《线性代数》试卷(A卷答案)

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(完整版)线性代数测试试卷及答案

线性代数(A 卷)一、选择题(每小题3分，共15分)1 .设A 、B 是任意n 阶方阵，那么下列等式必成立的是() (A) AB BA (B) (AB)2 A 2B 2 (C) (A B)2 A 2AB B 2 (D) A B B A2 .如果n 元齐次线性方程组 AX 0有基础解系并且基础解系含有 s(s n)个解向量，那1 0 0210, A *是A 的伴随矩阵，则(A*)4 .设向量 (1, 1,1)T 与向量 (2,5, t)T 正交，则t5 .设A 为正交矩阵，则A1 11 6 .设a,b,c 是互不相同的三个数，则行列式ab c2,22a b c7 .要使向量组 1 (1, ,1)T , 2 (1,2,3)T, 3 (1,0,1)T 线性相关，则8 .三阶可逆矩阵A 的特征值分别为1, 2, 3,那么A 1的特征值分别为么矩阵A 的秩为((A) n (B) )s (C)n s (D)以上答案都不正确 3 .如果三阶方阵A (a j )3 3的特征值为1,2,5 ,那么ana 22a 33 及A 分别等于()(A) 10, 8(B)8, 10(C)10,8(D)10,4 .设实二次型f(x 1,x 2)2 (X ,X 2)4X 1 X 2的矩阵为A, 那么()2 3(A) A3 1 ⑻(C)1 1(D)5.若方阵A 的行列式A0, 则((A) A 的行向量组和列向量组均线性相关 (C) A 的行向量组和列向量组均线性无关二、填空题(每小题3分，共30分)(B)A (D)A 的行向量组线性相关，列向量组线性无关的列向量组线性相关，行向量组线性无关1如果行列式D 有两列的元对应成比例，那么该行列式等于2.设A3.设，是非齐次线性方程组AX b 的解若也是它的解，那么关组和秩. 四、(10分)设有齐次线性方程组X 1 ( 1)X 2 X 3 0, (1)X 1 X 2 X 3 0, X 1 X 2 ( 1)X 3 0.问当取何值时，上述方程组（1）有唯一的零解；（2）有无穷多个解，并求出这些解. 五、（12分）求一个正交变换X PY ,把下列二次型化成标准形：、222f （X 1,X 2, X 3） X 1 X 2 X 3 4X 1X 2 4X 1X 3 4X 2X 3.六、（6分）已知平■面上三条不同直线的方程分别为11 : ax 2by 3c 0, 12 : bx 2cy 3a 0, 13 : cx 2ay 3b 0.试证：这三条直线交于一点的充分必要条件为a b c 0.线性代数(A 卷)答案1. D2. C3. B4. A5. A■-4*11.02. (A ) A3. 14. 35. 16. (c a)(c b)(b a)7. 08. 1,9.411 t 0 10. A I 5 42、1.解由AX(A I ) 1B . (2分)9 .若二次型 f(X i ,X 2,X 3)X 21 x 22 5x 23 2tX i X 2-2X 1X 3 4X 2X 3 是正定的，则 t 的取值范围10 .设A 为n 阶方阵，且满足A 2 2A 4I 0,这里I 为n 阶单位矩阵，那么A 1三、计算题（每小题9分，共27分）1 .已知A 1 00 1 ,求矩阵X 使之满足AX 0 0X B.2 .求行列式的值.3求向量组 (1,0,1,0), 2 ( 2,1,3, 7), 3 (3, 1,0,3,), 4 （4, 3,1, 3,）的一个最大无或-1由于1 23 4 1 2 3 41 2 3 4 0 1 1 3 r r 0 1 1 3 「3 5r 2 0 1 1 3 1 3 01 UUuLu 0 5 3 3 LuiuiUj2 0 0 2 12 0 73 3 0 733424四、解方程组的系数行列式卜面求 (A I ) 由于(4分）(A I)所以 (A I) (7分）2.解 10 10 10 1010(9 分)10(4 分）(8160 (9 分)3.解故向量组的秩是UjuniUr31 2 03 12 0(6分)3是它的一个最大无关组。

线性代数考试(A)参考答案及评释学习资料

线性代数考试(A)参考答案及评释华南农业大学期末考试试卷（A 卷）2005学年第一学期考试科目：线性代数考试类型：闭卷考试时间：120分钟学号姓名年级专业这是题文这是参考答案填空题.（每小题3分，共30分）1.若行列式D 各行元素之和等于0，则该行列式等于0. 各行加到第一行上去, 则第一行全为零P98奇数阶实反对称阵的行列式为零P64定理2.7非齐次线性方程组有解的充要条件 41141222222n n n --**⎛⎫===⋅= ⎪⎝⎭A A A重要关系*=AA A E ( P34定理1.9); 1n -*=A A(p44题1.18)5.设()()1,1,5,3,9,2,3,5,TTαβ=--=---则α与β的距离为9.()8,3,2,29-===αβ由正交矩阵的定义T =A A E 立即得到1T -=A A 且1T ===A A A A E若λ是A 的特征值, 则1λ是1-A 的特征值, 因为()110x x x x λλ-=≠⇒=A A x . 参考P87定理4.4: ()ϕA 的特征值是()ϕλ.8．如果()222123123121323,,2246f x x x x x tx x x x x x x =+++++是正定的，则t 的取值范围是5t >.11212323t ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A 1231121110,10,123501223t t ∆=>∆==>∆==-> p100定理5.6由2=AA 推出()()22-+=-A E A E EEnglish!二、单选题（每题3分，共15分）1.n 元齐次线性方程组0,AX =秩()(),R A r r n =<则有基础解系且基础解系含（ D ）个解向量.（A ）n （B ）r （C ）r n - （D ）n r - P62 line 5: 基础解系含n r -个解向量2. 设四阶方阵A 的秩为2，则其伴随矩阵A *的秩为（ D ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）0.A的余子式(3阶子式)全为零.*A是零矩阵.3. 设A是n阶方阵，满足2A E=，则（ B ）（A）A的行列式为1 （B）,-+不同时可逆.A E A E=（D）A的特征值全是1 （C）A的伴随矩阵*A A2000或.A E A E A E A E A E=⇒+-=⇒+=-=4. 设n阶方阵,,A B C满足ABC E=，其中E是n阶单位阵，则必有（ C ）（A）ACB E== (D) BAC E= (C) BCA E= (B) CBA E()()A E.p7性质1.2, p35定理1.10=⇒=A BC E BC或者141231234142332,3,4333411111111111111110000111111000101111101111100010000010001001000100010000101001000000i r r i c c c c r r r r r r r r x x x x x x x x x x x xxxxx x x x x-=+++-+-↔↔-------+---==----+-----====.2.给定向量组()()121,1,1,1,1,1,1,1,TTαα==--()32,1,2,1Tα=， ()41,1,1,1,Tα=--求1234,,,αααα的一个最大无关组和向量组的秩.()213141434212341121112111110212,,,112100021111021011211121021202120002000200020000r r r r r r r r r r A αααα---+-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪----- ⎪ ⎪==−−−→ ⎪⎪--⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪------⎪ ⎪−−−→−−−→ ⎪ ⎪--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可见()1234,,,3R αααα=，124,,ααα是一个最大无关组。

全校各专业《线性代数》课程试卷及答案A卷

全校各专业《线性代数》课程试卷及答案A 卷试卷 A 考试方式闭卷考试时间（120分钟）一、选择题（本题共4小题，每小题4分，满分16分。

每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1、设A ，B 为n 阶方阵，满足等式0=AB，则必有（） (A)0=A 或0=B ; (B)0=+B A ；（C ）0=A 或0=B ; (D)0=+B A 。

2、A 和B 均为n 阶矩阵，且222()2A B A AB B +=++，则必有（） (A) A E =； (B)B E =；（C ） A B =. (D) AB BA =。

3、设A 为n m ⨯矩阵，齐次方程组0=Ax 仅有零解的充要条件是（）(A) A 的列向量线性无关； (B) A 的列向量线性相关；（C ） A 的行向量线性无关； (D) A 的行向量线性相关. 4、 n 阶矩阵A 为奇异矩阵的充要条件是（） (A) A 的秩小于n ； (B) 0A ≠；(C) A 的特征值都等于零； (D) A 的特征值都不等于零；二、填空题（本题共4小题，每题4分，满分16分）5、若4阶矩阵A 的行列式5A =-，A *是A 的伴随矩阵，则*A = 。

6、A 为n n ⨯阶矩阵，且220A A E --=，则1(2)A E -+= 。

7、已知方程组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+43121232121321x x x a a 无解，则a = 。

8、二次型2221231231213(,,)2322f x x x x x tx x x x x =++++是正定的，则t 的取值范围是。

三、计算题（本题共2小题，每题8分，满分16分）9、计算行列式1111111111111111x x D y y+-=+-10、计算n 阶行列式121212333n n n n x x x x x x D x x x ++=+四、证明题（本题共2小题，每小题8分，满分16分。

完整版)线性代数试卷及答案

完整版)线性代数试卷及答案线性代数A试题（A卷）试卷类别：闭卷考试时间：120分钟考试科目：线性代数学号：______ 姓名：______题号得分阅卷人一．单项选择题（每小题3分，共30分）1.设A经过初等行变换变为B，则(B)。

(下面的r(A),r(B)分别表示矩阵A,B的秩)。

A) r(A)。

r(B)；(D)2.设A为n(n≥2)阶方阵且|A|=，则(C)。

A) A中有一行元素全为零；(B) A中必有一行为其余行的线性组合；(C) A有两行（列）元素对应成比例；(D) A的任一行为其余行的线性组合。

3.设A,B是n阶矩阵(n≥2),AB=O,则下列结论一定正确的是: (D)A) A=O或B=O。

(B) B的每个行向量都是齐次线性方程组AX=O的解。

(D) R(A)+R(B)≤n.4.下列不是n维向量组α1,α2.αs线性无关的充分必要条件是（A）A) 存在一组不全为零的数k1,k2.ks使得k1α1+k2α2+。

+ksαs≠O；(B) 不存在一组不全为零的数k1,k2.ks使得k1α1+k2α2+。

+ksαs=O(C) α1,α2.αs的秩等于s；(D) α1,α2.αs 中任意一个向量都不能用其余向量线性表示。

5.设n阶矩阵(n≥3)A=，若矩阵A的秩为n-1，则a必为（）。

11；(C) -1；(D)。

(A) 1；(B)6.四阶行列式a1a2a3a4b1b2b3b4的值等于（）。

A) a1a2a3a4+b1b2b3b4；(B) (a1a2-b1b2)(a3a4-b3b4)；(C)a1a2a3a4-b1b2b3b4；(D) (a2a3-b2b3)(a1a4-b1b4)。

1.设A为四阶矩阵且A=b，则A的伴随矩阵A的行列式为b^3.(C)2.设A为n阶矩阵满足A+3A+In=O，In为n阶单位矩阵，则A=−A−3In。

(完整word版)2014线性代数A卷(含答案)-推荐文档

上海海洋大学试卷答案一、填空与选择题（1836='⨯） 1. 行列式的值是_____________.2. 已知A 为四阶方阵, 且=2, 是的伴随矩阵, 则=___128______.3. 当__2____时, 方程组有非零解 4．设, ,若初等矩阵, 使得,则P =___100001010æèççöø÷÷______5. 已知四阶行列式中第三列元素依次是它们的余子式依次为, 则=________6．已知＝, 且则一定有：（ D ）（A ）E A = （B ）0=A （C ）矩阵E A -一定可逆（D ）矩阵E A +一定可逆二、（16分）计算下列行列式 1.... （10分）解：D =232-23-101421-354-10=-6-1043-101421-3960-33=9-2-141-1112-16=9-3031-113018=-9-3331=108103.（6分）解：D n +1=x -n 11100x -n +111000x -n +210000x -10nn -1n -211 (3)=(-1)2n +2x -n 1110x -n +111000x -2100x -1 (5)=(x -i )i =1nÕ (6)三、（15分）设, , 求1. 2. 3.若, 求矩阵. 解: (1)A -3E =2-112131-11æèççöø÷÷-300030003æèççöø÷÷ (2)=-1-112-231-1-2æèççöø÷÷ (3)(2)A E ()=2-112131-11100010001æèççöø÷÷...........2®10001000110-11414-1-34141æèççççöø÷÷÷÷..................7 所以A -1=10-11414-1-34141æèççççöø÷÷÷÷ (8)(3)X =BA -1..................................2=-34142-74142æèçççöø÷÷÷ (4)四、（15分）设矩阵, 求1.矩阵的列向量组的秩2.的列向量组的一个极大无关组3.将向量组中的其余向量表达为极大无关组的线性组合解：由a 1,a 2,a 3,a 4()=22311-3-211033-132-1320-2æèçççççöø÷÷÷÷÷®10330187001100000000æèçççççöø÷÷÷÷÷..............5®1000010-1001100000000æèçççççöø÷÷÷÷÷ (7)得1．向量组的秩为3 (2)2．向量组的极大无关组为a 1,a 2,a 3...................3 3． a 4=-a 2+a 3 (3)五、（10分）设列向量组线性相关, 列向量组线性无关, 证明: （1）一定可由线性表示；（2）4α不可由321,,ααα线性表示。

2020-2021(1)《线性代数A》A卷参考答案

3 ,1)T . 2
(3) 当 k 1时 R( A) 1; 当 k 2 时 R( A) 2; 当 k 1且 k 2 时 R( A) 3.
(12 分) (15 分)
P5
x1 3x2 2x3 x4 3
得分
六、（12
分）求非齐次线性方程组
x1 x1
x2 x2
x4 x3
1 2
五
六
七
八
得分
阅卷人
得
一、填空题（共 24 分，每小题 3 分）
分
1． n 阶行列式
1
2
n ( n 1)
(1) 2 1n .
n
3 5 2 1
2. 已知 4 阶行列式 D 1 1 1 3
0 5 1 3 ,D 的 (i, j) 元的代数余子式记作 Aij ，则
2 4 1 3
学院
考专业装
生
信
息姓名
班级
栏学号线
订
集美大学试卷纸参考答案与评分标准
2020 — 2021 学年第一学期
课程名称
适用学院、专业、
年级
线性代数 A
试卷卷别
考试方式
A
闭卷 □√ 开卷 □
备注
1.本试卷共 8 页，答题前请检查；2.考试时间 120 分钟。
总分
题号
一
二
三
四
生
信
息姓名
班级
栏学号线
订
1 2 3k
得
五、（15
分）设矩阵
A
1 k
2k 2
3 3
，
分
（1）求行列式 A ；

线性代数(A)及答案详细解析

b a b

b b a
当 2 7 时，（-7I-A ）=0，解得
1 / 2 3 1 ， 3 即为对应于 2 7 的线性无关特征向量。 1
= [a (n 1)b] 三. 解：
= [a (n 1)b] (a b) n1
, 则矩阵 A 的秩 rA
x ty z 0 2 x y z 0 ty 3 z 0
其是否可对角化. ( 10' ) 六. 用合同变换化二次型 f ( x1 , x2 , x3 ) x12 x2 2 4x1 x2 2x2 x3 为标准型,并求变换矩阵. ( 10' )
1 2 / 3
0 1 0 0
3 1 1 4 0 11 0 0
故向量组α 1 ,α 2 ， α 3 ， α 4 线性相关，其一个极大无关组为α 1 ，α 2 ，α 4 或α 1 , α
1
2 2 4 = ( 2) 2 ( 7) =0 2
5 2 0 0 2 0 1 0
2 5 4 1 , B 2 1 ,则 A-2B 1 2
1
四. 判断向量组α 1 =(1,-1,2,4), α 2 =(0,3,1,2),α 3 =(3,0,7,14), α 4 =(1,-2,-2,0)的线性相关性,并求出它的一个极大无关组. ( 10' )
2 1 3 3 3 6
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南京理工大学课程考试答案（ A）
课程名称：
试卷编号：组卷日期： 2005 年学生班级：线性代数考试方式：闭卷学分 2 教学大纲编号：考试时间： 120 分钟满分分值： 100 沐雨芳

线性代数试题A答案[大全5篇]

线性代数试题A答案[大全5篇]第一篇：线性代数试题A答案2006-2007学年第二学期线性代数试题A卷参考答案及评分标准一．填空题（本题满分12分，每小题3分）⎛1-20 0 -25 -111、1；2、-3；3、A=00 3 1 00-3⎝0⎫⎪0⎪2⎪；4、2 ⎪3⎪1⎪⎪3⎭二、选择题（本题满分12分，每小题3分，．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内）1．C；2．C；3．A；4、B 三．计算行列式（本题满分6分）解 1 10Dn=001-110010Λ00-111000-11=100010100200Λ03ΛΛ1Λ00Λ0100Λ00n3-1ΛΛ011ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ分Λn-1=n3分解2 10Dn=001-110010Λ00-111000=Dn-1+13分-1ΛΛ011ΛΛΛΛΛΛΛΛ-11=n3分四．（本题满分12分）解：⑴ 由等式A+B=AB，得A+B-AB+E=E，即(A-E)(B-E)=E3分因此矩阵A-E可逆，而且(A-E)=B-E．2分-1⑵ 由⑴知，A-E=(B-E)，即A=(B-E)+E-1-1A=(B-E)+E或A=B(B-E)-12分-1⎛0-10-30100⎛⎫⎛⎫⎪⎪1=200⎪+010⎪=-3 001⎪001⎪0⎝⎭⎝⎭⎝⎛1 1=-3 0 ⎝1210⎫0⎪⎪0⎪ 2分⎪2⎪⎪⎭1200⎫0⎪100⎫⎪⎛⎪0⎪+010⎪3分⎪⎪1⎪⎝001⎭⎪⎭五．（本题满分14分）解：110⎤⎡1⎡11⎢01⎥⎢0221⎥→⎢A=⎢⎢0-1a-3-2b⎥⎢0⎢⎥⎢321a-1⎣⎦⎣01110⎤1221⎥⎥4分0a-10b+1⎥⎥00a-10⎦所以，⑴ 当a≠1时，rA=r(A)=4，此时线性方程组有唯一解．2分⑵ 当a=1，b≠-1时，r(A)=2，rA=3，此时线性方程组无解．2分⑶ 当a=1，b=-1时，rA=r(A)=2，此时线性方程组有无穷多组解．2分此时，原线性方程组化为()()()⎧x1+x2+x3+x4=0 ⎨⎩x2+2x3+2x4=1因此，原线性方程组的通解为⎧x1=x3+x4-1⎪x=-2x-2x+1⎪234 ⎨x=x3⎪3⎪x4⎩x4=或者写为⎡x1⎤⎡1⎤⎡1⎤⎡-1⎤⎢x⎥⎢-2⎥⎢-2⎥⎢1⎥2⎢⎥=k⎢⎥+k⎢⎥+⎢⎥4分⎢x3⎥1⎢1⎥2⎢0⎥⎢0⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣0⎦⎣1⎦⎣0⎦⎣x3⎦六．（本题满分12分）3-λ解 A-λE=-101202-λ1=(2-λ)(3-λ)，2分03-λ所以得特征值λ1=2,λ2=λ3=32分⎛101⎫⎪对λ1=2，解方程组(A-2E)x=0，由A-2E=-101⎪，得特征向量001⎪⎝⎭⎛0⎫⎪ξ1=1⎪0⎪⎝⎭⎛0⎫⎪所以对应λ1=2的全部特征向量为c1 1⎪,c1≠03分0⎪⎝⎭⎛0 1对λ2=λ3=3，解方程组(A-3E)x=0，由A-3E=-0⎝01⎫1⎛10⎪r 1-1⎪−−→0 0100⎪0 ⎭⎝00⎫⎪⎪，⎪⎭⎛1⎫⎛1⎫⎪⎪得特征向量ξ2=-1⎪,全部特征向量为c2 -1⎪,c2≠03分0⎪0⎪⎝⎭⎝⎭A没有三个线性无关的特征向量，所以不能对角化.2分七．（本题满分12分）⎛1λ解：f的矩阵为A=λ4 -12⎝-1⎫⎪2⎪．…………2分 4⎪⎭因此，二次型f为正定二次型．⇔矩阵A为正定矩阵．⇔矩阵A的各阶顺序主子式全大于零．…………2分而矩阵A的各阶顺序主子式分别为D1=1>0，D2=1λ=4-λ2，…………2分λ41D3=A=λλ-12=-4(λ-1)(λ+2)．…………2分 44-12所以，二次型f 为正定二次型．⇔D2=4-λ2>0，且D3=-4(λ-1)(λ+2)>0由 D2=4-λ2>0，得-2<λ<2 ．由 D3=-4(λ-1)(λ+2)>0，得-2<λ<1 ．因此，得-2<λ<1 ．即，二次型f为正定二次型．⇔-2<λ<1…………4分八．（本题满分8分）已知三维向量空间的一组基为α1=(1，1，0)，α2=(1，0，1)，α3=(0，1，1)求向量β=(2，0，0)在上述基下的坐标．解：设向量β在基(α1，α2，α3)下的坐标为(x1，x2，x3)，则有x1α1+x2α2+x3α3=β，2分写成线性方程组的形式，有⎛1⎫⎛1⎫⎛0⎫⎛2⎫⎪⎪⎪⎪x1 1⎪+x2 0⎪+x3 1⎪=0⎪2分 0⎪1⎪1⎪0⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭即⎧x1+x2=2⎪⎨x1+x3=0，⎪x+x=03⎩2得唯一解x1=1，x2=1，x3=-1，3分，1，-1)．1分因此所求坐标为(1九．（本题满分12分）证法1：记A=(α1,α2,Λ,αm),B=(α1,α2,Λ,αm,β)，显然r(A)≤r(B).1°因为α1,α2,Λ,αm线性无关，知r(A)=m1分2°因为α1,α2,Λ,αm,β线性相关，知r(B)<m+1 1分因此r(B)=m，1分Ax=(α1,α2,Λ,αm)x=b有解且唯一。

2012-2013-1线性代数A试卷与答案

,,s、向量组的秩为r，则向量组中三、计算题（每题12分，共60分）1、计算行列式：32142143143243212、已知=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--101111121X ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛523231141，求矩阵X3、求线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=----=+-+-=+-+=+-+261782314620324321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x 的通解。

4、求向量组1234(1,1,1),(1,1,0),(1,0,0),(1,2,3)αααα====-的一个极大线性无关组，并把其余向量用极大无关组线性表示.5、求⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=100010221A 的特征值与特征向量.分）若123,,ξξξ是方程组0AX =的基础解系，证明1323122,2,2ξ+ξξ+ξξ+ξ也是该方程组的基础解系.2012-2013-1线性代数A 参考答案与评分标准一、判断题（每题2分，共20分）二、填空题（每空2分，共10分）1、-2；2、43、41； 4、1； 5、111,,632三、计算题（每题12分，共60分）1、解：原式=32110214101431043210……………………………………………（2分） =111022203110432110321121411431432110------= …………………………（6分） =11314021113112011111131120----=----=---- …………（10分）=160113140=- ……………………………………………………（12分）2、解：1141121132111325101X -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦----------------------4分 121100121100111010012110101001022101⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-→---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦1310011031202201211001001100212111001122⎡⎤--⎢⎥--⎡⎤⎢⎥⎢⎥---→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦--⎢⎥⎣⎦--------------10分131221141223113201102232511465122⎡⎤⎡⎤--⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥----⎢⎥⎣⎦⎣⎦--------------------------12分 3、解：先对增广矩阵进行初等行变换⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-------------→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------000000000012210032112442012210122100321121611178231461203211--------------------6分同解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=+-+1220324324321x x x x x x x ，一个特解⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0011-----------------------8分选4x 为自由未知量，得到齐次线性方程组的一个基础解系：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-210121,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1105----------------------10分原方程组的通解为+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-2101211k ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-11052k +⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0011-------------------------12分 4、解:秩为 3，--------------------------6分一个极大线性无关组为123,,ααα. --------------------------10分412335αααα=-+-；--------------------------12分5、解:特征方程为|λE －A|=1010221---+λλλ=(λ+1) (λ－1)2 =0，------4分 ∴A 的全部特征值为λ1=－1，λ2=λ3=1。

《线性代数》期末考试题及详细答案(本科A、B试卷)

XXX 学年期末考试试卷《线性代数》期末考试题及详细答案（本科A 、B 试卷）A 卷一、填空题（将正确答案填在题中横线上。

每小题2分，共10分）。

1、设1D =3512， 2D =345510200，则D =12DD OO=_____________。

2、四阶方阵A B 、，已知A =116，且=B ()1-12A 2A --，则B =_____________。

3、三阶方阵A 的特征值为1，-1，2，且32B=A -5A ，则B 的特征值为_____________。

4、若n 阶方阵A 满足关系式2A -3A-2E O =，若其中E 是单位阵，那么1A -=_____________。

5、设()11,1,1α=，()21,2,3α=，()31,3,t α=线性相关，则t=_____________。

二、单项选择题（每小题仅有一个正确答案，将正确答案的番号填入下表内，每小题2分，共20分）。

1、若方程13213602214x x xx -+-=---成立，则x 是：课程代码：适用班级：命题教师：任课教师：（A ）-2或3；（B ）-3或2；（C ）-2或-3；（D ）3或2； 2、设A 、B 均为n 阶方阵，则下列正确的公式为：（A ）()332233A B+3AB +B A B A +=+； B ）()()22A B A+B =A B --；（C ）()()2A E=A E A+E --；（D ）()222AB =A B ； 3、设A 为可逆n 阶方阵，则()**A=？（A ）A E ；（B ）A ；（C ）nA A ；（D ）2n A A -；4、下列矩阵中哪一个是初等矩阵：（A ）100002⎛⎫ ⎪⎝⎭；（B ）100010011⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭；（C ）011101001-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭；（D ）010002100⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭；5、下列命题正确的是：（A ）如果有全为零的数1,k 2k 3,,,m k k 使1122m m k k k αααθ+++=，则1,α2α，，m α 线性无关；（B ）向量组1,α2α，，m α 若其中有一个向量可由向量组线性表示，则1,α2α，，m α线性相关；（C ）向量组1,α2α，，m α 的一个部分组线性相关，则原向量组本身线性相关；（D ）向量组1,α2α，，m α线性相关，则每一个向量都可由其余向量线性表示。

线性代数考试A参考答案及评释.doc

华南农业大学期末考试试卷（A 卷）2005学年第一学期考试科目：线性代数考试类型：闭卷考试时间：120分钟这是题文这是参考答案填空题.（每小题3分，共30分）1.若行列式D 各行元素之和等于0，则该行列式等于0.各行加到第一行上去, 则第一行全为零P98奇数阶实反对称阵的行列式为零P64定理2.7非齐次线性方程组有解的充要条件41141222222n n n--**⎛⎫===⋅= ⎪⎝⎭A A A重要关系*=AA A E ( P34定理1.9); 1n -*=A A(p44题1.18)5.设()()1,1,5,3,9,2,3,5,TTαβ=--=---则α与β的距离为9.()8,3,2,29-===αβ由正交矩阵的定义T=A A E 立即得到1T-=A A 且1T===A A AA E若λ是A 的特征值, 则1λ是1-A 的特征值, 因为()110x x x x λλ-=≠⇒=A A x .参考P87定理4.4: ()ϕA 的特征值是()ϕλ.8．如果()222123123121323,,2246f x x x x x tx x x x x x x =+++++是正定的，则t 的取值范围是5t >.11212323t ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A 1231121110,10,123501223t t ∆=>∆==>∆==-> p100定理5.6由2=A A 推出()()22-+=-A E A E EEnglish!二、单选题（每题3分，共15分）1.n 元齐次线性方程组0,AX =秩()(),R A r r n =<则有基础解系且基础解系含（ D ）个解向量.（A ）n （B ）r （C ）r n - （D ）n r - P62 line 5: 基础解系含n r -个解向量2. 设四阶方阵A 的秩为2，则其伴随矩阵A *的秩为（ D ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）0.A 的余子式(3阶子式)全为零.*A 是零矩阵.3. 设A 是n 阶方阵，满足2A E =，则（ B ）（A ）A 的行列式为1 （B ）,A E A E -+不同时可逆. （C ）A 的伴随矩阵*A A = （D ）A 的特征值全是12000=⇒+-=⇒+=-=A E A E A E A E A E 或.4. 设n 阶方阵,,A B C 满足ABC E =，其中E 是n 阶单位阵，则必有（ C ）（A ）ACB E = (B) CBA E = (C) BCA E = (D) BAC E =()()=⇒=A BC E BC A E .p7性质1.2, p35定理1.10或者141231234142332,3,4333411111111111111110000111111000101111101111100010000010001001000100010000101001000000i r r i c c c c r r r r r r r r x x x x x x x x x x x xxxxx x x x x-=+++-+-↔↔-------+---==----+-----====.2.给定向量组()()121,1,1,1,1,1,1,1,TTαα==--()32,1,2,1Tα=，()41,1,1,1,Tα=--求1234,,,αααα的一个最大无关组和向量组的秩.()213141434212341121112111110212,,,112100021111021011211121021202120002000200020000r r r r r r r r r r A αααα---+-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-----⎪ ⎪==−−−→ ⎪⎪--⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪------⎪ ⎪−−−→−−−→ ⎪ ⎪--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可见()1234,,,3R αααα=，124,,ααα是一个最大无关组。

(完整版)线性代数试题套卷及答案

（线性代数）（ A 卷）专业年级：学号：姓名：一、单项选择题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1．设为实矩阵,则线性方程组只有零解是矩阵为正定矩阵的n m A ⨯0=Ax )(A A T(A) 充分条件； (B) 必要条件； (C) 充要条件；(D) 无关条件。

2．已知为四维列向量组，且行列式，32121,,,,αααββ4,,,1321-==βαααA ，则行列式1,,,2321-==βαααB =+B A (A) ；(B) ；(C) ；(D) 。

4016-3-40-3．设向量组线性无关，且可由向量组线s ααα，，， 21)2(≥s s βββ，，， 21性表示，则以下结论中不能成立的是(A) 向量组线性无关；s βββ，，， 21(B) 对任一个，向量组线性相关；j αs j ββα，，， 2(C) 存在一个，向量组线性无关；j αs j ββα，，， 2(D) 向量组与向量组等价。

s ααα，，， 21s βββ，，， 214．对于元齐次线性方程组，以下命题中，正确的是n 0=Ax (A) 若的列向量组线性无关，则有非零解；A 0=Ax (B) 若的行向量组线性无关，则有非零解；A 0=Ax (C) 若的列向量组线性相关，则有非零解；A 0=Ax (D) 若的行向量组线性相关，则有非零解。

A 0=Ax 5．设为阶非奇异矩阵，为的伴随矩阵，则A n )2(>n *A A 题号一二三总分总分人复分人得分得分评卷人√√(A) ；(B) ；A A A 11||)(-*-=A A A ||)(1=*-(C) ；(D) 。

111||)(--*-=A A A 11||)(-*-=A A A 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）请在每小题的空格中填上正确答案。

(完整版)线性代数试题套卷及答案

错选、多选或未选均无分。

1．设n m A ⨯为实矩阵,则线性方程组0=Ax 只有零解是矩阵)(A A T为正定矩阵的(A) 充分条件； (B) 必要条件； (C) 充要条件； (D) 无关条件。

2．已知32121,,,,αααββ为四维列向量组，且行列式 4,,,1321-==βαααA ，1,,,2321-==βαααB ，则行列式 =+B A(A) 40； (B) 16-； (C) 3-； (D) 40-。

3．设向量组s ααα，，，21)2(≥s 线性无关，且可由向量组s βββ，，， 21线性表示，则以下结论中不能成立的是(A) 向量组s βββ，，，21线性无关； (B) 对任一个j α，向量组s j ββα，，，2线性相关； (C) 存在一个j α，向量组s j ββα，，，2线性无关； (D) 向量组s ααα，，，21与向量组s βββ，，， 21等价。

4．对于n 元齐次线性方程组0=Ax ，以下命题中，正确的是(A) 若A 的列向量组线性无关，则0=Ax 有非零解； (B) 若A 的行向量组线性无关，则0=Ax 有非零解； (C) 若A 的列向量组线性相关，则0=Ax 有非零解； (D) 若A 的行向量组线性相关，则0=Ax 有非零解。

5．设A 为n 阶非奇异矩阵)2(>n ，*A 为A 的伴随矩阵，则√√(A) A A A 11||)(-*-=； (B) A A A ||)(1=*-；(C) 111||)(--*-=A A A ； (D) 11||)(-*-=A A A 。

二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

6．列向量⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=111α 是矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=2135212b a A 的对应特征值λ的一个特征向量. 则λ＝，a ＝，b ＝。

线性代数A及答案

2005学年第2学期线性代数期末考试试卷（ A 卷）一. 填空题 (本题共有10个小题, 每小题3分)1. 设305021311121A ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，则矩阵A 的秩()r A =__________. 2. 设A 为3阶方阵，行列式2A =,则3A =________.3. 设矩阵20003101A x ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦与400020002B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦相似，则x =_________. 4. 设A 是n 阶方阵且240A A E +-=, 则()1A E --=_________.5.()222,,2332f x y z x y z ayz =+++是正定二次型，则a 的取值范围是______.6. 若向量()1,2,0与(),,0x y 线性无关，则x 与y 的关系应为__________.7. 向量[]1,4,0,2T∂=与[]2,2,1,3Tβ=-的距离和内积分别为_________和___________.8. 设10246311A a -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，B 为3阶非零矩阵，且0AB =，则a =___________.9. 设0是矩阵10102010A a ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦的特征值，则a =___________. 10. 在MA TLAB 软件中，det(A ) 表示求__________.二. 选择题（本题共有5个小题, 每个小题都给出代号 (A), (B), (C), (D) 的四个结论, 其中只有一个结论是正确的。

每小题3分。

）1. 设A 是n 阶方阵，则下列4个式子中表明A 是正交矩阵的式子为（）(A) 1AA E -=(B) AA E = (C) 1TA A -=(D) 1A =±2. 已知,A B ,C 为n 阶方阵，则下列性质不正确的是（）(A) AB BA = (B) ()()AB C A BC =(C)()A B C AC BC +=+(D) ()C A B CA CB +=+3. 已知方程组Ax b =对应的齐次方程组为0Ax =，则下列命题正确的是（）(A) 若0Ax =只有零解，则Ax b =一定有唯一解。

2022年线性代数试卷试卷及答案AB卷

线性代数试卷(A)一、选择题（每题3分，共15分）1._____________,2)(2101210211的值为则的秩若矩阵a A r a a A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=11-(D)1-(C)1-0(B)0(A)或者或2._____________,1||*=-=A A A 则，且为正交矩阵设3.设βα,是n 维列向量,0≠βαT,n 阶方阵T E A αβ+=,3≥n ，则在A 的 n 个特征值中,必然______________(A) 有n 个特征值等于1 (B) 有1-n 个特征值等于1 (C) 有1个特征值等于1 (D) 没有1个特征值等于14.______________,)()(,则阶方阵，且秩相等，既为设B r A r n B A =B)(A)(B),r(A (D)r(A)2B),r(A (C)r(A)2B)(A (B)0B)r(A (A)r r r +≤==+=－5._____________,)(b Ax n A r A n m ==⨯则非齐次线性方程组的秩设矩阵 )(A 一定无解 )(B 可能有解)(C 一定有唯一解 )(D 一定有无穷多解二、填空题（每题3分，共15分）1.设*A 是n 阶方阵A 的伴随矩阵，行列式2||=A ，则|2|*A =_____________2. D 中第二行元素的代数余子式的和∑=412j jA=__________ ,其中D =1111111*********---3. 已知实二次型321123122132,12224),(x x x ax x x x x x x f ++++=正定,则实常数a 的取值范围为________________A- D ） •A(C) A -A (A) T T (B)4. 2n 阶行列式 ________________=A B BA ,其中n 阶矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=a a a A 0000000 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000000 b b b B5. 设A=，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛101020101而n ≥2为正整数，则______21=--n n A A 三、计算题(每题9分,共54分) 1. 计算n 阶行列式•m x x x x x x m x x x x x m x •D n nnn ---=3213213212. 求矩阵X 使⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==-+--120210006,100010002,011B A BX A BA AX ，其中3. 设非齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-++=++-=+++3432211244332114433213222dx x x c x c d x b x b x x d x a x a x x 有三个解向量 1η＝⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1211， 2η＝⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1112， 3η＝⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2423求此方程组系数矩阵的秩,并求其通解(其中tk j i d c b a ,,,为已知常数)4. 已知实二次型 ),,(321x x x f =)0(233232232221>+++λλx x x x x 经过正交变换QY X =,化为标准形23222152y y y ++,求实参数λ及正交矩阵Q5. 设线性方程组为 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+-=+++=+++=+++b x x x x x x a x x x x x x x x x x 432143214321432131723153203，问a ,b 各取何值时，线性方程组无解，有唯一解，有无穷多解？在有无穷多解时求出其通解6. 在四元实向量构成的线性空间4R 中,求a 使4321,,,ββββ为4R 的基,并求由基43214321,,,,,,ββββαααα到的过渡矩阵P ,其中⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=00011α ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=00112α ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=01113α ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11114α ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1111a β ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=12112a β ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=00113β ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=00014β四、证明题(每题8分,共16分)1. 设 321,,ααα 是欧氏空间V 的标准正交基,证明:112321233123111(22)(22)(22)333βαααβαααβααα=+-=-+=--也是V 的标准正交基2. 设=f AX X T是n 元实二次型,有n 维实列向量21,X X ,使11AX X T0>，22AX X T0<, 证明:存在n 维列实向量00≠X ,使00AX X T=0线性代数考试A 参考答案一、选择题1.(A)2.(B)3.(B)4.(D)5.(B) 二、填空题1. 12*2|2|-=n A ；2. 0；3.27||<a ； 4.nb a )(22-； 5.0A 2A 1n n =--三、计算题1. 解各列加到第一列，提出公因式•mx x x m x x x •m x D n n n ni i n ---=∑=2221111)( =•m m x x •m x n ni i ---∑=001)(218分=)()1(111m x mni i n n --∑=-- 9分2. 11)(--=-BA X A B A 3分⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-120210003020200001X ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=12/102/110003X 9分3. 由题设条件知1η,2η,3η是b AX =的三个解，因此3η－1η＝⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1612， 3η－2η＝⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1331 是对应的齐次线性方程组的线性无关解向量,因此,系数矩阵A 的秩)(A r ≤2 又A 中有二阶子式052112≠-=-，)(A r ≥2，因此)(A r ＝23分因此3η－1η，3η－2η为其导出组的基础解系。

线性代数试题A答案

东莞理工学院本科试卷A 卷答案2005 -2006 学年第一学期开课单位：数学教研室 ,考试形式：闭卷,允许带入场科目：_线性代数 _班级： 0 姓名：学号：一．填空题每小题3分,共15分1．()013121221110⎛⎫ ⎪-=- ⎪⎝⎭()15202. 若n 阶方阵A 的秩 r n <, 则A = 0 ．3．设0=x A ,A 是5阶方阵,且=)(A R 3, 则基础解系中含 2 个解向量．4．若３阶矩阵A 的特征值为２,２,３,则=A 12 ．5．设21,λλ是对称阵A 的两个不同的特征值,21,p p 是对应的特征向量,则=],[21p p0 ．二．选择题每小题3分,共15分1．若A 为3阶方阵,且2=A ,则2A -= C ．Ａ．-4 Ｂ．4 Ｃ．-16 Ｄ．162．设B A ,为n 阶方阵,满足等式O AB =,则必有Ｂ．Ａ．O A =或O B = Ｂ．0=A 或0=B Ｃ． O B A =+ Ｄ．0=+B A3．设n 元线性方程组b x A=,且n b A R A R ==),()( ,则该方程组ＢＡ．有无穷多解Ｂ．有唯一解Ｃ．无解Ｄ．不确定 4．设P 为正交矩阵,则P 的列向量 AA ．组成单位正交向量组 B. 都是单位向量 C. 两两正交 D. 必含零向量 5．若二次型()f '=x x Ax 为正定, 则对应系数矩阵A 的特征值ＡＡ．都大于0；Ｂ．都大于等于0；Ｃ．可能正也可能负Ｄ．都小于0三．8分计算行列式2111121111211112D =的值．解．21234314211111111111121112110100555112111210010111211120001r r D r r r r r r r r -=+++-=-． 3分 5分四．8分设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=100210321A ,求1-A ．解：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100 010 001 100210321) (E A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---100 010 021 100210101221r r 4分1323100 121010 0122001 001r r r r -⎛⎫+ ⎪- ⎪-⎝⎭． ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-1002101211A 或用伴随矩阵7分 8分五．8分求齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+--=-+-=+--03203 0 432143214321x x x x x x x x x x x x 的基础解系及通解．解：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=321131111111A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→210042001111⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---→000021001111 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→000021001011,4分通解方程组⎩⎨⎧=-=--02043421x x x x x ,基础解系⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=00111ξ ,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=12012ξ ,7分通解为2211ξξk k +,21,k k 为任意常数．8分六．8分已知向量⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=32111α ,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=11112α ,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=53313α ,求向量组的秩及一个极大线性无关组,并把其余向量用极大线性无关组表示．解：()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-==513312311111,,321ααα A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→220110220111⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→000000110111⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→000000110201 5分极大无关组21,αα ,且2132ααα-=．8分七．10分讨论λ取何值时,非齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++=+++2321321321)1( )1(0)1( λλλλλx x x x x x x x x1 有唯一解；2 无解；3 有无穷多解．解：法1 )3(1111111112+-=+++=λλλλλA 2分（１）当0≠λ且3-≠λ时,有0≠A ,方程组有惟一解； 4分２当3-=λ时,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=93 0 112121211A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→600033300211,3)(2)(=<=A R A R ,所以无解； 6分３当0=λ时,⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡→000000000111A , 1)()(==A R A R ,方程组有无穷多解．法2 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=220001111111110111λλλλλλλλλλλλA ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+---+→2)2(000111λλλλλλλλ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++--+→)1()3(0000111λλλλλλλλ 10分八．8分用配方法将二次型31232221321422),,(x x x x x x x x f +--=化为标准形,并求可逆的线性变换．解：232223312132162)44(),,(x x x x x x x x x f --++=232223162)2(x x x x --+=,4分令⎪⎩⎪⎨⎧==+=33223112x y x y x x y ,即⎪⎩⎪⎨⎧==-=3322311 2y x y x y y x , 所以 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321321100010201y y y x x x , 变换矩阵,100010201⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=C .01≠=C 标准形23222162y y y f --= ．8分九．10分求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=400032020A 的特征值与最大特征值所对应的特征向量．解：)1()4(2+--=-λλλE A ,特征值.1,4321-===λλλ 4分当421==λλ时,解0)4(=-x E A 得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0211ξ ,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1002ξ ,A 的对应于421==λλ的全体特征向量为2221ξξη k k +=, 0(2221≠+k k ． 10分十．每小题5分,共10分1．设向量组321,,ααα线性无关,讨论向量组 112123,,αααααα+++的线性相关性．解：令112123123()()0,k k k αααααα+++++= 即 123123233()()0k k k k k k ααα+++++=因为321,,ααα 线性无关,所以有123223 000k k k k k k ++=⎧⎪+=⎨⎪=⎩, 3分由于方程组只有零解,故112123,,αααααα+++线性无关;5分２．设A 为满足等式O E A A =+-232的矩阵,证明A 可逆,并求1A -．解：O E A A =+-2321(3)2(3)2A A E E A A E E -⇒-=-⇒⋅-= 3分所以A 可逆,且11(3)2AE A -=- 5分。

线性代数课程期末考试试卷(A卷)1

信息学院本科生2009－2010学年第一学期线性代数课程期末考试试卷（A 卷）专业：年级：学号：姓名：成绩:说明：A T 表示矩阵A 的转置，A *表示矩阵A 的伴随矩阵，E 是单位矩阵，O 是零矩阵, A −1表示可逆矩阵A 的逆矩阵, |A |表示方阵A 的行列式, 〈α, β〉表示向量α, β的内积.一、客观题：1−3小题为判断题，在对的后面括号中填“√”，错的后面括号中填“⨯”，4−8为单选题，将正确选项前的字母填在括号中. (每小题2分，共16分)1. 方阵,A B 满足，则必有)AB BA =22()(A B A B A B -=+-。

( )2. 若方阵A 有0k A =（0k >为整数）, 则必有||0A =。

( )3. ,A B 为同型矩阵，且秩(A)＝秩(B)，则0AX = 与0是同解方程组。

( )BX =4. n 阶实对称矩阵A 正定，则以下结论错误的是( ) (A) 可以找到一个正交矩阵F ，使T F AF 为对角矩阵。

(B) 的所有的特征值均为正值。

A (C) 是不可逆矩阵。

A (D) 对某个12(,,,)0T n X x x x =≠ ，必有。

0T X AX >5. n 维向量,αβ正交，则内积,β=( ) (A) 1 (B) 2 (C) 1- (D) 0 6. 下列说法不正确的是 ( )(A) 存在满足的两个非零阶矩阵和。

0PQ =(1n n >)P Q (B) 维实线性空间V 中任何个线性无关的向量都构成V 的一个基底。

(1)n n >n (C) 设V 是一个任意的维欧式空间，T 是V 中一个任意的线性变换，则V 中的零向量在T 作用下的象一定也是零向量。

n (D) 是线性空间V 中线性变换，向量组T 12,,,m ααα 线性无关，则12,,,T m T T αα α线性无关。

)7. 下列说法不正确的是 ( )(A) 相似矩阵有完全相同的特征多项式。

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故齐次方程只有零解k1 = k 2 = k 3 = 0，所以向量组α 1 − α 2，α 2 − 2α 3，α 3 − 3α 1线性无关
2. 设 C 为可逆矩阵， A = C T C ，证明 f = x T Ax 为正定二次型．证明： f = x T Ax = x T C T Cx = (Cx) T (Cx) 令 Cx = y ，因为 C 可逆，对任意 x ≠ 0 ，有 y ≠ 0 ，从而 f = (Cx) T (Cx) = y T y > 0 ，为正定二次型。
⎧ (1 + a )k1 + k2 + k3 = 0, ⎪ ⎨ k1 + (1 + a )k2 + k3 = a, ⎪k + k + (1 + a )k = a 2 , 3 ⎩ 1 2 1+ a 1 1+ a 1 1 1 1+ a = a 2 (a + 3)
（*）
其系数行列式 A = 1
1
（1）如 A ≠ 0 即 a ≠ 0 且 a ≠ −3 ，方程组（*）有惟一解，亦即 β 可由
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⎛ −2 1 1 0 ⎞ ⎛ 1 1 −2 9 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ B = ⎜ 1 −2 1 −3 ⎟ ∼ ⎜ 0 1 −1 4 ⎟ ⎜ 1 1 −2 9 ⎟ ⎜ 0 0 0 6 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
由此知 R ( A) = 2 ≠ R ( B) = 3 ，故方程组（*）无解，亦即 β 不能由 α1 , α 2 , α 3 线性表示．
（A） Ax = b 的通解是 k 1α 1 + k 2 α 2 +
（B） Ax = b 的通解是 k1 (α 1 + α 2 ) + k 2 (α 1 − α 2 ) + 2β 2 − β1 （C） Ax = O 的通解是 k1 (α 2 − α 1 ) + k 2 ( β 2 − α 1 )
（D） Ax = O 的通解是 k1α 1 + k 2 ( β 2 − β 1 ) 得分评阅人
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T 当 λ 2 = 2 时，特征向量为 ξ 2 = （1 0 0）
T 当 λ3 = 5 时，特征向量为 ξ 3 = （0 1 1）
⎛ ⎜ ⎜ ⎜ 取 P = ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎝
0 1 1 2
1 0 0
2
⎞ ⎟ 0 ⎟ 1 ⎟ ⎟ ，用正交变换 x = Py ，二次型标准型为 2⎟ 1 ⎟ ⎟ 2⎠
2.设向量组 α 1 , α 2 ,
α r 线性相关，则（
A
）.
（ A ）向量组中存在某一向量可由其余向量线性表示；
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（ B ）向量组中任一向量可由其余向量线性表示；（ C ）向量组中只有一个向量可由其余向量线性表示；（ D ）上述三种说法皆不正确； 3.对于 n 阶实对称矩阵 A，以下结论正确的是（ B ）. （ A ）一定有 n 个不同的特征值；（ B ）存在正交矩阵 P,使得 PTAP 为对角阵；（ C ）它的特征值一定为正数；（ D ）属于不同特征值的特征向量不一定正交； 4.设二次型 f ( x, y ) = x 2 − 2 xy + 2ty 2 为正定二次型，则 t 的取值范围是（ D （A ） t < ） .
1 −1 0 ⎞ ⎛1 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 − 1⎟ → ⎜ 0 1 0 ⎜ −1 0 1 ⎟ ⎠ ⎝0 0 1
0 1 − 1⎞ ⎟ −1 0 1 ⎟ 1 −1 0 ⎟ ⎠
α 1 = (1 + a,1,1) T , α 2 = (1,1 + a,1) T , α 3 = (1,1,1 + a) T , β = (0, a, a 2 )
三．计算（共 5 小题，，共 50 分）
2 2 D4 = 2 1 1 0 = −7 0 0 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 . 2 2
1.（7 分）计算行列式
解：
1 1 1 0 0 −1 D4 = 7 0 −1 0 −1 0 0
第 2 页共 5 页
⎛ 1 -1 0 ⎞ ⎜ ⎟ 2.（7 分）设 A = ⎜ 0 1 - 1⎟ ,且 AX = 2X + A, 求 X . ⎜-1 0 1 ⎟ ⎝ ⎠
⎧ x = 3 − 2 x3 − 2 x 4，方程组同解于 ⎨ 1 取 x 3 = t1 , x 4 = t 2 ， ⎩ x 2 = −2 + 3 x3 + 3 x 4， ⎧ x1 = 3 − 2t1 − 2t 2， ⎪ x = −2 + 3t + 3t ， ⎪ 2 1 则方程组的通解为 ⎨ 2 其中 t1 , t 2 为任意常数. x3 = t1， ⎪ ⎪ x 4 = t 2， ⎩
问 a 为何值时：（1） β 可由 α 1 , α 2 , α 3 线性表示，且表达式惟一?（2） β 可由
α 1 , α 2 , α 3 线性表示，但表达式不惟一?（3） β 不能由 α 1 , α 2 , α 3 线性表示?
解：设有一组数 k1 , k2 , k3 ，使 k1α1 + k2α 2 + k3 α 3 = β 将 β , α1 , α 2 , α 3 的值代入上式，可得非齐次线性方程组
1 −1 −1 1 ⎞ ⎛1 1 −1 −1 ⎟ ⎜ 1 1 1 4 ⎟ ⎜0 −1 3 3 → 3 −1 −1 6 ⎟ ⎜0 0 0 0 ⎟ ⎜ ⎜ 2 − 4 − 4 − 1⎟ ⎠ ⎝0 0 0 0
1⎞ ⎛1 ⎟ ⎜ 2⎟ ⎜0 → 0⎟ ⎜0 ⎟ ⎜ ⎜ 0⎟ ⎠ ⎝0
0 2 2 3 ⎞ ⎟ 1 − 3 − 3 − 2⎟ ， 0 0 0 0 ⎟ ⎟ 0 0 0 0 ⎟ ⎠
⎧ x1 + x 2 − x3 − x 4 = 1 ⎪ 2x + x + x + x = 4 ⎪ 1 2 3 4 4. （12）求解非齐次线性方程组 ⎨ . 4 3 + − − x x x x 1 2 3 4 = 6 ⎪ ⎪ ⎩ x1 + 2 x 2 − 4 x3 − 4 x 4 = −1
⎛1 ⎜ ⎜2 解： ⎜ 4 ⎜ ⎜1 ⎝
α1 , α 2 , α 3 线性表示，且表达式惟一．
（2）如 A = 0 即 a = 0 或 a = −3 ．当 a = 0 时，（*）为齐次线性方程组，此时 R ( A) = 1 < n = 3 ，故方程组（*）
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有无穷多解，亦即 β 可由 α1 , α 2 , α 3 线性表示，且表达式不惟一．当 a = −3 时，对方程组（*）的增广矩阵 B 作初等行变换，化为阶梯形矩阵．
(k1 − 3k 3 )α 1 + (−k1 + k 2 )α 2 + (−2k 2 + k 3 )α 3 = 0
⎧ k1 − 3k 3 = 0 ⎪ 因为α 1，α 2，α 3线性无关，故有其次方程 ⎨ − k1 + k 2 = 0 ⎪− 2 k + k = 0 2 3 ⎩ 1 0 −3 0 = −5 其系数行列式 − 1 1 0 −2 1
《线性代数》试卷（A 卷答案）
考试形式: 闭卷笔试，2 小时适用专业：全校
题号得分
一
二
三
四
总分
得分
评阅人
一．填空（共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分）
1.已知方阵 A 满足小题 A 2 = O ,则 (A + E) -1 = E - A .
⎛ 0 1 0⎞ ⎛ 1 0 1 ⎞ ⎛ 1 2 3⎞ ⎛ 4 5 2⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ 2.设 A = ⎜ 1 2 2 ⎟ ，则 ⎜ 1 0 0 ⎟A⎜ 0 1 0 ⎟ = ⎜ 4 5 6 ⎟. . ⎜0 0 1⎟ ⎜0 0 1⎟ ⎜7 8 9⎟ ⎜ 7 8 2⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎠ ⎝
3.设 n 阶方阵 A 的秩为 R(A) ≤ n - 1 ， A ∗为A的伴随矩阵则 A ∗ = 0
.
⎧ x1 + 2 x 2 − x3 = 0 ⎪ 4.齐次线性方程组 ⎨ x1 + λx 2 = 0 有非零解，则 λ为 ⎪3 x − x + 4 x = 0 2 3 ⎩ 1 个解向量. 5.已知三阶方阵 A 的三个特征值为-1,0,1，则 2A + E 的特征值为
解：
由 AX = 2X + A 得：
(A - 2E)X = A
故 (A - 2E)可逆， X = (A - 2E) -1 A
−1 −1 0 A - 2E = 0 − 1 − 1 = −2, −1 0 −1 ⎛ −1 −1 0 ⎜ ( A - 2E A) = ⎜ 0 − 1 − 1 ⎜ −1 0 −1 ⎝ ⎛ 0 1 − 1⎞ ⎜ ⎟ 从而 X = ⎜ − 1 0 1 ⎟ ⎜ 1 −1 0 ⎟ ⎝ ⎠ 3.（10 分）设有三维列向量
2 2 5. 二次型 f ( x1 , x 2 , x3 ) = 2 x12 + 3x 2 + 3 x3 + 2ax 2 x3 (a > 0) 通过正交变换可化为 2 2 标准形 f ( y1 , y 2 , y 3 ) = y12 + 2 y 2 ，求参数 a 及所用的正交变换矩阵. + 5 y3
2A + E =
得分评阅人
-1,1,3 ，
-3
.
二．选择（共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分）
C ）．
1．以下结论正确的是（
（A）若方阵 A 的行列式 A = 0 ，则 A = O （B）若 A 2 = O ，则 A = O （C）若 A 为对称矩阵，则 A 2 也是对称矩阵（D）对 n 阶矩阵 A, B ，有 ( A + B)( A − B) = A 2 − B 2