结构力学第四章虚功原理和结构的位移计算
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结构力学教学 虚功原理与结构位移计算
B EA
EA 3
3
Q
AkFQPFQ ds kqR2 1 (1 cos3 )
B GA
GA 3
设h/R=1/3，E/G=8/3，I/A=h2/12
N 1 M 600
90 Q 1 M 375
M
qR4 3EI
N
2qR2 3EA
k qR2 Q 3GA
§5-4 荷载作用下的位移计算举例
例5-6 试求图(a)所示简支梁两端截面A、B的相对转角△。
桁梁混合结构
MM P ds FN FNPl
EI
EA
MM EI
P
ds
拱
MM P EI
ds
FN FNP EA
ds
§5-4 荷载作用下的位移计算举例
例5-3 试求图(a)所示悬臂梁在A端的竖向位移△，并比 较弯曲变形与剪切变形对位移的影响。梁的截面为矩形。
实际荷载作用下的内力如图(a) 虚设单位荷载作用下的内力如图(b)
为材料的线膨胀系数。
由图(b)，杆件的轴线温度
t0
h1t2
h
h2t1
上下边缘的温差 t t2 t1
t0
d t
ds h
得
FNt0ds
M
tds
h
若t0、△t、h沿每一杆长为常数则
t0
FNds
t
h
M
ds
§5-6 温度作用时的位移计算
例5-11 试求图(a)所示刚架C点的竖向位移△C。各杆截面为矩形，
（3）由虚功方程解出拟求位移 FRKcK
若△为正值，表示位移的实际方向与所设单位荷载方向一致。
§5-2 结构位移计算的一般公式
1. 局部变形时静定结构的位移计算举例 例5-1 图(a)所示悬臂梁在B处两个相邻截面有相对转角θ。
第四章河海大学结构力学（ＰＤＦ）
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§4-6 杆件结构的位移计算公式及荷载作用 下的位移计算
一、位移公式
单位荷载法：
二、荷载作用下的位移计算公式
荷载作用下:
例 求简支梁AB，受均布荷载q时跨度中点的挠度。已知E、I。
解：1. 建立虚力状态： 2. 内力公式：
3. 位移计算：
取
，设矩形截面
一般地：
在梁的计算中可略去轴力、剪力的影响； 在深梁的计算中必须考虑剪力的影响。
由虚功互等： 即： 反力位移互等定理可叙述为：沿k方向的单位力在沿m方向引起的反力， 等于m方向发生单位位移时，在沿k方向引起的位移，但符号相反。
返回
或
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§4-4 虚位移原理与单位位移法
虚位移原理：
变形体系在力系作用下成平衡的必要与充分条件是，当有任意
虚拟的位移协调系（即虚位移）时，力系中的外力经位移系中
的位移所作的虚功恒等于变形体系各微段外力在变形位移上的
虚功和。
位移协调系
（虚拟）
用虚位移原理时，特别的假设发生单位位移。
返回
例 求图示四分之一圆弧的曲梁的自由端的角位移与线位移
解：1. 角位移 （1）虚力状态 （2）列内力方程
（3）
2. 竖向位移 （1）虚力状态 （2）列内力方程
（3）
2. 水平位移 （1）虚力状态 （2）列内力方程
（3）
例 求图示对称桁架在荷载作用下结点4的竖向位移，设 E 2100kN / cm2 ，图 中括弧内的数值为杆件截面面积A（ cm2 ）。
第四章 静定结构的位移计算
§4-1 概述 §4-2 外力虚功与虚变形功 §4-3 虚功原理 §4-4 虚位移原理与单位位移法 §4-5 虚力原理、单位荷载法 §4-6 杆件结构的位移计算公式
§4-6 杆件结构的位移计算公式及荷载作用 下的位移计算
一、位移公式
单位荷载法：
二、荷载作用下的位移计算公式
荷载作用下:
例 求简支梁AB，受均布荷载q时跨度中点的挠度。已知E、I。
解：1. 建立虚力状态： 2. 内力公式：
3. 位移计算：
取
，设矩形截面
一般地：
在梁的计算中可略去轴力、剪力的影响； 在深梁的计算中必须考虑剪力的影响。
由虚功互等： 即： 反力位移互等定理可叙述为：沿k方向的单位力在沿m方向引起的反力， 等于m方向发生单位位移时，在沿k方向引起的位移，但符号相反。
返回
或
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§4-4 虚位移原理与单位位移法
虚位移原理：
变形体系在力系作用下成平衡的必要与充分条件是，当有任意
虚拟的位移协调系（即虚位移）时，力系中的外力经位移系中
的位移所作的虚功恒等于变形体系各微段外力在变形位移上的
虚功和。
位移协调系
（虚拟）
用虚位移原理时，特别的假设发生单位位移。
返回
例 求图示四分之一圆弧的曲梁的自由端的角位移与线位移
解：1. 角位移 （1）虚力状态 （2）列内力方程
（3）
2. 竖向位移 （1）虚力状态 （2）列内力方程
（3）
2. 水平位移 （1）虚力状态 （2）列内力方程
（3）
例 求图示对称桁架在荷载作用下结点4的竖向位移，设 E 2100kN / cm2 ，图 中括弧内的数值为杆件截面面积A（ cm2 ）。
第四章 静定结构的位移计算
§4-1 概述 §4-2 外力虚功与虚变形功 §4-3 虚功原理 §4-4 虚位移原理与单位位移法 §4-5 虚力原理、单位荷载法 §4-6 杆件结构的位移计算公式
《结构力学》第四章 静定结构的位移计算 (3)
A M k M P ds
B EI
2
R 1
cos
( FP R
sin
)
Rd
0
EI
d
FPR3
2EI
FPk 1
A
B Bx 2 By 2
B kP
B
A M k M P ds B EI
2
(1)
(FPR sin
)
Rd
0
EI
R
O
FP R2 （
）
EI
（1）梁与刚架
三、结构的外力虚功
作用在结构上的外力可能是单个的集中力、力 偶、均布力，也可能是一个复杂的力系，为了 书写方便，通常将外力系的总虚功记为：
W = Fk × km
其中，Fk为作功的力或力系，称为广义力; km为广义力作功的位移，称为广义位移。 下面讨论几种常见广义力的虚功。
1) 集中力的虚功
Pk
k
M
4EIk
GAl 2
kP
若截面为矩形，则：A bh, I bh3 /12,k 6 l 1, 2
h / l 1 , 10
h/l 1 , 15
则：
Q kP
( h)2
Q
M kP
l
kP 25% kMP
对于粗短杆来说，剪 切变形产生的位移不可忽
Q
kP 1%
1
m
ds
第i根杆件静力状态上的力在位移状态的位移上所 作的虚功：
Vi
s FNk
mds
s FQk mds
s Mk
1
m
ds
整个杆件结构各个截面上的内力在位移状态的位 移上的所作的总虚功：
N
N
N
B EI
2
R 1
cos
( FP R
sin
)
Rd
0
EI
d
FPR3
2EI
FPk 1
A
B Bx 2 By 2
B kP
B
A M k M P ds B EI
2
(1)
(FPR sin
)
Rd
0
EI
R
O
FP R2 （
）
EI
（1）梁与刚架
三、结构的外力虚功
作用在结构上的外力可能是单个的集中力、力 偶、均布力，也可能是一个复杂的力系，为了 书写方便，通常将外力系的总虚功记为：
W = Fk × km
其中，Fk为作功的力或力系，称为广义力; km为广义力作功的位移，称为广义位移。 下面讨论几种常见广义力的虚功。
1) 集中力的虚功
Pk
k
M
4EIk
GAl 2
kP
若截面为矩形，则：A bh, I bh3 /12,k 6 l 1, 2
h / l 1 , 10
h/l 1 , 15
则：
Q kP
( h)2
Q
M kP
l
kP 25% kMP
对于粗短杆来说，剪 切变形产生的位移不可忽
Q
kP 1%
1
m
ds
第i根杆件静力状态上的力在位移状态的位移上所 作的虚功：
Vi
s FNk
mds
s FQk mds
s Mk
1
m
ds
整个杆件结构各个截面上的内力在位移状态的位 移上的所作的总虚功：
N
N
N
结构力学位移法
M=1 C
M=1
若求结构两个截面的相对角位移 在两个截面上加两个方向相反单 位力偶
1 d
1 d
A
求结构两个截面的相对角位移 B
d
C 求AB杆的角位移 杆的角位移
若求桁架中AB杆的角位移，应 加一单位力偶，构成这一力偶 的两个集中力取 1/d，垂直作 用于杆端
1 d1
1 d1
A
B 求AB、AC杆的角位移 、 杆的角位移
式中k—考虑剪应力沿截面分布不均匀的修正系数， 考虑剪应力沿截面分布不均匀的修正系数， 式中k 考虑剪应力沿截面分布不均匀的修正系数 与截面形状有关
∆ = ∑∫
FQ FQP FN FNP MMP ds + ∑ ∫ ds + ∑ ∫ k ds EI EA GA
式中 F N FQ M ——虚设单位荷载引起的内力 虚设单位荷载引起的内力
l
q
A B
L
∆Q ∆M
∆Q ∆M
EI = 4.8 GAl 2
= 4.8
E 8 = 2(1 + µ ) = G 3
I h2 = A 12
EI h = 1.067( ) 2 GAl 2 l
∆Q ∆M h = 1.067( ) 2 = 1.067% l
当 h= 1 时 l 10 h 1 当 = 时 l 2
FN FQ FQ
ds ds
M
M
ds dθ=κds
γ0 dη= γ0 ds dλ=εds
ds微段 微段 整根杆 变形体系
dwi12=FN εds+FQ γ0ds +M κds w’i12= ∫ (FN εds+FQ γ0ds +M κds) wi12= ∑∫(FN εds+FQ γ0ds +M κds)
结构力学-第四章-结构位移计算-2
M ( x) x (0 x a )
位移状态 (实际状态)
MP A ql 2
（2）写出各杆单位力作用下的弯矩方程式，画出弯矩图 横梁BC 竖柱CA
M ( x) a (0 x a )
ΔBV
o a
a B C
力状态 (虚设状态)
MMP dx EI 5 qa 4 1 1 4 1 3 x a x () 4 2 2 8 EI o
F N FNP Δ dx EA
桁架各杆均为等截面直杆则
F N FNP l Δ EA
§4-4 静定结构在荷载作用下的位移计算
（3）组合结构
F N FNP l MMP Δ ds EI EA
(4) 跨度较大的薄拱，其轴力和弯矩的影响相当，剪力 的影响不计，位移计算公式为
ql / 4
§4-5 图乘法
例9.图示结构 EI 为常数，求AB两点(1)相对竖向位 移,(2)相对水平位移,(3)相对转角 。 Pl P yc P ABY 对称结构的对称弯矩图与 EI A B 其反对称弯矩图图乘 ,结果 l 1 1 2 MP ( 为零 l Pl . l 4 l Pl l 2) EI 2 3 反对称弯矩图 l l 10 Pl3 1 1 () l 3 EI yc y c Mi 0 AB 0 ABX EI EI
C
§4-5 图乘法
ql2 / 2
MP
q ql2 / 8
A
B
A y c C l/2 l/2 c EI l/2 1 1 2 l ql 2 1 l 1 l ql 2 2 l ( M C EI 3 2 32 2 2 2 2 2 3 2 q 2 2 2 1 l ql 1 l ql / 2 ql / 8 ) 2 2 8 3 2 4 2 17 ql ql / 32 () 2 ql / 2 384 EI ql2 / 8
位移状态 (实际状态)
MP A ql 2
（2）写出各杆单位力作用下的弯矩方程式，画出弯矩图 横梁BC 竖柱CA
M ( x) a (0 x a )
ΔBV
o a
a B C
力状态 (虚设状态)
MMP dx EI 5 qa 4 1 1 4 1 3 x a x () 4 2 2 8 EI o
F N FNP Δ dx EA
桁架各杆均为等截面直杆则
F N FNP l Δ EA
§4-4 静定结构在荷载作用下的位移计算
（3）组合结构
F N FNP l MMP Δ ds EI EA
(4) 跨度较大的薄拱，其轴力和弯矩的影响相当，剪力 的影响不计，位移计算公式为
ql / 4
§4-5 图乘法
例9.图示结构 EI 为常数，求AB两点(1)相对竖向位 移,(2)相对水平位移,(3)相对转角 。 Pl P yc P ABY 对称结构的对称弯矩图与 EI A B 其反对称弯矩图图乘 ,结果 l 1 1 2 MP ( 为零 l Pl . l 4 l Pl l 2) EI 2 3 反对称弯矩图 l l 10 Pl3 1 1 () l 3 EI yc y c Mi 0 AB 0 ABX EI EI
C
§4-5 图乘法
ql2 / 2
MP
q ql2 / 8
A
B
A y c C l/2 l/2 c EI l/2 1 1 2 l ql 2 1 l 1 l ql 2 2 l ( M C EI 3 2 32 2 2 2 2 2 3 2 q 2 2 2 1 l ql 1 l ql / 2 ql / 8 ) 2 2 8 3 2 4 2 17 ql ql / 32 () 2 ql / 2 384 EI ql2 / 8
结构力学(虚功原理和结构位移计算)ppt课件
A
i
δij
j Pj=1
B
δjj
δjj －－直接柔度 δij －－间接柔度
δjj >0
>0 δij <0
=0
完整版课件
9
5、计算位移的有关假定
1)、结构材料服从“虎克定律”，即应力、应变成线形关系。
2)、小变形假设。变形前后荷载作用位置不变。
3)、结构各部分之间为理想联结，不计摩擦阻力。
4)、当杆件同时承受轴力与横向力作用时， 不考虑由于杆弯曲 所引起的杆端轴力对弯矩及弯曲变形的影响。
由平衡条件知：
A
R1
b 未知力与已知力 a 之间的几何方程
由虚功方程：
R1
C
a
b
图（a）
C
图（b）
Δ1c1ab0
即
完整版课件
Δ
c1
•
b a
B
B' P=1 B
14
应用虚力原理求未知位移的关键是沿拟求位移Δ方向虚设单 位荷载，并利用平衡条件求与已知位移c1对应的支反力 R1 这种解法称为单位荷载法。
特点：利用静力平衡，通过虚功方程来解几何问题。 适用范围： 刚体体系的位移计算，
若求桁架中AB杆的角位移，应加 一单位力偶，构成这一力偶的两个 集中力的值取 1/d。作用于杆端 且垂直于杆(d 为杆长)。
完整版课件
32
3) 若要求结构上两点(A、B)沿其连线的相对位移，可在 该两点沿其连线加上两个方向相反的单位力。
完整版课件
33
4) 若求梁或刚架上两个截面的相对角位移，可在两个截 面上加两个方向相反的单位力偶。
当静力加载时，即：
P
P由0增加至P
结构位移计算(第四章)
为什么弯矩图在 杆件同侧图乘结 果为正?
例. 试求图示结构B点竖向位移.
Pl
EI
l
P B
l
Mi
1
EI
MP
l
解: By
MM P EI ds yc EI
1 1 2 ( Pl l l Pl l l ) EI 2 3 4 Pl 3 () 3 EI
二、几种常见图形的面积和形心位置的确定方法
2 A1 lh 3
1 A2 lh 3
二次抛物线
2 A lh 3
例:求图示梁(EI=常数,跨长为l)B截面转角 B
q
A
1 2 ql 8 1 2
B
1
MP 图
M
图
解:
1 2 1 2 1 B [( l ql ) ] EI 3 8 2 3 1 ql （ ） 24 EI
)
用单位荷载法计算支座移动引起的位移计算 步骤如下：
（1）沿拟求△方向虚设相应的单位荷载； （2）求RK,根据静力平衡条件求单位荷载作用下 相应于支座移动cK的支座反力RK； （3）求△
ic Ri Ci
注意：当R与c方向一致时，乘积为正；反之为负。
§4-7 线弹性结构的互等定理
1. 功的互等定理: 方法一
刚架与梁的位移计算公式为：
iP MM P ds EI
在杆件数量多的情况下,不方便. 下面介绍 计算位移的图乘法.
一、图乘法
MM P ds EI 1 M M P ds EI
1 EI
(对于等 截面杆)
MM
P
dx (对于直杆)
( M x tan ) 图乘法的 1 适用条件是 x tan M P dx EI 什么? tan 图乘法求位移公式为: xM P dx
结构力学教学 虚功原理与结构位移计算
解：虚设力系如图(b)
M 1 (0 x l)
实际荷载作用下的弯矩图虚设力系如图(c)
MP
FPb l
x
(0 x a)
MP
FP a(1
x) l
(a x l)
MM P ds FPab(
EI
2EI
)
§5-5 图乘法
图乘法应用条件：杆件为直杆，有一个弯矩图是直线图， 截面抗弯刚度EI为一常数。
§5-5 图乘法
例5-7 试用图乘法计算图(a)所示简支梁B端转角△B。
解：荷载作用下的MP图如图(a) 虚设单位力偶作用下的 M 如图(b)
虚功方程为 1 M 0
解得
M
§5-2 结构位移计算的一般公式
例5-2 在图中，截面B有相对剪切位移η，试求A点与杆轴成α
角的斜向位移分量△。
解：图(a)的实际位移状态可改用 图(b)来表示。
虚设力系如图(c) FQ sin
虚功方程为 1 FQ 0
解得 FQ
§5-2 结构位移计算的一般公式
AB的圆心角为α，半径为R。试求B点的竖向位移△。
解：虚设荷载如图(b)
图(a)中
MP
1 2
qx2
FNP qx sin
FQP qx cos
图(b)中
M x
FN sin FQ cos
M
AMPM B EI
ds qR4 ( 2 cos 1 cos3 )
2EI 3
3
N
A FNPFN ds qR2 ( 2 cos 1 cos3 )
M
MM P ds ql4
EI
8EI
Q k
FQ FQP ds 0.6 ql 2
结构力学课件(虚功原理与结构位移计算)_图文
k--为截面形状系数
1.2
(3) 荷载作用下的位移计算公式
二、各类结构的位移计算公式 （1）梁与刚架 （2）桁架
（3）拱
例1. 试计算悬臂梁A点的竖向位移
。
q
P=1
A
C
BA
C
B
1）列出两种状态 的内力方程：
(a) 实际状态
AC段
(b) 虚设状态
CB段
AC段
CB段
2) 将上面各式代入位移公式分段积分计算
C
B
A
a
b
已知 求 设虚力状态
P=1
虚功方程
A
C
B
a
b
小结：（1）形式是虚功方程，实质是几何方程； （2）在拟求位移方向虚设一单位力，利用平衡条件求出与已知位移相 应的支座反力。构造一个平衡力系；
（3）特点是用静力平衡条件解决几何问题。
单位荷载其虚功正好等于拟求位移。
四、支座位移时静定结构的位移计算
G
B
0.25l 0.25l
0 1.5
0 1.5
0.5
0.5
2P
2P
1
1
1
C
1
D A
F B
00
4.5 E 3.0
1.5
G 1.5
1.5 0.5
1.5
0.5
钢筋砼
材料 杆件
AD
DC DE CE 钢 AE EG
lA
例3：求图示曲杆（1/4圆弧）顶点的竖向位移Δ。钢筋混凝土结构G≈0.4E P 矩形截面,k=1.2,I/A=h2/12
推导位移计算公式的两种途径 由刚体虚功原理来推导－局部到整体。
一、局部变形时的位移计算公式
位移计算少.ppt
结构力学多媒体课件
长春工程学院 结构力学教研室
虚功原理及结构的位移计算
一、位移计算概述
（一）结构的位移
（1）线位移： A （2）角位移：A
（二）产生变形与位移的原因 （1）荷载作用； （2）温度改变和材料胀缩； （3）支座沉降和制造误差等。
P Ax
A
Ay
A
A
为什么要计算 位移?
（三）结构位移计算的目的 （1）验算结构的刚度； （2）为超静定结构的内力分析打基础； （3）建筑起拱。
EI
ds
Δip
=
∫[ M P M i
EI
+
NP Ni ]ds EA
2.桁架
Δip
=
∑∫NP Ni
EA
ds= ∑
NP Nil EA
3.组合结构
Δip
=
∑∫M P M i
EI
ds
+ ∑NP Nil
EA
在拟求位移处沿着拟求位移的方向，虚 相应的广义单位荷载。
P=1
求A点的 水平位移
m=1
求A截面 的转角
Cx
1
2
3
1
2
3
静定结构位移计算小结
1.产生位移的原因 荷载作用；温度改变；支座移动；制造误差等。 2.计算方法 基本原理: 变形体虚功原理; 基本方法: 单位荷载法; 计算思路:(1)虚设单位力;
(2)分析结构位移、变形位移； （3）得出实用位移计算公式； （4）具体位移计算。
9.8 线弹性结构的互等定理
P
W P
M W M
3)作虚功的力系为两个等值 反向的集中力偶
4)作虚功的力系为两个等值 反向的集中力
长春工程学院 结构力学教研室
虚功原理及结构的位移计算
一、位移计算概述
（一）结构的位移
（1）线位移： A （2）角位移：A
（二）产生变形与位移的原因 （1）荷载作用； （2）温度改变和材料胀缩； （3）支座沉降和制造误差等。
P Ax
A
Ay
A
A
为什么要计算 位移?
（三）结构位移计算的目的 （1）验算结构的刚度； （2）为超静定结构的内力分析打基础； （3）建筑起拱。
EI
ds
Δip
=
∫[ M P M i
EI
+
NP Ni ]ds EA
2.桁架
Δip
=
∑∫NP Ni
EA
ds= ∑
NP Nil EA
3.组合结构
Δip
=
∑∫M P M i
EI
ds
+ ∑NP Nil
EA
在拟求位移处沿着拟求位移的方向，虚 相应的广义单位荷载。
P=1
求A点的 水平位移
m=1
求A截面 的转角
Cx
1
2
3
1
2
3
静定结构位移计算小结
1.产生位移的原因 荷载作用；温度改变；支座移动；制造误差等。 2.计算方法 基本原理: 变形体虚功原理; 基本方法: 单位荷载法; 计算思路:(1)虚设单位力;
(2)分析结构位移、变形位移； （3）得出实用位移计算公式； （4）具体位移计算。
9.8 线弹性结构的互等定理
P
W P
M W M
3)作虚功的力系为两个等值 反向的集中力偶
4)作虚功的力系为两个等值 反向的集中力
结构力学(虚功基本知识和结构位移计算)
解：在载荷作用下，
刚架的 M P 图如图所示，
状态I
BC梁
MP
1 qx2 2
AB柱
MP
1 qa2 2
<1>求C点的水平位移，可在C点加一单位力
得状态II，M K 图 状态II
BC梁 M K 0
AB柱 M K x
代入位移公式，得：
c
MPMK EI
ds
0
a
0
x( 1 qa2 ) 2 EI
三、几种类型的虚拟状态 求线位移： 沿拟求位移方向上施加相应的单位力。
求转角、相对转角： 沿拟求位移方向上施加相应的单位力矩。
1) 若求结构上C点的竖向位移，可在该点沿所求位移方 向加一单位力，如图示
2) 若求结构上截面A的角位移，可在截面处加一单位力偶。
若求桁架中AB杆的角位移，应加 一单位力偶，构成这一力偶的两个 集中力的值取 1/d。作用于杆端 且垂直于杆(d 为杆长)。
二、变形体位移计算的步骤： 1、沿拟求位移Δ方向虚设相应的单位荷载 2、确定单位荷载下的结构内力 M、 N、 Q 和支反力R 3、利用公式计算拟求位移Δ
注：1、Δ是广义位移
2、应用单位荷载法每次只能求得一个位移 3、虚拟单位力的指向可任意假定，求出结果为正表明
实际位移方向与虚拟单位力的方向一致，否则相反
3、位移产生的原因
（1）、结构 荷载作用 内力
应变
变形
结构上各点位置发生变化
（2）、结构
非荷载作用
温度改变、支座移动、 材料涨缩、制造误差
位移
虽不一定产生应力和应变，但却使结构产生位移。
4、结构位移
变形(deformation) －－结构在外部因素作用下，产生尺寸形状的改变； 由于变形将导致结构各结点位置的移动，于是产生位移。
第四章 虚功原理
W (外力虚功) = U (变形虚功)
虚功方程
1
平面杆系结构 虚功方程
Fk km = ∑ ∫ FNk ε m ds + ∑ ∫ FQk γ m ds + ∑ ∫ M k
s s s
ρm
ds
虚功原理适用范围：刚体体系、弹性、非弹性、线性、非线性 的变形体系均可适用。
结构力学
第4章 虚功原理
虚功原理两种应用形式：
2值反向共线的两集中力等值反向共面的两集中力偶平衡力系在刚体位移上的虚功1集中力的虚功静力状态k位移状态m2集中力偶的虚功静力状态k位移状态m3均布力的虚功静力状态k位移状态m4等值反向共线的两集中力的虚功静力状态k位移状态m5等值反向共面的两力偶的虚功静力状态k位移状态m6平衡力系在刚体位移上的虚功刚体虚位移原理
若令 k = 1 m = 1
rmk × 1 = rkm ×1
rmk = rkm
反力互等定理：k支座发生单位位移在m支座引起的反力 rmk 等于m支座发生单位位移在k支座引起的反力 rkm
m =1
结构力学
第4章 虚功原理
4、反力位移互等定理
r mk
Fk =1
θm=1
δkm
k状态
m状态
虚功互等定理
（1）沿所求位移的方向加以对应的单位虚力，建立静力状态（k）； （2）求解静力状态（k）中力 ； （3）用“k”状态考察实际的位移状态“m” 的协调性，建立虚功方程，求解未 知位移。
结构力学
第4章 虚功原理
v v 时， 中间铰C的竖向位移 Cm。 Bm
例题2
A
试利用单位荷载法求图示结构由于中间支座B发生沉降
结构力学
第4章 虚功原理
5、等值反向共面的两力偶的虚功
虚功方程
1
平面杆系结构 虚功方程
Fk km = ∑ ∫ FNk ε m ds + ∑ ∫ FQk γ m ds + ∑ ∫ M k
s s s
ρm
ds
虚功原理适用范围：刚体体系、弹性、非弹性、线性、非线性 的变形体系均可适用。
结构力学
第4章 虚功原理
虚功原理两种应用形式：
2值反向共线的两集中力等值反向共面的两集中力偶平衡力系在刚体位移上的虚功1集中力的虚功静力状态k位移状态m2集中力偶的虚功静力状态k位移状态m3均布力的虚功静力状态k位移状态m4等值反向共线的两集中力的虚功静力状态k位移状态m5等值反向共面的两力偶的虚功静力状态k位移状态m6平衡力系在刚体位移上的虚功刚体虚位移原理
若令 k = 1 m = 1
rmk × 1 = rkm ×1
rmk = rkm
反力互等定理：k支座发生单位位移在m支座引起的反力 rmk 等于m支座发生单位位移在k支座引起的反力 rkm
m =1
结构力学
第4章 虚功原理
4、反力位移互等定理
r mk
Fk =1
θm=1
δkm
k状态
m状态
虚功互等定理
（1）沿所求位移的方向加以对应的单位虚力，建立静力状态（k）； （2）求解静力状态（k）中力 ； （3）用“k”状态考察实际的位移状态“m” 的协调性，建立虚功方程，求解未 知位移。
结构力学
第4章 虚功原理
v v 时， 中间铰C的竖向位移 Cm。 Bm
例题2
A
试利用单位荷载法求图示结构由于中间支座B发生沉降
结构力学
第4章 虚功原理
5、等值反向共面的两力偶的虚功
结构力学第4章-虚功原理和结构的位移计算
dv
ds
θ
微段相对位移 微段相对位移 微段相对位移 （轴向变形） （剪切变形） （弯曲变形）
微段刚体位移
一个微杆段的位移可分解为刚体位移和变形体位移之和 （1）刚体位移（不计微段的变形）：u、v、θ （2）变形位移（反映微段的变形）：du、dv、dθ 。这是 描述微段总变形的三个基本参数。
ds
dv= g0 ds
变
变
N
Q
W变实际上是所有微段上内力在变形虚位移上所做虚功的总和， 称为变形虚功（数量上等于虚变形能）。
（2） 外力虚功W外
对于平面杆系而言，因为单个外力虚功按式W=FPΔ计算， 故所有外力（包括荷载和支座反力）在虚位移上所做虚功 的总和为:
W外=SFP
（ e）
将有关W外和W 的计算式（e）和（d）代入式（c），则 平面杆件结构的虚功方程可表示为 :
C1
C2
ds
D1
将微段ds上的作用力区分为 外力与内力，微段总的虚功：
D2
dW总= dW外+dW内
整个结构的总虚功为：
dW总 dW外 dW内
du ds
g0 g0
dθ
dv
ds
ds
W总=W外+W内 或简写为：
q
BM
FN FN MB
q
C M+dM
M+dM C
q
ds A FQ
或者简单地说，外力虚功等于变形虚功（数量上等于虚 变形能）。
W外 W变
2、关于原理的证明
FP
M
F
q
E F E’ F’
ds
FR1
E
结构力学课件支座移动、温度变化位移计算
du
1 2
t1
dx
t2
dx
t1
2
t2
dx
t0
dx
d t2 t1 dx t dx
h
h
l Ndu Qdv Md
l
N
t0
dx
M
t h
dx
t0
l
N
dx
t h
l
M
dx
t0 AN
t h
AM
符号： 1 由温度引起的弯曲方向与由单位力引起的弯曲方向一致，
取“正”号。 2 由温度引起的轴变方向与由单位力引起的轴变方向一致，
a h
1/2
CV
（ l a 1 b） 4h 2
la b 4h 2
2. 温度变化
l Ndu Q dv Md
温度改变时：1）由于纤维的伸长或缩短引起轴向变形 du 2）由于伸长或缩短不一致，引起弯曲变形 d 3）温度改变不引起剪切变形 dv
dx t2 dx
h
du
d
dx t1 dx
第四章 静定结构的位移计算
4.5 非荷载因素引起的位移
Displacement produced by non-loading effects
产生位移的原因
荷载作用 有内力 有变形
非
支座移动 无内力 无变形
荷
载
温度变化 无内力 有变形
因
素
制造误差
有位移
1. 支座移动
△
虚功原理：
位移
状态 ci
1 Rici l Ndu Qdv Md 0
谢 谢!
2010.8
h
3. 制造误差
＝
N0
1
结构力学课件位移计算的一般公式
NP Nil EI
（4）拱
ip
MPMi
EI
NP Ni EA
ds
例:求图示桁架(各杆EA相同)k点水平位移.
解：
P
P
0
NP 0
P a
2P k
a
kx
NP Nil EA
1
1 2
1
2
Ni
1
1 [(P)(1)a (P)(1)a 2P 2 2a] 2(1 2) Pa ()
EA
EA
作业 (8)
Q 1 M 100
例：求曲梁B点的竖向位移。
P B
R A
解：虚设力状态
O
M P PRsin , M i R sin
QP P cos , Qi cos
N P P sin , Ni sin
ds Rd
ip
[ N P N i k QPQi M P M i ]ds
EA
GA
EI
PR kPR PR3
Q 1 M 400
N 1 M 1200
小曲率杆可利用直杆公式近似计算。 轴向变形、剪切变形对位移的影响可略去不计。
2.各类结构的位移计算公式
（1）梁与刚架 （2）桁架 （3）组合结构
ip
M P M i ds EI
ip
N P N i ds EA
Ni NPl EA
ip
M P M i ds EI
dx
例 ：已知图示梁的E 、G，求A点的竖向位移。
解：虚设单位力状态 Ni (x) 0, NP (x) 0 Qi (x) 1, QP (x) q(l x)
M i (x) x l, M P (x) q(l x)2 / 2
结构力学第四章虚功原理和结构的位移计算
a
b
A
C
B
P
X
1、需设位移求静定结构的未知力（虚位移原理）
δX =1，δP=b/a
W=0
虚设位移求未知力（虚位移原理） 1）由虚位移原理建立的虚功方程，实质上是平衡方程。 2）虚位移与实际力系是彼此独立无关的，为了方便，可 以随意虚设，如设δX=1。 3）虚功法求未知力的特点是采用几何的方法求解静力平 衡问题。
QC=1.25qa
虚功方程为: QC×1
2、虚设力系求位移（虚力原理、单位荷载法）
b
a
c
Δ
P=1
å
ò
ds
EI
M
M
P
（5）桁架 Δ=
å
ò
EA
N
N
P
ds =
（6）桁梁混合结构
用于梁式杆
用于桁架杆
（7）拱常只考虑弯曲变形的影响； 对扁平拱需考虑轴向变形。
å
ò
ds
EI
M
M
P
å
ò
EA
N
N
P
+
Δ=
（3）公式右边各项分别是轴向、剪切、弯曲变形产生的位移。 （4）梁和刚架
作出机构可能发生的刚体虚 位移图；
应用虚功原理求静定结构的某一约束力X的步骤： 1）撤除与X相应的约束，使静定结构变成具有一个自由度 的机构，
使原来的约束力X变成主动力。
-
=
N
q
sin
-
=
R
M
q
cos
=
P
Q
P
q
sin
-
=
P
N
P
q
sin
-
b
A
C
B
P
X
1、需设位移求静定结构的未知力（虚位移原理）
δX =1，δP=b/a
W=0
虚设位移求未知力（虚位移原理） 1）由虚位移原理建立的虚功方程，实质上是平衡方程。 2）虚位移与实际力系是彼此独立无关的，为了方便，可 以随意虚设，如设δX=1。 3）虚功法求未知力的特点是采用几何的方法求解静力平 衡问题。
QC=1.25qa
虚功方程为: QC×1
2、虚设力系求位移（虚力原理、单位荷载法）
b
a
c
Δ
P=1
å
ò
ds
EI
M
M
P
（5）桁架 Δ=
å
ò
EA
N
N
P
ds =
（6）桁梁混合结构
用于梁式杆
用于桁架杆
（7）拱常只考虑弯曲变形的影响； 对扁平拱需考虑轴向变形。
å
ò
ds
EI
M
M
P
å
ò
EA
N
N
P
+
Δ=
（3）公式右边各项分别是轴向、剪切、弯曲变形产生的位移。 （4）梁和刚架
作出机构可能发生的刚体虚 位移图；
应用虚功原理求静定结构的某一约束力X的步骤： 1）撤除与X相应的约束，使静定结构变成具有一个自由度 的机构，
使原来的约束力X变成主动力。
-
=
N
q
sin
-
=
R
M
q
cos
=
P
Q
P
q
sin
-
=
P
N
P
q
sin
-
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↓↓↓↓
ds
M1+dM N1+dN Q1+dQ
微段的变形可分为ε2ds，γ2ds，κ2ds 变 dV12 =N1ε2ds+Q1γ2ds+M1κ2ds 变 V12 dV变 N12ds Q1 2ds M12ds 12 T12= N ds Q ds M ds 1 2 1 2 1 2
5
广义力 单个力 单个力偶 等值反向共线的一对力 一对等值反向的力偶
P P A ΔA t t
广义位移 力作用点沿力作用方向上的线位移 力偶作用截面的转角 两力作用点间距的改变，即两力 作用点的相对位移Δ 两力偶作用截面的相对转角Δ
P β ΔB
m B
m
A
B m
T=PΔA+PΔB =P（ ΔA+ΔB） =PΔ T=mA+mB =m（ A+ B）=mΔ
↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑
EA 注:（1）EI、EA、GA是杆件截面刚度； kQ k是截面形状系数k矩=1.2， k圆=10/9。 真实 GA （2）NP、QP、MP实际荷载引起的内力， 位移 M 状态 虚设单位荷载引起的内力是 N , Q , M EI 正负号规定： 轴力 NP 、N 拉力为正；剪力：QP、Q ， 顺时针转动为正；弯矩：MP、 M ，同侧纤维受拉取正 （3）公式右边各项分别是轴向、剪切、弯曲变形产生的位移。 NN NNP （4）梁和刚架 Δ= MM P ds （5）桁架 Δ= EA ds = EA l
虚拟力状态 1
R1
§4· 4荷载作用下的位移计算
一、荷载作用下的位移计算的一般公式与简化公式
NN P QQP MM P k iP (N Q M . )d s R.i d s ci GA EI EA
12
NP QP MP
T1 1
3
P dT
B P1 Δ
d T S Q A B P1 1 1 / 2
P2在自身引起的位移Δ22上作的功：
T 2 2 P2 2 2 / 2
O Δ11
A
在Δ12过程中，P1的值不变，
T1 2 P1 1 2
Δ12与P1无关
4
2、实功与虚功
实功：是力在自身引起的位移上所作的功。 如 T11，T22。实功恒为正。
N N Pl EA
杆件 NP
A 1.50 1/2
E
N
－1.58
l 0.263l
N N P l EA
1.97Pl/AbEb 1.84Pl/AbEb 0 0 0.63Pl/AgEg 0.5Pl/AgEg
AD
－4.74P
Ab Ab 0.75Ab
Ag 3Ag 2Ag
钢筋 混凝土
CD DE CE
－4.42P
－1.58
0 0
0.263l
0.088l 0.278l
钢筋
AE
EG
4.50P
3.00P
1.50
1.50
0.278l
0.222l
ΔC=Pl(3.81/AbEb+ 1.13/AgEg)· 2
钢筋混凝土结构G≈0.4E 例：求图示1/4圆弧曲杆顶点的竖向位移Δ。 矩形截面,k=1.2,I/A=h2/12 ds 解：1）虚拟单位荷载 虚拟荷载 2）实际荷载 Q EI 1 h 2 θ M P PRsinq M R sin q dθ 2 M GAR 4 R N P Psinq N sin q I N 1 h M AR 2 QP P cosq 12 R P=1 Q cos q h <1 M P ds N P ds QP ds 如 ds=Rdθ R 10 N Q 3） M 1 N EI EA GA Q 1 < < M 1200 PR 3 PR p 2 2 PR p 2 2 M 400 0 sinqdq GA 0 cosqdq EI EA 可见剪切变形和轴向变 形引起的位移与弯曲变形 p PR 3 p PR p PR 引起的位移相比可以忽略 4 EI 4 EA 4 GA 不计。但对于深梁剪切变 M N Q 形引起的位移不可忽略.
A B 位移方向未知 时无法直接虚 拟单位荷载！
求A点的 水平位移 P=1 求A截面 的转角 m=1
m=1
m=1
P=1
P=1
l
求AB两点 的相对位移
1/l
求AB两截面 的相对转角
1/l
求AB两点 连线的转角
14
二、荷载作用下的位移计算举例 例：图示屋架 的压杆采用钢 筋混凝土杆， 拉杆采用钢杆。 求C的竖向位 移。 解：1)将q 化为结点荷 载P=ql/4 2)求 N 3)求NP
2
P
16
17
例：求图示等截面梁B端转角。 解：1）虚拟单位荷载 2）MP须分段写 MP（x）=Px/2 0≤x≤l/2 MP（x）=P（l－x）/2 l/2 ≤x≤l x M (x) 0≤x≤l
l
P
A
EI
x x l/2 l/2
B
m=1
B M
l 0
M P ds EI
x Px l 2EI dx
一、变形体虚功原理 状态 1 是满足平衡条件的力状 ≠ T12 ＝ 0 态，状态2是满足变形连续条件 的位移状态，状态1的外力在状 态2的位移上作的外虚功等于状 态1的各微段的内力在状态2 各 微段的变形上作的内虚功之和 即：T12= V 12
变
10
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
ds
1
2 M1 N1 Q1
T 12
d2=κ2ds ds dλ2=ε2ds
N
1
2 ds Q 1 2 ds M 1 2 ds
dη2=γ2ds
11
二、变形体虚功原理的应用
t1 t2 P1 Ε2γ2κ2
P2
K
ΔKH
N ds Q ds M ds 需首先虚拟力状态 在欲求位移处沿所求位移方向加 上相应的广义单位力P=1.
1
基本要求：
领会变形体虚功方程。 掌握实功与虚功、广义力与广义位移确 定，掌握互等定理；支座移动和温 度改变引起的位移计算。 熟练掌握荷载产生的位移计算、用图乘 法求位移。
线支温图结虚 弹座度 构功 移改乘位 性动变 移及 体产产法计虚 生生 算 互的的及的功 等位位 一原 移移举般 定计计 公理 理算算例式理
2
§4· 位移计算概述 1
a）验算结构的刚度； 1、计算位移目的： b）为超静定结构的内力分析 打基础； a）荷载作用； 2、产生位移的主要原因： b）温度改变和材料胀缩； c）支座沉降和制造误差
↓↓↓↓↓↓↓↓↓ -t +t
d w dx
2 2
l β Δ
/l
M ,Q, N
, ,
应用虚功原理求静定结构的某一约束力X的步骤： 1）撤除与X相应的约束，使静定结构变成具有一个自由度 的机构，使原来的约束力X变成主动力。 2）沿X方向虚设单位虚位移。作出机构可能发生的刚体虚 位移图；利用几何关系求出其它主动力对应的虚位移。 3）建立虚功方程，求未知力。
8
qa
F
qa2
E
q
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
a
2a qa2
D
a
C
2a
B
a
A
qa
QC
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
QC
0.25
0.5
虚功方程为: QC×1+qa×0.25 －qa2×0.25/a －q×(1×2a/2+0.5 ×a/2 )＝0
QC=1.25qa
1
0.25/a
9
2、虚设力系求位移（虚力原理、单位荷载法） Δ c b a P=1
RA P a b
T 2 2 P2 2 2 / 2
虚功：是力在其它原因产生的位移上作的功。 如力与位移同向，虚功为正， 如力与位移反向，虚功为负
T1 2 P1 1 2
位移发生的位置
Δkj
产生位移的原因
3、广义力与广义位移 作功的两方面因素：力、位移。与力有关因素，称为广义力 S；与位有关的因素，称为广义位移Δ。广义力与广义位移的关 系是：它们的乘积是功的量纲。即：T=SΔ
继续 继续
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ q
柱
P
F
D
P/2
A 4.5P 3.0P
P/2
B
0.287l
2P
E
0.222l
0.25l
G
0.25l
2P
l/12 l/12
P
C
P
1
15
2)求 N 3)求NP 4)求ΔC
C
材料
C
继续
D 0 0 1.50 A G F B 1/2
A
Δ
B
6
4、刚体虚功原理 刚体在外力作用下处于平衡的充分必要条件是， 对于任意微小的虚位移，外力所作的虚功之和等于零。 W=0 二、虚功原理的应用 1）虚设位移求未知力（虚位移原理） 2）虚设力系求位移（虚力原理） P 1、需设位移求静定结构的未知力（虚位移原理）
X X P P 0
P P a b c 0 a b c （↑）
建立虚功方程：PΔ+Rac=0
1）由虚力原理建立的虚功方程，实质上是几何方程。 2）虚荷载与实际位移是彼此独立无关的，为了方便，可以 随意虚设，如设P=1。故称单位荷载法。 3）虚功法求位移的特点是采用平衡的方法求解几何问题。