2019-2020年常州中考数学原卷
江苏省常州市2019年中考数学试题含答案解析
常州市2019年中考数学试题一、选择题（每小题2分，共16分） 1．－3的绝对值是A ．3B ．－3C ．31D ．－312．要使分式23x 有意义，则x 的取值范围是 A ．x ＞2 B ．x ＜2 C ．x ≠－2 D ．x ≠23．下列“慢行通过，注意危险，禁止行人通行，禁止非机动车通行”四个交通标志图（黑白阴影图片）中为轴对称图形的是A ．B ．C ．D ．4．如图，BC ⊥AE 于点C ，CD ∥AB ，∠B ＝40°，则∠ECD 的度数是E DCA BA ．70°B ．60°C ．50°D ．40°5．如图，□ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，则下列说法一定正确的是ODBCAA ．AO ＝ODB ．AO ⊥ODC ．AO ＝OCD ．AO ⊥AB6．已知a ＝22，b ＝33，c ＝55，则下列大小关系正确的是A ．a ＞b ＞cB ．c ＞b ＞aC ．b ＞a ＞cD ．a ＞c ＞b7．已知二次函数y ＝2x ＋（m －1）x ＋1，当x ＞1时，y 随x 的增大而增大，而m 的取值范围是A ．m ＝－1B ．m ＝3C ．m ≤－1D ．m ≥－18．将一张宽为4cm 的长方形纸片（足够长）折叠成如图所示图形，重叠部分是一个三角形，则这个三角形面积的最小值是AA ．338cm 2 B ．8cm 2 C ．3316cm 2 D ．16cm 2二、填空题（每小题2分，共20分） 9．计算12)1(-+-π＝_________．10．太阳的半径约为696000km ，把696000这个数用科学记数法表示为_______________________．11．分解因式：2222y x -＝____________________________．12．已知扇形的圆心角为120°，弧长为6π，则扇形的面积是________．13．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，AD ：DB ＝1：2，DE ＝2，则BC 的长是______．EDBCA14．已知x ＝2是关于x 的方程a x a 21)1(=+＋x 的解，则a 的值是______________．15．二次函数y ＝－2x ＋2x －3图像的顶点坐标是____________．16．如图是根据某公园的平面示意图建立的平面直角坐标系，公园的入口位于坐标原点O ，古塔位于点A （400，300），从古塔出发沿射线OA 方向前行300m 是盆景园B ，从盆景园B 向左转90°后直行400m 到达梅花阁C ，则点C 的坐标是_______________．y （单位：m ）（单位：m ）Ox300400CBA17．数学家歌德巴赫通过研究下面一系列等式，作出了一个著名的猜想．4＝2＋2； 12＝5＋7；6＝3＋3； 14＝3＋11＝7＋7；8＝3＋5；16＝3＋13＝5＋11；10＝3＋7＝5＋5 18＝5＋13＝7＋11；…通过这组等式，你发现的规律是_______________________________________（请用文字语言表达）．18．如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB＝3，AD＝5，∠BAD＝60°，点C为弧BD的中点，则AC 的长是_______________．C OBAD三、解答题（共10小题，共84分）19．（6分）先化简，再求值：)2()1(2x x x --+，其中x ＝2．20．（8分）解方程和不等式组： ⑴x x x 311213--=-； ⑵⎩⎨⎧->->+.521,042x x21．（8分）某调查小组采用简单随机抽样方法，对某市部分中小学生一天中阳光体育运动时间进行了抽样调查，并把所得数据整理后绘制成如下的统计图：⑴该调查小组抽取的样本容量是多少？⑵求样本学生中阳光体育运动时间为1.5小时的人数，并补全占频数分布直方图； ⑶请估计该市中小学生一天中阳光体育运动的平均时间．1.5小时 24％1小时0.5小时 20％2小时时间/小时人数2小时1.5小时20018016014012010080601小时400200.5小时22．（8分）甲，乙，丙三位学生进入了“校园朗诵比赛”冠军、亚军和季军的决赛，他们将通过抽签来决定比赛的出场顺序． ⑴求甲第一个出场的概率； ⑵求甲比乙先出场的概率．23．（8分）如图，在□ABCD 中，∠BCD ＝120°，分别延长DC 、BC 到点E ，F ，使得△BCE 和△CDF都是正三角形． ⑴求证：AE ＝AF ； ⑵求∠EAF 的度数．ABDFEC24．（8分）已知某市的光明中学、市图书馆和光明电影院在同一直线上，它们之间的距离如图所示．小张星期天上午带了75元现金先从光明中学乘出租车去了市图书馆，付费9元；中午再从市图书馆乘出租车去了光明电影院，付费12.6元．若该市出租车的收费标准是：不超过3公里计费为m 元，3公里后按n 元/公里计费．光明中学市图书馆光明电影院2公里5公里⑴求m ，n 的值，并直接写出车费y （元）与路程x （公里）（x ＞3）之间的函数关系式；⑵如果小张这天外出的消费还包括：中午吃饭花费15元，在光明电影院看电影花费25元．问小张剩下的现金够不够乘出租车从光明电影院返回光明中学？为什么？25．（8分）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝45°，∠ADB＝∠ABC＝105°．⑴若AD＝2，求AB；⑵若AB＋CD＝23＋2，求AB．CDA B26．（10分）设ω是一个平面图形，如果用直尺和圆规经过有限步作图（简称尺规作图），画出一个正方形与ω的面积相等（简称等积），那么这样的等积转化称为ω的“化方”． ⑴阅读填空如图①，已知矩形ABCD ，延长AD 到E ，使DE ＝DC ，以AE 为直径作半圆．延长CD 交半圆于点H ，以DH 为边作正方形DFGH ，则正方形DFGH 与矩形ABCD 等积．理由：连接AH ，EH ．∵ AE 为直径 ∴ ∠AHE ＝90° ∴ ∠HAE ＋∠HEA ＝90°． ∵ DH ⊥AE ∴ ∠ADH ＝∠EDH ＝90° ∴ ∠HAD ＋∠AHD ＝90°∴ ∠AHD ＝∠HED ∴ △ADH ∽_____________． ∴DEDH DH AD，即2DH ＝AD ×DE ． 又∵ DE ＝DC ∴ 2DH ＝____________，即正方形DFGH 与矩形ABCD 等积．FHBE D ACD⑵操作实践平行四边形的“化方”思路是，先把平行四边形转化为等积的矩形，再把矩形转化为等积的正方形．如图②，请用尺规作图作出与□ABCD等积的矩形（不要求写具体作法，保留作图痕迹）．⑶解决问题三角形的“化方”思路是：先把三角形转化为等积的_________________（填写图形名称），再转化为等积的正方形．如图③，△ABC的顶点在正方形网格的格点上，请作出与△ABC等积的正方形的一条边（不要求写具体作法，保留作图痕迹，不通过计算△ABC面积作图）．⑷拓展探究n边形（n＞3）的“化方”思路之一是：把n边形转化为等积的n－1边形，…，直至转化为等积的三角形，从而可以化方．如图④，四边形ABCD的顶点在正方形网格的格点上，请作出与四边形ABCD等积的三角形（不要求写具体作法，保留作图痕迹，不通过计算四边形ABCD面积作图）．AC BADC B27．（10分）如图，一次函数y ＝－x ＋4的图像与x 轴、y 轴分别相交于点A 、B ，过点A 作x 轴的垂线l ，点P 为直线l 上的动点，点Q 为直线AB 与△OAP 外接圆的交点，点P 、Q 与点A 都不重合． ⑴写出点A 的坐标；⑵当点P 在直线l 上运动时，是否存在点P 使得△OQB 与△APQ 全等？如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．⑶若点M 在直线l 上，且∠POM ＝90°，记△OAP 外接圆和△OAM 外接圆的面积分别是1S 、2S ，求2111S S 的值．l yxO BQ A P28．（10分）如图，反比例函数y ＝x k 的图像与一次函数y ＝41x 的图像交于点A 、B ，点B 的横坐标是4．点P 是第一象限内反比例函数图像上的动点，且在直线AB 的上方．⑴若点P 的坐标是（1，4），直接写出k 的值和△PAB 的面积；⑵设直线PA 、PB 与x 轴分别交于点M 、N ，求证：△PMN 是等腰三角形；⑶设点Q 是反比例函数图像上位于P 、B 之间的动点（与点P 、y xOA B PB不重合），连接AQ、BQ，比较∠PAQ与∠PBQ的大小，并说明理由．。
2019年江苏省常州市中考数学试题(原卷+解析)
2019年江苏省常州市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分。
在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的）1．（2分）﹣3的相反数是（）A．B．C．3D．﹣3【分析】根据相反数的定义：只有符号不同的两个数称互为相反数计算即可．【解答】解：（﹣3）+3＝0．故选：C．2．（2分）若代数式有意义，则实数x的取值范围是（）A．x＝﹣1B．x＝3C．x≠﹣1D．x≠3【分析】分式有意义的条件是分母不为0．【解答】解：∵代数式有意义，∴x﹣3≠0，∴x≠3．故选：D．3．（2分）如图是某几何体的三视图，该几何体是（）A．圆柱B．正方体C．圆锥D．球【分析】通过俯视图为圆得到几何体为圆柱或球，然后通过主视图和左视图可判断几何体为圆锥．【解答】解：该几何体是圆柱．故选：A．4．（2分）如图，在线段P A、PB、PC、PD中，长度最小的是（）A．线段P A B．线段PB C．线段PC D．线段PD【分析】由垂线段最短可解．【解答】解：由直线外一点到直线上所有点的连线中，垂线段最短，可知答案为B．故选：B．5．（2分）若△ABC～△A′B'C′，相似比为1：2，则△ABC与△A'B′C'的周长的比为（）A．2：1B．1：2C．4：1D．1：4【分析】直接利用相似三角形的性质求解．【解答】解：∵△ABC～△A′B'C′，相似比为1：2，∴△ABC与△A'B′C'的周长的比为1：2．故选：B．6．（2分）下列各数中与2+的积是有理数的是（）A．2+B．2C．D．2﹣【分析】利用平方差公式可知与2+的积是有理数的为2﹣；【解答】解：∵（2+）（2﹣）＝4﹣3＝1；故选：D．7．（2分）判断命题“如果n＜1，那么n2﹣1＜0”是假命题，只需举出一个反例．反例中的n可以为（）A．﹣2B．﹣C．0D．【分析】反例中的n满足n＜1，使n2﹣1≥0，从而对各选项进行判断．【解答】解：当n＝﹣2时，满足n＜1，但n2﹣1＝3＞0，所以判断命题“如果n＜1，那么n2﹣1＜0”是假命题，举出n＝﹣2．故选：A．8．（2分）随着时代的进步，人们对PM2.5（空气中直径小于等于2.5微米的颗粒）的关注日益密切．某市一天中PM2.5的值y1（ug/m3）随时间t（h）的变化如图所示，设y2表示0时到t时PM2.5的值的极差（即0时到t时PM2.5的最大值与最小值的差），则y2与t的函数关系大致是（）A．B．C．D．【分析】根据极差的定义，分别从t＝0、0＜t≤10、10＜t≤20及20＜t≤24时，极差y2随t的变化而变化的情况，从而得出答案．【解答】解：当t＝0时，极差y2＝85﹣85＝0，当0＜t≤10时，极差y2随t的增大而增大，最大值为43；当10＜t≤20时，极差y2随t的增大保持43不变；当20＜t≤24时，极差y2随t的增大而增大，最大值为98；故选：B．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分。
2019-2020学年常州市名校中考数学统考试题
2019-2020学年中考数学模拟试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．下列长度的三条线段能组成三角形的是A ．2，3，5B ．7，4，2C ．3，4，8D ．3，3，42．下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的是（ ）A ．x 2+6x+9=0B ．x 2=xC ．x 2+3=2xD ．（x ﹣1）2+1=03．如图，直线m ∥n ，直角三角板ABC 的顶点A 在直线m 上，则∠α的余角等于（ ）A ．19°B ．38°C ．42°D ．52°4．如图，点A 、B 、C 、D 在⊙O 上，∠AOC ＝120°，点B 是弧AC 的中点，则∠D 的度数是( )A ．60°B ．35°C ．30.5°D ．30° 5．在函数y ＝1x x 中，自变量x 的取值范围是( ) A ．x≥1 B ．x≤1且x≠0 C ．x≥0且x≠1 D ．x≠0且x≠16．如图所示的四边形，与选项中的一个四边形相似，这个四边形是（ ）A ．B ．C ．D ．7．如图，在平面直角坐标系中，⊙P 的圆心坐标是（3，a ）（a ＞3），半径为3，函数y ＝x 的图象被⊙P 截得的弦AB 的长为2a 的值是（ ）A ．4B ．3＋2C ．32D ．33+8．若二次函数22y ax ax c =-+的图象经过点（﹣1，0），则方程220ax ax c -+=的解为（ ） A ．13x =-，21x =- B ．11x =，23x = C ．11x =-，23x = D ．13x =-，21x =9．如图所示，将含有30°角的三角板的直角顶点放在相互平行的两条直线其中一条上，若∠1=35°，则∠2的度数为（ ）A ．10°B ．20°C ．25°D ．30°10．如图是二次函数y ＝ax 2+bx+c 的图象，对于下列说法：①ac ＞0，②2a+b ＞0，③4ac ＜b 2，④a+b+c ＜0，⑤当x ＞0时，y 随x 的增大而减小，其中正确的是（ ）A ．①②③B ．①②④C ．②③④D ．③④⑤二、填空题（本题包括8个小题）11．如图，正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，AF ⊥DE 于点O ，那么AO DO等于（ ）A 25B ．13；C ．23；D ．12． 12．函数y ＝22x x -+x 的取值范围是_________．13．2(2)-=__________14．已知关于x 方程x 2﹣3x+a=0有一个根为1，则方程的另一个根为_____．15．如果点A （－1，4）、B （m ，4）在抛物线y ＝a （x －1）2+h 上，那么m 的值为_____．16．已知同一个反比例函数图象上的两点()111P x ,y 、()222P x ,y ，若21x x 2=+，且21111y y 2=+，则这个反比例函数的解析式为______．17．如果一个正多边形每一个内角都等于144°，那么这个正多边形的边数是____． 18．如图，从甲楼底部A 处测得乙楼顶部C 处的仰角是30°，从甲楼顶部B 处测得乙楼底部D 处的俯角是45°，已知甲楼的高AB 是120m ，则乙楼的高CD 是_____m （结果保留根号）三、解答题（本题包括8个小题）19．（6分）如图，四边形ABCD 中，∠A=∠BCD=90°，BC=CD ，CE ⊥AD ，垂足为E ，求证：AE=CE ．20．（6分）如图，某人在山坡坡脚A 处测得电视塔尖点C 的仰角为60°，沿山坡向上走到P 处再测得点C 的仰角为45°，已知OA ＝100米，山坡坡度(竖直高度与水平宽度的比)i ＝1：2，且O 、A 、B 在同一条直线上．求电视塔OC 的高度以及此人所在位置点P 的铅直高度．(测倾器高度忽略不计，结果保留根号形式)21．（6分）计算：3-2|+2﹣1﹣cos61°﹣(12)1．22．（8分）阅读下面材料，并解答问题．材料：将分式42231x x x --+-+拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．解：由分母为﹣x 2+1，可设﹣x 4﹣x 2+3=（﹣x 2+1）（x 2+a ）+b 则﹣x 4﹣x 2+3=（﹣x 2+1）（x 2+a ）+b=﹣x 4﹣ax 2+x 2+a+b=﹣x 4﹣（a ﹣1）x 2+（a+b ）∵对应任意x ，上述等式均成立，∴113a a b -=⎧⎨+=⎩，∴a=2，b=1 ∴42231x x x --+-+=222(1)(2)11x x x -+++-+=222(1)(2)1x x x -++-++211x -+=x 2+2+211x -+这样，分式42231x x x --+-+被拆分成了一个整式x 2+2与一个分式211x -+的和． 解答：将分式422681x x x --+-+ 拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．试说明422681x x x --+-+的最小值为1．23．（8分）如图，一棵大树在一次强台风中折断倒下，未折断树杆AB 与地面仍保持垂直的关系，而折断部分AC 与未折断树杆AB 形成53︒的夹角．树杆AB 旁有一座与地面垂直的铁塔DE ，测得6BE =米，塔高9DE =米．在某一时刻的太阳照射下，未折断树杆AB 落在地面的影子FB 长为4米，且点F 、B 、C 、E 在同一条直线上，点F 、A 、D 也在同一条直线上．求这棵大树没有折断前的高度．（结果精确到0.1，参考数据：sin530.7986︒≈，cos530.6018︒≈，tan53 1.3270︒≈）．24．（10分）某兴趣小组进行活动，每个男生都头戴蓝色帽子，每个女生都头戴红色帽子．帽子戴好后，每个男生都看见戴红色帽子的人数比戴蓝色帽子的人数的2倍少1，而每个女生都看见戴蓝色帽子的人数是戴红色帽子的人数的35．问该兴趣小组男生、女生各有多少人？ 25．（10分）随着互联网的发展，同学们的学习习惯也有了改变，一些同学在做题遇到困难时，喜欢上网查找答案．针对这个问题，某校调查了部分学生对这种做法的意见(分为：赞成、无所谓、反对)，并将调查结果绘制成图1和图2两个不完整的统计图．请根据图中提供的信息，解答下列问题：此次抽样调查中，共调查了多少名学生？将图1补充完整；求出扇形统计图中持“反对”意见的学生所在扇形的圆心角的度数；根据抽样调查结果，请你估计该校1500名学生中有多少名学生持“无所谓”意见．26．（12分）如图，BD 是菱形ABCD 的对角线，75CBD ∠=︒，（1）请用尺规作图法，作AB 的垂直平分线EF ，垂足为E ，交AD 于F ；（不要求写作法，保留作图痕迹）在（1）条件下，连接BF ，求DBF ∠的度数．参考答案一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．D【解析】试题解析：A ．∵3+2=5，∴2，3，5不能组成三角形，故A 错误；B ．∵4+2＜7，∴7，4，2不能组成三角形，故B 错误；C ．∵4+3＜8，∴3，4，8不能组成三角形，故C 错误；D ．∵3+3＞4，∴3，3，4能组成三角形，故D 正确；故选D ．2．B【解析】分析：根据一元二次方程根的判别式判断即可．详解：A 、x 2+6x+9=0.△=62-4×9=36-36=0，方程有两个相等实数根；B 、x 2=x.x 2-x=0.△=（-1）2-4×1×0=1＞0.方程有两个不相等实数根；C 、x 2+3=2x.x2-2x+3=0.△=（-2）2-4×1×3=-8＜0，方程无实根；D、（x-1）2+1=0.（x-1）2=-1，则方程无实根；故选B．点睛：本题考查的是一元二次方程根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当△=0时，方程有两个相等的实数根；③当△＜0时，方程无实数根．3．D【解析】试题分析：过C作CD∥直线m，∵m∥n，∴CD∥m∥n，∴∠DCA=∠FAC=52°，∠α=∠DCB，∵∠ACB=90°，∴∠α=90°﹣52°=38°，则∠a的余角是52°．故选D．考点：平行线的性质；余角和补角．4．D【解析】【分析】根据圆心角、弧、弦的关系定理得到∠AOB=12∠AOC，再根据圆周角定理即可解答.【详解】连接OB，∵点B是弧AC的中点，∴∠AOB＝12∠AOC＝60°，由圆周角定理得，∠D＝12∠AOB＝30°，故选D．【点睛】此题考查了圆心角、弧、弦的关系定理，解题关键在于利用好圆周角定理.5．C【解析】【分析】根据分式和二次根式有意义的条件进行计算即可．【详解】由题意得：x≥2且x﹣2≠2．解得：x≥2且x≠2．故x的取值范围是x≥2且x≠2．故选C．【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围问题，掌握分式和二次根式有意义的条件是解题的关键．6．D【解析】【分析】根据勾股定理求出四边形第四条边的长度，进而求出四边形四条边之比，根据相似多边形的性质判断即可．【详解】解：作AE⊥BC于E，则四边形AECD为矩形，∴EC=AD=1，AE=CD=3，∴BE=4，由勾股定理得，22AE BE=5，∴四边形ABCD的四条边之比为1：3：5：5，D选项中，四条边之比为1：3：5：5，且对应角相等，故选D．【点睛】本题考查的是相似多边形的判定和性质，掌握相似多边形的对应边的比相等是解题的关键．7．B【解析】试题解析：作PC⊥x轴于C，交AB于D，作PE⊥AB于E，连结PB，如图，∵⊙P的圆心坐标是（3，a），∴OC=3，PC=a，把x=3代入y=x得y=3，∴D点坐标为（3，3），∴CD=3，∴△OCD为等腰直角三角形，∴△PED也为等腰直角三角形，∵PE⊥AB，∴AE=BE=12AB=1222，在Rt△PBE中，PB=3，∴223-22（），∴22，∴2．故选B．考点：1．垂径定理；2．一次函数图象上点的坐标特征；3．勾股定理．8．C【解析】【详解】∵二次函数22y ax ax c=-+的图象经过点（﹣1，0），∴方程220ax ax c-+=一定有一个解为：x=﹣1，∵抛物线的对称轴为：直线x=1，∴二次函数22y ax ax c=-+的图象与x轴的另一个交点为：（3，0），∴方程220ax ax c -+=的解为：11x =-，23x =．故选C ．考点：抛物线与x 轴的交点．9．C【解析】分析：如图，延长AB 交CF 于E ，∵∠ACB=90°，∠A=30°，∴∠ABC=60°．∵∠1=35°，∴∠AEC=∠ABC ﹣∠1=25°．∵GH ∥EF ，∴∠2=∠AEC=25°．故选C ．10．C【解析】【分析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案．【详解】解：①由图象可知：a ＞0，c ＜0，∴ac ＜0，故①错误；②由于对称轴可知：b 2a-＜1， ∴2a+b ＞0，故②正确；③由于抛物线与x 轴有两个交点，∴△＝b 2﹣4ac ＞0，故③正确；④由图象可知：x ＝1时，y ＝a+b+c ＜0，故④正确；⑤当x ＞b 2a-时，y 随着x 的增大而增大，故⑤错误； 故选：C ．【点睛】本题考查二次函数，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于基础题型．二、填空题（本题包括8个小题）11．D【解析】【分析】利用△DAO 与△DEA 相似，对应边成比例即可求解．【详解】∠DOA=90°，∠DAE=90°，∠ADE 是公共角，∠DAO=∠DEA∴△DAO ∽△DEA ∴AO DO AE DA= 即AO AF DO DA= ∵AE=12AD ∴12AO DO = 故选D ．12．x≤1且x≠﹣1【解析】【分析】由二次根式中被开方数为非负数且分母不等于零求解可得结论．【详解】根据题意，得：2020x x -≥⎧⎨+≠⎩，解得：x≤1且x≠﹣1． 故答案为x≤1且x≠﹣1．【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑： （1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（1）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．13．2；【解析】试题解析：先求-2的平方4.14．1【解析】分析：设方程的另一个根为m ，根据两根之和等于-b a，即可得出关于m 的一元一次方程，解之即可得出结论．详解：设方程的另一个根为m ，根据题意得：1+m=3，解得：m=1．故答案为1．点睛：本题考查了根与系数的关系，牢记两根之和等于-b a 是解题的关键． 15．1【解析】【分析】根据函数值相等两点关于对称轴对称，可得答案．【详解】由点A （﹣1，4）、B （m ，4）在抛物线y=a （x ﹣1）2+h 上，得：（﹣1，4）与（m ，4）关于对称轴x=1对称，m ﹣1=1﹣（﹣1），解得：m=1．故答案为：1．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，利用函数值相等两点关于对称轴对称得出m ﹣1=1﹣（﹣1）是解题的关键．16．y=4x【解析】 解：设这个反比例函数的表达式为y=k x ．∵P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2）是同一个反比例函数图象上的两点，∴x 1y 1=x 2y 2=k ，∴11y =121x k y ，=2211112x k y y =+．，∴21y ﹣11y =12，∴21x x k k -=12，∴21x x k -=12，∴k=2（x 2﹣x 1）．∵x 2=x 1+2，∴x 2﹣x 1=2，∴k=2×2=4，∴这个反比例函数的解析式为：y=4x ．故答案为y=4x ． 点睛：本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数．同时考查了式子的变形．17．1【解析】【分析】设正多边形的边数为n ，然后根据多边形的内角和公式列方程求解即可．【详解】解：设正多边形的边数为n ， 由题意得，()2180n n-︒=144°，故答案为1．【点睛】本题考查了多边形的内角与外角，熟记公式并准确列出方程是解题的关键．18．403【解析】【分析】利用等腰直角三角形的性质得出AB=AD，再利用锐角三角函数关系即可得出答案．【详解】解:由题意可得：∠BDA=45°，则AB=AD=120m，又∵∠CAD=30°，∴在Rt△ADC中，tan∠CDA=tan30°=3 CDAD，解得：CD=403（m），故答案为403．【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确得出tan∠CDA=tan30°=CDAD是解题关键．三、解答题（本题包括8个小题）19．证明见解析.【解析】【分析】过点B作BF⊥CE于F，根据同角的余角相等求出∠BCF=∠D，再利用“角角边”证明△BCF和△CDE全等，根据全等三角形对应边相等可得BF=CE，再证明四边形AEFB是矩形，根据矩形的对边相等可得AE=BF，从而得证.【详解】证明：如图，过点B作BF⊥CE于F，∴∠D+∠DCE=90°，∵∠BCD=90°，∴∠BCF+∠DCE=90°∴∠BCF=∠D ，在△BCF 和△CDE 中,90BCF D CED BFC BC CD ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴△BCF ≌△CDE(AAS)，∴BF=CE ，又∵∠A=90°，CE ⊥AD ，BF ⊥CE ，∴四边形AEFB 是矩形，∴AE=BF ，∴AE=CE.20．电视塔OC高为米，点P的铅直高度为)10013（米）． 【解析】【分析】过点P 作PF ⊥OC ，垂足为F,在Rt △OAC 中利用三角函数求出根据山坡坡度＝1：2表示出PB ＝x ， AB ＝2x, 在Rt △PCF 中利用三角函数即可求解.【详解】过点P 作PF ⊥OC ，垂足为F ．在Rt △OAC 中，由∠OAC ＝60°，OA ＝100，得OC ＝OA•tan ∠OAC ＝（米），过点P 作PB ⊥OA ，垂足为B ．由i ＝1：2，设PB ＝x ，则AB ＝2x ．∴PF ＝OB ＝100+2x ，CF ＝x ．在Rt △PCF 中，由∠CPF ＝45°，∴PF ＝CF ，即100+2x ＝﹣x ，∴x＝1003 ，即PB＝1003米．【点睛】本题考查了特殊的直角三角形,三角函数的实际应用,中等难度,作出辅助线构造直角三角形并熟练应用三角函数是解题关键.21．3【解析】【分析】利用零指数幂和绝对值的性质、特殊角的三角函数值、负指数次幂的性质进行计算即可．【详解】 解：原式＝112311322--= 【点睛】本题考查了零指数幂和绝对值的性质、特殊角的三角函数值、负指数次幂的性质，熟练掌握性质及定义是解题的关键．22． (1) =x 2+7+211x -+ (2) 见解析【解析】【分析】（1）根据阅读材料中的方法将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式即可； （2）原式分子变形后，利用不等式的性质求出最小值即可．【详解】（1）设﹣x 4﹣6x+1=（﹣x 2+1）（x 2+a ）+b=﹣x 4+（1﹣a ）x 2+a+b ， 可得168a a b -=-⎧⎨+=⎩， 解得：a=7，b=1，则原式=x 2+7+211x -+；（2）由（1）可知，422681x x x --+-+=x 2+7+211x -+ ． ∵x 2≥0，∴x 2+7≥7；当x=0时，取得最小值0，∴当x=0时，x 2+7+211x -+最小值为1，即原式的最小值为1．23．9.6米．【解析】试题分析：要求这棵大树没有折断前的高度，只要求出AB 和AC 的长度即可，根据题目中的条件可以求得AB 和AC 的长度，即可得到结论．试题解析：解：∵AB ⊥EF ，DE ⊥EF ，∴∠ABC=90°，AB ∥DE ，∴△FAB ∽△FDE ，∴AB FB DE FE= ，∵FB=4米，BE=6米，DE=9米，∴4946AB =+，得AB=3.6米，∵∠ABC=90°，∠BAC=53°，cos ∠BAC=AB AC ，∴AC=cos AB BAC ∠ =3.60.6=6米，∴AB+AC=3.6+6=9.6米，即这棵大树没有折断前的高度是9.6米． 点睛：本题考查直角三角形的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用锐角三角函数进行解答．24．男生有12人，女生有21人.【解析】【分析】设该兴趣小组男生有x 人，女生有y 人，然后再根据：(男生的人数-1)×2-1=女生的人数，(女生的人数-1) ×35=男生的人数 ，列出方程组，再进行求解即可.【详解】设该兴趣小组男生有x 人，女生有y 人， 依题意得：2(1)13(1)5y x x y =--⎧⎪⎨=-⎪⎩， 解得：1221x y =⎧⎨=⎩． 答：该兴趣小组男生有12人，女生有21人．【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是明确题中各个量之间的关系，并找出等量关系列出方程组.25．() 1200名；()2见解析;()336；(4)375.【解析】【分析】()1根据统计图中的数据可以求得此次抽样调查中，共调查了多少名学生；()2根据()1中的结果和统计图中的数据可以求得反对的人数，从而可以将条形统计图补充完整；()3根据统计图中的数据可以求得扇形统计图中持“反对”意见的学生所在扇形的圆心角的度数；()4根据统计图中的数据可以估计该校1500名学生中有多少名学生持“无所谓”意见．【详解】解：()113065%200÷=，答：此次抽样调查中，共调查了200名学生；()2反对的人数为：2001305020--=，补全的条形统计图如右图所示；()3扇形统计图中持“反对”意见的学生所在扇形的圆心角的度数是：2036036200⨯=；(4)50 1500375200⨯=，答：该校1500名学生中有375名学生持“无所谓”意见．【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．26．（1）答案见解析；（2）45°．【解析】【分析】（1）分别以A、B为圆心，大于12AB长为半径画弧，过两弧的交点作直线即可；（2）根据∠DBF＝∠ABD﹣∠ABF计算即可；【详解】（1）如图所示，直线EF即为所求；（2）∵四边形ABCD是菱形，∴∠ABD＝∠DBC12=∠ABC＝75°，DC∥AB，∠A＝∠C，∴∠ABC＝150°，∠ABC+∠C＝180°，∴∠C＝∠A＝30°．∵EF垂直平分线段AB，∴AF＝FB，∴∠A＝∠FBA＝30°，∴∠DBF＝∠ABD﹣∠FBE＝45°．【点睛】本题考查了线段的垂直平分线作法和性质，菱形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．2019-2020学年中考数学模拟试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．PM2.5是指大气中直径≤0.0000025米的颗粒物，将0.0000025用科学记数法表示为（）A．2.5×10﹣7B．2.5×10﹣6C．25×10﹣7D．0.25×10﹣52．如图，由5个完全相同的小正方体组合成一个立体图形，它的左视图是()A．B．C．D．3．在一次数学答题比赛中，五位同学答对题目的个数分别为7，5，3，5，10，则关于这组数据的说法不正确的是（）A．众数是5 B．中位数是5 C．平均数是6 D．方差是3.64．下列图形是轴对称图形的有（）A．2个B．3个C．4个D．5个5．一球鞋厂，现打折促销卖出330双球鞋，比上个月多卖10%，设上个月卖出x双，列出方程（）A．10%x＝330 B．（1﹣10%）x＝330C．（1﹣10%）2x＝330 D．（1+10%）x＝3306．如图，等边△ABC的边长为1cm，D、E分别AB、AC是上的点，将△ADE沿直线DE折叠，点A落在点A′处，且点A′在△ABC外部，则阴影部分的周长为（）cmA．1 B．2 C．3 D．47．夏新同学上午卖废品收入13元，记为+13元，下午买旧书支出9元，记为（）元．A．+4 B．﹣9 C．﹣4 D．+98．如图是由长方体和圆柱组成的几何体，它的俯视图是（）A．B．C．D．9．某射击运动员练习射击，5次成绩分别是：8、9、7、8、x（单位：环）．下列说法中正确的是（）A．若这5次成绩的中位数为8，则x＝8B．若这5次成绩的众数是8，则x＝8C．若这5次成绩的方差为8，则x＝8D．若这5次成绩的平均成绩是8，则x＝810．已知△ABC中，∠BAC=90°，用尺规过点A作一条直线，使其将△ABC分成两个相似的三角形，其作法不正确的是（）A．B．C．D．二、填空题（本题包括8个小题）11．如图，是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：AM=4米，AB=8米，∠MAD=45°，∠MBC=30°，则警示牌的高CD为_______米（结果保留根号）．12．若关于x的分式方程2122x ax-=-的解为非负数，则a的取值范围是_____．13．在△ABC中，AB=13cm，AC=10cm，BC边上的高为11cm，则△ABC的面积为______cm1．14．如图，正方形ABCD中，E是BC边上一点，以E为圆心，EC为半径的半圆与以A为圆心，AB为半径的圆弧外切，则sin∠EAB的值为．15．若一个反比例函数的图象经过点A(m，m)和B(2m，－1)，则这个反比例函数的表达式为______ 16．一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1,2,3,4，随机取出一个小球后不放回，再随机取出一个小球，则两次取出的小球标号的和等于4的概率是_____.17．正五边形的内角和等于______度．18．若关于x的方程x2-2x+sinα=0有两个相等的实数根，则锐角α的度数为___．三、解答题（本题包括8个小题）19．（6分）如图，在65⨯的矩形方格纸中，每个小正方形的边长均为1，线段AB的两个端点均在小正方形的顶点上.在图中画出以线段AB为底边的等腰CAB∆，其面积为5，点C在小正方形的顶点上；在图中面出以线段AB为一边的ABDE，其面积为16，点D和点E均在小正方形的顶点上；连接CE，并直接写出线段CE的长.20．（6分）先化简，后求值：（1﹣11a+）÷（2221a aa a-++），其中a＝1．21．（6分）如图1所示，点E在弦AB所对的优弧上，且为半圆，C是上的动点，连接CA、CB，已知AB＝4cm，设B、C间的距离为xcm，点C到弦AB所在直线的距离为y1cm，A、C两点间的距离为y2cm．小明根据学习函数的经验，分别对函数y1、y2岁自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整．按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y1、y2与x的几组对应值：x/cm 0 1 2 3 4 5 6y1/cm 0 0.78 1.76 2.85 3.98 4.95 4.47y2/cm 4 4.69 5.26 5.96 5.94 4.47（2）在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x，y1），（x，y2），并画出函数y1、y2的图象；结合函数图象，解决问题：①连接BE，则BE的长约为cm．②当以A、B、C为顶点组成的三角形是直角三角形时，BC的长度约为cm．22．（8分）国家发改委公布的《商品房销售明码标价规定》，从2011年5月1日起商品房销售实行一套一标价．商品房销售价格明码标价后，可以自行降价、打折销售，但涨价必须重新申报．某市某楼盘准备以每平方米5000元的均价对外销售，由于新政策的出台，购房都持币观望．为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过两次下调后，决定以每平方米4050元的均价开盘销售．求平均每次下调的百分率；某人准备以开盘均价购买一套100平方米的房子，开发商还给予以下两种优惠方案发供选择：①打9.8折销售；②不打折，送两年物业管理费，物业管理费是每平方米每月1.5元，请问哪种方案更优惠？23．（8分）随着互联网的发展，同学们的学习习惯也有了改变，一些同学在做题遇到困难时，喜欢上网查找答案．针对这个问题，某校调查了部分学生对这种做法的意见(分为：赞成、无所谓、反对)，并将调查结果绘制成图1和图2两个不完整的统计图．请根据图中提供的信息，解答下列问题：此次抽样调查中，共调查了多少名学生？将图1补充完整；求出扇形统计图中持“反对”意见的学生所在扇形的圆心角的度数；根据抽样调查结果，请你估计该校1500名学生中有多少名学生持“无所谓”意见．24．（10分）如图所示，在△ABC中，BO、CO是角平分线．∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，求∠BOC的度数，并说明理由．题（1）中，如将“∠ABC＝50°，∠ACB＝60°”改为“∠A＝70°”，求∠BOC的度数．若∠A＝n°，求∠BOC的度数．25．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC5=，tanB12=，半径为2的⊙C分别交AC，BC于点D、E，得到DE弧．求证：AB为⊙C的切线．求图中阴影部分的面积．26．（12分）如图，AB为半圆O的直径，AC是⊙O的一条弦，D为BC的中点，作DE⊥AC，交AB的延长线于点F，连接DA．求证：EF为半圆O的切线；若DA＝DF＝63，求阴影区域的面积．（结果保留根号和π）参考答案一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．B【解析】【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【详解】解：0.000 0025=2.5×10﹣6；故选B．【点睛】本题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．2．B【解析】试题分析：从左面看易得第一层有2个正方形，第二层最左边有一个正方形．故选B．考点：简单组合体的三视图．3．D【解析】【分析】根据平均数、中位数、众数以及方差的定义判断各选项正误即可．【详解】A、数据中5出现2次，所以众数为5，此选项正确；B、数据重新排列为3、5、5、7、10，则中位数为5，此选项正确；C、平均数为（7+5+3+5+10）÷5=6，此选项正确；D、方差为15×[（7﹣6）2+（5﹣6）2×2+（3﹣6）2+（10﹣6）2]=5.6，此选项错误；故选：D．【点睛】本题主要考查了方差、平均数、中位数以及众数的知识，解答本题的关键是熟练掌握各个知识点的定义以及计算公式，此题难度不大．4．C【解析】试题分析：根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．据此对图中的图形进行判断．解：图（1）有一条对称轴，是轴对称图形，符合题意；图（2）不是轴对称图形，因为找不到任何这样的一条直线，使它沿这条直线折叠后，直线两旁的部分能够重合，即不满足轴对称图形的定义．不符合题意；图（3）有二条对称轴，是轴对称图形，符合题意；图（3）有五条对称轴，是轴对称图形，符合题意；图（3）有一条对称轴，是轴对称图形，符合题意．故轴对称图形有4个．故选C．考点：轴对称图形．5．D【解析】解：设上个月卖出x双，根据题意得：（1+10%）x=1．故选D．6．C【解析】【分析】由题意得到DA′＝DA，EA′＝EA，经分析判断得到阴影部分的周长等于△ABC的周长即可解决问题．【详解】如图，由题意得：DA′＝DA,EA′＝EA，∴阴影部分的周长＝DA′＋EA′＋DB＋CE＋BG＋GF＋CF＝(DA＋BD)＋(BG＋GF＋CF)＋(AE＋CE)＝AB＋BC＋AC＝1＋1＋1＝3(cm)故选C.【点睛】本题考查了等边三角形的性质以及折叠的问题，折叠问题的实质是“轴对称”，解题关键是找出经轴对称变换所得的等量关系.7．B【解析】【分析】收入和支出是两个相反的概念，故两个数字分别为正数和负数.【详解】收入13元记为＋13元，那么支出9元记作－9元【点睛】本题主要考查了正负数的运用，熟练掌握正负数的概念是本题的关键.8．A【解析】分析：根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．详解：从上边看外面是正方形，里面是没有圆心的圆， 故选A ．点睛：本题考查了简单组合体的三视图，从上边看得到的图形是俯视图． 9．D 【解析】 【分析】根据中位数的定义判断A ；根据众数的定义判断B ；根据方差的定义判断C ；根据平均数的定义判断D ． 【详解】A 、若这5次成绩的中位数为8，则x 为任意实数，故本选项错误；B 、若这5次成绩的众数是8，则x 为不是7与9的任意实数，故本选项错误；C 、如果x=8，则平均数为15（8+9+7+8+8）=8，方差为15[3×（8-8）2+（9-8）2+（7-8）2]=0.4，故本选项错误；D 、若这5次成绩的平均成绩是8，则15（8+9+7+8+x ）=8，解得x=8，故本选项正确； 故选D ． 【点睛】本题考查中位数、众数、平均数和方差：一般地设n 个数据，x 1，x 2，…x n 的平均数为x ，则方差()()()()22221232...n x x x x x x x xSn-+-+-++-=，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立． 10．D 【解析】分析：根据过直线外一点作这条直线的垂线，及线段中垂线的做法，圆周角定理，分别作出直角三角形斜边上的垂线，根据直角三角形斜边上的垂线，把原直角三角形分成了两个小直角三角形，图中的三个直角三角形式彼此相似的；即可作出判断.详解：A 、在角∠BAC 内作作∠CAD=∠B,交BC 于点D,根据余角的定义及等量代换得出∠B ＋∠BAD=90°,进而得出AD ⊥BC,根据直角三角形斜边上的垂线，把原直角三角形分成了两个小直角三角形，图中的三个直角三角形式彼此相似的；A 不符合题意；B 、以点A 为圆心，略小于AB 的长为半径，画弧，交线段BC 两点，再分别以这两点为圆心，大于12两交点间的距离为半径画弧，两弧相交于一点，过这一点与A 点作直线，该直线是BC 的垂线；根据直角三角形斜边上的垂线，把原直角三角形分成了两个小直角三角形，图中的三个直角三角形是彼此相似的；B 不符合题意；C 、以AB 为直径作圆，该圆交BC 于点D ，根据圆周角定理，过AD 两点作直线该直线垂直于BC ，根据直角三角形斜边上的垂线，把原直角三角形分成了两个小直角三角形，图中的三个直角三角形式彼此相似的；C 不符合题意；D 、以点B 为圆心BA 的长为半径画弧，交BC 于点E ，再以E 点为圆心，AB 的长为半径画弧，在BC 的另一侧交前弧于一点，过这一点及A 点作直线，该直线不一定是BE 的垂线；从而就不能保证两个小三角形相似；D 符合题意; 故选D.点睛：此题主要考查了相似变换以及相似三角形的判定，正确掌握相似三角形的判定方法是解题关键． 二、填空题（本题包括8个小题）11． 4 【解析】 【分析】分析:利用特殊三角函数值，解直角三角形,AM=MD,再用正切函数，利用MB 求CM,作差可求DC. 【详解】因为∠MAD=45°, AM=4,所以MD=4， 因为AB=8，所以MB=12,因为∠MBC=30°，所以CM=MBtan30°.所以【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数的相关定义以及变形是解题的关键. 12．1a ≥-且2a ≠ 【解析】分式方程去分母得：2（2x-a ）=x-2， 去括号移项合并得：3x=2a-2， 解得：223a x -=， ∵分式方程的解为非负数， ∴2203a -≥且 22203a --≠， 解得：a≥1 且a≠4 ． 13．2或2． 【解析】试题分析：分两种情况讨论：锐角三角形和钝角三角形，根据勾股定理求得BD=16，CD=5，再由图形求出BC ，在锐角三角形中，BC=BD+CD=2，在钝角三角形中，BC=CD-BD=2． 故答案为2或2．。
江苏省常州市2019年中考数学真题试题(含解析)
江苏省常州市2019年中考数学真题试题(含解析)1.选择题1.-3的相反数是（）。
A。
3 B。
-2 C。
1 D。
-12.若代数式有意义，则实数x的取值范围是（）。
A。
x = -1 B。
x = 3 C。
x ≠ -1 D。
x ≠ 33.如图是某几何体的三视图，该几何体是（）。
A。
圆柱 B。
正方体 C。
圆锥 D。
球4.如图，在线段PA、PB、PC、PD中，长度最小的是（）。
A。
线段PA B。
线段PB C。
线段PC D。
线段PD5.若△ABC～△A′B′C′，相似比为1：2，则△ABC与△A′B′C′的周长的比为（）。
A。
2：1 B。
1：2 C。
4：1 D。
1：46.下列各数中与2+的积是有理数的是（）。
A。
2+ B。
2 C。
1：2 D。
2-77.判断命题“如果n＜1，那么n^2-1＜0”是假命题，只需举出一个反例。
反例中的n可以为（）。
A。
-2 B。
0 C。
1 D。
28.随着时代的进步，人们对PM2.5（空气中直径小于等于2.5微米的颗粒）的关注日益密切。
某市一天中PM2.5的值y1（ug/m3）随时间t（h）的变化如图所示，设y2表示时到t时PM2.5的值y1的极差（即时到t时PM2.5的最大值与最小值的差），则y2与t的函数关系大致是（）。
A。
y2随t的增大而增大 B。
y2随t的增大而减小 C。
y2与t无关 D。
y2先增大后减小2.填空题9.计算：a^3 ÷ a = ____。
答案：a^210.4的算术平方根是 ____。
答案：211.分解因式：ax^2-4a = ____。
答案：a(x+2)(x-2)12.如果∠α＝35°，那么∠α的余角等于 ____°。
答案：5513.如果a-b-2＝0，那么代数式1+2a-2b的值是 ____。
答案：314.平面直角坐标系中，点P(-3.4)到原点的距离是 ____。
答案：515.若(1.2)是关于x、y的二元一次方程ax+y=3的解，则a ＝ ____。
2020年江苏省常州中考数学试卷含答案-答案在前
2020年江苏省常州市初中学业水平考试数学答案解析一、 1.【答案】D【解析】根据相反数的概念解答即可．2的相反数是2-，故选D ． 2.【答案】B【解析】直接利用同底数幂除法的运算法则解答即可．解：62624m m m m -÷==．故选：B ． 【考点】同底数幂除法 3.【答案】C【解析】通过俯视图为圆得到几何体为柱体，然后通过主视图和左视图可判断几何体为四棱柱．解：由图可知：该几何体是四棱柱．故选：C ． 【考点】由三视图判断几何体 4.【答案】D【解析】解：根据立方根的定义，由328=，可得8的立方根是2故选：D ． 【考点】立方根． 5.【答案】A【解析】根据不等式的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．解：A 、由x y ＜可得：22x y ＜，故选项成立；B 、由x y ＜可得：22x y --＞，故选项不成立；C 、由x y ＜可得：11x y --＜，故选项不成立；D 、由x y ＜可得：11x y ++＜，故选项不成立；故选A .【考点】不等式的性质 6.【答案】B【解析】先根据邻补角相等求得3∠，然后再根据两直线平行、内错角相等即可解答．解：13180∠+∠=︒ ，1140∠=︒，3180118014040∴∠=︒-∠=︒-︒=︒.a b ∥，2340∴∠=∠=︒．故答案为B ．【考点】平行线的性质 7.【答案】A【解析】根据直角三角形斜边中线定理，斜边上的中线等于斜边的一半可知12MH BC =，当BC 为直径时长度最大，即可求解．解：CH AB ⊥∵，90BHC ∴∠=︒. 在Rt BHC △中，点M 是BC 的中点，12MH BC ∴=.BC 为O 的弦，∴当BC 为直径时，MH 最大，O 的半径是3，MH ∴最大为3．故选：A ． 【考点】直角三角形斜边中线定理 8.【答案】D【解析】作AE BD ⊥交BD 的延长线于点E ，作AF x ⊥轴于点F ，计算出AE 长度，证明BCD AOF ≌△△，得出AF 长度，设出点A 的坐标，表示出点D 的坐标，使用D D A A x y x y =，可计算出k 值．作AE BD ⊥交BD 的延长线于点E ，作AF x ⊥轴于点F .135ADB ︒∠= ，45ADE ︒∴∠=，ADE ∴△为等腰直角三角形.BD ，2S ABD =△，122ABD S BD AE ∴=⋅=△，即AE =，DE AE ∴==.BC AO = ，且//BC AO ，//CD OF ，BCD AOF ∴∠=∠，BCD AOF ∴≌△△，AF BD ∴==，D y ∴=.设点(A m ，(D m -，(m =-⋅，解得：m =，6k ∴==故选：D ．【考点】反比例函数与几何图形的综合 二、 9.【答案】3【解析】根据绝对值和0次幂的性质求解即可．原式213== ．故答案为：3． 【考点】绝对值和0次幂的性质． 10.【答案】1x ≠【解析】分式有意义时，分母10x -≠，据此求得x 的取值范围．解：依题意得：10x -≠，解得1x ≠，故答案为：1x ≠．【考点】分式有意义的条件 11.【答案】36.410⨯【解析】对于一个绝对值较大的数，用科学记数法写成10n a ⨯的形式，其中110a ≤＜，n 是比原整数位数少1的数.36 400=6.410⨯.故答案为：36.410⨯. 【考点】科学记数法的表示方法 12.【答案】(1)(1)x x x +-【解析】解：原式2(1)(1)(1)x x x x x =-=+-13.【答案】0k ＞【解析】直角利用一次函数增减性与系数的关系解答即可．解： 一次函数2y kx =+的函数值y 随自变量x 增大而增大，0k ∴＞．故答案为0k ＞． 【考点】一次函数增减性与系数的关系 14.【答案】1【解析】根据一元二次方程的解的定义，把1x =代入方程得到关于a 的一次方程，然后解此一次方程即可． 解：把1x =代入方程220x ax +-=得120a +-=，解得1a =．故答案是：1． 【考点】一元二次方程的解 15.【答案】30【解析】根据垂直平分线的性质得到B BCF ∠=∠，再利用等边三角形的性质得到60AFC ∠=︒，从而可得B ∠. 解：EF 垂直平分BC ，BF CF ∴=，B BCF ∴∠=∠，ACF △为等边三角形，60AFC ∴∠=︒，30B BCF ∴∠=∠=︒.故答案为：30.【考点】垂直平分线的性质，等边三角形的性质，外角的性质16.【答案】【解析】根据菱形的性质可知2AD AB CD ===，60OAD ∠=︒由三角函数即可求出线段OD 的长度，即可得到答案．解：四边形ABCD 为菱形，2AB =，2AD AB CD ∴===，AB//CD ，120DAB ∠=︒ ，60DAO ∴∠=︒.在Rt DOA △中，sin 60=OD AD ︒=OD ∴=∴点C 的坐标是． 【考点】平面直接坐标系中直角三角形的计算问题，以及菱形的性质 17.【答案】12【解析】设BC a =，则2AC a =，然后利用正方形的性质求得CE CG 、的长、45GCD ECD ∠==︒，进而说明ECG △为直角三角形，最后运用正切的定义即可解答．解：设BC a =，则2AC a =. 正方形ACDE ，EC ∴=，1452ECD ACD ∠=∠=，同理：CG =，1452GCD BCD ∠=∠= 1tan 2CG CEG CE ∴∠===．故答案为12．【考点】正方形的性质和正切的定义 18.【答案】4或2【解析】分当点F 在点D 右侧时，当点F 在点D 左侧时，两种情况，分别画出图形，结合三角函数，勾股定理以及平行四边形的性质求解即可.解：如图，当点F 在点D 右侧时，过点F 作//FM DG ，交直线BC 于点M ，过点B 作BN DE ⊥，交直线DE 于点N ，,D E 分别是AB 和AC 中点，AB =，DE BC ∴∥，BD AD ==FBM BFD ∠=∠，∴四边形DGMF 为平行四边形，则DG FM =，DG BF ⊥ ，3BF DG =，90BFM ∴∠=︒，tan FBM==tan BF 1=3D FM BF ∴∠∠，13BN FN ∴=，45ABC BDN ∠=︒=∠ ，BDN ∴△为等腰直角三角形，3BN DN ∴===，39FN BN ∴==，6FB GM ==，B F = ，13M BF F ∴=10BM =∴=，1064BG ∴=-=；当点F 在点D 左侧时，过点B 作BN DE ⊥，交直线DE 于N ，过点B 作//BM DG ，交直线DE 于M ，延长FB 和DG ，交点为H ，可知：90H FBM ∠=∠=︒，四边形BMDG 为平行四边形，BG MD ∴=，BM DG =，3BF DG = ，1tan 3BM DH BN BF FH FN BFD ==∴=∠=，同理可得：BDN △为等腰直角三角形，3BN DN ==，39FN BN ∴==，BF =∴=MN x =，则3MD x =-，9FM x =+，在Rt BFM △和Rt BMN △中，有2222FM BF MN BN -=+，即()(22293x x +-=+，解得：1x =，即1MN =，2BG MD ND MN ∴==-=综上：BG 的值为4或2.故答案为：4或2.【考点】等腰直角三角形的判定和性质，三角函数，平行四边形的判定和性质，勾股定理 三、19.【答案】解：2(1)(1)x x x +-+2212x x x x =++--1x =+将2x =代入，原式3=【解析】完全平方公式和单项式乘多项式，具体解题过程参照答案. 【考点】整式的混合运算 20.【答案】（1）2211x x x+=--，去分母得：x 2=2x 2－－，解得0x =.经检验0x =是分式方程的解. （2）26036x x -⎧⎨-⎩＜，①≤，②由①得：3x ＜，由②得：2x -≥，则不等式组的解集为23x -≤＜.【解析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解.（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的方法部分即可． 【考点】分式方程与解不等式组 21.【答案】（1）100（2）打乒乓球的人数为10035%35⨯=人，踢足球的人数为10025351525---=人；补全条形统计图如图所示：（3）152000300100⨯=人． 【解析】（1）用条形统计图中最喜爱打排球的人数除以扇形统计图中最喜爱打排球的人数所占百分比即可求.出本次抽样调查的样本容量.（2）用总人数乘以最喜爱打乒乓球的人数所占百分比即可求出最喜爱打乒乓球的人数，用总人数减去最喜爱其它三项运动的人数即得最喜爱踢足球的人数，进而可补全条形统计图. （3）用最喜爱打篮球的人数除以总人数再乘以2000即可求出结果. 【考点】条形统计图，扇形统计图，样本容量，利用样本估计总体 22.【答案】（1）13（2）画树状图如下：所有等可能的情况有6种，其中抽到的2支签上签号的和为奇数的有4种，∴抽到的2支签上签号的和为奇数的概率为：4263=. 【解析】（1）由概率公式即可得出答案. 共有3个号码，∴抽到1号签的概率是13，故答案为：13. （2）画出树状图，得到所有等可能的情况，再利用概率公式求解即可． 【考点】列表法与树状图法23.【答案】（1）AE//BF ，A DBF ∴∠=∠，AB CD = ，AB BC CD BC ∴+=+，即AC BD =，又AE BF = ，ACE BDF SAS ∴≌（△△），E F ∴∠=∠. （2）ACE BDF ∴≌△△，80D ACE ∴∠=∠=︒，40A ∠=︒ ，18060E A ACE ∴∠=︒-∠-∠=︒. 【解析】（1）根据已知条件证明ACE BDF ≌△△，即可得到结论.（2）根据全等三角形的性质得到80D ACE ∠=∠=︒，再利用三角形内角和定理求出结果. 【考点】全等三角形的判定和性质，三角形内角和24.【答案】（1）设每千克苹果售价x 元，每千克梨y 千克，由题意，得：326222x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得：86x y =⎧⎨=⎩，答：每千克苹果售价8元，每千克梨6千克.（2）设购买苹果a 千克，则购买梨(15)a -千克，由题意，得：()8615100a a +-≤，解得：5a ≤，a ∴最大值为5，答：最多购买5千克苹果．【解析】（1）设每千克苹果售价x 元，每千克梨y 千克，由题意列出x 、y 的方程组，解之即可. （2）设购买苹果a 千克，则购买梨(15)a -千克，由题意列出a 的不等式，解之即可解答． 【考点】二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用 25.【答案】（1）已知反比例函数解析式为8y x=，点4(),A a 在反比例函数图象上，将点A 坐标代入，解得2a =，故A 点坐标为(2,4)，又A 点也在正比例函数图象上，设正比例函数解析为y kx =，将点()2,4A 代入正比例函数解析式中，解得2k =，则正比例函数解析式为2y x =．故2a =；2y x =．（2）根据第一问的求解结果，以及BD 垂直x 轴，我们可以设B 点坐标为(),0b ，则C 点坐标为8(,b b、D 点坐标为(),2b b ，根据10BD =，则210b =，解得5b =，故点B 的坐标为(5,0)，D 点坐标为(5,10)，C 点坐标为8(5,5，则在ACD △中，()186********ACD S ⎛⎫=⨯-⨯-= ⎪⎝⎭△．故ACD △的面积为635．【解析】（1）已知反比例函数解析式，点A 在反比例函数图象上，故a 可求；求出点A 的坐标后，点A 同时在正比例函数图象上，将点A 坐标代入正比例函数解析式中，故正比例函数的解析式可求．（2）根据题意以及第一问的求解结果，我们可设B 点坐标为(),0b ，则D 点坐标为(),2b b ，根据10BD =，可求b 值，然后确认三角形的底和高，最后根据三角形面积公式即可求解． 【考点】解正比例函数及反比例函数解析式，待定系数法 26.【答案】（1）1（2）①线段EF 经旋转运动所形成的平面图形如图3中的阴影所示：在Rt CEF △中，301ECF EF ∠=︒= ，，2CF ∴=，CE =，由旋转的性质可得： 2CF CA ==，CE CG ==，30ACG ECF ∠=∠=︒，()223030236036012CEF ACG ACF CEG ACF CEGS S S S S S S πππ⨯⨯-=∴=++== 阴影扇形扇形扇形扇形（）－（）－；故答案为：12π.②作EH CF ⊥于点H ，如图4，在Rt EFH △中，601F EF ∠=︒= ，，12FH ∴=，EH =13222CH ∴=-=，设OH x =，则32OC x =-，22222234OE EH OH x x =+=+=+⎝⎭，OB OE = ，2234OB x =∴+，在Rt BOC △中，2222233,142OB BC OC x x ⎛⎫∴++=- ⎝+=⎪⎭，解得：16x =，112263OF =+=∴．【解析】（1）根据直角三角形的性质和全等三角形的性质可得30ACF ECF ∠=∠=︒，即CF 是ACB ∠的平分线，然后根据角平分线的性质可得点F 到直线CA 的距离即为EF 的长，于是可得答案.30BAC ∠=︒ ，90ABC ∠=︒，60ACB ∴∠=︒，Rt ABC Rt CEF ≌△△，30ECF BAC ∴∠=∠=︒，1EF BC ==，30ACF ∴∠=︒，30ACF ECF ∴∠=∠=︒，CF ∴是ACB ∠的平分线，∴点F 到直线CA 的距离1EF ==；故答案为：1.（2）①易知E 点和F 点的运动轨迹是分别以CF 和CE 为半径、圆心角为30︒的圆弧，据此即可画出旋转后的平面图形；在图3中，先解Rt CEF △求出CF 和CE 的长，然后根据CEF ACG ACF CEG S S S S S =++ 阴影扇形扇形（）－（）即可求出阴影面积.②作EH CF ⊥于点H ，如图4，先解Rt EFH △求出FH 和EH 的长，进而可得CH 的长，设OH x =，则CO 和2OE 都可以用含x 的代数式表示，然后在Rt BOC △中根据勾股定理即可得出关于x 的方程，解方程即可求出x 的值，进一步即可求出结果．【考点】旋转的性质和旋转作图、全等三角形的性质、角平分线的性质、扇形面积公式、勾股定理和解直角三角形等知识27.【答案】（1）O 关于直线m 的“远点”是点D ，O 关于直线m 的“特征数”为·2510DB DE =⨯=. ②如下图：过圆心O 作OH ⊥直线n ，垂足为点H ，交O 于点P Q 、，直线n 的函数表达式为4y =+，当0x =时，4y =；当0y =时，x =，∴直线n 经过点04E （，），点0F （），在Rt EOF △中，34FO tan FEO EO ∠=== ，30FEO ∴∠=︒，60EFO ∴∠=︒，在Rt HOF △中， sin HF OOO H F ∠=， sin 2HO HFO FO ∴=∠⋅=，3PH HO OP ∴=+=，·236PQ PH ∴=⨯=，O ∴ 关于直线n 的“特征数”为6；（2）如下图， 点F 是圆心，点()1,0N -是“远点”，∴连接NF 并延长，则直线NF ⊥直线l ，设NF 与直线l 的交点为点A m n （，），设直线l 的解析式为10y kx b k =+≠（），将点()1,4M 与A m n （，）代入y kx b =+中，114=k b n mk b ⎧+⎪⎨=+⎪⎩①②②-①得：14n mk k -=-，③又 直线NF ⊥直线l ，∴设直线NF 的解析式为210y x b k k=-+≠（），将点()1,0N -与A m n （，）代入21y x b k =-+中，2210=b k m n b k ⎧+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩④⑤④-⑤得：1k n mk -=+，⑥联立方程③与方程⑥，得：41n mk k m n k k -=-⎧⎪⎨-=+⎪⎩解得：222411421k k m k k n k ⎧--=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，∴点A 的坐标为2224142()11k k k k k ---++，；又F 关于直线l 的“特征数”是，F，·NB NA ∴=，即NA ⋅=，解得：NA =()()22210m n ∴--+-=⎡⎤⎣⎦，即()22110m n ++=，把222411421k k m k kn k ⎧--=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩代入，解得3k =-或13k =；当3k =-时，21m n ==，，∴点A 的坐标为21（，），把点21A （，）与点()1,4M 代入1y kx b =+中，解得直线l 的解析式为37y x =-+；当13k =时，23m n =-=，，∴点A 的坐标为23-（，），把点23A -（，）与点()1,4M 代入1y kx b =+中，解得直线l 的解析式为11133y x =+．∴直线l 的解析式为37y x =-+或11133y x =+.【解析】（1）①根据题干中“远点”及“特征数”的定义直接作答即可；②过圆心O 作OH ⊥直线n ，垂足为点H ，交O 于点P Q 、，首先判断直线n 也经过点04E （，），在Rt EOF △中，利用三角函数求出60EFO ∠=︒，进而求出PH 的长，再根据“特征数”的定义计算即可.（2）连接NF 并延长，设直线l 的解析式为1y kx b =+，用待定系数法得到114=k b n mk b ⎧+⎪⎨=+⎪⎩①②，再根据两条直线互相垂直，两个一次函数解析式的系数k 互为负倒数的关系可设直线NF 的解析式为21y x b k=-+，用待定系数法同理可得2210=b k m n b k ⎧+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩④⑤，消去1b 和2b ，得到关于m n 、的方程组41n mk k m n k k -=-⎧⎪⎨-=+⎪⎩；根据F 关于直线l的“特征数”是，得出NA =()22110m n ++=，把222411421k k m k k n k ⎧--=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩代入，求出k 的值，便得到m n 、的值即点A 的坐标，再根据待定系数法求直线l 的函数表达式．注意有两种情况，不要遗漏． 【考点】一次函数与圆的综合 28.【答案】（1）4-（2）由（1）可得抛物线解析式为：243y x x =-+，当0x =时，3y =，A ∴的坐标为03（，），当3y =时得2343x x =-+，解得10x =，24x =，∴点B 的坐标为43（，），()224321y x x x =-+=-- ，∴顶点D 的坐标为21-（，），设BD 与x 轴的交点为M ，作CH AB ⊥于H ，DG CM ⊥于G ，1tan tan 3ACH OAC ∴∠=∠=，根据勾股定理可得BC =，CD =，BD =BD ∴=，90BCD ∴∠=︒，1tan 3CBD ∴∠=，ACH CBM ∴∠=∠，45HCB BCM ∠=∠=︒ ，ACH HCB CBM MCB ∴∠+∠=∠+∠，即ACB CMD ∠=∠，Q 在CD 上方时：若CQD ACB ∠=∠，则Q 与M 点重合，243y x x =-+ 中，令0y =，解得：1x =或3，∴抛物线与x 轴的另一个交点坐标为30（，），即此时P 的坐标为30（，）；Q 在CD 下方时：过点Q 作QK x ⊥轴，过点C作CL QM ⊥于点L ，过点A 作AN BC ⊥于点N ，可得：4A A B BC C ==，，设CN x =，则BN x =，在ABC △中，2222AC CN AB BN -=-，即()22224x x -=--，解得：x =，cos ACN CN AC ∴∠==BD 的表达式为：y mx n =+，将,B D 代入得：3412m n m n =+⎧⎨-=+⎩，解得：25m n =⎧⎨=-⎩，∴直线BD 的表达式为25y m =-，令0y =，则52x =，即点205M （，），设点Q 坐标为25a a -（，），则52QK a =-，32CM =，QM =，ACB CMD ACB CQD ∠=∠∠=∠ ，，CMD CQD ∴∠=∠，即32CQ CM ==，cos cos CQD A CQ CB QL ∴∠=∠==QL ∴=，QM =，CL =CQM△中，1122CM KQ QM CL ⋅=⋅，即32KQ ⋅=65KQ =，910K C =∴=，196,105Q ∴-（，设直线CQ 表达式为：y sx t =+，将点C 和点Q 代入，0619510s t s t =+⎧⎪⎨-=+⎪⎩，解得：4343s t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则CQ 表达式：4433y x =-+，联立：2443343y x y x x ⎧=-+⎪⎨⎪=-+⎩，解得5389x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，即点P 坐标为58(,)39，综上：点P 的坐标为30（，）或58(,39.（3）设点C 关于BD 的对称点为C '，BD 中点为点R ，直线AC 与直线BD 交于N '，31R ∴（，），设C p q '（，），由题意可求得：直线AC 表达式为：33y x =-+，直线BD 表达式为：25y x =-，直线BC 的表达式为：1y x =-，令3325x x -+=-，解得： 85x =，则95y =-，∴点89(,55N -'， 点C 和C '关于直线BC对称，12CR C R BD ∴='==，CN C N ='=''=，则有为()()22231p q -+-=，2228955p q ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即222262501618110555p p q q p p q q ⎧-+-+=⎪⎨-+++=⎪⎩①②，①-②得：12p q =-③，代入①，解得：65q =-或0（舍），代入③中，得：175p =，解得：17565p q ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，即点17,565C '-（，8,59)5N '- （，求得直线C N ''的表达式为：1733y x =-， 点F 在x 轴上，令0y =，则7x =，∴点70F （，），又 点F 和点G 关于直线BC 对称，1BC y x =-：，连接CG ，可得45BCF BCG ∠=︒=∠，90FCG ∴∠=︒，6CG CF ∴==，∴点G 的坐标为1,6（），又03A （，），AG ∴的长=【解析】（1）根据待定系数法求解即可.解： 抛物线过点10C （，），∴将10C （，）代入23y x bx =++得013b =++，解得4b =-，故答案为：4-. （2）分点Q 在CD 上方和点Q 在CD 下方时，两种情况，结合三角函数，勾股定理等知识求解.（3）设点C 关于BD 的对称点为C '，BD 中点为点R ，直线AC 与直线BD 交于N '，设C p q '（，），利用点R 到点C 和点C '的距离相等以及点N '到点C 和点C '的距离相等，求出点C '的坐标，从而得到C N ''直线的解析式，从而求出点F 坐标，再利用点F 和点G 关于直线BC 对称，结合BC 的表达式可求出点G 坐标，最后得到AG 的长.【考点】二次函数解析式，一次函数，三角函数，面积法，对称的性质数学试卷 第1页（共6页） 数学试卷 第2页（共6页）绝密★启用前2020年江苏省常州市初中学业水平考试数 学注意事项：1.本试卷共6页.全卷满分120分.考试时间为120分钟.考生应将答案全部填写在答题卡相应位置上，写在本试卷上无效.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.考试时不允许使用计算器.2.答题前，考生务必将自己的姓名、考试证号填写在试卷上，并填写好答题卡上的考生信息.3.作图必须用2B 铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚.一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的）1.2的相反数是（ ）A .12-B .12C .2D .2- 2.计算62m m ÷的结果是（ ） A .3mB .4mC .8mD .12m 3.右图是某几何体的三视图，该几何体是（ ）A .圆柱B .三棱柱C .四棱柱D .四棱锥 4.8的立方根是（ ）A .B .2± C.± D .2 5.如果x y ＜，那么下列不等式正确的是（ ） A .22x y ＜B .22x y --＜C .11x y --＞D .11x y ++＞6.如图，直线a 、b 被直线c 所截，a b ∥，1140∠=︒，则2∠的度数是（ ）A .30︒B .40︒C .50︒D .60︒7.如图，AB 是O 的弦，点C 是优弧AB 上的动点（C 不与A 、B 重合），CH AB ⊥，垂足为H ，点M 是BC 的中点．若O 的半径是3，则MH 长的最大值是 （ ） A .3 B .4 C .5D .68.如图，点D 是OABC 内一点，CD 与x 轴平行，BD 与y轴平行，BD =，135ADB ∠=︒，2ABD S =△．若反比例函数()0ky x x=＞的图像经过A 、D 两点，则k 的值是（ ）A.B .4 C. D .6二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．．．．．．．） 9.计算：021||() -+-=________． 10.若代数式11x -有意义，则实数x 的取值范围是________． 11.地球半径大约是6 400 km ，将6 400用科学记数法表示为________． 12.分解因式：3=x x -__________．13.若一次函数2y kx =+的函数值y 随自变量x 增大而增大，则实数k 的取值范围是__________．14.若关于x 的方程220x ax +-=有一个根是1，则a =_________．15.如图，在ABC △中，BC 的垂直平分线分别交BC 、AB 于点E 、F ．若AFC △是等边三角形，则B ∠=_________°．16.数学家笛卡尔在《几何》一书中阐述了坐标几何思想，主张取代数和几何中最好的东西，互相以长补短．在菱形ABCD 中，2AB =，120DAB ∠=︒．如图，建立平面直角坐标系xOy，使的毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________________________ _____________-------------在------------------此------------------卷------------------上-------------------答-------------------题-------------------无-------------------效----------------数学试卷 第3页（共6页） 数学试卷 第4页（共6页）得边AB 在x 轴正半轴上，点D 在y 轴正半轴上，则点C 的坐标是________．17.如图，点C 在线段AB 上，且2AC BC =，分别以AC 、BC 为边在线段AB 的同侧作正方形ACDE 、BCFG ，连接EC 、EG ，则tan CEG ∠=________．18.如图，在ABC △中，45,B AB ∠=︒=，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，连接DE ，在直线DE 和直线BC 上分别取点F 、G ，连接BF 、DG ．若3BF DG =，且直线BF 与直线DG 互相垂直，则BG 的长为________．三、解答题（本大题共10小题，共84分，请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，如无特殊说明，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）19.（本小题满分6分）先化简，再求值：2(1)(1)x x x +-+，其中2x =． 20.（本小题满分8分）解方程和不等式组：（1）2211x x x +=--； （2）260,3 6.x x -<⎧⎨-⎩21.（本小题满分8分）为了解某校学生对球类运动喜爱情况，调查小组就打排球、打乒乓球、打篮球、踢足球四项球类运动对该校学生进行了“你最喜爱的球类运动”的抽样调查，并根据调查结果绘制成如下统计图．（1）本次抽样调查的样本容量是_________； （2）补全条形统计图；（3）该校共有2 000名学生，请你估计该校最喜爱“打篮球”的学生人数． 22.（本小题满分8分）在3张相同的小纸条上分别标上1、2、3这3个号码，做成3支签，放在一个不透明的盒子中．（1）搅匀后从中随机抽出1支签，抽到1号签的概率是_________；（2）搅匀后先从中随机抽出1支签（不放回），再从余下的2支签中随机抽出1支签，求抽到的2支签上签号的和为奇数的概率．23.（本小题满分8分）已知：如图，点A 、B 、C 、D 在一条直线上，//EA FB ，EA FB =，AB CD =．（1）求证：E F ∠=∠；（2）若40A ∠=︒，80D ∠=︒，求E ∠的度数．24.（本小题满分8分）某水果店销售苹果和梨，购买1千克苹果和3千克梨共需26元，购买2千克苹果和1千克梨共需22元． （1）求每千克苹果和每千克梨的售价；（2）如果购买苹果和梨共15千克，且总价不超过100元，那么最多购买多少千克苹果？25.（本小题满分8分）如图，正比例函数y kx =的图像与反比例函数()80y x x=＞的图像交于点(),4A a ．点B 为x 轴正半轴上一点，过B 作x 轴的垂线交反比例函数的图像于点C ，交正比例函数的图像于点D ．（1）求a 的值及正比例函数y kx =的表达式； （2）若10BD =，求ACD △面积．26.（本小题满分10分）如图1，点B 在线段CE 上，Rt ABC C F Rt E ≌△△，90ABC CEF ∠=∠=︒，30BAC ∠=︒，1BC =．（1）点F 到直线CA 的距离是_________；（2）固定ABC △，将CEF △绕点C 按顺时针方向旋转30︒，使得CF 与CA 重合，并停止旋转．的的数学试卷 第5页（共6页） 数学试卷 第6页（共6页）①请你在图1中用直尺和圆规画出线段EF 经旋转运动所形成的平面图形（用阴影表示，保留画图痕迹，不要求写画法）该图形的面积为_________； ②如图2，在旋转过程中，线段CF 与AB 交于点O ，当OE OB =时，求OF 的长．27.（本小题满分10分）如图1，I 与直线a 相离，过圆心I 作直线a 的垂线，垂足为H ，且交I 于P 、Q 两点（Q 在P 、H 之间）．我们把点P 称为I 关于直线a 的“远点”，把PQ PH ⋅的值称为I 关于直线a 的“特征数”．（1）如图2，在平面直角坐标系xOy 中，点E 的坐标为()0,4，半径为1的O 与两坐标轴交于点A 、B 、C 、D ．①过点E 画垂直于y 轴的直线m ，则O 关于直线m 的“远点”是点_________（填“A ”、“B ”、“C ”或“D ”），O 关于直线m 的“特征数”为_________；②若直线n的函数表达式为4y =+，求O 关于直线n 的“特征数”； （2）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 经过点()1,4M ，点F 是坐标平面内一点，以F为半径作F ．若F 与直线l 相离，点()1,0N -是F 关于直线l 的“远点”，且F 关于直线l的“特征数”是，求直线l 的函数表达式．28.（本小题满分10分）如图，二次函数23y x bx =++的图像与y 轴交于点A ，过点A 作x 轴的平行线交抛物线于另一点B ，抛物线过点()1,0C ，且顶点为D ，连接AC 、BC 、BD 、CD ．（1）填空：b =________；（2）点P 是抛物线上一点，点P 的横坐标大于1，直线PC 交直线BD 于点Q ．若CQD ACB ∠=∠，求点P 的坐标；（3）点E 在直线AC 上，点E 关于直线BD 对称的点为F ，点F 关于直线BC 对称的点为G ，连接AG ．当点F 在x 轴上时，直接写出AG 的长．-------------在------------------此------------------卷------------------上-------------------答-------------------题-------------------无-------------------效---------------- 毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________________________ _____________。
2019年江苏常州中考数学真题--含解析
2019年江苏省常州市初中毕业、升学考试数学试题（满分120分，考试时间120分钟）一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是正确的）1．（2019·江苏常州，1，2）－3的相反数是（）A．13B．－13C．3 D．－3【答案】C．【解析】本题考查了相反数的定义，和为0的两个数互为相反数，由于－3＋3＝0，从而－3的相反数是3，因此本题选C．【知识点】实数的概念；相反数2．（2019·江苏常州，2，2）若代数式13xx+-有意义，则实数x的取值范围是（）A．x＝－1 B．x＝3 C．x≠－1 D．x≠3【答案】D．【解析】本题考查了分式有意义的条件，只要分母不为0，分式就有意义，由x－3≠0得x≠3，因此本题选D．【知识点】分式有意义的条件3．（2019·江苏常州，3，2）下图是某几何体的三视图，该几何体是（）A．3圆柱 B．正方体 C．圆锥 D．球【答案】A【解析】本题考查了由几何体的三视图认识几何体，因为该几何体的主视图与左视图都是矩形，所以该几何体是柱体；又因为该几何体的俯视图是圆，所以该几何体是圆柱，因此本题选A．【知识点】三视图4．（2019·江苏常州，4，2）如图，在线段PA、PB、PC、PD中，长度最小的是（）A．线段PA B．线段PB C．线段PC D．线段PD【答案】B第4题图DCBAP第3题图【解析】本题考查了垂线的性质及点到直线的距离，根据“垂线段最短”，易知在线段PA、PB、PC、PD中，长度最小的是PB，因此本题选B．【知识点】垂线的性质；点到直线的距离5．（2019·江苏常州，5，2）若△ABC∽△A B C'''，相似比为1﹕2，则△ABC与△A B C'''的周长的比为（）A．2﹕1 B．1﹕2 C．4﹕1 D．1﹕4【答案】B【解析】本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的周长比等于相似比，知△ABC与△A B C'''的周长的比为1﹕2，因此本题选B．【知识点】相似三角形的性质6．（2019·江苏常州，6，2）下列各数中与2）A．2．2 C．2【答案】D【解析】本题考查了分母有理化及二次根式的乘法法则，因数(2)(2)＝1，因此本题选D．【知识点】分母有理化；二次根式的乘法法则7．（2019·江苏常州，7，2）判断命题“如果n＜1，那么n2－1＜0”是假命题，只需举出一个反例．反例中的n可以为（）A．－2 B．－12C．0 D．12【答案】A【解析】本题考查了用举反例的方法证明一个假命题，根据反例的意义：即命题的条件成立，但命题的结论不成立的例子即可为反例，本题中由“－2＜1，而(－2)2－1＝3＞1”，从而反例中的n可以为－2，因此本题选A．【知识点】命题与证明；反证法；举反例8．（2019·江苏常州，8，2）随着时代的进步，人们对PM2.5（空气中直径小于等于2.5微米的颗粒）的关注日益密切．某市一天中PM2.5的值y1（ug/m3）随着时间t（h）的变化如图所示，设y2表示0到t时PM2.5的值的极差（即0时到t时PM2.5的最大值与最小值的差），则y2与t的函数关系大致是（）ABC．2 D第8题图【答案】B【解析】本题考查了极差的意义及函数图像的应用，将一天24小时分成三段：0≤t ≤10、10≤t ≤20、20≤t ≤24，在0≤t ≤10，y 2随t 的增大而增大；在10≤t ≤20，y 2随t 的增大而不变（恒为85－42＝43），在20≤t ≤24，y 2随t 的增大而增大，因此本题选B ． 【知识点】极差的意义；函数图像的应用二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接写在答题卡相应位置上）9．（2019·江苏常州，9，2）计算：a 3÷a ＝__________． 【答案】a 2【解析】本题考查了同底幂的除法法则：同底幂相除，底数不变，指数相减，而a 3÷a ＝a 3－1＝a 2，因此本题答案为a 2．【知识点】同底幂的除法法则 10．（2019·江苏常州，10，2）4的算术平方根是__________． 【答案】2 【解析】本题考查了算术平方根的定义，因为22＝4，所以4的算术平方根为2，因此本题答案为2． 【知识点】算术平方根的定义 11．（2019·江苏常州，11，2）分解因式：ax 2－4a ＝__________． 【答案】a (x ＋2)(x ＋2)【解析】本题考查了因式分解的常用方法，根据因式分解的步骤，先提公因式，再运用公式法进行分解，ax 2－4a ＝a (x 2－4)＝a (x ＋2)(x ＋2)，因此本题答案为a (x ＋2)(x ＋2)． 【知识点】因式分解 12．（2019·江苏常州，12，2）如果∠α＝35°，那么∠α的余角等于__________°． 【答案】55°【解析】本题考查了余角的定义，根据和为90°的两个角称为互为余角，∵35°＋55°＝90°，∴∠α的余角等于55°，因此本题答案为55°． 【知识点】余角的定义 13．（2019·江苏常州，13，2）如果a －b －2＝0，那么代数式1＋2a －2b 的值是__________． 【答案】5【解析】本题考查了整式的求值问题，将条件进行转化，然后利用整体代入的方法进行求值．∵a －b －2＝0，∴a －b ＝2．∴1＋2a －2b ＝1＋2(a －b )＝1＋2×2＝5，因此本题答案为5． 【知识点】整式的求值问题；整体思想 14．（2019·江苏常州，14，2）平面直角坐标系中，点P (－3，4)到原点的距离是__________． 【答案】5 【解析】本题考查了平面内两点间的距离公式及勾股定理知识，根据两点间的距离公式或勾股定理，A ．B ．C ．D ．可求得点P(－3，4)5，因此本题答案为5．【知识点】平面内两点间的距离公式；勾股定理15．（2019·江苏常州，15，2）若12xy=⎧⎨=⎩是关于x、y的二元一次方程ax＋y＝3的解，则a＝__________．【答案】1【解析】本题考查了二元一次方程的解的定义，将12xy=⎧⎨=⎩代入方程ax＋y＝3，得a＋2＝3，a＝1，因此本题答案为1．【知识点】二元一次方程的解的定义16．（2019·江苏常州，16，2）如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，∠AOC＝120°，则∠CDB＝__________°．【答案】30【解析】本题考查了圆周角定理，∵AB是⊙O的直径，∠AOC＝120°，∴∠BOC＝60°．∴∠CDB ＝30°．因此本题答案为30．【知识点】圆周角定理17．（2019·江苏常州，17，2O与边长为8的等边三角形ABC的两边AB、BC都相切．连接OC，则tan∠OCB＝__________．【解析】本题考查了切线长定理、等边三角形的性质、锐角三角函数等知识．设⊙O与BC边相切于点D，连接OB、OD．由等边三角形的性质得∠ABC＝60°，再由切线长定理易求∠OBC＝30°，而ODtan∠OBD＝ODBD，得BD＝3，于是CD＝BC－BD＝8－3＝5．在Rt△OCD第17题图第16题图BA中，由正切函数定义，得tan ∠OCB ＝OD CD．【知识点】切线长定理；等边三角形的性质；锐角三角函数18．（2019·江苏常州，18，2）如图，在矩形ABCD 中，AD ＝3AB ＝P 是AD 的中点，点E在BC 上，CE ＝2BE ，点M 、N 在线段BD 上．若△PMN 是等腰三角形且底角与∠DEC 相等，则MN＝__________．【答案】6．【解析】本题考查了矩形的性质、相似三角形的性质与判定、等腰三角形的性质、勾股定理、锐角三角函数等几何知识点．首先由勾股定理，求得BD ＝10，然后由“AD ＝3AB ＝P 是AD 的中点，点E 在BC 上，CE ＝2BE ”，求得PD＝2，CE ＝tan ∠DEC ＝12DC EC =；第四步过点P 作PH ⊥BD 于点H ，在BD 上依次取点M 、N ，使MH ＝NH ＝2PH ，于是因此△PMN 是所求符合条件的图形；第五步由△DPH ∽△DBA ，得PH PD BA BD =，即210=，得PH ＝32，于是MN ＝4PH ＝6，本题答案为6．【知识点】矩形的性质、相似三角形的性质与判定、等腰三角形的性质、勾股定理、锐角三角函数；压轴题三、解答题（本大题共10小题，共84分．请在答题卡指定区域内作答，如无特殊说明，解答应HNMP EDC BA第18题答图第18题图第17题答图写出文字说明、演算步骤或推理过程）19．（2019·江苏常州，19，8）计算：（1）0121()(3)2π-+-；（2）(x －1)(x ＋1)－x (x －1) ．【思路分析】本题考查了实数的运算、整式的加减乘除法运算，解题的关键是按实数的运算法则与运算顺序、整式的乘法法则及加减法法则进行计算即可． 【解题过程】解：（1）原式＝1＋2－3＝0；（2）原式＝x 2－1－x 2＋x ＝x －1． 【知识点】实数的运算；整式的加减乘除法运算20．（2019·江苏常州，20，6）解不等式组1038x x x+>⎧⎨-≤-⎩并把解集在数轴上表示出来．【思路分析】本题考查了一元一次不等式组的解法及在数轴上表示法，解题先分别求每一个不等式的解集，然后借助数轴找它们解集的公共部分即为原不等式组的解集，另外，画出数轴按相关要求将其解集表示出来． 【解题过程】解：不等式①的解集为x ＞－1；不等式②的解集为：3x ＋x ≤8，4x ≤8， x ≤2．∴原不等式组的解集为－1＜x ≤2，在数轴上表示如下：【知识点】一元一次不等式组的解法；不等式的解集在数轴上表示法 21．（2019·江苏常州，21，8）如图，把平行四边形纸片ABCD 沿BD 折叠，点C 落在C '处，BC '与AD 相交于点E ．（1）连接AC '，则AC '与BD 的位置关系是_________； （2）EB 与ED 相等吗?证明你的结论．【思路分析】本题考查了折叠、平行四边形的性质、平行线的判定、等腰三角形的判定等知识点，连接AC '，从图形上容易看出并证明四边形ABDC '是等腰梯形，故AC '∥BD ．由折叠（轴对称性质）及平行四边形的性质、等角对等边可证明EB ＝ED ．【解题过程】解：（1）AC '∥BD ；第21题答图第21题图第20题答图-4-3-2-143210（2）EB ＝ED ．理由如下：由折叠可知∠CBD ＝∠EBD ， ∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ．∴∠CBD ＝∠EDB ． ∴∠EBD ＝∠EDB ． ∴EB ＝ED ．【知识点】折叠；平行四边形的性质；平行线的判定；等腰三角形的判定 22．（2019·江苏常州，22，8）在“慈善一日捐”活动中，为了解某校学生的捐款情况，抽样调查了该校部分学生的捐款数（单位：元），并绘制成下面的统计图． （1）本次调查的样本容量是________，这组数据的众数为________元； （2）求这组数据的平均数；（3）该校共有600名学生参与捐款，请你估计该校学生的捐款总数．【思路分析】本题考查了统计中的条形图的应用，众数、平均数的求法及用样本估计总体的统计核心思想．将条形图的四组数据相加即可样本容量；由图可知这组数据的众数为10元；利用加权平均数计算公式即可求出这组数据的平均数；最后用样本平均数去乘数据总个数即可计该校学生的捐款总数． 【解题过程】解：（1）30，10；（2）x ＝56101115820530⨯+⨯+⨯+⨯＝36030＝12（元）；（3）∵12×600＝7200（元），∴估计该校学生的捐款总数为7200元．【知识点】统计中的条形图的应用；众数、平均数的求法；用样本估计总体 23．（2019·江苏常州，23，8）将图中的A 型（正方形）、B 型（菱形）、C 型（等腰直角三角形）纸片分别放在3个盒子中，盒子的形状、大小、质地都相同，再将这3个盒子装入一只不透明的袋子中．根据以上信息，解决下列问题：（1）搅匀后从中摸出1个盒子，盒中的纸片既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是________；（2）搅匀后先从中摸出1个盒子（不放回），再从余下的2个盒子中摸出1个盒子，把摸出的2个盒中的纸片长度相等的边拼在一起，求拼成的图形是轴对称图形的概率．（不重叠无缝隙拼接）第22题图/元【思路分析】本题考查了概率的求法，第（1）问用简单枚举法及概率的意义较易求出；第（2）问用列表法或画树状图法可以解决．【解题过程】解：（1）23；（2）现画树状图如下：由图可知共有6种等可能的结果，其中“拼成的图形是轴对称图形”的结果有2种，故P (拼成的图形是轴对称图形)＝26＝13．【知识点】概率的求法 24．（2019·江苏常州，24，8）甲、乙两人每小时共做30个零件，甲做180个零件所用的时间与乙做120个零件所用的时间相等．甲、乙两人每小时各做多少个零件？【思路分析】本题考查了分式方程的应用，解题时按列分式方程解应用的步骤进行操作即可，本题的等量关系是：甲做180个零件所用的时间与乙做120个零件所用的时间相等． 【解题过程】解：设甲每小时做x 个零件，则乙每小时做(30－x )个零件，根据题意，得18012030x x=-，解得x ＝18． 经检验，x ＝18是原方程的解，则30－x ＝12． 答：甲、乙两人每小时分别做18个和12个零件． 【知识点】分式方程的应用25．（2019·江苏常州，25，8）如图，在□ABCD 中，OA ＝，∠AOC ＝45°，点C 在y 轴上，点D 是BC 的中点，反比例函数y ＝kx（x ＞0）的图像经过点A 、D ．（1）求k 的值；（2）求点D 的坐标．第23题答图(C,B)(C,A)(B,C)(B,A)(A,C)(A,B)结果：第二次：第一次：开始ABC ABC CB A 第23题图111C BA【思路分析】本题考查了平行四边形的性质、等腰直角三角形的性质、反比例函数等知识点．（1）如答图，延长BA 交x 轴于点F ，取OA 的中点E ，连接DE ．由OA ＝，∠AOC ＝45°，利用等腰直角三角形的边角关系易求OF ＝AF ＝2，从而A (2，2)，并代入双曲线的解析式即可得k ＝4．（2）由中点公式，易求点E 的坐标，从而D 点的横坐标与E 点相同，在y ＝4x，将点E 的横坐标代入可求y 的值，从而求出点D 的坐标． 【解题过程】解：（1）如答图，延长BA 交x 轴于点F ，取OA 的中点E ，连接DE ，则AF ⊥x 轴于点F ． 在Rt △AOF 中，OA ＝，∠AOC ＝45°，可得OF ＝AF ＝2，从而A (2，2)． ∵反比例函数y ＝kx（x ＞0）的图像经过点A 、D ， ∴k ＝2×2＝4．（2）∵O (0，0)，A (2，2)，∴线段OA 的中点E 的坐标为 (1，1)．∵在y ＝kx中，当x ＝1，y ＝4，∴点D 的坐标为(1，4)．【知识点】平行四边形的性质；等腰直角三角形的性质；反比例函数 26．（2019·江苏常州，26，10）【阅读】数学中，常对同一个量．．．．（图形的面积、点的个数、三角形内角和等）用两种不同的方法计算，从而建立相等关系，我们把这一思想称为“算两次”．“算两次”也称为富比尼原理，是一种重要的数学思想． 【理解】（1）如图1，两个边长分别为a 、b 、c 的直角三角形和一个两条直角边都是c 的直角三角形拼成一个梯形．用两种不同的方法计算梯形的面积，并写出你发现的结论；（2）如图2，n 行n 列的棋子排成一个正方形，用两种不同的方法计算棋子的个数，可得到等式：n 2＝___________________________．【运用】（3）n 边形有n 个顶点，在它的内部再画m 个点，以(m ＋n )点为顶点，把n 边形剪成若干个三角形，设最多可以剪得y 个这样的三角形．当n ＝3，m ＝3时，如图3，最多可以剪得7个这样的三角形，所以y ＝7．①当n ＝4，m ＝2时，如图4，y ＝______；当n ＝5，m ＝_______时，y ＝9；②对于一般的情形，在n 边形内画m 个点，通过归纳思想，可得y ＝__________（用含m 、n 的代数式表示）．请对同．一个量．．．用算两次的方法说明你的猜想成立．【思路分析】本题考查了勾股定理的验证、数列的求和公式推导、规律探究等知识点．（1）利用梯形面积的两种不同的计算方式，得到关于直角三角形三边a 、b 、c 的数量关系：a 2＋b 2＝c 2，从而得到结论：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方．（2）根据图2中n 行n 列个点的计算方式，得到n 2＝1＋3＋5＋…＋2n －1（n 为正整数）．（3）先观察图3和图4，不难解决第①问；②利用多边形的内角和公式，得到在n 边形内有不共线的m 个点，最多能剪出y 个三角形，这些y 个三角形的内角和的总和为(180y )°，也等于n 边形的内角和与m 个周角的和，即可得到y 与m 、n 的数量关系式． 【解题过程】解：（1）∵S 梯形＝12(a ＋b )(a ＋b )＝12(a 2＋2ab ＋b 2)，又∵S 梯形＝2×12ab ＋12c 2，∴12(a 2＋2ab ＋b 2)＝2×12ab ＋12c 2． ∴a 2＋2ab ＋b 2＝2ab ＋c 2． ∴a 2＋b 2＝c 2．结论：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方．（2）1＋3＋5＋…＋2n －1（n 为正整数）． （3）①6，3；图26—3 图26—4图26—1abc cba图26—2②n ＋2m －2，理由如下：如答图，在n 边形内有不共线的m 个点，最多能剪出y 个三角形，这些y 个三角形的内角和的总和为(180y )°，也等于n 边形的内角和与m 个周角的和，即180°•(n －2)＋m •360°，故180y ＝180(n －2)＋360 m ，故y ＝n ＋2m －2．【知识点】勾股定理的验证；数列的求和公式推导；规律探究；阅读理解题 27．（2019·江苏常州，27，10）如图，二次函数y ＝－x 2＋bx ＋3的图像与x 轴交于点A 、B ，与y轴交于点C ，点A 坐标为(－1，0)，点D 为OC 的中点，点P 在抛物线上． （1）b ＝_____；（2）若点P 在第一象限，过点P 作PH ⊥x 轴，垂足为H ，PH 与BC 、BD 分别交于点M 、N ．是否存在这样的点P ，使得PM ＝MN ＝NH ，若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点P 的横坐标小于3，过点P 作PQ ⊥BD ，垂足为Q ，直线PQ 与x 轴交于点R ，且S △PQB ＝2S △QRB ，求点P 的坐标．【思路分析】本题考查了二次函数的综合应用，涉及到的知识点有：用待定系数法求函数解析式、一元二次方程的解法、相似三角形的性质与判定等．（1）直接将点A 坐标代入抛物线解析式，得到关于b 的一元一次方程，解之即可；（2）先求直线BC 、BD 的解析式，然后令P (m ，－m 2＋2m ＋3)，则M (m ，－m ＋3)、N (m ，－12m ＋32)，再利用PM ＝MN ＝NH ，得到m 的一元二次方程解之即可锁定符合条件的点P 坐标；（3）如答图2，过点P 作PK ⊥AB 于点K ，过点Q 作QJ ⊥AB 于点J ，则PK ∥QJ ．通过面积关系及相似三角形知识，将问题转化为点P 的纵坐标为点Q 纵坐标3倍关系，最后利用坐标法仿照（2）得到符合条件的点P 的坐标． 【解题过程】解：（1）∵二次函数y ＝－x 2＋bx ＋3的图像过点A (－1，0)，∴0＝－(－1)2－b ＋3． ∴b ＝2．（2）如答图1，连接BD 、BC ，过点P 作PH ⊥x 轴于点H ，交BC 、BD 分别于点M 、N ．第27题图 第27题备用图第26题答图∵抛物线y ＝－x 2＋2x ＋3交x 轴于点A (－1，0)、B (3，0)，交y 轴于点C (0，3)，且点D 为OC 的中点，∴D (0，32)．易求直线BC 的解析式为y ＝－x ＋3，直线BD 的解析式为y ＝－12x ＋32．假设存在符合条件点P (m ，－m 2＋2m ＋3)，则M (m ，－m ＋3)、N (m ，－12m ＋32)．∵PM ＝MN ＝NH ，∴－12m ＋32＝(－m 2＋2m ＋3)－(－m ＋3)．整理，得2m 2－7m ＋3＝0，解得m 1＝12，m 2＝3（不合题意，舍去）．∴P (12，154)即为所求的符合条件的点．（3）如答图2，过点P 作PK ⊥AB 于点K ，过点Q 作QJ ⊥AB 于点J ，则PK ∥QJ ．∵过点P 作PQ ⊥BD ，垂足为Q ，直线PQ 与x 轴交于点R ，且S △PQB ＝2S △QRB ， ∴PQ ＝2QR ，从而PR ＝3QR ． ∵PK ∥QJ ，∴△RQJ ∽△RPK ． ∴13QJ RQ PK RP ==． ∴PK ＝3QJ ．设P (n ，－n 2＋2n ＋3)，由BD 的解析式为y ＝－12x ＋32，且直线PQ ⊥BD ，可令直线PQ 的解析式为y ＝2x ＋t ，则－n 2＋2n ＋3＝2n ＋t ，解得t ＝3－n 2，于是，PQ ：y ＝2x ＋3－n 2．由2132223y x y x n ⎧=-+⎪⎨⎪=+-⎩，解得2223551955x n y n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，从而Q (22355n -，21955n -+)．由PK ＝3QJ ，得－n 2＋2n ＋3＝3(21955n -+)，整理，得n 2－5n ＋6＝0，解得n 1＝2，n 2＝3（舍去）．当n ＝2时，－n 2＋2n ＋3＝3，故P (2，3)即为所求的点．【知识点】二次函数的综合应用；用待定系数法求函数解析式；一元二次方程的解法；相似三角形的性质与判定；压轴题28．（2019·江苏常州，28，10）已知平面图形S，点P、Q是S上任意两点，我们把线段PQ的长度的最大值称为平面图形S的“宽距”．例如，正方形的宽距等于它的对角线的长度．（1）写出下列图形的宽距：①半径为1的圆：________；②如图1，上方是半径为1的半圆，下方是正方形的三条边的“窗户形”：________；（2）如图2，在平面直角坐标系中，已知点A(－1，0)、B(1，0)，C是坐标平面内的点，连接AB、BC、CA所形成的图形为S，记S的宽距为d．①若d＝2，用直尺和圆规画出点C所在的区域并求它的面积（所在区域用阴影表示）；②若点C在⊙M上运动，⊙M的半径为1，圆心M在过点(0，2)且与y轴垂直的直线上．对于⊙M上的任意点C，都有5≤d≤8，直接写出圆心M的横坐标x的取值范围．【思路分析】本题考查了新定义问题、点到圆的最大距离、扇形的面积、尺规作图、动态问题、探究问题等内容．（1）易知直径是圆有最大的弦；在“窗户形”图形中，中利用点到圆的最大距离的线段在点与圆心的连心线上找，据此可求该图形的宽距．（2）解答本问的两个问题都遵循“一找二求”原则：找出符合条件的图形，再根据条件求相应结论．具体思路参照答图2至答图4，充分利用数形结合思想与分类思想，并利用勾股定理进行求解即可．【解题过程】解：（1）①2（直径是圆的宽距）；1．（如答图1，点A与半圆圆心的连线与半圆相交于点D，则AD的长最大）（2）①如答图2所示，分别以A、B为圆心，以AB为半径所作的圆心角为120°的两条弧所形成的阴影部分即为点C所在的区域．S阴影＝2(21202360π⋅－112⋅)＝83π-．②1≤x≤1或1－≤x≤1－．CBA第28题答图1图28—2图28—1【知识点】新定义问题；点到圆的最大距离；扇形的面积；尺规作图；动态问题；探究问题；压轴题第28题答图3 第28题答图4。
江苏省常州市2019年中考：数学考试真题与答案解析
江苏省常州市2020年中考：数学考试真题与答案解析一、选择题本大题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的。
1. 2的相反数是（ ）A. B. C. D. 12-1222-【答案】D【解析】【分析】根据相反数的概念解答即可．【详解】2的相反数是-2，故选D ．2.计算的结果是（）62m m ÷A. B. C. D. 3m 4m 8m 12m 【答案】B【解析】【分析】直接利用同底数幂除法的运算法则解答即可．【详解】解：．62624m m m m -÷==故选：B ．【点睛】本题考查了同底数幂除法，掌握公式是解答本题的关键．m m n m m m m -=÷3.如图是某几何体的三视图，该几何体是（ ）A. 圆柱B. 三棱柱C. 四棱柱D. 四棱锥【答案】C【解析】【分析】通过俯视图为圆得到几何体为柱体，然后通过主视图和左视图可判断几何体为四棱柱．【详解】解：由图可知：该几何体是四棱柱．故选：C ．【点睛】本题考查了由三视图判断几何体：由三视图想象几何体的形状，首先，应分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，然后综合起来考虑整体形状．熟记一些简单的几何体的三视图对复杂几何体的想象会有帮助．4.8的立方根是（ ）B. ±2C.D. 2【答案】D【解析】【详解】解：根据立方根的定义，由23=8，可得8的立方根是2故选：D ．【点睛】本题考查立方根．5.如果，那么下列不等式正确的是（）x y <A. B. C. D. 22x y<22x y -<-11x y ->-11x y +>+【答案】A【解析】【分析】根据不等式的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．【详解】解：A 、由x ＜y 可得：，故选项成立；22x y <B 、由x ＜y 可得：，故选项不成立；22x y ->-C 、由x ＜y 可得：，故选项不成立；11x y -<-D 、由x ＜y 可得：，故选项不成立；11x y +<+故选A.【点睛】本题考查了不等式的性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．6.如图，直线a 、b 被直线c 所截，，，则的度数是（ ）//a b 1140∠=︒2∠A. 30°B. 40°C. 50°D. 60°【答案】B【解析】【分析】先根据邻补角相等求得∠3，然后再根据两直线平行、内错角相等即可解答．【详解】解：∵∠1+∠3=180°，1140∠=︒∴∠3=180°-∠1=180°-140°=40°∵//a b∴∠2=∠3=40°．故答案为B ．【点睛】本题考查了平行线的性质，掌握“两直线平行、内错角相等”是解答本题的关键．7.如图，是的弦，点C 是优弧上的动点（C 不与A 、B 重合），，垂足AB O AB CH AB ⊥为H ，点M 是的中点．若的半径是3，则长的最大值是（ ）BC O MHA. 3B. 4C. 5D. 6【答案】A【解析】【分析】根据直角三角形斜边中线定理，斜边上的中线等于斜边的一半可知MH=BC ，当BC 为直12径时长度最大，即可求解．【详解】解：∵CH AB⊥∴∠BHC=90°∵在Rt △BHC 中，点M 是的中点BC ∴MH=BC 12∵BC 为的弦O ∴当BC 为直径时，MH 最大∵的半径是3O ∴MH 最大为3．故选：A ．【点睛】本题考查了直角三角形斜边中线定理，数形结合是结题关键．8.如图，点D 是内一点，与x 轴平行，与y 轴平行，OABC CD BD．若反比例函数的图像经过A 、D 两点，则k 的值135,2ABD BD ADB S =∠=︒= ()0k y x x=>是（ ）A. B. 4 C. D. 6【答案】D【解析】【分析】作交BD 的延长线于点E ，作轴于点F ，计算出AE 长度，证明，AE BD ⊥AF x ⊥BCD AOF ≅△△得出AF 长度，设出点A 的坐标，表示出点D 的坐标，使用，可计算出值．D D A A x y x y =k 【详解】作交BD 的延长线于点E ，作轴于点FAE BD ⊥AF x ⊥∵135ADB ︒∠=∴45ADE ︒∠=∴为等腰直角三角形ADE∵2BD S ABD ==△∴，即122ABD S BD AE =⋅=△AE =∴DE=AE=∵BC=AO ，且，//BC AO //CD OF∴BCD AOF∠=∠∴BCD AOF≅△△∴AF BD ==∴D y =设点A ，(m (D m -(m =-⋅解得：m =∴6k ==故选：D ．【点睛】本题考查了反比例函数与几何图形的综合，利用点Ａ和点Ｄ表示出ｋ的计算是解题的关键．二、填空题本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上。
2020年江苏省常州中考数学试卷附答案解析版
数学试卷 第 1 页（共 6 页）数学试卷 第 2 页（共 6 页）2 △ABD 绝密★启用前2020 年江苏省常州市初中学业水平考试数 学注意事项：1. 本试卷共 6 页.全卷满分 120 分.考试时间为 120 分钟.考生应将答案全部填写在答题卡相应位置上，写在本试卷上无效.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.考试时不允许使用计算器.2. 答题前，考生务必将自己的姓名、考试证号填写在试卷上，并填写好答题卡上的考生信息.3. 作图必须用 2B 铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚.一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 2 分，共 16 分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的）1.2 的相反数是（）7.如图， AB 是 O 的弦，点C 是优弧 AB 上的动点（ C 不与 A 、B 重合），CH ⊥ AB ，垂足为 H ，点 M 是 BC 的中点．若 O 的半径是 3，则 MH 长的最大值是 （ ）A .3B .4C .5D .68. 如图，点 D 是OABC 内一点， CD 与 x 轴平行， BD 与 y 轴平行， BD =，∠ADB = 135︒ ， S = 2 ．若反比例函数 y = k ( x ＞0) 的图像经过 A 、 D 两点，则kx的值是 （）A . 2B .4C . 3D .6A . - 1 2B .1 C . 2D . -22 二、填空题（本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题．卡．相．应．位．置．上．）2.计算m 6 ÷ m 2 的结果是 （）9.计算： | -2 | +(π -1)0 = ．A. m 3B. m 4C. m 8D. m 1210.若代数式 1有意义，则实数 x 的取值范围是．3. 右图是某几何体的三视图，该几何体是 （）A. 圆柱B .三棱柱C .四棱柱D .四棱锥 4.8 的立方根是（） x -111. 地球半径大约是6 400 km ，将6 400 用科学记数法表示为 ．12.分解因式： x 3- x =．13. 若一次函数 y = kx + 2 的函数值 y 随自变量 x 增大而增大，则实数 k 的取值范围是． 14. 若关于 x 的方程 x 2 + ax - 2 = 0 有一个根是 1，则a = ．A .2 B. ±2 C. ±2 D .215.如图，在△ABC 中， BC 的垂直平分线分别交 BC 、 AB 于点 E 、 F ．若△AFC 是5. 如果 x ＜y ，那么下列不等式正确的是（）等边三角形，则∠B =°．A . 2x ＜2 y C . x -1＞y -1B . -2x ＜- 2 y D . x + 1＞y + 16. 如图，直线a 、b 被直线c 所截， a ∥b ， ∠1 = 140︒ ，则∠2 的度数是 （）A . 30︒B . 40︒C . 50︒D . 60︒16. 数学家笛卡尔在《几何》一书中阐述了坐标几何的思想，主张取代数和几何中最好的东西，互相以长补短．在菱形 ABCD 中， AB = 2 ，∠DAB = 120︒ ．如图，建立平面直角坐标系 xOy ，使222 2 在此卷上答题无效毕业学校姓名考生号⎩ 得边 AB 在 x 轴正半轴上，点 D 在 y 轴正半轴上，则点C 的坐标是．17. 如图，点 C 在线段 AB 上，且 AC = 2BC ，分别以 AC 、BC 为 边在线段 AB 的同侧作正方形 ACDE 、BCFG ，连接 EC 、EG ， 则tan ∠CEG =．（2）搅匀后先从中随机抽出 1 支签（不放回），再从余下的 2 支签中随机抽出 1 支签，求抽到的 2 支签上签号的和为奇数的概率．23.（本小题满分 8 分）已知：如图，点 A 、B 、C 、D 在一条直线上，EA //FB ，EA = FB ，AB = CD ．（1）求证： ∠E = ∠F ；18.如图，在△ABC 中， ∠B = 45︒, AB = 6 ， D 、 E 分别是 AB 、（2）若∠A = 40︒ ， ∠D = 80︒ ，求∠E 的度数．AC 的中点，连接 DE ，在直线 DE 和直线 BC 上分别取点 F 、G ， 连接 BF 、DG ．若 BF = 3DG ，且直线 BF 与直线 DG 互相垂直， 则 BG 的长为．三、解答题（本大题共 10 小题，共 84 分，请在答．题．卡．指．定．区．域．内作答，如无特殊说明，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）19.（本小题满分 6 分）先化简，再求值： (x + 1)2 - x (x + 1) ，其中 x = 2 ． 20.（本小题满分 8 分）解方程和不等式组： （1） x + 2= 2 ；x -1 1 - x ⎧2x - 6 < 0, （2） ⎨-3x 6.21.（本小题满分 8 分）为了解某校学生对球类运动的喜爱情况，调查小组就打排球、打乒乓球、打篮球、踢足球四项球类运动对该校学生进行了“你最喜爱的球类运动”的抽样调查，并根据调查结果绘制成如下统计图．（1） 本次抽样调查的样本容量是 ；（2） 补全条形统计图；（3） 该校共有2 000 名学生，请你估计该校最喜爱“打篮球”的学生人数．22.（本小题满分 8 分）在 3 张相同的小纸条上分别标上 1、2、3 这 3 个号码，做成 3 支签，放在一个不透明的盒子中．（1）搅匀后从中随机抽出 1 支签，抽到 1 号签的概率是；数学试卷 第 3 页（共 6 页）24.（本小题满分 8 分）某水果店销售苹果和梨，购买 1 千克苹果和 3 千克梨共需 26 元，购买 2 千克苹果和 1 千克梨共需 22 元．（1） 求每千克苹果和每千克梨的售价；（2） 如果购买苹果和梨共 15 千克，且总价不超过 100 元，那么最多购买多少千克 苹果？25.（本小题满分 8 分）如图，正比例函数 y = kx 的图像与反比例函数 y =8( x ＞0) 的图x像交于点 A (a , 4) ．点 B 为 x 轴正半轴上一点，过 B 作 x 轴的垂线交反比例函数的图像于点C ，交正比例函数的图像于点 D ．（1） 求a 的值及正比例函数 y = kx 的表达式； （2） 若 BD = 10 ，求△ACD 的面积．26. （ 本小题满分 10 分） 如图 1 ， 点 B 在线段 CE 上， Rt △ABC ≌Rt △CEF ，∠ABC = ∠CEF = 90︒ ， ∠BAC = 30︒ ， BC = 1 ．（1） 点 F 到直线CA 的距离是；（2） 固定△ABC ，将△CEF 绕点C 按顺时针方向旋转30︒ ，使得CF 与CA 重合，并停止旋转．数学试卷 第 4 页（共 6 页）2数学试卷 第 5 页（共 6 页）数学试卷 第 6 页（共 6 页）①请你在图 1 中用直尺和圆规画出线段 EF 经旋转运动所形成的平面图形（用阴影表示，保留画图痕迹，不要求写画法）该图形的面积为 ；②如图 2，在旋转过程中，线段CF 与 AB 交于点O ，当OE = OB 时，求OF 的长．27.（本小题满分 10 分）如图 1， I 与直线a 相离，过圆心 I 作直线a 的垂线，垂足为H ，且交 I 于 P 、Q 两点（ Q 在 P 、H 之间）．我们把点 P 称为 I 关于直线a 的“远点”，把 PQ ⋅ PH 的值称为 I 关于直线a 的“特征数”．（1） 如图 2，在平面直角坐标系 xOy 中，点 E 的坐标为(0, 4)，半径为 1 的 O 与两坐标轴交于点 A 、 B 、C 、 D ．① 过点 E 画垂直于 y 轴的直线 m ， 则 O 关于直线 m 的“ 远点” 是点（填“ A ”、“ B ”、“ C ”或“ D ”）， O 关于直线m 的“特征数”为；28.（本小题满分 10 分）如图，二次函数 y = x 2 + bx + 3 的图像与 y 轴交于点 A ，过点 A 作 x 轴的平行线交抛物线于另一点 B ，抛物线过点C (1, 0) ，且顶点为 D ，连接 AC 、 BC 、 BD 、CD ． （1）填空： b =；（2） 点 P 是抛物线上一点，点 P 的横坐标大于 1，直线 PC 交直线 BD 于点Q ．若∠CQD = ∠ACB ，求点 P 的坐标；（3） 点 E 在直线 AC 上，点 E 关于直线 BD 对称的点为 F ，点 F 关于直线 BC 对称的点为G ，连接 AG ．当点 F 在 x 轴上时，直接写出 AG 的长．②若直线n 的函数表达式为 y = 3x + 4 ，求 O 关于直线n 的“特征数”；（2）在平面直角坐标系 xOy 中，直线l 经过点 M (1, 4) ，点 F 是坐标平面内一点，以F 为圆心， 为半径作 F ．若 F 与直线l 相离，点 N (-1, 0) 是 F 关于直 线l 的“远点”，且 F 关于直线l 的“特征数”是4 式．，求直线l 的函数表达2 5 在此卷上答题无效毕业学校姓名考生号2020 年江苏省常州市初中学业水平考试数学答案解析一、1.【答案】D【解析】根据相反数的概念解答即可．2 的相反数是-2 ，故选D．2.【答案】B【解析】直接利用同底数幂除法的运算法则解答即可．解：m6 ÷m2 =m6-2 =m4 ．故选：B．【考点】同底数幂除法3.【答案】C【解析】通过俯视图为圆得到几何体为柱体，然后通过主视图和左视图可判断几何体为四棱柱．解：由图可知：该几何体是四棱柱．故选：C．【考点】由三视图判断几何体4.【答案】D【解析】解：根据立方根的定义，由23 = 8 ，可得8 的立方根是2 故选：D．【考点】立方根．5.【答案】A【解析】根据不等式的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．解：A、由x＜y 可得：2x＜2 y ，故选项成立；B、由x＜y 可得：-2x＞- 2 y ，故选项不成立；C、由x＜y 可得：x -1＜y -1 ，故选项不成立；D、由x＜y 可得：x + 1＜y + 1，故选项不成立；故选A.【考点】不等式的性质6.【答案】B2 2 2 【解析】先根据邻补角相等求得∠3 ，然后再根据两直线平行、内错角相等即可解答．解： ∠1 + ∠3 = 180︒ ， ∠1 = 140︒ ，∴∠3 = 180︒ - ∠1 = 180︒ -140︒ = 40︒ . a ∥b ，∴∠2 = ∠3 = 40︒ ．故答案为B ．【考点】平行线的性质7. 【答案】A【解析】根据直角三角形斜边中线定理，斜边上的中线等于斜边的一半可知 MH = 1BC ，当 BC 为直径时长2度最大，即可求解．解：∵CH ⊥ AB ，∴∠BHC = 90︒ . 在 Rt △BHC 中，点 M 是 BC 的中点，∴ MH = 1BC . BC 为 O 的2弦，∴当 BC 为直径时， MH 最大， O 的半径是 3，∴ MH 最大为 3．故选：A ．【考点】直角三角形斜边中线定理8. 【答案】D【解析】作 AE ⊥ BD 交 BD 的延长线于点 E ，作AF ⊥ x 轴于点 F ，计算出 AE 长度，证明△BCD ≌△AOF ， 得出 AF 长度，设出点 A 的坐标，表示出点 D 的坐标，使用 x D y D = x A y A ，可计算出k 值．作 AE ⊥ BD 交 BD 的延长线于点 E ，作 AF ⊥ x 轴于点 F . ∠ADB = 135︒ ，∴∠ADE = 45︒ ，∴△ADE 为等腰直角三角形. BD =， S ABD = 2 ，∴ S= 1BD ⋅ AE = 2 ，即 AE = 2 ，∴ DE = AE = 2 .△△ ABD 2BC = AO ，且 BC //AO ，CD //OF ，∴∠BCD = ∠AOF ，∴△BCD ≌△AOF ，∴ AF = BD =，∴ y D = 3 . 222m = (m - 2 2 ) ⋅ 3 ，解得：m = 3，∴k = 3 2 ⨯= 62 2设点A(m, 2 ) ，D(m - 2 2,3 2 ) ，∴2故选：D．【考点】反比例函数与几何图形的综合二、9.【答案】3【解析】根据绝对值和0 次幂的性质求解即可．原式= 2 1 = 3 ．故答案为：3．【考点】绝对值和0 次幂的性质．10.【答案】x ≠ 1【解析】分式有意义时，分母x -1 ≠ 0 ，据此求得x 的取值范围．解：依题意得：x -1 ≠ 0 ，解得x ≠ 1 ，故答案为：x ≠ 1 ．【考点】分式有意义的条件11.【答案】6.4 ⨯103【解析】对于一个绝对值较大的数，用科学记数法写成a ⨯10n 的形式，其中1≤a ＜10 ，n 是比原整数位数少1 的数. 6 400=6.4 ⨯103.故答案为：6.4 ⨯103.【考点】科学记数法的表示方法12.【答案】x(x + 1)(x -1)【解析】解：原式=x(x2-1) =x(x + 1)(x -1)3) 13. 【答案】k ＞0【解析】直角利用一次函数增减性与系数的关系解答即可．解： 一次函数 y = kx + 2 的函数值 y 随自变量 x 增大而增大，∴ k ＞0 ．故答案为k ＞0 ．【考点】一次函数增减性与系数的关系14. 【答案】1【解析】根据一元二次方程的解的定义，把 x = 1 代入方程得到关于a 的一次方程，然后解此一次方程即可． 解：把 x = 1 代入方程 x 2 + ax - 2 = 0 得1 + a - 2 = 0 ，解得a = 1 ．故答案是：1． 【考点】一元二次方程的解15. 【答案】30【解析】根据垂直平分线的性质得到∠B = ∠BCF ，再利用等边三角形的性质得到∠AFC = 60︒ ，从而可得∠B . 解： EF 垂直平分 BC ， ∴ BF = CF ， ∴∠B = ∠BCF ， △ACF 为等边三角形， ∴∠AFC = 60︒ ，∴∠B = ∠BCF = 30︒ .故答案为：30.【考点】垂直平分线的性质，等边三角形的性质，外角的性质16. 【答案】(2,【解析】根据菱形的性质可知 AD = AB = CD = 2 ， ∠OAD = 60︒ 由三角函数即可求出线段OD 的长度，即可得到答案．解： 四边形 ABCD 为菱形，AB = 2 ，∴ AD = AB = CD = 2 ，AB//CD ， ∠DAB = 120︒ ，∴∠DAO = 60︒ .在 Rt △DOA 中， sin 60︒= OD = AD 3 ，∴OD = 23 ，∴点C 的坐标是(2, ．故答案为： (2, ．【考点】平面直接坐标系中直角三角形的计算问题，以及菱形的性质17. 【答案】 12【解析】设 BC = a ，则 AC = 2a ，然后利用正方形的性质求得CE 、CG 的长、∠GCD = ECD = 45︒ ，进而说3)3)2a 2 2a 2 明△ECG 为直角三角形，最后运用正切的定义即可解答．解：设 BC = a ，则 AC = 2a . 正方形 ACDE ，∴ EC == 2 2a ，∠ECD = 1 ∠ACD = 45 ， 2同理： CG = 2a ，∠GCD = 1 ∠BCD = 45 ∴tan ∠CEG = CG = = 1 ．故答案为 1． 2 CE 22【考点】正方形的性质和正切的定义18. 【答案】4 或 2【解析】分当点 F 在点 D 右侧时，当点 F 在点 D 左侧时，两种情况，分别画出图形，结合三角函数，勾股定理以及平行四边形的性质求解即可.解：如图，当点 F 在点 D 右侧时，过点 F 作 FM //DG ，交直线 BC 于点 M ，过点 B 作 BN ⊥ DE ，交直线DE 于点 N ， D , E 分别是 AB 和 AC 中点，AB = 6 ，∴ DE ∥BC ，BD = AD = 3 2 ，∠FBM = ∠BFD ，∴ 四 边 形 DGMF 为 平 行 四 边 形 ， 则 DG = FM ， DG ⊥ BF ， BF = 3DG ， ∴∠BFM = 90︒ ，∴tan ∠FBM=FM = 1 =tan ∠BFD ，∴ BN = 1， ∠ABC = 45︒ = ∠BDN ，∴△BDN 为等腰直角三角形， BF 3 FN 3∴ BN = DN = BD = 3 ，∴ FN = 3BN = 9 ，FB = GM = 6 ， BF = BN 2 + NF 2 =3 ，∴ FM = 1BF = 10 ， 3∴ BM = = 10 ，∴ BG = 10 - 6 = 4 ；(2a )2 + (2a )2 2 10 BF 2 + FM 292 + 32 10当点 F 在点 D 左侧时，过点 B 作 BN ⊥ DE ，交直线 DE 于 N ，过点 B 作 BM //DG ，交直线 DE 于 M ， 延长 FB 和 DG ，交点为 H ，可知： ∠H = ∠FBM = 90︒ ，四边形 BMDG 为平行四边形，∴ BG = MD ，BM = DG ， BF = 3DG ，∴tan ∠BFD =BM = DH = BN = 1，同理可得： △BDN 为等腰直角三角 BF FH FN 3形，BN = DN = 3 ，∴ FN = 3BN = 9 ，∴ BF = = 3 ，设 MN = x ，则 MD = 3 - x ，FM = 9 + x ，在 Rt △BFM 和 Rt △BMN 中，有 FM 2 - BF 2 = MN 2 + BN 2 ，即(9 + x )2- (3 10 )= x 2 + 32 ，解得： x = 1 ，即 MN = 1 ，∴ BG = MD = ND - MN = 2综上： BG 的值为 4 或 2.故答案为：4 或 2.【考点】等腰直角三角形的判定和性质，三角函数，平行四边形的判定和性质，勾股定理三、19.【答案】解： (x + 1)2 - x (x + 1)= x 2 + 1 + 2x- x 2 - x⎩= x + 1 将 x = 2 代入，原式= 3【解析】完全平方公式和单项式乘多项式，具体解题过程参照答案.【考点】整式的混合运算20.【答案】（1） x + 2= 2 ，去分母得： x －2=2x －2 ，解得x = 0 .经检验 x = 0 是分式方程的解. x -1 1 - x⎧2x - 6＜0，① （2） ⎨-3x ≤6，② 由①得： x ＜3 ，由②得： x ≥- 2 ，则不等式组的解集为-2≤x ＜3 . 【解析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，经检验即可得到分式方程的解.（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的方法部分即可．【考点】分式方程与解不等式组21.【答案】（1）100（2）打乒乓球的人数为100 ⨯ 35% = 35 人，踢足球的人数为100 - 25 - 35 -15 = 25 人；补全条形统计图如图所示：（3）2000 ⨯ 15100= 300 人．【解析】（1）用条形统计图中最喜爱打排球的人数除以扇形统计图中最喜爱打排球的人数所占百分比即可求出本次抽样调查的样本容量.（2）用总人数乘以最喜爱打乒乓球的人数所占百分比即可求出最喜爱打乒乓球的人数，用总人数减去最喜爱其它三项运动的人数即得最喜爱踢足球的人数，进而可补全条形统计图.（3）用最喜爱打篮球的人数除以总人数再乘以2000 即可求出结果.【考点】条形统计图，扇形统计图，样本容量，利用样本估计总体22.【答案】（1）1 3（2）画树状图如下：所有等可能的情况有6 种，其中抽到的 2 支签上签号的和为奇数的有4种，∴抽到的2 支签上签号的和为奇数的概率为：4=2.6 3【解析】（1）由概率公式即可得出答案. 共有3 个号码，∴抽到1 号签的概率是1，故答案为：1.3 3 （2）画出树状图，得到所有等可能的情况，再利用概率公式求解即可．【考点】列表法与树状图法23.【答案】（1） AE//BF ，∴∠A =∠DBF ， AB =CD ，∴AB +BC =CD +BC ，即AC =BD ，又 AE =BF ，∴△ACE≌△BDF（SAS），∴∠E =∠F .（2）∴△ACE≌△BDF ，∴∠D =∠ACE = 80︒， ∠A = 40︒，∴∠E = 180︒-∠A -∠ACE = 60︒. 【解析】（1）根据已知条件证明△ACE≌△BDF ，即可得到结论.（2）根据全等三角形的性质得到∠D =∠ACE = 80︒，再利用三角形内角和定理求出结果.【考点】全等三角形的判定和性质，三角形内角和⎩ ⎩ S 24. 【答案】（1）设每千克苹果售价 x 元，每千克梨 y 千克，由题意，得：⎧x + 3y = 26 ，解得： ⎧x = 8，⎨2x + y = 22 ⎨ y = 6答：每千克苹果售价 8 元，每千克梨 6 千克.（2）设购买苹果a 千克，则购买梨(15 - a ) 千克，由题意，得： 8a + 6(15 - a )≤100 ，解得： a ≤5 ，∴a 最大值为 5，答：最多购买 5 千克苹果．【解析】（1）设每千克苹果售价 x 元，每千克梨 y 千克，由题意列出 x 、 y 的方程组，解之即可.（2）设购买苹果a 千克，则购买梨(15 - a ) 千克，由题意列出a 的不等式，解之即可解答．【考点】二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用25. 【答案】（1）已知反比例函数解析式为 y =8，点 A (a , 4) 在反比例函数图象上，将点 A 坐标代入，解得xa = 2 ，故 A 点坐标为(2, 4) ，又 A 点也在正比例函数图象上，设正比例函数解析为 y = kx ，将点 A (2, 4) 代入正比例函数解析式中，解得k = 2 ，则正比例函数解析式为 y = 2x ．故a = 2 ； y = 2x ．2 x (b , 0) C 8 （ ）根据第一问的求解结果，以及 BD 垂直 轴，我们可以设 B 点坐标为，则 点坐标为(b , ) 、D 点 b坐标为(b , 2b ) ，根据 BD = 10 ，则2b = 10 ，解得b = 5 ，故点 B 的坐标为(5, 0) ，D 点坐标为(5,10) ，C 点坐8 标为(5, ) ，则在△ACD 中，= 1 ⨯ ⎛10 - 8 ⎫ ⨯ (5 - 2) = 63 ．故△ACD 的面积为 63 ．5 △ACD 2 5 ⎪ 5 5 ⎝ ⎭【解析】（1）已知反比例函数解析式，点 A 在反比例函数图象上，故a 可求；求出点 A 的坐标后，点 A 同时在正比例函数图象上，将点 A 坐标代入正比例函数解析式中，故正比例函数的解析式可求．（2）根据题意以及第一问的求解结果，我们可设 B 点坐标为(b , 0) ，则 D 点坐标为(b , 2b ) ，根据 BD = 10 ，可求b 值，然后确认三角形的底和高，最后根据三角形面积公式即可求解．【考点】解正比例函数及反比例函数解析式，待定系数法26. 【答案】（1）1（2）①线段 EF 经旋转运动所形成的平面图形如图 3 中的阴影所示：3 3⎛ 3 ⎫2在 Rt △CEF 中， ∠ECF = 30︒，EF = 1，∴CF = 2 ， CE = ，由旋转的性质可得： CF = CA = 2 ，CE = CG = ， ∠ACG = ∠ECF = 30︒ ，230π ⨯(3 )2∴ S=（S+ S ）－（S+ S ）= S －S= 30π ⨯ 2 -= π；故答 阴影π 案为： 12CEF.扇形ACF ACG扇形CEG 扇形ACF扇形CEG36036012②作 EH ⊥ CF 于点 H ，如图 4，在 Rt △EFH 中， ∠F = 60︒，EF = 1，∴ FH = 1 ， EH =3， 2 21 3 3 3 ∴CH =2 - = ，设OH = x ，则OC = - x ， OE 2 = EH 2 + OH 2= ⎪ + x 2 = + x 2 ，2 2 23⎝ 2 ⎭34⎛ 3⎫2OB = OE ，∴OB 2 = + x 2 ，在 Rt △BOC 中， OB 2 + BC 2 = OC 2 ,∴ + x 2 + 1 = - x ⎪，解得：4 x = 1 ，∴OF = 1 + 1 = 2．4 ⎝ 2 ⎭6 2 6 3【解析】（1）根据直角三角形的性质和全等三角形的性质可得∠ACF = ∠ECF = 30︒ ，即CF 是∠ACB 的平分线，然后根据角平分线的性质可得点 F 到直线CA 的距离即为 EF 的长，于是可得答案.∠BAC = 30︒，∠ABC = 90︒，∴∠ACB = 60︒， Rt△ABC≌Rt△CEF ，∴∠ECF =∠BAC = 30︒，EF =BC = 1 ，∴∠ACF = 30︒，∴∠ACF =∠ECF = 30︒，∴CF 是∠ACB 的平分线，∴点F 到直线CA 的距离=EF = 1；故答案为：1.（2）①易知E 点和F 点的运动轨迹是分别以CF 和CE 为半径、圆心角为30︒的圆弧，据此即可画出旋转后的平面图形；在图 3 中，先解Rt△CEF 求出CF 和CE 的长，然后根据S阴影=（SCEF+S扇形ACF）－（SACG+S扇形CEG）即可求出阴影面积.②作EH ⊥ CF 于点H ，如图4，先解Rt△EFH 求出FH 和EH 的长，进而可得CH 的长，设OH =x ，则CO 和OE2 都可以用含x 的代数式表示，然后在Rt△BOC 中根据勾股定理即可得出关于x 的方程，解方程即可求出x 的值，进一步即可求出结果．【考点】旋转的性质和旋转作图、全等三角形的性质、角平分线的性质、扇形面积公式、勾股定理和解直角三角形等知识27.【答案】（1） O 关于直线m 的“远点”是点D ， O 关于直线m 的“特征数”为DB·DE = 2 ⨯ 5 =10 .②如下图：过圆心O 作OH ⊥直线n ，垂足为点H ，交 O 于点P、Q ，直线n 的函数表达式为y = 3x + 4 ，当x = 0 时，y = 4 ；当y = 0 时，x =-4 3，∴直线n 经过点335 2E （0，4），点F （-4 3 ，在 Rt △EOF 中， 4 FO ，∴∠FEO = 30︒ ，，0） 3tan ∠FEO = = 3 =EO43∴∠EFO = 60︒ ，在 Rt △HOF 中， sin ∠HFO = HO ，∴ H O = FOsin ∠HFO ⋅ FO = 2 ，∴ PH = HO + OP = 3 ，∴ PQ ·PH = 2 ⨯ 3 = 6 ，∴ O 关于直线n 的“特征数”为 6； （2）如下图， 点 F 是圆心，点 N (-1, 0) 是“远点”，∴连接 NF 并延长，则直线 NF ⊥ 直线l ，设 NF 与直线l 的交点为点 A （m ，n ），设直线l 的解析式为 y = kx + b （k ≠ 0），将点 M (1, 4) 与 A （m ，n ）代入 y = kx + b 中， ⎧⎪4=k + b 1① ②-① 1⎨n = mk + b ②⎩⎪ 1得： n - 4 = mk - k ，③又 直线 NF ⊥ 直线l ，∴设直线 NF 的解析式为 y = - 1x + b （k ≠ 0），将点1 k 2⎧0= 1+ b ④1 ⎪ k2 1 mN (-1, 0) 与 A （m ，n ）代入 y = - x + b 中， ⎨ k m ④-⑤得： -n = + k k ，⑥联立方程③与方 ⎪n = - + b 2 ⑤⎧n - 4 = mk - k ⎪⎩k⎧ k 2 - 4k -1 m =⎪ ⎪ k 2 + 1 ∴ k 2 - 4k -1 4 - 2kF 程⑥，得： ⎨-n = 1 + m 解得： ⎨ 4 - 2k ， 点 A 的坐标为( k 2 + 1 ， 2 + 1 ) ；又 关于 ⎩⎪ k k ⎪n = ⎩ k k 2 + 1直线l 的“特征数”是4 ， F 的半径为 ，∴ NB ·NA = 4 ，即2 24 ⋅ NA = ，解得： NA = 10 ，35 2 5 ⎪5 10 ⎨⎧⎪m = k 2- 4k -12∴⎡⎣m-(-1)⎤⎦2+(n-0)2=(10)2，即(m +1)2 +n2=10 ，把⎪⎪n =⎩k +1代入，解得k =-3 或k = 1 ；4 - 2k 3k 2+ 1当k=-3时，m=2，n=1，∴点A 的坐标为（2，1），把点A（2，1）与点M (1, 4)代入y=kx+b1中，解得直线l的解析式为y =-3x + 7 ；当k =1时，m=-2，n=3，∴点A 的坐标为（-2，3），把点A（-2，3）与点3M (1, 4)代入y =kx +b 中，解得直线l 的解析式为y =1 x +11 ．∴直线l 的解析式为y =-3x + 7 或1 3 3y =1x +11.3 3【解析】（1）①根据题干中“远点”及“特征数”的定义直接作答即可；②过圆心O 作OH ⊥直线n ，垂足为点H ，交 O于点P、Q ，首先判断直线n也经过点E（0，4），在Rt△EOF中，利用三角函数求出∠EFO = 60︒，进而求出PH 的长，再根据“特征数”的定义计算即可.（2）连接NF并延长，设直线l的解析式为y=kx+b，用待定系数法得到⎧⎪4=k +b1①，再根据两条直1⎨n =mk +b ②⎩⎪ 1线互相垂直，两个一次函数解析式的系数k 互为负倒数的关系可设直线NF 的解析式为y =-1x +b ，用⎧0= 1+b ④k 2⎧n - 4 =mk -k⎪k 2待定系数法同理可得⎨m，消去b1和b2，得到关于m、n ⎪的方程组⎨-n =1+m；根据⎪n =-+b2 ⑤⎩⎪k k⎩⎪kF 关于直线l 的“特征数”是4 ，得出NA =，再利用两点之间的距离公式列出方程(m +1)2⎧⎪m =+n2= 10 ，把⎨k 2- 4k -1k 2+ 1 代入，求出k 的值，便得到m、n 的值即点A 的坐标，再根据待定⎪n =4 - 2k⎩⎪k2+1系数法求直线l 的函数表达式．注意有两种情况，不要遗漏．【考点】一次函数与圆的综合28.【答案】（1）-42 5 2 ⎛ 5 ⎫2 ⎝ a - + 2a - 5 2 ⎪⎭ ( ) 2 ⎩ ⎩ 1 2 （2）由（1）可得抛物线解析式为： y = x 2 - 4x + 3 ，当 x = 0 时， y = 3 ，∴ A 的坐标为（0，3），当y = 3 时得3 = x 2 - 4x + 3 ，解得 x = 0 ， x = 4 ，∴点 B 的坐标为（4，3）， y = x 2 - 4x + 3 = ( x - 2)2-1 ，∴顶点 D 的坐标为（2，-1），设 BD 与 x 轴的交点为 M ，作CH ⊥ AB 于 H ，DG ⊥ CM 于G ，∴tan ∠ACH = tan ∠OAC = 1，根据勾股定理可得 BC = 3 3， CD = ，BD = 2 ，∴ BD = ，∴∠BCD = 90︒ ，∴tan ∠CBD = 1，∴∠ACH = ∠CBM ， 3∠HCB = ∠BCM = 45︒ ，∴∠ACH + ∠HCB = ∠CBM + ∠MCB ，即∠ACB = ∠CMD ， Q 在CD 上方时：若∠CQD = ∠ACB ，则Q 与 M 点重合， y = x 2 - 4x + 3 中，令 y = 0 ，解得： x = 1 或 3，∴抛物线与 x 轴的另一个交点坐标为（3，0），即此时 P 的坐标为（3，0）；Q 在CD 下方时：过点Q 作QK ⊥ x 轴，过点C 作CL ⊥ QM 于点 L ，过点 A 作 AN ⊥ BC 于点 N ，可得： AB = 4，BC = 3 2, AC =，设CN = x ，则BN = 3 - x ，在△ABC 中， AC 2 - CN 2 = AB 2 - BN 2 ，即( 10 )2- x 2 = 42 - (3 - x )2，解得：x = ，∴cos ∠ACN =CN= AC 5 ，设直线 BD 的表达式为： y = mx + n ，将 B , D 代入得：5⎧ 3 = 4m + n ，解得： ⎧ m = 2 ，∴直线 BD 的表达式为 y = 2m - 5 ，令 y = 0 ，则 x = 5 ，即点 M50），⎨-1 = 2m + n Q⎨n = -5QK = 5 - 2a （ ，2 2 CM = 3设点 坐标为（a ，2a - 5），则 ， 2， QM = ， 2 BC 2+ CD 210 2 2CQ 2 - KQ 2 5 ⎛ 8 ⎫2 ⎛ 9 ⎫21 - 5 ⎪ + - 5 ⎪ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭( , ∠ACB = ∠CMD ，∠ACB = ∠CQD ，∴∠CMD = ∠CQD ，即CQ = CM = 3，2∴cos ∠CQD = cos ∠ACB = QL =5 ，∴QL = 3 5 ， QM = 3 5 ， CL = 3 5 在△CQM 中， CQ 5 10 10 101 CM ⋅ KQ = 1 QM ⋅ CL ，即 3 ⋅ KQ = 3 5 ⋅ 3 5，解得： KQ = 6 ，∴CK = = 9 ， 2 2 2 5 55⎧ 0 = s + t 10 ⎧s = - 4 ∴Q 19 , - 6) ，设直线CQ 表达式为： y = sx + t ，将点C 和点Q 代入， ⎪ ⎪ 3，解得： ， （ 5⎨- 6 = 19 s + t ⎨ 410 ⎧ 4 4⎪⎩ ⎧ x = 5 5 10⎪ t = ⎩ 3 则CQ 表达式为： y = - 4 x + 4 ，联立： ⎪ y = - x + 3 3 ⎪ ，解得 3 5 8 ，即点 P 坐标为( , )，综上： 3 35 8点 P 的坐标为（3，0）或( , ) .3 9⎨ ⎪⎩ y = x 2 - 4x + 3⎨ ⎪ y = - 8 3 9 ⎩ 9（3） 设点C 关于 BD 的对称点为C ' ， BD 中点为点 R ，直线 AC 与直线 BD 交于 N ' ，∴ R （3，1），设C （' p ，q ），由题意可求得：直线 AC 表达式为： y = -3x + 3 ，直线 BD 表达式为：y = 2x - 5 ，直线 BC 的表达式为： y = x -1 ，令-3x + 3 = 2x - 5 ，解得： x = 8 ，则 y= - 9 ，∴点 N ' 8 - 9) ， 点C 和C ' 关于5 5 5 513 10直线 BC 对称，∴CR = C 'R = 2BD = ， CN ' = C 'N ' = = ，则有 5 ⎪32 + 12 10 + + ⎪ 2 ( p - 3)2+ (q -1)2=( 5 )2， ⎛ p - 8 ⎫ 2⎛ 9 ⎫2 q ⎧ = ⎛ 3 10 ⎫ ，即⎪ p 2 - 6 p + q 2 - 2q + 5 = 0① 16 18 11 ，①-② 5 ⎪ 5 ⎪ 5 ⎪ ⎨ p 2 - p + q 2 + q + = 0② ⎝⎭ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ⎩⎪5 5 5⎧ p = 17 得： p = 1 - 2q ③，代入①，解得： q = - 6 或 0（舍），代入③中，得： p = 17 ，解得： ⎪ 5 ，即点⎨5 5 ⎪q = - 6⎩ 5C17 6 8 91 7 x y = 0 （' , - 5 ) ， N （' 5 , - ) ，求得直线C 'N ' 的表达式为： y = 5 5 x - ， 3 3点 F 在 轴上，令 ，则x = 7 ，∴点 F （7，0），又 点 F 和点G 关于直线BC 对称， BC ：y = x -1 ，连接CG ，可得∠BCF = 45︒ = ∠BCG ，∴∠FCG = 90︒ ，∴CG = CF = 6 ，∴点G 的坐标为（1, 6），又 A （0，3），∴ AG 的长为 = .【解析】（1）根据待定系数法求解即可.解： 抛物线过点C （1，0），∴将C （1，0）代入 y = x 2 + bx + 3 得0 = 1 + b + 3 ，解得b = -4 ，故答案为： -4 .（2） 分点Q 在CD 上方和点Q 在CD 下方时，两种情况，结合三角函数，勾股定理等知识求解.（3） 设点C 关于 BD 的对称点为C ' ， BD 中点为点 R ，直线 AC 与直线 BD 交于 N ' ，设C （' p ，q ），利用点 R 到点C 和点C ' 的距离相等以及点 N ' 到点C 和点C ' 的距离相等，求出点C ' 的坐标，从而得到C 'N ' 直线的解析式，从而求出点 F 坐标，再利用点 F 和点G 关于直线 BC 对称，结合 BC 的表达式可求出点G 坐标， 最后得到 AG 的长.【考点】二次函数解析式，一次函数，三角函数，面积法，对称的性质。
【中考真题】2019年江苏省常州市中考数学真题试卷(附答案)
17．如图，半径为 的⊙ 与边长为 的等边三角形 的两边 、 都相切，连接 ，则 _____．
18．如图，在矩形 中， ，点 是 的中点，点 在 上， ，点 、 在线段 上．若 是等腰三角形且底角与 相等，则 _____．
三、解答题
15．
【解析】
【分析】
把 代入二元一次方程 中即可求 的值．
【详解】
把 代入二元一次方程 中，
，解得 ．
故答案是： ．
【点睛】
本题运用了二元一次方程的解的知识点，运算准确是解决此题的关键．
16．
【解析】
【分析】
先利用邻补角计算出 ，然后根据圆周角定理得到 的度数．
【详解】
，
．
故答案为： ．
【点睛】
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
（1）写出下列图形的宽距：
①半径为 的圆：________；
②如图，上方是半径为 的半圆，下方是正方形的三条边的“窗户形“：________；
（2）如图，在平面直角坐标系中，已知点 、 ， 是坐标平面内的点，连接 、 、 所形成的图形为 ，记 的宽距为 ．
①若 ，用直尺和圆规画出点 所在的区域并求它的面积（所在区域用阴影表示）；
【详解】
分两种情况：①MN为等腰△PMN的底边时，作 于 ，如图所示：
则 ，
四边形 是矩形，
， ， ，
， ，
点 是 的中点，
，
，
，
，即 ，
解得： ，
，
，
，
，
是等腰三角形且底角与 相等， ，
2019年江苏省常州市中考数学试卷附分析答案
2019年江苏省常州市中考数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分。
在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的）1．（2分）﹣3的相反数是（）A． B． C．3D．﹣3 2．（2分）若代数式 㔲 有意义，则实数x的取值范围是（）A．x＝﹣1B．x＝3C．x≠﹣1D．x≠33．（2分）如图是某几何体的三视图，该几何体是（）A．圆柱B．正方体C．圆锥D．球4．（2分）如图，在线段PA、PB、PC、PD中，长度最小的是（）A．线段PA B．线段PB C．线段PC D．线段PD 5．（2分）若△ABC～△A′B'C′，相似比为1：2，则△ABC与△A'B′C'的周长的比为（）A．2：1B．1：2C．4：1D．1：46．（2分）下列各数中与2㔲 的积是有理数的是（）A．2㔲 B．2C． D．27．（2分）判断命题“如果n＜1，那么n2﹣1＜0”是假命题，只需举出一个反例．反例中的n可以为（）A．﹣2B． C．0D．8．（2分）随着时代的进步，人们对PM2.5（空气中直径小于等于2.5微米的颗粒）的关注日益密切．某市一天中PM2.5的值y1（ug/m3）随时间t（h）的变化如图所示，设y2表示0时到t时PM2.5的值的极差（即0时到t时PM2.5的最大值与最小值的差），则y2与t的函数关系大致是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分。
不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）9．（2分）计算：a3÷a＝．10．（2分）4的算术平方根是．11．（2分）分解因式：ax2﹣4a＝．12．（2分）如果∠α＝35°，那么∠α的余角等于°．13．（2分）如果a﹣b﹣2＝0，那么代数式1+2a﹣2b的值是．14．（2分）平面直角坐标系中，点P（﹣3，4）到原点的距离是．15．（2分）若 t ， t 是关于x、y的二元一次方程ax+y＝3的解，则a＝．16．（2分）如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，∠AOC＝120°，则∠CDB ＝°．17．（2分）如图，半径为 的⊙O与边长为8的等边三角形ABC的两边AB、BC都相切，连接OC，则tan∠OCB＝．18．（2分）如图，在矩形ABCD中，AD＝3AB＝3 ，点P是AD的中点，点E在BC上，CE＝2BE，点M、N在线段BD上．若△PMN是等腰三角形且底角与∠DEC相等，则MN＝．三、解答题（本大题共10小题，共84分。
2019年常州市中考数学试题、答案
2019年常州市中考数学试题、答案（解析版）(满分：120分 考试时间：120分钟)一、选择题(本大题共8小题,每小题2分,共16分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是正确的) 1.3-的相反数是( ) A.13B.13- D.3- 2.若代数式13x x +-有意义,则实数x 的取值范围是( )A.1x =-B.3x =C.1x ≠-D.3x ≠3.下图是某几何体的三视图,该几何体是 ( ) A.圆柱 B.正方体 C.圆锥 D.球(第3题) (第4题)4.如图,在线段PA 、PB 、PC 、PD 中,长度最小的是 ( ) A.线段PA B.线段PB C.线段PC D.线段PD5.若ABC A B C '''△∽△,相似比为1:2,则ABC A B C '''△∽△的周长的比为 ( ) A.2:1 B.1:2 C.4:1 D.1:46.下列各数中与23+的积是有理数的是( ) A.23+C.3D.23-7.判断命题“如果1n ＜,那么210n -＜”是假命题,只需举出一个反例.反例中的n 可以为 ( ) A.2- B.12- D.128.随着时代的进步,人们对 2.5PM (空气中直径小于等于微米的颗粒)的关注日益密切.某市一天中2.5PM 的值()31/y ug m 随时间()t h 的变化如图所示,设2y 表示0时到t 时 2.5PM 的值的极差(即0时到t 时2.5PM 的最大值与最小值的差),则2y 与t 的函数关系大致是( )A BC D二、填空题(本大题共10小题,每小题2分,共20分) 9.计算：3a a ÷= . 的算术平方根是 .11.分解因式：24ax a -= .12.如果35α∠=︒,那么α∠的余角等于 ︒.13.如果20a b --=,那么代数式122a b +-的值是 . 14.平面直角坐标系中,点()3,4P -到原点的距离是 . 15.若12x y =⎧⎨=⎩是关于x 、y 的二元一次方程3ax y +=的解,则a = .16.如图,AB 是O 的直径,C 、D 是O 上的两点,120AOC ∠︒＝,则CDB ∠＝ .(第16题) (第17题) (第18题) 17.如图,3的O 与边长为8的等边三角形ABC 的两边AB 、BC 都相切,连接OC ,则tan OCB ∠= . 18.如图,在矩形ABCD 中,3310AD AB ==,点P 是AD 的中点,点E 在BC上,2CE BE =,点M 、N 在线段BD 上.若PMN △是等腰三角形且底角与DEC ∠相等,则MN = . 三、解答题(本大题共10小题,共84分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 19.(本题满分8分)计算：(1)1021(3)2π-⎛⎫+- ⎪⎝⎭；(2)(1)(1)(1)x x x x -+--.20.(本题满分6分)解不等式组1038x x x +>⎧⎨--⎩并把解集在数轴上表示出来.21.(本题满分8分)如图,把平行四边形纸片ABCD 沿BD 折叠,点C 落在点C '处,BC '与AD 相交于点E . (1)连接AC ',则AC '与BD 的位置关系是 ； (2)EB 与ED 相等吗证明你的结论.22.(本题满分8分)在“慈善一日捐”活动中,为了解某校学生的捐款情况,抽样调查了该校部分学生的捐款数(单位：元),并绘制成下面的统计图.(1)本次调查的样本容量是 ,这组数据的众数为 元；(2)求这组数据的平均数；(3)该校共有600名学生参与捐款,请你估计该校学生的捐款总数.23.(本题满分8分)将图中的A型(正方形)、B型(菱形)、C型(等腰直角三角形)纸片分别放在3个盒子中,盒子的形状、大小、质地都相同,再将这3个盒子装入一只不透明的袋子中.(1)搅匀后从中摸出1个盒子,盒中的纸片既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是；(2)搅匀后先从中摸出1个盒子(不放回),再从余下的2个盒子中摸出1个盒子,把摸出的2个盒中的纸片长度相等的边拼在一起,求拼成的图形是轴对称图形的概率.(不重叠无缝隙拼接)24.(本题满分8分)甲、乙两人每小时共做30个零件,甲做180个零件所用的时间与乙做120个零件所用的时间相等.甲、乙两人每小时各做多少个零件25.(本题满分8分)如图,在□OABC中,22OA=45∠=︒,点C在y轴AOC上,点D 是BC 的中点,反比例函数(0)k y x x=＞的图像经过点A 、D . (1)求k 的值；(2)求点D 的坐标.26.(本题满分10分)【阅读】数学中,常对同一个量．．．．(图形的面积、点的个数、三角形的内角和等)用两种不同的方法计算,从而建立相等关系,我们把这一思想称为“算两次”.“算两次”也称做富比尼原理,是一种重要的数学思想.图1 图2 【理解】(1)如图1,两个边长分别为a b c 、、的直角三角形和一个两条直角边都是c 的直角三角形拼成一个梯形.用两种不同的方法计算梯形的面积,并写出你发现的结论； (2)如图2,n 行n 列的棋子排成一个正方形,用两种不同的方法计算棋子的个数,可得等式：2n = ；毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号【运用】(3)n 边形有n 个顶点,在它的内部再画m 个点,以()m n +个点为顶点,把n 边形剪成若干个三角形,设最多可以剪得y 个这样的三角形.当3n =,3m =时,如图3,最多可以剪得7个这样的三角形,所以7y =. ①当4n =,2m =时,如图4,y = ；当5n =,m =时,9y =；图3 图4②对于一般的情形,在n 边形内画m 个点,通过归纳猜想,可得y =(用含m 、n 的代数式表示).请对同一个量．．．．用算两次的方法说明你的猜想成立.27.(本小题满分10分)如图,二次函数23y x bx =-++的图象与x 轴交于点A 、B ,与y 轴交于点C ,点A 的坐标为()1,0-,点D 为OC 的中点,点P 在抛物线上. (1)b = ；(2)若点P 在第一象限,过点P 作PH x ⊥轴,垂足为H ,PH 与BC 、BD 分别交于点M 、N .是否存在这样的点P ,使得PM MN NH ==若存在,求出点P 的坐标；若不存在,请说明理由；(3)若点P 的横坐标小于3,过点P 作PQ BD ⊥,垂足为Q ,直线PQ 与x 轴交于点R ,且2PQB QRB S S =△△,求点P 的坐标.28.(本题满分10分)已知平面图形S,点P、Q是S上任意两点,我们把线段PQ的长度的最大值称为平面图形S的“宽距”.例如,正方形的宽距等于它的对角线的长度.(1)写出下列图形的宽距：①半径为1的圆：；②如图1,上方是半径为1的半圆,下方是正方形的三条边的“窗户形”：；(2)如图2,在平面直角坐标系中,已知点()10B，,C是坐标平面A-，、()10内的点,连接AB、BC、CA所形成的图形为S,记S的宽距为d.①若2d=,用直尺和圆规画出点C所在的区域并求它的面积(所在区域用阴影表示)；②若点C在上运动,M的半径为1,圆心M在过点()02，且与y轴垂直的直线上.对于M上任意点C,都有58≤≤,直接写出圆心Md的横坐标x的取值范围.图1 图22019年常州市中考数学答案解析 一、选择题 1.【答案】C【解析】根据相反数的定义：只有符号不同的两个数称互为相反数计算即可. 解：()330-+=.【考点】相反数的意义 2.【答案】D【解析】分式有意义的条件是分母不为0. 解：代数式13x x +-有意义， 30x ∴-≠， 3x ∴≠.故选：D.【考点】分式有意义的条件 3.【答案】A【解析】通过俯视图为圆得到几何体为圆柱或球，然后通过主视图和左视图可判断几何体为圆锥. 解：该几何体是圆柱. 故选：A.【考点】由三视图判断几何体 4.【答案】B【解析】由垂线段最短可解.解：由直线外一点到直线上所有点的连线中，垂线段最短，可知答案为B. 故选：B.【考点】直线外一点到直线上所有点的连线中，垂线段最短. 5.【答案】B【解析】直接利用相似三角形的性质求解 解：ABC A B C '''△∽△，相似比为1:2，ABC A B C '''△∽△的周长的比为1:2.故选B.【考点】相似三角形的性质 6.【答案】D【解析】利用平方差公式可知与2+的积是有理数的为2；解：()(232431+=-=；故选：D.【考点】二次根式的有理化以及平方差公式 7.【答案】A【解析】反例中的n 满足1n ＜，使210n -≥，从而对各选项进行判断.解：当2n =-时，满足1n ＜，但2130n -=＞，所以判断命题“如果1n ＜，那么210n -≥”是假命题，举出2n =-.故选：A.【考点】命题与定理8.【答案】B【解析】根据极差的定义，分别从0t =、010t ＜≤、1020t ＜≤及2024t ＜≤时，极差2y 随t 的变化而变化的情况，从而得出答案.解：当0t =时，极差285850y =-=，当010t ＜≤时，极差2y 随t 的增大而增大，最大值为43；当1020t ＜≤时，极差2y 随t 的增大保持43不变；当2024t ＜≤时，极差2y 随t 的增大而增大，最大值为98；故选：B.【考点】函数图象二、填空题9.【答案】2a【解析】直接利用同底数幂的除法运算法则计算得出答案.解：32a a a ÷=.故答案为：2a .【考点】同底数幂的除法10.【答案】2【解析】根据算术平方根的含义和求法，求出4的算术平方根是多少即可.解：4的算术平方根是2.故答案为：2.【考点】算术平方根的概念11.【答案】()()+-22a x x【解析】先提取公因式a，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解.【解答】解：24-ax a()24a x=-()()=+-.22a x x【考点】提公因式法与公式法的综合运用12.【答案】55【解析】若两角互余，则两角和为90︒，从而可知α∠的余角为90︒减去α∠，从而可解.【解答】解：35α∠=︒，︒-︒=︒，α∴∠的余角等于903555故答案为：55.【考点】余角13.【答案】5【解析】将所求式子化简后再将已知条件中a﹣b=2整体代入即可求值；【解答】解：20a b --=，2a b ∴-=， ()12212145a b a b ∴+-=+-=+=；故答案为5.【考点】求代数式的值14.【答案】5【解析】作PA x ⊥轴于A ，则4PA =，3OA =，再根据勾股定理求解.【解答】解：作PA x ⊥轴于A ，则4PA =，3OA =.则根据勾股定理，得5OP =.故答案为5.【考点】点到原点的距离求法15.【答案】1【解析】把12x y =⎧⎨=⎩代入二元一次方程3ax y +=中即可求a 的值. 【解答】解：把12x y =⎧⎨=⎩代入二元一次方程3ax y +=中， 23a +=，解得1a =.故答案是：1.【考点】二元一次方程的解16.【答案】30【解析】先利用邻补角计算出BOC ∠，然后根据圆周角定理得到CDB ∠的度数.【解答】解：180********BOC AOC ∠=︒-∠=︒-︒=︒，30CDB BOC ∴∠=∠=︒.故答案为30.【考点】圆周角定理17.【答案】5【解析】根据切线长定理得出1302OBC OBA ABC ∠=∠=∠=︒，解直角三角形求得BD ，即可求得CD ，然后解直角三角形OCD 即可求得tan OCB ∠的值.【解答】解：连接OB ，作OD BC ⊥于D ， O 与等边三角形ABC 的两边AB 、BC 都相切，1302OBC OBA ABC ∴∠=∠=∠=︒， tan OD OCB BD∴∠=，3tan30OD BD ∴===︒， 835CD BC BD ∴=-=-=，tan OD OCB CD ∴∠=.故答案为5.【考点】切线的性质，等边三角形的性质，解直角三角形18.【答案】6或158 【解析】3310AD AB ==，310AB ∴=四边形ABCD 是矩形，310AD BC ∴==，10AB CD ∴==90A C ∠=∠=︒， 2210BD AB AD ∴=+=，2CE BE =，210CE ∴=，10BE =52DE ∴=，101tan 2210CD DEC CE ∠===， 点P 是AD 的中点，13102PD AD ∴== ①如图1，当MN 为底边时，则PM PN =，PMN PNM DEC ∠=∠=∠， 过点P 作PQ MN ⊥，则MQ NQ =，2MN MQ ∴=，90A PQD ∠=∠=︒，ADB PDQ ∠=∠，BAD PQD ∴△∽△，2PD PQ AB BD∴==，210=解得32PQ=；在Rt PMQ△中，1tan tan2PQPMN DECMQ∠==∠=，12PQMQ∴=，即3122MQ=，3MQ∴=，26MN MQ∴==.②如图2，当MN为腰时，则PM MN=，MPN MNP DEC∠=∠=∠，过点M作MQ PN⊥于点Q，则PQ NQ=，MNP DEC∠=∠，PND DEB∴∠=∠，又AD BC∥，PDN DBE∴∠=∠，PND DEB∴△∽△，PD PNBD DE∴=，210∴=解得PN=NQ∴=在Rt MNQ△中，1tan tan2MQMNP DECNQ∠==∠=，12MQNQ∴=，即132MQ=，358MQ ∴=， 22158MN MQ NQ ∴=+=. 综上所述，MN 的值为6或158.【考点】矩形的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理三、解答题19.【答案】（1）1021(3)12302π-⎛⎫+-=+-= ⎪⎝⎭； （2）22(1)(1)(1)11x x x x x x x x -+--=--+=-.【解析】根据零指数幂，负指数幂，多项式乘以多项式（单项式）的运算法则准确计算即可；【考点】实数的运算20.【答案】解：解不等式10x +＞，得：1x -＞，解不等式38x x --≤，得：2x ≤，∴不等式组的解集为12x -＜≤，将解集表示在数轴上如下：【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集.【考点】不等式组的解法及在数轴上表示不等式的解集21.【答案】（1）AC BD '∥（2）EB 与ED 相等.证明：由折叠可得，'CBD C BD ∠=∠，AD BC ∥，ADB CBD ∴∠=∠，EDB EBD ∴∠=∠，BE DE ∴=.【解析】（1）根据'AD C B =，ED EB =，即可得到'AE C E =，再根据三角形内角和定理，即可得到''EAC EC A EBD EDB ∠=∠=∠=∠，进而得出'AC BD ∥；（2）依据平行线的性质以及折叠的性质，即可得到EDB EBD ∠=∠，进而得出BE DE =.【考点】折叠变换的性质，平行四边形的性质，平行线的判定与性质，等腰三角形的判定与性质22.【答案】（1）30,10（2）这组数据的平均数为6511108155201230⨯+⨯+⨯+⨯=（元）； （3）估计该校学生的捐款总数为600127200⨯=（元）.【解析】（1）由题意得出本次调查的样本容量是6118530+++=，由众数的定义即可得出结果；（2）由加权平均数公式即可得出结果；（3）由总人数乘以平均数即可得出答案.【考点】条形统计图的综合运用，平均数，众数的求法以及利用样本估计总体的思想23.【答案】（1）23；（2）画树状图为：共有6种等可能的情况，其中拼成的图形是轴对称图形的情况有2种：A 和C ，C 和A ，∴拼成的图形是轴对称图形的概率为21=63. 【解析】（1）依据搅匀后从中摸出1个盒子，可能为A 型（正方形）、B型（菱形）或C 型（等腰直角三角形）这3种情况，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的有2种，即可得到盒中的纸片既是轴对称图形又是中心对称图形的概率；（2）依据共有6种等可能的情况，其中拼成的图形是轴对称图形的情况有2种：A 和C ，C 和A ，即可得到拼成的图形是轴对称图形的概率.解：（1）搅匀后从中摸出1个盒子，可能为A 型（正方形）、B 型（菱形）或C 型（等腰直角三角形）这3种情况，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的有2种，∴盒中的纸片既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是23； 故答案为：23；（2）画树状图为：共有6种等可能的情况，其中拼成的图形是轴对称图形的情况有2种：A 和C ，C 和A ，∴拼成的图形是轴对称图形的概率为21=63. 【考点】用列表法或画树状图求事件的概率以及轴对称图形和中心对称图形的识别24.【答案】解：设甲每小时做x 个零件，则乙每小时做()30x -个零件， 由题意得：18012030x x=-， 解得：18x =，经检验：18x =是原分式方程的解，则301812-=（个）.答：甲每小时做18个零件，则乙每小时做12个零件.【解析】设甲每小时做x 个零件，则乙每小时做()30x -个零件，根据关键语句“甲做180个零件所用的时间与乙做120个零件所用的时间相等”列出方程，再求解即可. 【考点】分式方程的应用 25.【答案】解：（1）2OA =，45AOC ∠=︒，()22A ∴，4k ∴=，4y x∴=； （2）四边形OABC 是平行四边形OABC ，AB x ∴⊥轴，B ∴的横纵标为2，点D 是BC 的中点，∴D点的横坐标为1，()14D ∴，.【解析】（1）根据已知条件求出A 点坐标即可；（2）四边形OABC 是平行四边形OABC ，则有AB x ⊥轴，可知B 的横纵标为2，D 点的横坐标为1，结合解析式即可求解.【考点】平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质，反比例函数图像上点的坐标特点及用待定系数法求反比例函数的解析式 26.【答案】解：（1）有三个Rt △其面积分别为ab ，12ab ，212c .直角梯形的面积为1()()2a b a b ++.由图形可知：21111()()2222a b a b ab ab c ++=++ 整理得22222()2,22a b ab c a b ab ab c +=+++=+，222a b c ∴+=.故结论为：直角长分别为a 、b 斜边为c 的直角三角形中222a b c ∴+=. （2）135721n +++++-（3）①6 3 ②2(1)y n m =+-方法1.对于一般的情形，在n 边形内画m 个点，第一个点将多边形分成了n 个三角形，以后三角形内部每增加一个点，分割部分增加2部分，故可得2(1)y n m =+-.方法2.以ABC △的二个顶点和它内部的m 个点，共(3)m +个点为顶点，可把ABC △分割成32(1)m +-个互不重叠的小三角形.以四边形的4个顶点和它内部的m 个点，共(4)m +个点为顶点，可把四边形分割成42(1)m +-个互不重叠的小三角形.故以n 边形的n 个顶点和它内部的m 个点，共()m n +个点作为顶点，可把原n 边形分割成21n m +-（）个互不重叠的小三角形.故可得2(1)y n m =+-.【解析】（1）此等腰梯形的面积有三部分组成，利用等腰梯形的面积等于三个直角三角形的面积之和列出方程并整理.（2）由图可知n 行n 列的棋子排成一个正方形棋子个数为2n ，每层棋子分别为135721n -，，，，，.故可得用两种不同的方法计算棋子的个数，即可解答.（3）根据探画出图形究不难发现，三角形内部每增加一个点，分割部分增加2部分，即可得出结论.解：（1）有三个Rt △其面积分别为ab ，12ab ，212c . 直角梯形的面积为1()()2a b a b ++.由图形可知：21111()()2222a b a b ab ab c ++=++ 整理得22222()2,22a b ab c a b ab ab c +=+++=+，222a b c ∴+=.故结论为：直角长分别为a 、b 斜边为c 的直角三角形中222a b c ∴+=. （2）n 行n 列的棋子排成一个正方形棋子个数为2n ，每层棋子分别为135721n -，，，，，.由图形可知：135721n +++++-.故答案为135721n +++++-.（3）①如图4，当4n =，2m =时，6y = 如图5，当5n =，3m =时，9y =.②方法1.对于一般的情形，在n 边形内画m 个点，第一个点将多边形分成了n 个三角形，以后三角形内部每增加一个点，分割部分增加2部分，故可得2(1)y n m =+-.方法2.以ABC △的二个顶点和它内部的m 个点，共(3)m +个点为顶点，可把ABC △分割成32(1)m +-个互不重叠的小三角形.以四边形的4个顶点和它内部的m 个点，共(4)m +个点为顶点，可把四边形分割成42(1)m +-个互不重叠的小三角形.故以n 边形的n 个顶点和它内部的m 个点，共()m n +个点作为顶点，可把原n 边形分割成21n m +-（）个互不重叠的小三角形.故可得2(1)y n m =+-. 故答案为：①6，3；②21n m +-（）. 【考点】列代数式，求代数式的值，规律探究以及运用知识解决问题 27.【答案】（1）2（2）存在满足条件呢的点P ，使得PM MN NH ==. 二次函数解析式为23y x bx =-++， 当0x =时3y =，()03C ∴，，当0y =时，2230x x -++=， 解得：11x =-，23x =.()10A ∴﹣，，()30B ，. ∴直线BC 的解析式为3y x =-+.点D 为OC 的中点，302D ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，.∴直线BD 的解析式为1322y x =-+，设()()2,2303P t t t t -++<<，则(),3M t t -+，1322N t t ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，，()0H t ，. 2223(3)3PM t t t t t∴=-++--+=-+，131332222MN t x t ⎛⎫=-+--+=-+⎪⎝⎭，1322NH t =-+，MN NH ∴=. PM MN =，213322t t t ∴-+=-+.解得：112t =，23t =（舍去）.11524P ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，.P ∴的坐标为115,24⎛⎫⎪⎝⎭，使得PM MN NH ==.（3）过点P 作PF x ⊥轴于F ，交直线BD 于E .3OB =，32OD =，90BOD ︒∠=，BD ∴==.cos OB OBD BD ∴∠=== PQ BD ⊥于点Q ，PF x ⊥轴于点F ，90PQE BQR PFR ∴∠=∠=∠=︒. 90PRF OBD PRF EPQ ∴∠+∠=∠+∠=︒.EPQ OBD ∴∠=∠，即cos cos5EPQ OBD∠=∠=.在Rt PQE△中，cos PQEPQPE∠=，PQ∴=.在Rt PFR△中，cos PFRPFPR∠==，PR∴==2PQBS S QRB=△△，12PQBS BQ PQ=，12QRBS BQ QR=△2PQ QR∴=设直线BD与抛物线交于点G，2132322x x x-+=-++，解得：13x=（即点B横坐标），212x=-∴点G横坐标为12-设()2,23(3)P t t t t-++<，则13,22E t t⎛⎫-+⎪⎝⎭223PF t t∴=-++，221353232222PE t t t t t⎛⎫=-++--+=-++⎪⎝⎭①若132t-＜＜，则点P在直线BD上方，如图2，223PF t t∴=-++，25322PE t t=-++2PQ QR=23PQ PR∴=253PE PF =，即65PE PF =()2253652322t t t t ⎛⎫∴-++=-++ ⎪⎝⎭解得：12t =，23t =（舍去）(2,3)P ∴②若112x --＜＜，则点P 在x 轴上方、直线BD 下方，如图3， 此时，PQ QR <，即2PQB QRB S S =△△不成立. ③若1t <-，则点P 在x 轴下方，如图4，()222323PF t t t t ∴=--++=--，()221353232222PE t t t t t =-+--++=--2PQ QR = 2PQ PR ∴= 52PF =，即25PE PF = ()2253252322t t t t ⎛⎫∴--=-- ⎪⎝⎭解得：143t =-，23t =（舍去）413,39P ⎛⎫∴-- ⎪⎝⎭综上所述，点P 坐标为()23，或413,39⎛⎫-- ⎪⎝⎭.【解析】（1）把点A坐标代入二次函数解析式即求得b的值.二次函数23=-++的图象与x轴交于点(1,0)y x bxA-b∴--+=130解得：2b=.故答案为：2.（2）求点B、C、D坐标，求直线BC、BD解析式.设点P横坐标为t，则能用t 表示点P 、M 、N 、H 的坐标，进而用含t 的式子表示PM 、MN 、NH 的长.以PM MN =为等量关系列得关于t 的方程，求得t 的值合理（满足P 在第一象限），故存在满足条件的点P ，且求得点P坐标.（3）过点P 作PF x ⊥轴于F ，交直线BD 于E ，根据同角的余角相等易证EPQ OBD ∠=∠，所以25cos cos EPQ OBD ∠=∠=，即在PQERt △中，25cos PQ EPQ PE ∠==；在PQERt △中，25cos PF RPF PR ∠==，进而得25PQ PE =，5PR PF =.设点P 横坐标为t ，可用t 表示PE 、PF ，即得到用t 表示PQ 、PR .又由2PQB QRB S S =△△易得2PQ QR =.要对点P 位置进行分类讨论得到PQ 与PR 的关系，即列得关于t 的方程.求得t 的值要注意是否符合各种情况下t 的取值范围.【考点】二次函数的图像与性质，待定系数法求函数解析式，函数图像的交点问题，用坐标表示线段的长度，二次函数图像上点的坐标特征以及一元二次方程的解法 28.【答案】解：（1）①2 ②10；理由：①根据宽距的定义，可知在半径为1的半圆中，宽距为半圆的直径即宽距为2；②如图，作AB 的垂直平分线交半圆于点E ，交AB 于点F ，连接AE ，则AE 的长为该图形的宽距，由题意知1AF =，3EF =，∴宽距223110AE =+=；（2）①如图，阴影部分就是点C所在的区域：()10A-，，()10B，，2AB∴=，S的宽距2d=,∴点C所在的区域是以AB为直径的圆的圆面，点C所在的区域的面积π=；②当M在y轴右侧时，如图，连接AM1，过点M1作x轴的垂线，垂足为C，设点()12M x，，则12M C=，1AC x=+，22221(1)2(1)4AM x x∴=++=++，58d≤≤，147AM∴≤≤，216(1)449x∴++≤≤，解得231351x≤≤；当M在y轴的左侧时，如图，连接BM₂，过点M₂作x轴的垂线，垂足为D，设点()2,2M x，则22M D=，1BD x=-，22222(1)2(1)4BM x x∴=-+=-+，58d≤≤，247BM∴≤≤，216(1)449x∴-+≤≤，解得351231x--≤≤；所以圆心M的横坐标的取值范围是：231351x≤≤或351231x--≤≤.【解析】（1）①根据在半圆中最长的弦为直径，即可求解；②如图，根据新定义，作出半圆的最高点E，连接AE，然后利用勾股定理求出AE的长即可；（2）①点C所在的区域就是以AB为直径的圆的圆面，然后根据圆的面积公式求解；②分两种情况：M在y轴右侧和M在y轴左侧，然后根据58≤≤列d 出不等式，求出解集即可.【考点】勾股定理，尺规作图，求不等式的解集，数形结合思想以及分类讨论思想。
常州市2019年中考数学试卷及答案(Word版)
江苏省常州市2019年中考数学试卷（满分120分，考试时间120分钟）一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，满分16分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
） 1.（2019江苏省常州市，1，2分）12-的相反数是（ ） A.12 B. 12- C .－2 D.2 【答案】A2. （2019江苏省常州市，2，2分）下列运算正确的是（ ） A. 33a a a ⋅= B. ()33ab a b = C. ()236aa = D. 842a a a ÷=【答案】C3. （2019江苏省常州市，3，2分）下列立体图形中,侧面展开图是扇形的是（ ）【答案】B4. （2019江苏省常州市，4，分）甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人10次射击成绩平均数均是9.2环,方差分别为22s c π甲 2s 甲 =0.56,2s 乙=0.60, 2s 丙=0.50, 2s 丁=0.45,则成绩最稳定的是（ ）A.甲B.乙C.丙D.丁 【答案】D5. （2019江苏省常州市，5，2分）已知两圆半径分别为3 cm ,5 cm ,圆心距为7 cm ,则这两圆的位置关系为（ ）A. 相交B.外切C.内切D.外离 【答案】A6. （2019江苏省常州市，6，2分）已知反比例函数ky x=的图像经过P （－1,2）,则这个函数的图像位于（ ） A.第二,三象限 B.第一,三象限 C.第三,四象限 D.第二,四象限 【答案】D7. （2019江苏省常州市，7，分）甲,乙两人以相同路线前往距离单位10km 的培训中心参加学习.图中l 甲, l 乙分别表示甲,乙两人前往目的地所走的路程s km 随时间(分)变化的函数图象.以下说法:①乙比甲提前12分钟到达;( ) A 、4个 B 、3个 C 、2个 D 、1个【答案】B8.（2019江苏省常州市，8，分）在平面直角坐标系xOy 中，直线经过点A （－3，0），点B （0），点P 的坐标为（1，0），与y 轴相切于点O ，若将⊙P 沿x 轴向左平移，平移后得到（点P 的对应点为点P ′），当⊙P ′与直线相交时，横坐标为整数的点P ′共有（ ）A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个 【答案】C二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分.）9.（2019江苏省常州市，9，4分）计算: 1-= , 22-= , ()23-= ,= .【答案】1，－4，9，－210.（2019江苏省常州市，10，2分）已知P （1,－2）,则点P 关于x 轴的对称点的坐标是 . 【答案】（1,2）11.（2019江苏省常州市，11，2分）若∠α=30°,则∠α的余角等于 度, sin α的值为 .【答案】60 12. （2019江苏省常州市，12，2分）已知扇形的半径为3cm ,此扇形的弧长是2πcm ,则此扇形的圆心角等于 度,扇形的面积是 .(结果保留π) 【答案】120，32cm π13. （2019江苏省常州市，13，2分）已知反比例函数2y x=,则自变量x 的取值范围是 ;的值为0,则x = 【答案】x ≠0，314. （2019江苏省常州市，14，2分）已知关于x 的方程230x x m -+=的一个根是1,则m = ,另一个根为 .【答案】2，215. （2019江苏省常州市，15，2分）因式分解:329x xy -= . 【答案】()()33x x y x y -+16. （2019江苏省常州市，16，2分）在平面直角坐标系xOy 中,一次函数10y x =-的图像与函数()60y x x=>的图像相交于点A,B,设点A 的坐标为（1x ,1y ）,那么长为1x ,宽为1y 的矩形的面积为 ,周长为 . 【答案】6，2017.（2019江苏省常州市，17，2分）在平面直角坐标系xOy 中,已知一次函数y kx b =+的图像经过点P （1,1）,与x 轴交于点A,与y 轴交于点B,且tan ∠ABO=3,那么A 点的坐标是 .【答案】（－2，0）或（4，0）三、解答题（本大题共2小题，满分18分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 18.（2019江苏省常州市，18，8分）计算与化简:（1012tan 453⎛⎫-+︒ ⎪⎝⎭解：原式=2－1+2=－1 （2）()()()111x x x x -+-+ 解：原式=2211x x x x -+-=-【答案】19. （2019江苏省常州市，19，10分）解不等式组和分式方程: （1）32113x x +>-⎧⎨-<⎩（2）32111x x x-=--【答案】解：（1）解不等式①，得：1x > 解不等式②，得：2x >- ∴不等式组的解集为：1x > （2）321x x +=- 312x x -=--32x =-四.解答题:20. （2019江苏省常州市，20，7分）为迎接“六一”儿童节的到来,某校学生参加献爱心捐款活动,随机抽取该校部分学生的捐款数进行统计分析,相应数据的统计图如下:（1）该校本的容量是 ,样本中捐款15元的学生有 人; （2）若该校一共有500名学生,据此样本估计该校学生的捐款总数.【答案】（1）50，10； （2）平均每人的捐款数为：()1155251015109.550⨯⨯+⨯+⨯=，9．5×500=4750（元） 21.（2019江苏省常州市，21，8分）一只不透明的箱子里共有3个球,把它们的分别编号为1,2,3,这些球除编号不同外其余都相同.（1）从箱子中随机摸出一个球,求摸出的球是编号为1的球的概率;（2）从箱子中随机摸出一个球,记录下编号后将它放回箱子,搅匀后再摸出一个球并记录下编号,求两次摸出的球都是编号为3的球的概率.【答案】解：（1）从箱子中随机摸出一个球,摸出的球是编号为1的球的概率为：31； （2）画树状图如下：共有9种可能的结果，两次摸出的球都是编号为3的球的概率为91. 五.解答题（本大题共2小题,共12分,请在答题卡指定区域内作答,解答应写出证明过程）22.（2019江苏省常州市，22，5分）已知：如图,点C 为AB 中点,CD=BE,C D ∥BE.求证:△ACD ≌△CBE.【答案】证明：∵C D ∥BE ，∴∠ACD =∠B ∵点C 为AB 中点,∴AC=CB又∵CD=BE, ∴△ACD ≌△CBE （S.A.S.）.23. （2019江苏省常州市，23，7分）已知:如图,E,F 是四边形ABCD 的对角线AC 上的两点,AF=CE,连接DE,DF,BE,BF.四边形DEBF 为平行四边形.求证:四边形ABCD 是平行四边形. 【答案】证明：连结BD 交AC 于点O∵AF=CE ,∴A F －EF =C E －EF ，即AE=CF ，∴AE ＋OE=CF ＋OF ，即OA=OC ∴四边形ABCD 是平行四边形.六.画图与应用（本大题共2小题,请在答题卡指定区域内作答,共14分）24. （2019江苏省常州市，24，7分）在平面直角坐标系xOy 中,如图,已知Rt △DOE,∠DOE=90°,OD=3,点D 在y 轴上,点E 在x 轴上,在△ABC 中,点A,C 在x 轴上,AC=5. ∠ACB+∠ODE=180°, ∠ABC=∠OED,BC=DE.按下列要求画图（保留作图痕迹）:（1）将△ODE 绕O 点按逆时针方向旋转90°得到△OMN （其中点D 的对应点为点M,点E 的对应点为点N ）,画出△OMN;（2）将△ABC 沿x 轴向右平移得到△A ′B ′C ′（其中点A,B,C 的对应点分别为点A ′,B ′,C ′）,使得B ′C ′与（1）中的 △OMN 的边NM 重合; （3）求OE 的长. 【答案】解：（1）、（2）画图如下：（3）解：设OE=x ，则ON=x ，作M F ⊥A ′B ′于点F ，由作图可知：B ′C ′平分∠A ′B ′O ，且C ′O ⊥O B ′，∴B ′F= B ′O=OE=x ，F C ′=O C ′=OD=3， ∵A ′C ′=AC=5，∴A ′F=43522=-，∴A ′B ′=x ＋4，A ′O=5+3=8，∴()22248x x +=+，解得：6=x ，∴OE=6.25. （2019江苏省常州市，25，7分）某小商场以每件20元的价格购进一种服装,先试销一周,试销期间每天的销量（件）与每件的销售价x （元/件）如下表所示:假定试销中每天的销售号 (件)与销售价x （元/件）之间满足一次函数. （1）试求与x 之间的函数关系式; （2）在商品不积压且不考虑其它因素的条件下,每件服装的销售定价为多少时,该小商场销售这种服装每天获得的毛利润最大?每天的最大毛利润是多少?（注:每件服装销售的毛利润=每件服装的销售价－每件服装的进货价） 【答案】解：（1）设与x 之间的函数关系式为：b kx t += ，因为其经过（38，4）和（36，8）两点，∴⎩⎨⎧+=+=bk bk 368384，解得：⎩⎨⎧=-=802b k ，故802+-=x y .（2）设每天的毛利润为w 元，每件服装销售的毛利润为（x －20）元，每天售出（80－2x ）件，则()()x x w 28020--==()2003021600120222+--=-+-x x x ，当x =30时，获得的毛利润最大，最大毛利润为200元.26. （2019江苏省常州市，26，8分）我们用[]a 表示不大于a 的最大整数,例如: []2.52=,[]33=,[]2.53-=-;用a 表示大于a 的最小整数,例如: 2.53=,45=, 1.51-=-.解决下列问题: （1）[]4.5-= , 3.5= .（2）若[]x =2,则x 的取值范围是 ;若y =－1,则y 的取值范围是 .（3）已知x ,y 满足方程组[][]32336x y x y +=⎧⎪⎨-=-⎪⎩,求x ,y 的取值范围.【答案】解：（1）－5，4；（2）∵[]x =2,∴则x 的取值范围是21≤<x ；∵y =－1,∴y 的取值范围是12-<≤-y .（3）[]323x y +=⎧⎪⎨，解之得：[]⎨⎧-=1x ，∴x ,y 的取值范围分别为01<≤-x ，32<≤y .27. （2019江苏省常州市，27，10分）在平面直角坐标系xOy 中,二次函数213222y x x =-++的图像与x 轴交于点A,B （点B 在点A 的左侧）,与y 轴交于点 C.过动点H （0, m ）作平行于x 轴的直线,直线与二次函数213222y x x =-++的图像相交于点D,E.（1）写出点A,点B 的坐标;（2）若0m >,以DE 为直径作⊙Q,当⊙Q 与x 轴相切时,求m 的值;（3）直线上是否存在一点F,使得△ACF 是等腰直角三角形?若存在,求m 的值;若不存在,请说明理由. 【答案】解：（1）当y =0时，有0223212=++-x x ，解之得：41=x ，12-=x ，∴A 、B 两点的坐标分别为（4，0）和（－1，0）.（2）∵⊙Q 与x 轴相切，且与213222y x x =-++交于D 、E 两点， ∴圆心O 位于直线与抛物线对称轴的交点处，且⊙Q 的半径为H 点的纵坐标m （0m >）∵抛物线的对称轴为2321223=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-=x ， ∴D 、E 两点的坐标分别为：（23－m ，m ），（23＋m ，m ）且均在二次函数213222y x x =-++的图像上， ∵2232323212+⎪⎭⎫⎝⎛+⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯-=m m m ，解得1229-=m 或1229--=m （不合题意，舍去） （3）存在.①当∠ACF=90°，AC=FC 时，过点F 作FG ⊥y 轴于G ，∴∠AOC=∠CGF=90°，∵∠ACO+∠FCG=90°，∠GFC+∠FCG=90°，∴∠ACO=∠CFG ，∴△AC O ≌△∠CFG ，∴CG=AO=4， ∵CO=2，∴m =OG=2+4=6；②当∠CAF=90°，AC=AF 时，过点F 作FP ⊥x 轴于P ，∴∠AOC=∠APF=90°，∵∠ACO+∠OAC=90°，∠FAP+∠OAC=90°，∴∠ACO=∠FAP ，∴△AC O ≌△∠FAP ，∴FP =AO=4， ∴m =FP =4；③当∠AFC=90°，FA=FC 时，则F 点一定在AC 的中垂线上，此时m =3或m=128.（2019江苏省常州市，28，10分）在平面直角坐标系xOy 中,点M ）,以点M 为圆心,OM 长为半径作⊙M . 使⊙M 与直线OM 的另一交点为点B,与x 轴, y 轴的另一交点分别为点D,A （如图）,连接AM.点P 是AB 上的动点.（1）写出∠AMB 的度数;（2）点Q 在射线OP 上,且OP ·OQ=20,过点Q 作QC 垂直于直线OM,垂足为C,直线QC 交x 轴于点E. ①当动点P 与点B 重合时,求点E 的坐标;②连接QD,设点Q 的纵坐标为,△QOD 的面积为S.求S 与的函数关系式及S 的取值范围. 【答案】解：（1）90°；（2）①由题意，易知：OM=2，，∴OB=4， 当动点P 与点B 重合时,∵OP ·OQ=20，∴OQ=5，∵∠OQE=90°，∠POE =45°，∴E 点坐标为（0）②∵，Q 的纵坐标为,∴S=t t 22221=⨯. 当动点P 与B 点重合时，过点Q 作QF ⊥x 轴，垂足为F 点，∵OP=4，OP ·OQ=20，∴OQ=5，∵∠OFC=90°，∠QOD =45°，∴=225，此时S=52252=⨯；当动点P 与A 点重合时，Q 点在y 轴上，∴，∵ OP ·OQ=20，∴，此时S=10252=⨯； ∴S 的取值范围为105≤≤S .。
常州市2019年中考数学试题含答案(word版)
2019年常州市中考数学试题一、选择题（每小题2分，共16分） 1．－3的绝对值是A ．3B ．－3C ．31D ．－312．要使分式23x 有意义，则x 的取值范围是 A ．x ＞2 B ．x ＜2 C ．x ≠－2 D ．x ≠23．下列“慢行通过，注意危险，禁止行人通行，禁止非机动车通行”四个交通标志图（黑白阴影图片）中为轴对称图形的是A ．B ．C ．D ．4．如图，BC ⊥AE 于点C ，CD ∥AB ，∠B ＝40°，则∠ECD 的度数是E DCA BA ．70°B ．60°C ．50°D ．40°5．如图，□ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，则下列说法一定正确的是ODBCAA ．AO ＝ODB ．AO ⊥ODC ．AO ＝OCD ．AO ⊥AB6．已知a ＝22，b ＝33，c ＝55，则下列大小关系正确的是A ．a ＞b ＞cB ．c ＞b ＞aC ．b ＞a ＞cD ．a ＞c ＞b7．已知二次函数y ＝2x ＋（m －1）x ＋1，当x ＞1时，y 随x 的增大而增大，而m 的取值范围是A ．m ＝－1B ．m ＝3C ．m ≤－1D ．m ≥－18．将一张宽为4cm 的长方形纸片（足够长）折叠成如图所示图形，重叠部分是一个三角形，则这个三角形面积的最小值是ABCA ．338cm 2 B ．8cm 2 C ．3316cm 2 D ．16cm 2 二、填空题（每小题2分，共20分） 9．计算12)1(-+-π＝_________．10．太阳的半径约为696000km ，把696000这个数用科学记数法表示为_______________________． 11．分解因式：2222y x -＝____________________________．12．已知扇形的圆心角为120°，弧长为6π，则扇形的面积是________． 13．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，AD ：DB ＝1：2，DE ＝2，则BC 的长是______．EDBCA14．已知x ＝2是关于x 的方程a x a 21)1(=+＋x 的解，则a 的值是______________． 15．二次函数y ＝－2x ＋2x －3图像的顶点坐标是____________．16．如图是根据某公园的平面示意图建立的平面直角坐标系，公园的入口位于坐标原点O ，古塔位于点A （400，300），从古塔出发沿射线OA 方向前行300m 是盆景园B ，从盆景园B 向左转90°后直行400m 到达梅花阁C ，则点C 的坐标是_______________．y （单位：m ）（单位：m ）Ox300400CBA17．数学家歌德巴赫通过研究下面一系列等式，作出了一个著名的猜想．4＝2＋2； 12＝5＋7； 6＝3＋3； 14＝3＋11＝7＋7； 8＝3＋5； 16＝3＋13＝5＋11； 10＝3＋7＝5＋5 18＝5＋13＝7＋11； …通过这组等式，你发现的规律是_______________________________________（请用文字语言表达）． 18．如图，在⊙O 的内接四边形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝5，∠BAD ＝60°，点C 为弧BD 的中点，则AC 的长是_______________．COBAD三、解答题（共10小题，共84分）19．（6分）先化简，再求值：)2()1(2x x x --+，其中x ＝2．20．（8分）解方程和不等式组： ⑴x x x 311213--=-； ⑵⎩⎨⎧->->+.521,042x x21．（8分）某调查小组采用简单随机抽样方法，对某市部分中小学生一天中阳光体育运动时间进行了抽样调查，并把所得数据整理后绘制成如下的统计图：⑴该调查小组抽取的样本容量是多少？⑵求样本学生中阳光体育运动时间为1.5小时的人数，并补全占频数分布直方图； ⑶请估计该市中小学生一天中阳光体育运动的平均时间．1.5小时 24％1小时0.5小时 20％2小时时间/小时人数2小时1.5小时20018016014012010080601小时400200.5小时22．（8分）甲，乙，丙三位学生进入了“校园朗诵比赛”冠军、亚军和季军的决赛，他们将通过抽签来决定比赛的出场顺序． ⑴求甲第一个出场的概率； ⑵求甲比乙先出场的概率．23．（8分）如图，在□ABCD 中，∠BCD ＝120°，分别延长DC 、BC 到点E ，F ，使得△BCE 和△CDF 都是正三角形． ⑴求证：AE ＝AF ； ⑵求∠EAF 的度数．ABDFEC24．（8分）已知某市的光明中学、市图书馆和光明电影院在同一直线上，它们之间的距离如图所示．小张星期天上午带了75元现金先从光明中学乘出租车去了市图书馆，付费9元；中午再从市图书馆乘出租车去了光明电影院，付费12.6元．若该市出租车的收费标准是：不超过3公里计费为m 元，3公里后按n 元/公里计费．光明中学市图书馆光明电影院2公里5公里⑴求m ，n 的值，并直接写出车费y （元）与路程x （公里）（x ＞3）之间的函数关系式；⑵如果小张这天外出的消费还包括：中午吃饭花费15元，在光明电影院看电影花费25元．问小张剩下的现金够不够乘出租车从光明电影院返回光明中学？为什么？25．（8分）如图，在四边形ABCD 中，∠A ＝∠C ＝45°，∠ADB ＝∠ABC ＝105°． ⑴若AD ＝2，求AB ；⑵若AB ＋CD ＝23＋2，求AB ．CDAB26．（10分）设ω是一个平面图形，如果用直尺和圆规经过有限步作图（简称尺规作图），画出一个正方形与ω的面积相等（简称等积），那么这样的等积转化称为ω的“化方”． ⑴阅读填空如图①，已知矩形ABCD ，延长AD 到E ，使DE ＝DC ，以AE 为直径作半圆．延长CD 交半圆于点H ，以DH 为边作正方形DFGH ，则正方形DFGH 与矩形ABCD 等积．理由：连接AH ，EH ．∵ AE 为直径 ∴ ∠AHE ＝90° ∴ ∠HAE ＋∠HEA ＝90°． ∵ DH ⊥AE ∴ ∠ADH ＝∠EDH ＝90° ∴ ∠HAD ＋∠AHD ＝90°∴ ∠AHD ＝∠HED ∴ △ADH ∽_____________． ∴DEDH DH AD ，即2DH ＝AD ×DE ． 又∵ DE ＝DC ∴ 2DH ＝____________，即正方形DFGH 与矩形ABCD 等积．FGHBCAE D ABCD⑵操作实践平行四边形的“化方”思路是，先把平行四边形转化为等积的矩形，再把矩形转化为等积的正方形． 如图②，请用尺规作图作出与□ABCD 等积的矩形（不要求写具体作法，保留作图痕迹）． ⑶解决问题三角形的“化方”思路是：先把三角形转化为等积的_________________（填写图形名称），再转化为等积的正方形．如图③，△ABC 的顶点在正方形网格的格点上，请作出与△ABC 等积的正方形的一条边（不要求写具体作法，保留作图痕迹，不通过计算△ABC 面积作图）． ⑷拓展探究n 边形（n ＞3）的“化方”思路之一是：把n 边形转化为等积的n －1边形，…，直至转化为等积的三角形，从而可以化方．如图④，四边形ABCD 的顶点在正方形网格的格点上，请作出与四边形ABCD 等积的三角形（不要求写具体作法，保留作图痕迹，不通过计算四边形ABCD 面积作图）．27．（10分）如图，一次函数y ＝－x ＋4的图像与x 轴、y 轴分别相交于点A 、B ，过点A 作x 轴的垂线l ，点P 为直线l 上的动点，点Q 为直线AB 与△OAP 外接圆的交点，点P 、Q 与点A 都不重合．⑴写出点A 的坐标；⑵当点P 在直线l 上运动时，是否存在点P 使得△OQB 与△APQ 全等？如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．⑶若点M 在直线l 上，且∠POM ＝90°，记△OAP 外接圆和△OAM 外接圆的面积分别是1S 、2S ，求2111S S 的值．28．（10分）如图，反比例函数y ＝x k 的图像与一次函数y ＝41x 的图像交于点A 、B ，点B 的横坐标是4．点P 是第一象限内反比例函数图像上的动点，且在直线AB 的上方． ⑴若点P 的坐标是（1，4），直接写出k 的值和△PAB 的面积；⑵设直线PA 、PB 与x 轴分别交于点M 、N ，求证：△PMN 是等腰三角形；⑶设点Q 是反比例函数图像上位于P 、B 之间的动点（与点P 、B 不重合），连接AQ 、BQ ，比较∠PAQ 与∠PBQ 的大小，并说明理由．常州市2019年中考数学试题答案一、选择题（每小题2分，共16分）1、A2．D3．B4．C5．C6．A7．D8．B二、填空题（每小题2分，共20分）三、解答题（共10小题，共84分）。
2019年江苏省常州市中考数学原题试卷附解析
2019年江苏省常州市中考数学原题试卷 学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1．如图，点 P 在⊙O 上，下列各条件中能判定直线 PT 与⊙O 相切的是（ ） ①tan 3O =，3tan 3T =；②OP=2，PT=4，OT=5；③305o O '∠=，059.5T ∠=； ④OP=1，2PT =，3OT =A ．①B ．①③C ．①④D ．①③④2．已知△ABC ∽△A'B'C'，且它们的相似比是 3，则下列命题正确的是（ ）A ．∠A 是∠A ′的3倍B ．∠A ′是∠A 的3倍C ．A'B'是 AB 的3倍D ．AB 是A'B'的 3倍 3．不论a 是什么数，下列不等式都能成立的是（ ） A ．20a > B ．a a ≥−C ．210a +>D ．2a a > 4．在方差的计算公式222222123451[(10)(10)(10)(10)(10)]5S x x x x x =−+−+−+−+−中，数字5和10分别表示的意义是（ ）A ．数据的个数和方差B ．平均数和数据的个数C ．数据组的方差和平均数D ．数据的个数和平均数5．下列图形中是四棱柱的侧面展开图的是（ ）A ．B ．C ．D ． 6．己如，已知1l ∥2l ，AB ∥CD ，CE ⊥2l 于点E ，FG ⊥2l 于点 G ，下列说法中不正确的是（ ）A ．∠ABD=∠CDEB ．CE=FGC ．A 、B 两点间的距离就是线段AB 的长度D ．1l 与2l 之间的距离就是线段CD 的长度7．暗箱中有大小质量都相同的红色、黑色小球若干个，随机摸出一个球是红球的概率是 0．6，已知黑色小球有12个，则红球的数量为（ ）A ．30B ．20C ．18D ．10 8．下列各式中，运算结果为22412xy x y −+的是（ ）A ．22(1)xy −+B ．22(1)xy −−C ．222(1)x y −+D ．222(1)x y −− 9．关于x 的方程2(1)0x a −−=的解是3，则a 的值是（ ）A ．4B ．-4C ．5D ．-5 10．已知||2(3)18m m x −−=是关于x 的一元一次方程，则（ ）A ．2m =B ．3m =−C ．3m =±D ．1m = 11．下列说法正确的是（ ）A ．100 的平方根是 10B ．任何数都有平方根C ．非负数一定有平方根D ．0. 001 的平方根是0.01±二、填空题12． 如图，直径为 1 个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆周上的一点从原点 0到达 0′，则点 O ′代表的值为 ．13．如图是一张电脑光盘的表面，两个圆的圆心都是点O ，大圆的弦AB 所在直线是小圆的切线，切点为C ．已知大圆的半径为5cm ，小圆的半径为1cm ，则弦AB 的长度为 cm ．14．从 1、2、3、4、5 中任选2 个数，两个数都小于4 的概率是 ，两个数的乘积是偶数的概率是 ．15．二次函数2y ax bx c =++图象的一部分如图所示，则a+b= ．16．已知一个样本的最大值是182，最小值是130，样本容量不超过100．若取组距为10，则画频数分布直方图时应把数据分成组．17．随着海拔高度的升高，大气压强下降，空气中的含氧量也随之下降，即含氧量y(g/m3)与大气压强x(kpa)成正比例函数关系．当x=36(kpa)时,y=108(g/m3)，请写出y关于x的函数解析式 (不要求写出自变量的取值范围)．解答题18．工人师傅在做完门框后,为防止变形常常像图中所示的那样上两条斜拉的木条（即图中的AB，CD两根木条），这样做根据的数学道理是．19．填空：(1）5x⋅ =9x；(2）8a÷ =a；(3）3÷−=56(6)20．如下折线图是反映某市一大学生在某一周内每天的消费情况，则在星期消费金额最小，该大学生在这一个星期中平均每天消费元．21．在有理数中，平方等于它本身的数有，立方等于它本身的数有．三、解答题22．先确定图中路灯灯泡的位置，再根据小浩的影子画出表示小浩身高的线段.23．已知：如图，A B C ，，三个村庄在一条东西走向的公路沿线上，2AB =千米．在B 村的正北方向有一个D 村，测得45DAB ∠=，28DCB ∠=，今将ACD △区域进行规划，除其中面积为0.5平方千米的水塘外，准备把剩余的一半作为绿化用地，试求绿化用地的面积． (结果精确到0.1平方千米，sin 280.4695=，cos 280.882=，tan 280.5317=）24．已知一个长方形的长为 5 cm ，宽和长之比为黄金比，用尺规作图作出这个长方形．25．如图，由 5个大小完全相同的小正方形摆成如图①③的形状，现移动其中的一个小 正方形，请在图②，图③，图④中分别画出满足以下各要求的图形(用阴影表示).(1)使得图形成为轴对称图形，而不是中心对称图形；(2)使得图形成为中心对称图形，而不是轴对称图形；(3)使得图形既是轴对称图形，又是中心对称图形.26．已知正比例函数1y k x =(1k 为常数，且10k ≠)的图象与一次函数23y k x =+(2k 为常数，且20k ≠)的图象交于点P （-3，6)．(1)求1k 、2k 的值；(2)如果一次函数与x 轴交于点M ，求点M 的坐标.27．有些大数值问题可以通过用字母代替数转化成整式问题来解决，请先阅读下面的解题过程，再解答后面的问题.若123456789123456786x =⨯，123456788123456787y =⨯，试比较x 、y 的大小.解：设123456788a =，那么2(1)(2)2x a a a a =+−=−−，2(1)y a a a a =−=−，因为22(2)()20x y a a a a −=−−−−=−<，所以x y <.看完后，你学会这种方法了吗？再亲自试一试吧，你一定能行!问题：计算321.3450.345 2.69 1.345 1.3450.345⨯⨯−−⨯.28．有一根拉直的绳子AB ，不用刻度尺，如何找出它的中点?29．学校里运来了7棵树，想栽在操场两边的空地上，为了美观，要求栽成4排，每排有3棵．你该如何栽?如果能栽，请画出设计图；如果不能栽，请说明理由．30．2008年6月1日北京奥运圣火在宜昌传递，圣火传递路线分为两段，其中在市区的传递路程为700（a －1）米，三峡坝区的传递路程为（881a ＋2309）米．设圣火在宜昌的传递总路程为s 米．(1）用含a 的代数式表示s ；(2）已知a=11，求s 的值．【参考答案】学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1．C2．D3．C4．D5．A6．D7．C8．A9．A10．B11．C二、填空题12．π13．4614．3 10，71015．-116．617．3y x=18．三角形的稳定性19．（1）4x；（2）7a；(3)86−20．一，150 721．1，0 ；1±，0三、解答题22．如上图所示.P 为路灯灯泡，AB 即为小浩的身高.23．2.6S绿地≈平方千米．24．如图，AB = 5 cm，四边形 ABCD 是所求的矩形．25．略26．(1)根据题意．得163k =−，∴12k =−；2633k =−+，21k =−．(2)由(1)，得3y x =−+．令0y =，得30x −+=，∴3x =．∴点M 的坐标为(3，0) ．27．设1.345x =，则原式=32(1)2(1)x x x x x x −−−−=3232(22)(21)x x x x x x −−−−+ =32332222 1.345x x x x x x x −−−+−=−=−28．把绳子AB 对折(两端点A 、B 重叠在一起)折痕C 即为所求的中点29．能栽，如：因为4×3—12>7． 所以必有若干棵树是公共的，即排与排之间是交叉的．交叉点上的那棵树是公共的． 30．解：(1)s ＝700(a －1)＋(881a ＋2309)＝1581a ＋1609.(2)a ＝11时，s ＝1581a ＋1609＝1 581×11 ＋1 609＝19000.。
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27.（本小题满分10分）
如图,二次函数32
++-=bx x y 的图像与x 轴交于点A 、B,与y 轴交于点C ，点A 的坐标为(-1,0),点D 为OC 的中点,点P 在抛物线上. (1)b= ▲ ;
(2)若点P 在第一象限，过点P 作PH ⊥x 轴，垂足为H ，PH 与BC 、BD 分别交于点 M 、N.是否存在这样的点P ，使得PM=MN=NH ，若存在,求出点P 的坐标;若不存在, 请说明理由;
(3)若点P 的横坐标小于3，过点P 作PQ ⊥BD ，垂足为Q ，直线PQ 与x 轴交于点R,且
QRB PQB S S ∆∆=2，求点P 的坐标.
（第27题） （备用图）
28.（本小题满分10分）
已知平面图形S ，点P 、Q 是S 上任意两点，我们把线段PQ 的长度的最大值称为平面图形S 的“宽距”.例如，正方形的宽距等于它的对角线的长度. (1)写出下列图形的宽距: ①半径为1的圆: ▲ ;
②如图128-，上方是半径为1的半圆，下方是正方形的三条边的“窗户形”: ▲ ; (2)如图228-，在平面直角坐标系中，已知点A(-1，0)、B(1，0)，C 是坐标平面内的点，连接AB 、BC 、CA 所形成的图形为S ，记S 的宽距为d .
①若d =2,用直尺和圆规画出点C 所在的区域并求它的面积(所在区域用阴影表示);
②若点C 在⊙M 上运动，⊙M 的半径为1，圆心M 在过点(0，2)且与y 轴垂直的直线上.对于⊙M 上任意点C ，都有5≤d ≤8，直接写出圆心M 的横坐标x 的取值范围.
图128- 图228-
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常州市二○一九年初中学业水平考试【真题】
数 学 试 题
注意事项:
1.本试卷共6页.全卷满分120分.考试时间为120分钟.考生应将答案全部填写在答题 卡相应位置上,写在本试卷上无效.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回，考试时 不允许使用计算器.
2.答题前，考生务必将自己的姓名、考试证号填写在试卷上，并填写好答题卡上的考生信息.
3.作图必须用2B 铅笔，并请加黑加粗，描写清楚.
一、选择题(本大题共8小题，每小题2分，共16分.在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的)
1. 3-的相反数是( ▲ )
A.
31 B.3
1
- C. 3 D. 3- 2. 若代数式3
1
-+x x 有意义，则实数x 的取值范围是( ▲ )
A. 1-=x
B. 3=x
C. 1-≠x
D. 3≠x
3. 下图是某几何体的三视图，该几何体是( ▲ )
A. 圆柱
B. 正方体
C. 圆锥
D. 球
（第3题） （第4题）
4. 如图，在线段、PA 、PB 、PC PD 中，长度最小的是( ▲ )
A. 线段PA
B.线段PB
C.线段PC
D. 线段PD
5. 若ABC ∆∽'''C B A ∆，相似比为2:1，则ABC ∆与'''C B A ∆的周长比为( ▲ ) A. 1:2 B. 2:1 C. 1:4 D. 4:1
6. 下列各数中与32+的积是有理数的是( ▲ ) A. 32+ B. 2 C.
3 D. 32-
7. 判断命题“如果1<n ，那么012
<-n ”是假命题，只需举一个反例.反例中的n 可以为 ( ▲ )
A. 2-
B. 21-
C.0
D. 2
1
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8. 随着时代的进步，人们对PM2.5(空气中直径小于等于2.5微米的颗粒)的关注日益密切.某市一天中PM2.5的值)/(3
1m ug y 随时间)(h t 的变化如图所示，设2y 表示0时到t 时PM2.5的值的极差（即0时到t 时PM2.5的最大值与最小值的差），则2y 与t 的函数关系大致是( ▲ )
A B C D
二、填空题(本大题共10小题，每小题2分，共20分.不需写出解答过程，请把答案直接写在答题卡相应位置．．．．．．．
上) 9. 计算：=÷a a 3
▲ 10. 4的算术平方根是 ▲ 11. 分解因式：=-a ax 42
▲
12. 如果035=∠α，那么α∠的余角等于 ▲ 0.
13. 如果02=--b a ，那么代数式b a 221-+的值是 ▲ 14. 平面直角坐标系中，点)4,3(-P 到原点的距离是 ▲ 15.若⎩
⎨
⎧==21
y x 是关于y x 、的二元一次方程3=+y ax 的解，则=a ▲ 15. 如图，AB 是⊙O 的直径，D C 、是⊙O 上的两点，0120=∠AOC ,则=∠CDB ▲ 0
.
(第16题) （第17题） (第18题)
17. 如图，半径为3的⊙O 与边长为8的等边三角形ABC 的两边AB 、BC 都相切，连接OC ，则
=∠OCB tan ▲ .
18. 如图，在矩形ABCD 中，AD=3AB=103，点P 是AD 的中点，点E 在BC 上，CE=2BE ，点M 、N 在线段BD 上.若PMN ∆是等腰三角形且底角与DEC ∠相等，则MN= ▲ .
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三、解答题(本大题共10小题，共84分.请在答题卡指定区域内作答，如无特殊说明，解答应
写出文字说明、演算步骤或推理过程） 19.（本小题满分8分）
计算：(1) 210)3()2
1(-+-π (2) )1()1)(1(--+-x x x x
20.（本小题满分6分）解方程组⎩⎨
⎧-≤->+,
83,
01x x x 并把解集在数轴上表示出来.
21.（本小题满分8分）
如图，把平行四边形纸片ABCD 沿BD 折叠，点C 落在点'C 处，'BC 与AD 相交于点E. （1）连接'AC ，则'AC 与BD 的位置关系是 ▲ ； （2）EB 与ED 相等吗？证明你的结论.
（第21题）
22.（本小题满分8分） 在“慈善一日捐”活动中，为了解某校学生的捐款情况，抽样调查了该校部分学生的捐款数（单位：元），并绘制成如下统计图.
根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）本次调查的样本容量是 ▲ ，这组数据的众数为 ▲ 元； （2）求这组数据的平均数；
（3）该校共有600名学生参与捐款，请你估计该校学生的捐款总数.
（第22题）
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23.（本小题满分8分）
将图中的A 型（正方形）、B 型（菱形）、C 型（等腰直角三角形）纸片分别放在3个盒子中，盒子的形状、大小、质地都相同，再将这3个盒子装入一只不透明的袋子中.
（第23题）
（1）搅均后从中摸出1个盒子，盒中的纸片既是轴对称又是中心对称图形的概率是 ▲ ; （2）搅均后先从中摸出1个盒子（不放回），再从余下的2个盒子中摸出1个盒子，把摸出的
2个盒子中的纸片长度相等的边拼在一起，求拼成的图形是轴对称图形的概率（不重叠无缝隙拼接）.
24.（本小题满分8分） 甲、乙两人每小时共做30个零件，甲做180个零件所用的时间与乙做120个零件所用的时间相等.甲、乙两人每小时各做多少个零件？
25.（本小题满分8分）
如图，在□ABCD 中，22=OA ，0
45=∠AOC ，点C 在y 轴上，点D 是BC 的中点，反比
例函数)0(>=
x x
k
y 的图像经过点A 、D. (1)求k 的值； (2)求点D 的坐标.
（第25题）
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26.（本小题满分10分）
【阅读】
数学中，常对同一个量（图形的面积、点的个数、三角形的内角和等）用两种不同的方法计算，从而建立相等关系，我们把这一思想称为“算两次”. “算两次”也称做富比尼原理，是一种重要的数学思想.
图126- 图226-
【理解】
（1）如图126-，两个边长分别为c b a 、、的直角三角形和一个两条直角边都是c 的直角三角形拼成一个梯形.用两种不同的方法计算梯形的面积，并写出你发现的结论；
（2）如图226-，n 行n 列的棋子排成一个正方形，用两种不同的方法计算棋子的个数，可得等式：=2
n ▲ ; 【运用】
（3）n 边形有n 个顶点，在它的内部再画m 个点，以)(n m +个点为顶点，把n 边形剪成若干
个三角形，设最多可以剪得y 个这样的三角形.当3,3==m n 时，如图326-，最多可以剪得7个这样的三角形，所以7=y .
①当2,4==m n 时，如图426-，=y ▲ ;当==m n ,5 ▲ 时，如图426-，9=y ;
图326-图 图426-
②对于一般的情形，在n 边形内画m 个点，通过归纳猜想，可得=y ▲ （用含m 、n 的代数式表示）.请对同一个量．．．．用算两次的方法说明你的猜想成立。
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a
b
b
a c
c。