极限存在的夹逼准则
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《高等数学》
极限存在的夹逼准则
--
---
一、回顾
定理3 设 lim f (x) A,lim g(x) B,则 ⑴ lim[ f (x) g(x)] A B; ⑵ lim[ f (x) g(x)] A B; ⑶ lim f (x) A , 其中B 0.
g(x) B
定理4
设
lim
n
y
C
B
x
o
D
A
x
---
解 设 0 x , 由图知，
2
sin x BD, x AB, tan x AC.
y
C
B
因为
SAOB S扇形AOB SAOC ,
所以
1 sin x 1 x 1 tan x,
2
22
即 sin x x tan x, 对不等式进行变形有
x
o
D
Ax
cos x sin x 1, x
an
a,
lim
n
bn
b,则
⑴ nlim[an bn ] a b;
⑵ nlim[an bn ] a b;
⑶ lim an a , 其中 b 0.
b n n
b
---
二、问题
（1）设 an
1 n2 1
1 n2 2
1 n2
n
,
求极限
lim
n
an
.
（2）求极限 lim sin x . x0 x
---
三、夹逼准则
定理1 如果函数 f (x), g(x)及 h(x)满足下列条件：
⑴ 当x U o (x0,r), g(x) f (x) h(x),
⑵ lim g(x) A, lim h(x) A,
x x0
x x0
那么函数 f (x) 的极限存在，且 lim f (x) A.
y x x0
A g(x) f (x) h(x) A ,
即
| f (x) A| .
注 当 x 时，
所以 lim f (x) A. x x0
定理1类似成立.
---
定理2 如果数列 {xn}, {yn} 及{zn} 满足下列条件：
(1) N0 N ,当 n N0 时，有
yn xn zn ；
又因为 lim h(x) A, x x0
所以 2 0,
当0 | x x0 | 2 时，有 | h(x) A|
，则
h(x) A .
②
由条件（1）知， 当0 | x x0 | r 时，有
g(x) f (x) h(x).
③
取 min{r,1,2}, 当 0 | x x0 | 时，①， ②，③式同时成立. 故
A
h(x)
A
g(x)
f (x)
A
•
x0
•
r
•
•
•
x0
•
r
•
o x0 1 x0 2 ---
x0 x0 2 x0 1
x
证明
0,
因 lim g(x) A, x x0
所以由极限的定义，1 0, 当 0 | x x0 | 1
时，有 | g(x) A| , 则
A g(x).
①
⑵ lim g(x) A, lim h(x) A,
x x0
x x0
那么函数 f (x) 的极限存在，且 lim f (x) A. xx0
2.一个重要极限: lim sin x 1.
x0 x
ຫໍສະໝຸດ Baidu五、作业
P56 4(1),(2) .
---
---
(2)
lim
n
yn
a,
lim
n
zn
a,
那么数列{xn } 的极限存在，且
lim
n
xn
a.
定理1和定理2称为夹逼准则(也称为两边夹法则）.
利用夹逼准则
求极限关键是构造
出合适的 yn, zn ,
或--- g(x), h(x).
四、应用
例1 设 an
1 n2 1
1 n2 2
1, n2 n
求极限
此式对 x 0 也成立. 因 limcos x 1 与 lim1 1 ，
2
x0
x0
由夹逼准则知，
lim
x0
sin x
x---
1.
四、小结
1. 夹逼准则
定理1 如果函数 f (x), g(x)及 h(x)满足下列条件：
⑴ 当 x U o (x0, r) 时，g(x) f (x) h(x)；
lim
n
an.
解 因为 而
n n2n n n2 n
an an
n ,
n 2n 1 n2 1
lim n lim 1 1, lim n lim 1 1,
n n2 n
n 1 1 n
n
n2 1
n
1
1 n2
所以，由夹逼准则得
lim
n
an
1.
---
例2 求极限 lim sin x . x0 x
极限存在的夹逼准则
--
---
一、回顾
定理3 设 lim f (x) A,lim g(x) B,则 ⑴ lim[ f (x) g(x)] A B; ⑵ lim[ f (x) g(x)] A B; ⑶ lim f (x) A , 其中B 0.
g(x) B
定理4
设
lim
n
y
C
B
x
o
D
A
x
---
解 设 0 x , 由图知，
2
sin x BD, x AB, tan x AC.
y
C
B
因为
SAOB S扇形AOB SAOC ,
所以
1 sin x 1 x 1 tan x,
2
22
即 sin x x tan x, 对不等式进行变形有
x
o
D
Ax
cos x sin x 1, x
an
a,
lim
n
bn
b,则
⑴ nlim[an bn ] a b;
⑵ nlim[an bn ] a b;
⑶ lim an a , 其中 b 0.
b n n
b
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二、问题
（1）设 an
1 n2 1
1 n2 2
1 n2
n
,
求极限
lim
n
an
.
（2）求极限 lim sin x . x0 x
---
三、夹逼准则
定理1 如果函数 f (x), g(x)及 h(x)满足下列条件：
⑴ 当x U o (x0,r), g(x) f (x) h(x),
⑵ lim g(x) A, lim h(x) A,
x x0
x x0
那么函数 f (x) 的极限存在，且 lim f (x) A.
y x x0
A g(x) f (x) h(x) A ,
即
| f (x) A| .
注 当 x 时，
所以 lim f (x) A. x x0
定理1类似成立.
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定理2 如果数列 {xn}, {yn} 及{zn} 满足下列条件：
(1) N0 N ,当 n N0 时，有
yn xn zn ；
又因为 lim h(x) A, x x0
所以 2 0,
当0 | x x0 | 2 时，有 | h(x) A|
，则
h(x) A .
②
由条件（1）知， 当0 | x x0 | r 时，有
g(x) f (x) h(x).
③
取 min{r,1,2}, 当 0 | x x0 | 时，①， ②，③式同时成立. 故
A
h(x)
A
g(x)
f (x)
A
•
x0
•
r
•
•
•
x0
•
r
•
o x0 1 x0 2 ---
x0 x0 2 x0 1
x
证明
0,
因 lim g(x) A, x x0
所以由极限的定义，1 0, 当 0 | x x0 | 1
时，有 | g(x) A| , 则
A g(x).
①
⑵ lim g(x) A, lim h(x) A,
x x0
x x0
那么函数 f (x) 的极限存在，且 lim f (x) A. xx0
2.一个重要极限: lim sin x 1.
x0 x
ຫໍສະໝຸດ Baidu五、作业
P56 4(1),(2) .
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(2)
lim
n
yn
a,
lim
n
zn
a,
那么数列{xn } 的极限存在，且
lim
n
xn
a.
定理1和定理2称为夹逼准则(也称为两边夹法则）.
利用夹逼准则
求极限关键是构造
出合适的 yn, zn ,
或--- g(x), h(x).
四、应用
例1 设 an
1 n2 1
1 n2 2
1, n2 n
求极限
此式对 x 0 也成立. 因 limcos x 1 与 lim1 1 ，
2
x0
x0
由夹逼准则知，
lim
x0
sin x
x---
1.
四、小结
1. 夹逼准则
定理1 如果函数 f (x), g(x)及 h(x)满足下列条件：
⑴ 当 x U o (x0, r) 时，g(x) f (x) h(x)；
lim
n
an.
解 因为 而
n n2n n n2 n
an an
n ,
n 2n 1 n2 1
lim n lim 1 1, lim n lim 1 1,
n n2 n
n 1 1 n
n
n2 1
n
1
1 n2
所以，由夹逼准则得
lim
n
an
1.
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例2 求极限 lim sin x . x0 x