lecture26 自旋角动量理论(I)
电子的总角动量轨道角动量自旋角动量
电子学院应用物理系王守海
对钠原子光谱，也有同样形式的四个线系公式：
主线系：
~
(
3
R s
)2
(
n
R p
)2
~ 3s np
第二辅线系：~
(3
R
p
)2
(
n
R
s
)2
~ 3 p ns
第一辅线系：~
(3
R
p )2
R
( n d
)2
~ 3 p nd
柏格曼系：
~
(
R
3 d
)2
(n
R
电子学院应用物理系王守海
二、四个线系的表达方式（有4种表达方式）
里德伯研究发现，与氢光谱类似，碱金属原子的光谱线的 波数也可以表示为二项之差：
碱金属原子的里德伯公式
~
Tm*
Tn*
R(
1 m *2
1 n *2
)
n* m*
当 n 时，系限。
~ ~ Tm* n * m* 有效量子数。
1．有效量子数
可以看出，对能级产生影响的除了R值，还有有效电荷数 Z*，通过前面的学习我们了解到R值是与核的质量联系着的， 而原子实极化和轨道贯穿导致了碱金属和氢原子之间有效电荷 的差别。当有效电荷Z*代替Z时，我们得到
光谱项为：T Z2R R R
n2
(
n Z
)2
n2
能量为：
hcR En hcTn n2
电子学院应用物理系王守海
价电子吸引原子实中的正 电部分，排斥负电部分 原子实正、负电荷的中心不 再重合 原子实极化 能量降低
l 小，b 小，极化强， 能量低
Ens Enp End Enf En
角动量理论
角动量理论角动量是一个十分重要的物理量，因为在许多情况下，它是守恒量，从而可以作为态的标志之一。
通过它的数值和变化，可以研究微观体系的一些性质和变化规律。
在原子、分子、原子核理论中都会碰到这类问题。
角动量概念最早是从经典力学中提出来的，它的定义是L r p =⨯式中 L 为角动量， r为矢径（它们都是对某定点o 来说的），p 为质点运动的动量。
在量子力学中，我们可以用相同的关系来定义角动量，只是式中各量都以相应的算符来代替，可以用这样一种对易关系来作为角动量的一般定义，即：凡是满足对易关系ˆˆˆQQ i Q ⨯= 的算符 ˆQ都叫做动量算符。
课本第五章讲到轨道角动量。
轨道角动量的引入分为俩种途径：其一是同经典角动量进行类比而引入轨道角动量;其二是在讨论空间转动对称性时引入轨道角动量。
而自旋角动量的引入则是靠假定它与轨道角动量有相同的对易关系以及2z S =±的事实。
对于空间转动，远较平移和反演复杂，课本中则是研究有限转动算符的具体表示、空间转动群及其表示，以及与角动量算符的关系。
在三维位形空间中，取三个单位矢量 123,,e e e ,则矢量r 可写成31i i i r e r ==∑转动后成为31i i i r e r =''=∑现在对r实行转动Q,Q 只作用于矢量,所以由(22.3)式得()i ii i iir Qr Qe r e r ''===∑∑ 先看基矢的转动,利用三维位形空间的完全性关系: 1i iiee =∑有()i i j j i j ji jje Qe e e Qe e Q '===∑∑ij Q 是在基矢 123,,e e e 下的转动矩阵 ()Q =111213212223313233Q Q Q Q Q Q QQ Q ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭再看在同一基矢下新老两个矢量的分量i r '与i r 之间的关系,有：i i j ji i j jiijjr e r e Q r e r '''===∑∑∑ j ji i ir Q r '=∑这是坐标轴不动时矢量在转动变换Q 作用下其分量的改变。
高等量子力学 角动量算符和角动量表象 自旋表象PPT课件
ml
2l
4
1
Pl
cos
(8.72)
式中 1,1 和 2 ,2 代表两个单位矢量的方向,而 是二矢量间
的夹角.
另一个有用公式为
eikr 4
l
il jl
kr Ylm*
ek
Ylm
er
l0 ml
2l 1il jl krPl cos
(8.73)
式中
r r r 2dr 1，
r r 1 r r
r2
sindd 1 （7.59）
1
sin
（7.62）
这 样 , 空 间 的 态 矢 量 g 可 以 有 两 种 表 象 : 表 象
g g和 lm 表象 lm g .前者是连续表象而后者是离散
表象. 球谐函数
lm Ylm,
第22页/共30页
自旋算符 S 是一个矢量厄米算符, 通常取 S 2 和 Sz 作为对易
算符完备组,讨论它们的共同本征矢量 sm .
S 2 sm ss 12 sm
Sz sm m sm
根据前面角动量的普遍讨论, 量子数 s 和 m 的可能取值如下:
s 0, 1 2, 1, 3 2, 2, m s,s 1,s 1, s 自旋与轨道角动量不同的特点是, 非复合粒子的自旋量子数 s 只能取 一个值, 例如电子 s 取1 2 ; 在基本稳定的粒子态中, 所有的轻子和
为此，引入两个算符 J 和 J ：
Ji , J j i ijk Jk
k
J J x iJ y
（8.6）
这两个算符不是厄米算符，因而它们不是物理量；但它们有很重要的作用，满足
J
J
即二者互为伴算符。它们与 J 2 和 J z 的对易关系是
电子自旋角动量和自旋磁矩PPT课件
E4 p E4d E4 f
当 l 一定时，n 大，E 小，即
E2 p E3 p 第20页E/共4 4p2页
3．双层能级中， j 值较大的能级较高。
4．碱金属原子态符号： n2s1Lj
如
n3 l 0 j 1
2
l 1 j 3
2
j1 2
l2 j 5
2
j3 2
5．单电子辐射跃迁的选择定则
32 S1/ 2
第29页/共42页
二、原子在外磁场中的附加能量
一个具有磁矩的原子处在外磁场中时，将具有附
加的能量：
E
J
B
J
B c os(J
B)
J
g
B
e
cos(J B)
BJ cos(J
B)
2m
g
e 2m
BJz
其中：
Jz
J cos(J , B)
MJ
h
2
为角动量在外场方向的分
量，是量子化的。
第30页/共42页
F qE
2．磁矩
iA 方向与 i方向满足右手螺旋关系。
均匀磁场中： F 0 M B
非均匀磁场中：
磁场方向沿 z 轴，随z 的变化为dB
dz
合力
Fz
dB dz
cos
z
dB dz
z cos ： 在外场方向的投影
z
i
第3页/共42页
3．力和力矩
力是引起动量变化的原因：
F
d
dt
M J j, j 1, j ，共 2 j 1个。
E
g
e 2m
BMJ
h
2
M
J
gB
lecture26 自旋角动量理论(I)
M z 有 (2l 1) 种可能取值 说明：
b.实验事实：
钠原子
2
基态
第一激发态
6 1
1s 2s 2 p 3s
光谱劈裂的可能原因： 自旋轨道耦合 c.理论猜测：
3p
2
1s 2 2s 2 2 p6 3 p1
5896 A
5890 A
o
o
3s
zero magnetic field !!!
Theory Possibilities for magnetic moment
3.什么是自旋： 1)自旋是基本粒子的固有属性 2)自旋是粒子的另一个自由度
(r , S z )
3)电子自旋在任意方向上的大小均为 2, 自旋的取向只有两种： Sx h 2, S y h 2, Sz h 2 4.自旋的数学描述： µ ($ 1)类似于轨道角动量,自旋角动量是矢量 S Sx,$ S y,$ Sz) 2)自旋是可观测量：$ Si
n, l, m
说明精细结构不来自于核自由度,而是来自于电子自由度
2)钠原子光谱的双线结构： a.电子磁距M与电子角动量 L 的关系的经典理论：电子轨道
角动量诱导产生电子磁距
• M iS , i 2 1 1 2 S r rd r dt • 2 20 0
q
2 x 2 y 2 z 2 2
分量形式
h $ 满足： S i i 2
$ Si
2 2 2 2 1 3 5)由3),4)得 x y z
h $ 6) Sz 的本征方程：S z 1 2 1 2 2
ˆ z 1 2 ms 1 2 1 2 7) z 的本征方程：
量子力学中的自旋角动量和轨道角动量的叠加-概述说明以及解释
量子力学中的自旋角动量和轨道角动量的叠加-概述说明以及解释1.引言1.1 概述量子力学是描述微观领域的物理学理论，它在20世纪初由一些杰出的科学家如普朗克、爱因斯坦等人奠定了基础。
在量子力学中，自旋角动量和轨道角动量是两个重要的概念。
自旋角动量是粒子固有的属性，类似于物体的自转。
它与粒子的旋转对称性有关，可以用半整数来表示。
经过实验证明，自旋角动量在微观领域中起着非常重要的作用，并且与一些基本粒子的特性紧密相关。
自旋角动量的量子化使得粒子的行为在某些情况下表现出了奇特的性质，例如自旋相互作用和贝尔不等式等。
轨道角动量是粒子的运动轨道引起的角动量，与粒子的运动速度和轨道形状有关。
它可以用整数来表示。
轨道角动量在描述粒子围绕某一点或某一轴旋转的过程中的动力学性质时非常有用。
例如，在原子物理学中，轨道角动量可以解释电子在原子轨道中的分布和运动方式。
在量子力学中，自旋角动量和轨道角动量可以进行叠加，形成新的总角动量。
这种叠加有一些独特的规则和性质，例如自旋角动量和轨道角动量相互作用会导致总角动量的取值范围发生变化。
这种角动量的叠加在理论和实验研究中非常常见，对于理解粒子行为和物理现象具有重要意义。
本文将通过介绍自旋角动量和轨道角动量的定义和性质，探讨它们在量子力学中的叠加规律和重要性。
此外，我们还将讨论量子力学中自旋角动量和轨道角动量的一些应用，并对文章进行总结和结论。
这样的研究不仅有助于深入理解量子力学的基本概念和原理，还为未来的量子技术和量子计算领域的发展提供了理论基础和实验指导。
1.2文章结构文章结构部分的内容可以包括以下内容：文章的结构是为了让读者更好地理解和组织文章内容，使其逻辑清晰、层次分明。
本文将按照以下结构展开讨论：2.正文：本部分将详细介绍自旋角动量和轨道角动量的定义和性质，并探讨它们的叠加效应。
具体包括以下几个方面的内容：2.1 自旋角动量的定义和性质：介绍自旋角动量的概念和定义，包括自旋角动量的量子化、自旋的本质和自旋之间的相关性质等内容。
原子理论中的自旋角动量
原子理论中的自旋角动量自旋角动量是原子理论中一个重要的概念，它描述了微观粒子的自旋特性。
自旋角动量与物质的性质和相互作用密切相关，对于科学研究和技术应用有着重要的意义。
1. 自旋角动量的概念和历史自旋角动量最早由Paul Dirac于1928年提出，它是描述微观粒子自旋特性的一种物理量。
自旋角动量与粒子的自旋状态密切相关，自旋可以理解为粒子围绕自身轴旋转的角动量。
与轨道角动量不同，自旋角动量并不涉及粒子的运动，而是粒子固有的性质。
2. 自旋角动量的量子化自旋角动量的量子化是指自旋的取值只能是一系列离散的数值。
根据量子力学的理论，自旋角动量的取值可以是整数或半整数，用自旋量子数s来表示。
整数自旋对应的粒子称为玻色子，半整数自旋对应的粒子称为费米子。
自旋量子数s的取值范围是0、1/2、1、3/2等。
3. 自旋角动量与磁性自旋角动量与磁性之间存在着密切的关系。
根据量子力学的理论，自旋角动量会产生磁矩，从而与外部磁场相互作用。
这种相互作用导致了磁性物质的特性，如铁磁性、反铁磁性和顺磁性。
自旋角动量的大小和方向决定了磁矩的大小和方向，进而影响了物质在外磁场下的行为。
4. 自旋角动量的实验观测自旋角动量的实验观测是通过磁共振等技术实现的。
磁共振是利用自旋角动量与外磁场相互作用的原理，通过测量粒子在磁场中的共振吸收或发射的电磁波来研究自旋角动量的性质。
磁共振技术在医学诊断、材料科学和量子计算等领域有着广泛的应用。
5. 自旋角动量的应用自旋角动量的应用涉及到多个领域。
在量子计算中，自旋角动量可以用来存储和传输信息，为实现量子比特的操作提供了基础。
在材料科学中，自旋角动量的研究可以帮助人们理解和设计新型的磁性材料，拓展磁性材料的应用领域。
此外，自旋角动量还在核物理、粒子物理和凝聚态物理等领域有着重要的应用价值。
总结：自旋角动量是原子理论中的重要概念，它描述了微观粒子的自旋特性。
自旋角动量的量子化、与磁性的关系、实验观测和应用等方面的研究对于科学研究和技术应用具有重要意义。
自旋角动量轨道角动量总角动量关系
自旋角动量、轨道角动量和总角动量是量子力学中经常讨论的重要概念。
它们之间的关系不仅在物理学中有着重要的意义，也涉及到了许多其他领域的问题。
在本文中，我将就自旋角动量、轨道角动量和总角动量之间的关系展开一次深入的探讨。
1. 自旋角动量自旋是微观粒子特有的一种内禀角动量，它不同于经典物理学中的角动量，是一种全新的物理量。
自旋可以用量子数s来描述，通常s=1/2的被称为自旋1/2粒子。
自旋对应了一个新的角动量，即自旋角动量，它是粒子旋转所带来的一种内禀角动量。
自旋角动量与粒子的自旋状态有关，具有两个投影方向，即自旋向上和自旋向下。
自旋角动量的测量值只能为ħ/2或-ħ/2。
2. 轨道角动量在量子力学中，电子在原子内的运动可以用波函数来描述，其中的位置坐标和动量算符是对易的。
由此，我们可以得出一个非常重要的结论：轨道角动量和位置、动量算符对易。
轨道角动量的大小由量子数l 来描述，取值范围为0到n-1，其中n是主量子数。
轨道角动量与电子的轨道运动有关，它的取值是量子化的，即ħ*√(l(l+1))。
轨道角动量在经典力学中对应了电子围绕原子核运动时所具有的角动量。
3. 总角动量总角动量是自旋角动量和轨道角动量之和，它对应了量子力学中的角动量算符。
总角动量的大小和夹角与自旋角动量和轨道角动量的大小和夹角有关。
总角动量的量子数可以用j来描述，其取值范围是|l-s|到l+s。
总角动量量子数的取值是离散的，而且总角动量和自旋角动量的测量值之间有一些特殊的关系。
在量子力学中，自旋角动量、轨道角动量和总角动量之间存在着一些非常有趣的关系。
通常来说，总角动量算符的本征态是由自旋和轨道角动量算符的本征态进行耦合得到的。
而总角动量和自旋角动量（或轨道角动量）之间还存在着一些相互影响和制约的关系。
对于原子中的电子来说，总角动量可以影响到能级的分裂和跃迁等现象，从而导致原子的一些特殊性质。
自旋角动量、轨道角动量和总角动量是量子力学中非常重要的概念，它们之间的关系涉及到了许多量子系统的性质和行为。
《角动量理论》课件
本PPT课件旨在介绍角动量理论，深入浅出地讲解了什么是角动量，如何计算 角动量，以及角动量守恒定律和角动量定理的应用与意义。
什么是角动量？
角动量是物体旋转运动中的重要物理量，代表物体的转动能力和转动状态。 角动量的单位是千克式
角动量定理
角动量定理是描述角动量变化的物理定律，它指出当物体受到外力矩作用时， 角动量的变化率等于力矩的大小。 这个定理在解释物体旋转时的转动动力学问题时非常有用。
前提知识
• 向量的定义和基本运算 • 力矩的定义和计算 • 运动的动量和动能
总结
角动量理论的应用广泛，不仅在物理学和工程学中有重要地位，还对现代科技的发展产生了深远影响。 通过理解和应用角动量理论，我们能更好地解释和控制旋转运动。
线性运动中的角动量计算公式是 L = mvr，其中 m 是物体的质量，v 是物体的速度，r 是物体相对于旋转 轴的距离。 旋转运动中的角动量计算公式是 L = Iω，其中 I 是物体的转动惯量，ω 是物体的角速度。
角动量守恒定律
角动量守恒定律指的是在没有外力矩作用的情况下，系统的总角动量保持不 变。 这一定律在自然界的许多现象中起到了重要作用。
自旋和角动量
e e L (SI)； M L = − L （CGS） (6.1.7) 2m 2mc e e 因而轨道运动的回转磁比率是 − (SI),或 − (CGS )。自旋回转磁比率是轨道运动回转磁比率 2m 2mc
ML = −
的两倍。 自旋是电子的一种固有的属性。千万不要认为，电子自旋是因为电子在作机械的自转引起。可 以证明，如果将电子想象成为一个电荷均匀分布的小球，由于电子的半径约为 2.8 × 10-13cm，要想使 它的磁矩由于自转而达到一个玻尔磁子，则它的表面旋转速度将超过光速。这当然是不可能的。(请 读者自己证明)电子自旋是一个新的自由度，与电子的空间运动完全无关。电子自旋是电子的内禀属 性。电子的自旋磁矩是内禀磁矩。事实上，随着人们认识的深入，越来越发现对于某些粒子，除了 时空自由度还有其他的自由度。 例如质子和中子， 除时空、 自旋外， 还有同位旋。 夸克则还具有 “味” 和“色”等自由度。不过，自旋自由度是除时空自由度外的第一个新发现。值得指出的是，电子自 旋角动量与轨道角动量不同， 电子自旋的取值是± h / 2 ,而不是 h 的整数倍。 电子自旋的 g 因子 | g s | 是 2,轨道的 | g l | 为 1。当然，自然界中也存在着自旋取 h 整数值的粒子，我们在全同粒子一章中再 作讨论。
第六章
自旋和角动量
非相对论量子力学在解释许多实验现象上获得了成功。用薛定谔方程算出的谱线频率,谱线强度 也和实验结果相符。但是，更进一步的实验事实发现，还有许多现象，如光谱线在磁场中的分裂， 光谱线的精细结构等，用前面几章的理论无法解择，根本原因在于以前的理论只涉及轨道角动量。 新的实验事实表明，电子还具有自旋角动量。 在非相对论量子力学中，自旋是作为一个新的附加的量子数引入的。本章只是根据电子具有自 旋的实验事实，在薛定谔方程中硬加入自旋。本章的理论也只是局限在这样的框架内。以后在相对 论量子力学中将证明，电子的自旋将自然地包含在相对论的波动方程——狄拉克方程中。电子轨道 角动量在狄拉克方程中不再守恒，只有轨道角动量与自旋角动量之和，总角动量才是守恒量。 本章将先从实验上引入自旋，分析自旋角动量的性质，建立包含自旋在内的非相对论量子力学 方程——泡利方程，然后讨论角动量的藕合，并进一步讨论光谱线在磁场中的分裂和精细结构，此 外还会对电子在磁场中的一些其他的有趣的重要现象做些探讨。
电子自旋角动量和自旋磁矩课件
04
自旋电子学应用
自旋电子存储器
总结词
自旋电子存储器是利用电子自旋的特性进行信息存储的设备，具有高存储密度、低能耗和长寿命等优 点。
详细描述
自旋电子存储器利用电子自旋的两种状态（向上和向下）来表示二进制信息中的0和1。通过改变电子 的自旋方向，可以实现信息的写入和读取。与传统的电荷存储方式相比，自旋电子存储器不需要依赖 电荷的移动，因此具有更快的读写速度和更高的稳定性。
在量子力学中的基础性
自旋角动量是量子力学中一个基本且 重要的物理量，是理解许多量子现象 的关键。
在固体物理中的应用
在固体物理中，电子自旋角动量对理 解材料的磁学和电子学性质至关重要 。
电子自旋角动量的历史与发展
早期发现
未来展望
自旋角动量的概念最初由乌伦贝克和 古德斯密特在1925年提出。
随着技术的进步，对电子自旋角动量 的研究和应用将更加深入和广泛。
发展自旋电子学的理论模型
01
建立精确的自旋电子学理论模型
基于量子力学和电磁学的基本原理，建立精确描述自旋电子行为的理论
模型。
02
发展高效的数值模拟方法
开发高效的数值模拟方法，对自旋电子器件进行精细化模拟和优化设计
。
03
探索自旋电子学的物理极限
通过理论分析和数值模拟，探索自旋电子学的物理极限，为新器件和新
发展历程
随着量子力学的发展，人们对自旋角 动量的理解不断深入，它在理论物理 和实验物理中都得到了广泛应用。
02
自旋磁矩的基本概念
定义与特性
定义
自旋磁矩是粒子自旋角动量与磁场的乘积，是粒子自旋的物 理量。
特性
自旋磁矩具有矢量性质，方向与自旋角动量的方向相同，大 小与粒子自旋和磁场的强度的乘积成正比。
自旋角动量
自旋角动量
动量是一个物理量。
它等于质量乘以速度，这里的速度一般是线速度（单位米/秒）。
角动量就是质量乘以角速度（单位角度/秒）。
自旋角动量就是这个角动量是由物体自旋产生的，而不是外力给它的。
关于自旋角动量目前流行的规范的说法是：这是一个新的自由度，没有经典对应，把自旋归结为经典力学的某个转动是不合适的。
但是在实际工作中，当我们要处理多个角动量偶合时，常常采用角动量的矢量模型。
说白了，就是把电子的运动想象成一个按钉的运动，即刚体力学所说的定点转动。
（不是定轴转动）。
对于核磁共振，其原理是：质量数和质子数均为偶数的原子核，自旋量子数为0，即没有自旋现象，没有磁矩，称为非磁性核。
如果自旋量子数不为0，称为磁性核。
例如，其核磁共振信号能够被人们利用的原子核，自旋量子数等于1/2，由自旋产生一个磁矩，将原子核置于外加磁场中，若原子核磁矩与外加磁场方向不同，则原子核磁矩会绕外磁场方向旋转，这一现象类似陀螺在旋转过程中绕转动轴的摆动，称为进动。
进动具有能量也具有一定的频率。
原子核进动的频率由外加磁场的强度和原子核本身的性质决定，也就是说，对于某一特定原子，在一定强度的外加磁场中，其原子核自旋进动的频率是固定不变的。
原子核发生进动的能量与磁场、原子核磁矩、以及磁矩与磁场的夹角相关，是不连续分布的能级。
当原子核在外加磁场中接受其他来源的能量（通常是通过外加射频场来提供的）输入后，当外加射频场的频率与原子核自旋进动的频率相同的时候，射频场的能量才能够有效地被原子核吸收，就会发生能级跃迁，也就是原子核磁
矩与外加磁场的夹角会发生变化。
这种能级跃迁是获取核磁共振信号的基础。
自旋和角动量PPT课件
•17
§6.2 电子的自旋算符和自旋函数
1(x,y,z,,t)
旋量波函数
或
1 (x ,y ,z ,t)(x ,y ,z , ,t)
2 (x ,y ,z ,t)(x ,y ,z , ,t)
•18
§6.2 电子的自旋算符和自旋函数
•19
§6.2 电子的自旋算符和自旋函数
•20
§6.2 电子的自旋算符和自旋函数
•38
§6.5 两个角动量的耦合
➢角动量升降算符
•39
§6.5 两个角动量的耦合
•40
§6.5 两个角动量的耦合
•41
§6.5 两个角动量的耦合
•42
§6.5 两个角动量的耦合
•43
§6.5 两个角动量的耦合
•44
§6.5 两个角动量的耦合
•45
§6.5 两个角动量的耦合
•46
§6.5 两个角动量的耦合
4
•71
§6.7 光谱线精细结构
•72
§6.7 光谱线精细结构
➢L, S耦合
•73
§6.7 光谱线精细结构
ml, ms 不是好量子数 好量子数是(n, l, j, m)
•74
§6.7 光谱线精细结构
•75
§6.7 光谱线精细结构
•76
§6.7 光谱线精细结构
•77
§6.7 光谱线精细结构
第六章自旋和角动量
▪ 光谱线在磁场中的分裂，精细结构 ▪ 揭示一个新的自由度：自旋 ▪ 角动量的叠加，无耦合表象和耦合表象 ▪ 自旋单态和三重态
•1
§6.1 电子自旋
➢斯特恩-盖拉赫 Stern-Gerlach实验
1、磁矩在磁场中的附加能量
自旋角动量公式
自旋角动量公式自旋角动量公式是描述微观粒子自旋性质的重要公式之一。
自旋是粒子的内禀性质，类似于粒子的自转。
它不同于粒子的轨道角动量，而是一种纯量，用以描述粒子的自旋状态。
自旋角动量公式的推导和应用在量子力学的研究中具有重要意义。
自旋角动量公式的推导可以从量子力学的基本原理出发。
根据量子力学的波粒二象性，粒子既具有粒子性又具有波动性。
波动性意味着粒子可以被描述为波函数，而波函数是量子力学中描述粒子状态的函数。
对于自旋角动量，我们可以假设存在一个自旋算符，用来描述粒子的自旋状态。
首先，我们定义自旋算符S，它是一个矩阵形式的算符。
自旋算符的本征值表示粒子的自旋状态，而自旋算符的本征函数则描述了粒子的自旋状态。
自旋算符满足的关系式是[S_i, S_j] = iħε_ijkS_k，其中ε_ijk是三维空间中的Levi-Civita符号。
根据自旋算符的定义，我们可以推导出自旋角动量的平方算符S^2。
S^2 = S_x^2 + S_y^2 + S_z^2，其中S_x，S_y和S_z是自旋算符的三个分量。
自旋角动量的平方算符的本征值表示了粒子自旋的大小，而自旋角动量的平方算符的本征函数描述了粒子自旋的方向。
通过对自旋角动量公式的推导，我们可以得到自旋角动量算符的本征值和本征函数。
本征值表示了粒子自旋的大小，而本征函数描述了粒子自旋的方向。
根据量子力学的基本原理，我们可以通过测量自旋算符的本征值来确定粒子的自旋状态。
自旋角动量公式在量子力学的研究中具有广泛的应用。
它可以用来描述粒子的自旋角动量，解释粒子的磁性和电子自旋等性质。
自旋角动量公式还可以用来研究自旋-轨道耦合现象，即自旋和轨道角动量之间的相互作用。
自旋角动量公式在原子物理、粒子物理和凝聚态物理等领域具有重要的应用。
在原子物理中，自旋角动量公式可以用来解释原子谱线的特征。
在粒子物理中，自旋角动量公式被用来描述粒子的自旋态和自旋相关的相互作用。
在凝聚态物理中，自旋角动量公式可以用来解释固体材料的磁性和自旋输运等现象。
lecture27 自旋角动量理论(II)
l (l 1) 3 4 m a Ylm
b Ylm a Ylm ( l m )( l m 1)
(l m)(l m 1) a Ylm1 l (l 1) 3 4 (m 1) b Ylm1 b Ylm1
g7 2 , g9 2
8.二电子体系的自旋单态和自旋三态
1)基本关系：
S S1 S2 ,
[ S1 , S2 ] 0,
S S i S,
2
[ S 2 , S ] 0.
？ x , x , y i , y i , z , z .
Lz 1 ( jz 2) 1, Lz 2 ( jz
2) 2
4)
Lz 1 ( jz 2) 1, Lz 2 ( jz
2) ( jz 2)
2) 2
a. 1 , 2 都是 Lz 的本征函数 b. ( jz
aYlm 可令 1 aYlm , 2 bYlm1 , ( , , S z ) . bYlm1
2
(1) (2) (2) (1)
S 2 (2) (1)
6)
2
(1) (2) (2) (1)
2
S 2 (1) (2) (2) (1) 2
(1) (2) (2) (1)
2
S 2 (1) (2) (2) (1) 0 0
1 1 1 0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
ms
1 0 1 0
3 1 2 (1) (2) (2) (1)
(triplet) 三态 (singlet) 单态
角动量理论
本章讨论角动量及相关内容的系统处理方法。
角动量理论对理解核、原子、分子和固体发光等谱学现象是 必须的；
散射、碰撞及束缚态等问题的处理也常常需要关于角动量方
面的考虑。
角动量的概念在核物理、粒子物理等领域有重要应用和推广。 角动量理论重要和应用广泛的原因：平动和转动是粒子运动的 基本形式；角动量是表征微观量子态的重要参数
需要计算
上式也可由Baker-Hausdorff引理算出：
由于该推导只利用了角动量的对易关系，适用于角动量高 于1/2的体系。
即对自旋1/2体系有：
类似可得： 以上结果表明，转动算符作用于态矢确实使S的期待值绕z轴转
了Φ 角
即自旋算符期待值具有与经典矢量在转动下的相同变化行为：
n 的本征值为1的本征态 九、
相当于： （可直接求解） 下面的解法是为了说明态矢的空间转动概念 设n的方位角为α，与z轴夹β 角。将自旋向上态绕y轴旋转 β ，再绕z轴旋转α，所得态矢对应于沿n轴的自旋向上态。
1 由此可见，新本征态对应先用exp(-iσ2 β/2)作用于 0 exp(-iσ3 α/2)作用的结果
Rkl是对应于给定转动的3×3正交矩阵R的矩阵元 由于方法二适用于任何J，故该性质行为不限于自旋1/2体系。
对一般的角动量算符Jk也有:
以后会知道该结果可适用于任意矢量算符。
矢量图像有利于对角动量的简明理解
三、转动2π的结果
对 有： 即
需转4π才能使态矢复原（复原<S>只需转2π）
这种奇特的相位变化是有可观测的物理效应的
自旋角动量公式
自旋角动量公式
自旋角动量（spin angular momentum）是物理学中的一个概念，表示电子在原子或分子内所具有的角动量。
它可以通过下面的公式来表示：
自旋角动量= 普朗克常数* 质量* 角速度
其中，普朗克常数是一个常数，等于h/4π，h 是普朗克常数。
质量是电子的质量，角速度是电子围绕原子或分子的轴旋转的速度。
自旋角动量的单位是纳米千克角每秒。
这个概念在物理学中有着重要的作用，用来解释许多物理现象，包括电磁辐射和化学反应。
自旋角动量是电子在原子或分子内所具有的角动量，它是物理学中的一个重要概念，用来解释许多物理现象。
自旋角动量的大小可以通过上面提到的公式来计算，公式中的普朗克常数是一个常数，等于h/4π，h 是普朗克常数，质量是电子的质量，角速度是电子围绕原子或分子的轴旋转的速度。
自旋角动量对于化学反应有着重要的作用。
例如，电子的自旋角动量
是极小的，但是当电子在原子或分子内旋转时，它们可能会产生较大的自旋角动量。
这可能会对化学反应产生影响，因为电子的自旋角动量可能会影响它们的能量状态。
自旋角动量也与电磁辐射有关。
例如，当电子在原子或分子内旋转时，它们可能会发射出电磁辐射。
这种辐射的频率可以通过自旋角动量来计算，这可能会有助于我们理解电磁辐射的特性。
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Experiment
(2 j 1)
2
j 1 2 mj 1 2 Sz h 2
d. Spin magnetic moment. (Corresponding principle) orbital spin
Sz msh h 2 lz ml h e magnetic moment M z lz B m l M z e S z ms B m 1 B 2m 2m 2
Ag 4d 10 5s1
1)Stern-Gerlach实验 a.实验结果
n=5,l=0,m=0 ①银原子基态轨道角动量对应 10 1 磁距在外场中 Ag : 4d 5s 无劈裂
②非均匀外磁场
F ( M B)
b.理论猜测：
① 所有电子的磁距绝对值大小都相同 ② 电子的某种性质只有两种取向,平行或反平行与外磁场 c.关于电子自旋： ①自旋在经典物理里没有对应量,电子是最早被探测到自旋 的微粒 ② Stern-Gerlach的实验揭示：
6)正交归一化条件:
d
Sz
3
x (r , S z , t )
2
1
7)如果哈密顿量可分解为： H H (r , t ) H (Sz ), (r , S z , t ) ( r , t ) ( S z ) 则可得：
(Sz ) c1 c2
6. 例题： 一定域电子受到沿 y 轴方向的均匀磁场 B 的作用,不考虑
3.什么是自旋： 1)自旋是基本粒子的固有属性 2)自旋是粒子的另一个自由度
(r , S z )
3)电子自旋在任意方向上的大小均为 2, 自旋的取向只有两种： Sx h 2, S y h 2, Sz h 2 4.自旋的数学描述： µ ($ 1)类似于轨道角动量,自旋角动量是矢量 S Sx,$ S y,$ Sz) 2)自旋是可观测量：$ Si
玻尔磁距
M z 有 (2l 1) 种可能取值 说明：
b.实验事实：
钠原子
2
基态
第一激发态
6 1
1s 2s 2 p 3s
光谱劈裂的可ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ原因： 自旋轨道耦合 c.理论猜测：
3p
2
1s 2 2s 2 2 p6 3 p1
5896 A
5890 A
o
o
3s
zero magnetic field !!!
Theory Possibilities for magnetic moment
2 x 2 y 2 z 2 2
分量形式
h $ 满足： S i i 2
$ Si
2 2 2 2 1 3 5)由3),4)得 x y z
h $ 6) Sz 的本征方程：S z 1 2 1 2 2
ˆ z 1 2 ms 1 2 1 2 7) z 的本征方程：
µ S µ ih S µ 满足：S
†
i 3)定义泡利矩阵：
2i , [ i , j ] i j j i 2iijk k
h 3h 1 1 2 4) S S S S ( 1)h 2 s( s 1)h 2 4 4 2 2 ( s 1 2)
轨道运动,哈密顿量表示为：H
向上 Sz
2 ,求 t 0 时的
eB S y . 设 t 0 时电子自旋 m
Sx , S y , Sz .
6. 例题： 一定域电子受到沿 y 轴方向的均匀磁场 B 的作用,不考虑
eB 轨道运动,哈密顿量表示为：H S y . 设 t 0 时电子自旋 m 向上 Sz 2 ,求 t 0 时的 S x , S y , S z .
2
cos 2t.
解： 1 1)初始态： (0)
0
2) S y 的本征态为：
0 i Sy y 2 2i 0
2
1 i 1 i , . 2 1 21 2
2
3) (0) 按
,
1 i i (0) 2 的展开： 2 2 2 2 0
5. 自旋波函数(spinor 自旋子) 1)在 $ S z 表象,自旋波函数可以展开为： (Sz ) c1 c2 .
2)正交归一化条件：
sz h 2
( sz ) 1 c1 c2 1.
2
2
2
3)微观粒子波函数： (r , Sz , t ). (spinor 自旋子) 4) (r , S z , t ) 按自旋 z 分量有两个分量： h h (r , , t ), (r , , t ). 2 2 5)习惯上：
angular momentum
e. Experimental fact. An electron with spin h 2 has a magnetic moment of B .
f. Introduction of Lande factor
q Mg J, 2m
1, g 2,
( for orbital angular momentum ) ( for spin angular momentum )
9)泡利矩阵的确定
a b a.令： x , c d
z x x z
a d 0.
b 0
0 b b. x c 0 x† x
cb
ei 0
*
0 x * b
2 x
0 c.所以： x i e
4) (t ) e
i Ht
(0) e
it
i i it e 2 2 2 2
e
5) S x
it
i i it e 2 1
i i eB . 2 1 2m
2
sin 2t , S y 0, S z
•
S z 表象中的泡利矩阵 d.令 0 可得 $
y i z x
1
0 y i i e
ei . 0
b 1
2
1 0 0 i 0 1 x , y i 0 , z 0 1 . 1 0
1 ms 1, 1 2 . 0 0 ms 1, 1 2 . 1
S z ( z ) 在自身表象中为对角矩阵： 8) $
h 1 0 $ Sz , 2 0 1
1 0 z . 0 1
q
i
d
S r
•
1 L 2 mr dt 对于中心力场 L 守恒 2m 0 2m eh q e (SI) M L L l (l 1) B , B 2m 2m 2m
e e Mz Lz ml h B ml , ml 0, 1, L , l. 2m 2m
自旋角动量理论
1.自旋假设： Goudsmit 和 Uhlenbeck于1925年,为了解释当时的一些实验现象, 提出自旋假设： 每个电子都有一个不同于轨道角动量的内禀角动量,称为 自旋角动量,每个电子自旋对应特定的磁距,大小等于玻尔磁子
B 磁距：
eh 2m
轨道磁距大小：
2.两个实验：
ml l (l 1) B
磁场作用于原子上会产生精细结构光谱,即
不再构成完备系 ③ 核角动量磁距与玻尔磁距的比较很小
n, l, m
说明精细结构不来自于核自由度,而是来自于电子自由度
2)钠原子光谱的双线结构： a.电子磁距M与电子角动量 L 的关系的经典理论：电子轨道
角动量诱导产生电子磁距
• M iS , i 2 1 1 2 S r rd r dt • 2 20 0
(r , h 2, t ) 1 0 (r , S z , t ) (r , h 2, t ) (r , h 2, t ) (r , h 2, t ) 0 1
(r , h 2, t ) (r , h 2, t ) .