保角变换和曲线坐标

§8.7 保角变换和曲线坐标

学习思路：

弹性力学问题的求解有赖于边界条件的简化。对于复杂的边界形状，如果利用空间的变换，将是简化问题求解的最好途径。保角变换就是充分发挥复变函数的特长，将孔口问题映射到ξ 平面的单位圆。

这一节将介绍保角变换和曲线坐标的概念。由于应用保角变换，矢量－位移，张量－应力公式以及K-M函数等均必须做出曲线坐标描述。保角变换使得问题的公式复杂，但是边界条件的简化，以及柯西积分的应用将简化问题的分析。

在本节学习之前，请你先学习附录2，（有关保角变换的知识）

学习要点：

1. 保角变换和曲线坐标；

2. 矢量的保角变换；

3. 位移分量的曲线坐标表达式；

4. 应力分量的曲线坐标表达式。

为了便于根据边界条件确定K-M函数，采取保角变换

z = ω (ξ)

将物体在z平面上所占的区域变为在ξ平面所占的区域。一般的说，通过保角变换可以将非圆边界映射为圆边界，使得问题得以简化。

假设将z平面上的有限区域或者无限区域S映射为ξ平面的单位圆内的区域∑，并且将z平面上的区域S的边界l 映射为单位圆γ，对应的关系如下表：

由于ξ 平面上的任一点可以表示为，。ρ和ϕ是点ξ 的极坐标。

而根据保角变换公式z = ω (ξ)，则z平面任意一点也可以通过ρ和ϕ表示。因此，ρ 和ϕ 又称为曲线坐标。对于某些问题的描述中，采用曲线坐标形式表示位移和应力有利于问题的分析。

曲线坐标的概念：ξ平面的一个圆周ρ =const和一条径向直线ϕ =const分别对应于z平面的两条曲线，这两条曲线就记作ρ =const和ϕ =const。于是ρ和ϕ可以看作z平面上一点的曲线坐标。由于变换的保角性，这个曲线坐标总是正交的，而且坐标轴ρ 和ϕ 的相对位置和坐标轴Ox和Oy的相对位置相同，如图所示。

首先讨论矢量的保角变换。设曲线坐标ρ，即ϕ =const与x轴夹α角，如果A 为z平面上的任一矢量，设A与曲线坐标ρ 夹β角。设A x, A y分别表示矢量A 在x，y轴的投影；Aρ ,Aϕ 表示在ρ=const和ϕ =const上的投影，则

上式的几何意义为，将矢量A绕z点顺时针方向转动α角后，其在Oxy坐标系的位置，相当于A在曲线坐标系（ρ，ϕ）中的位置，如图所示。

如果用uρ , uϕ 分别表示曲线坐标下的位移矢量分量，则

根据保角变换，有

所以

沿曲线（ρ）取微分线段d z，则在ξ平面对应的有dξ，由于

所以，取其共轭可得。

将上式回代到公式，可得

下面通过保角变换对弹性力学的公式作对应的转换。首先，设K-M函数和ψ (z)分别使用和ψ 1(z)代替，同时令

根据位移表达式，有

在z 平面上，将位移矢量向曲线坐标ρ和ϕ投影。由公式

可得

上式两边同时乘以2G，可得

上式是ξ平面上的曲线坐标系表达的位移表达式。

下面建立曲线坐标中应力分量的复变函数表达式。如果用σρ, σϕ , τρϕ表示物体在曲线坐标中的应力分量。则

因为和,而由公式

所以

上式为经过保角变换后，z平面上的曲线坐标系中的应力分量的复变函数表达式。

§8.8 无限大薄板的孔口问题

学习思路：

本节的主要任务是将保角变换用于无限大薄板的孔口问题，确定K-M 函数的基本求解公式。

推导中首先确定无限大板孔口问题的保角变换公式，将K-M 函数转换为曲线坐标形式。采用的方法仍然是将K-M 函数分解为以级数表达的解析函数和对数表达的多值函数两部份。

对于K-M 函数的级数形式，通过孔口面力边界条件可以确定级数函数的求解方程。这个求解过程，利用保角变换后孔口边界的特殊性质，使用柯西积分使得计算简化。

学习要点：

1. 保角变换公式与K-M 函数；

2. 利用孔口边界条件确定K-M 函数求解公式；

3. 柯西积分确定K-M 函数的级数形式。

保角变换的目标是：将z平面上的孔口边界l映射为ξ 平面上的单位圆γ，将l 以外的无限区域S 映射为ξ 平面上的单位圆内的有限区域∑，将z平面上的无穷远点映射为ξ平面的坐标原点，如图所示。

保角变换公

式：

是将l

以外的无限区域映射为单位圆γ 内（|ξ|＜1）的普遍变换式，公式中R为实数，C k为复数，而且<1。

保角变换公式确定以后，可以确定K-M函数和ψ(ξ)，即将K-M函数和ψ1(z)变换到曲线坐标中去。

其

中

因

为

由于<1 ，将上式展开，有

所以，ln z = ln ξ +单位圆内部ξ的解析函数。

另

外

。

根据上述分析，的各项都转变为单位圆内ξ 的单值解析函数。因此

其

中，

。

讨论边界条件确定K-M 函数和ψ 0(ξ)。根据面力边界条件

，经过保角变换后，可得

在单位圆的圆周上，。所以上述面力边界条件可以表示为

根据公式

，则在边界即单位圆周上

将上述K-M函数的边界值回代面力边界条件，并且将已知函数与需要确定的未知函数分开，可得

其中已知函数为

因为和ψ0(ξ)是单位圆内的泰勒级数，它们是从z平面上l R之外无穷区域的罗伦级数转化而来的。因此对于公式

幂级数求解时，由于方程两边都含有σk=e i kϕ的各个项（k由－∞到∞），比较各个同类项的系数，即可求得a k，b k的

值。不过这样作太麻烦了，由于和ψ0(ξ )在单位圆内是解析的，而且在

圆内和圆周上是连续的，因此可以直接采用柯西积分计算。

将边界条件的第一式两边乘以，积分可得

由于在单位圆内是解析的，因此公式的第一个积分即等于

，它是级数之和。对于公式第三项的积分函数，由于

在单位圆外是解析的，在圆外和圆周上是连续的，所以

。因此，边界条件的第一式就成为

同理，边界条件的第二式成为

上述公式就是边界条件通过柯西积分所推导出的计算和ψ0(ξ)表达式。其中是边界的已知函数。