交换矩阵

再由上面（1）可得有上式等于 aA aBA aB2 A aBn A (a aB aB2 aBn )A
f (B)A 。该性质得证。
（5）： A, B 可交换，且 A 可逆。则 A1与B 可交换。
证明：因为 A, B 可交换，则有 AB BA。又 A 可逆，则有 A1 存在。
那么就有 A1AB A1BA = B A1BA
a11b11 0
a11b12 a12b22
a22b22
C
c11 0
c12
c22
BA
b11 0
b12 a11
b22
0
a12 a22
b11a11 0
b11a12 b12a2 b22a22
D
d11
0
d12
d22
又因为 a11 a22 ， b11 b22 ，所以 c12 d12 。所以 C D ， A ， B 可交换。
矩阵。记为， A1 B, B1 A 。
定义 6：若 n 阶方阵 A 满足 AA AA E ，其中 E 为单位矩阵，则称 A 为 n 阶 正交阵。
二、可交换矩阵的判定
如何判断一个矩阵是否是可交换矩阵呢，在下面给出他的判定方法。 1 可交换矩阵的充分条件
定理 1：
○1 设 A, B 至少有一个为零矩阵，则 AB BA; ○2 如果 A, B 均为对角矩阵，则 AB BA；
定理 6： ( A B)2 A2 2AB B2 ； 证明：充分性 ( A B)2 ( A B)( A B) A2 AB BA B2
又 ( A B)2 A2 2AB B2 ， 从而 AB BA 2AB 即 AB BA； 必要性： 若 AB BA 则 ( A B)2 ( A B)( A B) A2 AB BA B2 A2 2AB B2 ， 必要性得证。 定理 7： (AB) AB ； 证明：充分性 由题知 (AB) AB ，又因为 (BA) AB ，
列出四元一次方程组有
b 2d 2a 3b 2a 3c c 2d
，解得
a
b
c c
d
，则只要满足这两
2b 3d 2c 3d
个狮子的四个数字就可以是矩阵 A 的可交换矩阵。例如取 a 3， b 2 ，
c 2 d 5。
则
B
3 2
2 5
为
A
的可交换矩阵，
AB
BA
7 12
D
但是有些特殊情况下矩阵的乘法还是可以满足的.
1、可交换矩阵的定义
定义:若同阶方阵 A, B 满足 AB BA,则 A 与 B 为可交换矩阵。 即我们将满足矩阵乘法交换律的矩阵称为可交换矩阵。
2、有关可交换矩阵的一些定义
定义 1：若 n 阶方阵 A (aij)nn 中元素满足
aij =0 ， i j ， i 、 j =1，2，…， n ，
则 B 也为对角阵。
b11
证明：设
B
bn1
AB BA。
b1n
，
bnn
a11
AB
b11 ann bn1
b1n a11b11
bnn annbn1
a11b12 annbn 2
a11b1n
annbnn
b11
BA
bn1
因为 AB BA
b1n a11
A
aE
，
B
为
n
阶方阵，
B
bn1
b1n
。
bnn
AB
b11
aEB
aB
a
bn1
b1n ab11
bnn abn1
Ba BaE BA。所以两者可交换。
ab1n b11
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abnn bn1
b1n
a
bnn
（2）：设矩阵 A (aij )nn ，若 i j 则 aij 0 且 aii a jj 。那么如果 AB BA，
又由 A ( A E)B 得 A1A A1( A E)B E 所以 B 可逆，
且 B1 A1( A E), B ( A E)1 A 则有
AB ( A E)B ( A E)1 A B(A E)A(A E ) 1
= B(A2 A)(A E ) 1 B(A E)A (A E ) 1 BA (AB)
当 AB 0时， B ( A1A)B A1( AB) 0 ，从而 BA 0，故 A, B 可交换；
若 A AB ，则有， B ( A1A)B A1( AB) A1A E 所以有 AB BA； 若 A BA 同理则有 B B( AA1)B (BA) A1 AA1 E 所以有 AB BA. 定理 4：设 A, B 均为可逆矩阵，如果对任意实数 均有 A (A E)B, 则 AB BA 证明：又题可知， A, B 均为可逆矩阵，
所以成立 ( AB)1 A1B1 。
定理 9： ( AB)* A*B* 证明：充分性 因为 ( AB)* B* A* ，又由题可知 ( AB)* A*B* ，
所以有 A*B* B*A* ，等式两边同时求伴随矩阵， 有 AB BA。 必要性： 因为 AB BA，所以有 ( AB)* (BA)* ，又 (BA)* A*B* ，
所以有 (AB) (BA) ，
从而有 AB BA。 必要性： AB BA，则 (AB) (BA)
又有 (AB) BA ，
所以 (AB) AB 。
定理 8： ( AB)1 A1B1 。 证明：充分性 由题知有 ( AB)1 A1B1 ，又有 A1B1 (BA)1 ，
所以 ( AB)1 (BA)1 ， 从而 AB BA。 必要性： 已知两矩阵可交换即有 AB BA 从而 ( AB)1 (BA)1 又因为有 (BA)1 A1B1 ，
12
19
。
（2）若矩阵为上三角矩阵，且对角线上的元素相同，则与之可交换的矩阵
仍为上三角矩阵且主对角线上的元素还相同。
证明：矩阵
A
的形式为
a11 0
a12 a22
，且
a11
a22
。则与之可交换的矩阵为
B
b11 0
b12 b22
，
AB
a11 0
a12 b11
a22
0
b12 b22
可交换矩阵的一些基础知识
来到大学进入数学系学习才第一次知道了矩阵,了解到其实它是数学中极其 重要的一个工具.如同我们最了解的数字符号一样,矩阵也有着自己的运算法则. 这整个的矩阵理论是建立在矩阵的运算上的.所以对于矩阵运算的研究在矩阵理 论中骑着至关重要的作用.这篇论文我着重讨论一下可交换矩阵.
一、可交换矩阵
a11
称
A
为
n
阶对角矩阵记为
A
=
ann
定义 2：在 n 阶对角阵 A 中，若 a11 a22 = =ann = ，称 A 为数量阵，记为 A = E ,其中 E 为 n 阶单位矩阵。
定义 3：若 n 阶方阵 A 满足 A A，则称 A 为对称阵。 定义 4：若 n 阶方阵 A = (aij )nn 满足 A= A 即 aij = aji （ i ， j =1，2，… n ）， A B 为 A 的转置，则 A 为反对称矩阵。 定义 5：若同阶方阵 A , B 满足 AB E , E 为同阶单位矩阵，则称 A, B 互为逆
且 b11 b22 为任意数值，但 a11 b22 ，对 b12 不做要求。
例：
A
3 0
5 3
，则可与
A
交换的矩阵为
B
5 0
6 5
。
则
AB
BA
15
0
43
15
。
（3）对于三阶上三角矩阵，如果其主对角线的元素相同，则与之可交换的 矩阵同样为上三角矩阵，主对角线的值也一样。
a11 a12 a13
○1
○ 再在 1 式两边同时右乘 A1 ， 则出现 BA1 A1BAA1 A1B
所以 A1与B 可交换。该性质得证。
四、可交换矩阵的性质
上面我们了解到了一些可交换矩阵的判定方法和一些性质。掌握了这些， 下面给出可交换矩阵的求法。 （1）先介绍最基础最简单的基础求法。根据可交换矩阵的定义求。
例
1：求矩阵
在同时对两边取转置得 AB BA。 2 可交换矩阵的充要条件
定理 5： A2 B2 ( A B)( A B)
证明： A, B 均为 n 阶方阵 充分性： 因为 ( A B)( A B) A2 AB BA B2
又由题设 A2 B2 ( A B)( A B)
则 A2 B2 A2 AB BA B2 整理得 AB BA。 必要性： 已知 AB BA,则 ( A B)( A B) A2 AB BA B2 ， 又因为 AB BA， 所以有 A2 AB BA B2 A2 B2 。
bnn
b11a11
ann bn1a11
b12a22 bn2a22
所以它们中的对应项元素相同，即 aiibij ajjbij ，
b1nann
bnnann
又因为 aii ajj ，所以要满足上式只能是 bij ， 所以 B 为对角矩阵。 （3）： ABk Bk A
证明： ABk A B B =BAB B B B A Bk A 。
所以
A
B
=C
c11
cs1
c1q
。但是
BA
却是无意义的。
csq
（2） AB 与 BA 均有意义时候两者阶数不一定相同，自然就不相等了；
a11
比如说有
A
am1
a1n
b11
，
B
amn
bn1
b1m
。
bnm
c11
依此有
AB
=
C
=
cm1
c1m
d11
，但是
BA
=
D
=
cmm
我们都知道矩阵的乘法是不满足交换律的即一般情况下对于矩阵 A, B 是
AB BA 。 为什么会会出现这种情况呢，总的来说两个矩阵相乘可能出现以下情况： （1） AB 有意义时候， BA 不一定就有意义；
比如说：
a11
A
as1
a1n
b11
，
B
asn
bm1
b1n
。
bmn
s p，
ab
再由上面的定理○4 得
(A aE)(B bE) 可交换。
所以可 (B bE)(A aE) (A aE)(B bE) 。
同时又有 (B aE)(A bE) BA aA bB abE 所以 AB BA成立，定理得证。 定理 3：假设 A 可逆，如果有 AB 0或 A AB 或 B AB 则 AB BA。 证明：因为 A 可逆，故 A 0, 且有 A1A E,
A
=
1 2
2 3
的可交换矩阵。
解：设矩阵
B
a c
b d
为
A
的可交换矩阵。则有
AB
BA.
AB
=
1 2
2a
3
c
b d
a 2c 2a 3c
b 2d 2b 3d
C
a b 1 2 a 2b 2a 3b
BA
c
d
2
3
c
2d
2c
3d
D
a 2 a 2b
k个
k个
（4）： f (B) 为矩阵 B 的多项式，则存在
Af (B) f (B)A 。即 A 与 B 的多项式可交换。
证明：设行列式 B 的多项式为 f (B) a aB aB2 aBn ， a 为常数
则 Af (B) Aa AaB AaB2 AaBn aA aAB aAB2 aABn
○3 如果 A, B 至少有一个为数量矩阵，则 AB BA； ○4 如果有 AB E ，则 AB BA。
定理 2：若有方阵 A, B 如果满足有 AB aA bB 则 A, B 可交换（ a, b 为非零 实数）。
证明：若有 AB aA bB 则有 (A aE)(B bE) AB bA aB abE abE 所以有 1 (A aE)(B bE) E ，
从而有 ( AB)* A*B* 。 以上是可以直接判断矩阵可交换的条件，也就是说只要符合上诉任意一个条 件的矩阵我们就可以说他是一个可交换矩阵。
三、可交换矩阵的性质
我们再来了解可交换矩阵有哪些性质： 如果 AB BA （1）： n 阶数量矩阵与任意 n 阶方阵都可交换。
b11
证明：设
A
为
n
阶数量矩阵，
b11 b12 b13
证明：
A
0
a22
a23
，其中
a11
a22
a33
，
B
b21
b22
b23
，
0 0 a33
b31 b32 b33
dn1
d1n
。
dnn
显然有 C D 。 （3） AB 与 BA 均有意义，且二者阶数也相同但是最后具体的乘积方阵还是 不一样。
比如说：矩阵
A
=
2 1
1 1
，
B
=
1 1
2 2
。
AB
=
2 1
1 1 1 1
2 3 2 2
6 4
=
C
；
但是
BA
=
1 1
2 2 2 1
1 1
4 4
3 3
=
D
。显然
C