2019年广州一模理科数学(含详细答案)
年广州市一模理科答案
2019年广州市普通高中毕业班综合测试（一）数学（理科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性．共7小题，每小题5分，满分30分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．9．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ 10．1sin 11．12.38 12．12或7213．8，22n n -+ 14．1116,π⎛⎫⎪⎝⎭15．4 说明：①第13题第一个空填对给2分，第二个空填对给3分． ② 第14题的正确答案可以是：11126k k ,(ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭Z ). 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分）（本小题主要考查三角函数的图象与性质、诱导公式、余弦定理、正弦定理、两点间距离公式等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力）（1）解：∵()f x 的最大值为2，且0A >，∴2A =. ……………1分∵()f x 的最小正周期为8， ∴28T πω==，得4πω=. (2)分∴. ……………3分 （2）解法1：∵(2)2sin 2cos 244f πππ⎛⎫=+==⎪⎝⎭ (4)分(4)2sin 2sin44f πππ⎛⎫=+=-= ⎪⎝⎭ ……………5分 ∴(4,P Q .∴OP PQ OQ ===……………8分 ∴222222cos 2OP OQ PQPOQ OP OQ+-+-∠===………10分 ∴POQ sin ∠==……………11分∴△POQ的面积为1122S OP OQ POQ sin =∠=⨯⨯⨯= ……………12分解法2：∵(2)2sin 2cos 244f πππ⎛⎫=+==⎪⎝⎭……………4分(4)2sin 2sin 44f πππ⎛⎫=+=-= ⎪⎝⎭ ……………5分∴(4,P Q .∴(4,OP OQ ==u u u r u . ……………8分∴cos cos ,3OP OQ POQ OP OQ OP OQ⋅∠=<>===u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r . ……………10分∴POQ sin ∠==……………11分 ∴△POQ的面积为11223S OP OQ POQ sin =∠=⨯⨯⨯= ……………12分解法3：∵(2)2sin 2cos 244f πππ⎛⎫=+==⎪⎝⎭……………4分(4)2sin 2sin 44f πππ⎛⎫=+=-= ⎪⎝⎭ ……………5分∴(4,P Q .∴直线OP的方程为2y x =，即0x -=. ……………7分 ∴点Q 到直线OP的距离为d ==. ……………9分∵OP =……………11分∴△POQ的面积为1122S OP d =⋅=⨯⨯=……………12分17．（本小题满分12分）（本小题主要考查相互独立事件的概率、离散型随机变量的均值等基础知识，考查数据处理、推理论证、运算求解能力和应用意识，以及或然与必然的数学思想） 解：设“甲做对”为事件A ，“乙做对”为事件B ，“丙做对”为事件C ，由题意知， ()()()12P A P B m P C n ,,===. ……………1分 （1）由于事件“至少有一位学生做对该题”与事件“”是对立的，所以至少有一位学生做对该题的概率是()1310144P ξ-==-=. …………3分 （2）由题意知()()()()1101124P P ABC m n ξ===--=， ……………4分 ()()113224P P ABC mn ξ====， ……………5分整理得 ，712m n +=. 由m n >，解得13m =，14n =. ……………7分（3）由题意知()()()()1a P P ABC P ABC P ABC ξ===++()()()()11111111122224m n m n m n =--+-+-=， ………9分 =14， ……………10分 ∴ξ的数学期望为=1312.…………12分18．（本小题满分14分）（本小题主要考查空间线面位置关系、直线与平面所成的角、二面角等基础知识，考查空间想象、推理论证、抽象概括和运算求解能力，以及化归与转化的数学思想方法） 解法一：（1）证明：延长1A D 交AC 的延长线于点F ，连接BF . ∵CD ∥1AA ，且CD 12=1AA ， ∴C 为AF 的中点. ……………2分 ∵E 为AB 的中点，∴CE ∥BF . ……………3分 ∵BF ⊂平面1A BD ，CE ⊄平面1A BD ，∴CE ∥平面1A BD . ……………4分 （2）解：∵1AA ⊥平面ABC ，CE ⊂平面ABC ，∴1AA ⊥CE . ……………5分 ∵△ABC 是边长为2的等边三角形，E 是AB 的中点，∴CE AB ⊥，CE AB == ∵AB ⊂平面1A AB ，1AA ⊂平面1A AB ，1AB AA A =I ，∴CE ⊥平面1A AB . (6)分∴EHC ∠为CH 与平面1A AB 所成的角. (7)分∵CE =在Rt △CEH 中，tan CE EHC EH EH∠==， ∴当EH 最短时，tan EHC ∠的值最大，则EHC ∠最大. ……………8分∴当1EH A B ⊥时，EHC ∠最大. 此时，tan CE EHC EH EH∠===2.∴5EH =. (9)∵CE ∥BF ，CE ⊥平面1A AB ，∴BF ⊥平面1A AB . ……………10分∵AB ⊂平面1A AB ，1A B ⊂平面1A AB ，∴BF ⊥AB ，BF ⊥1A B . ……………11分 ∴1ABA ∠为平面1A BD 与平面ABC 所成二面角（锐角）. ……………12分在Rt △EHB 中，BH ==cos 1ABA ∠.…13分∴平面1A BD 与平面ABC ……………14分 解法二：（1）证明：取1A B 的中点F ，连接DF 、EF .∵E 为AB 的中点，∴EF ∥1AA ，且112EF AA =. ……………1分 ∵CD ∥1AA ，且CD 12=1AA ， ∴EF ∥CD ，EF =CD . ……………2分 ∴四边形EFDC 是平行四边形.∴CE ∥DF . ……………3分 ∵DF ⊂平面1A BD ，CE ⊄平面1A BD ，∴CE ∥平面1A BD . ……………4分（2）解：∵1AA ⊥平面ABC ，CE ⊂平面ABC ， ∴1AA ⊥CE . ……………5分∵△ABC 是边长为2的等边三角形，E 是AB 的中点，∴CE AB ⊥，CE AB == ∵AB ⊂平面1A AB ，1AA ⊂平面1A AB ，1AB AA A =I ，∴CE ⊥平面1A AB . (6)分∴EHC ∠为CH 与平面1A AB 所成的角. (7)分∵CE =在Rt △CEH 中，tan CE EHC EH EH∠==， ∴当EH 最短时，tan EHC ∠的值最大，则EHC ∠最大. ……………8分∴当1EH A B ⊥时，EHC ∠最大. 此时，tan CE EHC EH ∠===∴5EH =. (9)在Rt △EHB中，5BH ==. ∵Rt △EHB ～Rt △1A AB ，∴1EH BHAA AB =，即1552AA =. ∴14AA =. ……………10分 以A 为原点，与AC 垂直的直线为x 轴，AC 所在的直线为y 轴，1AA 所在的直线为z 轴， 建立空间直角坐标系A xyz -.则()000A ,,，1A ()004,,，B)10,，D ()02,,2.∴1AA =u u u r ()004,,，1A B =u u ur )14,-，1A D =u u u u r()02,,-2.设平面A BD 1的法向量为n =()x y z ,,，由10A B u u u r ?，10A D u u u u r ?，得40220y z y z .ìï+-=ïíï-=ïî令1y =，则1z x==,∴平面A BD 1的一个法向量为n=)11,. ……………12分∵1AA ⊥平面ABC ， ∴1AA u u u r=()004,,是平面ABC 的一个法向量.∴cos 111,⋅==u u u u ru u u u r u u u u r n AA n AA nAA ……………13分 ∴平面1A BD 与平面ABC……………14分 19．（本小题满分14分）（本小题主要考查等比数列的通项公式、数列的前n 项和等基础知识，考查合情推理、化归与转化、特殊与一般的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力） (1) 解：12323(1)2n n a a a na n S n ++++=-+Q L ，∴ 当1n =时，有 11(11)2,a S =-+ 解得 12a =. ……………1分 由12323(1)2n n a a a na n S n ++++=-+L , ①得1231123(1)2(1)n n n a a a na n a nS n ++++++++=++L , ② ……………2分 ② - ①得: 11(1)(1)2n n n n a nS n S +++=--+. ③ ……………3分 以下提供两种方法：法1：由③式得：11(1)()(1)2n n n n n S S nS n S +++-=--+，即122n n S S +=+; ……………4分∴122(2)n n S S ++=+， ……………5分∵112240S a +=+=≠，∴数列{2}n S +是以4为首项,2为公比的等比数列.∴1242n n S -+=⨯,即1142222n n n S -+=⨯-=-. ……………6分 当2n ≥时, 11(22)(22)2n n nn n n a S S +-=-=---=， ……………7分又12a =也满足上式,∴2nn a =. ……………8分法2：由③式得：()111(1)(1)22n n n n n n n a nS n S n S S S ++++=--+=-++，得12n n a S +=+. ④ ……………4分当2n ≥时,12n n a S -=+, ⑤ ……………5分 ⑤-④得：12n n a a +=. ……………6分 由12224a a S +=+，得24a =，∴212a a =. ……………7分∴数列{}n a 是以12a =为首项，2为公比的等比数列. ∴2nn a =. ……………8分（2）解：∵p q r ,,成等差数列，∴2p r q +=. ……………9分假设111p q r a a a ,,---成等比数列，则()()()2111p r q a a a --=-， ……………10分即()()()2212121prq--=-，化简得：2222prq+=⨯. （*） ……………11分 ∵p r ≠，∴2222pr q +>=⨯，这与（*）式矛盾，故假设不成立.……13分 ∴111p q r a a a ,,---不是等比数列. ……………14分20．（本小题满分14分）（本小题主要考查椭圆、抛物线、曲线的切线等基础知识，考查数形结合、函数与方程、化归与转化的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力、创新意识）(1) 解法1：设椭圆1C 的方程为22221x y a b+=()0a b >>,依题意: 222222231,4.a ba b ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩解得: 2216,12.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ……………2分∴ 椭圆1C 的方程为2211612x y +=. ……………3分解法2：设椭圆1C 的方程为22221x y a b+=()0a b >>，根据椭圆的定义得1228a AF AF =+=，即4a =， ……………1分∵2c =， ∴22212b a c =-=. ……………2分∴ 椭圆1C 的方程为2211612x y +=. (3)分(2)解法1：设点)41,(211x x B ,)41,(222x x C ，则))(41,(212212x x x x --=， )413,2(211x x BA --=，∵C B A ,,三点共线, ∴BC BA //u u u r u u u r. (4)分∴()()()222211211113244x x x x x x ⎛⎫--=-- ⎪⎝⎭, 化简得：1212212x x x x ()+-=. ① ……………5分 由24x y =,即214y x ,=得y '=12x . ……………6分∴抛物线2C 在点B 处的切线1l 的方程为)(2411121x x x x y -=-，即211412x x x y -=. ② 同理，抛物线2C 在点C 处的切线2l 的方程为 222412x x x y -=. ③ ……………8分设点),(y x P ，由②③得：=-211412x x x 222412x x x -，而21x x ≠，则 )(2121x x x +=. ……………9分代入②得 2141x x y =， ……………10分则212x x x +=，214x x y =代入 ① 得 1244=-y x ，即点P 的轨迹方程为3-=x y .……………11分若1212PF PF AF AF +=+ ，则点P 在椭圆1C 上，而点P 又在直线3-=x y 上，……………12分∵直线3-=x y 经过椭圆1C 内一点(3,0),∴直线3-=x y 与椭圆1C 交于两点. (13)分∴满足条件1212PF PF AF AF +=+ 的点P 有两个. ……………14分解法2：设点),(11y x B ,),(22y x C ，),(00y x P ，由24xy =,即214y x ,=得y '=12x . ……………4分 ∴抛物线2C 在点B 处的切线1l 的方程为)(2111x x xy y -=-，即2111212x y x x y -+=. (5)分∵21141x y =， ∴112y x x y -= .∵点),(00y x P 在切线1l 上, ∴10102y x x y -=. ① ……………6分同理， 20202y x x y -=. ② ……………7分 综合①、②得，点),(),,(2211y x C y x B 的坐标都满足方程y x xy -=002. ……………8分∵经过),(),,(2211y x C y x B 的直线是唯一的，∴直线L 的方程为y x xy -=002， ……………9分∵点)3,2(A 在直线L 上， ∴300-=x y . ...............10分 ∴点P 的轨迹方程为3-=x y . (11)分若1212PF PF AF AF +=+ ，则点P 在椭圆1C 上，又在直线3-=x y 上，……12分 ∵直线3-=x y 经过椭圆1C 内一点(3,0),∴直线3-=x y 与椭圆1C 交于两点. ……………13分∴满足条件1212PF PF AF AF +=+ 的点P 有两个. ……………14分解法3：显然直线L 的斜率存在，设直线L 的方程为()23y k x =-+，由()2234y k x x y ,,⎧=-+⎪⎨=⎪⎩消去y ，得248120x kx k -+-=. ……………4分设()()1122B x y C x y ,,,,则12124812x x k x x k ,+==-. (5)分 由24x y =,即214y x ,=得y '=12x . ……………6分∴抛物线2C 在点B 处的切线1l 的方程为)(2111x x x y y -=-，即2111212x y x x y -+=.…7分 ∵21141x y =， ∴211124x y x x =-.同理,得抛物线2C 在点C 处的切线2l 的方程为222124x y x x =-. ……………8分由211222124124x y x x x y x x ,,⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩解得121222234x x x k x x y k ,.⎧+==⎪⎪⎨⎪==-⎪⎩ ∴()223P k k ,-. ……………10分∵1212PF PF AF AF +=+,∴点P 在椭圆22111612x y C :+=上. ……………11分 ∴()()2222311612k k -+=.化简得271230k k --=.(*) ……………12分 由()2124732280Δ=-⨯⨯-=>, ……………13分可得方程(*)有两个不等的实数根. ∴满足条件的点P 有两个. ……………14分 21．（本小题满分14分）（本小题主要考查二次函数、一元二次不等式、一元二次方程、函数应用、均值不等式等基础知识，考查数形结合、函数与方程、分类与整合、化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、创新意识）（1）解：∵关于x 的不等式()()2211fx m x m <-+-的解集为()1m m ,+，即不等式()22120x a m x m m ++-++<的解集为()1m m ,+， ∴()2212x a m x m m ++-++=()()1x m x m ---.∴()2212x a m x m m ++-++=()()2211x m x m m -+++. ∴()1221a m m +-=-+.∴2a =-. ……………2分(2)解法1:由(1)得()()1f x g x x =-()221111x x m m x x x -++==-+--. ∴()()x g x ϕ=-()1k x ln -()11mx x =-+-()1k x ln --的定义域为()1,+∞.∴()1x ϕ'=-()211m kx x ---()()22211x k x k m x -++-+=-. ……………3分方程()2210x k x k m -++-+=（*）的判别式()()222414Δk k m k m =+--+=+. ……………4分①当0m >时，，方程（*）的两个实根为11x ,=<21x ,=> ……………5分则()21x x ,∈时，()0x ϕ'<；()2x x ,∈+∞时，()0x ϕ'>.∴函数()x ϕ在()21x ,上单调递减，在()2x ,+∞上单调递增.∴函数()x ϕ有极小值点2x. ……………6分②当0m <时，由0Δ>,得k <-或k >若k <-1212k x ,+-=<2212k x ,++=<故x ∈()1,+∞时，()0x ϕ'>，∴函数()x ϕ在()1,+∞上单调递增. ∴函数()x ϕ没有极值点. ……………7分若k >11x ,=>21x ,=>则()11x x ,∈时，()0x ϕ'>；()12x x x ,∈时，()0x ϕ'<；()2x x ,∈+∞时，()0x ϕ'>.∴函数()x ϕ在()11x ,上单调递增，在()12x x ,上单调递减，在()2x ,+∞上单调递增.∴函数()x ϕ有极小值点2x，有极大值点1x . ……………8分综上所述, 当0m >时，k 取任意实数, 函数()x ϕ有极小值点2x ；当0m <时，k >()x ϕ有极小值点2x ，有极大值点1x .………9分(其中122k x +-=, 222k x ++=)解法2:由(1)得()()1f x g x x =-()221111x x m m x x x -++==-+--. ∴()()x g x ϕ=-()1k x ln -()11mx x =-+-()1k x ln --的定义域为()1,+∞.∴()1x ϕ'=-()211m kx x ---()()22211x k x k m x -++-+=-. ……………3分若函数()()x g x ϕ=-()1k x ln -存在极值点等价于函数()x ϕ'有两个不等的零点，且至少有一个零点在()1,+∞上. (4)分 令()x ϕ'()()22211x k x k m x -++-+=-0=,得()221x k x k m -++-+0=, (*)则()()2224140Δk k m k m =+--+=+>,(**) (5)分方程（*）的两个实根为122k x +-=, 222k x ++=.设()h x =()221x k x k m -++-+,①若1211x x ,<>,则()10h m =-<,得0m >,此时,k 取任意实数, (**)成立. 则()21x x ,∈时，()0x ϕ'<；()2x x ,∈+∞时，()0x ϕ'>.∴函数()x ϕ在()21x ,上单调递减，在()2x ,+∞上单调递增.∴函数()x ϕ有极小值点2x. ……………6分②若1211x x ,>>,则()10212h m k ,.⎧=->⎪⎨+>⎪⎩得00m k ,.⎧<⎨>⎩又由(**)解得k >k <-故k >……………7分则()11x x ,∈时，()0x ϕ'>；()12x x x ,∈时，()0x ϕ'<；()2x x ,∈+∞时，()0x ϕ'>.∴函数()x ϕ在()11x ,上单调递增，在()12x x ,上单调递减，在()2x ,+∞上单调递增. ∴函数()x ϕ有极小值点2x ，有极大值点1x . ……………8分 综上所述, 当0m >时，k 取任何实数, 函数()x ϕ有极小值点2x ；当0m <时，k >()x ϕ有极小值点2x ，有极大值点1x .………9分(其中122k x +-=, 222k x ++=)(2)证法1：∵1m =， ∴()g x =()111x x -+-. ∴()()1111nnn n n g x g x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎡⎤+-+=+-+ ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭112212111111n n n n n n n n n n n n n x C x C x C x C x x x x x x ----⎛⎫=+⋅+⋅++⋅+-+ ⎪⎝⎭L122412n n n nn n n C x C x C x ----=+++L . ……………10分令T 122412n n n nn n n C x C x C x ----=+++L ， 则T 122412n n n n n n n n C x C x C x -----=+++L 122412n n n n n n n C x C x C x ----=+++L .∵x 0>， ∴2T ()()()122244122n n n n n n n n n n C xx C x x C x x -------=++++++L ……11分≥121n n n n C C C -⋅+⋅++⋅L …12分()1212n n n nC C C -=+++L()012102n n n nn n n n n n C C C C C C C -=+++++--L()222n=-. ……………13分∴22nT ≥-，即()()1122nnng x g x ⎡⎤+-+≥-⎣⎦. ……………14分证法2：下面用数学归纳法证明不等式11nn n x x x x ⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22n≥-. ① 当1n =时，左边110x x x x ⎛⎫⎛⎫=+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，右边1220=-=，不等式成立；……………10分② 假设当n k =k (∈N *)时，不等式成立，即22k ≥-，则 11111k k k x x x x +++⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭11111111kk k k k k k x x x x x x x x x x x x ++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥=++-++++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦111kk k x x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥=++-++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦111k k x x --⎛⎫+ ⎪⎝⎭ ……………11分()22k ≥⋅-+……………12分 122k +=-. ……………13分 也就是说，当1n k =+时，不等式也成立.由①②可得，对∀n ∈N *，()()1122nn n g x g x ⎡⎤+-+≥-⎣⎦都成立. ………14分。
2019年广东省广州市高考数学一模试卷(理科)
2019年广东省广州市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣2x＜0}，B＝{x|2x＞1}，则（）A．A∩B＝?B．A∪B＝R C．B?A D．A?B2．（5分）已知a为实数，若复数（a+i）（1﹣2i）为纯虚数，则a＝（）A．﹣2 B．C．D．23．（5分）已知双曲线的一条渐近线过圆P：（x﹣2）2+（y+4）2＝1的圆心，则C的离心率为（）A．B．C．D．34．（5分）刘徽是我因魏晋时期的数学家，在其撰写的《九章算术注》中首创“割圆术”，所谓“割圆术”，是用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积并以此求取圆周率的方法，如图所示，圆内接正十二边形的中心为圆心O，圆O的半径为2，现随机向圆O内段放a 粒豆子，其中有b粒豆子落在正十二边形内（a，b∈N*，b＜a），则圆固率的近似值为（）A．B．C．D．5．（5分）若等边三角形ABC的边长为1，点M满足，则＝（）A．B．2 C．D．36．（5分）设S n是等差数列{a n}的前n项和，若m为大于1的正整数，且a m﹣1﹣a m2+a m+1＝1，S2m﹣1＝11，则m＝（）A．11 B．10 C．6 D．57．（5分）如图，一高为H且装满水的鱼缸，其底部装有一排水小孔，当小孔打开时，水从孔中匀速流出，水流完所用时间为T．若鱼缸水深为h时，水流出所用时间为t，则函数h＝f（t）的图象大致是（）A．B．C．D．8．（5分）（2﹣x3）（x+a）5的展开式的各项系数和为32，则该展开式中x4的系数是（）A．5 B．10 C．15 D．209．（5分）已知函数f（x）＝cos（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）是奇函数，且在上单调递减，则ω的最大值是（）A．B．C．D．210．（5分）一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和俯视图中的四边形是边长为2的正方形，则该几何体的表面积为（）A．B．7πC．D．8π11．（5分）已知以F为焦点的抛物线C：y2＝4x上的两点A，B，满足，则弦AB的中点到C的准线的距离的最大值是（）A．2 B．C．D．412．（5分）已知函数，的图象上存在关于直线x＝1对称的不同两点，则实数a的取值范围是（）A．（e2﹣1，+∞）B．（e2+1，+∞）C．（﹣∞，e2﹣1）D．（﹣∞，e2+1）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）设S n是等比数列{a n}的前n项和，若S3＝6，S6＝54，则a1＝．14．（5分）若函数的图象在点（1，f（1））处的切线过点（2，4），则a＝．15．（5分）已知关于x，y的不等式组，表示的平面区域内存在点P（x0，y0），满足x0﹣2y0＝2，则m的取值范围是．16．（5分）已知直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，的所有棱长都是1，∠ABC＝60°，AC∩BD＝O，A1C1∩B1D1＝O1，点H在线段OB1上，OH＝3HB1，点M是线段BD上的动点，则三棱锥M﹣C1O1H 的体积的最小值为．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c cos B＝（3a﹣b）cos C．（1）求sin C的值；（2）若，b﹣a＝2，求△ABC的面积．18．（12分）如图，在三棱锥A﹣BCD中，△ABC是等边三角形，∠BAD＝∠BCD＝90°，点P 是AC的中点，连接BP，DP．（1）证明：平面ACD⊥平面BDP；（2）若BD＝，且二面角A﹣BD﹣C为120°，求直线AD与平面BCD所成角的正弦值．19．（12分）某场以分期付款方式销售某种品，根据以往资料統计，顾客购买该高品选择分期付款的期数ξ的分布列为ξ 2 3 4P0.4 a b其中0＜a＜1，0＜b＜1（1）求购买该商品的3位顾客中，恰有2位选择分2期付款的概率；（2）商场销售一件该商品，若顾客选择分2期付款，则商场获得的利润为200元；若顾客选择分3期付款，则商场获得的利润为250元；若顾客选择分4期付款，则商场获得的利润为300元．商场销售两件该商品所获得的利润记为X（单位：元）（1）求X的分布列；（2）若P（X≤500）≥0.8，求X的数学期望EX的最大值．20．（12分）已知椭圆的两个焦点和两个顶点在图O：x2+y2＝1上．（1）求椭圆C的方程（2）若点F是C的左焦点，过点P（m，0）（m≥1）作圆O的切线l，l交C于A，B两点．求△ABF的面积的最大值．21．（12分）已知函数f（x）＝e2x﹣ax2，a∈R．（1）若f（x）在（0，+∞）上单调递增，求a的取值范围；（2）若f（x）在（0，+∞）上存在极大值M，证明：．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线C2的极坐标方程为（a∈R）．（1）写出曲线C1的普通方程和直线C2的直角坐标方程；（2）若直线C2与曲线C1有两个不同交点，求a的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]（10分）23．已知函数f（x）＝|x+a|﹣|2x﹣1|．（1）当a＝1时，求不等式f（x）＞0的解集；（2）若a＞0，不等式f（x）＜1对x∈R都成立，求a的取值范围．2019年广东省广州市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣2x＜0}，B＝{x|2x＞1}，则（）A．A∩B＝?B．A∪B＝R C．B?A D．A?B【考点】18：集合的包含关系判断及应用．【专题】11：计算题；5J：集合．【分析】首先化简集合，再求交集，并集即可．【解答】解：集合A＝{x|x2﹣2x＜0}＝{x|0＜x＜2}，集合B＝{x|2x＞1}＝{x|x＞0}，A、A∩B＝{x|0＜x＜2}，故本选项错误；B、A∪B＝{x|x＞0}，故本选项错误；C、A?B，故本选项错误；D、A?B，故本选项正确；故选：D．【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2．（5分）已知a为实数，若复数（a+i）（1﹣2i）为纯虚数，则a＝（）A．﹣2 B．C．D．2【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义．【专题】38：对应思想；4O：定义法；5N：数系的扩充和复数．【分析】根据复数的运算法则进行化简，结合复数是纯虚数，进行求解即可．【解答】解：（a+i）（1﹣2i）＝a+2+（1﹣2a）i，∵复数是纯虚数，∴a+2＝0且1﹣2a≠0，得a＝﹣2且a≠，即a＝﹣2，故选：A．【点评】本题主要考查复数的运算以及复数的概念，根据复数是纯虚数建立条件关系是解决本题的关键．3．（5分）已知双曲线的一条渐近线过圆P：（x﹣2）2+（y+4）2＝1的圆心，则C的离心率为（）A．B．C．D．3【考点】KJ：圆与圆锥曲线的综合．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】求出圆心坐标，代入渐近线方程没去成b，然后求解双曲线的离心率．【解答】解：圆P：（x﹣2）2+（y+4）2＝1的圆心（2，﹣4），双曲线的一条渐近线为：y＝bx，双曲线的一条渐近线过圆P：（x﹣2）2+（y+4）2＝1的圆心，可得2b＝4，所以b＝2，a＝1，则c＝，则C的离心率为：．故选：C．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．4．（5分）刘徽是我因魏晋时期的数学家，在其撰写的《九章算术注》中首创“割圆术”，所谓“割圆术”，是用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积并以此求取圆周率的方法，如图所示，圆内接正十二边形的中心为圆心O，圆O的半径为2，现随机向圆O内段放a 粒豆子，其中有b粒豆子落在正十二边形内（a，b∈N*，b＜a），则圆固率的近似值为（）A．B．C．D．【考点】CF：几何概型．【专题】11：计算题；5I：概率与统计．【分析】由正十二边形的面积与圆的面积公式，结合几何概型中的面积型得：＝，所以＝，即π＝，得解【解答】解：由几何概型中的面积型可得：＝，所以＝，即π＝，故选：C．【点评】本题考查了正十二边形的面积及几何概型中的面积型，属中档题5．（5分）若等边三角形ABC的边长为1，点M满足，则＝（）A．B．2 C．D．3【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】11：计算题；31：数形结合；5A：平面向量及应用．【分析】本题可根据平行四边形法则画出图形找到M点的位置，然后根据两个向量的数量积的性质进行计算．【解答】解：由题意，可根据平行四边形法则画出如下图形：由图可知：＝，∴＝＝＝1?2?+1?2?1＝3．故选：D．【点评】本题主要考查两个向量的数量积的计算，属基础题．6．（5分）设S n是等差数列{a n}的前n项和，若m为大于1的正整数，且a m﹣1﹣a m2+a m+1＝1，S2m﹣1＝11，则m＝（）A．11 B．10 C．6 D．5【考点】8H：数列递推式．【专题】35：转化思想；54：等差数列与等比数列．【分析】直接利用等差数列的性质的应用和等差数列的前n项和公式的应用求出结果．【解答】解：S n是等差数列{a n}的前n项和，若m为大于1的正整数，且a m﹣1﹣a m2+a m+1＝1，则：，解得：a m＝1．S2m﹣1＝＝＝11，解得：m＝6故选：C．【点评】本题考查的知识要点：等差数列的通项公式的性质的应用，等差数列的前n项和公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．7．（5分）如图，一高为H且装满水的鱼缸，其底部装有一排水小孔，当小孔打开时，水从孔中匀速流出，水流完所用时间为T．若鱼缸水深为h时，水流出所用时间为t，则函数h＝f（t）的图象大致是（）A．B．C．D．【考点】3A：函数的图象与图象的变换．【专题】4O：定义法；51：函数的性质及应用．【分析】根据时间和h的对应关系分别进行排除即可．【解答】解：函数h＝f（t）是关于t的减函数，故排除C，D，则一开始，h随着时间的变化，而变化变慢，超过一半时，h随着时间的变化，而变化变快，故对应的图象为B，故选：B．【点评】本题主要考查函数与图象的应用，结合函数的变化规律是解决本题的关键．8．（5分）（2﹣x3）（x+a）5的展开式的各项系数和为32，则该展开式中x4的系数是（）A．5 B．10 C．15 D．20【考点】DA：二项式定理．【专题】35：转化思想；49：综合法；5P：二项式定理．【分析】令x＝1，可得展开式的各项系数和，再根据展开式的各项系数和为32，求得a 的值，再利用通项公式可得该展开式中x4的系数．【解答】解：∵（2﹣x3）（x+a）5的展开式的各项系数和为32，则（2﹣1）（1+a）5＝32，∴a＝1，该展开式中x4的系数是2??a﹣1??a4＝10a﹣5a4＝5，故选：A．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的x赋值，求展开式的系数和，可以简便的求出答案，属于基础题．9．（5分）已知函数f（x）＝cos（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）是奇函数，且在上单调递减，则ω的最大值是（）A．B．C．D．2【考点】H5：正弦函数的单调性．【专题】35：转化思想；56：三角函数的求值；57：三角函数的图象与性质．【分析】直接利用函数的奇偶性和单调性，建立不等式组，进一步求出最大值．【解答】解：函数f（x）＝cos（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）是奇函数，则：φ＝．所以：f（x）＝cos（ωx+），令：（k∈Z），解得：（k∈Z），由于函数在上单调递减，故：，当k＝0时，整理得：，故：，所以最大值为．故选：C．【点评】本题考查的知识要点：函数的奇偶性和单调性的应用，不等式组的解法的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．10．（5分）一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和俯视图中的四边形是边长为2的正方形，则该几何体的表面积为（）A．B．7πC．D．8π【考点】L!：由三视图求面积、体积．【专题】11：计算题；31：数形结合；49：综合法；5F：空间位置关系与距离．【分析】画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解表面积即可．【解答】解：由题意可知：几何体是一个圆柱与一个的球的组合体，球的半径为：1，圆柱的高为2，可得：该几何体的表面积为：+2×π×12+2π×2＝7π．故选：B．【点评】本题考查三视图求解几何体的表面积，可知转化思想以及计算能力．11．（5分）已知以F为焦点的抛物线C：y2＝4x上的两点A，B，满足，则弦AB的中点到C的准线的距离的最大值是（）A．2 B．C．D．4【考点】K8：抛物线的性质．【专题】35：转化思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】根据抛物线的方程求出准线方程，利用抛物线的定义即条件，求出A，B的中点横坐标，即可求出线段AB的中点到抛物线准线的距离．【解答】解：抛物线y2＝4x的焦点坐标为（1，0），准线方程为x＝﹣1设A（x1，y1），B（x2，y2），则∵|AF|＝λ|BF|，∴x1+1＝λ（x2+1），∴x1＝λx2+λ﹣1∵|y1|＝λ|y2|，∴x1＝λ2x2，当λ＝1时，弦AB的中点到C的准线的距离2．当λ≠1时，x1＝λ，x2＝，|AB|＝（x1+1）+（x2+1）＝．∵，∴（λ++2）max＝．则弦AB的中点到C的准线的距离d＝，d最大值是．∵，∴弦AB的中点到C的准线的距离的最大值是．故选：B．【点评】本题考查解决抛物线上的点到焦点的距离问题，利用抛物线的定义得到中点到准线的距离，属于中档题．．12．（5分）已知函数，的图象上存在关于直线x＝1对称的不同两点，则实数a的取值范围是（）A．（e2﹣1，+∞）B．（e2+1，+∞）C．（﹣∞，e2﹣1）D．（﹣∞，e2+1）【考点】5B：分段函数的应用．【专题】33：函数思想；49：综合法；51：函数的性质及应用．【分析】求出f（x）关于直线x＝1对称的函数g（x），则g（x）与f（x）在（﹣∞，1）上有公共解，根据两函数的单调性列出不等式即可得出a的范围．【解答】解：当x＞1时，f（x）＝＝x+，设f（x）在（1，+∞）上的图象关于x＝1的对称图象为g（x），则g（x）＝f（2﹣x）＝2﹣x+（x＜1），由题意可知f（x）与g（x）在（﹣∞，1）上有公共点．∵g′（x）＝﹣1+＜0，∴g（x）在（﹣∞，1）上单调递减，又f（x）＝ln（x+a）在（﹣∞，1）上单调递增，∴g（1）＜f（1），即2＜ln（1+a），解得a＞e2﹣1．故选：A．【点评】本题考查了函数零点与单调性的关系，属于中档题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）设S n是等比数列{a n}的前n项和，若S3＝6，S6＝54，则a1＝．【考点】89：等比数列的前n项和．【专题】11：计算题；38：对应思想；4R：转化法；54：等差数列与等比数列．【分析】先利用等比数列的求和公式分别表示出S3及S6，代入已知的等式，两者相除并利用平方差公式化简后，得到关于q的方程，求出方程的解得到q的值即可求出首项【解答】解：∵S3＝＝6，S6＝＝54，∴＝1+q3＝9，解得q3＝8，则q＝2，∴＝6，解得a1＝故答案为：【点评】此题考查了等比数列的性质，以及等比数列的前n项和公式，熟练掌握公式是解本题的关键．14．（5分）若函数的图象在点（1，f（1））处的切线过点（2，4），则a＝ 2 ．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；53：导数的综合应用．【分析】求出函数的导数，利用切线的方程经过的点求解即可．【解答】解：函数的导数为：f′（x）＝a+，f′（1）＝a+3，而f（1）＝a﹣3，切线方程为：y﹣a+3＝（a+3）（x﹣1），因为切线方程经过（2，4），所以4﹣a+3＝（a+3）（2﹣1），解得a＝2．故答案为：2．【点评】本题考查函数的导数的应用，切线方程的求法，考查计算能力．15．（5分）已知关于x，y的不等式组，表示的平面区域内存在点P（x0，y0），满足x0﹣2y0＝2，则m的取值范围是（] ．【考点】7C：简单线性规划．【专题】11：计算题；31：数形结合；35：转化思想；49：综合法；5T：不等式．【分析】作出不等式组对应的平面区域，要使平面区域内存在点点P（x0，y0）满足x0﹣2y0＝2，则平面区域内必存在一个C点在直线x﹣2y＝2的下方，A在直线是上方，由图象可得m的取值范围．【解答】解：作出x，y的不等式组对应的平面如图：交点C的坐标为（﹣m，﹣2），直线x﹣2y＝2的斜率为，斜截式方程为y＝x﹣1，要使平面区域内存在点P（x0，y0）满足x0﹣2y0＝2，则点C（﹣m，﹣2）必在直线x﹣2y＝2的下方，即﹣2≤﹣m﹣1，解得m≤2，并且A在直线的上方；A（﹣m，1﹣2m），可得1﹣2m≥﹣1，解得m，故m的取值范围是：（﹣∞，]．故答案为：（﹣∞，]．【点评】本题主要考查线性规划的基本应用，利用数形结合是解决本题的关键，综合性较强．16．（5分）已知直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，的所有棱长都是1，∠ABC＝60°，AC∩BD＝O，A1C1∩B1D1＝O1，点H在线段OB1上，OH＝3HB1，点M是线段BD上的动点，则三棱锥M﹣C1O1H 的体积的最小值为．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】31：数形结合；44：数形结合法；5F：空间位置关系与距离．【分析】当M与B重合时△O1HM的面积最小，故三棱锥M﹣C1O1H的体积最小，求出△O1BH 的面积，代入棱锥的体积公式计算即可．【解答】解：因为直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面是菱形，∠ABC＝60°，边长为1，∴O1C1⊥平面BB1D1D，且O1C1＝，O1B1＝，∴C1到平面BB1D1D的距离为O1C1＝，∵OH＝3HB1，点M是线段BD上的动点，∴当M在B处时△O1MH的面积取得最小值．连接O1B，则O1B＝OB1＝＝，∴B1到O1B的距离d＝＝＝，∵OH＝3HB1，∴H到直线O1B的距离为d＝．∴S＝＝＝，∴V＝S?O1C1＝＝．故答案为：．【点评】考查四面体的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查数形结合思想，是中档题．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c cos B＝（3a﹣b）cos C．（1）求sin C的值；（2）若，b﹣a＝2，求△ABC的面积．【考点】HP：正弦定理．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；58：解三角形．【分析】（1）已知等式利用正弦定理化简，再利用诱导公式变形，求出cos C的值，利用同角三角函数基本关系式可求sin C的值；（2）利用余弦定理及已知可求ab的值，利用三角形的面积公式即可计算得解．【解答】（本题满分为12分）解：（1）∵c cos B＝（3a﹣b）cos C，∴由正弦定理可知，sin C cos B＝3sin A cos C﹣sin B cos C，…1分即sin C cos B+cos C sin B＝3sin A cos C，∴sin（C+B）＝3sin A cos C，…2分∵A+B+C＝π，∴sin A＝3sin A cos C，…3分∵sin A≠0，∴cos C＝，…4分∵0＜C＜π，∴sin C＝＝；…6分（2）∵，cos C＝，∴由余弦定理：c2＝a2+b2﹣2ab cos C，可得：24＝a2+b2﹣ab，…8分∴（a﹣b）2+ab＝24，…9分∵b﹣a＝2，∴解得：ab＝15，…10分∴S△ABC＝ab sin C＝＝5…12分【点评】此题考查正弦、余弦定理的综合应用，涉及三角函数中的恒等变换应用，熟练掌握定理是解本题的关键，属于基础题．18．（12分）如图，在三棱锥A﹣BCD中，△ABC是等边三角形，∠BAD＝∠BCD＝90°，点P 是AC的中点，连接BP，DP．（1）证明：平面ACD⊥平面BDP；（2）若BD＝，且二面角A﹣BD﹣C为120°，求直线AD与平面BCD所成角的正弦值．【考点】LY：平面与平面垂直；MI：直线与平面所成的角．【专题】14：证明题；31：数形结合；49：综合法；5F：空间位置关系与距离；5G：空间角．【分析】（1）推导出AD＝CD，PD⊥AC，PB⊥AC，从而AC⊥平面PBD，由此能证明平面ACD ⊥平面BDP．（2）作CE⊥BD，垂足为E，连结AE，则AE⊥BD，AE＝CE，∠AEC为二面角A﹣BD﹣C的平面角，由二面角A﹣BD﹣C为120°，得∠AEC＝120°，由余弦定理得AC＝，推导出BD⊥平面AEC，则平面AEC⊥平面BCD，过点A作AO⊥CE，垂足为O，则AO⊥平面BCD，连结OD，则∠AEO是直线AD与平面BCD所成角，由此能求出直线AD与平面BCD所成角的正弦值．【解答】证明：（1）∵△ABC是等边三角形，∠BAD＝∠BCD＝90°，∴Rt△ABD≌Rt△BCD，∴AD＝CD，∵点P是AC的中点，则PD⊥AC，PB⊥AC，∵PD∩PB＝P，∴AC⊥平面PBD，∵AC?平面ACD，∴平面ACD⊥平面BDP．解：（2）作CE⊥BD，垂足为E，连结AE，∵Rt△ABD≌Rt△BCD，∴AE⊥BD，AE＝CE，∠AEC为二面角A﹣BD﹣C的平面角，由已知二面角A﹣BD﹣C为120°，∴∠AEC＝120°，在等腰△AEC中，由余弦定理得AC＝，∵△ABC是等边三角形，∴AC＝AB，∴AB＝，在Rt△ABD中，，∴BD＝，∵BD＝，∴AD＝，∵BD2＝AB2+AD2，∴AB＝2，∴AE＝，，由上述可知BD⊥平面AEC，则平面AEC⊥平面BCD，过点A作AO⊥CE，垂足为O，则AO⊥平面BCD，连结OD，则∠AEO是直线AD与平面BCD所成角，在Rt△AEO中，∠AEO＝60°，∴AO＝，AE＝1，sin，∴直线AD与平面BCD所成角的正弦值为．【点评】本题考查面面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19．（12分）某场以分期付款方式销售某种品，根据以往资料統计，顾客购买该高品选择分期付款的期数ξ的分布列为ξ 2 3 4P0.4 a b其中0＜a＜1，0＜b＜1（1）求购买该商品的3位顾客中，恰有2位选择分2期付款的概率；（2）商场销售一件该商品，若顾客选择分2期付款，则商场获得的利润为200元；若顾客选择分3期付款，则商场获得的利润为250元；若顾客选择分4期付款，则商场获得的利润为300元．商场销售两件该商品所获得的利润记为X（单位：元）（1）求X的分布列；（2）若P（X≤500）≥0.8，求X的数学期望EX的最大值．【考点】CG：离散型随机变量及其分布列；CH：离散型随机变量的期望与方差．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5I：概率与统计．【分析】（1）设购买该商品的3位顾客中，选择分2期付款的人数为η，依题意得η～B（3，0.4），由此能求出购买该商品的3位顾客中，恰有2位选择分2期付款的概率．（2）（i）依题意X的取值分别为400，450，500，550，600，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列．（2）P（X≤500）＝P（X＝400）+P（X＝450）+P（X＝500）＝0.16+0.8（a+b）+a2，根据0.4+a+b＝1，得b＝0.6﹣a，由P（X≤500）≥0.8，得a≥0.4，由b＞0，得a＜0.6，由此能求出X的数学期望E（X）的最大值．【解答】角：（1）设购买该商品的3位顾客中，选择分2期付款的人数为η，依题意得η～B（3，0.4），则P（η＝2）＝，∴购买该商品的3位顾客中，恰有2位选择分2期付款的概率为0.288．（2）（i）依题意X的取值分别为400，450，500，550，600，P（X＝400）＝0.4×0.4＝0.16，P（X＝450）＝2×0.4a＝0.8a，P（X＝500）＝2×0.4b+a2＝0.8b+a2，P（X＝550）＝2ab，P（X＝600）＝b2，∴X的分布列为：X 400 450 500 550 600P 0.16 0.8a 0.8b+a2 2ab b2（2）P（X≤500）＝P（X＝400）+P（X＝450）+P（X＝500）＝0.16+0.8（a+b）+a2，根据0.4+a+b＝1，得a+b＝0.6，∴b＝0.6﹣a，∵P（X≤500）≥0.8，∴0.16+0.48+a2≥0.8，解得a≥0.4或a≤﹣0.4，∵a＞0，∴a≥0.4，∵b＞0，∴0.6﹣a＞0，解得a＜0.6，∴a∈[0.4，0.6），E（X）＝400×0.16+450×0.8a+500（0.8b+a2）+1100ab+600b2＝520﹣100a，当a＝0.4时，E（X）的最大值为480，∴X的数学期望E（X）的最大值为480．【点评】本题考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查二项分布等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20．（12分）已知椭圆的两个焦点和两个顶点在图O：x2+y2＝1上．（1）求椭圆C的方程（2）若点F是C的左焦点，过点P（m，0）（m≥1）作圆O的切线l，l交C于A，B两点．求△ABF的面积的最大值．【考点】KL：直线与椭圆的综合．【专题】15：综合题；38：对应思想；4R：转化法；5E：圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】（1）根据根据题意可得b＝c＝1，故a2＝b2+c2＝2，即可求出椭圆方程，（2）过点P（m，0）（m≥1）作圆O的切线l的方程为x＝ty+m，可得m2＝t2+1，设A（x1，y1），B（x2，y2），由，消x可得（t2+2）y2+2tmy+m2﹣2＝0，根据韦达定理和三角形面积即可表示出S＝，构造函数，利用导数求出函数的最值即可求出面积的最大值【解答】解：（1）由椭圆可知焦点在x轴上，∵圆O：x2+y2＝1与x轴的两个交点坐标为（﹣1，0），（1，0），与y轴的两个交点的坐标分别为（0，1），（0，﹣1），根据题意可得b＝c＝1，故a2＝b2+c2＝2，故椭圆方程为+y2＝1（2）设过点P（m，0）（m≥1）作圆O的切线l的方程为x＝ty+m，则＝1，即m2＝t2+1设A（x1，y1），B（x2，y2），由，消x可得（t2+2）y2+2tmy+m2﹣2＝0，则△＝（2tm）2﹣4（t2+2）（m2﹣2）＝8＞0，∴y1+y2＝﹣，y1y2＝，∴|y1﹣y2|＝＝＝，∴△ABF的面积S＝|PF|?|y1﹣y2|＝，令f（m）＝，m≥1∴f′（m）＝，当m≥1时，f′（m）≤0，∴f（m）在[1，+∞）上单调递减，∴f（m）≤f（1）＝，故△ABF的面积的最大值为【点评】本题考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、直线与圆相切的性质、韦达定理、三角形面积计算公式、导数和函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21．（12分）已知函数f（x）＝e2x﹣ax2，a∈R．（1）若f（x）在（0，+∞）上单调递增，求a的取值范围；（2）若f（x）在（0，+∞）上存在极大值M，证明：．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6D：利用导数研究函数的极值．【专题】32：分类讨论；35：转化思想；4R：转化法；53：导数的综合应用．【分析】（1）求函数的导数，利用函数的单调性转化为f′（x）≥0恒成立进行求解．（2）求函数的导数，结合函数极大值的定义，讨论a范围，进行证明即可．【解答】解：（1）函数的导数f′（x）＝2e2x﹣2ax，若f（x）在（0，+∞）上单调递增，即f′（x）≥0恒成立，即2e2x﹣2ax≥0，得a≤在（0，+∞）上恒成立，设h（x）＝，则h′（x）＝＝，当0＜x＜时，h′（x）＜0，此时函数为减函数，由x＞时，h′（x）＞0，此时函数为增函数，即当x＝时，函数h（x）取得极小值同时也是最小值，h（）＝2e，则a≤2e，即实数a的取值范围是（﹣∞，2e]．（2）由（1）知，当a≤2e时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，则不存在极大值，当a＞2e时，ln，lna＞ln，又f′（0）＝2＞0，f′（）＝2e﹣a＜0，f′（lna）＝2e2lna﹣2alna＝2a（a﹣lna）＞0，（易证明a﹣lna＞0），故存在x1∈（0，），使得f′（x1）＝＝0，存在x2∈（，lna），使得f′（x2）＝0，则x∈（0，x1）时，f′（x）＞0，x∈（x1，x2）时，f′（x）＜0，x∈（x2，+∞）时，f′（x）＞0，故f（x）在（0，x1）上单调递增，在（x1，x2）上单调递减，在（x2，+∞）上单调递增，即当x＝x1时，f（x）取得极大值，即M＝，由0＜x1＜时，得1﹣x1＞0，x1≠1﹣x1，由2﹣2ax1＝0，得＝ax1，故M＝＝ax1﹣ax12＝ax1（1﹣x1）＜a?（）2＝，即成立．【点评】本题主要考查导数的应用，结合函数单调性，极值和导数的关系转化为导数问题是解决本题的关键．考查学生的运算和推导能力，综合性较强，难度较大．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线C2的极坐标方程为（a∈R）．（1）写出曲线C1的普通方程和直线C2的直角坐标方程；（2）若直线C2与曲线C1有两个不同交点，求a的取值范围．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．【专题】11：计算题；5S：坐标系和参数方程．【分析】（1）利用平方关系消去参数t可得C1的普通方程，利用x＝ρcosθ，y＝ρsinθ可得C2的直角坐标方程；（2）根据直线的斜率可得．【解答】解：（1）曲线C1的普通方程为y＝1﹣x2（﹣1≤x≤1），把x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入ρ（cosθ﹣a sinθ）＝，得直线C2的直角坐标方程为y﹣ax＝，即ax﹣y+＝0，（2）由直线C2：ax﹣y+＝0，知C2恒过点M（0，），由y＝1﹣x2（﹣1≤x≤1），当时，得x＝±1，所以曲线C1过点P（﹣1，0），Q（1，0），则直线MP的斜率为k1＝＝，直线MQ的斜率k2＝＝﹣，因为直线C2的斜率为a，且直线C2与曲线C1有两个不同的交点，所以k2≤a≤k1，即﹣，所以a的取值范围为[﹣，]．【点评】本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．[选修4-5：不等式选讲]（10分）23．已知函数f（x）＝|x+a|﹣|2x﹣1|．（1）当a＝1时，求不等式f（x）＞0的解集；（2）若a＞0，不等式f（x）＜1对x∈R都成立，求a的取值范围．【考点】6P：不等式恒成立的问题；R5：绝对值不等式的解法．【专题】35：转化思想；48：分析法；57：三角函数的图象与性质．【分析】（1）运用两边平方和平方差公式，可得不等式的解集；（2）由题意可得1＞f（x）max，由绝对值不等式的性质可得f（x）的最大值，解不等式可得所求范围．【解答】解：（1）函数f（x）＝|x+1|﹣|2x﹣1|，f（x）＞0即为|x+1|＞|2x﹣1|，可得（x+1+2x﹣1）（x+1﹣2x+1）＞0，即3x（x﹣2）＜0，解得0＜x＜2，则原不等式的解集为（0，2）；（2）若a＞0，不等式f（x）＜1对x∈R都成立，即有1＞f（x）max，由f（x）＝|x+a|﹣|2x﹣1|＝|x+a|﹣|x﹣|﹣|x﹣|≤|x+a﹣x+|﹣0＝|a+|，可得f（x）的最大值为|a+|＝a+，（a＞0），则a+＜1，解得0＜a＜．【点评】本题考查绝对值不等式的解法和不等式恒成立问题的运用，考查运算能力，属于基础题．。
【答案】2019广州一模理科数学
1 2 2 2 ，所以 a b ab 24 ．………………………………………………8 分 3 3
又 b a 2 ，解得 a 3, b 5 ．…………………………………………………………………………10 分
1
所以 △ABC 的面积 S
1 1 2 2 ab sin C 15 5 2 ．…………………………………………12 分 2 2 3
4 ab 24 ． …………………9 分 3
所以 △ABC 的面积 S
1 1 2 2 ab sin C 15 5 2 ．…………………………………………12 分 2 2 3
2 2 2
解法 2：由余弦定理得： c a b 2ab cos C ，……………………………………………………7 分 因为 c 2 6, cos C
2 3 6 , ED ．………………………………8 分 3 3
由上述可知 BD 平面 AEC ，则平面 AEC 平面 BCD ． 过点 A 作 AO CE ，垂足为 O ，则 AO 平面 BCD ．…………………………………………9 分 连接 OD ，则 ADO 为直线 AD 与平面 BCD 所成角．………………………………………………10 分 在 Rt△AEO 中， AEO 60 ，所以 AO
3 AE 1 ，……………………………………………11 分 2
sin ADO
AO 2 2 ．所以直线 AD 与平面 BCD 所成角的正弦值为 ．……………………12 分 AD 2 2
解法 2：作 CE BD ，垂足为 E ，连结 AE ．因为 Rt△ABD ≌ Rt△BCD ，所以 AE BD ， AE CE ， AEC 为二面角 A BD C 的平面角．………………………………………………5 分 由已知二面角 A BD C 为 120 ，故 AEC 120 ．……………………………………………6 分 在等腰 △AEC 中，由余弦定理可得 AC
2019届广东省广州市高三年级第一学期调研考试(一模)数学(理)科试题(解析版)
2019届广东省广州市高三年级第一学期调研考试（一模）数学（理）科试题一、单选题1．设集合M=则集合=（）A．B．C．D．【答案】A【解析】利用一元二次不等式的解法化简集合，再由交集的定义即可得结果.【详解】因为集合,,,故选A.【点睛】本题考查一元二次不等式的解法和集合的交集问题，属于简单题.研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合且属于集合的元素的集合.2．若复数是虚数单位）为纯虚数，则实数的值为（）A．-2 B．-1 C．1 D．2【答案】C【解析】利用复数代数形式的除法运箅化简复数,再根据实部为0且虚部不为0求解即可.【详解】为纯虚数，，即，故选C.【点睛】本题考查复数代数形式的除法运箅，考查复数的基本概念，是基础题.复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.3．已知为等差数列，其前项和为，若，，则公差等于（）．A．B．C．D．【答案】C【解析】试题分析：因为，所以，选C.【考点】等差数列性质4．若点为圆的弦的中点，则弦所在直线的方程为() A．B．C．D．【答案】D【解析】圆心C(3,0)，k PC＝，∵点P是弦MN的中点，∴PC⊥MN，∴k MN k PC＝－1，∴k MN＝2，∴弦MN所在直线方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0.【考点】圆的弦所在的直线方程.5．已知实数，则的大小关系是A．B．C．D．【答案】B【解析】根据指数函数的单调性以及对数函数的单调性分别判断出的取值范围，从而可得结果.【详解】由对数函数的性质,所以所以由指数函数的单调性可得，，，故选B.【点睛】本题主要考查对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于中档题.解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（本题三个数分别在三个区间）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.6．下列命题中，真命题的是（）A．B．C．的充要条件是D．若，且，则中至少有一个大于1【答案】D【解析】根据指数函数的值域判断；根据特殊值判断；根据逆否命题与原命题的等价性判断.【详解】根据指数函数的性质可得,故错误；时，不成立，故错误；当时，不成立，故错误；因为“，则中至少有一个大于1”的逆否命题“都小于等于1，则”正确，所以“，则中至少有一个大于1”正确，故选D.【点睛】本题主要考查指数函数的值域、特称命题与全称命题的定义，以及原命题与逆否命题的等价性，意在考查综合应用所学知识解答问题的能力，属于中档题.7．由的图象向左平移个单位，再把图象上所有点横坐标伸长到原来的2倍得到的图象，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】将的图象上各个点的横坐标变为原来的，再把所得图象向右平移个单位，即可得到的图象，根据三角函数的图象变换规律可得的解析式.【详解】将的图象上各个点的横坐标变为原来的，可得函数的图象，再把函数的图象向右平移个单位，即可得到的图象，所以，故选B.【点睛】本题考查了三角函数的图象，重点考查学生对三角函数图象变换规律的理解与掌握，属于中档题. 能否正确处理先周期变换后相位变换这种情况下图象的平移问题，反映学生对所学知识理解的深度.8．已知甲袋中有1个黄球和2个红球，乙袋中有2个黄球和2个红球，现随机地从甲袋中取出两个球放入乙袋中，然后从乙袋中随机取出1个球，则从乙袋中取出红球的概率为（ ） A ．13 B ．12 C ．59 D ．29【答案】C【解析】试题分析：甲取出的求有两种情况：（1）从甲取出1黄球1红球，概率为：132136213C C C ⋅=，（2）从甲取出2红球，概率为：142136129C C C ⋅=，故概率为125399+=．【考点】1、古典概型；2、分类加法、分步乘法计数原理．9．已知抛物线为双曲线有相同的焦点F，点A是两曲线的一个点，且AF⊥x轴，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】求出抛物线与双曲线的焦点坐标，将其代入双曲线方程求出的坐标，将代入抛物线方程求出双曲线的三参数的关系，则双曲线的离心率可求.【详解】抛物线的焦点坐标为，双曲线的焦点坐标为，，点是两曲线的一个交点，且轴，将代入双曲线方程得到，将的坐标代入抛物线方程可得,，即，解得，，解得，故选A .【点睛】本题主要考查双曲线性质与双曲线的离心率，是中档题. 离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出;②构造的齐次式，求出;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解．10．已知等比数列的前项和为，若，则数列的前项和为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】当时，不成立，当时，，两式相除得，解得：，即，，，，两式相减得到：，所以，故选D.11．如图为一个多面体的三视图，则该多面体的体积为（）A．B．7 C．D．【答案】C【解析】该几何体为如图所示的几何体，是从棱长为的正方体中截取去两个三棱锥后的剩余部分，其体积，故选C. 12．已知过点作曲线的切线有且仅有两条，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】设出切点，对函数求导得到切点处的斜率，由点斜式得到切线方程，化简为，整理得到方程有两个解即可，解出不等式即可.【详解】设切点为，，，则切线方程为：，切线过点代入得：，，即方程有两个解，则有或.故答案为:A.【点睛】这个题目考查了函数的导函数的求法，以及过某一点的切线方程的求法，其中应用到导数的几何意义，一般过某一点求切线方程的步骤为：一：设切点，求导并且表示在切点处的斜率；二：根据点斜式写切点处的切线方程；三：将所过的点代入切线方程，求出切点坐标；四：将切点代入切线方程，得到具体的表达式.13．已知实数满足，则的最小值为__________．【答案】C【解析】试题分析：不等式组表示的平面区域如下图所示，目标函数，设，令得到如上图中的虚线，向上平移易知在点处取得最小值，，所以目标函数.【考点】线性规划.二、填空题14．已知向量的夹角为45°，且，则=__________【答案】1【解析】先利用平面向量的运算法则以及平面向量的数量积公式求出平方的值，再开平方即可得结果.【详解】因为向量的夹角为，，，可得，故答案为1.【点睛】本题主要考查平面向量的运算法则以及平面向量的数量积公式，属于简单题.向量数量积的运算主要掌握两点：一是数量积的基本公式；二是向量的平方等于向量模的平方.15．已知，则__________．【答案】【解析】令，得；令，得；两式相加得．点睛：“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令即可；对形如的式子求其展开式各项系数之和，只需令即可.16．在四面体中，，则该四面体体积的最大值为________．【答案】【解析】由于平面是边长为1的正三角形，，底面面积固定，要使体积最大，只需高最大，故当平面时体积最大，.三、解答题17．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且.（1）求角C的大小；（2）若A=，△ABC的面积为，M为BC的中点，求AM.【答案】(1)(2) .【解析】（1）利用正弦定理，结合同角三角函数的关系化简已知的等式，得到三边的关系式，再利用余弦定理表示出根据的值，可求角的大小；（2）求得，为等腰三角形，由三角形面积公式可求出的值，再利用余弦定理可得出的值.【详解】(1)∵∴∴由正弦定理得：即∴∵C为三角形的内角，∴(2)由（1）知，∴∴△ABC为等腰三角形，即CA=CB又∵M为CB中点∴CM=BM设CA=CB=2x则CM=BM=x∴解得：x=2∴CA=4,CM=2由余弦定理得：AM=.【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理以及三角形的面积公式，属于中档题. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷．如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．18．某企业对设备进行升级改造，现从设备改造前后生产的大量产品中各抽取了100件产品作为样本，检测一项质量指标值，若该项指标值落在[20,40)内的产品视为合格品，否则为不合格品，图1是设备改造前样本的频率分布直方图，表1是设备改造后的频数分布表.表1，设备改造后样本的频数分布表:（1）请估计该企业在设备改造前的产品质量指标的平均数；（2）企业将不合格品全部销毁后，并对合格品进行等级细分，质量指标值落在[25，30)内的定为一等品，每件售价240元，质量指标值落在[20，25)或[30，35)内的定为二等品，每件售价180元，其它的合格品定为三等品，每件售价120元.根据表1的数据，用该组样本中一等品、二等品、三等品各自在合格品中的频率代替从所有产品中抽到一件相应等级产品的概率，现有一名顾客随机购买两件产品，设其支付的费用为X（单位：元），求X得分布列和数学期望.【答案】(1) 30.2；(2)分布列见解析， 400.【解析】（1）每个矩形的中点横坐标与该矩形的纵坐标、组距相乘后求和可得平均值；（2）的可能取值为：240，300，360, 420, 480，根据直方图求出样本中一、二、三等品的频率分别为，利用独立事件与互斥事件概率公式求出各随机变量对应的概率，从而可得分布列，进而利用期望公式可得的数学期望.【详解】(1)样本的质量指标平均值为.根据样本质量指标平均值估计总体质量指标平均值为30.2.（2）根据样本频率分布估计总体分布，样本中一、二、三等品的频率分别为，故从所有产品中随机抽一件，是一、二、三等品的概率分别为，随机变量的取值为：240，300，360, 420, 480，；，，所以随机变量的分布列为：.【点睛】本题主要考查直方图的应用，互斥事件的概率公式、独立事件同时发生的概率公式以及离散型随机变量的分布列与数学期望，属于中档题. 求解数学期望问题，首先要正确理解题意，其次要准确无误的找出随机变量的所有可能值，计算出相应的概率，写出随机变量的分布列，正确运用均值、方差的公式进行计算，也就是要过三关：（1）阅读理解关；（2）概率计算关；（3）公式应用关.19．如图，多面体ABCDEF中，四边形ABCD为矩形，二面角A-CD-F为60°，DE∥CF，CD⊥DE，AD=2，DE=DC=3，CF=6.（1）求证：BF∥平面ADE；（2）在线段CF上求一点G，使锐二面角B-EG-D的余弦值为.【答案】（1）详见解析；（2）点满足.【解析】（1）先证明平面，平面，可得平面平面，从而可得结果；（2）作于点，则平面，以平行于的直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，设，利用向量垂直数量积为零列方程组求得平面的法向量，结合面的一个法向量为，利用空间向量夹角余弦公式列方程解得，从而可得结果.【详解】（1）因为ABCD是矩形，所以BC∥AD，又因为BC不包含于平面ADE，所以BC∥平面ADE，因为DE∥CF，CF不包含于平面ADE，所以CF∥平面ADE，又因为BC∩CF＝C，所以平面BCF∥平面ADF，而BF⊂平面BCF，所以BF∥平面ADE．（2）∵CD⊥AD，CD⊥DE∴∠ADE为二面角A-CD-F的平面角∴∠ADE=60°∵CD⊥面ADE平面平面，作于点，则平面，由，得，以为原点，平行于的直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，设，则，设平面的法向量为，则由，得，取，得平面的一个法向量为，又面的一个法向量为，，，解得或（舍去），此时，得，即所求线段上的点满足.【点睛】本题主要考查线面平行的判定定理、空间向量的应用，属于难题.证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面.20．已知椭圆C：的离心率为，点P在C上.（1）求椭圆C的方程；（2）设分别为椭圆C的左右焦点，过的直线与椭圆C交于不同的两点A、B，求△的内切圆的半径的最大值.【答案】（1）；(2) 最大值为.【解析】(1) 根据离心率为，点在椭圆上，结合性质，列出关于、、的方程组，求出、，即可得结果；（2）可设直线的方程为，与椭圆方程联立，可得，结合韦达定理、弦长公式，利用三角形面积公式可得，换元后利用导数可得，的最大值为，再结可得结果.【详解】（1）依题意有，解得，故椭圆的方程为.（2）设，设的内切圆半径为，的周长为，，根据题意知，直线的斜率不为零，可设直线的方程为，由，得，，由韦达定理得，，令，则，，令，则当时，单调递增，，即当时，的最大值为，此时，故当直线的方程为时，内切圆半径的最大值为.【点睛】本题主要考查待定系数求椭圆方程以及直线与椭圆的位置关系，属于难题. 用待定系数法求椭圆方程的一般步骤；①作判断：根据条件判断椭圆的焦点在轴上，还是在轴上，还是两个坐标轴都有可能；②设方程：根据上述判断设方程或；③找关系：根据已知条件，建立关于、、的方程组；④得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求.21．已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若的有两个零点，求实数的取值范围.【答案】(1) 当a≤0，在（0，2）上单调递增，在（2，+∞）递减；当，在（0，2）和上单调递增，在（2，）递减；当a=，在（0，+∞）递增；当a＞，在（0，）和（2，+∞）上单调递增，在（，2）递减；(2) . 【解析】（1）求出，分四种情况讨论的范围，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间；（2）由（1）知当时，单调递增区间为，单调递减区间为，又，取，可证明，有两个零点等价于，得，可证明，当时与当且时，至多一个零点，综合讨论结果可得结论.【详解】（1）的定义域为，，（i）当时，恒成立，时，在上单调递增；时，在上单调递减.（ii）当时，由得，（舍去），①当，即时，恒成立，在上单调递增；②当，即时，或，恒成立，在上单调递增；时，恒成立，在上单调递减.③当，即时，或时，恒成立，在单调递增，时，恒成立，在上单调递减.综上，当时，单调递增区间为，单调递减区间为；当时，单调递增区间为，无单调递减区间为；当时，单调递增区间为，单调递减区间为.（2）由（1）知当时，单调递增区间为，单调递减区间为，又，取，令，则在成立，故单调递增，，，有两个零点等价于，得，，当时，，只有一个零点，不符合题意；当时，在单调递增，至多只有一个零点，不符合题意；当且时，有两个极值，，记，，令，则，当时，在单调递增；当时，在单调递减，故在单调递增，时，，故，又，由（1）知，至多只有一个零点，不符合题意，综上，实数的取值范围为.【点睛】本题是以导数的运用为背景的函数综合题，主要考查了函数思想，化归思想，抽象概括能力，综合分析问题和解决问题的能力，属于较难题，近来高考在逐年加大对导数问题的考查力度，不仅题型在变化，而且问题的难度、深度与广度也在不断加大，本部分的要求一定有三个层次：第一层次主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值、零点等；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式甚至数列及函数单调性有机结合，设计综合题.22．已知曲线C的极坐标方程为，直线，直线，设极点O为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系.（1）求直线的直角坐标系方程以及曲线C的参数方程；（2）若直线与曲线C交于O、A两点，直线与曲线C交于O、B两点，求△AOB的面积.【答案】（1）；；为参数；（2）.【解析】（1）利用极角的定义、直线的倾斜角的定义以及两直线过原点，可得到直线与直线的直角坐标方程；曲线的极坐标方程两边同乘以利用即可得其直角坐标方程，然后化为参数方程即可；（2）联立，得，同理，利用三角形面积公式可得结果.【详解】（1）依题意，直线直角的坐标方程为，直线直角的坐标方程为，由得，，，曲线的参数方程为为参数）.（2）联立，得，同理，又，，即的面积为.【点睛】本题主要考查极坐标方程化为直角坐标方程与参数方程，属于中档题. 利用关系式，可以把极坐标方程与直角坐标方程互化，通过选取相应的参数可以把普通方程化为参数方程.23．选修4-5：不等式选讲已知函数.（1）当时，解不等式；（2）设不等式的解集为，若，求实数的取值范围．【答案】（1）．（2）．【解析】试题分析：（1）利用零点分段讨论求解．（2）利用化简得到在区间上是恒成立的，也就是是不等式的子集，据此得到关于的不等式组，求出它的解即可．解析：（1）当时，原不等式可化为．①当时，原不等式可化为，解得，所以；②当时，原不等式可化为，解得，所以；③当时，原不等式可化为，解得，所以．综上所述，当时，不等式的解集为．（2）不等式可化为，依题意不等式在恒成立，所以，即，即，所以．解得，故所求实数的取值范围是．。
(完整版)2019年广州市一模理科答案
2019年广州市普通高中毕业班综合测试（一）数学（理科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性．共7小题，每小题5分，满分30分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．9．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ 10．1sin 11．12.38 12．12或7213．8，22n n -+ 14．1116,π⎛⎫⎪⎝⎭15．4 说明：① 第13题第一个空填对给2分，第二个空填对给3分． ② 第14题的正确答案可以是：11126k k ,(ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭Z ). 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分）（本小题主要考查三角函数的图象与性质、诱导公式、余弦定理、正弦定理、两点间距离公式等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力）（1）解：∵()f x 的最大值为2，且0A>， ∴2A =. ……………1分∵()f x 的最小正周期为8， ∴28T πω==，得4πω=. ……………2分∴()2sin()44f x x ππ=+. ……………3分（2）解法1：∵(2)2sin 2cos 244f πππ⎛⎫=+== ⎪⎝⎭……………4分(4)2sin 2sin 44f πππ⎛⎫=+=-= ⎪⎝⎭……………5分∴(4,P Q .∴OP PQ OQ ===……………8分∴222222cos 23OP OQ PQPOQ OP OQ+-+-∠===. ………10分 ∴POQ sin ∠==3……………11分∴△POQ的面积为1122S OP OQ POQ sin =∠=⨯⨯⨯=……………12分解法2：∵(2)2sin 2cos 244f πππ⎛⎫=+==⎪⎝⎭……………4分(4)2sin 2sin 44f πππ⎛⎫=+=-= ⎪⎝⎭ ……………5分∴(4,P Q .∴(4,OP OQ ==u u u r u . ……………8分∴cos cos ,3OP OQ POQ OP OQ OP OQ⋅∠=<>===u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r . ……………10分∴POQ sin ∠==……………11分 ∴△POQ的面积为11223S OP OQ POQ sin =∠=⨯⨯⨯=……………12分解法3：∵(2)2sin 2cos 244f πππ⎛⎫=+==⎪⎝⎭……………4分(4)2sin 2sin 44f πππ⎛⎫=+=-= ⎪⎝⎭ ……………5分∴(4,P Q .∴直线OP的方程为2y x =，即0x -=. ……………7分 ∴点Q 到直线OP的距离为d ==. ……………9分∵OP =……………11分∴△POQ的面积为1122S OP d =⋅=⨯⨯=……………12分17．（本小题满分12分）（本小题主要考查相互独立事件的概率、离散型随机变量的均值等基础知识，考查数据处理、推理论证、运算求解能力和应用意识，以及或然与必然的数学思想） 解：设“甲做对”为事件A ，“乙做对”为事件B ，“丙做对”为事件C ，由题意知，()()()12P A P B m P C n ,,===. ……………1分（1）由于事件“至少有一位学生做对该题”与事件“0ξ=”是对立的，所以至少有一位学生做对该题的概率是()1310144P ξ-==-=. …………3分 （2）由题意知()()()()1101124P P ABC m n ξ===--=， ……………4分 ()()113224P P ABC mn ξ====， ……………5分HF A BCA 1C 1B 1DE整理得 112mn =，712m n +=. 由m n >，解得13m =，14n =. ……………7分（3）由题意知()()()()1a P P ABC P ABC P ABC ξ===++()()()()11111111122224m n m n m n =--+-+-=， ………9分 (2)1(0)(1)(3)b P P P P ξξξξ===-=-=-==14， ……………10分∴ξ的数学期望为0(0)1(1)2(2)3(3)E P P P P ξξξξξ=⨯=+⨯=+=+==1312.…………12分18．（本小题满分14分）（本小题主要考查空间线面位置关系、直线与平面所成的角、二面角等基础知识，考查空间想象、推理论证、抽象概括和运算求解能力，以及化归与转化的数学思想方法） 解法一：（1）证明：延长1A D 交AC 的延长线于点F ，连接BF . ∵CD ∥1AA ，且CD 12=1AA ， ∴C 为AF 的中点. ……………2分 ∵E 为AB 的中点，∴CE ∥BF . ……………3分 ∵BF ⊂平面1A BD ，CE ⊄平面1A BD ， ∴CE ∥平面1A BD . ……………4分 （2）解：∵1AA ⊥平面ABC ，CE ⊂平面ABC ， ∴1AA ⊥CE . ……………5分∵△ABC 是边长为2的等边三角形，E 是AB 的中点，∴CE AB ⊥，2CE AB == ∵AB ⊂平面1A AB ，1AA ⊂平面1A AB ，1AB AA A =I ，∴CE ⊥平面1A AB . (6)分∴EHC ∠为CH 与平面1A AB 所成的角. (7)分∵CE =在Rt △CEH 中，tan CE EHC EH EH∠==， ∴当EH 最短时，tan EHC ∠的值最大，则EHC ∠最大. ……………8分∴当1EH A B ⊥时，EHC ∠最大. 此时，tan CE EHC EH EH∠===∴5EH =. (9)A ∵CE ∥BF ，CE ⊥平面1A AB ，∴BF ⊥平面1A AB . ……………10分∵AB ⊂平面1A AB ，1A B ⊂平面1A AB ，∴BF ⊥AB ，BF ⊥1A B . ……………11分 ∴1ABA ∠为平面1A BD 与平面ABC 所成二面角（锐角）. ……………12分 在Rt △EHB中，BH ==cos 1ABA∠BH EB ==…13分 ∴平面1A BD 与平面ABC……………14分 解法二：（1）证明：取1A B 的中点F ，连接DF 、EF .∵E 为AB 的中点，∴EF ∥1AA ，且112EF AA =. ……………1分 ∵CD ∥1AA ，且CD 12=1AA ， ∴EF ∥CD ，EF =CD . ……………2分 ∴四边形EFDC 是平行四边形.∴CE ∥DF . ……………3分 ∵DF ⊂平面1A BD ，CE ⊄平面1A BD ，∴CE ∥平面1A BD 分（2）解：∵1AA ⊥平面ABC ，CE ⊂平面ABC ，∴1AA ⊥CE . ……………5分 ∵△ABC 是边长为2的等边三角形，E 是AB 的中点，∴CE AB ⊥，CE AB == ∵AB ⊂平面1A AB ，1AA ⊂平面1A AB ，1AB AA A =I ，∴CE ⊥平面1A AB . (6)分∴EHC ∠为CH 与平面1A AB 所成的角. (7)分∵CE =在Rt △CEH 中，tan CE EHC EH EH∠==， ∴当EH 最短时，tan EHC ∠的值最大，则EHC ∠最大. ……………8分∴当1EH A B ⊥时，EHC ∠最大. 此时，tan CE EHC EH ∠===∴5EH =. (9)在Rt △EHB中，5BH ==. ∵Rt △EHB ～Rt △1A AB ，∴1EH BHAA AB =，即1552AA =. ∴14AA =. ……………10分 以A 为原点，与AC 垂直的直线为x 轴，AC 所在的直线为y 轴，1AA 所在的直线为z 轴， 建立空间直角坐标系A xyz -.则()000A ,,，1A ()004,,，B)10,，D ()02,,2.∴1AA =u u u r ()004,,，1A B =u u ur )14,-，1A D =u u u u r()02,,-2.设平面A BD 1的法向量为n =()x y z ,,，由n 10A B u u u r ?，n 10A D u u u u r ?，得40220y z y z .ìï+-=ïíï-=ïî 令1y =，则1z x ==,∴平面A BD 1的一个法向量为n=)11,. ……………12分∵1AA ⊥平面ABC ， ∴1AA u u u r=()004,,是平面ABC 的一个法向量.∴cos 111,⋅==u u u u ru u u u r u u u u r n AA n AA nAA ……………13分 ∴平面1A BD 与平面ABC……………14分 19．（本小题满分14分）（本小题主要考查等比数列的通项公式、数列的前n 项和等基础知识，考查合情推理、化归与转化、特殊与一般的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力） (1) 解：12323(1)2n n a a a na n S n ++++=-+Q L ，∴ 当1n =时，有 11(11)2,a S =-+ 解得 12a =. ……………1分 由12323(1)2n n a a a na n S n ++++=-+L , ①得1231123(1)2(1)n n n a a a na n a nS n ++++++++=++L , ② ……………2分 ② - ①得: 11(1)(1)2n n n n a nS n S +++=--+. ③ ……………3分 以下提供两种方法：法1：由③式得：11(1)()(1)2n n n n n S S nS n S +++-=--+，即122n n S S +=+; ……………4分∴122(2)n n S S ++=+， ……………5分∵112240S a +=+=≠，∴数列{2}n S +是以4为首项,2为公比的等比数列.∴1242n n S -+=⨯,即1142222n n n S -+=⨯-=-. ……………6分 当2n ≥时, 11(22)(22)2n n nn n n a S S +-=-=---=， ……………7分又12a =也满足上式,∴2nn a =. ……………8分法2：由③式得：()111(1)(1)22n n n n n n n a nS n S n S S S ++++=--+=-++，得12n n a S +=+. ④ ……………4分当2n ≥时,12n n a S -=+, ⑤ ……………5分 ⑤-④得：12n n a a +=. ……………6分 由12224a a S +=+，得24a =，∴212a a =. ……………7分∴数列{}n a 是以12a =为首项，2为公比的等比数列. ∴2nn a =. ……………8分（2）解：∵p q r ,,成等差数列，∴2p r q +=. ……………9分假设111p q r a a a ,,---成等比数列，则()()()2111p r q a a a --=-， ……………10分即()()()2212121prq--=-，化简得：2222prq+=⨯. （*） ……………11分 ∵p r ≠，∴2222pr q +>=⨯，这与（*）式矛盾，故假设不成立.……13分 ∴111p q r a a a ,,---不是等比数列. ……………14分20．（本小题满分14分）（本小题主要考查椭圆、抛物线、曲线的切线等基础知识，考查数形结合、函数与方程、化归与转化的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力、创新意识）(1) 解法1：设椭圆1C 的方程为22221x y a b+=()0a b >>,依题意: 222222231,4.a ba b ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩解得: 2216,12.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ……………2分∴ 椭圆1C 的方程为2211612x y +=. ……………3分解法2：设椭圆1C 的方程为22221x y a b+=()0a b >>，根据椭圆的定义得1228a AF AF =+=，即4a =， ……………1分∵2c =， ∴22212b a c =-=. ……………2分∴ 椭圆1C 的方程为2211612x y +=. (3)分(2)解法1：设点)41,(211x x B ,)41,(222x x C ，则))(41,(212212x x x x --=， )413,2(211x x BA --=，∵C B A ,,三点共线, ∴BC BA //u u u r u u u r. (4)分∴()()()222211211113244x x x x x x ⎛⎫--=-- ⎪⎝⎭, 化简得：1212212x x x x ()+-=. ① ……………5分 由24x y =,即214y x ,=得y '=12x . ……………6分∴抛物线2C 在点B 处的切线1l 的方程为)(2411121x x x x y -=-，即211412x x x y -=. ② 同理，抛物线2C 在点C 处的切线2l 的方程为 222412x x x y -=. ③ ……………8分设点),(y x P ，由②③得：=-211412x x x 222412x x x -，而21x x ≠，则 )(2121x x x +=. ……………9分代入②得 2141x x y =， ……………10分则212x x x +=，214x x y =代入 ① 得 1244=-y x ，即点P 的轨迹方程为3-=x y .……………11分若1212PF PF AF AF +=+ ，则点P 在椭圆1C 上，而点P 又在直线3-=x y 上，……………12分∵直线3-=x y 经过椭圆1C 内一点(3,0),∴直线3-=x y 与椭圆1C 交于两点. (13)分∴满足条件1212PF PF AF AF +=+ 的点P 有两个. ……………14分解法2：设点),(11y x B ,),(22y x C ，),(00y x P ，由24xy =,即214y x ,=得y '=12x . ……………4分 ∴抛物线2C 在点B 处的切线1l 的方程为)(2111x x xy y -=-，即2111212x y x x y -+=. (5)分∵21141x y =， ∴112y x x y -= .∵点),(00y x P 在切线1l 上, ∴10102y x x y -=. ① ……………6分同理， 20202y x x y -=. ② ……………7分 综合①、②得，点),(),,(2211y x C y x B 的坐标都满足方程y x xy -=002. ……………8分∵经过),(),,(2211y x C y x B 的直线是唯一的，∴直线L 的方程为y x xy -=002， ……………9分∵点)3,2(A 在直线L 上， ∴300-=x y . ...............10分 ∴点P 的轨迹方程为3-=x y . (11)分若1212PF PF AF AF +=+ ，则点P 在椭圆1C 上，又在直线3-=x y 上，……12分 ∵直线3-=x y 经过椭圆1C 内一点(3,0),∴直线3-=x y 与椭圆1C 交于两点. ……………13分∴满足条件1212PF PF AF AF +=+ 的点P 有两个. ……………14分解法3：显然直线L 的斜率存在，设直线L 的方程为()23y k x =-+，由()2234y k x x y ,,⎧=-+⎪⎨=⎪⎩消去y ，得248120x kx k -+-=. ……………4分设()()1122B x y C x y ,,,,则12124812x x k x x k ,+==-. (5)分 由24x y =,即214y x ,=得y '=12x . ……………6分∴抛物线2C 在点B 处的切线1l 的方程为)(2111x x x y y -=-，即2111212x y x x y -+=.…7分 ∵21141x y =， ∴211124x y x x =-.同理,得抛物线2C 在点C 处的切线2l 的方程为222124x y x x =-. ……………8分由211222124124x y x x x y x x ,,⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩解得121222234x x x k x x y k ,.⎧+==⎪⎪⎨⎪==-⎪⎩∴()223P k k ,-. ……………10分∵1212PF PF AF AF +=+,∴点P 在椭圆22111612x y C :+=上. ……………11分 ∴()()2222311612k k -+=.化简得271230k k --=.(*) ……………12分 由()2124732280Δ=-⨯⨯-=>, ……………13分可得方程(*)有两个不等的实数根. ∴满足条件的点P 有两个. ……………14分 21．（本小题满分14分）（本小题主要考查二次函数、一元二次不等式、一元二次方程、函数应用、均值不等式等基础知识，考查数形结合、函数与方程、分类与整合、化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、创新意识）（1）解：∵关于x 的不等式()()2211fx m x m <-+-的解集为()1m m ,+，即不等式()22120x a m x m m ++-++<的解集为()1m m ,+， ∴()2212x a m x m m ++-++=()()1x m x m ---.∴()2212x a m x m m ++-++=()()2211x m x m m -+++. ∴()1221a m m +-=-+.∴2a =-. ……………2分(2)解法1:由(1)得()()1f x g x x =-()221111x x m m x x x -++==-+--. ∴()()x g x ϕ=-()1k x ln -()11mx x =-+-()1k x ln --的定义域为()1,+∞.∴()1x ϕ'=-()211m kx x ---()()22211x k x k m x -++-+=-. ……………3分方程()2210x k x k m -++-+=（*）的判别式()()222414Δk k m k m =+--+=+. ……………4分①当0m >时，0Δ>，方程（*）的两个实根为11x ,=<21x ,=> ……………5分则()21x x ,∈时，()0x ϕ'<；()2x x ,∈+∞时，()0x ϕ'>.∴函数()x ϕ在()21x ,上单调递减，在()2x ,+∞上单调递增.∴函数()x ϕ有极小值点2x. ……………6分②当0m <时，由0Δ>,得k <-或k >若k <-1212k x ,+-=<2212k x ,++=<故x ∈()1,+∞时，()0x ϕ'>，∴函数()x ϕ在()1,+∞上单调递增. ∴函数()x ϕ没有极值点. ……………7分若k >11x ,=>21x ,=>则()11x x ,∈时，()0x ϕ'>；()12x x x ,∈时，()0x ϕ'<；()2x x ,∈+∞时，()0x ϕ'>.∴函数()x ϕ在()11x ,上单调递增，在()12x x ,上单调递减，在()2x ,+∞上单调递增.∴函数()x ϕ有极小值点2x，有极大值点1x . ……………8分综上所述, 当0m >时，k 取任意实数, 函数()x ϕ有极小值点2x ；当0m <时，k >()x ϕ有极小值点2x ，有极大值点1x .………9分(其中122k x +-=, 222k x ++=)解法2:由(1)得()()1f x g x x =-()221111x x m m x x x -++==-+--. ∴()()x g x ϕ=-()1k x ln -()11mx x =-+-()1k x ln --的定义域为()1,+∞.∴()1x ϕ'=-()211m kx x ---()()22211x k x k m x -++-+=-. ……………3分若函数()()x g x ϕ=-()1k x ln -存在极值点等价于函数()x ϕ'有两个不等的零点，且至少有一个零点在()1,+∞上. (4)分 令()x ϕ'()()22211x k x k m x -++-+=-0=,得()221x k x k m -++-+0=, (*)则()()2224140Δk k m k m =+--+=+>,(**) (5)分方程（*）的两个实根为122k x +-=, 222k x ++=.设()h x =()221x k x k m -++-+,①若1211x x ,<>,则()10h m =-<,得0m >,此时,k 取任意实数, (**)成立. 则()21x x ,∈时，()0x ϕ'<；()2x x ,∈+∞时，()0x ϕ'>.∴函数()x ϕ在()21x ,上单调递减，在()2x ,+∞上单调递增.∴函数()x ϕ有极小值点2x. ……………6分②若1211x x ,>>,则()10212h m k ,.⎧=->⎪⎨+>⎪⎩得00m k ,.⎧<⎨>⎩又由(**)解得k >k <-故k >……………7分则()11x x ,∈时，()0x ϕ'>；()12x x x ,∈时，()0x ϕ'<；()2x x ,∈+∞时，()0x ϕ'>.∴函数()x ϕ在()11x ,上单调递增，在()12x x ,上单调递减，在()2x ,+∞上单调递增. ∴函数()x ϕ有极小值点2x ，有极大值点1x . ……………8分 综上所述, 当0m >时，k 取任何实数, 函数()x ϕ有极小值点2x ；当0m <时，k >()x ϕ有极小值点2x ，有极大值点1x .………9分(其中122k x +-=, 222k x ++=)(2)证法1：∵1m =， ∴()g x =()111x x -+-. ∴()()1111nnn n n g x g x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎡⎤+-+=+-+ ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭112212111111n n n n n n n n n n n n n x C x C x C x C x x x x x x ----⎛⎫=+⋅+⋅++⋅+-+ ⎪⎝⎭L122412n n n nn n n C x C x C x ----=+++L . ……………10分令T 122412n n n nn n n C x C x C x ----=+++L ， 则T 122412n n n n n n n n C x C x C x -----=+++L 122412n n n n n n n C x C x C x ----=+++L .∵x 0>， ∴2T ()()()122244122n n n n n n n n n n C xx C x x C x x -------=++++++L ……11分≥121n n n n C C C -⋅+⋅++⋅L …12分()1212n n n nC C C -=+++L()012102n n n nn n n n n n C C C C C C C -=+++++--L()222n=-. ……………13分∴22nT ≥-，即()()1122nnng x g x ⎡⎤+-+≥-⎣⎦. ……………14分证法2：下面用数学归纳法证明不等式11nn n x x x x ⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22n≥-. ① 当1n =时，左边110x x x x ⎛⎫⎛⎫=+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，右边1220=-=，不等式成立；……………10分② 假设当n k =k (∈N *)时，不等式成立，即11kk k x x x x ⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22k≥-，则 11111k k k x x x x +++⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭11111111kk k k k k k x x x x x x x x x x x x ++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥=++-++++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦111kk k x x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥=++-++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦111k k x x --⎛⎫+ ⎪⎝⎭ ……………11分()22k ≥⋅-+……………12分 122k +=-. ……………13分 也就是说，当1n k =+时，不等式也成立.由①②可得，对∀n ∈N *，()()1122nn n g x g x ⎡⎤+-+≥-⎣⎦都成立. ………14分。
2019届广州一模理科数学答案
所以
1 = ， 4t 2 4t 13 4
13 1 或t （舍去）， 2 22
……………………………………………11 分
3t
解得 t
此时
CG 1 ，得 CG 1 CF 3 . 4 2 CF 4
3 ．…………………………………………12 分 2
即所求线段 CF 上的点 G 满足 CG
设 G 3 ，t ， 0 ， 1 t 5 ， 则 BE 3 ， 2， 3
t 3 ， BG 0 ，，
设平面 BEG 的法向量为 m x ，y，z ，
x 2 t, 3 x 2 y 3 z 0, m BE 0, 则由 得 ，取 y 3, m BG 0, ty 3z 0, z 3t ,
……………………………………………………………………………1 分
样本的质量指标平均值为
3020 30.2 ． ……………………………………………2 分 100
根据样本质量指标平均值估计总体质量指标平均值为 30.2 ． ………………………3 分 （2）根据样本频率分布估计总体分布，样本中一、二、三等品的频率分别为
(6m)2 36 3m2 4 0 ， m R ，
由韦达定理得 y1 y2
6m 9 ，……………………………………8 分 , y1 y2 2 3m 4 3m2 4
SF1 AB
令t
1 F1 F2 y1 y2 y1 y2 2
解得 x
…………………11 分
1 3 ，即所求线段 CF 上的点 G 满足 CG ． 2 2
2019广州一模理科数学(解析版)
解析：圆心 P(2, 4) ，渐近线 y bx 过点 P(2, 4) ，所以 b 2 ，又 a 1，所以 c a2 b2 5 ，
c C 的离心率为 e 5 ．
a
4．刘徽是我国魏晋时期的数学家，在其撰写的《九章算术注》中
首创“割圆术”．所围“割圆术”，是用圆内接正多边形的面积去无限
逼近圆面积并以此求取圆周率的方法．如图所示，圆内接正十二边形的
中心为圆心 O ，圆 O 的半径为 2，现随机向圆 O 内投放 a 粒豆子， 其中有 b 粒豆子落在正十二边形内 (a, b N, b a) ，
2 O
则圆周率的近似值为（ ）
b
A．
a
a
B．
b
3a
C．
b
3b
D．
a
4．答案：C
解析：正十二边形的面积为12 1 2 2 sin 30 12 ，圆的面积为 22 4 ，则根据题意可得： 2
x
x
h(x) 0 在 (1, ) 上有解，则 h(1) 2 ln(1 a) 0 ，解得 a e2 1 ．
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．把答案填在题中的横线上．
13．设 Sn 是等比数列{an}的前 n 项和，若 S3 3, S6 27 ，则 a1
．
3
13．答案：
则 sin C cos B sin B cos C 3sin A cos C ，所以 sin(B C) 3sin A cos C ，………………2 分
由于 A B C ，得 sin(B C) sin( A) sin A ，则 sin A 3sin Acos C ．…………3 分
1
2
1
2
3
2019年广东省广州市高考数学一模试卷(理科)-解析版
2019年广东省广州市高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|x2-2x＜0}，B={x|2x＞1}，则（）A. B. C. D.2.已知a为实数，若复数（a+i）（1-2i）为纯虚数，则a=（）A. B. C. D. 23.已知双曲线：的一条渐近线过圆P：（x-2）2+（y+4）2=1的圆心，则C的离心率为（）A. B. C. D. 34.刘徽是我因魏晋时期的数学家，在其撰写的《九章算术注》中首创“割圆术”，所谓“割圆术”，是用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积并以此求取圆周率的方法，如图所示，圆内接正十二边形的中心为圆心O，圆O的半径为2，现随机向圆O内段放a粒豆子，其中有b粒豆子落在正十二边形内（a，b∈N*，b＜a），则圆固率的近似值为（）A. B. C. D.5.若等边三角形ABC的边长为1，点M满足，则=（）A. B. 2 C. D. 36.设S n是等差数列{a n}的前n项和，若m为大于1的正整数，且a m-1-a m2+a m+1=1，S2m-1=11，则m=（）A. 11B. 10C. 6D. 57.如图，一高为H且装满水的鱼缸，其底部装有一排水小孔，当小孔打开时，水从孔中匀速流出，水流完所用时间为T．若鱼缸水深为h时，水流出所用时间为t，则函数h=f（t）的图象大致是（）A.B.C.D.8.（2-x3）（x+a）5的展开式的各项系数和为32，则该展开式中x4的系数是（）A. 5B. 10C. 15D. 209.已知函数f（x）=cos（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）是奇函数，且在，上单调递减，则ω的最大值是（）A. B. C. D. 210.一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和俯视图中的四边形是边长为2的正方形，则该几何体的表面积为（）A.B.C.D.11.已知以F为焦点的抛物线C：y2=4x上的两点A，B，满足，则弦AB的中点到C的准线的距离的最大值是（）A. 2B.C.D. 412.已知函数，＞，，的图象上存在关于直线x=1对称的不同两点，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.设S n是等比数列{a n}的前n项和，若S3=6，S6=54，则a1=______．14.若函数的图象在点（1，f（1））处的切线过点（2，4），则a=______．15.已知关于x，y的不等式组，表示的平面区域内存在点P（x0，y0），满足x0-2y0=2，则m的取值范围是______．16.已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1，的所有棱长都是1，∠ABC=60°，AC∩BD=O，A1C1∩B1D1=O1，点H在线段OB1上，OH=3HB1，点M是线段BD上的动点，则三棱锥M-C1O1H的体积的最小值为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c cos B=（3a-b）cos C．（1）求sin C的值；（2）若，b-a=2，求△ABC的面积．18.如图，在三棱锥A-BCD中，△ABC是等边三角形，∠BAD=∠BCD=90°，点P是AC的中点，连接BP，DP．（1）证明：平面ACD⊥平面BDP；（2）若BD=，且二面角A-BD-C为120°，求直线AD与平面BCD所成角的正弦值．19.某场以分期付款方式销售某种品，根据以往资料統计，顾客购买该高品选择分期付款的期数ξ的分布列为（1）求购买该商品的3位顾客中，恰有2位选择分2期付款的概率；（2）商场销售一件该商品，若顾客选择分2期付款，则商场获得的利润为200元；若顾客选择分3期付款，则商场获得的利润为250元；若顾客选择分4期付款，则商场获得的利润为300元．商场销售两件该商品所获得的利润记为X（单位：元）（1）求X的分布列；（2）若P（X≤500）≥0.8，求X的数学期望EX的最大值．20.已知椭圆：＞＞的两个焦点和两个顶点在图O：x2+y2=1上．（1）求椭圆C的方程（2）若点F是C的左焦点，过点P（m，0）（m≥1）作圆O的切线l，l交C于A，B两点．求△ABF 的面积的最大值．21.已知函数f（x）=e2x-ax2，a∈R．（1）若f（x）在（0，+∞）上单调递增，求a的取值范围；（2）若f（x）在（0，+∞）上存在极大值M，证明：＜．22.在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线C2的极坐标方程为（a∈R）．（1）写出曲线C1的普通方程和直线C2的直角坐标方程；（2）若直线C2与曲线C1有两个不同交点，求a的取值范围．23.已知函数f（x）=|x+a|-|2x-1|．（1）当a=1时，求不等式f（x）＞0的解集；（2）若a＞0，不等式f（x）＜1对x∈R都成立，求a的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】解：集合A={x|x2-2x＜0}={x|0＜x＜2}，集合B={x|2x＞1}={x|x＞0}，A、A∩B={x|0＜x＜2}，故本选项错误；B、A B={x|x＞0}，故本选项错误；C、A B，故本选项错误；D、A B，故本选项正确；故选：D．首先化简集合，再求交集，并集即可．本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2.【答案】A【解析】解：（a+i）（1-2i）=a+2+（1-2a）i，∵复数是纯虚数，∴a+2=0且1-2a≠0，得a=-2且a≠，即a=-2，故选：A．根据复数的运算法则进行化简，结合复数是纯虚数，进行求解即可．本题主要考查复数的运算以及复数的概念，根据复数是纯虚数建立条件关系是解决本题的关键．3.【答案】C【解析】解：圆P：（x-2）2+（y+4）2=1的圆心（2，-4），双曲线的一条渐近线为：y=bx，双曲线的一条渐近线过圆P：（x-2）2+（y+4）2=1的圆心，可得2b=4，所以b=2，a=1，则c=，则C的离心率为：．故选：C．求出圆心坐标，代入渐近线方程没去成b，然后求解双曲线的离心率．本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．4.【答案】C【解析】解：由几何概型中的面积型可得：=，所以=，即π=，故选：C．由正十二边形的面积与圆的面积公式，结合几何概型中的面积型得：=，所以=，即π=，得解本题考查了正十二边形的面积及几何概型中的面积型，属中档题5.【答案】D【解析】解：由题意，可根据平行四边形法则画出如下图形：由图可知：=，∴===1•2•+1•2•1=3．故选：D．本题可根据平行四边形法则画出图形找到M点的位置，然后根据两个向量的数量积的性质进行计算．本题主要考查两个向量的数量积的计算，属基础题．6.【答案】C【解析】解：S n是等差数列{a n}的前n项和，若m为大于1的正整数，且a m-1-a m2+a m+1=1，则：，解得：a m=1．S2m-1===11，解得：m=6故选：C．直接利用等差数列的性质的应用和等差数列的前n项和公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：等差数列的通项公式的性质的应用，等差数列的前n项和公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．7.【答案】B【解析】解：函数h=f（t）是关于t的减函数，故排除C，D，则一开始，h随着时间的变化，而变化变慢，超过一半时，h随着时间的变化，而变化变快，故对应的图象为B，故选：B．根据时间和h的对应关系分别进行排除即可．本题主要考查函数与图象的应用，结合函数的变化规律是解决本题的关键．8.【答案】A【解析】解：∵（2-x3）（x+a）5的展开式的各项系数和为32，则（2-1）（1+a）5=32，∴a=1，该展开式中x4的系数是2••a-1••a4=10a-5a4=5，故选：A．令x=1，可得展开式的各项系数和，再根据展开式的各项系数和为32，求得a的值，再利用通项公式可得该展开式中x4的系数．本题主要考查二项式定理的应用，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的x 赋值，求展开式的系数和，可以简便的求出答案，属于基础题．9.【答案】C【解析】解：函数f（x）=cos（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）是奇函数，则：φ=．所以：f（x）=cos（ωx+），令：（k∈Z），解得：（k∈Z），由于函数在上单调递减，故：，当k=0时，整理得：，故：，所以最大值为．故选：C．直接利用函数的奇偶性和单调性，建立不等式组，进一步求出最大值．本题考查的知识要点：函数的奇偶性和单调性的应用，不等式组的解法的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．10.【答案】B【解析】解：由题意可知：几何体是一个圆柱与一个的球的组合体，球的半径为：1，圆柱的高为2，可得：该几何体的表面积为：+2×π×12+2π×2=7π．故选：B．画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解表面积即可．本题考查三视图求解几何体的表面积，可知转化思想以及计算能力．11.【答案】B【解析】解：抛物线y2=4x的焦点坐标为（1，0），准线方程为x=-1设A（x1，y1），B（x2，y2），则∵|AF|=λ|BF|，∴x1+1=λ（x2+1），∴x1=λx2+λ-1∵|y1|=λ|y2|，∴x1=λ2x2，当λ=1时，弦AB的中点到C的准线的距离2．当λ≠1时，x1=λ，x2=，|AB|=（x1+1）+（x2+1）=．∵，∴（λ++2）max=．则弦AB的中点到C的准线的距离d=，d最大值是．∵，∴弦AB的中点到C的准线的距离的最大值是．故选：B．根据抛物线的方程求出准线方程，利用抛物线的定义即条件，求出A，B的中点横坐标，即可求出线段AB的中点到抛物线准线的距离．本题考查解决抛物线上的点到焦点的距离问题，利用抛物线的定义得到中点到准线的距离，属于中档题．．12.【答案】A【解析】解：当x＞1时，f（x）==x+，设f（x）在（1，+∞）上的图象关于x=1的对称图象为g（x），则g（x）=f（2-x）=2-x+（x＜1），由题意可知f（x）与g（x）在（-∞，1）上有公共点．∵g′（x）=-1+＜0，∴g（x）在（-∞，1）上单调递减，又f（x）=ln（x+a）在（-∞，1）上单调递增，∴g（1）＜f（1），即2＜ln（1+a），解得a＞e2-1．故选：A．求出f（x）关于直线x=1对称的函数g（x），则g（x）与f（x）在（-∞，1）上有公共解，根据两函数的单调性列出不等式即可得出a的范围．本题考查了函数零点与单调性的关系，属于中档题．13.【答案】【解析】解：∵S3==6，S6==54，∴=1+q3=9，解得q3=8，则q=2，∴=6，解得a1=故答案为：先利用等比数列的求和公式分别表示出S3及S6，代入已知的等式，两者相除并利用平方差公式化简后，得到关于q的方程，求出方程的解得到q的值即可求出首项此题考查了等比数列的性质，以及等比数列的前n项和公式，熟练掌握公式是解本题的关键．14.【答案】2【解析】解：函数的导数为：f′（x）=a+，f′（1）=a+3，而f（1）=a-3，切线方程为：y-a+3=（a+3）（x-1），因为切线方程经过（2，4），所以4-a+3=（a+3）（2-1），解得a=2．故答案为：2．求出函数的导数，利用切线的方程经过的点求解即可．本题考查函数的导数的应用，切线方程的求法，考查计算能力．15.【答案】（ ，]【解析】解：作出x，y的不等式组对应的平面如图：交点C的坐标为（-m，-2），直线x-2y=2的斜率为，斜截式方程为y=x-1，要使平面区域内存在点P（x0，y0）满足x0-2y0=2，则点C（-m，-2）必在直线x-2y=2的下方，即-2≤-m-1，解得m≤2，并且A在直线的上方；A（-m，1-2m），可得1-2m≥-1，解得m，故m的取值范围是：（-∞，]．故答案为：（-∞，]．作出不等式组对应的平面区域，要使平面区域内存在点点P（x0，y0）满足x0-2y0=2，则平面区域内必存在一个C点在直线x-2y=2的下方，A在直线是上方，由图象可得m的取值范围．本题主要考查线性规划的基本应用，利用数形结合是解决本题的关键，综合性较强．16.【答案】【解析】解：因为直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形，∠ABC=60°，边长为1，∴O1C1⊥平面BB1D1D，且O1C1=，O1B1=，∴C1到平面BB1D1D的距离为O1C1=，∵OH=3HB1，点M是线段BD上的动点，∴当M在B处时△O1MH的面积取得最小值．连接O1B，则O1B=OB1==，∴B1到O1B的距离d===，∵OH=3HB1，∴H到直线O1B的距离为d=．∴S ===，∴V =S•O1C1==．故答案为：．当M与B重合时△O1HM的面积最小，故三棱锥M-C1O1H的体积最小，求出△O1BH的面积，代入棱锥的体积公式计算即可．考查四面体的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查数形结合思想，是中档题．17.【答案】（本题满分为12分）解：（1）∵c cos B=（3a-b）cos C，∴由正弦定理可知，sin C cos B=3sin A cos C-sin B cos C，…1分即sin C cos B+cos C sin B=3sin A cos C，∴sin（C+B）=3sin A cos C，…2分∵A+B+C=π，∴sin A=3sin A cos C，…3分∵sin A≠0，∴cos C=，…4分∵0＜C＜π，∴sin C==；…6分（2）∵，cos C=，∴由余弦定理：c2=a2+b2-2ab cos C，可得：24=a2+b2-ab，…8分∴（a-b）2+ab=24，…9分∵b-a=2，∴解得：ab=15，…10分∴S△ABC=ab sin C==5…12分【解析】（1）已知等式利用正弦定理化简，再利用诱导公式变形，求出cosC的值，利用同角三角函数基本关系式可求sinC的值；（2）利用余弦定理及已知可求ab的值，利用三角形的面积公式即可计算得解．此题考查正弦、余弦定理的综合应用，涉及三角函数中的恒等变换应用，熟练掌握定理是解本题的关键，属于基础题．18.【答案】证明：（1）∵△ABC是等边三角形，∠BAD=∠BCD=90°，∴Rt△ABD=Rt△BCD，∴AD=CD，∵点P是AC的中点，则PD⊥AC，PB⊥AC，∵PD∩PB=P，∴AC⊥平面PBD，∵AC⊂平面ACD，∴平面ACD⊥平面BDP．解：（2）作CE⊥BD，垂足为E，连结AE，∵Rt△ABD≌Rt△BCD，∴AE⊥BD，AE=CE，∠AEC为二面角A-BD-C的平面角，由已知二面角A-BD-C为120°，∴∠AEC=120°，在等腰△AEC中，由余弦定理得AC=，∵△ABC是等边三角形，∴AC=AB，∴AB=，在Rt△ABD中，，∴BD=，∵BD=，∴AD=，∵BD2=AB2+AD2，∴AB=2，∴AE=，，由上述可知BD⊥平面AEC，则平面AEC⊥平面BCD，过点A作AO⊥CE，垂足为O，则AO⊥平面BCD，连结OD，则∠AEO是直线AD与平面BCD所成角，在Rt△AEO中，∠AEO=60°，∴AO=，AE=1，sin，∴直线AD与平面BCD所成角的正弦值为．【解析】（1）推导出AD=CD，PD⊥AC，PB⊥AC，从而AC⊥平面PBD，由此能证明平面ACD⊥平面BDP．（2）作CE⊥BD，垂足为E，连结AE，则AE⊥BD，AE=CE，∠AEC为二面角A-BD-C的平面角，由二面角A-BD-C为120°，得∠AEC=120°，由余弦定理得AC=，推导出BD⊥平面AEC，则平面AEC⊥平面BCD，过点A作AO⊥CE，垂足为O，则AO⊥平面BCD，连结OD，则∠AEO 是直线AD与平面BCD所成角，由此能求出直线AD与平面BCD所成角的正弦值．本题考查面面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.【答案】角：（1）设购买该商品的3位顾客中，选择分2期付款的人数为η，依题意得η～B（3，0.4），则P（η=2）=，∴购买该商品的3位顾客中，恰有2位选择分2期付款的概率为0.288．（2）（i）依题意X的取值分别为400，450，500，550，600，P（X=400）=0.4×0.4=0.16，P（X=450）=2×0.4a=0.8a，P（X=500）=2×0.4b+a2=0.8b+a2，P（X=550）=2ab，P（X=600）=b2，（2）P（X≤500）=P（X+400）+P（X=450）+P（X=500）=0.16+0.8（a+b）+a2，根据0.4+a+b=1，得a+b=0.6，∴b=0.6-a，∵P（X≤500）≥0.8，∴0.16+0.48+a2≥0.8，解得a≥0.4或a≤-0.4，∵a＞0，∴a≥0.4，∵b＞0，∴0.6-a＞0，解得a＜0.6，∴a∈[0.4，0.6），E（X）=400×0.16+450×0.8a+500（0.8b+a2）+1100ab+600b2=520-100a，当a=0.4时，E（X）的最大值为480，∴X的数学期望E（X）的最大值为480．【解析】（1）设购买该商品的3位顾客中，选择分2期付款的人数为η，依题意得η～B（3，0.4），由此能求出购买该商品的3位顾客中，恰有2位选择分2期付款的概率．（2）（i）依题意X的取值分别为400，450，500，550，600，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列．（2）P（X≤500）=P（X+400）+P（X=450）+P（X=500）=0.16+0.8（a+b）+a2，根据0.4+a+b=1，得b=0.6-a，由P（X≤500）≥0.8，得a≥0.4，由b＞0，得a＜0.6，由此能求出X的数学期望E（X）的最大值．本题考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查二项分布等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.【答案】解：（1）由椭圆：＞＞可知焦点在x轴上，∵圆O：x2+y2=1与x轴的两个交点坐标为（-1，0），（1，0），与y轴的两个交点的坐标分别为（0，1），（0，-1），根据题意可得b=c=1，故a2=b2+c2=2，故椭圆方程为+y2=1（2）设过点P（m，0）（m≥1）作圆O的切线l的方程为x=ty+m，则=1，即m2=t2+1设A（x1，y1），B（x2，y2），由，消x可得（t2+2）y2+2tmy+m2-2=0，则△=（2tm）2-4（t2+2）（m2-2）=8＞0，∴y1+y2=-，y1y2=，∴|y1-y2|===，∴△ABF的面积S=|PF|•|y1-y2|=，令f（m）=，m≥1∴f′（m）=，当m≥1时，f′（m）≤0，∴f（m）在[1，+∞）上单调递减，∴f（m）≤f（1）=，故△ABF的面积的最大值为【解析】（1）根据根据题意可得b=c=1，故a2=b2+c2=2，即可求出椭圆方程，（2）过点P（m，0）（m≥1）作圆O的切线l的方程为x=ty+m，可得m2=t2+1，设A（x1，y1），B（x2，y2），由，消x可得（t2+2）y2+2tmy+m2-2=0，根据韦达定理和三角形面积即可表示出S=，构造函数，利用导数求出函数的最值即可求出面积的最大值本题考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、直线与圆相切的性质、韦达定理、三角形面积计算公式、导数和函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21.【答案】解：（1）函数的导数f′（x）=2e2x-2ax，若f（x）在（0，+∞）上单调递增，即f′（x）≥0恒成立，即2e2x-2ax≥0，得a≤在（0，+∞）上恒成立，设h（x）=，则h′（x）==，当0＜x＜时，h′（x）＜0，此时函数为减函数，由x＞时，h′（x）＞0，此时函数为增函数，即当x=时，函数h（x）取得极小值同时也是最小值，h（）=2e，则a≤2e，即实数a的取值范围是（-∞，2e]．（2）由（1）知，当a≤2e时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，则不存在极大值，当a＞2e时，＜ln，ln a＞ln，又f′（0）=2＞0，f′（）=2e-a＜0，f′（ln a）=2e2ln a-2a lna=2a（a-ln a）＞0，（易证明a-ln a＞0），故存在x1∈（0，），使得f′（x1）==0，存在x2∈（，ln a），使得f′（x2）=0，则x∈（0，x1）时，f′（x）＞0，x∈（x1，x2）时，f′（x）＜0，x∈（x2，+∞）时，f′（x）＞0，故f（x）在（0，x1）上单调递增，在（x1，x2）上单调递减，在（x2，+∞）上单调递增，即当x=x1时，f（x）取得极大值，即M=，由0＜x1＜时，得1-x1＞0，x1≠1-x1，由2-2ax1=0，得=ax1，故M==ax1-ax12=ax1（1-x1）＜a•（）2=，即＜成立．【解析】（1）求函数的导数，利用函数的单调性转化为f′（x）≥0恒成立进行求解．（2）求函数的导数，结合函数极大值的定义，讨论a范围，进行证明即可．本题主要考查导数的应用，结合函数单调性，极值和导数的关系转化为导数问题是解决本题的关键．考查学生的运算和推导能力，综合性较强，难度较大．22.【答案】解：（1）曲线C1的普通方程为y=1-x2（-1≤x≤1），把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入ρ（cosθ-a sinθ）=，得直线C2的直角坐标方程为y-ax=，即ax-y+=0，（2）由直线C2：ax-y+=0，知C2恒过点M（0，），由y=1-x2（-1≤x≤1），当时，得x =±1，所以曲线C1过点P（-1，0），Q（1，0），则直线MP的斜率为k1==，直线MQ的斜率k2==-，因为直线C2的斜率为a，且直线C2与曲线C1有两个不同的交点，所以k2≤a≤k1，即-，所以a的取值范围为[-，]．【解析】（1）利用平方关系消去参数t可得C1的普通方程，利用x=ρcosθ，y=ρsinθ可得C2的直角坐标方程；（2）根据直线的斜率可得．本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．23.【答案】解：（1）函数f（x）=|x+1|-|2x-1|，f（x）＞0即为|x+1|＞|2x-1|，可得（x+1+2x-1）（x+1-2x+1）＞0，即3x（x-2）＜0，解得0＜x＜2，则原不等式的解集为（0，2）；（2）若a＞0，不等式f（x）＜1对x∈R都成立，即有1＞f（x）max，由f（x）=|x+a|-|2x-1|=|x+a|-|x-|-|x-|≤|x+a-x+|-0=|a+|，可得f（x）的最大值为|a+|=a+，（a＞0），则a+＜1，解得0＜a＜．【解析】（1）运用两边平方和平方差公式，可得不等式的解集；（2）由题意可得1＞f（x）max，由绝对值不等式的性质可得f（x）的最大值，解不等式可得所求范围．本题考查绝对值不等式的解法和不等式恒成立问题的运用，考查运算能力，属于基础题．。
2019年度广州市一模理科答案解析
2019年广州市普通高中毕业班综合测试（一）数学（理科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性．共7小题，每小题5分，满分30分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．9．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ 10．1sin 11．12.38 12．12或7213．8，22n n -+ 14．1116,π⎛⎫⎪⎝⎭15．4 说明：① 第13题第一个空填对给2分，第二个空填对给3分． ② 第14题的正确答案可以是：11126k k ,(ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭Z ). 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）（本小题主要考查三角函数的图象与性质、诱导公式、余弦定理、正弦定理、两点间距离公式等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力）（1）解：∵()f x 的最大值为2，且0A >， ∴2A =. ……………1分∵()f x 的最小正周期为8， ∴28T πω==，得4πω=. ……………2分∴()2sin()44f x x ππ=+. ……………3分（2）解法1：∵(2)2sin 2cos 244f πππ⎛⎫=+== ⎪⎝⎭……………4分(4)2sin 2sin 44f πππ⎛⎫=+=-= ⎪⎝⎭ ……………5分∴(4,P Q .∴OP PQ OQ === ……………8分∴222222cos 2OP OQ PQPOQ OP OQ+-+-∠===.………10分 ∴POQ sin ∠==……………11分 ∴△POQ的面积为11223S OP OQ POQ sin =∠=⨯⨯⨯=……………12分解法2：∵(2)2sin 2cos 244f πππ⎛⎫=+==⎪⎝⎭……………4分(4)2sin 2sin 44f πππ⎛⎫=+=-= ⎪⎝⎭ ……………5分∴(2,2),(4,2)P Q -.∴(2,2),(4,OP OQ ==.……………8分 ∴cos cos ,36OP OQ POQ OP OQ OPOQ⋅∠=<>===.……………10分 ∴POQ sin ∠==……………11分 ∴△POQ的面积为11223S OP OQ POQ sin=∠=⨯⨯⨯=……………12分解法3：∵(2)2sin 2cos 244f πππ⎛⎫=+==⎪⎝⎭……………4分(4)2sin 2sin 44f πππ⎛⎫=+=-= ⎪⎝⎭……………5分∴(4,P Q .∴直线OP 的方程为2y x =，即0x -=.……………7分 ∴点Q 到直线OP 的距离为d ==. ……………9分∵OP =……………11分∴△POQ的面积为1122S OP d =⋅=⨯⨯= ……………12分17．（本小题满分12分）（本小题主要考查相互独立事件的概率、离散型随机变量的均值等基础知识，考查数据处理、推理论证、运算求解能力和应用意识，以及或然与必然的数学思想）解：设“甲做对”为事件A ，“乙做对”为事件B ，“丙做对”为事件C ，由题意知，H FABCA 1C 1B 1DE ()()()12P A P B m P C n ,,===. ……………1分（1）由于事件“至少有一位学生做对该题”与事件“0ξ=”是对立的，所以至少有一位学生做对该题的概率是()1310144P ξ-==-=. …………3分（2）由题意知()()()()1101124P P ABC m n ξ===--=， ……………4分 ()()113224P P ABC mn ξ====， ……………5分 整理得 112mn =，712m n +=.由m n >，解得13m =，14n =. ……………7分（3）由题意知()()()()1a P P ABC P ABC P ABC ξ===++()()()()11111111122224m n m n m n =--+-+-=， ………9分 (2)1(0)(1)(3)b P P P P ξξξξ===-=-=-==14， ……………10分∴ξ的数学期望为0(0)1(1)2(2)3(3)E P P P P ξξξξξ=⨯=+⨯=+=+==1312.…………12分18．（本小题满分14分）（本小题主要考查空间线面位置关系、直线与平面所成的角、二面角等基础知识，考查空间想象、推理论证、抽象概括和运算求解能力，以及化归与转化的数学思想方法） 解法一：（1）证明：延长1A D 交AC 的延长线于点F ，连接BF . ∵CD ∥1AA ，且CD 12=1AA ， ∴C 为AF 的中点. ……………2分∵E 为AB 的中点，∴CE ∥BF . ……………3分 ∵BF ⊂平面1A BD ，CE ⊄平面1A BD ， ∴CE ∥平面1A BD . ……………4分（2）解：∵1AA ⊥平面ABC ，CE ⊂平面ABC ，∴1AA ⊥CE . ……………5分 ∵△ABC 是边长为2的等边三角形，E 是AB 的中点，∴CE AB ⊥，CE AB == ∵AB ⊂平面1A AB ，1AA ⊂平面1A AB ，1ABAA A =， ∴CE ⊥平面1A AB . ……………6分A ∴EHC ∠为CH 与平面1A AB 所成的角. ……………7分∵CE =在Rt △CEH 中，tan CE EHC EH EH∠==， ∴当EH 最短时，tan EHC ∠的值最大，则EHC ∠最大. ……………8分∴当1EH A B ⊥时，EHC ∠最大. 此时，tan CE EHC EH ∠===.∴5EH =. ……………9分 ∵CE ∥BF ，CE ⊥平面1A AB ，∴BF ⊥平面1A AB . ……………10分 ∵AB ⊂平面1A AB ，1A B ⊂平面1A AB ，∴BF ⊥AB ，BF ⊥1A B . ……………11分 ∴1ABA ∠为平面1A BD 与平面ABC 所成二面角（锐角）. ……………12分 在Rt △EHB中，BH ==cos 1ABA∠5BH EB ==.…13分 ∴平面1A BD 与平面ABC所成二面角（锐角）的余弦值为5. ……………14分 解法二：（1）证明：取1A B 的中点F ，连接DF 、EF .∵E 为AB 的中点，∴EF ∥1AA ，且112EF AA =. ……………1分 ∵CD ∥1AA ，且CD 12=1AA ， ∴EF ∥CD ，EF =CD . ……………2分∴四边形EFDC 是平行四边形.∴CE ∥DF . ……………3分 ∵DF ⊂平面1A BD ，CE ⊄平面1A BD ， ∴CE ∥平面1A BD . （2）解：∵1AA ⊥平面ABC ，CE ⊂平面ABC ， ∴1AA ⊥CE . ……………5分∵△ABC 是边长为2的等边三角形，E 是AB 的中点，∴CE AB ⊥，CE AB == ∵AB ⊂平面1A AB ，1AA ⊂平面1A AB ，1ABAA A =， ∴CE ⊥平面1A AB . ……………6分 ∴EHC ∠为CH 与平面1A AB 所成的角. ……………7分∵CE =在Rt △CEH 中，tan CE EHC EH EH∠==， ∴当EH 最短时，tan EHC ∠的值最大，则EHC ∠最大. ……………8分∴当1EH A B ⊥时，EHC ∠最大. 此时，tan CE EHC EH EH ∠===2.∴5EH =. ……………9分 在Rt △EHB中，BH ==∵Rt △EHB ～Rt △1A AB ，∴1EH BHAA AB =，即1552AA =. ∴14AA =. ……………10分 以A 为原点，与AC 垂直的直线为x 轴，AC 所在的直线为y 轴，1AA 所在的直线为z 轴， 建立空间直角坐标系A xyz -. 则000A ，1A 004，B 10，D 022. ∴1AA =004，1A B=14，1A D =022.设平面A BD 1的法向量为n ()x y z ,,，由n 10A B ，n 10A D，得340220x y z yz.令1y ，则13z x .∴平面A BD 1的一个法向量为n 311. ……………12分∵1AA ⊥平面ABC ， ∴1AA 004是平面ABC 的一个法向量.∴cos 111,⋅==n AA n AA n AA 5.……………13分 ∴平面1A BD 与平面ABC 所成二面角（锐角）的余弦值为5. ……………14分 19．（本小题满分14分）（本小题主要考查等比数列的通项公式、数列的前n 项和等基础知识，考查合情推理、化归与转化、特殊与一般的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力） (1) 解：12323(1)2n n a a a na n S n ++++=-+，∴ 当1n =时，有 11(11)2,a S =-+ 解得 12a =. ……………1分由12323(1)2n n a a a na n S n ++++=-+, ①得1231123(1)2(1)n n n a a a na n a nS n ++++++++=++, ② ……………2分② - ①得: 11(1)(1)2n n n n a nS n S +++=--+. ③ ……………3分 以下提供两种方法：法1：由③式得：11(1)()(1)2n n n n n S S nS n S +++-=--+，即122n n S S +=+; ……………4分∴122(2)n n S S ++=+， ……………5分∵112240S a +=+=≠，∴数列{2}n S +是以4为首项,2为公比的等比数列.∴1242n n S -+=⨯,即1142222n n n S -+=⨯-=-. ……………6分 当2n ≥时, 11(22)(22)2n n nn n n a S S +-=-=---=， ……………7分又12a =也满足上式,∴2nn a =. ……………8分法2：由③式得：()111(1)(1)22n n n n n n n a nS n S n S S S ++++=--+=-++，得12n n a S +=+. ④ ……………4分当2n ≥时,12n n a S -=+, ⑤ ……………5分 ⑤-④得：12n n a a +=. ……………6分 由12224a a S +=+，得24a =，∴212a a =. ……………7分∴数列{}n a 是以12a =为首项，2为公比的等比数列. ∴2nn a =. ……………8分（2）解：∵p q r ,,成等差数列，∴2p r q +=. ……………9分假设111p q r a a a ,,---成等比数列，则()()()2111p r q a a a --=-， ……………10分即()()()2212121prq--=-，化简得：2222prq+=⨯. （*） ……………11分∵p r ≠，∴2222pr q +>=⨯，这与（*）式矛盾，故假设不成立.……13分∴111p q r a a a ,,---不是等比数列. ……………14分20．（本小题满分14分）（本小题主要考查椭圆、抛物线、曲线的切线等基础知识，考查数形结合、函数与方程、化归与转化的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力、创新意识）(1) 解法1：设椭圆1C 的方程为22221x y a b+=()0a b >>,依题意: 222222231,4.a b a b ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩解得:2216,12.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ……………2分 ∴ 椭圆1C 的方程为2211612x y +=. ……………3分 解法2：设椭圆1C 的方程为22221x y a b+=()0a b >>，根据椭圆的定义得1228a AF AF =+=，即4a =， ……………1分∵2c =， ∴22212b a c =-=. ……………2分∴ 椭圆1C 的方程为2211612x y +=. ……………3分 (2)解法1：设点)41,(211x x B ,)41,(222x x C ，则))(41,(212212x x x x --=，)413,2(211x x BA --=，∵C B A ,,三点共线,∴BC BA //. ……………4分∴()()()222211211113244x x x x x x ⎛⎫--=-- ⎪⎝⎭, 化简得：1212212x x x x ()+-=. ① ……………5分 由24xy =,即214y x ,=得y '=12x . ……………6分 ∴抛物线2C 在点B 处的切线1l 的方程为)(2411121x x x x y -=-，即211412x x x y -=. ②同理，抛物线2C 在点C 处的切线2l 的方程为 222412x x x y -=. ③ ……………8分设点),(y x P ，由②③得：=-211412x x x 222412x x x -，而21x x ≠，则 )(2121x x x +=. ……………9分代入②得 2141x x y =， ……………10分则212x x x +=，214x x y =代入 ① 得 1244=-y x ，即点P 的轨迹方程为3-=x y .……………11分若1212PF PF AF AF +=+ ，则点P 在椭圆1C 上，而点P 又在直线3-=x y 上，……………12分∵直线3-=x y 经过椭圆1C 内一点(3,0),∴直线3-=x y 与椭圆1C 交于两点. ……………13分 ∴满足条件1212PF PF AF AF +=+ 的点P 有两个. ……………14分 解法2：设点),(11y x B ,),(22y x C ，),(00y x P ，由24xy =,即214y x ,=得y '=12x . ……………4分 ∴抛物线2C 在点B 处的切线1l 的方程为)(2111x x xy y -=-，即2111212x y x x y -+=. ……………5分∵21141x y =， ∴112y x x y -= .∵点),(00y x P 在切线1l 上, ∴10102y x xy -=. ① ……………6分同理， 20202y x xy -=. ② ……………7分综合①、②得，点),(),,(2211y x C y x B 的坐标都满足方程y x xy -=002. ……………8分∵经过),(),,(2211y x C y x B 的直线是唯一的，∴直线L 的方程为y x xy -=002， ……………9分∵点)3,2(A 在直线L 上， ∴300-=x y . ……………10分∴点P 的轨迹方程为3-=x y . ……………11分 若1212PF PF AF AF +=+ ，则点P 在椭圆1C 上，又在直线3-=x y 上，……12分 ∵直线3-=x y 经过椭圆1C 内一点(3,0),∴直线3-=x y 与椭圆1C 交于两点. ……………13分 ∴满足条件1212PF PF AF AF +=+ 的点P 有两个. ……………14分 解法3：显然直线L 的斜率存在，设直线L 的方程为()23y k x =-+，由()2234y k x x y ,,⎧=-+⎪⎨=⎪⎩消去y ，得248120x kx k -+-=. ……………4分设()()1122B x y C x y ,,,,则12124812x x k x x k ,+==-. ……………5分由24xy =,即214y x ,=得y '=12x . ……………6分 ∴抛物线2C 在点B 处的切线1l 的方程为)(2111x x x y y -=-，即2111212x y x x y -+=.…7分∵21141x y =， ∴211124x y x x =-. 同理,得抛物线2C 在点C 处的切线2l 的方程为222124x y x x =-. ……………8分 由211222124124x y x x x y x x ,,⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩解得121222234x x x k x x y k ,.⎧+==⎪⎪⎨⎪==-⎪⎩ ∴()223P k k ,-. ……………10分∵1212PF PF AF AF +=+,∴点P 在椭圆22111612x y C :+=上. ……………11分 ∴()()2222311612k k -+=.化简得271230k k --=.(*) ……………12分由()2124732280Δ=-⨯⨯-=>, ……………13分 可得方程(*)有两个不等的实数根. ∴满足条件的点P 有两个. ……………14分 21．（本小题满分14分）（本小题主要考查二次函数、一元二次不等式、一元二次方程、函数应用、均值不等式等基础知识，考查数形结合、函数与方程、分类与整合、化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、创新意识） （1）解：∵关于x 的不等式()()2211fx m x m <-+-的解集为()1m m ,+， 即不等式()22120x a m x m m ++-++<的解集为()1m m ,+， ∴()2212x a m x m m ++-++=()()1x m x m ---.∴()2212x a m x m m ++-++=()()2211x m x m m -+++. ∴()1221a m m +-=-+.∴2a =-. ……………2分(2)解法1:由(1)得()()1f x g x x =-()221111x x m m x x x -++==-+--. ∴()()x g x ϕ=-()1k x ln -()11mx x =-+-()1k x ln --的定义域为()1,+∞.∴()1x ϕ'=-()211m kx x ---()()22211x k x k m x -++-+=-. ……………3分 方程()2210x k x k m -++-+=（*）的判别式()()222414Δk k m k m =+--+=+. ……………4分①当0m >时，0Δ>，方程（*）的两个实根为1212k x ,+-=<2212k x ,++=> ……………5分则()21x x ,∈时，()0x ϕ'<；()2x x ,∈+∞时，()0x ϕ'>.∴函数()x ϕ在()21x ,上单调递减，在()2x ,+∞上单调递增.∴函数()x ϕ有极小值点2x.……………6分②当0m <时，由0Δ>,得k <-k >若k <-11x ,=<21x ,=<故x ∈()1,+∞时，()0x ϕ'>，∴函数()x ϕ在()1,+∞上单调递增. ∴函数()x ϕ没有极值点. ……………7分若k >11x ,=>21x ,=>则()11x x ,∈时，()0x ϕ'>；()12x x x ,∈时，()0x ϕ'<；()2x x ,∈+∞时，()0x ϕ'>.∴函数()x ϕ在()11x ,上单调递增，在()12x x ,上单调递减，在()2x ,+∞上单调递增.∴函数()x ϕ有极小值点2x，有极大值点1x . ……………8分综上所述, 当0m >时，k 取任意实数, 函数()x ϕ有极小值点2x ；当0m <时，k >()x ϕ有极小值点2x ，有极大值点1x .………9分(其中122k x +-=, 222k x ++=)解法2:由(1)得()()1f x g x x =-()221111x x m m x x x -++==-+--. ∴()()x g x ϕ=-()1k x ln -()11mx x =-+-()1k x ln --的定义域为()1,+∞.∴()1x ϕ'=-()211m kx x ---()()22211x k x k m x -++-+=-. ……………3分 若函数()()x g x ϕ=-()1k x ln -存在极值点等价于函数()x ϕ'有两个不等的零点，且至少有一个零点在()1,+∞上. ……………4分令()x ϕ'()()22211x k x k m x -++-+=-0=,得()221x k x k m -++-+0=, (*)则()()2224140Δk k m k m =+--+=+>,(**) ……………5分方程（*）的两个实根为1x =2x =设()h x =()221x k x k m -++-+,①若1211x x ,<>,则()10h m =-<,得0m >,此时,k 取任意实数, (**)成立. 则()21x x ,∈时，()0x ϕ'<；()2x x ,∈+∞时，()0x ϕ'>.∴函数()x ϕ在()21x ,上单调递减，在()2x ,+∞上单调递增.∴函数()x ϕ有极小值点2x. ……………6分②若1211x x ,>>,则()10212h m k ,.⎧=->⎪⎨+>⎪⎩得00m k ,.⎧<⎨>⎩又由(**)解得k >k <-,故k > ……………7分则(11x x ,∈时，()0x ϕ'>；()12x x x ,∈时，()0x ϕ'<；()2x x ,∈+∞时，()0x ϕ'>.∴函数()x ϕ在()11x ,上单调递增，在()12x x ,上单调递减，在()2x ,+∞上单调递增. ∴函数()x ϕ有极小值点2x ，有极大值点1x . ……………8分 综上所述, 当0m >时，k 取任何实数, 函数()x ϕ有极小值点2x ；当0m <时，k >()x ϕ有极小值点2x ，有极大值点1x .………9分(其中1x =2x =(2)证法1：∵1m =， ∴()g x =()111x x -+-. ∴()()1111nnnnn g x g x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎡⎤+-+=+-+ ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭112212111111n n n n nn n n n nn n n x C x C x C x C x x xx x x ----⎛⎫=+⋅+⋅++⋅+-+ ⎪⎝⎭122412n n n nn n n C x C x C x ----=+++. ……………10分 令T 122412n n n n n n n C x C x C x ----=+++，则T 122412n n n n n n n n C x C x C x -----=+++122412n n n n n n n C x C x C x ----=+++.∵x 0>，∴2T ()()()122244122n n n n n n n n n n C xx C x x C x x -------=++++++ ……11分≥121n n n n C C C -⋅+⋅++⋅ …12分()1212n n n n C C C -=+++()012102n n nnn n n n n n C C C C C C C -=+++++--()222n=-. ……………13分∴22nT ≥-，即()()1122nn n g x g x ⎡⎤+-+≥-⎣⎦. ……………14分 证法2：下面用数学归纳法证明不等式11nn n x x x x ⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22n≥-.① 当1n =时，左边110x x x x ⎛⎫⎛⎫=+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，右边1220=-=，不等式成立； ……………10分② 假设当n k =k (∈N *)时，不等式成立，即11kk k x x x x ⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22k ≥-，则 11111k k k x x x x +++⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭11111111kk k k k k k x x x x x x x x x x x x ++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥=++-++++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦111kk k x x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥=++-++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦111k k x x --⎛⎫+ ⎪⎝⎭ ……………11分()22k ≥⋅-+ ……………12分 122k +=-. ……………13分 也就是说，当1n k =+时，不等式也成立.由①②可得，对∀n ∈N *，()()1122nnng x g x ⎡⎤+-+≥-⎣⎦都成立. ………14分。
2019广州一模理科数学(解析版)
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的．
1．已知集合 A {x | x2 2x 0}, B {x | 2x 1} ，则（ ）
A． A B
1．答案：D
B． A B R
x
x
h(x) 0 在 (1, ) 上有解，则 h(1) 2 ln(1 a) 0 ，解得 a e2 1 ．
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．把答案填在题中的横线上．
13．设 Sn 是等比数列{an}的前 n 项和，若 S3 3, S6 27 ，则 a1
．
3
13．答案：
48
解析：如图，当点 M 到平面 C1O1H 的距离最小时，三棱锥 M C1O1H 的体积取到最小值，分析可知，
当点 M 位于点 B 时，到平面 C1O1H 的距离最小，此时，设 OB1 O1B D ，由 OH 3HB1 ，可知 H 为
1
1 31 3
B1D 的中点，所以 S△O1BH
2 S△O1BB1
3
3
即 (a b)2 4 ab 24 ． 3
……………………………………………9 分
因为 b a 2 ，所以 ab 15 ．…………………………………………………………………………10 分
1
1 22
所以△ABC 的面积 S ab sin C 15 5 2 ．…………………………………………12 分
中心为圆心 O ，圆 O 的半径为 2，现随机向圆 O 内投放 a 粒豆子， 其中有 b 粒豆子落在正十二边形内 (a, b N, b a) ，
2019年广州市一模理科数学试题及答案
2019 年广州市一模理科数学试题及答案广州市普通高中毕业班综合测试（一）理科数学第 Ⅰ 卷一．选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（ 1）已知集合 Ax x 1 ， Bx x 2x 0 ，则AI B（ A ） x 1 x1 （B ） x 0 x 1（ C ） x 0 x 1 （ D ） x 0 x 1（ 2）已知复数 z 3i，其中 i 为虚数单位，则复数z 的共轭复数 z 所对应的点在1 i（ A ）第一象限（ B ）第二象限（ C ）第三象限 （D ）第四象限（ 3）执行如图所示的程序框图，如果输入x 3 ，则输出 k 的值为开始输入 xkx 2x3kk 2x 100? 是输出 k结束否（A ）6（B ）8（C ）10（D ）12（ 4）如果函数 f xsinx60 的相邻两个零点之间的距离为，则的值为6（A ）3（B ）6（C ）12（D ）24（ 5）设等差数列a n 的前 n 项和为 S n ，且 a 2a 7a1224 ，则 S 13（A ）52（B ）78（ C ） 104（ D ） 208（ 6）如果 P 1 ， P 2 ，⋯， P n 是抛物线 C ： y 2 4x 上的点 ，它们的横坐标依次为x 1 ， x 2 ，⋯， x n ， F是抛物线 C 的焦点，若 x 1 x 2 Lx n 10 ，则 PF 1P 2F LP n F（ A ） n 10（ B ） n 20（ C ） 2n 10（ D ） 2n 20（ 7）在梯形 ABCD 中， AD P BC ，已知 AD4，BCuuuruuur uuur R ，则m6，若 CDmBA nBC m, n1 1n（A ） 3（ B ）（D ） 33（ C ）3x y 1 0,2（ 8）设实数 x ， y 满足约束条件x y 1 0, 则 x 2y 2的取值范围是x1，（A ）1,17（ B ）1,17（C ） 1,17（D ）2 , 1722（ 9）一个六棱柱的底面是正六边形，侧棱垂直于底面，所有棱的长都为1，顶点都在同一个球面上，则该2019 年广州市一模理科数学试题及答案球的体积为（ A ）（B）20 5（C）5（D）5 536（ 11）已知下列四个命题：p1：若直线l和平面内的无数条直线垂直，则 l；p2：若f x 2x 2 x，则 x R ，f x f x ；p3：若 f x x1，则 x00,， f x0 1 ；x 1p4：在△ABC中，若A B ，则 sin A sin B ．其中真命题的个数是（A）1（B）2（C）3（D）4（ 11）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个四面体的三视图，则该四面体的表面积为（A）882 4 6（B）882 26（C）2 2 26（D）126224（ 12）以下数表的构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中的“杨辉三角形”．1234 5 ⋯20132014201520163579 ⋯⋯⋯⋯40274029403181216⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯805680602028⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯16116⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数为（ A ）201722015（B）201722014（C）201622015（D）201622014第Ⅱ 卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13 题～第21 题为必考题，每个试题考生都必须做答．第 22题～第 24 题为选考题，考生根据要求做答．二．填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分．（ 13）一个总体中有60个个体，随机编号0，1，2，⋯， 596个小组，组号依，依编号顺序平均分成次为1， 2， 3，⋯， 66的样本，若在第1组随机抽取的号码．现用系统抽样方法抽取一个容量为为3，则在第5组中抽取的号码是．2019 年广州市一模理科数学试题及答案（ 14）已知双曲线C：x2y2uuur uuur 1a0,b0的左顶点为A，右焦点为F，点B 0,b，且g，a2b2BA BF则双曲线 C 的离心率为．（ 15）x2x 24x3的系数为的展开式中，．（用数字填写答案）（ 16）已知函数f x 1x 1 ,x1,则函数 g x 2 x f x 2的零点个数为个．x24x2,x1，三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（ 17）（本小题满分12 分）如图，在△ ABC 中，点 D 在边 AB 上， CD BC ，C AC 5 3，CD 5,BD2AD .（Ⅰ）求 AD 的长；（Ⅱ）求△ ABC 的面积．A D B （ 18）（本小题满分 12 分）从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的质量指标值，由测量结果得到如图所示的频率分布直方图，质量指标值落在区间55,65， 65,75，75,85 内的频率之比为4:2:1 ．（Ⅰ）求这些产品质量指标值落在区间频率组距75,85 内的频率；0.030（Ⅱ）若将频率视为概率，从该企业生产的0.019这种产品中随机抽取 3 件，记这3 件产45,75 内的产0.012品中质量指标值位于区间品件数为X ，求X 的分布列与数学期望．0.00401525354555657585质量指标值（ 19）（本小题满分12 分）如图，四棱柱ABCD A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，AC I BD O，A1O底面 ABCD ，AB AA1 2 ．D1C1（Ⅰ）证明：平面ACO1平面 BB1D1D ；B1A1（Ⅱ）若 BAD60o，求二面角 B OB1 C 的余弦值．DCOA B2019 年广州市一模理科数学试题及答案（ 20）（本小题满分12 分）已知椭圆 C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，左顶点为 A ，左焦点为F12，0，点B2,2在椭圆C 上，直线y kx k0与椭圆 C 交于E ，F两点，直线AE ，AF分别与y 轴交于点M ，N．（Ⅰ）求椭圆 C 的方程；（Ⅱ）以 MN 为直径的圆是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由．（ 21）（本小题满分12 分）已知函数 f (x)e x +m x3, g x ln x1 2 ．（Ⅰ）若曲线y f x 在点0 f0处的切线斜率为1，求实数 m 的值；，（Ⅱ）当 m 1时，证明： f x g( x)x3.请考生在第22、23、 24 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．做答时请写清题号．（ 22）（本小题满分10 分）选修 4－ 1：几何证明选讲如图所示，△ABC 内接于⊙ O ，直线 AD 与⊙ O 相切于点 A ，交 BC 的延长线于点D，过点 D作DE P CA 交BA的延长线于点E．FB（Ⅰ）求证：DE 2AEgBE ；E A．O （Ⅱ）若直线EF 与⊙ O 相切于点 F ，且 EF4， EA 2 ，CD求线段 AC 的长．（ 23）（本小题满分10 分）选修4－ 4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为 2 sin，0,2.（Ⅰ）求曲线 C 的直角坐标方程；（Ⅱ）在曲线 C 上求一点 D ，使它到直线 l ：x3t3,（ t 为参数，t R ）的距离最短，并求y3t2出点 D 的直角坐标.（ 24）（本小题满分10 分）选修4－ 5：不等式选讲设函数 f x x a x 1 a ．（Ⅰ）当 a 1时，求不等式1的解集；f x2（Ⅱ）若对任意a0,1 ，不等式 f x b 的解集为空集，求实数 b 的取值范围．绝密★ 启用前2016 年广州市普通高中毕业班综合测试（一）理科数学试题答案及评分参考评分说明 :1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数．选择题不给中间分．一．选择题（1）D（2）D（3）C（4） B（ 5）C（6） A（7）A（8）A（9）D（10） B（ 11）A（12） B二．填空题（ 13）43（ 14）51（15）40（16）2 2三．解答题（ 17）( Ⅰ) 解法一：在△ ABC 中，因为 BD2AD ，设 AD x x 0，则 BD2x ．在△ BCD 中，因为CD BC， CD 5 ， BD 2x ，所以 cos CDB CD5 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分BD2x在△ ACD 中，因为 AD x ， CD5，AC 5 3 ，由余弦定理得 cos ADC AD 2CD 2AC 2x252(5 3)2．⋯⋯⋯4分2AD CD2x 5因为CDB ADC，所以 cos ADC cos CDB ，即 x252(53) 25．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分2x 52x解得 x5．所以 AD 的长为 5 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分2019 年广州市一模理科数学试题及答案解法二： 在△ ABC 中，因为 BD 2AD ，设 AD x x 0，则 BD 2x ．在△ BCD 中，因为 CD BC ， CD 5 ， BD 2x ，所以 BC4 x 2 25 ．所以 cos CBDBC4x 2252 分BD2x ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯在△ ABC 中，因为 AB 3x ， BC4x 225 ， AC 5 3 ，由余弦定理得 cosCBAAB 2 BC 2 AC 213x 2 100．⋯⋯⋯⋯ 4 分2 AB BC6x4x225所以4x 22513x 2 100．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5 分2x4x 26x25解得 x 5 ．所以 AD 的长为 5. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分（Ⅱ） 解法一： 由（Ⅰ）求得AB 3x 15， BC4x 225 5 3 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 8 分所以 cosCBD BC3 ，从而 sinCBD110 分BD2．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2所以 S ABC1 AB BC sin CBA21 15 5 3 1753．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12 分22 4解法二： 由（Ⅰ）求得 AB 3x 15 ， BC4x 2 255 3 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 8 分因为 AC5 3 ，所以△ ABC 为等腰三角形．因为 cosCBDBC 3 ，所以 CBD30o ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分BD 2所以△ ABC 底边 AB 上的高 h1BC 5 3 ．2 21 所以 S ABCAB h21155375 3 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12 分 2242019 年广州市一模理科数学试题及答案解法三：因为 AD 的长为 5 ，CD51．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 8 分所以 cos CDB ==，解得 CDBBD2x23所以SS 所以 S1CD2253ADC AD sin．2341CD sin25310 分BCD BD2．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯23SADCSBCD75312 分ABC4．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（ 18）解：（Ⅰ）设区间75,85 内的频率为x，则区间 55,65 ，65,75内的频率分别为4x和 2x．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分依题意得0.0040.0120.0190.03104x 2 x x 1 ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分解得 x0.05 ．所以区间75,85内的频率为0.05．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分（Ⅱ）从该企业生产的该种产品中随机抽取3件，相当于进行了 3 次独立重复试验，所以 X 服从二项分布B n, p，其中n 3 ．由（Ⅰ）得，区间45,75 内的频率为 0.3 0.2+0.1=0.6，将频率视为概率得p 0.6 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分因为 X 的所有可能取值为0， 1， 2， 3，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分且 P(X 0) C300.600.430.064， P(X1)C130.61 0.420.288 ，P( X 2) C320.620.410.432 ， P( X3) C 330.630.400.216 ．所以 X 的分布列为：X0123⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分P0.0640.2880.4320.216所以 X 的数学期望为EX 0 0.064 1 0.28820.432 3 0.216 1.8．（或直接根据二项分布的均值公式得到EX np30.6 1.8 ）⋯⋯⋯⋯⋯12 分（ 19）（Ⅰ）证明：因为A1O平面 ABCD ，D1C1 BD平面 ABCD ，所以 A1O BD ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 1 分A1B1因为 ABCD 是菱形，所以CO BD ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分DCAOI CO O ，O因为1A B所以 BD平面 A1CO ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分因为 BD平面 BB1 D1D ，所以平面 BB1 D1D平面 A1CO ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分平面 ABCD ，CO uur uuur uuur（Ⅱ）解法一：因为 A1O BD ，以 O为原点， OB， OC， OA1方向为 x ，y， z 轴正方向建立如图所示空间直角坐标系．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分因为 AB AA1 2 ，BAD 60o，所以 OB OD1，OA OC3，OA1226 分AA1 OA 1 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯则 B 1,0,0，C 0,3,0，A0,3,0， A10,0,1，uuur uuur0,3,1uuur uuur uuur1,3,1 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯所以 BB1AA1， OB1OB +BB17 分设平面 OBB1的法向量为 n x, y, zz D1C1，uur uuur1,3,1A1因为 OB1,0,0， OB1，B1所以x0,x3y z0.D yCO令 y1，A Bx得 n0,1,39 分．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯同理可求得平面OCB1的法向量为m1,0,1．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分所以 cos n, m36．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯11 分224因为二面角 B OB1 C 的平面角为钝角，所以二面角 B OB1 C 的余弦值为6．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12 分4解法二：由（Ⅰ）知平面 ACO1平面 BB1D1 D ，D1C1连接 A1C1与B1D1交于点O1，O1A1连接 CO1， OO1，因为 AA1CC1， AA1 // CC1，H K B1DC所以CAAC1 1为平行四边形．OA B因为 O ，O1分别是 AC ，A1C1的中点，所以 OA1O1C 为平行四边形．且O1C OA1 1．因为平面 ACO1I 平面 BB1D1 D OO1，过点 C作 CH OO1于 H ，则CH平面BB1D1D．过点H作HK OB1于 K ，连接 CK ，则 CK OB1．所以CKH 是二面角B OB1 C 的平面角的补角．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分在 Rt OCO1中， CH O1 C OC1337 分OO12．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2在 OCB1中，因为 A1 O A1B1，所以OB1OA12A1B12 5 ．因为 A1 B1CD ， A1B1 // CD ，所以 B1C A1 D AO12OD 2 2 ．因为 B1C2OC 2OB12，所以OCB1为直角三角形．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分所以 CK CB1OC236．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9 分OB155所以 KH CK 2CH 23．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分2 5所以 cos CKH KH611 分CK．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4所以二面角 B OB1 C 的余弦值为64．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12 分（ 20）（Ⅰ）解法一：设椭圆C的方程为x2y2 1 (a b0) ，a2b2因为椭圆的左焦点为F12，0，所以 a2b2 4 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 1 分设椭圆的右焦点为F2 2，0 ，已知点B2,2在椭圆 C 上，由椭圆的定义知BF1BF22a ，所以 2a32242 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分所以 a 2 2 ，从而b 2 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分所以椭圆 C 的方程为x2y 2 1 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分84解法二：设椭圆 C 的方程为x2y21(a b 0) ，a2b2因为椭圆的左焦点为F12，0 ，所以a2b2 4 ．①⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 1 分因为点 B 2,2在椭圆 C 上，所以421．②⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分a2b2由①②解得， a2 2 ，b 2．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分所以椭圆 C 的方程为x2y 2 1 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分84（Ⅱ）解法一：因为椭圆 C 的左顶点为 A ，则点 A 的坐标为 2 2,0 ．⋯⋯⋯⋯ 5 分因为直线 y kx ( k0) 与椭圆x2y21交于两点E，F，84设点 E x, y（不妨设 x0 0 ），则点 F x0 ,y0．00y kx,8联立方程组22消去 y 得x2．x y12k 2184所以 x022，则 y22k．12k12 k22所以直线 AE 的方程为ykx 22．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分112k 2因为直线 AE ， AF 分别与 y 轴交于点M，N，令 x0 得 y22k，即点M22k．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7 分12k20,1112k2同理可得点 N0,22k．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分1 1 2k2所以 MN22k22k 2 2 12k 2．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 9 分2k 22k2k1111设 MN 的中点为P，则点P的坐标为P0,2．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分k22 2 12k 2则以 MN 为直径的圆的方程为x2y2k ，k即 x2y 222 y4．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯11 分k令 y0 ，得 x2 4 ，即x2或 x 2 ．故以 MN 为直径的圆经过两定点P12,0， P22,0．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12 分解法二：因为椭圆 C 的左端点为A，则点 A 的坐标为22,0 ．⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分因为直线 y kx (k0) 与椭圆x2y2 1 交于两点E，F，8 4设点 E( x0 , y0 ) ，则点 F ( x0 , y0 ) ．所以直线 AE 的方程为y y0x 22．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分x0 22因为直线 AE 与 y 轴交于点M，2 2 y0，即点 M 2 2 y0．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7 分令 x 0 得 y0,x022x022同理可得点 N 0,22 y0．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分x022所以MN2 2 y0 2 2 y016 y0．x0 2 2 x0 2 2x028因为点 E(x0 , y0 ) 在椭圆C上，所以x02y0281 ．4所以MN 89 分．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯y0设 MN 的中点为P，则点P的坐标为P0,2x0．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分y02则以 MN 为直径的圆的方程为x2y 2x016．y0y02即x2y2 +22x0y 4 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯11 分y0令 y0 ，得x2 4 ，即x2或 x 2 ．故以 MN 为直径的圆经过两定点P12,0， P2 2,0．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12 分解法三：因为椭圆 C 的左顶点为A，则点 A 的坐标为 2 2,0．⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分因为直线 y kx ( k0) 与椭圆x2y21交于两点E，F，84设点 E 2 2 cos,2sin（ 0），则点 F2 2 cos ,2sin ．所以直线 AE 的方程为y2sin x 2 2 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分2 2 cos 2 2因为直线 AE 与 y 轴交于点M，令 x0 得y2sin，即点M0,2sin．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7 分cos1cos1同理可得点 N0,2sin1．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分cos所以MN2sin2sin4．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9 分cos1cos1sin设 MN 的中点为P，则点P的坐标为 P0,2cos．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分sin2cos 24则以 MN 为直径的圆的方程为x2y，sin sin2即 x2y24cos y 4 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯11 分sin令 y0 ，得 x2 4 ，即x 2或x 2 ．故以 MN 为直径的圆经过两定点 P12,0， P22,0．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12 分（ 21）（Ⅰ）解：因为f (x)e x+m x3，所以 f (x)e x +m3x2. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 1 分因为曲线y f x 在点0 f 0处的切线斜率为1，，所以 f0e m1，解得 m0 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分（Ⅱ）证法一：因为 f( x)e x+m x3, g x ln x12，所以f x g( x)x3等价于 e x+m ln x 120 ．当 m 1时， e x +m ln x 1 2 e x 1 ln x 1 2 ．要证 e x+ m ln x120 ，只需证明e x 1ln( x1) 20 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分以下给出三种思路证明e x1ln( x1)20 ．思路 1：设h x e x 1ln x 1 2 ，则h x e x 11.x1设 p x e x 11，则p x e x 1120 ．x1x 1所以函数 p x h x e x 11在1，+上单调递增．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分x111因为 h e2 2 0 ，h 0 e 10 ，2所以函数 h x x11在1，+上有唯一零点1,0.ex1x0，且 x02⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分因为 h x0 ，所以e x0+11，即 ln x1x01 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯9分0x0 10当 x1, x0时， h x0 ；当 x x ,时， h x0 ，所以当 x x0时，h x 取得最小值 h x0.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分所以 h x h x0 = e x01ln x0 1 211x0 1 2 0 .x0综上可知，当 m 1 时， f x g ( x)x3.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12 分思路 2：先证明e x1x2x R．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分设 h x e x 1x 2 ，则 h x e x+1 1 ．因为当 x1时， h x0 ，当 x1时， h x0 ，所以当 x1时，函数 h x单调递减，当x 1 时，函数 h x 单调递增．所以 h x h10．所以 e x1x 2 （当且仅当x1时取等号）．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7 分所以要证明e x1ln( x1)20 ，只需证明x2ln( x1)20 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分下面证明 x ln x10．设 p x x ln x 1 ，则p x 11x ．x1x1当 1 x0 时， p x0 ，当 x0 时， p x0 ，所以当1x0 时，函数 p x单调递减，当x0 时，函数 p x 单调递增．所以 p x p 00 ．所以 x ln x10（当且仅当 x0时取等号）．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分由于取等号的条件不同，所以 e x1ln( x1)20 ．综上可知，当 m 1时， f x g ( x)x3.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分（若考生先放缩 ln x 1 ，或e x、 ln x1同时放缩，请参考此思路给分！）思路 3：先证明e x 1ln( x1)20．令 t x1，转化为证明 e t ln t2t0．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分因为曲线y e t与曲线 y ln t 关于直线y t 对称，设直线 x x0x00 与曲线y e t、 y ln t 分别交于点A、B，点A、B到直线y t 的距离分别为 d1、 d2，则 AB 2 d1 d 2．其中 d1e x0x0， d2x0ln x0x00．22①设 h x0e x0x0x00，则 h x0e x0 1 ．因为 x00 ，所以 h x0e x010．所以 h x0在 0,上单调递增，则h x0h 0 1 ．所以 d1e x0x022．2②设 p x0x0ln x0 x0 0，则 p x01x011x0．x0因为当 0x0 1 时， p x00 ；当 x0 1 时， p x00 ，所以当0x0 1 时，函数p x0x0ln x0单调递减；当x01时，函数 p x0x0ln x0单调递增．所以 p x0p 1 1 ．所以 d 2x0ln x022．2所以 AB 2 d1 d 22222 ．22综上可知，当 m 1 时， f x g ( x)x3. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 12 分2019 年广州市一模理科数学试题及答案证法二：因为f ( x)e x +m x3,g x ln x1 2 ，所以 f x g( x)x3等价于 e x+m ln x120 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分以下给出两种思路证明e x +m ln x120．思路 1：设h x e x+ m ln x 1 2 ，则h x e x+m 1 .x1设 p x e x+ m1，则 p x e x+m12 0 ．x1x1所以函数 p(x)h x e x+m1在 -1，+上单调递增．⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分x1因为 m 1 ，所以 h 1 e m e 1 e m + m e m e m e 1 e m 1 0 ，h 0 e m 1 0.所以函数 h x e x +m1在 -1，+上有唯一零点x0，且x01 e m ,0 .x1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 8 分因为 h x00，所以e x0 +m1，即 ln x01x0 m ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯9分x0 1当 x0, x时， h x0 ；当 x x ,时， h x0.00所以当 x x0时，h x取得最小值h x0．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分所以 h x h x0e x0 +m ln x0 1 21x0m 2x011x0 1m30．x0 1综上可知，当 m 1 时， f x g ( x) x3．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12 分思路 2：先证明e x x 1 (x R ) ，且 ln( x1)x (x1) ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分设 F ( x) e x x 1 ，则 F (x) e x1．因为当 x0 时，F ( x)0 ；当x0 时，F (x) 0，所以 F ( x) 在 (,0) 上单调递减，在(0,) 上单调递增．所以当 x 0 时， F ( x) 取得最小值 F (0) 0 ．所以 F ( x)F (0)0 ，即 e xx 1 ( x R ) ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7 分 所以 ln( x 1) x （当且仅当 x 0 时取等号）．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分再证明 e x+m ln x 120．由 e x x 1 ( x R ) ，得 e x 1x 2 （当且仅当 x 1时取等号）．⋯⋯⋯⋯ 9 分因为 x1 ， m 1 ，且 e x 1x 2 与 ln( x 1)x 不同时取等号，所以 e x+m ln x 1 2 e m 1 e x 1 ln x 1 2e m 1 ( x 2) x 2 (e m 1 1)(x 2) 0 ．综上可知，当 m 1 时， f xg ( x) x 3 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12 分（ 22）（Ⅰ） 证明： 因为 AD 是⊙ O 的切线，FB所以DACB （弦切角定理） ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 1 分O因为 DE PCA ，．E A所以DACEDA．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2 分C所以 EDA B ．D因为AEDDEB （公共角），所以△ AED ∽△ DEB ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分所以DEAE ．BEDE即 DE 2AEgBE ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4 分（Ⅱ） 解： 因为 EF 是⊙ O 的切线， EAB 是⊙ O 的割线，所以 EF 2 EAgEB （切割线定理） ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分因为 EF4 ， EA2 ，所以 EB 8 ， AB EB EA 6 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 7 分由（Ⅰ）知DE 2AE gBE ，所以 DE 4．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分因为 DE P CA ，所以△BAC∽△BED．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9 分所以BAAC ．BE ED所以 AC BA ED 6 410 分BE3 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8（ 23）（Ⅰ）解：由2sin，0,2，可得2 2 sin ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 1 分因为2x2y2，sin y ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分所以曲线 C 的普通方程为x2y2 2 y0 （或x2y 121）．⋯⋯⋯⋯4分（Ⅱ）解法一：因为直线的参数方程为x3t 3,（ t 为参数，t R），y3t2消去 t 得直线l的普通方程为y3x 5 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分因为曲线 C ： x2y 121是以G0,1 为圆心，1为半径的圆，设点 D x0 , y0，且点 D 到直线l： y3x 5 的距离最短，所以曲线 C 在点 D 处的切线与直线l ：y3x 5 平行．即直线 GD 与 l 的斜率的乘积等于1，即y131．⋯⋯⋯⋯⋯⋯7 分x0因为 x02y021，1解得 x0332或x02．所以点 D 的坐标为31339 分2，或2，．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯22由于点 D 到直线y3x5的距离最短，所以点 D 的坐标为33．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分2，22019 年广州市一模理科数学试题及答案解法二：因为直线 l 的参数方程为x3t23,（ t 为参数，t R ），y3t消去 t 得直线l的普通方程为3x y50．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分因为曲线 C x22是以 G0,1为圆心， 1 为半径的圆，y 1 1因为点 D 在曲线 C 上，所以可设点D cos,1sin0,2．⋯⋯⋯ 7 分3 cos sin4所以点 D 到直线l的距离为 d22sin3．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分因为0,2，所以当时， d min1．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9 分6此时 D 33，所以点 D的坐标为3310 分2，2，．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯22（ 24）（Ⅰ）解：当a1等价于 x 1 x11时， f x．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 1 分22①当②当x1时，不等式化为 x1x1，无解；21x0 时，不等式化为x1 x11，解得x 0 ；24③当 x0 时，不等式化为x 1x 10 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分，解得 x2综上所述，不等式 f x 1 的解集为 1 ,．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分4（Ⅱ）因为不等式 f x b 的解集为空集，所以b f x max．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分以下给出两种思路求f x 的最大值.思路 1：因为f x x a x 1 a0 a 1 ，当 x a 时， f x x a x 1 aa 1 a < 0．当 a x1 a 时， f x x a x 1 a2x a1a￡ 2 1 - a + a - 1 - a = a + 1 - a ．当 x 1 a 时，f x x a x1a所以 f xmaxa 1 a ．a 1 a ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7 分思路 2：因为 f x x a x1ax a x1aa1aa1 a ，当且仅当 x1 a 时取等号．所以 f xmaxa 1 a ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7 分因为对任意a0,1，不等式 f xb 的解集为空集，所以 b a1a．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分max以下给出三种思路求g a a1a 的最大值.思路 1：令g a a1 a ，所以 g 2 a 1 2 a 1 a 1a 221 a2 ．当且仅当a1 a ，即 a 1时等号成立．2所以 g amax2 ．所以 b 的取值范围为2，+．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分思路 2：令g a a1 a ，因为 0 a 1 ，所以可设a cos20，2则 g a a 1 a cos sin 2 sin 2 ，4当且仅当时等号成立．4所以 b 的取值范围为2，+．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分思路 3：令g a a1 a ，ì a ,x =22因为 0 a?+ y= 1 (0＃x1,0 ＃ y 1)．1 ，设í则 x?1- a,y =问题转化为在2+ y2= 1(0＃x1,0 ＃ y1)的条件下，y x求 z = x+ y 的最大值．利用数形结合的方法容易求得z 的最大值为 2 ，此时 x = y = 2 ．O x 2所以 b 的取值范围为2，+．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分。
2019年广东省广州市天河区高考数学一模试卷和答案(理科)
2019年广东省广州市天河区高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（5分）设集合A＝{y|y＝2x，x∈R}，B＝{x|x2﹣1＜0}，则A∪B＝（）A．（﹣1，1）B．（0，1）C．（﹣1，+∞）D．（0，+∞）2．（5分）若复数满足i•z＝﹣1﹣i，则复数z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）某学校组织学生参加数学测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为[20，40），[40，60），[60，80），[80，100），若低于60分的人数是30人，则该班的学生人数是（）A．45B．50C．75D．1004．（5分）已知偶函数f（x），当x∈[0，2）时，f（x）＝﹣，当x∈[2，+∞）时，f（x）＝log2x，则f（﹣4）+f（﹣）＝（）A．﹣4B．0C．D．5．（5分）若向量＝（x+1，2）和向量＝（1，﹣1）垂直，则|+|＝（）A．B．C．D．6．（5分）若数列{b n}满足：++…+＝2n（n∈N*），则数列{b n}的前n项和S n为（）A．2n+1B．4•2n+4C．2n+2﹣2D．2n+2﹣47．（5分）一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，俯视图是一个等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为（）A．B．C．D．8．（5分）在区间[0，1]上随机取两个数x，y，记P1为事件“x+y≥”的概率，P2为事件“|x﹣y|≤”的概率，P3为事件“xy≤”的概率，则（）A．P1＜P2＜P3B．P2＜P3＜P1C．P3＜P1＜P2D．P3＜P2＜P1 9．（5分）已知且，则等于（）A．B．C．D．10．（5分）已知圆C的方程为x2﹣2x+y2＝0，直线l：kx﹣y+2﹣2k＝0与圆C交于A，B两点，则当△ABC面积最大时，直线l的斜率k为（）A．1B．6C．1或7D．2或611．（5分）如图，点P在正方体ABCD﹣A1B1C1D1的面对角线BC1上运动，则下列四个结论：①三棱锥A﹣D1PC的体积不变；②A1P∥平面ACD1；③DP⊥BC1；④平面PDB1⊥平面ACD1．其中正确的结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个12．（5分）若函数F（x）＝2x•f（x），当F（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增，则称函数f （x）具有M性质，下列函数中具有M性质的函数为（）A．f（x）＝2e﹣x B．f（x）＝x2+4C．f（x）＝3x D．f（x）＝x3二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分，）13．（5分）已知（2x﹣）n（n∈N*）展开式中二项式系数的和为512，则该展开式中常数项为．14．（5分）在等差数列{a n}中，首项a1＝0，公差d≠0，若a m＝a1+a2+a3+……+a20，则m ＝．15．（5分）如果一个三位数abc同时满足a＞b且b＜c，则称该三位数为“凹数”，那么所有不同的三位“凹数”的个数是．16．（5分）已知点A是抛物线x2＝4y的对称轴与准线的交点，点B为抛物线的焦点，P在抛物线上且满足|P A|＝m|PB|，当m取最大值时，点P恰好在以A，B为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为．三、解答题，共60分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若2b﹣c＝2a cos C．（1）求角A；（2）若2（b+c）＝3bc，a＝，求△ABC的面积S．18．（12分）如图所示，P A⊥平面ABCD，△ABC为等边三角形，P A＝AB，AC⊥CD，M为AC的中点．（1）证明：BM∥平面PCD；（2）若PD与平面P AC所成角的正切值为，求二面角C﹣PD﹣M的余弦值．19．（12分）2017年12月11日广州国际马拉松赛后，某机构用“10分制”调查了各阶层人士对此项赛事的满意度，现从调查人群中随机抽取16名，如图茎叶图记录了他们的满意度分数（以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶）：（1）指出这组数据的众数和中位数；（2）若满意度不低于9.5分，则称该被调查者的满意度为“极满意”．求从这16人中随机选取3人，至少有2人是“极满意”的概率；（3）以这16人的样本数据来估计整个被调查群体的总体数据，若从该被调查群体（人数很多）任选3人，记ξ表示抽到“极满意”的人数，求ξ的分布列及数学期望．20．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，焦点在x轴上的椭圆+＝1（b＞0）的右顶点和上顶点分别为A，B，M为线段AB的中点，且•＝﹣b2．（1）求椭圆的离心率；（2）四边形ABCD内接于椭圆，AB∥CD．记直线AD，BC的斜率分别为k1、k2，求证：k1•k2为定值．21．（12分）设函数f（x）＝﹣alnx+x2﹣（a﹣2）x．（1）若函数f（x）在x＝1处的切线与直线x+6y﹣1＝0垂直，求实数a的值；（2）讨论函数f（x）的单调区间与极值；（3）若函数f（x）有两个零点，求满足条件的最小整数a的值．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为ρ＝2sinθ．（1）求圆C的直角坐标方程；（2）设圆C与直线l交于点A、B，若点P的坐标为（1，），求|P A|+|PB|的值．[选修4-5：不等式选讲]23．（10分）已知函数f（x）＝|x﹣1|+|x+1|+2．（1）求不等式f（x）≥6的解集；（2）若关于x的不等式f（x）≥a2﹣a﹣2在R上恒成立，求实数a的取值范围．2019年广东省广州市天河区高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．【解答】解：∵A＝{y|y＝2x，x∈R}＝（0，+∞），B＝{x|x2﹣1＜0}＝（﹣1，1），∴A∪B＝（0，+∞）∪（﹣1，1）＝（﹣1，+∞）．故选：C．2．【解答】解：由i•z＝﹣1﹣i，得i2•z＝（﹣1﹣i）i＝﹣i﹣i2＝1﹣i，则﹣z＝1﹣i，z＝﹣1+i，对应点的坐标为（﹣1，1）为第二象限，或法2：由i•z＝﹣1﹣i得z＝＝＝﹣1+i，对应点的坐标为（﹣1，1）为第二象限，故选：B．3．【解答】解：由频率分布直方图得低于60分的频率为：（0.005+0.010）×20＝0.3，∵低于60分的人数是30人，∴该班的学生人数是：＝100．故选：D．4．【解答】解：根据题意，当x∈[0，2）时，f（x）＝﹣，则f（）＝﹣＝﹣，当x∈[2，+∞）时，f（x）＝log2x，f（4）＝log24＝2，又由f（x）为偶函数，则f（﹣4）＝f（4）＝2，f（﹣）＝f（）＝﹣；则f（﹣4）+f（﹣）＝2﹣＝；故选：D．5．【解答】解：由⊥，得•＝（x+1）×1+2×（﹣1）＝0，解得x＝1；∴+＝（3，1），∴|+|＝＝．故选：A．6．【解答】解：数列{b n}满足：++…+＝2n（n∈N*），可得：++…+＝2（n﹣1）（n∈N*），可得＝2n﹣2（n﹣1）＝2，可得b n＝2n+1．（n≥2）当n＝1时，b1＝4，所以数列{b n}的通项公式为：b n＝2n+1．所以数列{b n}是等比数列，公比为2．数列{b n}的前n项和S n＝＝2n+2﹣4．故选：D．7．【解答】解：由三视图知，该几何体是如图所示的三棱锥，且三棱锥的侧面SAC⊥底面ABC，高为SO＝；其中OA＝OB＝OC＝1，SO⊥平面ABC，其外接球的球心在SO上，设球心为M，OM＝x，则＝﹣x，解得x＝，∴外接球的半径为R＝﹣＝；∴三棱锥外接球的表面积为S＝4π×＝．故选：C．8．【解答】解：分别作出事件对应的图象如图（阴影部分）：P1：D（0，），F（，0），A（0，1），B（1，1），C（1，0），则阴影部分的面积S1＝1×1﹣＝1﹣＝，S2＝1×1﹣2×＝1﹣＝，S3＝1×+dx＝+lnx|＝﹣ln＝+ln2，∴S2＜S3＜S1，即P2＜P3＜P1，故选：B．9．【解答】解：∵，，∴＜＜，可得：cos（）＝﹣＝﹣，∴＝cos[（）﹣]＝cos（）cos+sin（）sin ＝（﹣）×+＝．故选：D．10．【解答】解：根据题意，圆C的方程为x2﹣2x+y2＝0，即为（x﹣1）2+y2＝1，则圆半径r＝1，圆心C（1，0），直线l：kx﹣y+2﹣2k＝0与圆C交于A，B两点，当CA与CB垂直时，△ABC面积最大，此时△ABC为等腰直角三角形，圆心C到直线AB的距离d＝，则有＝，解可得k＝1或7；故选：C．11．【解答】解：对于①，由题意知AD1∥BC1，从而BC1∥平面AD1C，故BC1上任意一点到平面AD1C的距离均相等，所以以P为顶点，平面AD1C为底面，则三棱锥A﹣D1PC的体积不变，故①正确；对于②，连接A1B，A1C1，A1C1∥AD1且相等，由于①知：AD1∥BC1，所以BA1C1∥面ACD1，从而由线面平行的定义可得，故②正确；对于③，由于DC⊥平面BCB1C1，所以DC⊥BC1，若DP⊥BC1，则BC1⊥平面DCP，BC1⊥PC，则P为中点，与P为动点矛盾，故③错误；对于④，连接DB1，由DB1⊥AC且DB1⊥AD1，可得DB1⊥面ACD1，从而由面面垂直的判定知，故④正确．故选：C．12．【解答】解：A．f（x）＝2e﹣x，则F（x）＝2x•f（x）＝2x•2e﹣x＝2（）x，∵0＜＜1，∴F（x）在（﹣∞，+∞）上是减函数，不满足条件．B．若f（x）＝x2+4，则F（x）＝2x•f（x）＝2x•（x2+4），F′（x）＝2x•（ln2）•（x2+4）+2x•（2x）＝2x•[（ln2）x2+2x+4ln2]，∵y＝（ln2）x2+2x+4ln2的判别式△＝22﹣4ln2•4ln2＝4﹣16（ln2）2＜0，∴[（ln2）x2+2x+4ln2＞0，∴F′（x）＞0，即F（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增，满足条件，C．若f（x）＝3x，则F（x）＝2x•3x＝3x•2x，则F（﹣2）＝﹣6×＝﹣，F（﹣1）＝﹣3×＝﹣，则F（﹣2）＝F（﹣1），不满足单调性D．f（x）＝x3，则F（x）＝2x•f（x）＝2x•x3，则F′（x）＝2x•（ln2）•x3+2x•3x2＝（2x•x2）（xln2+3），当x＜﹣3时，F′（x）＜0，此时函数为减函数，不满足条件．故选：B．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分，）13．【解答】解：（2x﹣）n展开式中二项式系数的和为2n＝512，解得n＝9，则展开式中的通项公式为T r+1＝•（2x）9﹣r•＝（﹣1）r••29﹣r•，令9﹣＝0，解得r＝6，所以展开式中常数项为T7＝（﹣1）6••23＝672．故答案为：672．14．【解答】解：等差数列{a n}中，首项a1＝0，公差d≠0，a m＝a1+a2+a3+…+a20，则a m＝d+2d+…+19d＝d＝190d＝a191；∴m＝191．故答案为：191．15．【解答】解：根据题意，按十位数字分类讨论：①十位数字是9时不存在，此时三位“凹数”的个数为0；②十位数字是8，只有989，此时三位“凹数”的个数为1；③十位数字是7，则百位与个位都有2种可能，所以此时三位“凹数”的个数为2×2＝4；④十位数字是6，则百位与个位都有3种可能，所以此时三位“凹数”的个数为3×3＝9；⑤十位数字是5，则百位与个位都有4种可能，所以此时三位“凹数”的个数为4×4＝16；⑥十位数字是4时，则百位与个位都有5种可能，所以此时三位“凹数”的个数为5×5＝25；⑦十位数字是3时，则百位与个位都有6种可能，所以此时三位“凹数”的个数为6×6＝36；⑧十位数字是2时，则百位与个位都有7种可能，所以此时三位“凹数”的个数为7×7＝49；⑨十位数字是1时，则百位与个位都有8种可能，所以此时三位“凹数”的个数为8×8＝64；⑩十位数字是0时，则百位与个位都有9种可能，所以此时三位“凹数”的个数为9×9＝81，所以所有不同的三位“凹数”的个数是1+4+…+81＝285个，故答案为：285．16．【解答】解：过P作准线的垂线，垂足为N，则由抛物线的定义可得|PN|＝|PB|，∵|P A|＝m|PB|，∴|P A|＝m|PN|，则，设P A的倾斜角为α，则sinα＝，当m取得最大值时，sinα最小，此时直线P A与抛物线相切，设直线P A的方程为y＝kx﹣1，代入x2＝4y，可得x2＝4（kx﹣1），即x2﹣4kx+4＝0，∴△＝16k2﹣16＝0，∴k＝±1，∴P（2，1），∴双曲线的实轴长为P A﹣PB＝2（﹣1），∴双曲线的离心率为．故答案为：．三、解答题，共60分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．【解答】解：（1）∵2b﹣c＝2a cos C，∴2b﹣c＝2a×，化为：b2+c2﹣a2＝bc，∴可得cos A＝＝＝，∵A∈（0，π），∴A＝．（2）∵a＝，A＝，∴b2+c2﹣a2＝bc，可得：b2+c2﹣3＝bc，与联立2（b+c）＝3bc，解得：bc＝2，（负值舍去）∴△ABC的面积S＝bc sin A＝×2×＝．18．【解答】（1）证明：因为M为等边△ABC的AC边的中点，所以BM⊥AC．依题意CD⊥AC，且A、B、C、D四点共面，所以BM∥CD．又因为BM⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，所以BM∥平面PCD．（2）解：因为CD⊥AC，CD⊥P A，所以CD⊥平面P AC，故PD与平面P AC所成的角即为∠CPD．不妨设P A＝AB＝1，则PC＝．由于tan∠CPD＝＝，所以CD＝．在等腰Rt△P AC中，过点M作ME⊥PC于点E，再在Rt△PCD中作EF⊥PD于点F（图1所示）．因为ME⊥PC，ME⊥CD，所以ME⊥平面PCD，可得ME⊥PD．又EF⊥PD，所以∠EFM即为二面角C﹣PD﹣M的平面角．由题意知PE＝3EC，ME＝，EF＝＝，所以tan∠EFM＝＝，即二面角C﹣PD﹣M的余弦值是．19．【解答】解：（1）由茎叶图可知：这组数据的众数为8.6，中位数＝＝8.75．（2）被调查者的满意度为“极满意”共有4人其满意度分别为9.7，9.6，9.5，9.5．从这16人中随机选取3人，至少有2人是“极满意”的概率P＝＝．（3）由题意可得：ξ～B（3，）．E（ξ）＝＝．20．【解答】解：（1）A（2，0），B（0，b），线段AB的中点M（1，）．＝（﹣2，b），＝（1，）．∵•＝﹣b2．∴﹣2+＝﹣，解得a＝2，b＝1．∴c＝＝，∴椭圆的离心率e＝＝．证明：（2）由（1）得椭圆的标准方程为+y2＝1，A（2，0），B（0，1），直线BC的方程为y＝k2x+1，联立，得（1+4k22）x2+8k2x，解得，，即C（，），直线AD的方程为y＝k1（x﹣2）．联立，化为（1+4k12）x2﹣16k12x+16k12﹣4＝0，∴，解得，，∴D（，），∴＝﹣，化为1﹣16+2k1﹣2k2+8﹣8k2k12＝0，∴（k1k2﹣）（4k1k2﹣2k2+2k1+1）＝0，∴k1•k2＝为定值．21．【解答】解：（1）f′（x）＝+2x﹣（a﹣2），（x＞0）．f′（1）＝4﹣2a，∵函数f（x）在x＝1处的切线与直线x+6y﹣1＝0垂直，∴（4﹣2a）×＝﹣1，解得a＝﹣1．（2）f′（x）＝+2x﹣（a﹣2）＝，a≤0时，f′（x）＞0，此时函数f（x）在（0，+∞）内单调递增，无极值．a＞0时，可得函数f（x）在（0，）内单调递减，在（，+∞）内单调递增．可得x＝时，函数f（x）取得极小值，f（）＝﹣aln+﹣＝﹣aln+．（3）由（2）可得：a≤0时，函数f（x）在（0，+∞）内单调递增，不可能有两个零点，舍去．a＞0时，可得x＝时，函数f（x）取得极小值，x→0+时，f（x）→0；x→+∞时，f（x）→+∞．因此极小值f（）＝﹣aln+＜0．即ln+＞0．令函数g（x）＝ln+，在（0，+∞）上单调递增．g（2）＝﹣＜0，g（3）＝﹣，∵＞e，可得g（3）＝﹣＞0，∴满足条件的最小整数a＝3．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．【解答】解：（1）∵圆C的方程为ρ＝2sinθ，即，∴圆C的直角坐标方程为x2+y2＝2y，即x2+（y﹣）2＝5．（2）将直线l的参数方程为（t为参数）代入＝5，得：（1+t）2+（t）2＝5，即，∵△＝2+16＞0，∴设t1，t2是上述方程的根，则t1+t2＝﹣，t1t2＝﹣4，∵点P的坐标为（1，），∴|P A|+|PB|＝|t1﹣t2|＝＝＝3．[选修4-5：不等式选讲]23．【解答】解：（1）函数f（x）＝|x﹣1|+|x+1|+2＝，∴不等式f（x）≥6可化为：或或，解得x≤﹣2或x≥2，∴不等式f（x）≥6的解集为{x|x≤﹣2或x≥2}；（2）f（x）＝|x﹣1|+|x+1|+2≥|（x﹣1）﹣（x+1）|+2＝4，若关于x的不等式f（x）≥a2﹣a﹣2在R上恒成立，则a2﹣a﹣2≤4，即a2﹣a﹣6≤0，解得﹣2≤a≤3，∴实数a的取值范围是﹣2≤a≤3．。
2019年广东省高考一模数学试卷含参考答案(理科)
2019年广东省高考一模数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题, 每小题5分, 共60分．在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A＝{x|x﹣1＜2}, B＝{y|y＝2x, x∈A}, 则A∩B＝（）A．（﹣∞, 8）B．（﹣∞, 3）C．（0, 8）D．（0, 3）2．（5分）复数z＝﹣i（i为虚数单位）的虚部为（）A．B．C．D．3．（5分）双曲线9x2﹣16y2＝1的焦点坐标为（）A．（±, 0）B．（0, ）C．（±5, 0）D．（0, ±5）4．（5分）记S n为等差数列{a n}的前n项和, 若a2+a8＝34, S4＝38, 则a1＝（）A．4B．5C．6D．75．（5分）已知函数f（x）在（﹣∞, +∞）上单调递减, 且当x∈[﹣2, 1]时, f（x）＝x2﹣2x﹣4, 则关于x的不等式f（x）＜﹣1的解集为（）A．（﹣∞, ﹣1）B．（﹣∞, 3）C．（﹣1, 3）D．（﹣1, +∞）6．（5分）某几何体的三视图如图所示, 则该几何体的体积为（）A．3πB．4πC．6πD．8π7．（5分）执行如图的程序框图, 依次输入x1＝17, x2＝19, x3＝20, x4＝21, x5＝23, 则输出的S值及其统计意义分别是（）A．S＝4, 即5个数据的方差为4B．S＝4, 即5个数据的标准差为4C．S＝20, 即5个数据的方差为20D．S＝20, 即5个数据的标准差为208．（5分）已知A, B, C三点不共线, 且点O满足16﹣12﹣3＝, 则（）A．＝12+3B．＝12﹣3C．＝﹣12+3D．＝﹣12﹣39．（5分）设数列{a n}的前n项和为S n, 且a1＝2, a n+a n+1＝2n（n∈N*）, 则S13＝（）A．B．C．D．10．（5分）古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时, 提出了分线段的“中末比”问题：将一线段AB分为两线段AC, CB, 使得其中较长的一段AC是全长AB与另一段CB的比例中项, 即满足＝＝≈0.618．后人把这个数称为黄金分割数, 把点C称为线段AB的黄金分割点在△ABC中, 若点P, Q为线段BC的两个黄金分割点, 在△ABC内任取一点M, 则点M落在△APQ内的概率为（）A．B．﹣2C．D．11．（5分）已知函数f（x）＝sin（ωx+）+（ω＞0）, 点P, Q, R是直线y＝m（m＞0）与函数f（x）的图象自左至右的某三个相邻交点, 且2|PQ|＝|QR|＝, 则ω+m ＝（）A．B．2C．3D．12．（5分）已知函数若f（x）＝（kx+）e x﹣3x, 若f（x）＜0的解集中恰有两个正整数, 则k的取值范围为（）A．（, ]B．[, ）C．（, ]D．[, ）二、填空题：本大题共4小题, 每小题5分, 共20分．把答案填在答题卡中的横线上．13．（5分）（2x+y）6的展开式中, x2y4的系数为．14．（5分）设x, y满足约束条件, 则z＝2x+y的最大值为．15．（5分）在三棱锥P﹣ABC中, AP, AB, AC两两垂直, 且AP＝AB＝AC＝．若点D, E分别在棱PB, PC上运动（都不含端点）, 则AD+DE+EA的最小值为．16．（5分）已知F为抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点, 曲线C1是以F为圆心, 为半径的圆, 直线2x﹣6y+3p＝0与曲线C, C1从左至右依次相交于P, Q, R, S, 则＝三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题, 每道试题考生都必须作答．第22、23题为选考题, 考生根据要求作答．(一)必考题：共60分．17．（12分）△ABC的内角A, B, C的对边分别为a, b, c, 已知c cos A+c sin A＝b+a．（1）求C；（2）若D在边BC上, 且BD＝3DC, cos B＝, S△ABC＝10, 求AD．18．（12分）已知五面体ABCDEF中, 四边形CDEF为矩形, AB∥CD, CD＝2DE＝2AD ＝2AB＝4, AC＝2, 且二面角F﹣AB﹣C的大小为30°．（1）证明：AB⊥平面ADE；（2）求二面角E﹣BC﹣F的余弦值．19．（12分）已知点（1, ）, （）都在椭圆C：＝1（a＞b＞0）上．（1）求椭圆C的方程；（2）过点M（0, 1）的直线l与椭圆C交于不同两点P, Q（异于顶点）, 记椭圆与y 轴的两个交点分别为A1, A2, 若直线A1P与A2Q交于点S, 证明：点S恒在直线y＝4上．20．（12分）随着小汽车的普及, “驾驶证”已经成为现代入“必考”的证件之一．若某人报名参加了驾驶证考试, 要顺利地拿到驾驶证, 他需要通过四个科目的考试, 其中科目二为场地考试．在一次报名中, 每个学员有5次参加科目二考试的机会（这5次考试机会中任何一次通过考试, 就算顺利通过, 即进入下一科目考试；若5次都没有通过, 则需重新报名）, 其中前2次参加科目二考试免费, 若前2次都没有通过, 则以后每次参加科目二考试都需交200元的补考费, 某驾校对以往2000个学员第1次参加科目二考试的通过情况进行了统计, 得到如表：考试情况男学员女学员第1次考科目二人数1200800第1次通过科目二人数960600第1次未通过科目二人数240200若以如表得到的男、女学员第1次通过科目二考试的频率分别作为此驾校男、女学员每次通过科目二考试的概率, 且每人每次是否通过科目二考试相互独立．现有一对夫妻同时在此驾校报名参加了驾驶证考试, 在本次报名中, 若这对夫妻参加科目二考试的原则为：通过科目二考试或者用完所有机会为止．（1）求这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费的概率；（2）若这对夫妻前2次参加科目二考试均没有通过, 记这对夫妻在本次报名中参加科目二考试产生的补考费用之和为X元, 求X的分布列与数学期望．21．（12分）已知函数f（x）＝（x﹣a）e x（a∈R）．（1）讨论f（x）的单调性；（2）当a＝2时, F（x）＝f（x）﹣x+lnx, 记函数y＝F（x）在（, 1）上的最大值为m, 证明：﹣4＜m＜﹣3．(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做, 则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程](10分)22．（10分）在平面直角坐标系xOy中, 曲线C1的参数方程为, （θ为参数）已知点Q（4, 0）, 点P是曲线∁l上任意一点, 点M为PQ的中点, 以坐标原点为极点, x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求点M的轨迹C2的极坐标方程；（2）已知直线l：y＝kx与曲线C2交于A, B两点, 若＝3, 求k的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+a|+2|x﹣1|（a＞0）．（1）求f（x）的最小值；（2）若不等式f（x）﹣5＜0的解集为（m, n）, 且n﹣m＝, 求a的值．2019年广东省高考一模数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题, 每小题5分, 共60分．在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A＝{x|x﹣1＜2}, B＝{y|y＝2x, x∈A}, 则A∩B＝（）A．（﹣∞, 8）B．（﹣∞, 3）C．（0, 8）D．（0, 3）【解答】解：∵集合A＝{x|x﹣1＜2}＝{x|x＜3},B＝{y|y＝2x, x∈A}＝[y|0＜y＜8},∴A∩B＝{x|0＜x＜3}＝（0, 3）．故选：D．2．（5分）复数z＝﹣i（i为虚数单位）的虚部为（）A．B．C．D．【解答】解：复数z＝﹣i＝﹣i＝﹣i＝﹣﹣i,则z的虚部为﹣．故选：A．3．（5分）双曲线9x2﹣16y2＝1的焦点坐标为（）A．（±, 0）B．（0, ）C．（±5, 0）D．（0, ±5）【解答】解：双曲线9x2﹣16y2＝1的标准方程为：,可得a＝, b＝, c＝＝,所以双曲线的焦点坐标为（±, 0）．故选：A．4．（5分）记S n为等差数列{a n}的前n项和, 若a2+a8＝34, S4＝38, 则a1＝（）A．4B．5C．6D．7【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d, ∵a2+a8＝34, S4＝38,∴2a1+8d＝34, 4a1+6d＝38,联立解得：a1＝5, d＝3,故选：B．5．（5分）已知函数f（x）在（﹣∞, +∞）上单调递减, 且当x∈[﹣2, 1]时, f（x）＝x2﹣2x﹣4, 则关于x的不等式f（x）＜﹣1的解集为（）A．（﹣∞, ﹣1）B．（﹣∞, 3）C．（﹣1, 3）D．（﹣1, +∞）【解答】解：∵x∈[﹣2, 1]时, f（x）＝x2﹣2x﹣4；∴f（﹣1）＝﹣1；∵f（x）在（﹣∞, +∞）上单调递减；∴由f（x）＜﹣1得, f（x）＜f（﹣1）；∴x＞﹣1；∴不等式f（x）＜﹣1的解集为（﹣1, +∞）．故选：D．6．（5分）某几何体的三视图如图所示, 则该几何体的体积为（）A．3πB．4πC．6πD．8π【解答】解：由三视图知, 几何体是一个简单组合体, 左侧是一个半圆柱, 底面的半径是1, 高为：4,右侧是一个半圆柱, 底面半径为1, 高是2,∴组合体的体积是：＝3π,故选：A．7．（5分）执行如图的程序框图, 依次输入x1＝17, x2＝19, x3＝20, x4＝21, x5＝23, 则输出的S值及其统计意义分别是（）A．S＝4, 即5个数据的方差为4B．S＝4, 即5个数据的标准差为4C．S＝20, 即5个数据的方差为20D．S＝20, 即5个数据的标准差为20【解答】解：根据程序框图, 输出的S是x1＝17, x2＝19, x3＝20, x4＝21, x5＝23这5个数据的方差,∵＝（17+19+20+21+23）＝20,∴由方差的公式S＝[（17﹣20）2+（19﹣20）2+（20﹣20）2+（21﹣20）2+（23﹣20）2]＝4．故选：A．8．（5分）已知A, B, C三点不共线, 且点O满足16﹣12﹣3＝, 则（）A．＝12+3B．＝12﹣3C．＝﹣12+3D．＝﹣12﹣3【解答】解：由题意, 可知：对于A：＝＝,整理上式, 可得：16﹣12﹣3＝,这与题干中条件相符合,故选：A．9．（5分）设数列{a n}的前n项和为S n, 且a1＝2, a n+a n+1＝2n（n∈N*）, 则S13＝（）A．B．C．D．【解答】解：由题意, ∵a1＝2,n＝2时, a2+a3＝22,n＝4时, a4+a5＝24,n＝6时, a6+a7＝26,n＝8时, a8+a9＝28,n＝10时, a10+a11＝210,n＝12时, a12+a13＝212,S13＝2+22+24+26+28+210+212＝2+＝．故选：D．10．（5分）古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时, 提出了分线段的“中末比”问题：将一线段AB分为两线段AC, CB, 使得其中较长的一段AC是全长AB与另一段CB的比例中项, 即满足＝＝≈0.618．后人把这个数称为黄金分割数, 把点C称为线段AB的黄金分割点在△ABC中, 若点P, Q为线段BC的两个黄金分割点, 在△ABC内任取一点M, 则点M落在△APQ内的概率为（）A．B．﹣2C．D．【解答】解：设BC＝a,由点P, Q为线段BC的两个黄金分割点,所以BQ＝, CP＝,所以PQ＝BQ+CP﹣BC＝（）a,S△APQ：S△ABC＝PQ：BC＝（﹣2）a：a＝﹣2,由几何概型中的面积型可得：在△ABC内任取一点M, 则点M落在△APQ内的概率为＝,故选：B．11．（5分）已知函数f（x）＝sin（ωx+）+（ω＞0）, 点P, Q, R是直线y＝m（m ＞0）与函数f（x）的图象自左至右的某三个相邻交点, 且2|PQ|＝|QR|＝, 则ω+m ＝（）A．B．2C．3D．【解答】解：∵2|PQ|＝|QR|＝,∴|PQ|＝, |QR|＝,则T＝||PQ+|QR|＝+＝π,即＝π, 即ω＝2,即f（x）＝sin（2x+）+,∵|PQ|＝,∴x2﹣x1＝,2x1++2x2+＝π,得x1＝0, 此时m＝sin（2x1+）+＝sin+＝＝1．即ω+m＝1+2＝3,故选：A．12．（5分）已知函数若f（x）＝（kx+）e x﹣3x, 若f（x）＜0的解集中恰有两个正整数, 则k的取值范围为（）A．（, ]B．[, ）C．（, ]D．[, ）【解答】解：由f（x）＜0得f（x）＝（kx+）e x﹣3x＜0,即（kx+）e x＜3x,即（kx+）＜的解集中恰有两个正整数,设h（x）＝, 则h′（x）＝＝,由h′（x）＞0得3﹣3x＞0得x＜1, 由h′（x）＜0得3﹣3x＜0得x＞1,即当x＝1时函数h（x）取得极大值h（1）＝,设函数g（x）＝kx+,作出函数h（x）的图象如图,由图象知当k≤0, （kx+）＜的解集中有很多整数解, 不满足条件．则当k＞0时, 要使, （kx+）＜的解集中有两个整数解,则这两个整数解为x＝1和x＝2,∵h（2）＝, h（3）＝, ∴A（2, ）B（3, ）,当直线g（x）过A（2, ）B（3, ）时, 对应的斜率满足2k A+＝, 3k B+＝, 得k A＝, k B＝,要使, （kx+）＜的解集中有两个整数解,则k B＜k≤k A, 即＜k≤,即实数k的取值范围是（, ],故选：A．二、填空题：本大题共4小题, 每小题5分, 共20分．把答案填在答题卡中的横线上．13．（5分）（2x+y）6的展开式中, x2y4的系数为60．【解答】解：（2x+y）6的展开式中, 故含x2y4的项为•（2x）2•y4＝60x2y4,故答案为：60．14．（5分）设x, y满足约束条件, 则z＝2x+y的最大值为7．【解答】解：画出x, y满足约束条件表示的平面区域,如图所示,由, 解得点A（3, 1）,结合图形知, 直线2x+y﹣z＝0过点A时,z＝2x+y取得最大值为2×3+1＝7．故答案为：7．15．（5分）在三棱锥P﹣ABC中, AP, AB, AC两两垂直, 且AP＝AB＝AC＝．若点D, E分别在棱PB, PC上运动（都不含端点）, 则AD+DE+EA的最小值为．【解答】解：如图,由AP, AB, AC两两垂直, 且AP＝AB＝AC＝,得PB＝PC＝BC＝2, ∠APB＝∠APC＝45°,沿P A剪开, 向两侧展开到平面PBC上, 连接A′A″,则AD+DE+EA的最小值为A′A″＝＝＝．故答案为：．16．（5分）已知F为抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点, 曲线C1是以F为圆心, 为半径的圆, 直线2x﹣6y+3p＝0与曲线C, C1从左至右依次相交于P, Q, R, S, 则＝【解答】解：可得直线2x﹣6y+3p＝0与y轴交点是抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点F,由得x2﹣px﹣p2＝0, ⇒x P＝, x S＝．⇒,|RS|＝|SF|﹣＝y S+＝p, |PQ|＝|PF|﹣＝y P+﹣＝p．∴则＝．故答案为：..三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题, 每道试题考生都必须作答．第22、23题为选考题, 考生根据要求作答．(一)必考题：共60分．17．（12分）△ABC的内角A, B, C的对边分别为a, b, c, 已知c cos A+c sin A＝b+a．（1）求C；（2）若D在边BC上, 且BD＝3DC, cos B＝, S△ABC＝10, 求AD．【解答】（本题满分为12分）解：（1）∵c cos A+c sin A＝b+a,∴由正弦定理可得：sin C cos A+sin C sin A＝sin B+sin A,∴sin C cos A+sin C sin A＝sin（A+C）+sin A＝sin A cos C+cos A sin C+sin A,∴sin C sin A＝sin A cos C+sin A,∵sin A≠0,∴sin C＝cos C+1,∴解得：sin（C﹣）＝,∵C∈（0, π）, 可得：C﹣∈（﹣, ）,∴C﹣＝, 可得：C＝．（2）∵cos B＝, 可得：sin B＝＝,∴由S△ABC＝10＝ac sin B＝ab sin C, 可得：ac＝56, ab＝40, 可得：a＝, b ＝,又∵由余弦定理可得：c2＝a2+b2﹣ab＝a2+b2﹣40,∴c2＝（）2+（）2﹣40, 整理可得：3c4+245c2﹣19208＝0,解得：c2＝49, 可得：c＝7, a＝8, b＝5,∴在△ACD中, 由余弦定理可得：AD＝＝＝．18．（12分）已知五面体ABCDEF中, 四边形CDEF为矩形, AB∥CD, CD＝2DE＝2AD ＝2AB＝4, AC＝2, 且二面角F﹣AB﹣C的大小为30°．（1）证明：AB⊥平面ADE；（2）求二面角E﹣BC﹣F的余弦值．【解答】证明：（1）∵五面体ABCDEF中, 四边形CDEF为矩形, CD＝2DE＝2AD＝2AB＝4, AC＝2,∴DE⊥AD, AD2+CD2＝AC2, ∴AD⊥CD,∵AD∩DE＝D, ∴CD⊥平面ADE,∵AB∥CD, ∴AB⊥平面ADE．解：（2）由（1）得AB⊥平面ADE,∴∠DAE是二面角F﹣AB﹣C的平面角, 即∠DAE＝30°．∵DA＝DE＝2, ∴∠ADE＝120°,以D为原点, DA为x轴, DC为y轴, 过D作平面ABCD的垂线为z轴,建立空间直角坐标系,E（﹣1, 0, ）, B（2, 2, 0）, C（0, 4, 0）, F（0, 4, ）, ＝（﹣2, 2, 0）, ＝（﹣3, ﹣2, ）, ＝（﹣2, 2, ）, 设平面BCF的法向量＝（x, y, z）,则, 取x＝1, 得＝（1, 1, 0）,设平面BCE的法向量＝（x, y, z）,则, 取x＝1, 得＝（1, 1, ）,设二面角E﹣BC﹣F的平面角为θ,则cosθ＝＝＝,∴二面角E﹣BC﹣F的余弦值为．19．（12分）已知点（1, ）, （）都在椭圆C：＝1（a＞b＞0）上．（1）求椭圆C的方程；（2）过点M（0, 1）的直线l与椭圆C交于不同两点P, Q（异于顶点）, 记椭圆与y轴的两个交点分别为A1, A2, 若直线A1P与A2Q交于点S, 证明：点S恒在直线y＝4上．【解答】解：（1）由题意可得, 解得a2＝4, b2＝2,故椭圆C的方程为+＝1．证明：（2）易知直线l的斜率存在且不为0, 设过点M（0, 1）的直线l方程为y＝kx+1, （k≠0）, P（x1, y1）, Q（x2, y2）,由, 消y可得（k2+2）x2+2kx﹣3＝0,∴x1+x2＝﹣, x1x2＝﹣,∵A1（0, 2）, A2（0, ﹣2）,∴直线A1P的方程为y＝x+2＝•x+2＝（k﹣）x+2,则直线A2Q的方程为y＝x﹣2＝（k+）﹣2,由, 消x可得＝,整理可得y＝＝＝+4＝+4＝4,直线A1P与A2Q交于点S, 则点S恒在直线y＝4上20．（12分）随着小汽车的普及, “驾驶证”已经成为现代入“必考”的证件之一．若某人报名参加了驾驶证考试, 要顺利地拿到驾驶证, 他需要通过四个科目的考试, 其中科目二为场地考试．在一次报名中, 每个学员有5次参加科目二考试的机会（这5次考试机会中任何一次通过考试, 就算顺利通过, 即进入下一科目考试；若5次都没有通过, 则需重新报名）, 其中前2次参加科目二考试免费, 若前2次都没有通过, 则以后每次参加科目二考试都需交200元的补考费, 某驾校对以往2000个学员第1次参加科目二考试的通过情况进行了统计, 得到如表：考试情况男学员女学员第1次考科目二人数1200800第1次通过科目二人数960600第1次未通过科目二人数240200若以如表得到的男、女学员第1次通过科目二考试的频率分别作为此驾校男、女学员每次通过科目二考试的概率, 且每人每次是否通过科目二考试相互独立．现有一对夫妻同时在此驾校报名参加了驾驶证考试, 在本次报名中, 若这对夫妻参加科目二考试的原则为：通过科目二考试或者用完所有机会为止．（1）求这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费的概率；（2）若这对夫妻前2次参加科目二考试均没有通过, 记这对夫妻在本次报名中参加科目二考试产生的补考费用之和为X元, 求X的分布列与数学期望．【解答】解：根据题意, 设A i表示男学员在第i次参加科目2考试中通过, B i表示女学员在第i次参加科目2考试中通过,则P（A1）＝＝, P（A2）＝1﹣＝, P（B1）＝＝, P（A2）＝1﹣＝,（1）根据题意, 设事件M是这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费, 则P（M）＝P（A1B1+A1B2+A2B1+A2B2）＝×+××+××+×××＝；（2）根据题意, X可取的值为400、600、800、1000、1200,P（X＝400）＝×＝,P（X＝600）＝××+××＝,P（X＝800）＝×××+××+××＝P（X＝1000）＝×××+×××＝P（X＝1200）＝×××＝；则X的分布列为X40060080010001200P故EX＝400×+600×+800×+1000×+1200×＝510.5（元）21．（12分）已知函数f（x）＝（x﹣a）e x（a∈R）．（1）讨论f（x）的单调性；（2）当a＝2时, F（x）＝f（x）﹣x+lnx, 记函数y＝F（x）在（, 1）上的最大值为m, 证明：﹣4＜m＜﹣3．【解答】（1）解：f′（x）＝[x﹣（a﹣1）]e x, x∈R．可得函数f（x）在（﹣∞, a﹣1）内单调递减, 在（a﹣1, +∞）内单调递增．（2）证明：当a＝2时, F（x）＝f（x）﹣x+lnx＝（x﹣2）e x﹣x+lnx, x∈（, 1）．F′（x）＝（x﹣1）e x﹣1+＝（x﹣1）,令F′（x）＝0, 解得：＝, 即x0＝﹣lnx0, x0∈（, 1）,令g（x）＝e x﹣在x∈（, 1）上单调递增,g（）＝﹣2＜0, g（1）＝e﹣1＞0．∴x0∈（, 1）,可知：x＝x0, 函数g（x）取得极大值即最大值,F（x0）＝（x0﹣2）﹣2x0＝1﹣2（x0+）∈（﹣4, ﹣3）．∴﹣4＜m＜﹣3．(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做, 则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程](10分)22．（10分）在平面直角坐标系xOy中, 曲线C1的参数方程为, （θ为参数）已知点Q（4, 0）, 点P是曲线∁l上任意一点, 点M为PQ的中点, 以坐标原点为极点, x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求点M的轨迹C2的极坐标方程；（2）已知直线l：y＝kx与曲线C2交于A, B两点, 若＝3, 求k的值．【解答】解：（1）消去θ得曲线C1的普通方程为：x2+y2＝4,设M（x, y）则P（2x﹣4, 2y）在曲线C1上, 所以（2x﹣4）2+（2y）2＝4, 即（x ﹣2）2+y2＝1, 即x2+y2﹣4x+3＝0,C2轨迹的极坐标方程为：ρ2﹣4ρcosθ+3＝0．（2）当k＞0时, 如图：取AB的中点M, 连CM, CA,在直角三角形CMA中, CM2＝CA2﹣（AB）2＝1﹣AB2, ①在直角三角形CMO中, CM2＝OC2﹣OM2＝4﹣（AB）2＝4﹣AB2, ②由①②得AB＝, ∴OM＝, CM＝,k＝＝＝．当k＜0时, 同理可得k＝﹣．综上得k＝±．第页（共22页）21[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f （x ）＝|x +a |+2|x ﹣1|（a ＞0）．（1）求f （x ）的最小值；（2）若不等式f （x ）﹣5＜0的解集为（m , n ）, 且n ﹣m ＝, 求a 的值．【解答】解：（1）f （x ）＝, ∴x ＝1时, f （x ） 的最小值为a +1．（2）如图所示：当a +1＜5＜2a +2即＜a ＜4时, f （x ）﹣5＜0的解集为（a ﹣3, ﹣）, ∴﹣﹣a +3＝﹣＝, ∴a ＝3符合,当2a +2≤5即0＜a ≤时, f （x ）的解集 为 （﹣﹣1, ﹣）, ∴﹣++1＝≠．综上可得a ＝3．第页（共22页）22 注意事项．1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上。
2019年广东省广州市高考数学一模试卷和答案(理科)
2019年广东省广州市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣2x＜0}，B＝{x|2x＞1}，则（）A．A∩B＝∅B．A∪B＝R C．B⊆A D．A⊆B2．（5分）已知a为实数，若复数（a+i）（1﹣2i）为纯虚数，则a＝（）A．﹣2B．C．D．23．（5分）已知双曲线的一条渐近线过圆P：（x﹣2）2+（y+4）2＝1的圆心，则C的离心率为（）A．B．C．D．34．（5分）刘徽是我因魏晋时期的数学家，在其撰写的《九章算术注》中首创“割圆术”，所谓“割圆术”，是用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积并以此求取圆周率的方法，如图所示，圆内接正十二边形的中心为圆心O，圆O的半径为2，现随机向圆O内段放a粒豆子，其中有b粒豆子落在正十二边形内（a，b∈N*，b＜a），则圆固率的近似值为（）A．B．C．D．5．（5分）若等边三角形ABC的边长为1，点M满足，则＝（）A．B．2C．D．36．（5分）设S n是等差数列{a n}的前n项和，若m为大于1的正整数，且a m﹣1﹣a m2+a m+1＝1，S2m﹣1＝11，则m＝（）A．11B．10C．6D．57．（5分）如图，一高为H且装满水的鱼缸，其底部装有一排水小孔，当小孔打开时，水从孔中匀速流出，水流完所用时间为T．若鱼缸水深为h时，水流出所用时间为t，则函数h＝f（t）的图象大致是（）A．B．C．D．8．（5分）（2﹣x3）（x+a）5的展开式的各项系数和为32，则该展开式中x4的系数是（）A．5B．10C．15D．209．（5分）已知函数f（x）＝cos（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）是奇函数，且在上单调递减，则ω的最大值是（）A．B．C．D．210．（5分）一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和俯视图中的四边形是边长为2的正方形，则该几何体的表面积为（）A．B．7πC．D．8π11．（5分）已知以F为焦点的抛物线C：y2＝4x上的两点A，B，满足，则弦AB的中点到C的准线的距离的最大值是（）A．2B．C．D．412．（5分）已知函数，的图象上存在关于直线x＝1对称的不同两点，则实数a的取值范围是（）A．（e2﹣1，+∞）B．（e2+1，+∞）C．（﹣∞，e2﹣1）D．（﹣∞，e2+1）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）设S n是等比数列{a n}的前n项和，若S3＝6，S6＝54，则a1＝．14．（5分）若函数的图象在点（1，f（1））处的切线过点（2，4），则a＝．15．（5分）已知关于x，y的不等式组，表示的平面区域内存在点P（x0，y0），满足x0﹣2y0＝2，则m的取值范围是．16．（5分）已知直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，的所有棱长都是1，∠ABC＝60°，AC∩BD ＝O，A1C1∩B1D1＝O1，点H在线段OB1上，OH＝3HB1，点M是线段BD上的动点，则三棱锥M﹣C1O1H的体积的最小值为．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c cos B＝（3a﹣b）cos C．（1）求sin C的值；（2）若，b﹣a＝2，求△ABC的面积．18．（12分）如图，在三棱锥A﹣BCD中，△ABC是等边三角形，∠BAD＝∠BCD＝90°，点P是AC的中点，连接BP，DP．（1）证明：平面ACD⊥平面BDP；（2）若BD＝，且二面角A﹣BD﹣C为120°，求直线AD与平面BCD所成角的正弦值．19．（12分）某场以分期付款方式销售某种品，根据以往资料統计，顾客购买该高品选择分期付款的期数ξ的分布列为其中0＜a＜1，0＜b＜1（1）求购买该商品的3位顾客中，恰有2位选择分2期付款的概率；（2）商场销售一件该商品，若顾客选择分2期付款，则商场获得的利润为200元；若顾客选择分3期付款，则商场获得的利润为250元；若顾客选择分4期付款，则商场获得的利润为300元．商场销售两件该商品所获得的利润记为X（单位：元）（1）求X的分布列；（2）若P（X≤500）≥0.8，求X的数学期望EX的最大值．20．（12分）已知椭圆的两个焦点和两个顶点在图O：x2+y2＝1上．（1）求椭圆C的方程（2）若点F是C的左焦点，过点P（m，0）（m≥1）作圆O的切线l，l交C于A，B 两点．求△ABF的面积的最大值．21．（12分）已知函数f（x）＝e2x﹣ax2，a∈R．（1）若f（x）在（0，+∞）上单调递增，求a的取值范围；（2）若f（x）在（0，+∞）上存在极大值M，证明：．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线C2的极坐标方程为（a∈R）．（1）写出曲线C1的普通方程和直线C2的直角坐标方程；（2）若直线C2与曲线C1有两个不同交点，求a的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]（10分）23．已知函数f（x）＝|x+a|﹣|2x﹣1|．（1）当a＝1时，求不等式f（x）＞0的解集；（2）若a＞0，不等式f（x）＜1对x∈R都成立，求a的取值范围．2019年广东省广州市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣2x＜0}，B＝{x|2x＞1}，则（）A．A∩B＝∅B．A∪B＝R C．B⊆A D．A⊆B【解答】解：集合A＝{x|x2﹣2x＜0}＝{x|0＜x＜2}，集合B＝{x|2x＞1}＝{x|x＞0}，A、A∩B＝{x|0＜x＜2}，故本选项错误；B、A∪B＝{x|x＞0}，故本选项错误；C、A⊆B，故本选项错误；D、A⊆B，故本选项正确；故选：D．2．（5分）已知a为实数，若复数（a+i）（1﹣2i）为纯虚数，则a＝（）A．﹣2B．C．D．2【解答】解：（a+i）（1﹣2i）＝a+2+（1﹣2a）i，∵复数是纯虚数，∴a+2＝0且1﹣2a≠0，得a＝﹣2且a≠，即a＝﹣2，故选：A．3．（5分）已知双曲线的一条渐近线过圆P：（x﹣2）2+（y+4）2＝1的圆心，则C的离心率为（）A．B．C．D．3【解答】解：圆P：（x﹣2）2+（y+4）2＝1的圆心（2，﹣4），双曲线的一条渐近线为：y＝bx，双曲线的一条渐近线过圆P：（x﹣2）2+（y+4）2＝1的圆心，可得2b＝4，所以b＝2，a＝1，则c＝，则C的离心率为：．故选：C．4．（5分）刘徽是我因魏晋时期的数学家，在其撰写的《九章算术注》中首创“割圆术”，所谓“割圆术”，是用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积并以此求取圆周率的方法，如图所示，圆内接正十二边形的中心为圆心O，圆O的半径为2，现随机向圆O内段放a粒豆子，其中有b粒豆子落在正十二边形内（a，b∈N*，b＜a），则圆固率的近似值为（）A．B．C．D．【解答】解：由几何概型中的面积型可得：＝，所以＝，即π＝，故选：C．5．（5分）若等边三角形ABC的边长为1，点M满足，则＝（）A．B．2C．D．3【解答】解：由题意，可根据平行四边形法则画出如下图形：由图可知：＝，∴＝＝＝1•2•+1•2•1＝3．故选：D．6．（5分）设S n是等差数列{a n}的前n项和，若m为大于1的正整数，且a m﹣1﹣a m2+a m+1＝1，S2m﹣1＝11，则m＝（）A．11B．10C．6D．5【解答】解：S n是等差数列{a n}的前n项和，若m为大于1的正整数，且a m﹣1﹣a m2+a m+1＝1，则：，解得：a m＝1．S2m﹣1＝＝＝11，解得：m＝6故选：C．7．（5分）如图，一高为H且装满水的鱼缸，其底部装有一排水小孔，当小孔打开时，水从孔中匀速流出，水流完所用时间为T．若鱼缸水深为h时，水流出所用时间为t，则函数h＝f（t）的图象大致是（）A．B．C．D．【解答】解：函数h＝f（t）是关于t的减函数，故排除C，D，则一开始，h随着时间的变化，而变化变慢，超过一半时，h随着时间的变化，而变化变快，故对应的图象为B，故选：B．8．（5分）（2﹣x3）（x+a）5的展开式的各项系数和为32，则该展开式中x4的系数是（）A．5B．10C．15D．20【解答】解：∵（2﹣x3）（x+a）5的展开式的各项系数和为32，则（2﹣1）（1+a）5＝32，∴a＝1，该展开式中x4的系数是2••a﹣1••a4＝10a﹣5a4＝5，故选：A．9．（5分）已知函数f（x）＝cos（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）是奇函数，且在上单调递减，则ω的最大值是（）A．B．C．D．2【解答】解：函数f（x）＝cos（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）是奇函数，则：φ＝．所以：f（x）＝cos（ωx+），令：（k∈Z），解得：（k∈Z），由于函数在上单调递减，故：，当k＝0时，整理得：，故：，所以最大值为．故选：C．10．（5分）一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和俯视图中的四边形是边长为2的正方形，则该几何体的表面积为（）A．B．7πC．D．8π【解答】解：由题意可知：几何体是一个圆柱与一个的球的组合体，球的半径为：1，圆柱的高为2，可得：该几何体的表面积为：+2×π×12+2π×2＝7π．故选：B．11．（5分）已知以F为焦点的抛物线C：y2＝4x上的两点A，B，满足，则弦AB的中点到C的准线的距离的最大值是（）A．2B．C．D．4【解答】解：抛物线y2＝4x的焦点坐标为（1，0），准线方程为x＝﹣1设A（x1，y1），B（x2，y2），则∵|AF|＝λ|BF|，∴x1+1＝λ（x2+1），∴x1＝λx2+λ﹣1∵|y1|＝λ|y2|，∴x1＝λ2x2，当λ＝1时，弦AB的中点到C的准线的距离2．当λ≠1时，x1＝λ，x2＝，|AB|＝（x1+1）+（x2+1）＝．∵，∴（λ++2）max＝．则弦AB的中点到C的准线的距离d＝，d最大值是．∵，∴弦AB的中点到C的准线的距离的最大值是．故选：B．12．（5分）已知函数，的图象上存在关于直线x＝1对称的不同两点，则实数a的取值范围是（）A．（e2﹣1，+∞）B．（e2+1，+∞）C．（﹣∞，e2﹣1）D．（﹣∞，e2+1）【解答】解：当x＞1时，f（x）＝＝x+，设f（x）在（1，+∞）上的图象关于x＝1的对称图象为g（x），则g（x）＝f（2﹣x）＝2﹣x+（x＜1），由题意可知f（x）与g（x）在（﹣∞，1）上有公共点．∵g′（x）＝﹣1+＜0，∴g（x）在（﹣∞，1）上单调递减，又f（x）＝ln（x+a）在（﹣∞，1）上单调递增，∴g（1）＜f（1），即2＜ln（1+a），解得a＞e2﹣1．故选：A．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）设S n是等比数列{a n}的前n项和，若S3＝6，S6＝54，则a1＝．【解答】解：∵S3＝＝6，S6＝＝54，∴＝1+q3＝9，解得q3＝8，则q＝2，∴＝6，解得a1＝故答案为：14．（5分）若函数的图象在点（1，f（1））处的切线过点（2，4），则a＝2．【解答】解：函数的导数为：f′（x）＝a+，f′（1）＝a+3，而f（1）＝a﹣3，切线方程为：y﹣a+3＝（a+3）（x﹣1），因为切线方程经过（2，4），所以4﹣a+3＝（a+3）（2﹣1），解得a＝2．故答案为：2．15．（5分）已知关于x，y的不等式组，表示的平面区域内存在点P（x0，y0），满足x0﹣2y0＝2，则m的取值范围是（]．【解答】解：作出x，y的不等式组对应的平面如图：交点C的坐标为（﹣m，﹣2），直线x﹣2y＝2的斜率为，斜截式方程为y＝x﹣1，要使平面区域内存在点P（x0，y0）满足x0﹣2y0＝2，则点C（﹣m，﹣2）必在直线x﹣2y＝2的下方，即﹣2≤﹣m﹣1，解得m≤2，并且A在直线的上方；A（﹣m，1﹣2m），可得1﹣2m≥﹣1，解得m，故m的取值范围是：（﹣∞，]．故答案为：（﹣∞，]．16．（5分）已知直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，的所有棱长都是1，∠ABC＝60°，AC∩BD ＝O，A1C1∩B1D1＝O1，点H在线段OB1上，OH＝3HB1，点M是线段BD上的动点，则三棱锥M﹣C1O1H的体积的最小值为．【解答】解：因为直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面是菱形，∠ABC＝60°，边长为1，∴O1C1⊥平面BB1D1D，且O1C1＝，O1B1＝，∴C1到平面BB1D1D的距离为O1C1＝，∵OH＝3HB1，点M是线段BD上的动点，∴当M在B处时△O1MH的面积取得最小值．连接O1B，则O1B＝OB1＝＝，∴B1到O1B的距离d＝＝＝，∵OH＝3HB1，∴H到直线O1B的距离为d＝．∴S＝＝＝，∴V＝S•O1C1＝＝．故答案为：．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c cos B＝（3a﹣b）cos C．（1）求sin C的值；（2）若，b﹣a＝2，求△ABC的面积．【解答】（本题满分为12分）解：（1）∵c cos B＝（3a﹣b）cos C，∴由正弦定理可知，sin C cos B＝3sin A cos C﹣sin B cos C，…1分即sin C cos B+cos C sin B＝3sin A cos C，∴sin（C+B）＝3sin A cos C，…2分∵A+B+C＝π，∴sin A＝3sin A cos C，…3分∵sin A≠0，∴cos C＝，…4分∵0＜C＜π，∴sin C＝＝；…6分（2）∵，cos C＝，∴由余弦定理：c2＝a2+b2﹣2ab cos C，可得：24＝a2+b2﹣ab，…8分∴（a﹣b）2+ab＝24，…9分∵b﹣a＝2，∴解得：ab＝15，…10分∴S△ABC＝ab sin C＝＝5…12分18．（12分）如图，在三棱锥A﹣BCD中，△ABC是等边三角形，∠BAD＝∠BCD＝90°，点P是AC的中点，连接BP，DP．（1）证明：平面ACD⊥平面BDP；（2）若BD＝，且二面角A﹣BD﹣C为120°，求直线AD与平面BCD所成角的正弦值．【解答】证明：（1）∵△ABC是等边三角形，∠BAD＝∠BCD＝90°，∴Rt△ABD≌Rt△BCD，∴AD＝CD，∵点P是AC的中点，则PD⊥AC，PB⊥AC，∵PD∩PB＝P，∴AC⊥平面PBD，∵AC⊂平面ACD，∴平面ACD⊥平面BDP．解：（2）作CE⊥BD，垂足为E，连结AE，∵Rt△ABD≌Rt△BCD，∴AE⊥BD，AE＝CE，∠AEC为二面角A﹣BD﹣C的平面角，由已知二面角A﹣BD﹣C为120°，∴∠AEC＝120°，在等腰△AEC中，由余弦定理得AC＝，∵△ABC是等边三角形，∴AC＝AB，∴AB＝，在Rt△ABD中，，∴BD＝，∵BD＝，∴AD＝，∵BD2＝AB2+AD2，∴AB＝2，∴AE＝，，由上述可知BD⊥平面AEC，则平面AEC⊥平面BCD，过点A作AO⊥CE，垂足为O，则AO⊥平面BCD，连结OD，则∠AEO是直线AD与平面BCD所成角，在Rt△AEO中，∠AEO＝60°，∴AO＝，AE＝1，sin，∴直线AD与平面BCD所成角的正弦值为．19．（12分）某场以分期付款方式销售某种品，根据以往资料統计，顾客购买该高品选择分期付款的期数ξ的分布列为其中0＜a＜1，0＜b＜1（1）求购买该商品的3位顾客中，恰有2位选择分2期付款的概率；（2）商场销售一件该商品，若顾客选择分2期付款，则商场获得的利润为200元；若顾客选择分3期付款，则商场获得的利润为250元；若顾客选择分4期付款，则商场获得的利润为300元．商场销售两件该商品所获得的利润记为X（单位：元）（1）求X的分布列；（2）若P（X≤500）≥0.8，求X的数学期望EX的最大值．【解答】角：（1）设购买该商品的3位顾客中，选择分2期付款的人数为η，依题意得η～B（3，0.4），则P（η＝2）＝，∴购买该商品的3位顾客中，恰有2位选择分2期付款的概率为0.288．（2）（i）依题意X的取值分别为400，450，500，550，600，P（X＝400）＝0.4×0.4＝0.16，P（X＝450）＝2×0.4a＝0.8a，P（X＝500）＝2×0.4b+a2＝0.8b+a2，P（X＝550）＝2ab，P（X＝600）＝b2，∴X的分布列为：（2）P（X≤500）＝P（X＝400）+P（X＝450）+P（X＝500）＝0.16+0.8（a+b）+a2，根据0.4+a+b＝1，得a+b＝0.6，∴b＝0.6﹣a，∵P（X≤500）≥0.8，∴0.16+0.48+a2≥0.8，解得a≥0.4或a≤﹣0.4，∵a＞0，∴a≥0.4，∵b＞0，∴0.6﹣a＞0，解得a＜0.6，∴a∈[0.4，0.6），E（X）＝400×0.16+450×0.8a+500（0.8b+a2）+1100ab+600b2＝520﹣100a，当a＝0.4时，E（X）的最大值为480，∴X的数学期望E（X）的最大值为480．20．（12分）已知椭圆的两个焦点和两个顶点在图O：x2+y2＝1上．（1）求椭圆C的方程（2）若点F是C的左焦点，过点P（m，0）（m≥1）作圆O的切线l，l交C于A，B 两点．求△ABF的面积的最大值．【解答】解：（1）由椭圆可知焦点在x轴上，∵圆O：x2+y2＝1与x轴的两个交点坐标为（﹣1，0），（1，0），与y轴的两个交点的坐标分别为（0，1），（0，﹣1），根据题意可得b＝c＝1，故a2＝b2+c2＝2，故椭圆方程为+y2＝1（2）设过点P（m，0）（m≥1）作圆O的切线l的方程为x＝ty+m，则＝1，即m2＝t2+1设A（x1，y1），B（x2，y2），由，消x可得（t2+2）y2+2tmy+m2﹣2＝0，则△＝（2tm）2﹣4（t2+2）（m2﹣2）＝8＞0，∴y1+y2＝﹣，y1y2＝，∴|y 1﹣y2|＝＝＝，∴△ABF的面积S＝|PF|•|y1﹣y2|＝，令f（m）＝，m≥1∴f′（m）＝，当m≥1时，f′（m）≤0，∴f（m）在[1，+∞）上单调递减，∴f（m）≤f（1）＝，故△ABF的面积的最大值为21．（12分）已知函数f（x）＝e2x﹣ax2，a∈R．（1）若f（x）在（0，+∞）上单调递增，求a的取值范围；（2）若f（x）在（0，+∞）上存在极大值M，证明：．【解答】解：（1）函数的导数f′（x）＝2e2x﹣2ax，若f（x）在（0，+∞）上单调递增，即f′（x）≥0恒成立，即2e2x﹣2ax≥0，得a≤在（0，+∞）上恒成立，设h（x）＝，则h′（x）＝＝，当0＜x＜时，h′（x）＜0，此时函数为减函数，由x＞时，h′（x）＞0，此时函数为增函数，即当x＝时，函数h（x）取得极小值同时也是最小值，h（）＝2e，则a≤2e，即实数a的取值范围是（﹣∞，2e]．（2）由（1）知，当a≤2e时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，则不存在极大值，当a＞2e时，ln，lna＞ln，又f′（0）＝2＞0，f′（）＝2e﹣a＜0，f′（lna）＝2e2lna﹣2alna＝2a（a﹣lna）＞0，（易证明a﹣lna＞0），故存在x1∈（0，），使得f′（x1）＝＝0，存在x2∈（，lna），使得f′（x2）＝0，则x∈（0，x1）时，f′（x）＞0，x∈（x1，x2）时，f′（x）＜0，x∈（x2，+∞）时，f′（x）＞0，故f（x）在（0，x1）上单调递增，在（x1，x2）上单调递减，在（x2，+∞）上单调递增，即当x＝x1时，f（x）取得极大值，即M＝，由0＜x1＜时，得1﹣x1＞0，x1≠1﹣x1，由2﹣2ax1＝0，得＝ax1，故M＝＝ax1﹣ax12＝ax1（1﹣x1）＜a•（）2＝，即成立．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线C2的极坐标方程为（a∈R）．（1）写出曲线C1的普通方程和直线C2的直角坐标方程；（2）若直线C2与曲线C1有两个不同交点，求a的取值范围．【解答】解：（1）曲线C1的普通方程为y＝1﹣x2（﹣1≤x≤1），把x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入ρ（cosθ﹣a sinθ）＝，得直线C2的直角坐标方程为y﹣ax＝，即ax﹣y+＝0，（2）由直线C2：ax﹣y+＝0，知C2恒过点M（0，），由y＝1﹣x2（﹣1≤x≤1），当时，得x＝±1，所以曲线C1过点P（﹣1，0），Q（1，0），则直线MP的斜率为k1＝＝，直线MQ的斜率k2＝＝﹣，因为直线C2的斜率为a，且直线C2与曲线C1有两个不同的交点，所以k2≤a≤k1，即﹣，所以a的取值范围为[﹣，]．[选修4-5：不等式选讲]（10分）23．已知函数f（x）＝|x+a|﹣|2x﹣1|．（1）当a＝1时，求不等式f（x）＞0的解集；（2）若a＞0，不等式f（x）＜1对x∈R都成立，求a的取值范围．【解答】解：（1）函数f（x）＝|x+1|﹣|2x﹣1|，f（x）＞0即为|x+1|＞|2x﹣1|，可得（x+1+2x﹣1）（x+1﹣2x+1）＞0，即3x（x﹣2）＜0，解得0＜x＜2，则原不等式的解集为（0，2）；（2）若a＞0，不等式f（x）＜1对x∈R都成立，即有1＞f（x）max，由f（x）＝|x+a|﹣|2x﹣1|＝|x+a|﹣|x﹣|﹣|x﹣|≤|x+a﹣x +|﹣0＝|a+|，可得f（x）的最大值为|a +|＝a +，（a＞0），则a +＜1，解得0＜a ＜．第21页（共21页）。
【选填详解】2019广州一模理科数学
2019年广州市普通高中毕业班综合测试（一）选择填空题详解1．答案：D解析：2{|20}{|02},{|21}{|0}x A x x x x x B x x x =-<=<<=>=>，所以A B ⊆． 2．答案：B 解析：(i)(12i)2(12)i a a a +-=++-为实数，所以120a -=，解得12a =． 3．答案：C解析：圆心(2,4)P -，渐近线y bx =-过点(2,4)P -，所以2b =，又1a =，所以c ==，C 的离心率为ce a==． 4．答案：C解析：正十二边形的面积为11222sin 30122⨯⨯⨯︒=，圆的面积为224ππ⨯=，则根据题意可得： 124πb a ≈，3πa b≈． 5．答案：D解析：()()()()()222MA MB CA CM CB CM CA CB CA CA CA CB ⋅=-⋅-=--⋅-=+⋅12132⎛⎫=⨯+= ⎪⎝⎭．6．答案：C解析：112m m m a a a -++= ，由2111m m m a a a -+-+=，得221m m a a -=，解得1m a =， 所以21(21)2111m m S m a m -=-=-=，解得6m =．7．答案：B解析：水深h 随时间增加逐渐递减，排除C ，D ，根据鱼缸的形状，水深h 变化的速率在开始和结尾时较快，在中间较慢，故选B ． 8．答案：A解析：令1x =，得各项系数和为5(1)32a +=，解得1a =，则35(2)(1)x x -+展开式中含4x 的项为14134144552115C x x C x x ⨯⋅-⋅=，即展开式中4x 的系数是5．9．答案：C解析：()f x 过原点且在原点处单调递减，又因为0ϕπ≤≤，所以2πϕ=，()cos sin 2πωωf x x x ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，又()f x 在,43ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以32ππω≤，解得32ω≤．10．答案：B解析：该几何体分为左右两部分，左边是一个四分之一球体，右边是一个圆柱体，其表面积2222111411121217422ππππππS =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯=．11．答案：B解析：,,A F B 三点共线，设AB 中点为M ，过,,A B M 三点分别作准线的垂线，垂足分别为111,,A B M ，则1MM 为梯形11AA B B 的中位线，所以()()111111222MM AA BB AF BF AB =+=+=， 设θAFx ∠=，则22,1cos 1cos θθAF BF ==-+，由λAF FB = ，得221cos 1cos λθθ=-+，得：1cos 1λθλ-=+，所以22222224444(1)21sin 1cos (1)(1)111λλλθθλλλλλAB +++=====-+---⎛⎫- ⎪+⎝⎭12λλ=++，设11()2,,33f x x x x ⎛⎫=++∈ ⎪⎝⎭，则221(1)(1)()1x x f x x x +-'=-=，则当1,13x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0,()f x f x '<单调递减，当(1,3)x ∈时，()0,()f x f x '>单调递增，又因为116(3)33f f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，设211()ln(2)ln(2)(1)x h x x a x x a x x x+=--+=+--+>，显然()h x 为单调递增函数，要使得方程()0h x =在(1,)+∞上有解，则(1)2ln(1)0h a =-+<，解得21a e >-．13．答案：37解析：设{}n a 的公比为q ，则3363(1)3(1)27S S q q =+=+=，解得2q =，所以3123173S a a a a =++== 解得137a =． 14．答案：2解析：23(1)3,(),(1)3f a f x a f a x ''=-=+∴=+，所以函数图象在点(1,(1))f 处的切线方程为 (3)(1)3y a x a =+-+-，将点(2,4)代入，得：24a =，所以2a =．15．答案：4,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦解析：作出不等式组2120x y y -+⎧⎨+⎩≥0≥表示的平面区域如图所示，并作出直线22x y -=，与直线210x y -+=交于点A ，则45,33A ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，有0x m +≤，得x m -≤，由题意可知43m --≥，所以43m ≤． xOA2x y -2y +16解析：如图，当点M 到平面11C O H 的距离最小时，三棱锥11M C O H -的体积取到最小值，分析可知，当点M 位于点B 时，到平面11C O H 的距离最小，此时，设11OB O B D = ，由13OH HB =，可知H 为1B D的中点，所以111111222O BH O BB S S ===△△11O C ⊥平面11BB D D ，所以1111111111332M C O H C O BH O BH V V S O C --==⨯⨯==△．B。
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2018年广州市普通高中毕业班综合测试（一）理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分． 1．设复数z 满足()21i 4i z -=，则复数z 的共轭复数z =A ．2-B ．2C ．2i -D ．2i2．设集合301x A xx ⎧+⎫=<⎨⎬-⎩⎭，{}3B x x =-≤，则集合{}1x x =≥A ．ABB ．ABC ．()()C A C B R RD ．()()C A C B R R3．若A ，B ，C ，D ，E 五位同学站成一排照相，则A ，B 两位同学不相邻的概率为A ．45B ．35C ．25D ．154．执行如图所示的程序框图，则输出的S =A ．920B ．49C ．29 D ．9405．已知3sin 45x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos 4x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭A ．45B ．35C ．45-D ．35- 6．已知二项式212nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的所有二项式系数之和等于128，那么其展开式中含1x 项的系数是A ．84-B ．14-C ．14D ．847．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个几何体的三视图，则该几何体的表 面积为A．4+B．14+ C．10+D ．48．若x ，y 满足约束条件20,210,10,x y y x -+⎧⎪-⎨⎪-⎩≥≥≤ 则222z x x y =++的最小值为A ．12B ．14C ．12-D ．34-9．已知函数()sin 6f x x ωπ⎛⎫=+⎪⎝⎭()0ω>在区间43π2π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上单调递增，则ω的取值范围为 A ．80,3⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．18,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．3,28⎡⎤⎢⎥⎣⎦10．已知函数()322f x x ax bx a =+++在1x =处的极值为10，则数对(),a b 为A ．()3,3-B ．()11,4-C ．()4,11-D ．()3,3-或()4,11-11．如图，在梯形ABCD 中，已知2AB CD =，25AE AC =，双曲线 过C ，D ，E 三点，且以A ，B 为焦点，则双曲线的离心率为AB．C ．3D12．设函数()f x 在R 上存在导函数()f x '，对于任意的实数x ，都有()()22f x f x x +-=，当0x <时，()12f x x '+<，若()()121f a f a a +-++≤，则实数a 的最小值为A ．12-B ．1-C ．32-D ．2-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量(),2m =a ，()1,1=b ，若+=+a b a b ，则实数m = ．14．已知三棱锥P ABC -的底面ABC 是等腰三角形，AB AC ⊥，PA ⊥底面ABC ，1==AB PA ，则这个三棱锥内切球的半径为 ．15．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若()()2cos 2cos 0a B b A c θθ-+++=， 则cos θ的值为 ．16．我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》中，用图①的三角形形象地表示了二项式系数规律，俗称“杨辉三角形”．现将杨辉三角形中的奇数换成1，偶数换成0，得到图②所示的由数字0和1组成的三角形数三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题， 每个试题考生都必须做答．第22、23题为选考题，考生根据要求做答． （一）必考题：共60分．图②图① DC ABE17．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1，公差为2的等差数列． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n b 满足()121215452nn n a a an b b b ⎛⎫+++=-+ ⎪⎝⎭，求数列{}n b 的前n 项和n T ．18．（本小题满分12分）某地1~10岁男童年龄i x （岁）与身高的中位数i y ()cm ()1,2,,10i =L 如下表：对上表的数据作初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．（1）求y 关于x 的线性回归方程（回归方程系数精确到0.01）； （2）某同学认为，2y px qx r =++更适宜作为y 关于x 的回归方程类型，他求得的回归方程是20.3010.1768.07y x x =-++．经调查，该地11岁男童身高的中位数为145.3cm ．与（1）中的线性回归方程比较，哪个回归方程的拟合效果更好？附：回归方程y a bx =+中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： ，a y bx =-．19．（本小题满分12分）如图，四棱锥S ABCD -中，△ABD 为正三角形，︒=∠120BCD ，2CB CD CS ===，︒=∠90BSD ．（1）求证：AC ⊥平面SBD ；（2）若BD SC ⊥，求二面角C SB A --的余弦值．()()()121nx x y y i i i b n x x ii =--∑=-∑=DCBAS20．（本小题满分12分）已知圆(2216x y ++=的圆心为M ，点P 是圆M上的动点，点)N ，点G 在线段MP 上，且满足()()GN GP GN GP +⊥-．（1）求点G 的轨迹C 的方程；（2）过点()4,0T 作斜率不为0的直线l 与（1）中的轨迹C 交于A ，B 两点，点A 关于x 轴的对称点为D ，连接BD 交x 轴于点Q ，求△ABQ 面积的最大值．21．（本小题满分12分）已知函数()ln 1f x ax x =++．（1）讨论函数()x f 零点的个数；（2）对任意的0>x ，()2e xf x x ≤恒成立，求实数a 的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分． 22．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程已知过点(),0P m 的直线l的参数方程是,1,2x m y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=．（1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 和曲线C 交于A ，B 两点，且2PA PB ⋅=，求实数m 的值．23．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲 已知函数()f x =23x a x b ++-．（1）当1a =，0b =时，求不等式()31f x x +≥的解集；（2）若0a >，0b >，且函数()f x 的最小值为2，求3a b +的值．数学（理科）答案A 第 1 页 共 16 页绝密 ★ 启用前2018年广州市普通高中毕业班综合测试（一）理科数学试题答案及评分参考评分说明:1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数．选择题不给中间分．一．选择题二．填空题13．2 14 15．12- 16．64三．解答题17．解：（1）因为数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1，公差为2的等差数列， 所以12(1)21nS n n n=+-=-． 所以22n S n n =-． 当1n =时，111a S ==．当2n ≥时，()()()22-1221143n n n a S S n n n n n ⎡⎤=-=-----=-⎣⎦，当1n =时，11a =也符合上式．所以数列{}n a 的通项公式43n a n =-()*n ∈N．数学（理科）答案A 第 2 页 共 16 页（2）1n =时，1112a b =，所以1122b a ==． 当2n ≥时，由()121215452nn n a a an b b b ⎛⎫+++=-+ ⎪⎝⎭， 所以()111212115412n n n a a a n b b b ---⎛⎫+++=-+ ⎪⎝⎭．两式相减，得()1432nn n a n b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．因为43n a n =-，所以()()4321432n n nn b n ==⎛⎫⎪⎝⎭－－（1n =时也符合公式）．又22211==++n n n n b b ，则数列{}n b 是首项为2公比为2的等比数列． 所以()12122212n n n T +-==--．18．解：（1）()()()121566.856.8782.5niii ni i x x y y b x x ==--==≈-∑∑， 112.45 6.87 5.574.67a y bx =-=-⨯≈，所以y 关于x 的线性回归方程为 6.8774.67y x =+． （2）若回归方程为 6.8774.67y x =+，当x =11时，y =150．24．若回归方程为20.3010.1768.07y x x =-++，当x =11时，y =143．64．143.64145.3 1.66150.24145.3 4.94-=<-=，所以回归方程20.3010.1768.07y x x =-++对该地11岁男童身高中位数的拟合效果更好．数学（理科）答案A 第 3 页 共 16 页19．（1）证明：设AC BD O =，连SO ，因为AD AB =，CD CB =，所以AC 是BD 的垂直平分线，即O 为BD 中点，且BD AC ⊥． 在BCD ∆中，因为2CB CD ==，︒=∠120BCD ，所以BD =1CO =．在Rt SBD ∆中，因为︒=∠90BSD ，O 为BD 中点，所以12SO BD == 在△SOC 中，因为1CO =，SO =2CS =， 所以222SO CO CS +=． 所以AC SO ⊥． 因为BDSO O =，所以AC ⊥平面SBD ．（2）解法1：过点O 作SB OK ⊥于点K ，连AK ，CK ，由（1）知AC ⊥平面SBD ． 所以AO SB ⊥． 因为OKAO O =，所以SB ⊥平面AOK ．因为AK ⊂平面AOK ， 所以SB AK ⊥． 同理可证SB CK ⊥．所以AKC ∠是二面角C SB A --的平面角．因为BD SC ⊥，由（1）知BD AC ⊥，且C SC AC = ， 所以⊥BD 平面SAC ．而⊂SO 平面SAC ，所以BD SO ⊥． 在Rt SOB ∆中，SO OB OK SB ⋅==． 在Rt AOK ∆中，AK ==，同理可求CK =ODCBASKSABCDO数学（理科）答案A 第 4 页 共 16 页在△AKC 中，得351052cos 222-=⋅-+=∠CK AK AC CK AK AKC ．所以二面角C SB A --的余弦值为35105-． 解法2：因为BD SC ⊥，由（1）知BD AC ⊥，且C SC AC = ， 所以⊥BD 平面SAC ．而⊂SO 平面SAC ，所以BD SO ⊥．由（1）知，AC ⊥平面SBD ，⊂SO 平面SBD ，所以SO AC ⊥． 因为ACBD O =，所以SO ⊥平面ABCD ．以O 为原点，OA ，OB ，OS 为x 轴，y 轴，z 轴正向建立空间直角坐标系， 则()3,0,0A，()B ，()1,0,0C -，(S ．所以()AB =-，()1,CB =，(0,SB =．设平面SAB 的法向量为111(,,)x y z =n ，由11113030AB x SB ⎧⋅=-=⎪⎨⋅==⎪⎩，，n n 令31=y ， 所以平面SAB的一个法向量为(=n ． 同理可得平面SCB的一个法向量为()=m ．所以cos ,35∙<>===⨯n m n m n m ．因为二面角C SB A --是钝角，所以二面角C SB A --的余弦值为35105-．数学（理科）答案A 第 5 页 共 16 页20．解：（1）因为()()GN GP GN GP +⊥-，所以()()0GN GP GN GP +∙-=，即220GN GP -=．所以||||GN GP =．所以||324||||||||||MN MP GP GM GN GM =>==+=+．所以点G 在以M ，N 为焦点，长轴长为4的椭圆上，322,42==c a ． 即3,2==c a ，所以1222=-=c a b ．所以点G 的轨迹C 的方程为2214x y +=．（2）解法1：依题意可设直线4:+=my x l ．由224,1,4x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得0128)4(22=+++my y m ． 设直线l 与椭圆C 的两交点为),(11y x A ，),(22y x B ，由0)12(16)4(12464222>-=+⨯⨯-=∆m m m ，得122>m ．① 且48221+-=+m m y y ，412221+=m y y ② 因为点A 关于x 轴的对称点为D ，则),(11y x D -，可设)0,(0x Q ， 所以)(12121212y y m y y x x y y k BD -+=-+=所以BD 所在直线方程为212221(4)()y y y y x my m y y +-=---．令0=y ，得2121210)(42y y y y y my x +++=． ③将②代入③，即183224)(422121210=--=+++=mmm y y y y y my x ．所以点Q 的坐标为()1,0．数学（理科）答案A 第 6 页 共 16 页因为211||2ABQ TBQ TAQQT y y ∆∆∆=-=-S SS=． 令24t m =+，结合①得16t >．所以ABQS ∆=当且仅当32t =时，即m =±max 3=4ABQ ∆⎡⎤⎣⎦S ． 所以ABQ ∆面积的最大值为43． 【求ABQ ∆面积的另解：因为点Q ()1,0到直线l 的距离为213md +=．||AB ==．所以21||24ABQS d AB m ∆=⋅=+．】 解法2：依题意直线l 的斜率存在，设其方程为()4y k x =-，由()22414y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，，得()2228120k y ky k ++=4+1．设直线l 与椭圆C 的两交点为),(11y x A ，),(22y x B ， 由()()222=84120k k k ∆-⨯⨯>4+1，得21<12k ．① 且122841ky y k +=-+，21221241k y y k =+． ②因为点A 关于x 轴的对称点为D ，则),(11y x D -，可设)0,(0x Q ， 所以BD k =21212121y y y yk x x y y ++=--．所以BD 直线方程为212221=y y y y kx x y y +---（）． 令0=y ，得0x =12122124()()y y k y y k y y +++． ③数学（理科）答案A 第 7 页 共 16 页将②代入③，得121201224()1my y y y x y y ++==+．所以点Q 的坐标为()1,0．因为211||2ABQ TBQ TAQ QT y y ∆∆∆=-=-S SS241k =+． 令241t k =+，则21=4t k -，结合①得413t <<．所以ABQS ∆=当且仅当178t =时，即k =max 3=4ABQ ∆⎡⎤⎣⎦S ． 所以ABQ ∆面积的最大值为43． 【求ABQ ∆面积的另解：因为点Q ()1,0到直线l的距离为d =．||AB ==．所以1||2ABQS d AB ∆=⋅=．】 解法3：依题意直线l 的斜率存在，设其方程为()4y k x =-，由()22414y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，，得()2222326440k x k x k -+-=4+1．设直线l 与椭圆C 的两交点为),(11y x A ，),(22y x B ， 由()()()2222=3246440kk k ∆--⨯⨯->4+1，得21<12k ．① 且21223241k x x k +=+，212264441k x x k -=+． ② 因为点A 关于x 轴的对称点为D ，则),(11y x D -，可设)0,(0x Q ， 则BQ DQ k k =，即BD k =212010y y x x x x -=--．数学（理科）答案A 第 8 页 共 16 页即()()21201044k x k x x x x x ---=--，整理得()1212012248x x x x x x x -+=+-.③ 将①代入②，得01x =．所以点Q 的坐标为()1,0． 因为点Q ()1,0到直线l的距离为d =．2||41AB k ==+．所以21||241ABQS d AB k ∆=⋅=+. 令241t k =+，则21=4t k -，结合①得413t <<．所以ABQS ∆=当且仅当178t=，即k =max 3=4ABQ ∆⎡⎤⎣⎦S ． 所以ABQ ∆面积的最大值为43． 解法4：设直线l 与椭圆C 的两交点为()2cos ,sin A θθ，()2cos ,sin B ϕϕ， 则直线AB 的方程为()sin sin sin 2cos 2cos 2cos y x ϕθθθϕθ--=--.令0y =，得2cos sin 2sin cos sin sin T x θϕθϕϕθ-=-.因为点A 关于x 轴的对称点为D ，则()2cos ,sin D θθ-， 同理可得2cos sin 2sin cos sin sin Q x θϕθϕϕθ+=+.所以2222224cos sin 4sin cos 4sin sin T Q x x θϕθϕϕθ-==-. 因为4T x =，所以1Q x =，即点Q 的坐标为()1,0． 因为13||sin sin sin sin 22ABQ TBQ TAQ QT ϕθϕθ∆∆∆=-=-=-S S S .数学（理科）答案A 第 9 页 共 16 页由A ，B ，T 三点共线，可得sin sin 2cos 42cos 4ϕθϕθ=--，即()1sin sin sin 2ϕθϕθ-=-. 所以()3sin 4ABQ ϕθ∆=-S . 当且仅当()sin 1ϕθ-=±时，max 3=4ABQ ∆⎡⎤⎣⎦S ． 所以ABQ ∆面积的最大值为43．21．解：（1）解法1：函数()x f 的定义域为()∞+，0，由()ln 1f x ax x =++0=，得ln 1x a x+=-． 令()ln 1x g x x +=-()0x >，则()2ln xg x x'=．因为当01x <<，()0g x '<，当1x >时，()0g x '>， 所以函数()g x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增． 所以()()min11g x g ==-⎡⎤⎣⎦．因为10e g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，当10e x <<时，()0g x >；当1ex >时，()0g x <． 所以当1a <-时，函数()x f 没有零点；当1a =-或0a ≥时，函数()x f 有1个零点；当10a -<<时，函数()x f 有2个零点．解法2：函数()x f 的定义域为()∞+，0， 因为()ln 1f x ax x =++，所以()1f x a x'=+． ① 当0a ≥时，()0≥'x f ，函数()x f 在()∞+，0内单调递增． 因为()110f a =+>，()11ee a a af a --+=-1110e a a +⎛⎫=-< ⎪⎝⎭． 所以()f x 在()1e 1a --，上有1个零点．所以当0a ≥时，函数()x f 有1个零点．数学（理科）答案A 第 10 页 共 16 页② 当0a <时，()11a x a f x a x x⎛⎫+ ⎪⎝⎭'=+=． 当1x a >-时，()0<'x f ；当10x a<<-时，()0>'x f ， 所以当0a <时，函数()x f 在10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭内单调递增，在1a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，内单调递减．所以()max f x =⎡⎤⎣⎦11ln f a a ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 1）当1a <-时，()max f x =⎡⎤⎣⎦1ln 0a ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，所以函数()x f 没有零点． 2）当1a =-时，()max f x =⎡⎤⎣⎦1ln 0a ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以函数()x f 有1个零点． 3）当10a -<<时，()max f x =⎡⎤⎣⎦1ln 0a ⎛⎫-> ⎪⎝⎭， 因为10e e a f ⎛⎫=< ⎪⎝⎭，且111e a ->>，所以函数()x f 在10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上有1个零点．可以证明111e e 10a a f a a --⎛⎫=-+< ⎪⎝⎭，且11e a a --<，所以函数()x f 在1a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，上有1个零点．以下证明111e e 10aa f a a --⎛⎫=-+< ⎪⎝⎭：令1t a=-，即证明当1>t 时()0e e 2<---=t t t f t t， 再令()t t t p t--=2e ，则有()12e --='t t p t，设()12e --=t t q t，则()02e >-='tt q ，所以()12e --=t t q t单调递增，因为()01<q ，023>⎪⎭⎫⎝⎛q ，所以()12e --=t t q t有零点2310<<t ，即012e 00=--t t． 即当00t t <<时，()0<'t p ，当0t t >时，()0>'t p ．所以当00t t <<时，()t p 单调递减，当0t t >时，()t p 单调递增，数学（理科）答案A 第 11 页 共 16 页所以()()02000e t t t p t p t--=≥1020++-=t t ，当2310<<t 时，有01020>++-t t ，即()0>t p ，即()0e e 2<---=ttt f t t．所以当10a -<<时，所以函数()x f 有2个零点．综上可知，当1a <-时，函数()x f 没有零点；当1a =-或0a ≥时，函数()x f 有1个零点；当10a -<<时，函数()x f 有2个零点．（2）解法1：因为()ln 1f x ax x =++，所以对任意的0>x ，()xx x f 2e ≤恒成立，等价于2ln 1exx a x+≤-在()∞+，0上恒成立．令()xx x m x1ln e 2+-=（0>x ），则()222ln e 2x x x x m x +='．再令()x x x n xln e 222+=，则()()2214 e 0x n x x x x'=++>．所以()x x x n xln e 222+=在()∞+，0上单调递增．因为02ln 28e41<-=⎪⎭⎫⎝⎛n ，()01>n ， 所以()x x x n xln e222+=有唯一零点0x ，且1410<<x ． 所以当00x x <<时，()0m x '<，当0x x >时，()0m x '>．所以函数()x m 在()00x ，上单调递减，在()0x +∞，上单调递增． 因为0ln e202200=+x x x ，即22002ln e x x x -=，则001x <<． 所以()()0000ln 2ln ln ln 2x x x x ---=，即()()()0000ln ln ln 22ln x x x x -+-=+． 设()x x x s +=ln ，则()011>+='xx s ， 所以函数()x x x s +=ln 在()∞+，0上单调递增，所以()()00ln 2x s x s -=． 所以00ln 2x x -=．于是有02ex 01x =．数学（理科）答案A 第 12 页 共 16 页所以()()=≥0x m x m 0021ln ex x x +-2=．则有2a ≤． 所以a 的取值范围为(]2,∞-．【8—10分另解：因为0ln e 202200=+x x x ，则001x <<，所以001ln 200001112e ln ln e xx x x x x ⎛⎫⎛⎫==⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．构造函数()exx x ϕ=()0x >，则()()1e 0x x x ϕ'=+>，所以()x ϕ在()0,+∞上单调递增．因为02000ln 2e 0x x x x +=等价于()0012ln x x ϕϕ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以0012ln x x =，即002ln x x =-，于是有02e x 01x =．】 解法2：设()2eln 1xg x x ax x =---()0x >，对任意的0>x ，()xx x f 2e ≤恒成立，等价于()min 0g x ≥⎡⎤⎣⎦在()∞+，0上恒成立． 因为()2eln 1xg x x ax x =---，所以()()2121e x g x x a x'=+--．设()()2121e x h x x a x =+--，则()()22141e 0xh x x x'=++>．所以()g x '在()∞+，0上单调递增．因为当0x +→时，()g x '→-∞，当x →+∞时，()g x '→+∞，所以()g x '在()∞+，0上存在唯一零点0x ，即()0200121e0x x a x +--=，即()0200121e x a x x =+-．因为当00x x <<时，()0g x '<，当0x x >时，()0g x '>．所以函数()g x 在()00x ，上单调递减，在()0x +∞，上单调递增． 所以()ming x ⎡⎤⎣⎦()020000e ln 1x g x x ax x ==---022002e ln 0x x x =--≥．所以022002eln 0x x x +≤，则001x <<，所以0202ln e 2x x x ≤-． 所以()()00002ln ln ln 2ln x x x x ≤---，即()()()0000ln 22ln ln ln x x x x +≤-+-． 设()x x x s +=ln ，则()011>+='xx s ， 所以函数()x x x s +=ln 在()∞+，0上单调递增，所以()()002ln s x s x ≤-．数学（理科）答案A 第 13 页 共 16 页所以002ln x x ≤-．即0201ex x ≤． 所以()()020000011121e212x a x x x x x =+-≤+-=． 所以a 的取值范围为(]2,∞-． 【8—10分另解：所以()mi ng x ⎡⎤⎣⎦()020000e ln 1x g x x ax x ==---022002e ln 0x x x =--≥．因为022002eln 0x x x +≤，则001x <<，所以001ln 200001112eln ln e x x x x x x ⎛⎫⎛⎫≤=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．构造函数()e x x x ϕ=()0x >，则()()1e 0xx x ϕ'=+>．所以()x ϕ在()0,+∞上单调递增．因为02000ln 2e 0x x x x +≤等价于()0012lnx x ϕϕ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，所以0012ln x x ≤，即0201e x x ≤．】 解法3：因为()ln 1f x ax x =++，所以对任意的0>x ，()xx x f 2e ≤恒成立，等价于2e ln 1x x x a x--≤在()∞+，0上恒成立．先证明当0t >时，ln 1t t ≥+. 设()ln 1g t t t =--，则()1t g t t-'=. 当01t <<时，()0g t '<，当1t >时，()0g t '>， 所以函数()g t 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增. 所以()()10g t g ≥=，即ln 1t t ≥+. 所以当0x >时，有()22eln e 1ln 21xx x x x x ≥+=++.所以2e ln 122x x x x x x--≥=（当且仅当2e 1xx =取等号），即2a ≤．所以a 的取值范围为(]2,∞-．解法4：因为()ln 1f x ax x =++，所以对任意的0>x ，()xx x f 2e ≤恒成立，等价于2e ln 1x x x a x--≤在()∞+，0上恒成立． 先证明e 1xx ≥+.数学（理科）答案A 第 14 页 共 16 页设()=e 1xg x x --，则()e 1xg x '=-.当01x <<时，()0g x '<，当1x >时，()0g x '>， 所以函数()g x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增. 所以()()10g x g ≥=，即e 1xx ≥+.所以当0x >时，有2ln 2ln 2ee e e ln 21xx x x x x x x +==≥++.所以2e ln 122x x x x x x--≥=（当且仅当2e 1xx =取等号），即2a ≤．所以a 的取值范围为(]2,∞-．22．解：（1）消去参数t ，可得直线l的普通方程为x m =+，即0x m -=．因为2cos ρθ=，所以22cos ρρθ=．可得C 的直角坐标方程为222x y x +=，即2220x x y -+=． （2）解法1：把0x m -=代入2220x x y -+=，消去y ，得()224230x m x m -++=．由0∆>，得13m -<<．设A ，B 两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，则由韦达定理得1232mx x ++=，2124m x x =．因为PA PB ⋅===22m m =-．所以222mm -=．解得1m =±因为13m -<<，所以1m =±数学（理科）答案A 第 15 页 共 16 页解法2：把0x m -=代入2220x x y -+=，消去x ，得)224120y m y m m --+-=．由0∆>，得13m -<<．设A ，B 两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，则由韦达定理得)1212m y y -+=-，21224m my y -=．因为PA PB ⋅=124y y =22m m =-． 所以222m m -=．解得1m =±因为13m -<<，所以1m =±解法3：把12x m y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入2220x x y -+=，得2220t t m m +-+-=．由0∆>，得13m -<<．设点A ，B 对应的参数为12,t t ，则2122t t m m ⋅=-． 因为122PA PB t t ⋅=⋅=，所以222m m -=±．解得1m =±因为13m -<<，所以1m =±数学（理科）答案A 第 16 页 共 16 页23．（1）解：当1a =，0b =时，由()31f x x ≥+，得211x +≥． 所以112x +≥． 解得32x ≤-或12x ≥-． 所以不等式的解集为31,,22⎛⎤⎡⎫-∞--+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭． （2）解法1：因为()f x =23x a x b ++-52,,2,,352,.3x a b x a bx a b a x b x a b x ⎧⎪--+<-⎪⎪=-++-≤≤⎨⎪⎪+->⎪⎩所以函数()f x 在3b ⎛⎫∞ ⎪⎝⎭-,上为减函数，在+3b ⎛⎫∞ ⎪⎝⎭，上为增函数．所以当3bx =时，函数()f x 取得最小值为3b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭2+23b a =．因为0a >，0b >，所以33a b +=．解法2：因为()f x =223333b b b bx a x x a x ⎛⎫++-+-≥++- ⎪⎝⎭，等号在3b a x -≤≤时成立，因为当3b x =时，3bx -的最小值为0， 所以()f x =22333bb bx a x x a ⎛⎫++-+-≥+ ⎪⎝⎭，等号在3b x =时成立， 所以()f x 的最小值为23b a +，从而223ba +=． 因为0a >，0b >，所以33a b +=．。