方法，以帮助学生更好地理解和掌握平方根与立方根的概念。
二、平方根的定义和性质1. 定义平方根是指一个数的平方等于它本身的非负实数根。
设a为非负实数，若存在一个非负实数x，使得x的平方等于a，则称x为数a的平方根，记作√a。
2. 性质（1）非负实数a的平方根是唯一的。
（2）若a≥0，则0的平方根为0。
（3）若a>0，则a的平方根为正数。
（4）若a>b≥0，则√a>√b。
三、立方根的定义和性质1. 定义立方根是指一个数的立方等于它本身的实数根。
设a为实数，若存在一个实数x，使得x的立方等于a，则称x为数a的立方根，记作∛a。
2. 性质（1）实数a的立方根是唯一的。
（2）若a≥0，则0的立方根为0。
（3）若a>0，则a的立方根为正数。
（4）若a>b≥0，则∛a>∛b。
四、平方根和立方根的计算方法1. 平方根的计算方法（1）近似计算：可以使用计算器或近似方法来求得平方根的近似值。
（2）开方运算：对于可以精确开方的数，可以利用开平方公式来计算平方根。
2. 立方根的计算方法（1）近似计算：可以使用计算器或近似方法来求得立方根的近似值。
（2）开方运算：对于可以精确开方的数，可以利用开立方公式来计算立方根。
五、练习题1. 计算下列数的平方根和立方根：（1）√16（2）√27（3）∛8（4）∛642. 填空题：（1）非负实数的平方根是唯一的，也称为__________。
（2）若a>0，则a的平方根为__________。
（3）实数的立方根是唯一的，也称为__________。
六、实际应用平方根和立方根在日常生活和各个学科中都有广泛的应用。
例如，在几何学中，平方根和立方根用于计算图形的边长和体积；在物理学中，平方根和立方根用于计算物理量的大小；在工程学中，平方根和立方根用于计算建筑结构的稳定性等等。
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§12.1 平方根与立方根第一课时平方根（9月1日星期二）教学目的：1、使学生理解数的平方根的概念，能运用根号表示一个数的平方根；2、掌握用平方运算求某些数的平方根的方法；教学重点和难点：重点：平方根的概念及求某些数的平方根的方法；难点：平方根的概念；关键：对符号“”意义的理解。
学法指导：根据教师为主导，学生为主体的原则，始终贯穿“激发情趣—手脑并用—启发诱导—反馈矫正”的教学方法。
教法指导：1、针对八年级学生的认知特点，体现“以学生发展为本”的教育理念，发展学生的个性特长，让学生学会学习。
本堂课主要采用引探式和启发式的教学方法，教师引导为辅，学生自主思考解决问题为主。
2、数学概念的学习比较抽象、枯燥，用多媒体辅助教学，增加课堂的趣味性，提高学生的学习积极性。
教学过程：一、引入新课：我们学习了有理数的加、减、乘、除和乘方运算，但在现实生活中，有些问题仅运用这五种运算是无法解决的。
例如已知正方形一边长是4厘米，那么它的一条对角线的长是多少厘米?解决这个问题就要运用一种新的运算方法，这种运算叫做开方。
这节课我们就要学习开方运算和平方根。
可以先预练1—20的平方计算。
二、新课学习：1、知识设疑：（1）计算：42；(－4)2(0.8)2；(－0.8)2、知识形成： 知识点一：我们可以设这个数为x ，则2x ＝16，问题归结为求x以通过乘方运算来解决。
因为42＝16所以x ＝4；又因为(－4)2＝16，所以x ＝－4。
4或－4的平方都等于16，可以表示为(±4)2＝16。
因为4或－4的平方都等于16，我们把4概括1：一般地，如果一个数的平方等于a ，二次方根)。
就是说，如果x 2＝a,那么如：23与－23都是529的平方根。
因为(±23)2＝529，所以±23是529问：（1）16，49，100，1 100根之间有什么关系?（2）0的平方根是什么?概括2：一个正数有两个平方根，是0本身；负数没有平方根。
知识点二：概括：求一个数a(a ≥0)个数可以是正数、负数或者是0平方都是正数，0的平方是0。
互为相反数，0的平方根是0。
负数没有平方根。
因为平方与开平方互为逆运算，因此我们可以通过平方运算来求一个数的平方根，也可以通过平方运算来检验一个数是不是另一个数的平方根。
知识点三：（1）625－7和7是哪个数的平方根？ 正数m 的平方根怎样表示？（2）下列各数的平方根各是什么？64； 0； (－0.4)2； 2)321( ； －（3）已知正方形的面积等于a,那么它的边长等于多少？3、例题讲解：例1、求下列各数的平方根：(1)81； (2)1916； (3)0.09。
例2、下列各数有平方根吗?如果有，求出它的平方根；如果没有，请说明理由。
(1)－64； (2)0； (3)()24-例4、求下列各式的值：(1)10000； (2)144-； (3)12125；(4)0001.0-； (5)8149±三、巩固训练： Ｐ4 1、3 四、知识小结：1、如果x 2＝a,那么x 就叫做a 的平方根，用±a 来表示。
当a ＞0时，a 有两个平方根，当a ＝0时，a 有一个平方根，就是它本身； 当a ＜0时，a 没有平方根。
2、求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方。
平方的结果是唯一的；在开平方运中，被开方数必须是非负数，开平方的结果不一定是唯一的。
五、课后作业：六、课后反思§12.1 平方根与立方根第二课时算术平方根（9月2日星期三）教学目的：1、使学生理解算术平方根的概念，掌握它的求法及表示方法；2、理解并掌握平方根和算术平方根这两个概念的联系和区别；教学分析：重点：算术平方根的概念及求算术平方根的方法；难点：算术平方根的概念，对符号“”意义的理解，能用根号表示一个正数的平方根和算术平方根。
教学过程：一、算术平方根的概念正数a有两个平方根(表示为a±)，我们把其中正的平方根，叫做a的算术平方根，表示为a。
0的平方根也叫做0的算术平方根，因此0的算术平方根是0，即00=。
“”是算术平方根的符号，a就表示a的算术平方根。
a的意义有两点：（1）被开方数a表示非负数，即a≥0；（2）a也表示非负数，即a≥0。
也就是说，非负数的“算术”平方根是非负数。
负数不存在算术平方根，即a＜0时，a无意义。
-无意义。
如：9＝3，8是64的算术平方根，69既表示对9进行开平方运算，也表示9的正的平方根。
二、平方根与算术平方根的区别在于： ①定义不同；②个数不同：一个正数有两个平方根, 而一个正数的算术平方根只有一个；③表示方法不同：正数a 的平方根表示为a, 正数a 的算术平方根表示为a ；④取值范围不同：正数的算术平方根一定是正数, 正数的平方根是一正一负．⑤0的平方根与算术平方根都是0． 三、例题讲解：例1、求下列各数的算术平方根：(1)100； (2)6449； (3)0.81例2、求下列各数的平方根和算术平方根。
144 324 1160 0.250.014416121400 6.25例3、100的平方根是 ；0的平方根是 ；121的算术平方根是 ； 0.25的平方根是 ；6449的算术平方根是 ； 2561的平方根是 ；1.69的算术平方根是 ；四、巩固训练：1、下列说法对吗？为什么？错的请你加以改正。
（1）－9的平方根是－3；（2）49的平方根是7；（3）0的算术平方根是0；（4）1 的平方根是 1；（5）－1 是 1的平方根；（6）7的平方根是±49；（7）（－2）2的平方根是－2；五、知识小结：1、平方根、算术平方根概念、表示方法和读法。
2、a) 正数的平方根有两个，他们互为相反数。
b) 0的平方根有一个，为0。
c) 负数没有平方根。
3、0既是0的平方根，也是0的算术平方根。
平方根和算术平方根是初中代数中的两个重要概念，全面掌握它，就必须分清它们的区别，认清它们之间的联系六、课后作业：七、课后反思：§12.1 平方根与立方根第三课时 平方根和算术平方根（9月3日 星期四） 教学目的：1、复习数的平方根和算术平方根的概念，会求非负数的平方根和算术平方根。
；2、熟练掌握平方根和算术平方根这两个概念的联系和区别；教学分析：重点：算术平方根的概念及求算术平方根的方法； 难点：算术平方根的概念，对符号“”意义的理解，能用根号表示一个正数的平方根和算术平方根。
教学过程：1、知识回顾(1) 什么叫一个数a 的平方根?如何用符号表示数)0(≥a a 的平方根?(2) 正数有几个平方根?它们之间的关系是什么?负数有没有平方根?0的平方根是什么?(3)当0≥a 时，式子a ，a ±，a -，的意义各是什么?(4) 平方根有哪些性质？分析：(1)如果一个数x 的平方等于a ，即a x =2，那么x 叫做a 的平方根，表示为x ＝±a 。
(2)正数有两个平方根，它们互为相反数，负数没有平方根，0的平方根是0。
(3)a ≥0，a 表示a 的算术平方根，a -表示a 的负平方根，a ±表示a 的平方根2、随堂练习一、选择题1．下列说法正确的是（ ）A 、4的平方根是2B 、4的算术平方根是-2C 、 8的平方根是4D 、 9的平方根是3± 2．下列计算中，正确的是（ ） A 39±= B43169= C 3)3(2-=- D 48=3．81的平方根是（ ）A 9±B 9C 3±D 3 4．与135最接近的整数是（ ）A 11B 12C 13D 14 二、填空题5．1。
44的平方根是 ；算术平方根是 ． 6．259的平方根是 ；算术平方根是 ．7．一个数的平方根是31-+a a 和，则=a ，这个数是 。
8．已知：m n <<73，且n m ,是两个连续整数，则=m ，=n 。
9．计算：2)2(- ＝ 。
10．已知：062=+-+-b a a ，则ab 的平方根为 。
三、求下列各式中x 的值：1．252=x 2．092=-x 3．2592=x4．049162=-x 5．()412=-x 6．()12132=+x输出y 1 2 3 4 12（1） 在上述）表格的空白处填上恰当的数值；（2）当输入的数字为435时，请你估算出与输出y 最接近的一个整数。
五、图4所示的是计算函数值的程序图，如输入的x 的值为-11，因为-11＜-10，则1221)11(122=+-=+=x y 。
(1)若输入的x 的值为6-，则y 的值等于 。
(2)若输入的x 的值为123-，则y 的值等于 。
(3)若输出的y 的值为5，则x 的值等于 。
(4)若输入的x 的值为13，请你估算出一个与y 误差不超过0。
5的有理数的值。
（简要写出计算过程和估算过程）概括成：非负数的算术平方根是非负数，即当a≥0时，a≥0(当a＜0时，a无意义)用几何图形可以直观地表示算术平方根的意义如有一个面积为a (a应是非负数)、边长为a的正方形就表示a的算术平方根。
这里需要说明的是，算术平方根的符号“”不仅是一个运算符号，如a≥0时，a表示对非负数a进行开平方运算，另一方面也是一个性质符号，即表示非负数a的正的平方根。
例2以游戏的方法来进行课堂练习，一方面加强了学生对本堂课所学知识的理解和巩固，另一方面有挑战性的游戏，提高了学生的学习兴趣。
巩固课堂知识，及时反馈课堂效果，更好地进行教学细节上的改进。