组合数学作业答案1-2章2016

组合数学作业

第一章引言

Page 13, ex3,4,7,30

ex3. 想象一座有64个囚室组成的监狱，这些囚室被排列成8 8棋盘。所有相邻的囚室间都有门。某角落处意见囚室例的囚犯被告知，如果他能够经过其它每一个囚室正好一次之后，达到对角线上相对的另一间囚室，那么他就可以获释。他能获得自由吗？

解：不能获得自由。

方法一：对64个囚室用黑白两种颜色染色，使得横和竖方向相邻的囚室颜色不同。则对角线上两个囚室颜色为同黑或同白。总共偶数个囚室，若能遍历且不重复，则必然是黑出发白结束，矛盾。

方法二：64个囚室，若要经过每个囚室正好一次，需要走63步，即奇数步。

不妨假设该囚犯在第1行第1列，那么到第8行第8列，横着的方向需要走奇数步，竖着的方向需要走奇数步，即总共需要偶数步。

所以不能恰好经过每个囚室一次到达对角线上的囚室。

ex4. (a) 设f(n)是用多米诺牌(2-牌)对2×n棋盘作完美覆盖的个数。估计一下f(1),f(2),f(3),f(4)和f(5). 试寻找(或证明)这个计数函数f满足的简单关系。利用这个关系计算f(12)。

(b) 设g(n)是用多米诺牌(2-牌)对3×n棋盘作完美覆盖的个数。估计g(1),g(2),…,g(6).

解：(a)

f(1)=1, f(2)=2, f(3)=3, f(n+2)=f(n+1)+f(n)

f(4)=f(3)+f(2)=5,

f(5)=f(4)+f(3)=8

f(6)=f(5)+f(4)=13

f(7)=f(6)+f(5)=21

f(8)=f(7)+f(6)=34

f(9)=f(8)+f(7)=55

f(10)=f(9)+f(8)=89

f(11)=f(10)+f(9)=144

f(12)=f(11)+f(10)=233

(b) g(1)=0, g(2)=3, g(3)=0, g(4)=9+2=11, g(n+4)=4g(n+2)-g(n), g(5)=0, g(6)=41.

ex7. 设a和b是正整数，且a是b的因子。证明m×n棋盘有a×b的完美覆盖当且仅当a 既是m又是n的因子，而b是m或n的因子。(提示: 把a×b牌分割成a个1×b牌。)

解：充分性。当a既是m又是n的因子，而b是m或n的因子，则m×n棋盘有a×b的平凡完美覆盖。

必要性。假设m×n棋盘有a×b牌的完美覆盖。则m×n棋盘必有b牌的完美覆盖。根据书中的定理，b是m的因子或n的因子。

下面证明a既是m的因子又是n的因子。

方法一: 因为a是b的因子，所以a×b牌可以分割成b/a个a×a牌。m×n棋盘有a×a的完美覆盖，则必然有a×a牌的完美覆盖。而a×a牌是正方形的，所以只有唯一的一种平凡覆盖方式。从而m是a的倍数，n也是a的倍数。

方法二: 因为a是b的因子，不妨设b=ka。由m×n棋盘有a×b牌的完美覆盖，可任取一个完美覆盖。设第一行的n个方格由p个a×b牌和q个b×a牌盖住，则有n=pb+qa=(pk+q)a，所以n是a的倍数。同理，m也是a的倍数。

ex30. 考虑堆的大小分别为10,20,30,40,50的5堆Nim 游戏。这局游戏是平衡的吗？确定玩家I 的第一次取子方案。

解：将10,20,30,40,50用二进制表示

目标 取出个数

10: 0 1 0 1 0 10000 ×

20: 1 0 1 0 0 1110 110=6

30: 1 1 1 1 0 100 11010=26

40: 1 0 1 0 0 0 110010 ×

50: 1 1 0 0 1 0 101000 1010=10

平衡 0 1 1 0 1 0

游戏是不平衡的。从上表可以得到，可从20个堆中取6个，从30个堆中取26个，从50个堆中取10个。

第2章 排列组合

P37: ex5,11,27,32,51

ex5. 确定作为下列各数的因子的10的最大幂(等价于用通常的10进制表示时尾部0的个数)：(a) 50!, (b) 1000!

解：(a) ⎣50/5⎦=10, 即1~50中有10个5的倍数。⎣50/25⎦=⎣10/5⎦=2，即1~50中有2个25的倍数。从而50!的因子的5的最大幂是10+2。因为2的最大幂比5大，所以5的因子个数决定10的最大幂。

(b) 同理，1000/5=200, 200/5=40, 40/5=8, ⎣8/5⎦=1, ⎣1/5⎦=0，所以1000!的因子的10的最大幂等于200+40+8+1=249.

ex11.从数集{1,2,…,20}中形成3个数的集合，如果没有2个相连的数字在同一个集合中，那么能形成多少个3个数的集合。

解法一：任选3个数有C(20,3)种方案。两数相邻另一个分离：1,2和19,20这两个相邻数对，各对应另一不相邻数有17种选择；2,3到18,19共17种相邻数对，各对应另一不相邻数有16种选择。三数相邻有18种选择。

202171716188163⎛⎫-⨯-⨯-= ⎪⎝⎭

. 解法二：任选3个数有C(20,3)种方案。取两个相邻数有19种选择，另一个与已取出两数不同有18种选择。每三个相邻的数在前一步被计数了两次，需要补回一次。

201918188163⎛⎫-⨯+= ⎪⎝⎭

； 解法三：先放17个0排成一排。再在18 个空挡中放3个1，有C(18,3)种方法。在17个0和3个1形成的排列中，数1所在的位置abc ，即得到3个不相邻的1到20中的数。

解法四：令3个数从小到大排列为a,b,d ，满足a+1

188163⎛⎫= ⎪⎝⎭