数学物理方程与特殊函数-模拟试题及参考答案
数学物理方程练习题第七版(学生用)
= u(0, t) 0= , ux (2,t) 1,
u(x= ,0)
cos π x + x3 − 3x2 − x.
2
3．求定解问题的解：
u
x= x + u yy
sinπ x,
0 < x < 1, 0 < y < 1,
= u(0, y) 1,= u(1, y) 2,
u(x,0) =1+ x,
7
u
rr
+
1 u
r
r
+
1 r2
uθθ
= 0,
u= (1,θ ) A cosθ (−π < θ ≤ π ).
4. 设 A, B 为常数，用试探法求如下定解问题的解：
u rr
1 +rur
+
1 r2
u
θθ
=
0,
r < a,
u r= =a A cosθ + B sinθ (−π < θ ≤ π ).
练习十五
练习六
1．求解如下定解问题：
ut = uxx + cosπ x, (0 < x < 1, t > 0), u= x (0,t) u= x (1,t) 0, u(x,0) = 0.
3
2．求解如下定解问题：
= u tt
a2u
xx
+
t
sin
π l
x
,
u= (0,t) u= (l,t) 0, t ≥ 0,
X= ′(0)
X= (l)
0.
3. 求如下定解问题的解：
= ut uxx , 0 < x < 2, t > 0, ux= (0, t) u= (2, t) 0,
数学物理方程第一章、第二章习题全解
18
数学物理方程与特殊函数导教·导学·导考
2δρ ut ( x , 0 ) = k ( c - δ≤ x ≤ c + δ) 在这个小段外,初速度仍为零, 我们想得到的是 x = c 处受到冲 击的初速度 , 所 以 最后 还 要 令 δ→ 0。此 外 , 弦是 没 有 初 位 移的 , 即 u( x, 0) = 0 , 于是初始条件为
3. 有一均匀杆 , 只要杆中任一小段有纵向位移或速度 , 必导致 邻段的压缩或伸长, 这种伸缩传开去, 就有纵波沿着杆传播, 试推导 杆的纵振动方程。
解 如图 1 9 所示, 取杆
长方向为 x 轴正向, 垂直于杆长
方向的 各截 面 均 用 它 的 平 衡 位 置 x 标记 , 在时刻 t, 此截面相对
u( x, 0) = 0 0,
ut ( x , 0 ) = δkρ,
| x - c| >δ | x - c | ≤ δ (δ→ 0)
所以定解问题为
utt - a2 uxx = 0
u(0 , t) = u( l, t) = 0 u( x, 0) = 0 , ut ( x , 0 ) =
0, | x - c| > δ δkρ, | x - c | ≤ δ (δ→ 0 )
16
数学物理方程与特殊函数导教·导学·导考
第一章 课后习题全解
1 .4 习题全解
1. 长为 l 的均匀杆 , 侧面绝缘 , 一端温度为零 , 另一端有恒定热
流 q进入 ( 即单位时间内通过单位截面积流入的热量为 q) , 杆的初始
温度分布是 x( l 2
x) ,试写出相应的定解问题。
解 见图 1 8, 该问题是一维热传导方程, 初始条件题中已给
u x
数学物理方程与特殊函数试题及答案
数学物理方程与特殊函数试题及答案猜你喜欢： 1. 2. 3. 4. 5.数学物理方程与特殊函数是一门专业性比拟强的课程，要学好这门课程，同学们还是要用心去学才能学好数学物理方程与特殊函数。
下面是给大家的数学物理方程与特殊函数试题及答案，欢送大家学习参考。
1.对于一般的二阶线性偏微分方程0(1) 它的特征方程为，假设在域内ACB那么此域内称(1) 椭圆型假设在域内B那么此域内称(1)为抛物型假设在域内 B 那么此域内称(1)为双曲型。
2. 第一类格林公式第二类格林公式 . 已那么 ;而函数按1xP的展开式4.一维热传导方程可用差分方程似代替。
二维拉普拉斯方程可用差分方0 近似代替。
5. 勒让德多项式的正交性???。
二.用别离变量法求?的解。
(15分) 解：用别离变量法求解，先设满足边界条件且是变量被别离形式的特解为tTxXtxu?代入方程(1)上式左端不含有x，右端不含有t，从而得到两个线性常微分方程解(6)得 x由(2)得，及相应的固有函数为xlnBxXnn?sin? 7?? ，再由(5)得，? 由(7)，(8)得由(1)，(3)得又由(3) 得所以，原定解问题的解为?三.求方程? 的解。
(15分) 解：对(1)两端积分的通解为任意二阶可导函数，令(4)满足(2)，(3)得解之得6(5)，(6)代入(4)得u 四.求柯西问题的解。
(12分) 解;先确定所给方程的特征线。
为此，写出它的特征方程 dy2-2dxdy-3dx20 它的两族积分曲线为作特征变换4?经过变换原方程化它的通解为中21ff 是两个任意二次连续可微的函数。
方程(1)的通解为由(2。
数学物理方程与特殊函数第五版
数学物理方程与特殊函数第五版1量子力学方程和特殊函数量子力学方程和特殊函数是数学物理学中非常重要的概念，它们被用来表达物理系统的运动方式以及物理里面的函数运算。
它们是现代数学物理的基础和重要的概念，从相对论到量子化认识的物理理论，数学物理学家都使用这些方程和函数。
2量子力学方程无论使用什么物理理论，量子力学方程都是免不了的。
它的出现可以说是相对论的另一个重要突破，它模拟了量子效应，在显微镜下认识微观世界，有助于科学家们进行更深入的研究。
量子力学方程主要有Schrödinger方程、Heisenberg方程、Pauli方程、Fermi–Dirac方程等等，用于描述物理里面的粒子之间的相互作用、以及物理系统的动态演变。
3特殊函数特殊函数是指在数学物理学中定义的函数，它们中有很多是现代数学物理学家发明的，如对数函数、指数函数、分式函数、圆函数、椭圆函数等等。
这些函数以简单的公式来定义某种类型的函数，可以用来解决相关的理论物理学问题和方程，用来计算物理量与动作等。
特殊函数也可以用来表示物理学里面某个系统的特殊性能，如量子级数和分子振动频率等。
4《数学物理方程与特殊函数》《数学物理方程与特殊函数》是现代数学物理的一本重要的参考书，主要介绍了量子力学方程以及更多的特殊函数，如对数函数、指数函数、泊松分布、玻尔兹曼分布等。
书中深入浅出的介绍了这些函数的原理和运用，对数学物理学家有很大的帮助，其内容不仅仅是广受欢迎的数学物理理论，同样也包括了实际应用，有助于理解这些理论和函数的实际用途。
5总结量子力学方程和特殊函数在现代数学物理学里非常重要的概念，通过他们，我们研究物理系统的运动，模拟量子效应，了解微观世界，进一步深入物理实验，进而让物理学发展出更多不同的方向和理论。
《数学物理方程与特殊函数》是一本重要的参考书，介绍量子力学和特殊函数，并结合实际应用，为我们探求物理真理之路提供重要依据。
西安邮电大学期末数理方程试题+答案
数学物理方程与特殊函数09级试题选讲一、求解定解问题22200,0,(0,0)x x lt u u a t x u u x l t xx u x ===춶=ﶶﶶï==<<>í¶¶ïï=ïî)()(),(t T x X t x u =)()()()(2t T x X a t T x X ¢¢=¢22)()()()(b -=¢¢=¢x X x X t T a t T 0>b 设，代入原方程得，则)()(22=+¢t T a t T b 0)()(2=+¢¢x X x X b 则，0x x lu u xx==¶¶==¶¶'(0)'()0X X l Þ==又因为得固有值问题2()()0'(0)'()0X x X x X X l b ¢¢ì+=í==î22)(ln pb =()cos 0,1,2,n n n xX x A n lp ==则固有值固有函数，数学物理方程与特殊函数09级试题选讲)()()(2=+¢t T la n t T p 2()()n a tl n T t C ep -Þ=2()01(,)cosn a tln n n x u x t C C elp p ¥-==+å从而0t ux==有因为01cosnn n x x C C lp ¥==+å所以220022[(1)1]cos 12n ln l n x l C x dx l l nl C xdx lp p --====òò2()2212(1)1(,)cos 2n a ntln l l n xu x t enlp p p¥-=--=+å数学物理方程与特殊函数09级试题选讲二、求解定解问题2222,,0(),0(),0(0)(0)t x t x u ut x t t t x ux x u x x =-=춶=-<<>ﶶïï=F £íï=Y ³ïïF =Y î解：特征变换为x t x tx h =-ìí=+î2u x h¶=¶¶原方程化为12()()u f f x h =+则它的通解为00(),()()(),()()2222t xt x ux u x u u h x x h x h x h=-====F =Y +-Þ=F =F =Y =Y 又因为数学物理方程与特殊函数09级试题选讲1212(0)()()2()(0)()2f f f f h h xx +=Y +=F 2112()()(0)2()()(0)2f f f f h h x x ì=Y -ïïÞíï=F -ïî12()()((0)(0))22()()(0)22u f f x t x tx h=F +Y -+-+=F +Y -F 则它的解为三、求解定解问题)0,(,0,3,03202022222>+¥<<-¥ïïïîïïíì=¶¶==¶¶-¶¶¶+¶¶==y x y ux u y uy x u x u y y 解：原方程的特征方程为22()23()0dy dydx dx --=13C x y +=2C x y +-=，则特征线为3x y x yx h =-ìí=+î特征变换20ux h¶=¶¶原方程化为12()()u f f x h =+则它的通解为数学物理方程与特殊函数09级试题选讲12(,)(3)()u x y f x y f x y =-++即203,y y u ux y==¶==¶又因为21212(3)()3(3)()0f x f x xf x f x ì+=í¢¢-+=î则可得C x x f¢-=2149)3(C x x f ¢+=2243)(C x x f¢-=2141)(222234)(34)3(),(yx y x y x y x u +=++-=22()()C Du vv u u v d v u ds n n s ¶¶Ñ-Ñ=-¶¶òòò 四、证明平面上的格林公式其中n 为曲线的外法线向量。
数理方程习题讲议
a 2 n 2 2 l2
t
n cos x l
数学物理方程与特殊函数
习题
2 u 2 u , 0 x l, t 0 a 2 a 2 n 2 2 t x t n 2 l u ( 0 , t ) u ( l , t ) u C0 Cn e cos x 0 , 0 , t 0 l n 1 x x 0 xl u ( x,0) x, 1 l l n C x d x 0 0 u ( x,0) x C C cos x
a2 于 是: c
令:
u j r 2 u a 2 t x c
2 2
Байду номын сангаас
数学物理方程与特殊函数
习题
习题2:长为 l 的均质杆,两端受压从而长度缩为 l (l 2 ) 放手后,杆自由振动,试写出该问题的定解问题。
解:因为杆作纵向自由振动,即无外力的作用,其泛 定方程为齐次波动方程。
数学物理方程与特殊函数
习题
习题3 设弦的两端固定于x=0及x=l，弦的初始位移如图所示，初速度为 零，没有外力作用，求弦作横向振动时的位移函数u(x,t)。 2 2u 2 u , 0 x l, t 0 2 a 2 x t u (0, t ) 0, u (l , t ) 0, t 0 u ( x,0) 0, 0 xl t u( x, t ) X ( x)T (t ) h 2 x, XT a X T 0 xc c u ( x,0) X 1 T h c xl 2 l x , X a T l c X X 0 X (0) 0, X (l ) 0 2 T a T 0 X X 0, 0 x l u (0, t ) X (0)T (t ) 0 X (l ) 0 X (0) 0, u (l , t ) X (l )T (t ) 0
数理方程与特殊函数(10-11-2A)参考答案
10---11-2 数学物理方程与特殊函数（A 卷）参考答案一．填空题1，自由项，齐次方程，非齐次方程，初值条件，（第三类）边界条件，初边值（混合）问题； 2，函数()t z y x u u ,,,= 1），具有二阶连续偏导函数；2），满足方程； 3，()xt t x w =,；4，)cos(t x π-；5，[]1,1-，t x t ≤≤-；6，4122≤+<y x ；122<+y x ； 7，()x x 35213-；()32331481-x dxd ；无界的； 8，⎪⎩⎪⎨⎧=+≠;,122,,0n m n n m ()()().,2,1,021211 =+⎰-n dx x P x f n n 二．解：相应方程的特征方程为：0)(2)(322=-+dt dxdt dx ，即：31=dt dx ，1-=dtdx。
由此得积分曲线：13C t x =-，2C t x =+。
作特征变换：t x -=3ξ，t x +=η，则：ηξ∂∂+∂∂-=∂∂u u t u ，ηξ∂∂+∂∂=∂∂u u x u 3；22222222ηηξξ∂∂+∂∂∂-∂∂=∂∂u u u t u ， 22222223ηηξξ∂∂+∂∂∂+∂∂-=∂∂∂u u u x t u ，222222239ηηξξ∂∂+∂∂∂+∂∂=∂∂uu u x u 。
代入原方程，整理得：02=∂∂∂ηξu，则通解为：()()ηξ21f f u +=，其中21,f f 是任意两个连续二次可微函数。
因此原方程通解为： ()()()t x f t x f t x u ++-=213,。
由初值条件有： ()()22133x x f x f =+，()()0321='+'-x f x f 。
由微分方程有：()()C x f x f =-2133 因此 ()449321Cx x f +=，()44121C x x f +=，()44322C x x f -=。
《三年高考两年模拟》数学(理科)汇编专题：2.7函数与方程(含答案解析)
当 a≥０时， f ′(x) ，≥０f(x) 单调递增，必有一个实根，④⑤正确； 当 a<0 时，由于选项当中 a＝－ 3，∴只考虑 a＝－ 3 这一种情况， f ′(x＝) 3x2－ 3＝ 3(x ＋ 1)(x
－ 1)，∴ f(x) 极大 ＝ f( － 1)＝－ 1＋ 3＋ b＝ b＋2， f(x) 极小 ＝ f(1) ＝ 1－ 3＋ b＝ b－ 2，要有一根， f(x)
f(x)
＝
x 2＋
ex－
1 2(x<0)
与
g(x) ＝ x 2＋ ln(x ＋ a)的图象上存在关于
y
轴对称的点，则 a 的取值范围是 ( )
A.
－∞， 1 e
B. (－ ∞， e)
C.
－
1， e
e
D. －
e， 1 e
|x|， x≤ｍ， 4.(2016 山·东， 15)已知函数 f(x) ＝ x 2－ 2mx ＋ 4m， x>m ， 其中 m>0，若存在实数 b，使得关
()
A.4
B.2
C.－ 4
D.与 m 有关
|x|
7. (2015 ·南昌二模 )已知函数 y＝ f(x) 是周期为 2 的周期函数，且当 x∈ [－ 1， 1]时， f(x) ＝ 2
－ 1，则函数 F(x) ＝ f(x) － |lg x|的零点个数是 ( )
A.9
B.10
C.11
D.18
8.(2016 广·西南宁模拟 )已知函数 f(x) ＝ ax＋ x－b 的零点 x 0∈ (n， n＋1)(n ∈ Z)其中常数 a，b
满足 2a＝ 3， 3b＝ 2，则 n＝ ________.
2x－ 1， x>0， 9.(2016 天·津南开中学模拟 )已知函数 f(x) ＝ － x 2－ 2x， x≤０，若函数 g(x) ＝ f(x) －m 有 3 个零
数学物理方程与特殊函数 华中科技大学 数理方程复习
8
下午3时11分
HUST 数学物理方程与特殊函数
复习
4. 求解下列定解问题 x 0, y 0 u xy 1, u (0, y ) y 1, y 0 u ( x,0) 1, x0 解法一（积分变换法） 记 Ly [u( x, y)] U ( x, p) ，则 d d 1 x pU ( x, p) 1 1 p U ( x, p ) U ( x, p ) 2 C dx p dx p p 1 1 由于 U (0, p) Ly [ y 1] 2 ，于是 U ( x, p) x 1 1 p p p2 p2 p 从而所求解为：
u (0, t ) X (0)T (t ) 0 u (l , t ) X (l )T (t ) 0
1
X X 0, 0 x l X (l ) 0 X (0) 0,
下午3时11分
HUST 数学物理方程与特殊函数
复习
0
X X 0, 0 x l X (l ) 0 X (0) 0, X 0 X ( x) Ax B AB0
X X 0
4
T a 2 T 0
X X 0 0 x l X (0) 0, X (l ) 0下午3时11分
HUST 数学物理方程与特殊函数
复习
X X 0 0 x l X (l ) 0 X (0) 0, 0 X Ax B X B0 X 0 X A sin x B cos x 2 0 X 2 X 0 X (0) A 0 X (l ) B sin l 0 2 n n n 2 x n n , n 1,2,3, X n Bn cos n l l l T a 2T 0
数理方程课后习题(带答案)
u0 X0T0 B0A0 C0
0
Tn
a2n22
l2
Tn
0
a2n22 t
Tn Ane l2
un XnTn
ABea2nl222t nn
cons l
xCea2nl222t n
cosn
l
x
un 0unC 0n 1Cnea2n l2 22tconlsx
数学物理方程与特殊函数
第2章习题选讲
u(uutx(,0x0,)at)2xx,20u2,,u(lx,t) 0,
由此可得：w (x)1
xt
dt
f()dC xA ,
a2 0 0
其中
C1 l(BAa 1 2 0 ldt0 tf()d),
数学物理方程与特殊函数
第2章习题选讲
然后用分离变量解
v(vt0,t)a2
2v x2 , 0, v(l,
t)
0,
0 x l,t 0 t 0
v(x,0) g(x) w(x), 0 x l
0xl1,0yl2 0yl2
u(x,0)0,u(x,l2)(x), 0xl1
uXY
XX0,
X(0)X(l1)0
0xl1
YY0
n n2 nl1 2,n1,2,3,L
n
Xn An sin l1 x
Yn
n2 2
l12
Yn
0
ny
ny
Yn Cnel1 Dne l1
数学物理方程与特殊函数
第2章习题选讲
un 1unn 1Cnenl1 yD nenl1 ysinnl1 x u(x,0)n 1CnDnsinnl1x0 u(x,l2)(x)n 1 C nenl1l2D nenl1l2 sinn l1x
数学物理方程第一章、第二章习题全解
u x
d
x,
因此小段( x, x + d x) 的伸长( 压缩 ) 为 ud x, 其相对 伸长 (压 缩) 为 x
u x
,
即
x 点处的应变为
u x
(
x,
t)
。若 略
去垂
直杆 长方
向
的形
变
,
根
据
Hooke 定律 , 应力与应变 u 成正比 , 即 x
P=
E
u x
比例系数 E 称为杆的杨氏模量,故所求的纵振动方程为
18
数学物理方程与特殊函数导教·导学·导考
2δρ ut ( x , 0 ) = k ( c - δ≤ x ≤ c + δ) 在这个小段外,初速度仍为零, 我们想得到的是 x = c 处受到冲 击的初速度 , 所 以 最后 还 要 令 δ→ 0。此 外 , 弦是 没 有 初 位 移的 , 即 u( x, 0) = 0 , 于是初始条件为
h c
x
l
h -
c(
l
-
x)
(0 ≤ x ≤ c) ( c < x ≤ l)
ut ( x, 0) = ψ( x ) = 0
则 u( x, t) 是下列定解问题的解 :
utt - a2 uxx = 0
( 0 < x < l, t > 0)
u( x, 0) = φ( x ) , ut ( x, 0 ) = ψ( x )
nπl x
= φ( x )
得
∫ An =
2
l
φ(
x) sin
nπx d x
=
l0
l
∫ ∫ 2 l h xsin nπxd x + 2 l h ( l - x ) si n nπxd x =
数学物理方程练习题第九版(学生用)
u(r, π=) 2
0,
0 < r < 1,
u(1,θ )=
θ (π −θ ), 2
0<θ < π . 2
练习六
3
1．求解如下定解问题：
ut = uxx + cosπ x, (0 < x < 1, t > 0), u= x (0,t) u= x (1,t) 0, u(x,0) = 0.
2．求解如下定解问题：
《数学物理方程与特殊函数》习题
练习一
1．写出长为 L 的弦振动的边界条件和初始条件：
（1）端点 x = 0, x = L 是固定的；
（2）初始状态为 f (x) ；
（3）初始速度为 g(x) ； （4）在任何一点上，在时刻 t 时位移是有界的. 2．写出弦振动的边界条件：（1）在端点 x = 0 处，弦是移动的，由 g(t) 给出；（2） 在端点 x = L 处，弦不固定地自由移动. 3． 验证函数 u = f (xy) 是方程 xux − yu y = 0 的解，其中 f 是任意连续可微函数.
保持零度，而外圆温度保持 u0 (u0 > 0) 度，试求稳恒状态下该导热版的温度分布
规律 u(r,θ ) . 问题归结为在稳恒状态下，求解拉普拉斯方程 ∆u= uxx + uy问题：
u1r (∂r∂1r,θ= )r
∂u ∂r
0,
+ 1 ∂2=u r 2 ∂θ 2 u(r2 ,θ=)
= u(0, t) s= in t, ux (π ,t) 0,
u(x,0) = 0.
4
3. 求解以下定解问题：
= uu= (t0,tu) xx
+2ux , u= (1, t )
数学物理方程与特殊函数第五版王元明课后答案
数学物理方程与特殊函数第五版王元明课后答案1.设f(x)=x3+bx+c是[-1,1]上的增函数，且f(-12)f(12)<0，则方程f(x)=0在[-1,1]内( )a.可能将存有3个实数根b.可能将存有2个实数根c.有唯一的实数根d.没有实数根解析：由f -12f 12<0得f(x)在-12，12内有零点，又f(x)在[-1,1]上以增函数，∴f(x)在[-1,1]上只有一个零点，即方程f(x)=0在[-1,1]上有唯一的实根.答案：c2.(长沙模拟)已知函数f(x)的图象是连续不断的，x、f(x)的对应关系如下表：x 1 2 3 4 5 6f(x) .13 15. -3.92 10.88 -52. -.则函数f(x)存有零点的区间存有( )a.区间[1,2]和[2,3]b.区间[2,3]和[3,4]c.区间[2,3]、[3,4]和[4,5]d.区间[3,4]、[4,5]和[5,6]解析：∵f(2)与f(3)，f(3)与f(4)，f(4)与f(5)异号，∴f(x)在区间[2,3]，[3,4]，[4,5]上都存在零点.答案：c3.若a>1，设函数f(x)=ax+x-4的零点为m，g(x)=logax+x-4的零点为n，则1m+1n的取值范围是( )a.(3.5，+∞)b.(1，+∞)c.(4，+∞)d.(4.5，+∞)解析：令ax+x-4=0得ax=-x+4，令logax+x-4=0得logax=-x+4，在同一坐标系中画出来函数y=ax，y=logax，y=-x+4的图象，融合图形所述，n+m为直线y=x与y=-x+4的交点的横坐标的`2倍，由y=xy=-x+4，Champsaurx=2，所以n+m=4，因为(n+m)1n+1m=1+1+mn+nm≥4，又n≠m，故(n+m)1n+1m>4，则1n+1m>1.答案：b4.(昌平演示)未知函数f(x)=ln x，则函数g(x)=f(x)-f′(x)的零点所在的区间就是( )a.(0,1)b.(1,2)c.(2,3)d.(3,4)答案：b答案：(0,1)。
高考数学专题复习-2.6函数与方程及函数的综合应用-模拟练习题(附答案)
2.6函数与方程及函数的综合应用基础篇考点一函数的零点1.(2023届皖优联盟阶段测试一,4)函数f(x)=x-1-4x+4存在零点的一个区间是()A.0,B.1C. D.2答案C2.(2021吉林延边期末,4)某同学用二分法求方程2x+5x-8=0在x∈(1,2)内近似解的过程中,设f(x)=2x+5x-8,且计算f(1)<0,f(2)>0,f(1.5)>0,则该同学下次应计算的函数值为() A.f(0.5) B.f(1.125)C.f(1.25)D.f(1.75)答案C3.(2022哈尔滨呼兰一中检测(二),5)函数f(x)=log2x()A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)答案C4.(2021江西八所重点中学4月联考,6)定义在R上的函数y=f(x)满足f(6-x)=f(x),(x-3)f'(x)>0(x≠3),若f(0)·f(1)<0,则函数f(x)在区间(5,6)内() A.没有零点 B.有且仅有1个零点C.至少有2个零点D.可能有无数个零点答案B5.(2018课标Ⅰ,9,5分)已知函数f(x)=e,≤0,lns>0,g(x)=f(x)+x+a.若g(x)存在2个零点,则a 的取值范围是() A.[-1,0) B.[0,+∞)C.[-1,+∞)D.[1,+∞)答案C6.(2021合肥质监(一),8)设函数f(x)=log2,>0,−s≤0.当∈−4,,方程f(x+1)=k 有唯一解,则实数k的取值范围为() A.(0,3) B.[1,3)C.(0,2)D.[1,2)答案B考点二函数模型及其应用1.(2020课标Ⅲ,4,5分)Logistic模型是常用数学模型之一,可应用于流行病学领域.有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位:天)的Logistic模型:I(t)=1+e−0.23(K53),其中K为最大确诊病例数.当I(t*)=0.95K时,标志着已初步遏制疫情,则t*约为(ln19≈3)() A.60 B.63 C.66 D.69答案C2.(2022北京,7,4分)在北京冬奥会上,国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术,为实现绿色冬奥作出了贡献.如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和lg P的关系,其中T表示温度,单位是K;P表示压强,单位是bar.下列结论中正确的是()A.当T=220,P=1026时,二氧化碳处于液态B.当T=270,P=128时,二氧化碳处于气态C.当T=300,P=9987时,二氧化碳处于超临界状态D.当T=360,P=729时,二氧化碳处于超临界状态答案D3.(2019课标Ⅱ,4,5分)2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆,我国航天事业取得又一重大成就.实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系.为解决这个问题,发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”,鹊桥沿着围绕地月拉格朗日L2点的轨道运行.L2点是平衡点,位于地月连线的延长线上.设地球质量为M1,月球质量为M2,地月距离为R,L2点到月球的距离为r,根据牛顿运动定律和万有引力定律,r满足方程:1(rp2+22=(R+r)13.设α=.由于α的值很小,因此在近似计算中33+34+5(1+p2≈3α3,则r的近似值为()D.答案D4.(2022吉林白山模拟,8)有这样一种说法:一张矩形纸经过一定次数对折之后的厚度能超过地月距离,但实际上,因为纸张本身有厚度,我们并不能将纸张无限次对折,当厚度超过纸张的长边长时,便不能继续对折了.将一张长边为a,厚度为x的矩形纸沿两个方向不断对折,经过两次对折,长边变为12a,厚度变为4x.在理想情况下,对折次数n满足关系:n≤log.根据以上信息,一张长为40cm,厚度为0.01mm的矩形纸经过对折后的厚度的最大值约为(lg2≈0.3)() A.1.28cm B.2.56cmC.12.8cmD.25.6cm答案B5.(2023届河南名校联考,6)二叉树是计算机中数据结构的一种,是树形结构的一个重要类型,许多实际问题抽象出来的数据结构往往是二叉树形式,形式如图,其中节点是包含一个数据元素及若干指向子树分支的信息,树中所有节点层次的最大值称为树的高度,经实验验证,节点数与树的高度呈指数关系,二叉树的高度h与节点数x的关系为x=eℎ+4.13.6,若经测算,一个二叉树的节点大约有800个,则二叉树的高度约为(ln2≈0.7,ln5≈1.6,结果保留整数)A.14B.16C.18D.20答案D6.(2020北京,15,5分)为满足人民对美好生活的向往,环保部门要求相关企业加强污水治理,排放未达标的企业要限期整改.设企业的污水排放量W与时间t的关系为W=f(t),用-op−op K的大小评价在[a,b]这段时间内企业污水治理能力的强弱.已知整改期内,甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如图所示.给出下列四个结论:①在[t1,t2]这段时间内,甲企业的污水治理能力比乙企业强;②在t2时刻,甲企业的污水治理能力比乙企业强;③在t3时刻,甲、乙两企业的污水排放都已达标;④甲企业在[0,t1],[t1,t2],[t2,t3]这三段时间中,在[0,t1]的污水治理能力最强.其中所有正确结论的序号是.答案①②③综合篇考法一判断函数零点所在区间和零点的个数1.(2022四川攀枝花统考一,7)方程f(x)=f'(x)的实数根叫做函数f(x)的“新驻点”.如果函数g(x)=ln x+2的“新驻点”为a,那么a的取值范围是()A.0,B.1C. D.2答案B2.(2022兰州西北师大附中期中,12)设函数f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x+2)=f(2-x),当x∈[-2,0]时,f(x)-1,则在区间(-2,6)上关于x的方程f(x)-log8(x+2)=0的解的个数为() A.4 B.3 C.2 D.1答案B3.(2021东北三省四市教研联合体二模,11)若函数f(x)1|,<2,≥2,则函数g(x)=f(f(x))-2的零点个数为() A.3 B.4 C.5 D.6答案B4.(2023届赣南五校期中,14)函数f(x)=e x-x-6的零点所在区间为(n,n+1)(n∈N),则n=.答案25.(2021北京,15,5分)已知函数f(x)=|lg x|-kx-2,给出下列四个结论:①当k=0时,f(x)恰有2个零点;②存在负数k,使得f(x)恰有1个零点;③存在负数k,使得f(x)恰有3个零点;④存在正数k,使得f(x)恰有3个零点.其中所有正确结论的序号是.答案①②④考法二已知函数有零点(方程有根)求参数值(或取值范围)1.(2017课标Ⅲ,11,5分)已知函数f(x)=x2-2x+a(e x-1+e-x+1)有唯一零点,则a=()A.-12B.13C.12D.1答案C2.(2020天津,9,5分)已知函数f(x)=3,≥0,−s<0.若函数g(x)=f(x)-|kx2-2x|(k∈R)恰有4个零点,则k的取值范围是()A.−∞,−(22,+∞)B.−∞,−(0,22)C.(-∞,0)∪(0,22)D.(-∞,0)∪(22,+∞)答案D3.(2023届皖优联盟阶段测试一,11)已知函数f(x)3(+1)|,−1<<8,2−10+50,≥8,若函数g(x)=f(x)-a恰好有4个不同的零点x1,x2,x3,x4,且x1<x2<x3<x4,则11+12+x3x4的取值范围是() A.(97,101) B.(95,99)C.[97,101)D.[95,99)答案B4.(2019浙江,9,4分)设a,b∈R,函数f(x)<0,3−12(+1)2+B,≥0.若函数y=f(x)-ax-b恰有3个零点,则() A.a<-1,b<0 B.a<-1,b>0C.a>-1,b<0D.a>-1,b>0答案C5.(2022安徽滁州二模,12)已知函数f(x)=ln2,关于x的不等式1-op>0的解集中有且只有一个整数,则实数a的范围是()ln2 B.ln2 D.答案B6.(2023届四川绵阳诊断一,16)已知函数f(x)=2−2−3,≥s−2,<s若存在实数m,使得关于x的方程f(x)=m恰有三个不同的实数根,则a的取值范围是.答案(-2,1)7.(2018浙江,15,6分)已知λ∈R,函数f(x)=−4,≥s2−4+3,<u当λ=2时,不等式f(x)<0的解集是.若函数f(x)恰有2个零点,则λ的取值范围是.答案(1,4);(1,3]∪(4,+∞)8.(2019江苏,14,5分)设f(x),g(x)是定义在R上的两个周期函数,f(x)的周期为4,g(x)的周期为2,且f(x)是奇函数.当x∈(0,2]时,f(x)=1−(−1)2,g(x)=o+2),0<≤1,−12,1<≤2,其中k>0.若在区间(0,9]上,关于x的方程f(x)=g(x)有8个不同的实数根,则k的取值范围是.答案专题综合检测一、选择题1.(2023届安徽安庆怀宁二中月考,2)下列命题中,错误的命题有()A.函数f(x)=x与g(x)=()2不是同一个函数B.命题“∃x0∈[0,1],02+x0≥1”的否定为“∀x∈[0,1],x2+x<1”C.设函数f(x)=2+2,<0,2,≥0,则f(x)在R上单调递增D.设x,y∈R,则“x<y”是“(x-y)·y2<0”的必要不充分条件答案C2.(2022湖北襄阳五中10月月考,2)已知函数y=f(x)的定义域为(-1,1),则函数F(x)=f(|2x-1|)的定义域为() A.(-∞,1) B.(-1,1)C.(0,+∞)D.[0,1)答案A3.(2021陕西宝鸡一模,4)很多关于大数的故事里(例如“棋盘上的学问”“64片金片在三根金针上移动的寓言”)都涉及264这个数.请你估算264大致所在的范围是() (参考数据:lg2=0.30,lg3=0.48)A.(1012,1013)B.(1019,1020)C.(1020,1021)D.(1030,1031)答案B4.(2015课标Ⅱ,5,5分)设函数f(x)=1+log2(2−p,<1,2K1,≥1,则f(-2)+f(log212)=() A.3 B.6C.9D.12答案C5.(2022昆明第一中学检测,4)给出下列三个条件:①函数是奇函数;②函数的值域为R;③函数图象经过第一象限.则下列函数中满足上述三个条件的是()A.f(x)=14B.f(x)=x+1C.f(x)=sin xD.f(x)=2x-2-x答案D6.(2022安徽江南十校一模,3)已知函数f(x)=2|x|,a=f(log0.53),b=f(log45),c=f则()A.a>c>bB.a>b>cC.b>a>cD.c>a>b答案B7.(2021全国Ⅰ卷地区联考,6)函数f(x)=4r2+12的图象关于()A.点(-2,0)对称B.直线x=-2对称C.点(2,0)对称D.直线x=2对称答案B8.(2023届内蒙古赤峰二中月考,7)已知函数y=f(x)是定义域为R的奇函数,且当x<0时, f(x)=x++1.若函数y=f(x)在[1,+∞)上的最小值为3,则实数a的值为() A.1 B.2 C.3 D.4答案D9.(2019课标Ⅲ,7,5分)函数y=232+2−在[-6,6]的图象大致为()答案B10.(2022湖南名校10月联考,7)已知函数f(x)满足2f(x)+f(-x)=3x2+2x+6,则()A.f(x)的最小值为2B.∃x ∈R ,22+4r3op >2C.f (x )的最大值为2D.∀x ∈R ,22+4r5op>2答案D11.(2016课标Ⅱ,12,5分)已知函数f (x )(x ∈R )满足f (-x )=2-f (x ),若函数y =r1与y =f (x )图象的交点为(x 1,y 1),(x 2,y 2),…,(x m ,y m ),则∑=mi 1(x i +y i )=()A.0B.mC.2mD.4m答案B12.(2022新高考Ⅱ,8,5分)已知函数f (x )的定义域为R ,且f (x +y )+f (x -y )=f (x )f (y ),f (1)=1,则∑=221k f (k )=()A.-3B.-2C.0D.1答案A13.(2022全国乙,12,5分)已知函数f (x ),g (x )的定义域均为R ,且f (x )+g (2-x )=5,g (x )-f (x -4)=7.若y =g (x )的图象关于直线x =2对称,g (2)=4,则∑=221k ∑=221k f (k )=()A.-21B.-22C.-23D.-24答案D 二、填空题14.(2023届甘肃武威凉州诊断二,14)[(-2)2]12++4log 22+log 24=.答案1215.(2015山东,14,5分)已知函数f (x )=a x +b (a >0,且a ≠1)的定义域和值域都是[-1,0],则a +b =.答案-3216.(2023届山西临汾期中,14)函数y=f(x)的定义域为R,且满足f(x+2)=f(2-x),f(-x2)=-f(x2+2),当x∈[0,4)时,f(x)=sin则=.答案1217.(2016山东,15,5分)已知函数f(x),≤s2−2B+4s>s其中m>0.若存在实数b,使得关于x的方程f(x)=b有三个不同的根,则m的取值范围是.答案(3,+∞)18.(2022北京,14,5分)设函数f(x)=−B+1,<s(−2)2,≥u若f(x)存在最小值,则a的一个取值为;a的最大值为.答案12([0,1]中任意一个实数都可以,答案不唯一);119.(2017浙江,17,4分)已知a∈R,函数f(x)=+4−+a在区间[1,4]上的最大值是5,则a 的取值范围是.答案−∞,三、解答题20.(2023届甘肃武威凉州诊断二,22)新冠肺炎疫情发生以后,口罩供不应求,某口罩厂日夜加班生产,为抗击疫情做贡献.生产口罩的固定成本为400万元,每生产x万箱,需另投入成本p(x)万元,当产量不足60万箱时,p(x)=12x2+50x;当产量不小于60万箱时,p(x)=101x+6400-1860,若每箱口罩售价100元,通过市场分析,该口罩厂生产的口罩可以全部销售完.(1)求口罩销售利润y(万元)关于产量x(万箱)的函数关系式;(2)当产量为多少万箱时,该口罩生产厂在生产中所获得利润最大?解析(1)当0<x<60时,y=100x2+50−400=−12x2+50x-400.当x≥60时,y=100x-101+6400−1860−400=1460−+所以y=−122+50<<60,1460−+,≥60.(2)当0<x<60时,y=-12y+50−400=−12(x-50)2+850,当x=50时,y取得最大值,最大值为850万元.当x≥60时,y=1460-≤1460−300,当且仅当x=6400,即x=80时,y 取得最大值,最大值为1300万元.综上,当产量为80万箱时,该口罩生产厂在生产中获得利润最大,最大利润为1300万元.21.(2023届河南部分重点中学测试,21)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x)=log2(2x+1)-kx,g(x)=f(x)+2x.(1)求f(x)的解析式;(2)若不等式g(4x-a·2x+1)>g(-15)恒成立,求实数a的取值范围;(3)设h(x)=x2-2mx+5,若存在x1∈[0,2],对任意的x2∈[1,4],都有g(x1)≤h(x2),求实数m的取值范围.解析(1)由f(x)是定义在R上的偶函数可知log2(2-x+1)+kx-log2(2x+1)+kx=0,即-2kx=log22−+12+1=-x,所以k=12,故f(x)=log2(2x+1)-12x.(2)由(1)知,g(x)=f(x)+2x=log2(2x+1)+32x,易知g(x)在R上单调递增,所以不等式g(4x-a·2x+1)>g(-15)恒成立等价于4x-a·2x+1>-15,即a<4+162恒成立.又4+162=2+162≥8,当且仅当x=2时,等号成立,所以a<8,即实数a的取值范围是(-∞,8).(3)因为存在x1∈[0,2],对任意的x2∈[1,4],都有g(x1)≤h(x2),所以g(x)在[0,2]上的最小值不大于h(x)在[1,4]上的最小值.因为g(x)=log2(2x+1)+32x在[0,2]上单调递增,所以当x∈[0,2]时,g(x)min=g(0)=1.函数h(x)=x2-2mx+5图象的对称轴为直线x=m,x∈[1,4].当m≤1时,h(x)在[1,4]上单调递增,h(x)min=h(1)=6-2m≥1,解得m≤52,所以m≤1;当1<m<4时,h(x)在[1,m)上单调递减,在[m,4]上单调递增,h(x)min=h(m)=5-m2≥1,解得1<m≤2;当m≥4时,h(x)在[1,4]上单调递减,h(x)min=h(4)=21-8m≥1,解得m≤52.所以m∈⌀.综上,实数m的取值范围是(-∞,2].。
数学物理方程期末考试题及答案
数学物理方程期末考试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 以下哪一项不是数学物理方程的特点？A. 连续性B. 离散性C. 线性D. 非线性答案：B2. 波方程是描述什么的方程？A. 热传导B. 电磁波C. 机械波D. 流体动力学答案：C3. 拉普拉斯方程通常出现在哪种物理现象中？A. 热传导B. 流体流动C. 电磁场D. 弹性力学答案：C4. 以下哪个不是偏微分方程的解的性质？A. 唯一性B. 线性C. 稳定性D. 离散性答案：D5. 波动方程的解通常表示什么？A. 温度分布B. 电荷分布C. 压力分布D. 位移分布答案：D二、填空题（每空2分，共20分）6. 波动方程的基本形式是 _______。
答案：\( \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2 \nabla^2 u \)7. 热传导方程，也称为________方程。
答案：傅里叶8. 拉普拉斯方程 \( \nabla^2 \phi = 0 \) 在静电学中描述的是________。
答案：电势9. 边界条件通常分为________和________。
答案：狄利克雷边界条件；诺伊曼边界条件10. 波动方程的一般解可以表示为________和________的叠加。
答案：基频解；高阶谐波三、简答题（每题10分，共30分）11. 解释什么是边界层的概念，并给出一个实际应用的例子。
答案：边界层是流体力学中的一个概念，指的是流体靠近物体表面处的一层非常薄的流体，其中速度梯度很大。
在边界层内，流体的速度从物体表面的零速度逐渐增加到与外部流体速度相匹配。
一个实际应用的例子是飞机的机翼，边界层的厚度和特性对飞机的升力和阻力有重要影响。
12. 描述什么是格林函数，并解释它在解决偏微分方程中的作用。
答案：格林函数是一种数学工具，用于解决线性偏微分方程。
它是一个特定的函数，当它与方程的算子相乘时，结果是一个狄利克雷问题，其解是原始方程的一个解。
数理方程与特殊函数(A)参考答案
10---11-2 数学物理方程与特殊函数（A 卷）参考答案一．填空题1，自由项，齐次方程，非齐次方程，初值条件，（第三类）边界条件，初边值（混合）问题； 2，函数()t z y x u u ,,,= 1），具有二阶连续偏导函数；2），满足方程； 3，()xt t x w =,；4，)cos(t x π-；5，[]1,1-，t x t ≤≤-；6，4122≤+<y x ；122<+y x ； 7，()x x 35213-；()32331481-x dx d ；无界的； 8，⎪⎩⎪⎨⎧=+≠;,122,,0n m n n m ()()().,2,1,021211Λ=+⎰-n dx x P x f n n 二．解：相应方程的特征方程为：0)(2)(322=-+dt dxdt dx ，即：31=dt dx ，1-=dtdx。
由此得积分曲线：13C t x =-，2C t x =+。
作特征变换：t x -=3ξ，t x +=η，则：ηξ∂∂+∂∂-=∂∂u u t u ，ηξ∂∂+∂∂=∂∂u u x u 3；22222222ηηξξ∂∂+∂∂∂-∂∂=∂∂u u u t u ， 22222223ηηξξ∂∂+∂∂∂+∂∂-=∂∂∂u u u x t u ，222222239ηηξξ∂∂+∂∂∂+∂∂=∂∂uu u x u 。
代入原方程，整理得：02=∂∂∂ηξu，则通解为：()()ηξ21f f u +=，其中21,f f 是任意两个 连续二次可微函数。
因此原方程通解为： ()()()t x f t x f t x u ++-=213,。
由初值条件有： ()()22133x x f x f =+，()()0321='+'-x f x f 。
由微分方程有：()()C x f x f =-2133 因此 ()449321Cx x f +=，()44121C x x f +=，()44322C x x f -=。
数学物理方程与特殊函数课后答案
29.0(,)11cos ,sin (,)(cos ,sin ),cos sin ;sin cos .sin cos ;s xx yy rr r r x y x y x r y laplace u u r u u u r rx r y r u x y u r r u u u u r u r u u u u ru θθθθθθθθθθθθθθθ+=++==⎧⎨=⎩∴==+⎧⎪⎨=−+⎪⎩=−⇒=∵ 证明方程在极坐标下为 证明： sin cos ;cos cos in .sin .sin ()cos ()sin sin cos cos r xx x r r u u r y r r u u u x x r r x u u r r r r θθθθθθθθθθθθθθθθθθ⎧∂∂∂⎛⎞⎧=−⎜⎟⎪⎪∂∂∂⎝⎠⎪⎪⇒⎨⎨∂∂∂⎛⎞⎪⎪+=+⎜⎟⎪⎪⎩∂∂∂⎝⎠⎩∂∂∂∂∂⎛⎞==−⎜⎟∂∂∂∂∂⎝⎠∂∂∂∂⎛⎞⎛=−−⎜⎟⎜∂∂∂∂⎝⎠⎝ 从而2222222222222sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin .cos ()sin ()sin yy u u u u r r r r r r u u ur r r r u u u y y r r y θθθθθθθθθθθθθθθθθθθ⎞⎟⎠∂∂∂∂=+−+∂∂∂∂∂∂∂∂−++∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎛⎞==+⎜⎟∂∂∂∂∂⎝⎠= 2222222222222cos cos sin sin cos sin cos cos sin sin cos sin cos cos .1u u r r r r u u u u r r r r r r u u ur r r r u u u u θθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθ∂∂∂∂⎛⎞⎛⎞++⎜⎟⎜⎟∂∂∂∂⎝⎠⎝⎠∂∂∂∂=−++∂∂∂∂∂∂∂∂+−+∂∂∂∂+=+ 所以 10.u +=21.(01,0),(0,)(1,)0,1,0.(2)2(,0)11,1,2(,0)(1);tt xx tu a u x t u t u t x x u x x x u x x x ⎧=<<>⎪==⎪⎪⎧⎪<≤⎪⎨⎪=⎨⎪⎪⎪−<<⎪⎩⎪⎪=−⎩求下列问题的解22(,)()().()()0,()()0.(0)(1)0.()()0,(0)(1)0.(),()si n n n u x t X x T t T t a T t X x X x X X X x X x X X n X x B λλλλπ=′′+=′′+===′′+=⎧⎨==⎩==解：应用分离变量法，令 代入方程分离变量，得 由边界条件分离变量，得 求解固有值问题得， 111212202n (1,2,).()cos sin (1,2,).(,)(cos sin )sin .42sin (1)sin sin .2n n n n n n n n x n T t C an t D an t n u x t a an t b an t n x n a x n xdx x n xdx n ππππππππππ∞===+==+⎡⎤=+−=⎢⎥⎣⎦∑∫∫ 代入另一常微分方程，得则其中 ()()14402244124(1)sin 11.44(,)(sin cos 11sin )sin .2nn nn b x x n xdx an n a n u x t an t an t n x n n a πππππππππ∞=⎡⎤=−=−−⎣⎦⎡⎤=+−−⎣⎦∫∑ 因此，所求定解问题的解为2(0,0),(0,)(,)0,(3)35(,0)3sin6sin ,22(,0)0.tt xx x t u a u x l t u t u l t x xu x l l u x ππ⎧=<<>⎪==⎪⎪⎨=+⎪⎪=⎪⎩ ()22(,)()().()()0,()()0.(0)()0.()()0,(0)()0.21(),(2n n u x t X x T t T t a T t X x X x X X l X x X x X X l n X l λλλπλ=′′+=′′+=′==′′+=⎧⎨′==⎩+=解：应用分离变量法，令 代入方程分离变量，得 由边界条件分离变量，得 求解固有值问题得， ()()()()()()121)sin (0,1,2,).22121()cossin (0,1,2,).22212121(,)(cossin )sin .222235(3sin6sin 22n n n n n n n n n x B x n la n a n T t C t D t n l la n a n n u x t a tb t x l l l x x a l l ππππππππ∞=+==++=+=+++=+=+∑ 代入另一常微分方程，得则 其中 ()03,1;21)sin 6,2;20,12.0.3355(,)3cos sin 6cos sin .2222l n n n xdx n l l n b a a u x t t x t x l l l lπππππ=⎧+⎪==⎨⎪≠⎩==+∫、 因此，所求定解问题的解为3.4(0,0),(2)(0,)0,(,)0,(,0)().t xx x x u u x l t u t u l t u x x l x =<<>⎧⎪==⎨⎪=−⎩求下列定解问题的解：2(,)()().()4()0,()()0.(0)()0.()()0,(0)()0.(),()n n u x t X x T t T t T t X x X x X X l X x X x X X l n X x A lλλλπλ=′+=′′+=′′==′′+=⎧⎨′′==⎩==解：应用分离变量法，令 代入方程分离变量，得 由边界条件分离变量，得 求解固有值问题得， 222()2()012000cos (0,1,2,).()(0,1,2,).1(,)cos .222().62()cos n n t ln n n t ln n l l n n x n l T t D e n n u x t a a e x l l a x l x dx l n a x l x xd l l πππππ−∞−=====+=−==−∑∫∫ 代入另一常微分方程，得则 其中 2222222()2212[1(1)].2[1(1)](,)cos .6n n n t ln l x n l l n u x t e x n lππππ∞−=−−+−=−−+−=+∑ 因此，所求定解问题的解为2110(01),,0,(1,)0,.,.rr r u u u r r r A u A θθθαθαθπα⎧++=<<⎪⎪⎨⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪<≤⎪⎩⎩其中为已知常数22(,)()().()()()0,()()0.()()0,()(2).(),()cos sin n n n n u r R r r R r rR r R r n X x A n B n θθλθλθθλθθθπλθθ=Φ′′′+−=′′Φ+Φ=′′Φ+Φ=⎧⎨Φ=Φ+⎩==+解：应用分离变量法，令 代入方程分离变量，得求解固有值问题得，()2010(0,1,2,).()()()0,(0).()(0,1,2,).1(,)cos sin .212n n n n n n n n n r R r rR r R r R R r C r n u r a a n b n r Aa Ad a ααλθθθαθππ∞=−=′′′⎧+−=⎨<+∞⎩===++==∑∫ 代入另一常微分方程的定解问题得， 则 其中 112cos sin ,1sin 0.2(,)sin cos .n nn AA n d n n b A n d A A u x t r n n n ααααθθαππθθπααθππ−−∞======+∫∫∑ 因此，所求定解问题的解为0(0,0),(0,)0,(,)0(0),(,0)(1),lim (,)0(0),.xx yy y u u x l y u y u l y y x u x A u x y x l l A →∞⎧+=<<<<∞⎪⎪==≤<∞⎨⎪⎪=−=<<⎩其中为已知常数 2(,)()().()()0,()()0.(0)()0.()()0,(0)()0.(),()sin n n n u x y X x Y y X x X x Y y Y y X X l X x X x X X l n X x B lλλλπλ=′′+=′′−===′′+=⎧⎨==⎩==解：应用分离变量法，令 代入方程分离变量，得 由边界条件分离变量，得 求解固有值问题得， 10(1,2,).()(1,2,).(,)sin.22()sin .lim (,)0n n y y lln n n n n y y l ln n n l n n y n x n l Y y C e D e n n u x y a e b e x l x n A a b A l xdx l l l n u x y a ππππππππ−∞−=→∞==+=⎛⎞=+⎜⎟⎝⎠+=−==⇒∑∫ 代入另一常微分方程，得则 其中 10.2(,)sin .n n y l n A n u x t e x n l πππ∞−===∑因此，所求定解问题的解为()22228.-10.cos ,sin ,111(0),0.{cos sin }.,()xx yy x y a rr r r an a u u u x r y r u u u r a r r u A n B n u r a r θθθθθθθ+==+====⎧++=−<<⎪⎨⎪=⎩+= 在以原点为心,为半径的圆内,试求泊松方程 的解,使它满足边界条件解：令作极坐标变换,得由固有函数法,相应的固有函数系为 因此,设方程的解为[]()()()()()()()0002222cos ()sin .11,110,0210,323()0()n n n n n n n n n nn n nn n n n b r n a a r n a a a n r r nb b b r r a r A r B r n b r C r D θθ∞=−+⎧′′′+=−⎪⎪⎪′′′+−=≠⎨⎪⎪′′′+−=⎪⎩=+≠=+∑ 代入方程,得方程，的通解：， ()()2000(0),()0;(0),()0.()00()0.11()ln ,4(0),()n n n n n n n n r a a a b b a a r n b r a r A r B r a a a −<+∞=<+∞==≠==+−<+∞=. 由有界性条件及边界条件，得 ， 方程的通解: 由有界性条件及边界条件，()()()()()220222220.1().41,.41,.a r a r u r a r u x y a x y θ=−=−⎡⎤=−+ 得 则定解问题的解为 化成直角坐标，则得21210.sin ,(2)(0,)0,(,)0(0),(,0)0,(,0)0(0);{sin }.(,)()sin .tt xx tn n n u a u t x l u t u l t t u x u x x l n x ln u x t u t x l n a u u l ππππ∞=⎧=+⎪⎪==≥⎨⎪==≤≤⎪⎩=⎛⎞′′+⎜⎟⎝⎠∑求下列问题的解：解：由固有函数法,相应的固有函数系为 设方程的解为 代入原方程,得()2111020(1),.(0)(0)0(1,2,),1()0;1()sin sin .n n n n t n a u u t l u u n n u t l an u t t d al l l a t t a a l ππτττππππ=≠⎛⎞′′+=⎜⎟⎝⎠′===≠===−⎛⎞⎛⎞=−⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠∫"" 由初始条件,得当时， 当时， 2(,)sin sin l l a u x t t t x a a l l ππππ⎛⎞⎛⎞=−⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠ 故所求的解为2110(0,0),(3)(0,)0,(,)0,(,0)0.,{sin}.(,)()sin .sin 22sin [1(t xx n n n n l n u a u A x l t u t u l t u x n x ln u x t u t x l n A A A x l n A A A xdx l l n πππππ∞=∞=⎧=+<<>⎪==⎨⎪=⎩====−∑∑∫ 解：由固有函数法相应的固有函数系为 设方程的解为 并将展为： ，其中 222()023321)].2[1(1)],(0)0.2()[1(1)]2[1(1)][1].(,n n n n n n a t tn l n n a t n ln a A u u l n u Au t e d n Al e n au x πτπππτππ⎛⎞−−⎜⎟⎝⎠⎛⎞−⎜⎟⎝⎠−⎧⎛⎞′+=−−⎪⎜⎟⎨⎝⎠⎪=⎩=−−=−−−∫ 代入原方程可得得: 故所求的解为2233212)[1(1)][1]sin .n a tnl n Al n t e x n alπππ⎛⎞∞−⎜⎟⎝⎠==−−−∑()2211.224sin cos ,(2)(0,)0,(,)(0),(,0),(,0)()(0).(,)(,)().224sin cos ,(0,)(0ttxx t ttxx u a u x x l lu t u l t B t Bu x x u x x l x x l l u x t v x t w x v a v w x x l lv t w ππππ⎧=+⎪⎪==≥⎨⎪⎪==−≤≤⎩=+′′=+++求下列问题的解解：设问题的解为 将其代入上面的定解问题，得22222)0,(,)(),(,0)(),(,0)().224sincos 0,(0)0().4()sin.8(0,)0,(,)0,(,0)t tt xx v l t w l B Bv x w x x v x x l x l a w x x l lw w l B B l w t x x l a l v a v v t v l t v x ππππ⎧⎪⎪=+=⎨⎪⎪+==−⎩⎧′′+=⎪⎨⎪==⎩=+==== 化成下面两个问题：(1) ， 解得： (2) 12222022340(),(,0)().(,)cos sin sin .0,4;24sin sin 8, 4.824()sin t n n n l n l n Bx w x v x x l x l n a n a n v x t a t b t x l l l n l n a x xdx l l a l l n an l b x l x xdx n a l n ππππππππππ∞=⎧⎪⎪⎨⎪⎪−=−⎩⎛⎞=+⎜⎟⎝⎠≠⎧⎪=−⋅=⎨−=⎪⎩=−⋅=∑∫∫ 解得： 其中， ()()43222441222[11].4[11]44(,)cos sin sin sin .844(,)(,)()1cossin 8nn n al l a n a n v x t t x t x a l l n a l l B l a u x t v x t w x x t x l a l l πππππππππ∞=−−−−=−+⎛⎞=+=+−⎜⎟⎝⎠∑ 则 因此，原问题的解为14..0,(2)(-)(),(-)().0().:0X X X X X X X x Be Ae Be A B λππππλ′′+=⎧⎨′′==⎩<=++=+−=−==⇒求下列问题的固有值与固有函数解：当时，方程的通解为 由边界条件，有， ； 得0()0.0().-0.:().0().sin ,X x X x Ax B A B A B A X x C X x A B A B A Bλππλ===++=+⇒==>=+−=++=− 当时，方程的通解为 由边界条件，有 得当时，方程的通解为 由边界条件，有22sin ;()0sin 0(1,2,);()cos sin .(0,1,2,),()cos sin .n n n n n n n n X x n n X x A nx B nx n n X x A nx B nx λλ+====+===+"""" 要不恒等于，则，得故，固有值 固有函数222()()0,(3)(1)()0.ln ,()0.0()00:x y x xy x y y y e x e x d y y d y x Be Bx A B Be τλτλττλ′′′⎧++=⎨==⎩==+=<=+=++=+=解：方程通过自变量代换 或 得: 当时，方程的通解为 由边界条件，有 ， ； 得))0()0.0()ln .0,0.:()0.0()cos ln sin ln .0,A B y x y x A B A x B B A y x y x A B A x B x A λτλ==⇒===+=+===>=+=+= 当时，方程的通解为 由边界条件，有 得当时，方程的通解为 由边界条件，有()()2220;()00(1,2,);()sin ln .(1,2,),()sin ln .n n n n n n B y x n n y x B n x n n y x B n x λππλπ========"""" 要不恒等于，则，得 故，固有值 固有函数。
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成都理工大学《数学物理方程》模拟试题一、填空题（3分⨯10=30分）1.说明物理现象初始状态的条件叫（ ），说明边界上的约束情况的条件叫（ ），二者统称为 （ ）.2.三维热传导齐次方程的一般形式是：（ ） . 3 .在平面极坐标系下，拉普拉斯方程算符为 （ ） . 4.边界条件 f u nuS=+∂∂)(σ是第（ ）类边界条件，其中S 为边界.5.设函数),(t x u 的傅立叶变换式为),(t U ω，则方程22222xu a t u ∂∂=∂∂的傅立叶变换为 （ ） . 6.由贝塞尔函数的递推公式有=)(0x J dx d（ ） . 7.根据勒让德多项式的表达式有)(31)(3202x P x P += （ ）. 8.计算积分=⎰-dx x P 2112)]([（ ） .9.勒让德多项式)(1x P 的微分表达式为（ ） . 10.二维拉普拉斯方程的基本解是（ ） .二、试用分离变量法求以下定解问题（30分）：1.⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<<=∂∂===><<∂∂=∂∂====30,0,3,000,30,200322222,0x t u x x t x x u t u t t x u u u2.⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===><<∂∂=∂∂===x t x x ut u u u u t x x 2,0,00,40,04022 3. ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<<=∂∂===><<+∂∂=∂∂====20,0,8,00,20,162002022222x t u t x x u t u t t x x u u u三、用达朗贝尔公式求解下列一维波动方程的初值问题（10分）⎪⎩⎪⎨⎧=∂∂=>+∞<<-∞+∂∂=∂∂==0,2sin 0,,cos 0022222t t t u x u t x x x u a t u四、用积分变换法求解下列定解问题（10分）：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=>>=∂∂∂==,1,10,0,1002y x u y u y x y x u五、利用贝赛尔函数的递推公式证明下式（10分）：)(1)()('0''02x J xx J x J -=六、在半径为1的球内求调和函数u ，使它在球面上满足θ21cos ==r u ，即所提问题归结为以下定解问题（10分）:.0,12cos 3,0,10,0)(sin sin 1)(11222πθθπθθθθθ≤≤+=≤≤<<=∂∂∂∂+∂∂∂∂=r u r ur r u r r r(本题的u 只与θ,r 有关，与ϕ无关)《数学物理方程》模拟试题参考答案一、 填空题：1.初始条件，边值条件，定解条件.2. )(2222222zu y u x u a t u ∂∂+∂∂+∂∂=∂∂ 3.01)(1222=∂∂+∂∂∂∂θρρρρρu u . 4. 三.5.U a dt U d 2222ω-=. 6.)(1x J -.7.2x .8.52.9.)1(212-x dxd . 10.2020)()(1lny y x x u -+-=.二、试用分离变量法求以下定解问题1.解 令)()(),(t T x X t x u =，代入原方程中得到两个常微分方程：0)()(2''=+t T a t T λ，0)()(''=+x X x X λ，由边界条件得到0)3()0(==X X ，对λ的情况讨论，只有当0>λ时才有非零解，令2βλ=，得到22223πβλn ==为特征值，特征函数3sin )(πn B x X n n =，再解)(t T ，得到32sin32cos )(;;t n D t n C t T n n n ππ+=，于是,3sin )32sin 32cos(),(1xn t n D t n C t x u n n n πππ+=∑∞=再由初始条件得到0,)1(183sin 332130=-==+⎰n n n D n xdx n x C ππ，所以原定解问题的解为,3sin )32cos )1(18(),(11xn t n n t x u n n πππ+∞=-=∑2. 解 令)()(),(t T x X t x u =，代入原方程中得到两个常微分方程：0)()('=+t T t T λ，0)()(''=+x X x X λ，由边界条件得到0)4()0(==X X ，对λ的情况讨论，只有当0>λ时才有非零解，令2βλ=，得到22224πβλn ==为特征值，特征函数4sin )(πn B x X n n =，再解)(t T ，得到16;22)(t n n n e C t T π-=，于是,4sin(),(16122xn eC t x u tn n n ππ-∞=∑=再由初始条件得到140)1(164sin 242+-==⎰n n n xdx n x C ππ，所以原定解问题的解为,4sin)1(16),(161122xn e n t x u t n n n πππ-+∞=-=∑3.解 由于边界条件和自由项均与t 无关，令)(),(),(x w t x v t x u +=，代入原方程中，将方程与边界条件同时齐次化。
因此212''''22222)(16)(416)]([4c x c x x w x w x w xv t v ++-=⇒=⇒++∂∂=∂∂，再由边界条件有8)2(,0)0(==w w ，于是0,821==c c ，x x x w 82)(2+-=.再求定解问题⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<<=∂∂-===><<∂∂=∂∂====20,0),(,000,20,200322222,0x t v x w x t x x v t v t t x v v v 用分离变量法求以上定解问题的解为,2sin cos ])1)1[(32)1(16(),(331xn t n n n t x v n n n ππππ--+-=∑∞=故,2sin cos ])1)1[(32)1(16(28),(3312x n t n n n x x t x u n n n ππππ--+-+-=∑∞=三.解：令)(),(),(x w t x v t x u +=，代入原方程中，将方程齐次化，因此x ax w x x w a x x w x v a t v cos 1)(0cos )(cos )]([2''2''22222=⇒=+⇒++∂∂=∂∂，再求定解问题⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂-=>∂∂=∂∂==,0),(cos 12sin 0,02022222t t t vx xw a x t x v a t v v 由达朗贝尔公式得到以上问题的解为atx a at x at x aat x at a a at x t x v cos cos 1cos sin 0)]cos(1)(2sin )cos(1)(2[sin 21),(222-=+---++-+=故.cos 1cos cos 1cos sin ),(22x aat x a at x t x u +-=四.解 ：对y 取拉普拉斯变换),()],([p x U y x u L =，对方程和边界条件同时对y 取拉普拉斯变换得到pp U pdx dU px 11,120+===，解这个微分方程得到p px p p x U 111),(22++=，再取拉普拉斯逆变换有1),(++=y yx y x u 所以原问题的解为1),(++=y yx y x u .五.证明：由公式)())((1x J x x J x dxd n n n n+---=有)()()(1'x J x x nJ x xJ n n n +-=-，令1=n 有)()()(211'x xJ x J x xJ -=-，所以)(1)()(11'2x J xx J x J +-=，又)()(),()(1'0''10'x J x J x J x J -=-=，所以)(1)()(0'0''2x J xx J x J -=.六．解：由分离变量法，令)()(),(θθΦ=r R r u ，得到∑∞==0)(cos ),(n n nn P r C r u θθ，由边界条件有∑∞===+=01)(cos 12cos 3n n n r P C u θθ，令x =θcos ，)()()(261)12(322110022x P c x P c x P c x x ++=-=+-∴，)13(212622102-++=-x c x c c x ， 4,0,0210===∴c c c ，故222222cos 6)1cos 3(214),(r r r r u -=-=θθθ。