04第六章 离散化方法

---零极点个数； ---系统的频带； ---稳态增益； ---相位及增益裕度； ---阶跃响应或
脉冲响应形状； ---频率响应特性。
•离散化方法很多
• 数值积分法（置换法） ---一阶向后差法 ---一阶向前差法 ---双线性变换法 ---修正双线性变换法
• 零极点匹配法 • 保持器等价法
• z变换法(脉冲响应不变法)
1
s2 0.8s 1
一阶向后差分法离散。
， T=1s、0.1s，试用
解
1
D(z) D(s)
s(1 z1 )/T
(s2 0.8s 1)
s(1 z1 )/T

1 [(1 z1)2 / T 2 0.8(1 z1) / T 1]
T2z2 1 az bz2
z1,2 =0.5000 j0.3273 =0.597580.5796
D2(z) 两个根分别为：
z1,2 =0.9541 j0.0841=0.95780.0879
均位于单位圆内
❖ 稳态增益不变
D(s) s0 1
D1(z)
z 1
1 1 2.8 2.8
1
D2 (z)
z 1

D(s)
❖ 设模拟控制器的传递函数为 D(s) U (s) n Ai
E(s) i1 s ai
❖ 在单位脉冲作用下输出响应为 u(t) L1 D(s) n Ai eait i 1
❖ 其采样值为
n
u(kT)
A e aikT i
i 1
例 已知模拟控制器 D(s) a ，求数字控制器D(z)。
z 2 (1T )2 (T )2
令 z （1 单位圆） 1 (1 T )2 (T )2
1 T2


1 T

2
2
•只有当D(s)的所有极点位于左 半平面的以点（-1/T，0) 为圆心、1/T为半径的圆内， 离散化后D(z)的极点才位于 z平面单位圆内
--映射是一对一的非线性映射。
s 2 (z 1) T (z 1)
s域角频率
A

2 T
tan
DT
2
jA

2 T
1 1
e jDT e jDT

2 T
e jDT /2 e jDT /2
e jDT /2 e jDT /2
2 2 jsin(DT / 2) j 2 tan DT
1
。
1 D( z) s2 0.8s 1 s( z1)/T

z2
T2 (2 0.8T )z (1 0.8T
T2)
稳定性判断：要求
0 T 0.8s
•若取T=1s，则D(s)的极点将落在以(-1/T,0) 为圆心， 以r=1/T为半径的圆外 .
4 .双线性变换法
例 已知连续控制器传递函数
1
D(s)
,T 1,0.2s
s2 0.8s 1
试用双线性变换法离散，并比较D(s)与D(z)的频率特性。
解：
D(z)

s2
1 0.8s
1
s 2 ( z 1) T ( z 1)

2 T
z z
1 2

1


1
0.8
2 T
(z
❖ 若D(s)稳定，则D(z)一定稳定。
❖ 离散后控制器的时间响应与频率响应，与连续控制器相比有 相当大的畸变。
❖ 变换前后，稳态增益不变。 D(s) s0 D(z) z1
应用
•变换较为方便。 •采样周期较大时，这种变换的映射关系畸变较为 严重，变换精度较低，工程应用受到限制。
例
已知 D(s)
•T=1s时的单位阶跃响应与连续系统响应接近 •T=0.2s时的单位阶跃响应与连续系统响应非 常接近。 •这表明该方法精度较高。
5. 频率预畸变双线性变换法
❖ 基本思想： 双线性变换产生了频率轴的非线性畸变，预 修正的目的是满足在某个选定的关键频率ω1上:
D(ej1T ) D( j1)
为实现上述要求，需将D(s/ω1)平移到D(s/ωA)处，再做Tustin 变换.因为
•变换也是z变换的一种近似
e(Ts / 2) z e(Ts/2)
s与z之间的变换关系 s 2 (z 1) T (z 1)
•离散化公式
1 T s
z

1
2 T
s
2
D(z) D(s) 2(1z1) s T (1 z1 )
•对于给定
D(s) U (s) 1 E(s) s
, a 2 0.8T , b 1 0.8T T 2
当T=1s时，a=2.8，b=2.8，
D1 ( z )

1
z2 2.8z
2.8z2
当T=0.1s时，a=2.08，b=1.09，D2
(
z
)

1

0.01z2 2.08z 1.09
z
2
分析所得结果可知：
❖ 可以判断，环节稳定性不变。 D(s) 是稳定的；D1(z) 两个根分别为：
•双线性变换后环节的稳态增益不变
D(s) s0 D(z) z1 •双线性变换后D(z)的阶次不变， 且分子、分母具有相同的阶次。并有下式成立：
D(e jT ) s 0 2
应用
1) 这种方法使用方便，且有一定的精度和前述一些好 的特性，工程上应用较为普遍。
2) 这种方法的主要缺点是高频特性失真严重，主要用 于低通环节的离散化，不宜用于高通环节的离散化。
图 向前差分法的映射关系
❖ s若D(s)稳定，采用向前差分法离散化，D(z)不一定稳定。只 有采用较小的采样周期T，方能保证D(z)稳定。
❖ 映射关系畸变严重，不能保证D(z)一定稳定。 ❖ 使用简单方便，如若采样周期较小，亦可使用。
例 试用向前差分法离散下述传递函数
D(s)

s2

1 0.8s
D(s
/
A
)

s D(
1
1 A
)
相当于在原系统传递函数s处引入一个比例因子：
主要特性 ❖ s平面与z平面映射关系
z 1 1 1 (1 Ts) 1 Ts 2 2 (1 Ts)
s j
z

1 2
2

1 4
(1T )2 (1T )2

(T )2 (T )2
•当=0 （s平面虚轴），s平面虚轴映射到z平面为该小圆的
圆周。
•当> 0（s右半平面），映射到z平面为上述小圆的外部。 •当< 0（s左半平面），映射到z平面为上述小圆的内部。
D(z) U (z) / E(z) T /(1 z1) •可以看出，D(z)与D(s)的形式完全相同
s与z之间的变换关系
s (1 z1) /T
z 1 1 sT
• 一阶向后差分替换关系是z与s变量关系的一种近似
z esT
1 esT
1 1 sT
1 z1 s
T
sa
解：
D(z) D(s) a
1 eaT z 1
控制算法为： u(k) ae(k) eaT u(k 1)
2)．脉冲响应不变法特点
❖ D(z)与D(s)的脉冲响应相同。 ❖ 若D(s)稳定，则D(z)也稳定。 ❖ D(z)不能保持D(s)的频率响应。 ❖ D(z)将ωs的整数倍频Leabharlann Baidu变换到Z平面上的同一个点的频率，因而出现了
z
1)
1

1
T 2 z 12
(4 1.6T T 2 )z2 (8 2T 2 )z (4 1.6T T 2 )
当T=1s时，
0.1515 z 12
D1(z) z2 0.9091z 0.5152
当T=0.2s时，
0.0092 z 12
D2 (z) z2 1.8165z 0.8532
MATLAB命令：
num=[1]; Den=[1 0.8 1] [n,d]=c2dm(num,den,1,’tustin’)
单位阶跃响应的仿真结果
n = [0.1515 0.3030 0.1515] d= [1.0000 -0.9091 0. 5152]
T 2 cos(DT / 2) T
2
z域角频率
•若D(s)稳定，则D(z)一定稳定。
•频率畸变：双线性变换的一对一映射，保证了离散频率特性 不产生频率混叠现象，但产生了频率畸变
双线性变换的频率关系
A

2 T
tan
DT
2
当采样频率较高
DT 足够小
双线性变换频率特性失真
A

2 T
DT
2
D
D(z) U (z) E(z)

T (1 z1) 2
1 z1

2
1 (z 1)
T (z 1)
主要特性
❖ s平面与z平面映射关系
z

1 1
T
2 T
2
s s

1 1
T 2 T 2



j j
T
2
T
2
s j
z
2

1 1
T 2 T 2

2

2



T
2
T
2
2

2

•当=0（s平面虚轴)映射为z平面
的单位圆周。
•当> 0（s右半平面），映射到z
平面单位圆外 。
•当< 0（s左半平面），映射到z
平面单位圆内 。
图 双线性变换映射关系
•双线性变换将
--整个s平面左半部到z平面单位圆内。 --整个s平面右半部映射到单位圆外。 --s平面虚轴映射为单位圆。
0.01 1 2.08 1.09
1
❖ 单位阶跃响应
2).一阶向前差分法
❖ 基本思想：将连续域中的微分用一阶向前差分替换
D(z) D(s) s z1 T
对 D(s) U (s) 1
E(s) s
其微分方程为
t
du(t) / dt e(t),u(t) e(t)dt
•其微分方程为
t
du(t) / dt e(t),u(t) e(t)dt
0
❖ 相当于数学的梯形积分法，即以梯形面积近似代替积分
❖ 每个题型面积的宽度为T，上底和下底面积分别为 e(k 1) e(k)
❖ 故面积为
u(k) u(k 1) T [e(k) e(k 1)] 2
U(z) z1U(z) T [E(z) z1E(z)] 2
School of Electrical Engineering
计算机控制技术
模拟控制器的离散化方法
❖ 模拟控制器离散化成的数字控制器，也可以认为是数字滤波器 ❖ 离散化法的实质就是求原连续传递函数D(s)的等效离散传递
函数D(z) 。 ❖ “等效”是指D(s)与D(z)在下述几种特性方面具有相近性：
D(s) U (s) 1 E(s) s
•其微分方程为 du(t) / dt e(t),u(t)
t
e(t)dt
0
•用一阶向后差分代替微分，则 du(t)/ dt {u(kT) u[(k 1)T]}/T
u(kT) u[(k 1)T] Te(kT)
•两边取Z变换得
U (z) z1U (z) TE(z)
0
用一阶向前差分代替微分 du(t) / dt {u[(k 1)T] u(kT)}/T
u[(k 1)T] u(kT) Te(kT)
两边取Z变换得 (z 1)U(z) TE(z)
D(z) U (z) / E(z) T /(z 1)
主要特性
❖ s平面与z平面映射关系
z 1 Ts (1T) jT
混叠现象。 ❖ 其应用范围是：连续控制器D(s)应具有部分分式结构或能较容易地分解
为并联结构。D(s)具有陡衰减特性，且为有限带宽信号的场合。这时采 样频率足够高，可减少频率混叠影响，从而保证D(z)的频率特性接近原 连续控制器D(s)。
2.阶跃响应不变法（加零阶保持器的Z变换法）
❖ 基本思想：用零阶保持器与模拟控制器串联，然后再进行 Z变换离散化成数字控制器
注意：不同的离散化方法特性不同. D(z)与D(s)相比，并不能 保持全部特性，并且不同特性的接近程度也不一致。
1 脉冲响应不变法（Z变换法）
1)．设计原理
❖ 基本思想：数字滤波器产生的脉冲响应序列近似等于模拟
滤波器的脉冲响应函数的采样值。
D( z )

u(kT)
n i 1
Ai 1 eaiT z 1
D(z)


1

e Ts s
D(s)

❖ 若D(s)稳定，则D(z)也稳定。 ❖ D(z)不能保持D(s)的脉冲响应和频率响应。 ❖ 零阶保持器是假想的，没有物理的零阶保持器。
3.差分变换法
1).一阶向后差分
❖ 基本思想：将连续域中的微分用一阶向后差分替换
•对于给定
D(z) D(s) s1z1 T