lecture26 自旋角动量理论(I)

q
i
d
S r
•
1 L 2 mr dt 对于中心力场 L 守恒 2m 0 2m eh q e (SI) M L L l (l 1) B , B 2m 2m 2m
e e Mz Lz ml h B ml , ml 0, 1, L , l. 2m 2m
9)泡利矩阵的确定
a b a.令： x , c d
z x x z
a d 0.
b 0
0 b b. x c 0 x† x

cb
ei 0
*
0 x * b
2 x
0 c.所以： x i e
•
S z 表象中的泡利矩阵 d.令 0 可得 $
y i z x

1
0 y i i e

ei . 0
b 1
2
1 0 0 i 0 1 x , y i 0 , z 0 1 . 1 0
轨道运动,哈密顿量表示为：H
向上 Sz
2 ,求 t 0 时的
eB S y . 设 t 0 时电子自旋 m
Sx , S y , Sz .
6. 例题： 一定域电子受到沿 y 轴方向的均匀磁场 B 的作用,不考虑
eB 轨道运动,哈密顿量表示为：H S y . 设 t 0 时电子自旋 m 向上 Sz 2 ,求 t 0 时的 S x , S y , S z .
自旋角动量理论
1.自旋假设： Goudsmit 和 Uhlenbeck于1925年,为了解释当时的一些实验现象, 提出自旋假设： 每个电子都有一个不同于轨道角动量的内禀角动量,称为 自旋角动量,每个电子自旋对应特定的磁距,大小等于玻尔磁子
B 磁距：
eh 2m
轨道磁距大小：
2.两个实验：
ml l (l 1) B
angular momentum
e. Experimental fact. An electron with spin h 2 has a magnetic moment of B .
f. Introduction of Lande factor
q Mg J, 2m
1, g 2,
( for orbital angular momentum ) ( for spin angular momentum )
1 ms 1, 1 2 . 0 0 ms 1, 1 2 . 1
S z ( z ) 在自身表象中为对角矩阵： 8) $
h 1 0 $ Sz , 2 0 1
1 0 z . 0 1
4) (t ) e
i Ht
(0) e
it
i i it e 2 2 2 2
e
5) S x
it
i i it e 2 1
i i eB . 2 1 2m
2
sin 2t , S y 0, S z
Experiment
(2 j 1)
2
j 1 2 mj 1 2 Sz h 2
d. Spin magnetic moment. (Corresponding principle) orbital spin
Sz msh h 2 lz ml h e magnetic moment M z lz B m l M z e S z ms B m 1 B 2m 2m 2
5. 自旋波函数(spinor 自旋子) 1)在 $ S z 表象,自旋波函数可以展开为： (Sz ) c1 c2 .
2)正交归一化条件：
sz h 2

( sz ) 1 c1 c2 1.
2
2
2
3)微观粒子波函数： (r , Sz , t ). (spinor 自旋子) 4) (r , S z , t ) 按自旋 z 分量有两个分量： h h (r , , t ), (r , , t ). 2 2 5)习惯上：
2
cos 2t.
6)正交归一化条件:
d
Sz
3
x Leabharlann Baidu(r , S z , t )
2
1
7)如果哈密顿量可分解为： H H (r , t ) H (Sz ), (r , S z , t ) ( r , t ) ( S z ) 则可得：
(Sz ) c1 c2
6. 例题： 一定域电子受到沿 y 轴方向的均匀磁场 B 的作用,不考虑
解： 1 1)初始态： (0)
0
2) S y 的本征态为：
0 i Sy y 2 2i 0


2
1 i 1 i , . 2 1 21 2
2
3) (0) 按
,
1 i i (0) 2 的展开： 2 2 2 2 0
(r , h 2, t ) 1 0 (r , S z , t ) (r , h 2, t ) (r , h 2, t ) (r , h 2, t ) 0 1
(r , h 2, t ) (r , h 2, t ) .
Ag 4d 10 5s1
1)Stern-Gerlach实验 a.实验结果
n=5,l=0,m=0 ①银原子基态轨道角动量对应 10 1 磁距在外场中 Ag : 4d 5s 无劈裂
②非均匀外磁场
F ( M B)
b.理论猜测：
① 所有电子的磁距绝对值大小都相同 ② 电子的某种性质只有两种取向,平行或反平行与外磁场 c.关于电子自旋： ①自旋在经典物理里没有对应量,电子是最早被探测到自旋 的微粒 ② Stern-Gerlach的实验揭示：
µ S µ ih S µ 满足：S
†
i 3)定义泡利矩阵：
2i , [ i , j ] i j j i 2iijk k
h 3h 1 1 2 4) S S S S ( 1)h 2 s( s 1)h 2 4 4 2 2 ( s 1 2)
2 x 2 y 2 z 2 2
分量形式
h $ 满足： S i i 2
$ Si

2 2 2 2 1 3 5)由3),4)得 x y z
h $ 6) Sz 的本征方程：S z 1 2 1 2 2
ˆ z 1 2 ms 1 2 1 2 7) z 的本征方程：
磁场作用于原子上会产生精细结构光谱,即
不再构成完备系 ③ 核角动量磁距与玻尔磁距的比较很小
n, l, m
说明精细结构不来自于核自由度,而是来自于电子自由度
2)钠原子光谱的双线结构： a.电子磁距M与电子角动量 L 的关系的经典理论：电子轨道
角动量诱导产生电子磁距
• M iS , i 2 1 1 2 S r rd r dt • 2 20 0
玻尔磁距
M z 有 (2l 1) 种可能取值 说明：
b.实验事实：
钠原子
2
基态
第一激发态
6 1
1s 2s 2 p 3s
光谱劈裂的可能原因： 自旋轨道耦合 c.理论猜测：
3p
2
1s 2 2s 2 2 p6 3 p1
5896 A
5890 A
o
o
3s
zero magnetic field !!!
Theory Possibilities for magnetic moment
3.什么是自旋： 1)自旋是基本粒子的固有属性 2)自旋是粒子的另一个自由度
(r , S z )
3)电子自旋在任意方向上的大小均为 2, 自旋的取向只有两种： Sx h 2, S y h 2, Sz h 2 4.自旋的数学描述： µ ($ 1)类似于轨道角动量,自旋角动量是矢量 S Sx,$ S y,$ Sz) 2)自旋是可观测量：$ Si