极限存在的夹逼准则
1-7存在准则两个重要极限
例1 求 lim( 1 1 1 ).
n n2 1 n2 2
n2 n
解 n 1 1 n ,
n2 n n2 1
n2 n n2 1
又 lim n
n lim n2 n n
1 1 1 1,
n
lim n lim 1 1, 由夹逼定理得
n n2 1
n
1
1 n2
lim( 1 1 1 ) 1.
x [x]
x [x]
x [x]
lim (1 1 )[ x] x [x] 1
lim (1 1 )[ x]1 lim (1 1 )1 e,
x [x] 1
x [x] 1
lim (1 1 )x e.
x
x
令 t x,
lim (1 1 )x lim (1 1)t lim (1 1 )t
7、 lim(1 x )2x _________. x x
8、 lim(1 1 ) x _________.
x
x
二、求下列各极限:
1、 lim 1 cos 2x x0 x sin x
2、 lim(tan x)tan 2x x 4
3、 lim( x a ) x x x a
4、 lim( n2 1)n n n 1
sin x x tan x, 即 cos x sin x 1, x
上式对于 x 0也成立. 当 0 x 时,
2
2
0 cos x 1 1 cos x 2sin 2 x 2( x)2 x2 , 22 2
lim x2 0, lim(1 cos x) 0,
x0 2
2、 lim sin 2x __________. x0 sin 3x
3、 lim arc cot x __________.
函数极限存在的夹逼准则
函数极限存在的夹逼准则首先，我们需要明确函数极限的定义。
设有函数$f(x)$在其中一点$a$的一些邻域内有定义，如果存在一个常数$L$，对于任意给定的正实数$\varepsilon$，都存在正实数$\delta$，使得当$0<，x-a，<\delta$时，有$，f(x)-L，<\varepsilon$成立，则称$L$是函数$f(x)$在$x=a$处的极限，记作$\lim_{x\to a}f(x)=L$。
现在，我们来介绍夹逼准则的概念。
设有三个函数$f(x)$、$g(x)$和$h(x)$，在其中一点$a$的一些邻域内有定义。
如果存在正实数$\delta$，当$0<，x-a，<\delta$时，有$f(x)\leq g(x)\leq h(x)$成立，且$\lim_{x\to a}f(x)=\lim_{x\to a}h(x)=L$，则可以得出结论$\lim_{x\to a}g(x)=L$。
根据夹逼准则的定义，我们可以证明一个函数的极限存在或不存在。
具体地，当我们找到两个函数$f(x)$和$h(x)$，满足$f(x)\leq g(x)\leq h(x)$且$\lim_{x\to a}f(x)=\lim_{x\to a}h(x)=L$时，我们可以得出结论$\lim_{x\to a}g(x)=L$。
这是因为当$x$趋近于$a$时，不等式$f(x)\leq g(x)\leq h(x)$右侧的函数$h(x)$和左侧的函数$f(x)$的极限都趋近于$L$，由此我们可以推断出$g(x)$的极限也趋近于$L$。
夹逼准则的重要性在于它提供了一种判断函数极限存在的方法。
它适用于各种类型的函数，包括无穷的函数，可以广泛地应用于极限的证明中。
接下来，我们将通过一些例子来说明夹逼准则的应用。
例1：证明$\lim_{x\to 0}x\sin\frac{1}{x}=0$。
解：由于$-1\leq\sin\frac{1}{x}\leq 1$，我们可以得到以下不等式：$-x\leq x\sin\frac{1}{x}\leq x$当$x$趋近于$0$时，左侧和右侧的极限都为$0$。
极限存在准则 重要极限
2.单调有界准则 单调有界准则
如果数列 xn满足条件
x1 ≤ x 2 ⋯ ≤ x n ≤ x n + 1 ≤ ⋯ , 单调增加 x1 ≥ x 2 ⋯ ≥ x n ≥ x n + 1 ≥ ⋯ , 单调减少
准则Ⅱ 单调有界数列必有极限. 准则Ⅱ 单调有界数列必有极限
单调数列
几何解释: 几何解释
x1 x 2 x 3x n x n + 1
A
M
x
6
例2
证明数列 xn = 3 + 3 + ⋯ + 3 ( n重根
∴ {xn } 是单调递增的 ;
式)的极限存在 . 证 显然 x n + 1 > x n ,
∴ {xn } 是有界的 ;
又 ∵ x1 = 3 < 3, 假定 x k < 3, x k + 1 = 3 + x k< 3 + 3 < 3,
2 2
, .
的 快
24
β ( 3) 如果 lim k = C (C ≠ 0, k > 0), 就说β是α的k阶的 α
无穷小.
定义: 定义:设α, β 是同一过程中的两个无 穷小, 且α ≠ 0. β (1) 如果 lim = 0, 就说β 是比α高阶的无穷小 , α 记作 β = o(α ); β ( 2) 如果 lim = C (C ≠ 0), 就说β 与α是同阶的无穷小; α β 特殊地 如果 lim = 1, 则称β 与α是等价的无穷小; α 记作 α ~ β;
17
思考题
求极限
1 x x
x → +∞
lim (3
x
+9
1 x x
极限存在准则 两个重要极限
∴ {xn } 是单调递增的 ;
1 1 1 1 xn < 1 + 1 + + L + < 1 + 1 + + L + n −1 2! n! 2 2 1 = 3 − n − 1 < 3, ∴ {xn } 是有界的 ; 2 1n ) ∴ lim x n 存在. 记为lim(1 + ) = e (e = 2.71828L n→∞ n→∞ n
x → +∞
)
= lim (9
x → +∞
x
1 x x
)
1 x + 1 3
0
1 x
3 1 = 9 ⋅ lim 1 + x x → +∞ 3
1 3x ⋅x
= 9⋅e = 9
∴ lim cos x = 1,
x→0
∴ lim(1 − cos x ) = 0,
x→0
又 Q lim 1 = 1,
x→0
sin x ∴lim = 1. x→0 x
例3
1 − cosx . 求 lim 2 x→0 x
x 2sin2 2 lim 2 x→0
解: 原式 =
x
1 sin = lim x 2 x→0 2
1 令t= , x
x→0
1t lim(1 + x) = lim(1 + ) = e. x→0 t →∞ t
1 x
1 x
lim(1 + x) = e
例.
解: 令 t = −x, 则
t →∞
lim(1+ 1)−t t
1
= lim
极限存在准则 两个重要极限
12/19/2010 10:04 PM
1 1 1 1 2 n −1 xn = 1+ 1+ (1− ) +L+ (1− )(1− )L(1− ). 2! n n! n n n
n→∞
12/19/2010 10:04 PM
令 lim xn = A, 对递推公式
n→∞
xn = a + xn−1 的两边取极限
lim xn = lim a + xn−1 ⇒ 1 ± 1 + 4a 4a , A = a + A ⇒ A − A−a = 0⇒ A = 2
2
n→∞
n→∞
存在, 因为 xn > 0, 且 lim xn存在,则 lim xn = A ≥ 0,
类似地, 类似地,
xn +1 1 = 1 + n+1
n +1
1 1 = 1 + 1 + (1 − ) +L 2! n+1
1 1 2 n−1 )(1 − )L(1 − ) + (1 − n! n+1 n+1 n+1 1 1 2 n (1 − )(1 − )L(1 − ) + ( n + 1)! n+1 n+1 n+1
1 − cos x 1 = 1 ⋅ lim = . 2 x →0 2 x
12/19/2010 10:04 PM
sin 3 x . 例11 求 lim x →π tan 5 x 解 令x = π − t ⇒ t = π − x , 当x → π 时 ⇒ t → 0, 则 sin ( 3π − 3t ) sin 3 x lim = lim x →π tan 5 x t → 0 tan ( 5π − 5t )
高等数学 第1章 第七节 极限存在准则 两个重要极限
则
lim
n
x n1
lim n
6 xn ,
A
6 A,
解得 A 3或A 2,（舍去）
lim n
xn
3.
14
3.两个重要极限的应用
例6： 求 lim tan x 1
x0 x
可作为公式
lim
x
s
in u x ux
1
lim ux 0
x
解： lim tan x lim sin x 1 lim sin x lim 1 11 1 x0 x x0 x cos x x0 x x0 cos x
1 n2 1
n2
1
22
n2
1
n2
n n2 1
,
1
lim 1 0, n 2n
lim n n n2 1
lim n
n
1
1
由夹逼定理知：
n2
0 0, 10
lim n
n
1 2
1
n2
1 22
n2
1 n2
存在, 且
lim n
n
1 2
1
n2
1
22
n2
1
n2
0.
8
例2 用夹逼准则证明：
lim sin x 1.
1yn xn zn n 1,2,3,,
2
lim
n
yn
a,
lim
n
z
n
a,
则数列x
n
的
极
限
存
在,
且
lim
n
xn
a.
准则1 若
1当x
U
x
极限存在的夹逼准则
极限存在的夹逼准则夹逼准则的形式如下：设函数f(x)、g(x)、h(x)在点a的一些邻域内定义，且对于该邻域内的所有x，有f(x)≤g(x)≤h(x)。
若当x趋于a 时，f(x)和h(x)的极限都等于L，则g(x)的极限也等于L。
在数列的情况下，如果数列a_n满足对于所有n，有a_n≤b_n≤c_n，且当n趋于无穷大时，数列a_n和c_n的极限都等于L，则数列b_n的极限也等于L。
夹逼准则的直观理解是通过两个函数或数列夹在另一个函数或数列之间，从而得到了在极限过程中的一些性质。
通过在这些性质上的限制，可以得出对于夹逼的函数或数列的极限存在性及其值的结论。
夹逼准则在实际应用中具有广泛的用途。
在求极限的过程中，有时候可以找到一对比较简单的函数或数列来“夹逼”待求的函数或数列，从而求得待求的极限。
夹逼准则在证明函数或数列的极限存在性以及极限值时，能够起到重要的作用。
夹逼准则的证明主要通过对于ε-δ的定义的运用，结合函数或数列的性质，构造出合适的不等式和判断条件，进而得出极限存在及其值的结论。
其中，ε表示误差范围，δ表示自变量趋于一些点时，与函数或数列的距离。
夹逼准则的基本思想是利用函数或数列与另一个已知的函数或数列的关系，通过比较它们的大小关系，证明待求的极限存在，并确定极限值。
总结起来，极限存在的夹逼准则是微积分中一种重要的判定极限存在性的方法。
它通过构造两个函数或数列来夹逼待求的函数或数列，从而得到极限存在性及其值的结论。
夹逼准则在实际应用中具有广泛的用途，可以帮助我们求解各种类型的极限。
通过掌握夹逼准则的使用方法和证明思路，可以更好地理解和应用微积分中的极限概念。
极限存在的夹逼准则
sin x BD , x AB, tan x AC.
因为 所以
SAOB S扇形AOB SAOC ,
1 1 1 sin x x tan x, 2 2 2
o
x
D
A x
即 sin x x tan x, 对不等式进行变形有
sin x cos x 1, x
此式对
x x0 x x0
h(x)
那么函数 f (x) 的极限存在，且 lim f ( x) A. xx0 y
A
A
g (x)
f (x)
A
o
x0 2 x0 1
x0 r
x 0 x0 2 x0 1
x0 r
x
证明 0, 因 lim g ( x) A, 所以由极限的定义， 0, 当 0 | x x | 1 0 1 时，有 | g ( x) A | , 则
x x0
A g (x).
x x0
①
又因为 lim h( x) A, 所以 2 0, 当0 | x x0 | 2 时，有 | h( x) A | ， 则
h( x ) A .
由条件（1）知， 当0 | x x0 | r 时，有
《高等ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ学》
极限存在的夹逼准则
一、回顾
定理3 设 lim f ( x) A, lim g ( x) B, 则
⑴ lim[ f ( x) g ( x)] A B; ⑵ lim[ f ( x) g ( x)] A B;
f ( x) A , 其中B 0. ⑶ lim g ( x) B
函数极限存在的夹逼准则(全)
解：无穷小量比较阶时，要找最低阶数
3
1
31
3 x2
3
x
x (1 x 2 ) x 6 (1 x 2 )3
3 x2
lim
x0
1
x6
1
31
x
x 6 (1 x 2 )3
lim x0
1
31
lim(1 x 2 )3 x0
1
x6
思考题：当x 0时，x x x 是x的几阶无穷小量？
精选2021版课件
0
例. 1、求 lim tan x . x0 x
解: 原式
lim x0
sin x
x
1 cos
x
lim
x0
sin x
x
lim
x0
1 cos
x
1
2、 求
lim1
x0
cos x2
x
.
解:
原式 =
lim
x0
2 sin 2 x2
x 2
1 2
lxim0sin2x
x 2
2
1 12 2
1 2
3、
求
lim
x0
arcsin x
当 x 0 时,
n 1 x 1 ～
1x n
常用等价无穷小 : 当 x 0 时,
sin x ～ x , arctan x ～x ,
tan x ～
x,
1 cos x ～
1 2
x2
,
arcsin x～ x ,
n
1
x
1～
1 n
x
ex 1 ～ x , ax 1 ～x ln a , (1 x)a 1 ～ax
极限存在准则两个重要极限公式
1. 夹逼准则(两边夹法则;三明治法则)
准则I (1) yn xn zn ( n 1, 2, )
(2)
lim
x2
x 2
1 2
lim
x0
sin2 x 2
x 2
2
1 2
lim
x0
sin x
x 2
2
2
1 12 2
1 2
2020/6/15
8
2. 单调有界准则
数列 xn : 单调增加 x1 x2 xn xn1 ,
单调减少 x1 x2 xn xn1 ,
准则I I 单调有界数列必有极限 单调上升有上界数列必有极限
注意:利用夹逼准则求极限的关键:构造出 yn 与 zn ,
且 yn与zn的极限是易求的.
2020/6/15
2
例1 求 lim( 1 1 1 ).
n n2 1 n2 2
n2 n
解： 因为 n < 1 + L + 1 < n
n2 + n
n2 + 1
n2 + n
n2
又 lim n
n lim n2 n n
(4) 对于准则I I函，数极限根据自变量的不同变化过程 (x x0 , x x0 , x , x , x ) 也有类似的 准则， 只是准则形式上略有不同. 例如，
准则I I′ 设函数f (x) 在点 x0 的某个左邻域内单调
并且有界，则
2020/6/15
f (x)
极限运算的夹逼法则
极限运算的夹逼法则
夹逼法则也称为挤压法则，是极限运算中常用的一种方法。
其核心思
想是：如果一个函数在某一点的左侧与右侧都被夹在两个不相等的函数之间，那么这个函数在这个点的极限就等于两个夹逼函数的极限，即夹逼法则。
夹逼法则通常用于解决一些比较复杂或者无法直接处理的极限问题。
下面介绍三种常见的夹逼法则：
1.两个函数夹逼法则。
如果函数f(某)在点某0的左侧和右侧都被两个函数g(某)和h(某)
夹逼着，并且这两个夹逼函数都收敛于同一个极限L，那么f(某)的极限
也必定收敛于L，即：
如果极限存在且有限，那么f(某)的极限必定是L。
2.单边夹逼法则。
在某些情况下，一个函数只在某一侧被夹逼着，此时就需要使用单边
夹逼法则。
如果函数f(某)在点某0的左侧被函数g(某)夹逼，并且g(某)收敛于同一个极限L，那么f(某)的左侧极限也必定收敛于L，即：如果极限存在且有限，那么f(某)的左侧极限必定是L。
3.双边夹逼法则。
在某些情况下，一个函数既被左侧函数夹逼，又被右侧函数夹逼，此
时就需要使用双边夹逼法则。
如果函数f(某)在点某0的左侧和右侧分别
被函数g(某)和h(某)夹逼，并且这两个夹逼函数都收敛于同一个极限L，那么f(某)的极限也必定收敛于L，即：
如果极限存在且有限，那么f(某)的极限必定是L。
夹逼法则的应用不仅局限于求解函数的极限，还可以用于证明一些数学定理以及刻画一些数学概念。
例如，利用夹逼法则可以证明无理数的存在性，也可以用它来定义连续性和数学归纳法。
由于夹逼法则便于理解，易于操作，因此被广泛应用于数学教学和研究中。
极限存在准则两个重要极限公式
令t =1x, 则:
lim(1
1
x)x
=
lim(1
1)t
=
e.
x0
t
t
此结论可推广到
1
lim1 ( x)( x) = e
xa
条件是x a时, ( x) 0，其中a可为
有限值，也可为
2020年9月1日星期二
(20ppt,scau,L.G.YUAN)
14
例5 求 lim(1 1 )x .
n2 n n2 1
又 lim n
n = lim n2 n n
1 1 1 = 1,
n
lim
n
n = lim n2 1 n
1 = 1,
1 1 n2
由夹逼定理得
lim( 1 1 L 1 ) = 1.
n n2 1 n2 2
n2 n
2020年9月1日星期二
(20ppt,scau,L.G.YUAN)
2020年9月1日星期二
(20ppt,scau,L.G.YUAN)
6
例2 证明数列 xn = 3 3 L 3 (n重根 式)的极限存在.
证: 显然 xn1 > xn , xn是单调递增的 ;
又 x1 = 3 3, 假定 xk 3, xk1 = 3 xk 3 3 3,
xn 是有界的 ;
原式
=
lim x (1
x 1 )x
x
=
e e 1
=
e2
2020年9月1日星期二
(20ppt,scau,L.G.YUAN)
16
三、小结
1.两个准则
夹逼准则; 单调有界准则 .
2.两个重要极限
10 lim sin x = 1; x0 x
两个极限存在准则和两个重要的极限
两个极限存在准则和两个重要的极限1.两个极限存在准则(1) 夹逼准则：设a, b, c为实数，如果函数f(x)在a的一些左邻域内对于一切x都有h(x)≤f(x)≤g(x)，且lim[x→a]h(x)=lim[x→a]g(x)=L，则必有lim[x→a]f(x)=L。
夹逼准则的本质是通过构造两个函数作为边界来确定原函数的极限。
(2) 单调有界准则：设函数f(x)在(a, b)上单调递增(递减)，且在(a, b)上有界，则必有lim[x→a]f(x)=sup{f(x)}(或lim[x→a]f(x)=inf{f(x)})。
单调有界准则的基本思想是通过函数的单调性和有界性来确定极限。
(1) 无穷小极限：设函数f(x)在x=a处有极限lim[x→a]f(x)=0，如果对于任意正数ε，存在对应的正数δ，使得对于所有满足0<，x-a，< δ的x，有，f(x)，<ε，那么称函数f(x)在x=a处的极限为0。
无穷小极限的重要性在于它在微积分中有广泛应用。
例如，微分定义中的导数可以看作是函数在其中一点的极限，这也符合函数在该点的变化趋势比较明显。
无穷小极限的概念使得我们能够更好地描述和理解函数在其中一点的变化情况。
(2) 无穷大极限：设函数f(x)在x=a处有极限lim[x→a]f(x)=∞，如果对于任意正数M，存在对应的正数δ，使得对于所有满足0<，x-a，< δ的x，有f(x) > M，那么称函数f(x)在x=a处的极限为无穷大。
无穷大极限的重要性在于它可以帮助我们研究函数在其中一点的增长速度和趋势。
例如，在极限定义中，我们可以通过无穷大极限来刻画函数在其中一点的无限增长或无限逼近的情况。
此外，无穷大极限也在微积分中的积分定义中有重要的应用，帮助我们理解函数的积分和面积的概念。
综上所述，极限的存在准则和重要的极限是微积分中的重要概念。
了解它们的定义和应用可以帮助我们更好地理解和分析函数在其中一点的变化情况，为进一步研究微积分和数学分析打下坚实的基础。
极限存在两个准则
极限存在两个准则
数列极限存在的两个定理
1、 夹逼定理：
若∃N ，当n>N 时，≤≤
n y n x n z 存在条件A y n n =∞→lim =A z n n =∞
→lim ，则：
A x
n n =∞→lim 2、 单调有界数列必收敛定理：
单调上升数列有上界
收敛
单调下降有下界
收敛
函数极限存在的两个定理：
1、 夹逼定理：
存在∃δ>0,在δ<−<0x x 0时，有
n y ≤≤，
n x n z 存在条件A y n x x =→0x x →0
x x → 则：
x lim =，则： A z n =lim A x
n x x =→lim 0
其他趋近过程也有类似结论 2、 单侧极限与双侧极限的关系: A x f =)(lim 0
A x f =−0
0 0 h(x)
0<x<0+δ 只能分别求两侧极限。
3、 一元函数极限不存在时常用的两种方法：
① 左右侧极限存在，但是不相等
)( x -δ<x<
x x x
求极限时，指数函数 y=
x a 反正切函数y=arctanx 反余切函数
y=arccotx 必须要求两侧的极限值。
② ⅰ、∃
→，≠； n x 0x n x 0x
不存在， )(lim n
n x f +∞→ⅱ、∃→，→，
n x 0x n y 0x 但是≠ )(lim n n x f +∞→)(lim n n y f +∞→。
函数极限存在的夹逼准则
类型的数学问题可能不适用。
无法处理无穷大情况
02 当函数极限趋于无穷大时，夹逼准则无法给出正确的
结论。
需要满足特定条件
03
使用夹逼准则需要满足一定的条件，如存在性、有限
性和顺序性，这些条件在实际应用中可能难以满足。
夹逼准则与其他极限定理的关系
01
与单调有界定理的 关系
单调有界定理可以推导出夹逼准 则，而夹逼准则也可以用来证明 单调有界定理。
利用夹逼准则求积分极限
总结词
积分夹逼准则也是利用夹逼准则的一种形式，通过比较被积函数与夹逼函数的积分值，可以确定积分 极限的存在性。
详细描述
当被积函数f(x,y)在某个区域D内单调递增或递减，且存在两个函数g(x,y)和h(x,y)，满足 g(x,y)≤f(x,y)≤h(x,y)，且g(x,y)和h(x,y)在区域D内的积分分别收敛于同一值时，则f(x,y)在区域D内的 积分也收敛于该值。
03
夹逼准则的实例
利用夹逼准则求函数极限
总结词
夹逼准则是求函数极限的重要方法之一，通过比较函数值与夹逼函数值的大小关 系，可以确定函数极限的存在性。
详细描述
当函数f(x)在某区间内单调递增或递减，且存在两个函数g(x)和h(x)，满足 g(x)≤f(x)≤h(x)，且g(x)和h(x)在该区间内分别收敛于同一值时，则f(x)也收敛于 该值。
积分级数的夹逼准则
总结词
积分级数的夹逼准则是用来判断积分级数收 敛性的重要工具。如果一个积分级数的被积 函数在某个区间上被两个同阶的函数所夹逼 ，且这两个同阶函数的积分级数收敛，则原 积分级数也收敛。
详细描述
在积分级数的夹逼准则中，关键在于找到合 适的同阶函数作为上下界，使得原积分级数 的被积函数被它们所夹逼。如果这两个同阶 函数的积分级数收敛，则原积分级数也收敛 。这个准则在研究积分级数的收敛性时非常
高等数学《极限存在准则》
证明：当
x (
, 0)
(0,
)时
,
2
2
有 0 1 cos x 2sin2 x x2 , 22
lim x2 0 , lim0 0 , lim (1 cos x) 0 ,
x0 2
x0
x0
lim cos x 1 . x0
例4 (1) 求 lim n 1n 2n 3n . n
解 n3n3 n 1n 2n 3n数 f ( x), g( x),h( x) 满足如下条件：
。
(1) 当 x U( x0 ,r) (或 | x | M ) 时 , 有 g( x) f ( x) h( x)
(2)lim g( x) A , limh( x) A
x
x
则 lim f ( x) 存在 , 且 lim f ( x) A .
即 xn a 成立,
lim n
xn
a.
一、极限存在准则
1.夹逼准则
准则Ⅰ 若数列 ( xn )n1 , ( yn )n1,(zn ) 满足下列条件： (1) yn xn zn (n 1,2,3)
(2)
lim
n
yn
a,
lim
n
zn
a,
则数列
(
xn
)n1的极
限存在,
且
lim
n
xn
a.
上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限
准则Ⅱ 单调有界数列必有极限. 几何解释:
x1 x2 x3xn xn1 A M
x
准则II实际上包含两点： 1）若{ xn } 单调增加且有上界，则 { xn } 必有极限. 2）若{ xn } 单调减少且有下界，则 { xn } 必有极限.
函数极限存在的夹逼准则(课件全)
例. 证明函数
在
内任意一点连续 .
证: x0 ( , )
y sin( x0 x ) sin x0
y 2 sin 2x cos( x0
x 2
)
x
即 这说明
x 0
0
在
内任意一点连续 .
函数
在点
连续有下列等价命题:
x 0
lim y 0
又如,
其反函数
在
在
上连续 单调 递增,
上也连续单调递增.
定理3. 连续函数的复合函数是连续的. 即： 设函数 即 于是 复合函数 且 ( x0 ) u 0 .
lim f (u )
uu 0
f [ ( x0 )]
例如,
是由连续函数链
x ( ,0) (0, )
复合而成 , 因此
sin x lim 1 x 0 x
sin x 1 lim x 0 3 x 3
sin x lim 2 x 0 x
x 2 o ( 3x ) ; sin x
～ x
又如 ，
x 2 sin 2 2 1 1 cos x lim lim 2 x )2 x 0 x0 4( x 2 2
称为间断点 .
这样的点
间断点分类:
第一类间断点: 及 若 若 第二类间断点: 均存在 , 称 称
x0 为可去间断点 . x0 为跳跃间断点 .
及
中至少一个不存在 ,
若其中有一个为 , 称
x0 为无穷间断点 . x0 为振荡间断点 .
若其中有一个为振荡 , 称
例如:
y
y tan x
2
x 为其无穷间断点 . 2
函数极限存在的夹逼准则
函数极限存在的夹逼准则夹逼准则是微积分中用于判定函数极限是否存在的重要原理。
它是一种特殊的极限判定方法，可以帮助我们证明一些函数极限的存在性。
在本文中，我们将讨论夹逼准则的基本思想、严格证明及应用。
夹逼准则的基本思想是，通过将待求的函数夹在两个已知函数之间，且这两个已知函数的极限相等，从而可以推得待求函数的极限存在并等于这个共同的极限值。
简单来说，如果一个函数在一段区间上可以被两个已知函数"夹逼"，那么这个函数的极限也存在。
具体地说，夹逼准则可以形式化为以下定理：设函数f(x)、g(x)和h(x)在区间(a, b)上定义，且对于x在(a, b)内的任意值，都有g(x) ≤ f(x) ≤ h(x)成立。
如果lim[x→c]g(x) = lim[x→c]h(x) = L，则lim[x→c]f(x)也存在且等于L。
接下来，我们给出夹逼准则的严格证明。
证明：对于函数f(x)、g(x)和h(x)，我们要证明如果lim[x→c]g(x) = lim[x→c]h(x) = L，则lim[x→c]f(x)也存在且等于L。
首先，我们给出函数f(x)、g(x)和h(x)的夹逼条件：对于x在(a,b)内的任意值，都有g(x)≤f(x)≤h(x)。
由于lim[x→c]g(x) = L，根据极限的定义，对于任意小的ε>0，存在δ1>0，使得当0 < ，x - c，< δ1时，有，g(x) - L，< ε。
同样地，由于lim[x→c]h(x) = L，根据极限的定义，对于任意小的ε>0，存在δ2>0，使得当0 < ，x - c，< δ2时，有，h(x) - L， < ε。
由于我们要证明的是lim[x→c]f(x)存在且等于L，那么我们可以先选择一个较小的δ = min(δ1, δ2)来保证要使用的x值满足上述条件。
接下来，我们取一个满足0<，x-c，<δ的x值。
函数极限存在的夹逼准则(课件全)
解析几何
夹逼准则在解析几何的具体应用
夹逼准则的发展与应用
夹逼准则有着悠久的历史渊源和不断发展的应用前景。
1 历史渊源
探讨夹逼准则的起源和发展历程
2 应用前景
展望夹逼准则在未来的应用前景
1. 定义夹逼准则 2. 夹逼定理的三个条件 3. 推导夹逼定理的过程
夹逼准则的应用
掌握夹逼准则的应用技巧，可以帮助我们更快速地求解各种函数的极限。
1
例题
通过夹逼准则求解特定函数的极限
2
实例分析
探讨夹逼准则在实际问题中的应用
3
技巧总结
总结夹逼准则的常见应用技巧和注意事项
夹逼准则的几何意义
夹逼准则在几何学中有着重要的几何意义，它可以帮助我们理解函数图像在 特定区间内的行为。 重点：夹逼准则的几何解释和应用示例
夹逼准则与其他求极限方法的 比较
夹逼准则与L'Hopital法则等其他求解函数极限的方法有着不同的特点和适用 范围。
对比：夹逼准则与其他方法的异同
夹逼准则的应用领域
夹逼准则不仅在微积分中有应用，还在代数、解析几何等领域中起到重要的作用。
微积分
利用夹逼准则计算函数极限
代数
在代数表达式中应用夹逼准则
函数极限存在的夹逼准则
函数极限存在的夹逼准则是一种重要的数学工具，它帮助我们求解各种函数 的极限，并在微积分中有广泛的应用。
函数极限的定义
在介绍夹逼准则之前，我们首先回顾一下函数极限的定义，它是刻画函数趋 近某个值时的概念。
• 重点：函数极限的定义 • 关联：函数极限与夹逼准则
夹逼准则
夹逼准则是一种常用的求解函数极限的方法，它利用一个函数夹在两个其他函数之间的关系。 特点：简单易理解、适用范围广、常用于复杂问题的求解
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A
h(x)
A
g(x)
f (x)
A
•
x0
•
r
•
•
•
x0
•
r
•
o x0 1 x0 2 ---
x0 x0 2 x0 1Leabharlann x证明0,
因 lim g(x) A, x x0
所以由极限的定义，1 0, 当 0 | x x0 | 1
时，有 | g(x) A| , 则
A g(x).
①
an
a,
lim
n
bn
b,则
⑴ nlim[an bn ] a b;
⑵ nlim[an bn ] a b;
⑶ lim an a , 其中 b 0.
b n n
b
---
二、问题
（1）设 an
1 n2 1
1 n2 2
1 n2
n
,
求极限
lim
n
an
.
（2）求极限 lim sin x . x0 x
《高等数学》
极限存在的夹逼准则
--
---
一、回顾
定理3 设 lim f (x) A,lim g(x) B,则 ⑴ lim[ f (x) g(x)] A B; ⑵ lim[ f (x) g(x)] A B; ⑶ lim f (x) A , 其中B 0.
g(x) B
定理4
设
lim
n
lim
n
an.
解 因为 而
n n2n n n2 n
an an
n ,
n 2n 1 n2 1
lim n lim 1 1, lim n lim 1 1,
n n2 n
n 1 1 n
n
n2 1
n
1
1 n2
所以，由夹逼准则得
lim
n
an
1.
---
例2 求极限 lim sin x . x0 x
A g(x) f (x) h(x) A ,
即
| f (x) A| .
注 当 x 时，
所以 lim f (x) A. x x0
定理1类似成立.
---
定理2 如果数列 {xn}, {yn} 及{zn} 满足下列条件：
(1) N0 N ,当 n N0 时，有
yn xn zn ；
---
三、夹逼准则
定理1 如果函数 f (x), g(x)及 h(x)满足下列条件：
⑴ 当x U o (x0,r), g(x) f (x) h(x),
⑵ lim g(x) A, lim h(x) A,
x x0
x x0
那么函数 f (x) 的极限存在，且 lim f (x) A.
y x x0
y
C
B
x
o
D
A
x
---
解 设 0 x , 由图知，
2
sin x BD, x AB, tan x AC.
y
C
B
因为
SAOB S扇形AOB SAOC ,
所以
1 sin x 1 x 1 tan x,
2
22
即 sin x x tan x, 对不等式进行变形有
x
o
D
Ax
cos x sin x 1, x
又因为 lim h(x) A, x x0
所以 2 0,
当0 | x x0 | 2 时，有 | h(x) A|
，则
h(x) A .
②
由条件（1）知， 当0 | x x0 | r 时，有
g(x) f (x) h(x).
③
取 min{r,1,2}, 当 0 | x x0 | 时，①， ②，③式同时成立. 故
⑵ lim g(x) A, lim h(x) A,
x x0
x x0
那么函数 f (x) 的极限存在，且 lim f (x) A. xx0
2.一个重要极限: lim sin x 1.
x0 x
五、作业
P56 4(1),(2) .
---
---
此式对 x 0 也成立. 因 limcos x 1 与 lim1 1 ，
2
x0
x0
由夹逼准则知，
lim
x0
sin x
x---
1.
四、小结
1. 夹逼准则
定理1 如果函数 f (x), g(x)及 h(x)满足下列条件：
⑴ 当 x U o (x0, r) 时，g(x) f (x) h(x)；
(2)
lim
n
yn
a,
lim
n
zn
a,
那么数列{xn } 的极限存在，且
lim
n
xn
a.
定理1和定理2称为夹逼准则(也称为两边夹法则）.
利用夹逼准则
求极限关键是构造
出合适的 yn, zn ,
或--- g(x), h(x).
四、应用
例1 设 an
1 n2 1
1 n2 2
1, n2 n
求极限