结构力学第四章虚功原理和结构的位移计算
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T 12
1 2 1 2 1 2
K‘ 位移状态 2
( Q M N
2 2
1 × KH Ri ci ( 2 Q 2 M 2 )ds N
2
)ds R c
c1 P=1
N Q M
i i
该式是结构位移计算的一般公式, 1) 适用于静定结构和超静定结构。 2) 适用于不同的材料、产生位移的各 种原因、不同的变形类型。 3) 该式右边四项乘积，当力与变形 的方向一致时，乘积取正。
A B 位移方向未知 时无法直接虚 拟单位荷载！
求A点的 水平位移 P=1 求A截面 的转角 m=1
m=1
m=1
P=1
P=1
l
求AB两点 的相对位移
1/l
求AB两截面 的相对转角
1/l
求AB两点 连线的转角
14
二、荷载作用下的位移计算举例 例：图示屋架 的压杆采用钢 筋混凝土杆， 拉杆采用钢杆。 求C的竖向位 移。 解：1)将q 化为结点荷 载P=ql/4 2)求 N 3)求NP
一、变形体虚功原理 状态 1 是满足平衡条件的力状 ≠ T12 ＝ 0 态，状态2是满足变形连续条件 的位移状态，状态1的外力在状 态2的位移上作的外虚功等于状 态1的各微段的内力在状态2 各 微段的变形上作的内虚功之和 即：T12= V 12
变
10
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
ds
1
2 M1 N1 Q1
Mk
dx
ω
Mi
y0 x
y0=x0tgα
①∑表示对各杆和各杆段分别图乘再相加。 ②图乘法的应用条件：a）EI=常数；b）直杆；c）两个弯矩图 至少有一个是直线。 ③竖标y0取在直线图形中，对应另一图形的形心处。 ④面积A与竖标y0在杆的同侧， A y0 取正号，否则取负号。
⑤几种常见图形的面积和形心的位置： a b h h
↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑
EA 注:（1）EI、EA、GA是杆件截面刚度； kQ k是截面形状系数k矩=1.2， k圆=10/9。 真实 GA （2）NP、QP、MP实际荷载引起的内力， 位移 M 状态 虚设单位荷载引起的内力是 N , Q , M EI 正负号规定： 轴力 NP 、N 拉力为正；剪力：QP、Q ， 顺时针转动为正；弯矩：MP、 M ，同侧纤维受拉取正 （3）公式右边各项分别是轴向、剪切、弯曲变形产生的位移。 NN NNP （4）梁和刚架 Δ= MM P ds （5）桁架 Δ= EA ds = EA l
↓↓↓↓
ds
M1+dM N1+dN Q1+dQ
微段的变形可分为ε2ds，γ2ds，κ2ds 变 dV12 =N1ε2ds+Q1γ2ds+M1κ2ds 变 V12 dV变 N12ds Q1 2ds M12ds 12 T12= N ds Q ds M ds 1 2 1 2 1 2
0 0
0.263l
0.088l 0.278l
钢筋
AE
EG
4.50P
3.00P
1.50
1.50
0.278l
0.222l
ΔC=Pl(3.81/AbEb+ 1.13/AgEg)· 2
钢筋混凝土结构G≈0.4E 例：求图示1/4圆弧曲杆顶点的竖向位移Δ。 矩形截面,k=1.2,I/A=h2/12 ds 解：1）虚拟单位荷载 虚拟荷载 2）实际荷载 Q EI 1 h 2 θ M P PRsinq M R sin q dθ 2 M GAR 4 R N P Psinq N sin q I N 1 h M AR 2 QP P cosq 12 R P=1 Q cos q h <1 M P ds N P ds QP ds 如 ds=Rdθ R 10 N Q 3） M 1 N EI EA GA Q 1 < < M 1200 PR 3 PR p 2 2 PR p 2 2 M 400 0 sinqdq GA 0 cosqdq EI EA 可见剪切变形和轴向变 形引起的位移与弯曲变形 p PR 3 p PR p PR 引起的位移相比可以忽略 4 EI 4 EA 4 GA 不计。但对于深梁剪切变 M N Q 形引起的位移不可忽略.
2
§4· 位移计算概述 1
a）验算结构的刚度； 1、计算位移目的： b）为超静定结构的内力分析 打基础； a）荷载作用； 2、产生位移的主要原因： b）温度改变和材料胀缩； c）支座沉降和制造误差
↓↓↓↓↓↓↓↓↓ -t +t
d w dx
2 2
l β Δ
/l
M ,Q, N
, ,
P P a b c 0 a b c （↑）
建立虚功方程：PΔ+Rac=0
1）由虚力原理建立的虚功方程，实质上是几何方程。 2）虚荷载与实际位移是彼此独立无关的，为了方便，可以 随意虚设，如设P=1。故称单位荷载法。 3）虚功法求位移的特点是采用平衡的方法求解几何问题。
§4· 3变形体虚功原理及其应用
A a
X
b a
C b
B
P b X P X 0 a X
X P b a 0, X P
ΔX1
ΔP δP
δX =1，δP=b/a
X P P 0 , 1 X P P b a
7
虚设位移求未知力（虚位移原理） 1）由虚位移原理建立的虚功方程，实质上是平衡方程。 2）虚位移与实际力系是彼此独立无关的，为了方便，可 以随意虚设，如设δX=1。 3）虚功法求未知力的特点是采用几何的方法求解静力平 衡问题。
19
l/2
(a+l)/3 (b+l)/3
不产生内力，产 生变形产生位移
不产生内力和变 形产生刚体移动
位移是几何量，自然可用几何法来求， 但最好的方法是虚功法。其理论基础是虚功原理。 计算位移时，常假定：1）ζ=Eε；2）小变形。即：线弹 性体系。荷载与位移成正比，计算位移可用叠加原理。
§4· 2刚体虚功原理及应用
一、刚体虚功原理
1、静力加载过程 荷载由零增大到P1，其作用点 的位移也由零增大到Δ11，对线 弹性体系P与Δ成正比。 元功 dT=P·dΔ
应用虚功原理求静定结构的某一约束力X的步骤： 1）撤除与X相应的约束，使静定结构变成具有一个自由度 的机构，使原来的约束力X变成主动力。 2）沿X方向虚设单位虚位移。作出机构可能发生的刚体虚 位移图；利用几何关系求出其它主动力对应的虚位移。 3）建立虚功方程，求未知力。
8
qa
F
qa2
E
q
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
1
基本要求：
领会变形体虚功方程。 掌握实功与虚功、广义力与广义位移确 定，掌握互等定理；支座移动和温 度改变引起的位移计算。 熟练掌握荷载产生的位移计算、用图乘 法求位移。
线支温图结虚 弹座度 构功 移改乘位 性动变 移及 体产产法计虚 生生 算 互的的及的功 等位位 一原 移移举般 定计计 公理 理算算例式理
继续 继续
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ q
பைடு நூலகம்
柱
P
F
D
P/2
A 4.5P 3.0P
P/2
B
0.287l
2P
E
0.222l
0.25l
G
0.25l
2P
l/12 l/12
P
C
P
1
15
2)求 N 3)求NP 4)求ΔC
C
材料
C
继续
D 0 0 1.50 A G F B 1/2
N N Pl EA
杆件 NP
A 1.50 1/2
E
N
－1.58
l 0.263l
N N P l EA
1.97Pl/AbEb 1.84Pl/AbEb 0 0 0.63Pl/AgEg 0.5Pl/AgEg
AD
－4.74P
Ab Ab 0.75Ab
Ag 3Ag 2Ag
钢筋 混凝土
CD DE CE
－4.42P
－1.58
虚拟力状态 1
R1
§4· 4荷载作用下的位移计算
一、荷载作用下的位移计算的一般公式与简化公式
NN P QQP MM P k iP (N Q M . )d s R.i d s ci GA EI EA
12
NP QP MP
5
广义力 单个力 单个力偶 等值反向共线的一对力 一对等值反向的力偶
P P A ΔA t t
广义位移 力作用点沿力作用方向上的线位移 力偶作用截面的转角 两力作用点间距的改变，即两力 作用点的相对位移Δ 两力偶作用截面的相对转角Δ
P β ΔB
m B
m
A
B m
T=PΔA+PΔB =P（ ΔA+ΔB） =PΔ T=mA+mB =m（ A+ B）=mΔ
T 12
d2=κ2ds ds dλ2=ε2ds
N
1
2 ds Q 1 2 ds M 1 2 ds
dη2=γ2ds
11
二、变形体虚功原理的应用
t1 t2 P1 Ε2γ2κ2
P2
K
ΔKH
N ds Q ds M ds 需首先虚拟力状态 在欲求位移处沿所求位移方向加 上相应的广义单位力P=1.
2
P
16
17
例：求图示等截面梁B端转角。 解：1）虚拟单位荷载 2）MP须分段写 MP（x）=Px/2 0≤x≤l/2 MP（x）=P（l－x）/2 l/2 ≤x≤l x M (x) 0≤x≤l
l
P
A
EI
x x l/2 l/2
B
m=1
B M
l 0
M P ds EI
x Px l 2EI dx
T 2 2 P2 2 2 / 2
虚功：是力在其它原因产生的位移上作的功。 如力与位移同向，虚功为正， 如力与位移反向，虚功为负
T1 2 P1 1 2
位移发生的位置
Δkj
产生位移的原因
3、广义力与广义位移 作功的两方面因素：力、位移。与力有关因素，称为广义力 S；与位有关的因素，称为广义位移Δ。广义力与广义位移的关 系是：它们的乘积是功的量纲。即：T=SΔ
P 2 P 2
P
2
N
P
（6）桁梁混合结构
Δ=
EI
MM EI
P
ds
NN EA
P
l
用于桁架杆
用于梁式杆 （7）拱常只考虑弯曲变形的影响； 对扁平拱需考虑轴向变形。 Δ= M M P
EI
ds +
NN P EA
13
（8）该公式适用于静定和超静定结构，但必须是弹性体系。 （9）虚拟力状态：在拟求位移处沿着拟求位移的方向，虚设 相应的广义单位荷载。
l 2 0
l l 2
x P (l x ) l 2EI
dx
Pl
2
16 EI
积分常可用图形相乘来代替
18
§4· 图乘法计算位移 5
EI C 直杆 Mi M k Mi M k 1 ds dx EI Mi Mk dx EI EI M i是直线 x 1 B 1 a B A M k xtgadx EI tg A xMk dx x0 EI y 1 tga×A x0 1 Ay0 EI EI α A MM P dx y0 Mi=xtgα EI EI 注：
a
2a qa2
D
a
C
2a
B
a
A
qa
QC
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
QC
0.25
0.5
虚功方程为: QC×1+qa×0.25 －qa2×0.25/a －q×(1×2a/2+0.5 ×a/2 )＝0
QC=1.25qa
1
0.25/a
9
2、虚设力系求位移（虚力原理、单位荷载法） Δ c b a P=1
RA P a b
T1 1
3
P dT
B P1 Δ
d T S Q A B P1 1 1 / 2
P2在自身引起的位移Δ22上作的功：
T 2 2 P2 2 2 / 2
O Δ11
A
在Δ12过程中，P1的值不变，
T1 2 P1 1 2
Δ12与P1无关
4
2、实功与虚功
实功：是力在自身引起的位移上所作的功。 如 T11，T22。实功恒为正。
A
Δ
B
6
4、刚体虚功原理 刚体在外力作用下处于平衡的充分必要条件是， 对于任意微小的虚位移，外力所作的虚功之和等于零。 W=0 二、虚功原理的应用 1）虚设位移求未知力（虚位移原理） 2）虚设力系求位移（虚力原理） P 1、需设位移求静定结构的未知力（虚位移原理）
X X P P 0
1 2 1 2 1 2
K‘ 位移状态 2
( Q M N
2 2
1 × KH Ri ci ( 2 Q 2 M 2 )ds N
2
)ds R c
c1 P=1
N Q M
i i
该式是结构位移计算的一般公式, 1) 适用于静定结构和超静定结构。 2) 适用于不同的材料、产生位移的各 种原因、不同的变形类型。 3) 该式右边四项乘积，当力与变形 的方向一致时，乘积取正。
A B 位移方向未知 时无法直接虚 拟单位荷载！
求A点的 水平位移 P=1 求A截面 的转角 m=1
m=1
m=1
P=1
P=1
l
求AB两点 的相对位移
1/l
求AB两截面 的相对转角
1/l
求AB两点 连线的转角
14
二、荷载作用下的位移计算举例 例：图示屋架 的压杆采用钢 筋混凝土杆， 拉杆采用钢杆。 求C的竖向位 移。 解：1)将q 化为结点荷 载P=ql/4 2)求 N 3)求NP
一、变形体虚功原理 状态 1 是满足平衡条件的力状 ≠ T12 ＝ 0 态，状态2是满足变形连续条件 的位移状态，状态1的外力在状 态2的位移上作的外虚功等于状 态1的各微段的内力在状态2 各 微段的变形上作的内虚功之和 即：T12= V 12
变
10
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
ds
1
2 M1 N1 Q1
Mk
dx
ω
Mi
y0 x
y0=x0tgα
①∑表示对各杆和各杆段分别图乘再相加。 ②图乘法的应用条件：a）EI=常数；b）直杆；c）两个弯矩图 至少有一个是直线。 ③竖标y0取在直线图形中，对应另一图形的形心处。 ④面积A与竖标y0在杆的同侧， A y0 取正号，否则取负号。
⑤几种常见图形的面积和形心的位置： a b h h
↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑
EA 注:（1）EI、EA、GA是杆件截面刚度； kQ k是截面形状系数k矩=1.2， k圆=10/9。 真实 GA （2）NP、QP、MP实际荷载引起的内力， 位移 M 状态 虚设单位荷载引起的内力是 N , Q , M EI 正负号规定： 轴力 NP 、N 拉力为正；剪力：QP、Q ， 顺时针转动为正；弯矩：MP、 M ，同侧纤维受拉取正 （3）公式右边各项分别是轴向、剪切、弯曲变形产生的位移。 NN NNP （4）梁和刚架 Δ= MM P ds （5）桁架 Δ= EA ds = EA l
↓↓↓↓
ds
M1+dM N1+dN Q1+dQ
微段的变形可分为ε2ds，γ2ds，κ2ds 变 dV12 =N1ε2ds+Q1γ2ds+M1κ2ds 变 V12 dV变 N12ds Q1 2ds M12ds 12 T12= N ds Q ds M ds 1 2 1 2 1 2
0 0
0.263l
0.088l 0.278l
钢筋
AE
EG
4.50P
3.00P
1.50
1.50
0.278l
0.222l
ΔC=Pl(3.81/AbEb+ 1.13/AgEg)· 2
钢筋混凝土结构G≈0.4E 例：求图示1/4圆弧曲杆顶点的竖向位移Δ。 矩形截面,k=1.2,I/A=h2/12 ds 解：1）虚拟单位荷载 虚拟荷载 2）实际荷载 Q EI 1 h 2 θ M P PRsinq M R sin q dθ 2 M GAR 4 R N P Psinq N sin q I N 1 h M AR 2 QP P cosq 12 R P=1 Q cos q h <1 M P ds N P ds QP ds 如 ds=Rdθ R 10 N Q 3） M 1 N EI EA GA Q 1 < < M 1200 PR 3 PR p 2 2 PR p 2 2 M 400 0 sinqdq GA 0 cosqdq EI EA 可见剪切变形和轴向变 形引起的位移与弯曲变形 p PR 3 p PR p PR 引起的位移相比可以忽略 4 EI 4 EA 4 GA 不计。但对于深梁剪切变 M N Q 形引起的位移不可忽略.
2
§4· 位移计算概述 1
a）验算结构的刚度； 1、计算位移目的： b）为超静定结构的内力分析 打基础； a）荷载作用； 2、产生位移的主要原因： b）温度改变和材料胀缩； c）支座沉降和制造误差
↓↓↓↓↓↓↓↓↓ -t +t
d w dx
2 2
l β Δ
/l
M ,Q, N
, ,
P P a b c 0 a b c （↑）
建立虚功方程：PΔ+Rac=0
1）由虚力原理建立的虚功方程，实质上是几何方程。 2）虚荷载与实际位移是彼此独立无关的，为了方便，可以 随意虚设，如设P=1。故称单位荷载法。 3）虚功法求位移的特点是采用平衡的方法求解几何问题。
§4· 3变形体虚功原理及其应用
A a
X
b a
C b
B
P b X P X 0 a X
X P b a 0, X P
ΔX1
ΔP δP
δX =1，δP=b/a
X P P 0 , 1 X P P b a
7
虚设位移求未知力（虚位移原理） 1）由虚位移原理建立的虚功方程，实质上是平衡方程。 2）虚位移与实际力系是彼此独立无关的，为了方便，可 以随意虚设，如设δX=1。 3）虚功法求未知力的特点是采用几何的方法求解静力平 衡问题。
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l/2
(a+l)/3 (b+l)/3
不产生内力，产 生变形产生位移
不产生内力和变 形产生刚体移动
位移是几何量，自然可用几何法来求， 但最好的方法是虚功法。其理论基础是虚功原理。 计算位移时，常假定：1）ζ=Eε；2）小变形。即：线弹 性体系。荷载与位移成正比，计算位移可用叠加原理。
§4· 2刚体虚功原理及应用
一、刚体虚功原理
1、静力加载过程 荷载由零增大到P1，其作用点 的位移也由零增大到Δ11，对线 弹性体系P与Δ成正比。 元功 dT=P·dΔ
应用虚功原理求静定结构的某一约束力X的步骤： 1）撤除与X相应的约束，使静定结构变成具有一个自由度 的机构，使原来的约束力X变成主动力。 2）沿X方向虚设单位虚位移。作出机构可能发生的刚体虚 位移图；利用几何关系求出其它主动力对应的虚位移。 3）建立虚功方程，求未知力。
8
qa
F
qa2
E
q
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
1
基本要求：
领会变形体虚功方程。 掌握实功与虚功、广义力与广义位移确 定，掌握互等定理；支座移动和温 度改变引起的位移计算。 熟练掌握荷载产生的位移计算、用图乘 法求位移。
线支温图结虚 弹座度 构功 移改乘位 性动变 移及 体产产法计虚 生生 算 互的的及的功 等位位 一原 移移举般 定计计 公理 理算算例式理
继续 继续
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ q
பைடு நூலகம்
柱
P
F
D
P/2
A 4.5P 3.0P
P/2
B
0.287l
2P
E
0.222l
0.25l
G
0.25l
2P
l/12 l/12
P
C
P
1
15
2)求 N 3)求NP 4)求ΔC
C
材料
C
继续
D 0 0 1.50 A G F B 1/2
N N Pl EA
杆件 NP
A 1.50 1/2
E
N
－1.58
l 0.263l
N N P l EA
1.97Pl/AbEb 1.84Pl/AbEb 0 0 0.63Pl/AgEg 0.5Pl/AgEg
AD
－4.74P
Ab Ab 0.75Ab
Ag 3Ag 2Ag
钢筋 混凝土
CD DE CE
－4.42P
－1.58
虚拟力状态 1
R1
§4· 4荷载作用下的位移计算
一、荷载作用下的位移计算的一般公式与简化公式
NN P QQP MM P k iP (N Q M . )d s R.i d s ci GA EI EA
12
NP QP MP
5
广义力 单个力 单个力偶 等值反向共线的一对力 一对等值反向的力偶
P P A ΔA t t
广义位移 力作用点沿力作用方向上的线位移 力偶作用截面的转角 两力作用点间距的改变，即两力 作用点的相对位移Δ 两力偶作用截面的相对转角Δ
P β ΔB
m B
m
A
B m
T=PΔA+PΔB =P（ ΔA+ΔB） =PΔ T=mA+mB =m（ A+ B）=mΔ
T 12
d2=κ2ds ds dλ2=ε2ds
N
1
2 ds Q 1 2 ds M 1 2 ds
dη2=γ2ds
11
二、变形体虚功原理的应用
t1 t2 P1 Ε2γ2κ2
P2
K
ΔKH
N ds Q ds M ds 需首先虚拟力状态 在欲求位移处沿所求位移方向加 上相应的广义单位力P=1.
2
P
16
17
例：求图示等截面梁B端转角。 解：1）虚拟单位荷载 2）MP须分段写 MP（x）=Px/2 0≤x≤l/2 MP（x）=P（l－x）/2 l/2 ≤x≤l x M (x) 0≤x≤l
l
P
A
EI
x x l/2 l/2
B
m=1
B M
l 0
M P ds EI
x Px l 2EI dx
T 2 2 P2 2 2 / 2
虚功：是力在其它原因产生的位移上作的功。 如力与位移同向，虚功为正， 如力与位移反向，虚功为负
T1 2 P1 1 2
位移发生的位置
Δkj
产生位移的原因
3、广义力与广义位移 作功的两方面因素：力、位移。与力有关因素，称为广义力 S；与位有关的因素，称为广义位移Δ。广义力与广义位移的关 系是：它们的乘积是功的量纲。即：T=SΔ
P 2 P 2
P
2
N
P
（6）桁梁混合结构
Δ=
EI
MM EI
P
ds
NN EA
P
l
用于桁架杆
用于梁式杆 （7）拱常只考虑弯曲变形的影响； 对扁平拱需考虑轴向变形。 Δ= M M P
EI
ds +
NN P EA
13
（8）该公式适用于静定和超静定结构，但必须是弹性体系。 （9）虚拟力状态：在拟求位移处沿着拟求位移的方向，虚设 相应的广义单位荷载。
l 2 0
l l 2
x P (l x ) l 2EI
dx
Pl
2
16 EI
积分常可用图形相乘来代替
18
§4· 图乘法计算位移 5
EI C 直杆 Mi M k Mi M k 1 ds dx EI Mi Mk dx EI EI M i是直线 x 1 B 1 a B A M k xtgadx EI tg A xMk dx x0 EI y 1 tga×A x0 1 Ay0 EI EI α A MM P dx y0 Mi=xtgα EI EI 注：
a
2a qa2
D
a
C
2a
B
a
A
qa
QC
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
QC
0.25
0.5
虚功方程为: QC×1+qa×0.25 －qa2×0.25/a －q×(1×2a/2+0.5 ×a/2 )＝0
QC=1.25qa
1
0.25/a
9
2、虚设力系求位移（虚力原理、单位荷载法） Δ c b a P=1
RA P a b
T1 1
3
P dT
B P1 Δ
d T S Q A B P1 1 1 / 2
P2在自身引起的位移Δ22上作的功：
T 2 2 P2 2 2 / 2
O Δ11
A
在Δ12过程中，P1的值不变，
T1 2 P1 1 2
Δ12与P1无关
4
2、实功与虚功
实功：是力在自身引起的位移上所作的功。 如 T11，T22。实功恒为正。
A
Δ
B
6
4、刚体虚功原理 刚体在外力作用下处于平衡的充分必要条件是， 对于任意微小的虚位移，外力所作的虚功之和等于零。 W=0 二、虚功原理的应用 1）虚设位移求未知力（虚位移原理） 2）虚设力系求位移（虚力原理） P 1、需设位移求静定结构的未知力（虚位移原理）
X X P P 0