相似三角形的判定3课件

E ●
B
C
图4
• P48 练习 1、2
C
A
D
B
例2：如图，弦AB和CD相交于圆O内一
点P，求证：PA·PB=PC·PD
证明：连接AC、BD。
∵∠A和∠D都是弧CB所对的圆周角，
∴∠ A=∠D。
同理∠C=∠B （或∠APC＝∠DPB） 。 A
∴△PAC∽△PDB。 ∴
D O·
P
PA PC PD PB
∠F=600。求证：ΔABC∽ΔDEF
A
D
400
800 600
B
C
800 E
600 F
证明：∵ 在ΔABC中，∠A=400，∠B=800， ∴ ∠C=1800－∠A －∠B =1800－400 －800 ＝600 ∵ 在ΔDEF中，∠E=800，∠F=600 ∴ ∠B=∠E，∠C=∠F ∴ ΔABC∽ΔDEF（两角对应相等，两三角形相似）。
两个角对应相等，那么这两个三角形相似。 ----“两角”定理
可以简单说成：两角对应相等，两三角形相似。
相似三角形的识别
用数学符号表示：
∵ ∠A=∠A'， ∠B=∠B' ∴ ΔABC ∽ ΔA'B'C'
B (两个角分别对应相等的两个三角形相似)
A
A'
C B' C'
例1、已知：ΔABC和ΔDEF中， ∠A=400，∠B=800，∠E=800，
即AC2＝ABgAD
D C
练一练
• 1、在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥BA 于点D。证明：AC2＝AD·AB
观察
观察两副三角尺，其中同样角度（30° 与60°，或45°与45°）的两个三角尺,它们 一定相似吗？
如果两个三角形有两组角对应相等， 它们一定相似吗？
(1)作△ABC和△ A’B’C’,使得∠A＝∠A’,
∠B＝∠B’，这时它们的第三个角满足∠C＝ ∠C’吗?
(2)分别度量这两个三角形的边长,计算
85°
60°E
85°
C
△ADE : △ACB
AD AE AC AB
即ADgAB=AEgAC
例4、在四边形ABCD中，AC平分∠DAB， ∠ACD=∠ABC。求证：AC2=AB·AD
证明：Q AC平分DAB
BAC＝CAD
A
又Q ACD＝ABC
△ACD : △ABC
B
AC＝AD AB AC
ACgAC＝ABgAD
2、课堂练习
（1）、已知ΔABC与ΔA/B/C/中，∠B=∠B/=750，∠C=500，
∠A/=550，这两个三角形相似吗？为什么？
A/
A/ A
A
550
550
750 500
750
B
C B/
C/
B
C B/
C/
（ 2 ） 已 知 等 腰 三 角 形 Δ/分别是顶角，
∴ △ADE∽△EFC. （两个角分别对应相等的 两个三角形相似．）
应用新知： 选一选
3.从下面这些三角形中，选出一组你喜欢的相
似的三角形证明.
5
30 45 1
2 30 9
4
3 30 2
105 30 4
105 45
5
（1）与（4）与（5）----“两角”定理 （2）与（6）--“两边夹角”定理
2.5 6 30
为了使用它，就必须创造具备定理的基本图形的条件。怎样创造呢？
（把小的三角形移动到大的三角形上）。 怎样实现移动呢?
证明：在ΔABC的边AB、AC上，分别截取AD=A/B/,AE=A/C/，
连结DE。
已知：在△ABC 和△ A’B’C’,中,
∵ AD=A/B/,∠A=∠A/，AE=A/C/ 若∠A=∠A’，∠B=∠B’，
27.2 三角形相似的判定（3）
复习
A
A/
1、相似三角形有哪些判定方法?
（１）．定义法（不常用） B C B/
C/
（２）．“平行”定理：平行于三角形一边
的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原 三角形相似。
（３）．“三边”定理：三边对应的比相等， 两个三角形相似. （４）．“两边夹角”定理：两组对应边的比相 等，并且相应的夹角相等的两个三角形相似.
求 证 ： ① 如 果 ∠ A=∠A/ ， 那 么
ΔABC∽ΔA/B/C/。
② 如 果 ∠ B=∠B/ ， 那 么
ΔABC∽ΔA/B/C/。
B
C B/
C/
例题分析
A
例2. 如图，△ABC中，
DE∥BC，EF∥AB，
D
E
试说明△ADE∽△EFC.
B
C F
解: ∵ DE∥BC，EF∥AB（已知），
∴ ∠ADE＝∠B＝∠EFC （两直线平行，同位角相等） ∠AED＝∠C. （两直线平行，同位角相等）
AB , AC , A'B' A'C'
BC
B'C' ,你有什么发现?
A
A/
(3)△ABC和△ A’B’C’
相似吗?
B
C B/
C/
已知：在△ABC 和△A/B/C/ 中,
A A/ ,B B/
求证:ΔABC∽ △A/B/C/
A A/
分析:要证两个三角形相似，
目前只有四个途径。一是
B
C B/
C/
三角形相似的定义；二是“平行”定理；三是“三边”定理； 四是上节课学习的“两边夹角”定理。
B C
即PA·PB=PC·PD
例3.已知D、E分别是△ABC的边AB,AC上的点，
若∠A=35°, ∠C=85°,∠AED=60 °则AD·AB=
AE·AC
解：Q 在△ADE中，ADE=180 A AED 180 35 60 =85
ADE ACB 85
又Q A A=35
B
A D 35°
∴ ΔA DE≌ΔA/B/C/（SAS） 求证：△ABC∽△ A’B’C’
∴ ∠ADE=∠B/， 又∵ ∠B/=∠B， ∴ ∠ADE=∠B，
用数学符号A 表示：
A/
∴ DE//BC， ∴ ΔADE∽ΔABC。
D
E
∴ ΔA/B/C/∽ΔABC
B
C B/
C/
P48 判定定理3：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的
4.5
应用新知： 想一想
4、判断题：
(1)所有的直角三角形都相似 .
(× )
(2)有一个锐角对应相等的两直角三角形相似.(√ )
(3)所有的等边三角形都相似.
(√ )
(4)所有的等腰直角三角形都相似.
(√ )
(5)顶角相等的两个等腰三角形相似.
(√ )
(6)有一个角相等的两个等腰三角形相似. (× )
填一填
（1）如图3，点D在AB上，当∠ ACD＝∠ B 时， △ACD∽△ABC。 (或者∠ ACB＝∠ ADB)
（2）如图4，已知点E在AC上，若点D在AB上，则满足 条件 DE//BC，就可以使△ADE与原△ABC相似。 (或者∠ C＝∠ ADE) (或者∠ B＝∠ ADE)
A
A
D
B
C
图3
D
D