《线性代数》试卷(A卷答案)

解：ห้องสมุดไป่ตู้
由 AX = 2X + A 得：
(A - 2E)X = A
故 (A - 2E)可逆， X = (A - 2E) -1 A
−1 −1 0 A - 2E = 0 − 1 − 1 = −2, −1 0 −1 ⎛ −1 −1 0 ⎜ ( A - 2E A) = ⎜ 0 − 1 − 1 ⎜ −1 0 −1 ⎝ ⎛ 0 1 − 1⎞ ⎜ ⎟ 从而 X = ⎜ − 1 0 1 ⎟ ⎜ 1 −1 0 ⎟ ⎝ ⎠ 3.（10 分） 设有三维列向量
⎧ x1 + x 2 − x3 − x 4 = 1 ⎪ 2x + x + x + x = 4 ⎪ 1 2 3 4 4. （12）求解非齐次线性方程组 ⎨ . 4 3 + − − x x x x 1 2 3 4 = 6 ⎪ ⎪ ⎩ x1 + 2 x 2 − 4 x3 − 4 x 4 = −1
⎛1 ⎜ ⎜2 解： ⎜ 4 ⎜ ⎜1 ⎝
《 线性代数 》试卷（A 卷答案）
考试形式: 闭卷笔试，2 小时 适用专业： 全校
题 号 得 分
一
二
三
四
总 分
得分
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一．填空（共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分）
1.已知方阵 A 满足小题 A 2 = O ,则 (A + E) -1 = E - A .
⎛ 0 1 0⎞ ⎛ 1 0 1 ⎞ ⎛ 1 2 3⎞ ⎛ 4 5 2⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ 2.设 A = ⎜ 1 2 2 ⎟ ，则 ⎜ 1 0 0 ⎟A⎜ 0 1 0 ⎟ = ⎜ 4 5 6 ⎟. . ⎜0 0 1⎟ ⎜0 0 1⎟ ⎜7 8 9⎟ ⎜ 7 8 2⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎠ ⎝
⎛2 0 0⎞ ⎜ ⎟ 解：二次型矩阵为 A = ⎜ 0 3 a ⎟ ⎜0 a 3⎟ ⎝ ⎠
特征值为 λ1 = 1 ，λ 2 = 2 ，λ3 = 5 ，得 A = 10 ，故 A = 2(9 − a 2 ) = 10 ，又 a > 0 ， 得a = 2.
T 当 λ1 = 1 时，特征向量为 ξ1 = （0 - 1 1）
3.设 n 阶方阵 A 的秩为 R(A) ≤ n - 1 ， A ∗为A的伴随矩阵 则 A ∗ = 0
.
⎧ x1 + 2 x 2 − x3 = 0 ⎪ 4.齐次线性方程组 ⎨ x1 + λx 2 = 0 有非零解，则 λ为 ⎪3 x − x + 4 x = 0 2 3 ⎩ 1
1
，且基础解析含
有 1 个解向量. 5.已知三阶方阵 A 的三个特征值为-1,0,1， 则 2A + E 的特征值为
⎧ x = 3 − 2 x3 − 2 x 4， 方程组同解于 ⎨ 1 取 x 3 = t1 , x 4 = t 2 ， ⎩ x 2 = −2 + 3 x3 + 3 x 4， ⎧ x1 = 3 − 2t1 − 2t 2， ⎪ x = −2 + 3t + 3t ， ⎪ 2 1 则方程组的通解为 ⎨ 2 其中 t1 , t 2 为任意常数. x3 = t1， ⎪ ⎪ x 4 = t 2， ⎩
2 2 f = y12 + 2 y 2 + 5 y3
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二．证明（共 2 小题，每小题 5 分，共 10 分） （
1.已知向量组 α 1 , α 2 , α 3 线性无关，证明 α 1 − α 2 , α 2 − 2α 3 , α 3 − 3α 1 线性无关.
证明：设一组数k1，k 2，k 3，使k1 (α 1 − α 2 ) + k 2 (α 2 − 2α 3 ) + k 3 (α 3 − 3α 1 ) = 0 即
问 a 为何值时： （1） β 可由 α 1 , α 2 , α 3 线性表示，且表达式惟一?（2） β 可由
α 1 , α 2 , α 3 线性表示，但表达式不惟一?（3） β 不能由 α 1 , α 2 , α 3 线性表示?
解： 设有一组数 k1 , k2 , k3 ， 使 k1α1 + k2α 2 + k3 α 3 = β 将 β , α1 , α 2 , α 3 的值代入上式， 可得非齐次线性方程组
故齐次方程只有零解k1 = k 2 = k 3 = 0， 所以向量组α 1 − α 2，α 2 − 2α 3，α 3 − 3α 1线性无关
2. 设 C 为可逆矩阵， A = C T C ，证明 f = x T Ax 为正定二次型． 证明： f = x T Ax = x T C T Cx = (Cx) T (Cx) 令 Cx = y ，因为 C 可逆，对任意 x ≠ 0 ，有 y ≠ 0 ， 从而 f = (Cx) T (Cx) = y T y > 0 ，为正定二次型。
2A + E =
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-1,1,3 ，
-3
.
二．选择（共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分）
C ） ．
1．以下结论正确的是（
（A）若方阵 A 的行列式 A = 0 ，则 A = O （B）若 A 2 = O ，则 A = O （C）若 A 为对称矩阵，则 A 2 也是对称矩阵 （D）对 n 阶矩阵 A, B ，有 ( A + B)( A − B) = A 2 − B 2
2 2 5. 二次型 f ( x1 , x 2 , x3 ) = 2 x12 + 3x 2 + 3 x3 + 2ax 2 x3 (a > 0) 通过正交变换可化为 2 2 标准形 f ( y1 , y 2 , y 3 ) = y12 + 2 y 2 ，求参数 a 及所用的正交变换矩阵. + 5 y3
2.设向量组 α 1 , α 2 ,
α r 线性相关，则（
A
）.
（ A ）向量组中存在某一向量可由其余向量线性表示；
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（ B ）向量组中任一向量可由其余向量线性表示； （ C ）向量组中只有一个向量可由其余向量线性表示； （ D ）上述三种说法皆不正确； 3.对于 n 阶实对称矩阵 A，以下结论正确的是 （ B ）. （ A ）一定有 n 个不同的特征值； （ B ）存在正交矩阵 P,使得 PTAP 为对角阵； （ C ）它的特征值一定为正数； （ D ）属于不同特征值的特征向量不一定正交； 4.设二次型 f ( x, y ) = x 2 − 2 xy + 2ty 2 为正定二次型， 则 t 的取值范围是 （ D （A ） t < ） .
α1 , α 2 , α 3 线性表示，且表达式惟一．
（2）如 A = 0 即 a = 0 或 a = −3 ． 当 a = 0 时， （*）为齐次线性方程组，此时 R ( A) = 1 < n = 3 ，故方程组（*）
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有无穷多解，亦即 β 可由 α1 , α 2 , α 3 线性表示，且表达式不惟一． 当 a = −3 时，对方程组（*）的增广矩阵 B 作初等行变换，化为阶梯形矩 阵．
(k1 − 3k 3 )α 1 + (−k1 + k 2 )α 2 + (−2k 2 + k 3 )α 3 = 0
⎧ k1 − 3k 3 = 0 ⎪ 因为α 1，α 2，α 3线性无关，故有其次方程 ⎨ − k1 + k 2 = 0 ⎪− 2 k + k = 0 2 3 ⎩ 1 0 −3 0 = −5 其系数行列式 − 1 1 0 −2 1
1 2
（B ）t >1
（C ） t <1
（D ）t >
1 2
5．设 A 为 5 × 4 矩阵，β 1 , β 2 为非齐次方程组 Ax = b 的两个不同的特解，α 1 ,α 2 是对应齐次方程组 Ax = O 的基础解系，对任意常数 k1 , k 2 ，则下列正确的是 （ B ） ．
1 2 (β 2 − β 1 )
1 −1 0 ⎞ ⎛1 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 − 1⎟ → ⎜ 0 1 0 ⎜ −1 0 1 ⎟ ⎠ ⎝0 0 1
0 1 − 1⎞ ⎟ −1 0 1 ⎟ 1 −1 0 ⎟ ⎠
α 1 = (1 + a,1,1) T , α 2 = (1,1 + a,1) T , α 3 = (1,1,1 + a) T , β = (0, a, a 2 )
⎛ −2 1 1 0 ⎞ ⎛ 1 1 −2 9 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ B = ⎜ 1 −2 1 −3 ⎟ ∼ ⎜ 0 1 −1 4 ⎟ ⎜ 1 1 −2 9 ⎟ ⎜ 0 0 0 6 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
由此知 R ( A) = 2 ≠ R ( B) = 3 ，故方程组（*）无解，亦即 β 不能由 α1 , α 2 , α 3 线 性表示．
三．计算（共 5 小题， ，共 50 分）
2 2 D4 = 2 1 1 0 = −7 0 0 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 . 2 2
1.（7 分）计算行列式
解：
1 1 1 0 0 −1 D4 = 7 0 −1 0 −1 0 0
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⎛ 1 -1 0 ⎞ ⎜ ⎟ 2.（7 分）设 A = ⎜ 0 1 - 1⎟ ,且 AX = 2X + A, 求 X . ⎜-1 0 1 ⎟ ⎝ ⎠
⎧ (1 + a )k1 + k2 + k3 = 0, ⎪ ⎨ k1 + (1 + a )k2 + k3 = a, ⎪k + k + (1 + a )k = a 2 , 3 ⎩ 1 2 1+ a 1 1+ a 1 1 1 1+ a = a 2 (a + 3)
（*）
其系数行列式 A = 1
1
（1）如 A ≠ 0 即 a ≠ 0 且 a ≠ −3 ，方程组（*）有惟一解，亦即 β 可由
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T 当 λ 2 = 2 时，特征向量为 ξ 2 = （1 0 0）
T 当 λ3 = 5 时，特征向量为 ξ 3 = （0 1 1）
⎛ ⎜ ⎜ ⎜ 取 P = ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎝
0 1 1 2
1 0 0
2
⎞ ⎟ 0 ⎟ 1 ⎟ ⎟ ， 用 正 交 变 换 x = Py ， 二 次 型 标 准 型 为 2⎟ 1 ⎟ ⎟ 2⎠
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（A） Ax = b 的通解是 k 1α 1 + k 2 α 2 +
（B） Ax = b 的通解是 k1 (α 1 + α 2 ) + k 2 (α 1 − α 2 ) + 2β 2 − β1 （C） Ax = O 的通解是 k1 (α 2 − α 1 ) + k 2 ( β 2 − α 1 )
（D） Ax = O 的通解是 k1α 1 + k 2 ( β 2 − β 1 ) 得分 评阅人
1 −1 −1 1 ⎞ ⎛1 1 −1 −1 ⎟ ⎜ 1 1 1 4 ⎟ ⎜0 −1 3 3 → 3 −1 −1 6 ⎟ ⎜0 0 0 0 ⎟ ⎜ ⎜ 2 − 4 − 4 − 1⎟ ⎠ ⎝0 0 0 0
1⎞ ⎛1 ⎟ ⎜ 2⎟ ⎜0 → 0⎟ ⎜0 ⎟ ⎜ ⎜ 0⎟ ⎠ ⎝0
0 2 2 3 ⎞ ⎟ 1 − 3 − 3 − 2⎟ ， 0 0 0 0 ⎟ ⎟ 0 0 0 0 ⎟ ⎠