浙江大学2013年数学分析考研试题及解答(部分)

凑一点, 具体函数如下:
1, if n is a prime
δ(n) = 0, others
.
于是题设中的公式就变为
sn
=
∑
ln p p
=
∑n
ln(i) δ(i) i
=
ln n
+
O(1),
p⩽n
i=2
我们再约定 s1 = 0, 则
∑
1 p
=
∑
ln p p ln p
=
∑n
1 ln(i)
ln(i) δ(i) i
浙江大学 2013 年数学分析试题及部分解答
微信公众号: 数学十五少 2020.04.09
接近原版的试题 (水印的广告与我无关) 见后面, 这里只打算解一下最后一题.
这题其实考得没什么价值, 学过解析数论的应该会很容易想到怎么做, 其实想法很简单,
无非就是用下 Abel 求和公式. 但是对于数学系本科生而言, 基本上都不会学什么解析数论,
=
ln i i
+ O(1),
通过与
积分做比较去估计
∑ nΒιβλιοθήκη Baidu1
1
i ln(i + 1)
i=2
将得到 ln ln n 那项, 最后再注意到
(
)
∑ n−1
O(1)
∑ n−1
1
ln(i) ln(i + 1) = O
ln(i) ln(i + 1)
i=2
i=2
就可得到最终的结果. 这里给的素数的倒数和的渐近公式表面素数有无穷多个.
=
∑n
si − si−1 ln(i)
p⩽n
p⩽n
i=2
i=2
=
∑n
si ln(i)
−
∑ n−1
si ln(i +
1)
=
i=2
sn ln n
+
∑ n−1
i=2(
)
ln
1
+
1 i
si
ln(i) ln(i + 1)
,
i=2
最后一行等式的前一部分为
()
1+O
1 ln n
,
再注意到
( ln 1 +
)
1 i
si
1
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因此应该很多人都不知道怎么做, 或者说有些懵, 可能不知从何下手, 因而此题不具有太大
的筛选考生的价值.
它这里把 n 说成是实数其实不妥, 一般我们把这里的实数写成 x, 而 n 表示正整数, 当
然由于我们总可以对实数取整数部分让它变成整数, 因此这里其实没必要特别区分 n 是实
数还是整数, 于是在下面的论述中我们总是把 n 看作整数. 先引入一个函数把求和式变得紧