创新设计_学年高中数学第二章推理与证明2.1.2演绎推理课时作业新人教版选修2_210150413

2.1.2 演绎推理

明目标、知重点

1．理解演绎推理的意义.2.掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理.3.了解合情推理和演绎推理之间的区别和联系．

1．演绎推理

2.三段论

[情境导学]

小明是一名高二年级的学生，17岁，迷恋上网络，沉迷于虚拟的世界当中．由于每月的零花钱不够用，便向亲戚邻人要钱，但这仍然满足不了需求，于是就产生了歹念，强行向路人抢取钱财．但小明却说我是未成年人而且就抢了50元，这应该不会很严重吧？如果你是法官，你会如何判决呢？小明到底是不是犯罪呢？

探究点一演绎推理与三段论

思考1 分析下面几个推理，找出它们的共同点．

(1)所有的金属都能导电，铀是金属，所以铀能够导电；

(2)一切奇数都不能被2整除，(2100＋1)是奇数，所以(2100＋1)不能被2整除；

(3)三角函数都是周期函数，tan α是三角函数，因此tan α是周期函数；

(4)两条直线平行，同旁内角互补．如果∠A与∠B是两条平行直线的同旁内角，那么∠A＋∠B ＝180°.

答问题中的推理都是从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理叫演绎推理．

思考2 演绎推理有什么特点？

答演绎推理是从一般到特殊的推理．演绎推理的前提是一般性原理，结论是蕴含于前提之中的个别、特殊事实．

思考3 演绎推理的结论一定正确吗？

答在演绎推理中，前提和结论之间存在必然的联系，只要前提是真实的，推理形式是正确的，结论必定是正确的．

思考4 演绎推理一般是怎样的模式？

答“三段论”是演绎推理的一般模式，它包括：

(1)大前提——已知的一般原理；(2)小前提——所研究的特殊情况；(3)结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．

例1 将下列演绎推理写成三段论的形式．

(1)平行四边形的对角线互相平分，菱形是平行四边形，所以菱形的对角线互相平分；

(2)等腰三角形的两底角相等，∠A，∠B是等腰三角形的底角，则∠A＝∠B；

(3)通项公式为a n＝2n＋3的数列{a n}为等差数列．

解(1)平行四边形的对角线互相平分，大前提

菱形是平行四边形，小前提

菱形的对角线互相平分．结论

(2)等腰三角形的两底角相等，大前提

∠A，∠B是等腰三角形的底角，小前提

∠A＝∠B. 结论

(3)数列{a n}中，如果当n≥2时，a n－a n－1为常数，则{a n}为等差数列，大前提

通项公式为a n＝2n＋3时，若n≥2，

则a n－a n－1＝2n＋3－[2(n－1)＋3]＝2(常数)，小前提

通项公式为a n＝2n＋3的数列{a n}为等差数列．结论

反思与感悟用三段论写推理过程时，关键是明确大、小前提，三段论中的大前提提供了一个一般性的原理，小前提指出了一种特殊情况，两个命题结合起来，揭示了一般原理与特殊情况的内在联系．有时可省略小前提，有时甚至也可把大前提与小前提都省略，在寻找大前提时，可找一个使结论成立的充分条件作为大前提．

跟踪训练1 把下列推断写成三段论的形式：

(1)因为△ABC三边的长依次为3,4,5，所以△ABC是直角三角形；

(2)函数y＝2x＋5的图象是一条直线；

(3)y＝sin x(x∈R)是周期函数．

解(1)一条边的平方等于其他两条边平方和的三角形是直角三角形，大前提

△ABC三边的长依次为3,4,5，而32＋42＝52，小前提

△ABC 是直角三角形． 结论 (2)一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)的图象是一条直线， 大前提 函数y ＝2x ＋5是一次函数， 小前提 函数y ＝2x ＋5的图象是一条直线． 结论 (3)三角函数是周期函数，

大前提 y ＝sin x (x ∈R )是三角函数， 小前提 y ＝sin x (x ∈R )是周期函数．

结论

探究点二 三段论推理中的易错点

例2 指出下列推理中的错误，并分析产生错误的原因： (1)整数是自然数， 大前提 －3是整数， 小前提 －3是自然数．

结论 (2)常函数的导函数为0， 大前提 函数f (x )的导函数为0，

小前提 f (x )为常函数．

结论 (3)无限不循环小数是无理数， 大前提 1

3

(0.333 33…)是无限不循环小数， 小前提 1

3

是无理数．

结论

解 (1)结论是错误的，原因是大前提错误．自然数是非负整数．

(2)结论是错误的，原因是推理形式错误．大前提指出的一般性原理中结论为“导函数为0”，因此演绎推理的结论也应为“导函数为0”．

(3)结论是错误的，原因是小前提错误.1

3(0.333 33…)是循环小数而不是无限不循环小数．

反思与感悟 演绎推理的结论是否正确，取决于该推理的大前提、小前提和推理形式是否全部正确，因此，分析推理中的错因实质就是判断大前提、小前提和推理形式是否正确． 跟踪训练2 指出下列推理中的错误，并分析产生错误的原因： (1)因为中国的大学分布在中国各地，大前提 北京大学是中国的大学，小前提 所以北京大学分布在中国各地．结论

(2)因为所有边长都相等的凸多边形是正多边形，大前提 而菱形是所有边长都相等的凸多边形，小前提 所以菱形是正多边形．结论

解 (1)推理形式错误．大前提中的M 是“中国的大学”，它表示中国的各所大学，而小前提

中M 虽然也是“中国的大学”，但它表示中国的一所大学，二者是两个不同的概念，故推理形式错误．(2)结论是错误的，原因是大前提错误．因为所有边长都相等，内角也都相等的凸多边形才是正多边形． 探究点三 三段论的应用

例3 如图，在锐角三角形ABC 中，AD ⊥BC ，BE ⊥AC ，D ，E 是垂足，求证：AB 的中点M 到点

D ，

E 的距离相等．

证明 (1)因为有一个内角是直角的三角形是直角三角形，

大前提

在△ABD 中，AD ⊥BC ，即∠ADB ＝90°， 小前提 所以△ABD 是直角三角形．

结论

同理，△AEB 也是直角三角形．

(2)因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半， 大前提 因为DM 是直角三角形ABD 斜边上的中线， 小前提 所以DM ＝1

2AB .

结论

同理EM ＝1

2AB .

所以DM ＝EM .

反思与感悟 应用三段论证明问题时，要充分挖掘题目外在和内在条件(小前提)，根据需要引入相关的适用的定理和性质(大前提)，并保证每一步的推理都是正确的，严密的，才能得出正确的结论．如果大前提是显然的，则可以省略．

跟踪训练3 已知：在空间四边形ABCD 中，点E ，F 分别是AB ，AD 的中点，如图所示，求证：

EF ∥平面BCD .

证明 三角形的中位线平行于底边，大前提 点E 、F 分别是AB 、AD 的中点，小前提 所以EF ∥BD .结论

若平面外一条直线平行于平面内一条直线则直线与此平面平行，大前提

EF ⊄平面BCD ，BD ⊂平面BCD ，EF ∥BD ，小前提 EF ∥平面BCD .结论