实变函数论习题选解

《实变函数论》习题选解

一、集合与基数

1.证明集合关系式：

（1）)()()()(B D C A D C B A --⊂---Y ； （2）)()()()(D B C A D C B A Y I I -=--； （3）C B A C B A Y )()(-⊆--；

（4）问)()(C B A C B A --=-Y 成立的充要条件是什么？

证 （1）∵c

B A B A I =-，c

c c B A B A Y I =)(（对偶律），

)()()(C A B A C B A I Y I Y I =（交对并的分配律）

， ∴)()(

)()()()(D C B A D C B A D C B A c c c

c c Y I I I I I ==---第二个用

对偶律

)()()()()()(B D C A D B C A D B A C B A c c c c c --=⊆=Y I Y I I I Y I I 交对并

分配律

.

（2）)()()

()()()(c c c

c

D B C A D C B A D C B A I I I I I I I ==--交换律

结合律

)()()()(D B C A D B C A c Y I Y I I -==

第二个用对偶律

.

（3）)()()

()()(C A B A C B A C B A C B A c c

c

c I Y I Y I I I =

==--分配律

C B A C B A c Y Y I )()(-=⊆.

（4）A C C B A C B A ⊆⇔--=-)()(Y .

证 必要性（左推右，用反证法）：

若A C ⊄，则C x ∈∃ 但A x ∉，从而D ∀，)(D A x -∉，于是)(C B A x --∉； 但C B A x Y )(-∈，从而左边不等式不成立，矛盾！ 充分性（右推左，显然）：事实上，

∵A C ⊆，∴C C A =I ，如图所示：

故)()(C B A C B A --=-Y .

2.设}1 ,0{=A ，试证一切排列

A a a a a n n ∈ ),,,,,(21ΛΛ

所成之集的势（基数）为c .

证 记}}1 ,0{),,,,,({21=∈==A a a a a a E n n ΛΛ为所有排列所成之集，对任一排列}1 ,0{ ),,,,,(21=∈=A a a a a a n n ΛΛ，令ΛΛn a a a a f 21.0)(=，特别， ]1 ,0[0000.0)0(∈==ΛΛf ，]1 ,0[1111.0)1(∈==ΛΛf ，

即对每一排列对应于区间]1 ,0[上的一个2进小数]1 ,0[.021∈ΛΛn a a a ，则f 是一一对

应（双射），从而集合E 与集合]1 ,0[对等（即E ～]1 ,0[），而对等的集合有相同的基数，故c E ==]1 ,0[.

3.证明：整系数多项式的全体是可列的（可数的）.

证 对任一N ∈n ，n 次多项式n n n x a x a x a a P ++++=Λ2210对应于一个序列：

n a a a a ,,,,210Λ，而每个)0(n i a i ≤≤取自可数集N N Z Y Y }0{-=，因此，全体n 次

整系数多项式n P 是有限个（1+n 个）可数集之并集，仍是可数的.故全体整系数多项式所构成的集合Y N

∈=

n n P P 就是可数个可数集之并集，由定理1.3.8可知：它仍是可数的.

4.设]1,0[C 表示区间]1,0[上一切连续函数所成之集，试证它的势为c .

证 首先，对任意实数R ∈k ，看作常值连续函数，]1 ,0[C k ∈，

∴ ]1 ,0[C ≤R ，即 ]1 ,0[C c ≤；

另一方面，实数列全体之集}),,,,,{(21R ∈=i n a a a a E ΛΛ的基数c E =，为证

c C ≤]1 ,0[，只需证]1,0[C 与E 的一个子集对等即可.事实上，把]1 ,0[中的有理数

]1 ,0[I Q 排列成 ΛΛ,,,,21n r r r .对任何]1 ,0[C f ∈，

则f 由它在ΛΛ,,,,21n r r r 处的值ΛΛ),(,),(),(21n r f r f r f 所完全确定.这是因为]1 ,0[ 在Q 中是稠密的，即对任何

]1 ,0[∈x ，存在上述有理数列的一个子列)(∞→→k x r k n ，由f 的连续性知：

)(lim )(k n k r f x f ∞

→=.

现在，作映射E C →]1 ,0[:ϕ，)),(,),(),(()(21ΛΛαn r f r f r f x f ，则ϕ是单射，而集E C f r f r f r f A n ⊂∈=}]1 ,0[)),(,),(),({(21ΛΛ是全体实数列E 的一个子集，故

]1 ,0[C ～E A ⊂，即 c C ≤]1 ,0[.综上可知：c C =]1 ,0[.

附注 ①若∅=21A A I ，∅=21B B I ，又1f ：1A ～1B ，2f ：2A ～2B .则存在

f ：21A A Y ～21B B Y ；假如21A A ⊂，21B B ⊂，21,f f 的意义同前，问是否存在 12A A -到12B B -的一一对应？

解 若∅=21A A I ，∅=21B B I ，令⎩⎨

⎧∈∈=,

),(,

),()(2211A x x f A x x f x f 则)(x f 就是2

1A A Y