04第六章 离散化方法
离散化方法介绍及其区别
离散化方法介绍及其区别1.等宽离散化（等间隔离散化）:等宽离散化是指将数据按照相同宽度的区间进行分割。
具体来说，为了进行等宽离散化，首先需要确定分割数量（即离散化的个数），然后计算出每个区间的宽度，最后将数据根据宽度进行划分。
等宽离散化的优点是简单直观，易于理解和实现；缺点是容易受到异常点的干扰，可能导致一些区间没有数据。
2.等频离散化（等深离散化）:等频离散化是指将数据按照相同数量的样本进行分割。
具体来说，等频离散化需要确定分割数量（即离散化的个数），然后根据样本数量将数据划分为相等的分组。
等频离散化的优点是对于分布不均匀的数据可以得到较好的效果；缺点是对于样本数量较少的情况，可能导致分组过于细致，不易进行统计分析。
3.最优化离散化:最优化离散化是指通过最优化问题求解来获取最佳离散化结果。
具体来说，最优化离散化可以通过最大化类间差异，最小化类内差异，或者最小化整体误差等准则来选择最佳划分点。
最优化离散化的优点是可以得到较好的离散化效果；缺点是计算复杂度较高，需要耗费较多时间和计算资源。
4.有序离散化:有序离散化是指将数据根据先验知识或者专家经验进行划分。
具体来说，有序离散化可以将连续属性的取值划分为预先定义的有序集合，如低、中、高等。
有序离散化的优点是可以考虑领域知识和专家意见；缺点是可能会引入人为主观因素，不便于自动化处理。
总结来说，离散化方法的选择应该根据具体的场景需求和数据特征来确定。
等宽离散化和等频离散化是最常见、简单易用的方法，适用于一般的数据预处理任务；最优化离散化适用于对离散化效果要求较高的情况；而有序离散化则适用于有先验知识或者领域专家意见的情况下。
需要注意的是，在进行离散化之前，需要对数据进行充分的分析和了解，以便选择合适的离散化方法。
第6章连续系统的离散化方法及近似解
第6章连续系统的离散化方法及近似解在连续系统中，我们经常需要将其离散化为离散系统以便于分析和求解。
离散化方法能够将连续系统的微分方程转化为差分方程，从而得到近似解。
本章将介绍连续系统的离散化方法及近似解的计算。
连续系统的离散化方法有许多种，常见的有Euler方法、Runge-Kutta方法和有限差分方法等。
其中，Euler方法是最简单和最基础的离散化方法，其基本思想是将连续时间轴划分为若干个小时间间隔，并用差分逼近连续系统的导数。
具体地，对于一阶常微分方程：\[\frac{{dy}}{{dt}} = f(y, t)\]可以使用Euler方法将其离散化为：\[y_{n+1} = y_n + h \cdot f(y_n, t_n)\]其中，\(y_n\)是时间点\(t_n\)的近似解，\(h\)是时间步长。
Runge-Kutta方法是一种更精确的离散化方法，其基本思想是利用多个中间步骤来更准确地逼近连续系统的导数。
常见的是四阶Runge-Kutta 方法，其公式为：\[y_{n+1} = y_n + \frac{h}{6} \cdot (k_1 + 2k_2 + 2k_3 +k_4)\]其中\[k_1=f(y_n,t_n)\]\[k_2 = f(y_n + \frac{h}{2}k_1, t_n + \frac{h}{2})\]\[k_3 = f(y_n + \frac{h}{2}k_2, t_n + \frac{h}{2})\]\[k_4 = f(y_n + hk_3, t_n + h)\]这样可以得到更准确的近似解。
有限差分方法是一种常用的离散化方法，其基本思想是将连续的导数用差分逼近。
以二阶偏微分方程为例，该方程的一般形式为：\[\frac{{\partial^2u}}{{\partial x^2}} +\frac{{\partial^2u}}{{\partial y^2}} = f(x, y)\]可以使用中心差分公式将其离散化为：\[\frac{{u_{i+1,j} - 2u_{i,j} + u_{i-1,j}}}{{\Delta x^2}} + \frac{{u_{i,j+1} - 2u_{i,j} + u_{i,j-1}}}{{\Delta y^2}} =f_{i,j}\]其中，\(u_{i,j}\) 是近似解在网格点 \((i, j)\) 处的值，\(\Delta x\) 和 \(\Delta y\) 分别是网格在 \(x\) 和 \(y\) 方向的步长，\(f_{i,j}\) 是离散化后的右侧函数。
离散化方法
模拟控制器离散化成的数字控制器，也可以认为是数字滤波器
离散化法的实质就是求原连续传递函数D(s)的等效离散传递 函数D(z) 。
“等效”是指D(s)与D(z)在下述几种特性方面具有相近性：
---零极点个数；
---系统的频带； ---稳态增益；
---相位及增益裕度；
---阶跃响应或 脉冲响应形状；
在单位脉冲作用下输出响应为 u (t ) L1 D( s) 其采样值为
ai t A e i i 1
n
u (kT )
ai kT A e i i 1
n
例 已知模拟控制器 D( s) a
sa
，求数字控制器D(z)。
a
解：
D( z ) D( s ) 1 e aT z 1
3.差分变换法
1).一阶向后差分
基本思想：将连续域中的微分用一阶向后差分替换
D( z ) D( s)
1 z 1 T
s
•对于给定
D( s )
U (s) 1 E ( s) s
•其微分方程为 du (t ) / dt e(t ), u (t )
e(t )dt
0
t
•用一阶向后差分代替微分，则 du(t ) / dt {u(kT ) u[(k 1)T ]}/ T
---频率响应特性。
•离散化方法很多
数值积分法（置换法） ---一阶向后差法 ---一阶向前差法 ---双线性变换法 ---修正双线性变换法 零极点匹配法 保持器等价法 z变换法(脉冲响应不变法) •
• • •
注意：不同的离散化方法特性不同. D(z)与D(s)相比，并不能 保持全部特性，并且不同特性的接近程度也不一致。
离散化方法
离散化方法
离散化方法是将连续的数据转化为离散的数据，通常应用于数值计算、统计分析、信号处理等领域。
离散化方法可以将大量的连续数据转化为有限数量的离散数据，从而简化计算和分析过程。
离散化方法的具体实现方式有多种，包括分段、分组、聚类等方法。
分段方法是将连续的数据按照一定的区间范围进行划分，使得每个区间内的数据具有相同的特征值，例如相同的平均值、方差等。
分段方法常用于数据可视化和数据挖掘等领域。
分组方法是将连续的数据按照一定的规则进行分组，使得每组内的数据具有相同的特征值，例如相同的频率、比例等。
分组方法常用于数据分析和统计建模等领域。
聚类方法是将连续的数据按照相似性进行聚类，将相似的数据聚集到一起形成簇，使得每个簇内的数据具有相同的特征值，例如相同的标签、属性等。
聚类方法常用于数据挖掘和模式识别等领域。
总之，离散化方法是一种非常有用的数据处理技术，可以将连续的数据转化为离散的数据，从而简化计算和分析过程、提高数据处理效率、降低计算成本。
- 1 -。
离散化方法
离散化方法离散化方法是一种将连续数据转化为离散数据的方法，它在数据处理和分析中有着广泛的应用。
离散化方法可以将连续的数据转化为离散的数据，从而使得数据更加易于处理和分析。
在实际应用中，离散化方法可以用于数据挖掘、机器学习、统计分析等领域。
离散化方法的基本思想是将连续的数据按照一定的规则进行分组，将每个分组看作一个离散的数据点。
这样，原本连续的数据就被转化为了离散的数据。
离散化方法的具体实现方式有很多种，常见的方法包括等宽离散化、等频离散化、聚类离散化等。
等宽离散化是将数据按照一定的宽度进行分组，每个分组的宽度相等。
例如，将一组数据按照区间宽度为10进行分组，数据范围在0到100之间，那么就可以将数据分为10个组，每个组的区间为0-10、10-20、20-30……90-100。
等宽离散化的优点是简单易懂，缺点是可能会导致某些分组中数据过于集中，而其他分组中数据过于分散。
等频离散化是将数据按照一定的频率进行分组，每个分组中包含相同数量的数据。
例如，将一组数据按照频率为10进行分组，数据范围在0到100之间，那么就可以将数据分为10个组，每个组中包含10个数据。
等频离散化的优点是可以避免某些分组中数据过于集中的问题，缺点是可能会导致某些分组中数据过于分散，而其他分组中数据过于集中。
聚类离散化是将数据按照一定的聚类算法进行分组，每个分组中包含相似的数据。
例如，可以使用K-means算法将一组数据分为若干个簇，每个簇中包含相似的数据。
聚类离散化的优点是可以更加准确地将数据分组，缺点是算法复杂度较高，需要进行参数调整。
离散化方法是一种将连续数据转化为离散数据的方法，它在数据处理和分析中有着广泛的应用。
离散化方法可以用于数据挖掘、机器学习、统计分析等领域，可以帮助我们更好地理解和分析数据。
偏微分方程的离散化方法课件
x2 )
从方程可以看出：如果已知第 n（本步时间）的值 Pin ，就可以求得第 n+1
时刻（下步时间）的值
P n1 i
。因此如初始条件，即
n=0
时各网格的
P
值已给定，
就可以依次求得以后各时间的 P 值。这种差分格式是显式差分格式。在显式差分
格式中：只有一个未知数 Pin1 ，由一个方程就可以求出。简单，精度较差，时间
步长受到严格限制，基本不用。
（2）隐式差分：利用 P（x，t）关于 t 的一阶向后差商和关于 x 的二阶差商， 在点（i，n+1）的差分方程：
P n1 i 1
2Pin1 x 2
P n1 i1
P n1 i
Pi n
t
(1
2
) Pi n 1
(
P n1 i1
Pi
n 1 1
)
Pi n
从方程可以看出：如果已知第 n（本步时间）的值 Pin ，为了求得第 n+1 时刻（下
（1）离散空间：把所研究的空间划分成某种类型的网格， 大的空间转化为若干小单元组成，网格之间动态连接，通 常采用矩形网格（正方体）。
（2）离散时间：把研究的时间域分成若干小的时间段， 在每个时间段内，对问题求解，时间段之间有机连接。步 长大小取决于所要解决的实际问题。
离散空间
P
t
离散时间
1、网格系统 它有x，y两个自变量，在平面上用平行线分割成许多网格， 如考虑时间，则。编号：x→i，y→j，t→n。为步长（对三 维z→k）。 节点：网格的交点叫网格节点。取一些与边界s接近的网格 节点，把他们连成折线Sh，Sh所围成的区域记为Dh，Dh 内的节点为内部节点、边界上的节点为边界节点。
第六章 离散化方法
•离散化方法很多
• 数值积分法（置换法） ---一阶向后差法 ---一阶向前差法 ---双线性变换法 ---修正双线性变换法
• 零极点匹配法 • 保持器等价法
• z变换法(脉冲响应不变法)
注意：不同的离散化方法特性不同. D(z)与D(s)相比，并不能 保持全部特性，并且不同特性的接近程度也不一致。
❖ 离散后控制器的时间响应与频率响应，与连续控制器相比有 相当大的畸变。
❖ 变换前后，稳态增益不变。
应用
•变换较为方便。 •采样周期较大时，这种变换的映射关系畸变较为 严重，变换精度较低，工程应用受到限制。
例 已知 一阶向后差分法离散。
解
， T=1s、0.1s，试用
当T=1s时，a=2.8，b=2.8， 当T=0.1s时，a=2.08，b=1.09，
❖ 映射关系畸变严重，不能保证D(z)一定稳定。 ❖ 使用简单方便，如若采样周期较小，亦可使用。
例 试用向前差分法离散下述传递函数
。
稳定性判断：要求
•若取T=1s，则D(s)的极点将落在以(-1/T,0) 为圆心， 以r=1/T为半径的圆外 .
4 .双线性变换法
•变换也是z变换的一种近似
s与z之间的变换关系
例 已知连续控制器传递函数 试用双线性变换法离散，并比较D(s)与D(z)的频率特性。 解：
当T=1s时， 当T=0.2s时，
MATLAB命令：
num=[1]; Den=[1 0.8 1] [n,d]=c2dm(num,den,1,’tustin’ )
n = [0.1515 0.3030 0.1515] d= [1.0000 -0.9091 0. 5152]
离散化的方法
离散化的方法
离散化是一种将连续数据转换为离散数据的方法。
在计算机科学领域，离散化常被用于处理大量数据或在计算机上进行数据分析。
离散化的方法有很多种，包括等宽离散化、等频离散化、k-means聚类离散化、自适应离散化等。
等宽离散化方法是将数据按照固定的宽度分成若干个区间，每个区间的宽度相同。
例如，将年龄数据按照每10岁分为一组。
等频离
散化方法是将数据分成若干个区间，每个区间内包含相同数量的数据。
例如，将一组学生成绩按照平均分数分成若干组。
k-means聚类离散化方法是将数据聚类成若干个簇，每个簇内的数据相似度高于不同簇内的数据。
例如，将一组商品销售数据聚成若干个簇，每个簇内的商品销售情况相似。
自适应离散化方法是根据数据分布特征，自动选取合适的离散化方法进行处理。
例如，将一组人口分布数据根据不同地区的人口密度特征，采用不同的离散化方法进行处理。
离散化的方法根据不同的应用场景和数据特征，选择合适的方法可以提高数据处理和分析的效率和准确性。
- 1 -。
偏微分方程的离散化方法
偏微分方程的离散化方法偏微分方程是数学中一个重要的研究方向，它描述了在空间中各点的物理量随时间和空间变化的关系。
在实际问题中，我们常常需要求解偏微分方程的数值解。
然而，偏微分方程的解析解往往很难获得，因此我们需要对偏微分方程进行离散化处理，通过数值方法求解。
离散化方法是将连续的偏微分方程转化为离散的代数方程组的过程。
离散化的基本思想是将自变量和依变量都用有限个点表示，并采用差分近似方式将微分算子离散化。
下面将介绍几种常见的离散化方法。
1. 有限差分方法（Finite Difference Method）有限差分方法是最常用的离散化方法之一、它基于泰勒展开将偏微分方程中的导数项用差分表示，然后在离散点上构建差分方程，最后求解得到数值解。
有限差分方法在空间和时间上都进行离散化，通常采用中心差分或者向前、向后差分的方式来逼近导数项。
2. 有限元方法（Finite Element Method）有限元方法是另一种常用的离散化方法，它将求解区域划分为有限个离散的子区域，称为单元，然后在单元上构建适当的插值函数，将偏微分方程转化为一个代数方程组。
有限元方法在时间上进行离散化，通常采用线性或非线性插值函数来逼近解。
3. 边界元方法（Boundary Element Method）边界元方法是一种特殊的有限元方法，它将偏微分方程转化为边界上的积分方程，从而将偏微分方程转化为一个边界上的代数方程组。
边界元方法只在边界上进行离散化，对内部区域不需要离散化，因此可以减少计算量。
4. 谱方法（Spectral Method）谱方法基于函数在一定函数空间的展开表示，将偏微分方程转化为一个无限维度的代数方程组。
谱方法通过选择合适的基函数，可以获得非常高的数值精度。
常见的基函数包括傅里叶基函数和勒让德基函数等。
除了以上介绍的几种常见离散化方法，还有其他一些方法，如有限体积法、有限差分积分法等。
这些方法各有特点，适用于不同类型的偏微分方程。
第6章 连续系统的离散化方法及近似解
K - 2M 0
EI 2 39.4784 Al 4
解得
EI 3 68.9944 Al 4
正则特征向量
a (1) 0.5742 2 0 Al 0.0048
T
a (2)
0 2 (3) 1 a Al 0
0
l
设梁上分别受到分布力f(x,t)和 x xd 处的集中力F(x,t)
当梁上有虚位移
l 0
w( x, t ) i qi 外力虚功为
i 1
n
W f ( x, t ) F (t ) ( x xd ) w( x, t )dx
l f ( x, t )i ( x)dx F (t )i ( xd ) qi 0 i 1 n
得到原来问题的模态向量
3 x ( x) sin 0.0681sin 2l 2l
(1)
x
(2) ( x) 0.1955sin
x
2l
sin
3 x 2l
例：等截面简支梁中部有集中质量，并受有集中力 设集中质量 M a 等于梁的质量
集中力的变化的频率
50 EI / Al 4
Kij EI ( x)i( x) j ( x)dx
0
得
3 0 2 Al M 0 1 0 2 2 0 3
1 0 0 EI K 0 16 0 2l 3 0 0 81
4
代入本征方程
EI 1 5.6825 Al 4
T
0.5199 2 0 Al 0.7746
T
求梁的响应时，将位移写作假设模态的线性组合
离散化方法
1.离散化方法(1). 集中质量法把结构的分布质量按一定的规则集中到结构的某个或某些位置上，成为一系列离散的质点或质量块 。
▪ 适用于大部分质量集中在若干离散点上的结构。
▪ 例如：房屋结构一般简化为层间剪切模型。
(2). 广义坐标法假定具有分布质量的结构在振动时的位移曲线可用一系列规定的位移曲线的和来表示：▪ 适用于质量分布比较均匀，形状规则且边界条件易于处理的结构。
▪ 例如：右图简支梁的变形可以用三角函数的线性组合来表示。
假定具有分布质量的结构在振动时的位移曲线为 y (x ,t )，可用一系列位移函数 的线性组合来表示：则组合系数A k (t )称为体系的广义坐标。
▪ 广义坐标表示相应位移函数的幅值，是随时间变化的函数。
▪ 广义坐标确定后，可由给定的位移函数确定结构振动的位移曲线。
▪ 以广义坐标作为自由度，将无限自由度体系转化为有限个自由度。
▪所采用的广义坐标数代表了所考虑的自由度数。
(3). 有限单元法—— 将有限元法的思想用于解决结构的动力计算问题。
▪ 先把结构划分成适当（任意）数量的单元；▪ 对每个单元施行广义坐标法，通常取单元的节点位移作为广义坐标； ▪ 对每个广义坐标取相应的位移函数 （插值函数）；▪ 由此提供了一种有效的、标准 化的、用一系列离散坐标表示无限自由度的结构体系。
▪ 对分布质量的实际结构，体系的自由度数为单元节点可发生的独立位移未知量的总个数。
▪ 综合了集中质量法和广义坐标法的某些特点，是最灵活有效的离散化方法，它提供了既方便又可靠的理想化模型，并特别适合于用电子计算机进行分析，是目前最为流行的方法。
▪ 已有不少专用的或通用的程序（如SAP ，ANSYS 等）供结构分析之用。
包括静力、动力 和稳定分析。
)(x k φ∑=φ=n k k k x t A t x y 1)()(),(l x n b x n n πsin )(∑∞==1ν2.运动方程的建立定义:在结构动力分析中，描述体系质量运动规律的数学方程，称为体系的运动微分方程，简称运动方程。
偏微分方程的离散化方法PPT精选文档
2!
3!
4!
(*)
P(x) xP(x) O(x)
P(x x) P(x) x P(x) (x/2)2 P(x) (x/2)3 P(x)
2
2
2!
3!
P(x) x P(x)O(x)
2
2
16
1、 一 阶 前 差 商
P P ( x x ) P ( x ) ， P Pi1 Pi
x
x
x i
P P ( x x / 2 ) P ( x x / 2 ) ， P Pi1 / 2 Pi1 / 2 忽 略 截 断 误 差 O (( x / 2 ) 2 )
x
x
x i
x
17
1、 二阶差商
将 方 程 (*)正 负 相 加 ,可 得 : P(x x) P(x x) 2P(x) x 2 P '' (x) x 4 P (4) (x) .........
x
2、 一 阶 后 差 商
P P ( x ) P ( x x ) ， P Pi Pi1
x
x
x i
x
3、 一 阶 中 心 差 商
P P ( x x ) P ( x x ) ， P Pi1 Pi1
x
2x
x i
2x
忽 略 截 断 误 差 O(x) 忽 略 截 断 误 差 O(x) 忽 略 截 断 误 差 O (x2)
2
（1）离散空间：把所研究的空间划分成某种类型的网格， 大的空间转化为若干小单元组成，网格之间动态连接，通 常采用矩形网格（正方体）。 （2）离散时间：把研究的时间域分成若干小的时间段， 在每个时间段内，对问题求解，时间段之间有机连接。步 长大小取决于所要解决的实际问题。
简述数据离散化的基本方法
简述数据离散化的基本方法
数据离散化是将连续型数据转化为离散型数据的过程,目的是将数据划分为一组组离散的值,从而使数据更易于处理、分析和理解。
以下是一些常见的数据离散化方法:
1. 取离散值:通过对数据进行离散的抽样,得到离散的值作为最终结果。
例如,对于一道数学题,可以随机选择一些离散的值作为答案,如0到1之间的整数。
2. 离散化分位数:将连续型数据离散化为小数部分,小数部分可以继续进行离散化,如将一个数分成小数部分、百分数部分、小数点位置等。
3. 插值离散化:通过对数据进行插值,得到离散的值作为最终结果。
例如,对于一段连续的股价数据,可以使用线性插值或非线性插值等方法,将数据离散化为一组离散的值。
4. 离散时间点:通过对数据进行离散时间点的采样,得到离散的值作为最终结果。
例如,对于一只动物的寿命数据,可以每隔一段时间进行一次采样,得到离散时间点的寿命值。
5. 离散化区间:通过对数据进行离散的区间采样,得到离散的值作为最终结果。
例如,对于一道数学题,可以根据不同的解法选择不同的区间,离散化求解结果。
这些方法可以根据具体的数据类型和需求进行选择和组合,以实现更有效的数据离散化。
偏微分方程的离散化方法课件
P
PPP
3
P
PPP
4
P
PPP
5
P
PP
.
3、Crank_Nicolson 差分格式
Crank_Nicolson 差分格式（简称 C_N 格式）是综合显式和隐式格式而构建， 将空间二阶差商取为 n 时刻与 n+1 时刻的算术平均值，则：
1
(
Pn i1,
j
2
2Pi,nj x 2
Pn i 1,
j
P n1 i1, j
以上方程的一般形式： ci Pi1 ai Pi bi Pi1 di ，形成三对角矩阵。
.
三对角矩阵形式
1 2 3 4 512345
1PP
2PPP
3 PPP
4
PPP
5
P PP
1
PPP
2
PPP
3
PPP
4
PPP
5
PP
.
2、椭圆型方程： 二维不稳定渗流方程
2 P x 2
2P y 2
P t
采用：等距网格差分 （1）显示差分：在点（i，j，n）的差分方程（图示）
2
P n1 i, j
P n1 i1, j
x 2
P n1 i, j1
2
Pi
n1 ,j
P n1 i, j1
y 2
P n1 i, j
Pn i, j
t
若取正方形网格：则： x y
P n1 i, j1
P n1 i1, j
(4
1
)
Pi
n 1 ,j
P n1 i1, j
Pn i, j1
1
Pn i, j
该线性代数方程组在节点（i，j）列方程式，也要用到（i，j），（i+1，j），
偏微分方程的离散化方法4
偏微分方程的离散化方法4偏微分方程的离散化方法4偏微分方程是描述自然现象和物理过程的重要数学工具。
离散化方法是对偏微分方程进行数值求解的一种常用方法，通过将连续的自变量离散化成一系列离散点，将偏微分方程转化为一组代数方程，从而实现通过数值计算求解偏微分方程的目的。
离散化方法有多种，本文将介绍四种常用的离散化方法：有限差分法、有限元法、谱方法和配点法。
一、有限差分法（Finite Difference Method）有限差分法是一种常用的离散化方法，它将偏微分方程中的导数项用差商逼近。
对于偏微分方程中的一阶导数项，可以使用一阶中心差分公式进行离散化：\[f'(x_i) = \frac{f(x_{i+1})-f(x_{i-1})}{2h},\]其中$h$为离散步长。
对于二阶导数项，可以使用二阶中心差分公式：\[f''(x_i) = \frac{f(x_{i+1})-2f(x_i)+f(x_{i-1})}{h^2}.\]根据具体问题的边界条件，可以将偏微分方程离散化为一组代数方程，通过求解这组代数方程得到数值解。
二、有限元法（Finite Element Method）有限元法是一种广泛应用于结构力学、流体力学等领域的离散化方法。
与有限差分法类似，有限元法也将偏微分方程中的导数项离散化，但是它将求解区域划分为若干个小区域，称为有限元。
每个有限元内部的离散点称为节点，假设在每个有限元内，问题的解可以用一个简单的多项式逼近，如线性多项式或二次多项式。
在每个有限元内，偏微分方程的解用这些节点的函数值进行近似，通过确定节点上的函数值可以得到整个求解区域上的数值解。
三、谱方法（Spectral Method）谱方法是一种基于函数空间变换的离散化方法，它可以达到很高的精度。
谱方法基于傅里叶分析的思想，使用特定选择的基函数进行近似。
对于一维偏微分方程，可以使用傅立叶级数或切比雪夫多项式作为基函数。
六种离散化方法
六种离散化方法离散化是数据处理中常用的一种技术，它将连续的数值型变量转换为离散的取值，以便于进行数据分析和建模。
在实际应用中，常见的离散化方法有六种，分别是等宽离散化、等频率离散化、聚类离散化、决策树离散化、最优分割点离散化和自定义分段离散化。
下面将详细介绍这六种方法的原理和步骤。
一、等宽离散化等宽离散化是指将数据按照相同的区间长度进行划分，每个区间代表一个取值范围。
该方法适用于数据较为均匀分布的情况下。
步骤：1. 确定划分区间数k，计算出每个区间的长度l=(max-min)/k。
2. 将数据按照大小排序，并将其划分为k个区间。
3. 对于落在某个区间内的数值，都赋予相同的标识符或编码。
二、等频率离散化等频率离散化是指将数据按照出现频率相同的原则进行划分，每个区间包含相同数量的数据。
该方法适用于数据分布不均匀的情况下。
步骤：1. 确定划分区间数k，计算出每个区间包含的数据量n=N/k，其中N 为总数据量。
2. 将数据按照大小排序，并将其分为k个区间，使得每个区间包含n 个数据。
3. 对于落在某个区间内的数值，都赋予相同的标识符或编码。
三、聚类离散化聚类离散化是指将数据按照聚类原则进行划分，每个区间包含相似的数据。
该方法适用于数据分布不规律或者存在异常值的情况下。
步骤：1. 确定划分区间数k，采用聚类算法对数据进行聚类操作。
2. 将每个簇视为一个区间，并对其内部的数据赋予相同的标识符或编码。
四、决策树离散化决策树离散化是指利用决策树算法对连续型变量进行离散化处理。
该方法适用于需要建立分类模型或者回归模型时使用。
步骤：1. 采用决策树算法对连续型变量进行建模，并确定最优划分点。
2. 将最优划分点作为区间边界，将数据划分为若干个区间。
3. 对于落在某个区间内的数值，都赋予相同的标识符或编码。
五、最优分割点离散化最优分割点离散化是指利用某种评价函数对连续型变量进行划分，以使得划分后的子集之间差异最大。
该方法适用于需要建立分类模型或者回归模型时使用。
离散化方法介绍及其区别
有限差分法、有限元法、有限体积法等离散方法介绍 & yjs808一、有限差分方法（F inite D ifference M ethod, FDM）有限差分方法是计算机数值模拟最早采用的方法，至今仍被广泛运用。
该方法将求解域划分为差分网格，用有限个网格节点代替连续的求解域。
有限差分法以T aylor级数展开等方法，把控制方程中的导数用网格节点上的函数值的差商代替进行离散，从而 建立以网格节点上的值为未知数的代数方程组。
该方法是一种直接将微分问题变为代数问题的近似数值解法，数学概念直观，表达简单，是发展较早且比较成熟的数值方法，较多用于求解双曲型和抛物型问题。
用它求解边界条件复杂，尤其是椭圆型问题不如有限元法或有限体积法方便。
对于有限差分格式，从格式的精度来划分，有一阶格式、二阶格式和高阶格式。
从差分的空间形式来考虑，可分为中心格式和迎风格式。
考虑时间因子的影响，差分格式还可以分为显格式、隐格式、显隐交替格式等。
目前常见的差分格式，主要是上述几种形式的组合，不同的组合构成不同的差分格式。
差分方法主要适用于有结构网格，网格的步长一般根据实际地形的情况和柯朗稳定条件来决定。
构造差分的方法有多种形式，目前主要采用的是泰勒级数展开方法。
其基本的差分表达式主要有三种形式：一阶向前差分、一阶向后差分、一阶中心差分和二阶中心差分等，其中前两种格式为一阶计算精度，后两种格式为二阶计算精度。
通过对时间和空间这几种不同差分格式的组合，可以组合成不同的差分计算格式。
二、有限元方法（F inite E lement M ethod, FEM）有限元方法的基础是变分原理和加权余量法，其基本求解思想是：把计算域划分为有限个互不重叠的单元，在每个单元内，选择一些合适的节点作为求解函数的插值点，将微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式，借助于变分原理或加权余量法，将微分方程离散求解。
04第六章离散化方法
04第六章离散化方法离散化方法是指将连续的数据进行离散化处理，将其转化为离散的取值，便于进行统计分析、建模和预测等工作。
离散化方法是数据预处理的一种重要手段，可以降低数据的复杂性，提高数据的可处理性。
离散化方法有多种，常见的包括等宽离散化、等频离散化和基于聚类的离散化等。
等宽离散化是指将数据按照相同的宽度进行划分，使得每个区间的取值范围相等。
例如，将一组年龄数据划分为0-10岁、11-20岁、21-30岁等等。
等宽离散化的优点是简单易懂，但不适用于数据分布不均匀的情况。
等频离散化是指将数据按照相同的频率进行划分，使得每个区间包含相同数量的数据点。
例如，将一组收入数据划分为低收入、中等收入和高收入等。
等频离散化的优点是能够解决数据分布不均匀的问题，但不能处理连续变量之间的大小关系。
基于聚类的离散化是指利用聚类算法将数据进行聚类，然后将每个簇作为一个离散值。
例如，可以使用K-means算法将一组数值型数据聚类成几个簇，然后将每个簇的中心值作为一个离散值。
基于聚类的离散化方法可以较好地反映数据的分布情况，但对聚类算法的选择和调参要求较高。
在选择离散化方法时，需要根据具体问题和数据的特点进行选择。
例如，对于时间序列数据，可以使用基于周期的离散化方法；对于文本数据，可以使用基于词频的离散化方法。
此外，还可以根据数据的分布情况选择合适的离散化方法，例如使用等频离散化方法解决数据分布不均匀的问题。
离散化方法在数据预处理中起到了重要的作用，可以将连续的数据转化为离散的取值，方便进行后续的分析和建模工作。
在实际应用中，需要根据具体问题选择合适的离散化方法，同时还需要注意离散化过程可能引入的信息损失和误差，以及离散化结果对后续分析的影响。
因此，离散化方法的选择和使用需要谨慎处理，结合具体的数据和问题进行分析和权衡。
第六章离散化方法
第六章离散化方法离散化方法是指将连续的数据或变量进行离散化处理，即将数据分成几个离散的区间或类别。
离散化方法在数据分析和建模领域中被广泛应用，可以帮助我们更好地理解和处理数据，并为后续的分析和建模提供便利。
离散化方法的应用场景多种多样，比如处理连续变量的数据、构建分类模型、数据可视化等。
在实际应用中，我们常常需要对连续的数据进行离散化处理，以便更好地进行数据分析或建模。
下面介绍几种常见的离散化方法。
1.等宽离散化（Equal Width Binning）等宽离散化是将连续的数据均匀划分成若干个等宽的区间。
该方法适用于数据分布比较均匀的情况下，可以简化分析和建模过程。
具体操作步骤如下：（1）确定区间个数n；（2）计算数据的最大值和最小值，得到数据的范围；（3）计算每个区间的宽度，宽度=（最大值-最小值）/n；（4）根据宽度划分区间，每个区间的上界为前一个区间的下界，下界为上界+宽度。
2.等频离散化（Equal Frequency Binning）等频离散化是将数据等分成若干个区间，每个区间包含大致相同数量的数据。
该方法适用于数据分布不均匀的情况下，可以保留更多的信息。
具体操作步骤如下：（1）确定区间个数n；（2）将数据按照从小到大的顺序排列；（3）根据总数量n和数据的数量m计算每个区间的数量，数量=m/n；（4）根据数量划分区间，每个区间的上界为每个数量的位置的值，下界为前一个区间上界。
3. 基于聚类的离散化（Clustering Binning）基于聚类的离散化是通过聚类算法将数据划分成若干个簇，每个簇对应一个离散的类别。
该方法适用于数据分布复杂或不规则的情况下，可以更好地捕捉数据的特征。
具体操作步骤如下：（1）选择适当的聚类算法，比如K-means、DBSCAN等；（2）根据数据的分布情况选择合适的聚类数目；（3）将数据输入聚类算法，得到每个数据的所属簇；（4）根据聚类结果划分离散的类别。
以上是几种常见的离散化方法，各有优劣，应根据实际情况选择合适的方法。
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•其微分方程为 du(t) / dt e(t),u(t)
t
e(t)dt
0
•用一阶向后差分代替微分，则 du(t)/ dt {u(kT) u[(k 1)T]}/T
u(kT) u[(k 1)T] Te(kT)
•两边取Z变换得
U (z) z1U (z) TE(z)
--映射是一对一的非线性映射。
s 2 (z 1) T (z 1)
s域角频率
A
2 T
tan
DT
2
jA
2 T
1 1
e jDT e jDT
2 T
e jDT /2 e jDT /2
e jDT /2 e jDT /2
2 2 jsin(DT / 2) j 2 tan DT
•变换也是z变换的一种近似
e(Ts / 2) z e(Ts/2)
s与z之间的变换关系 s 2 (z 1) T (z 1)
•离散化公式
1 T s
z
1
2 T
s
2
D(z) D(s) 2(1z1) s T (1 z1 )
•对于给定
D(s) U (s) 1 E(s) s
D2 (z) z2 1.8165z 0.8532
MATLAB命令：
num=[1]; Den=[1 0.8 1] [n,d]=c2dm(num,den,1,’tustin’)
单位阶跃响应的仿真结果
n = [0.1515 0.3030 0.1515] d= [1.0000 -0.9091 0. 5152]
•其微分方程为
t
du(t) / dt e(t),u(t) e(t)dt
0
❖ 相当于数学的梯形积分法，即以梯形面积近似代替积分
❖ 每个题型面积的宽度为T，上底和下底面积分别为 e(k 1) e(k)
❖ 故面积为
u(k) u(k 1) T [e(k) e(k 1)] 2
U(z) z1U(z) T [E(z) z1E(z)] 2
z1,2 =0.5000 j0.3273 =0.597580.5796
D2(z) 两个根分别为：
z1,2 =0.9541 j0.0841=0.95780.0879
均位于单位圆内
❖ 稳态增益不变
D(s) s0 1
D1(z)
z 1
1 1 2.8 2.8
1
D2 (z)
z 1
T 2 cos(DT / 2) T
2
z域角频率
•若D(s)稳定，则D(z)一定稳定。
•频率畸变：双线性变换的一对一映射，保证了离散频率特性 不产生频率混叠现象，但产生了频率畸变
双线性变换的频率关系
A
2 T
tan
DT
2
当采样频率较高
DT 足够小
双线性变换频率特性失真
A
2 T
DT
2
D
1
。
1 D( z) s2 0.8s 1 s( z1)/T
z2
T2 (2 0.8T )z (1 0.8T
T2)
稳定性判断：要求
0 T 0.8s
•若取T=1s，则D(s)的极点将落在以(-1/T,0) 为圆心， 以r=1/T为半径的圆外 .
4 .双线性变换法
z 2 (1T )2 (T )2
令 z （1 单位圆） 1 (1 T )2 (T )2
1 T2
1 T
2
2
•只有当D(s)的所有极点位于左 半平面的以点（-1/T，0) 为圆心、1/T为半径的圆内， 离散化后D(z)的极点才位于 z平面单位圆内
主要特性 ❖ s平面与z平面映射关系
z 1 1 1 (1 Ts) 1 Ts 2 2 (1 Ts)
s j
z
1 2
2
1 4
(1T )2 (1T )2
(T )2 (T )2
•当=0 （s平面虚轴），s平面虚轴映射到z平面为该小圆的
圆周。
•当> 0（s右半平面），映射到z平面为上述小圆的外部。 •当< 0（s左半平面），映射到z平面为上述小圆的内部。
D(z) U (z) E(z)
T (1 z1) 2
1 z1
2
1 (z 1)
T (z 1)
主要特性
❖ s平面与z平面映射关系
z
1 1
T
2 T
2
s s
1 1
T 2 T 2
j j
T
2
T
2
s j
z
2
1 1
注意：不同的离散化方法特性不同. D(z)与D(s)相比，并不能 保持全部特性，并且不同特性的接近程度也不一致。
1 脉冲响应不变法（Z变换法）
1)．设计原理
❖ 基本思想：数字滤波器产生的脉冲响应序列近似等于模拟
滤波器的脉冲响应函数的采样值。
D( z )
u(kT)
n i 1
Ai 1 eaiT z 1
T 2 T 2
2
2
T
2
T
2
2
2
•当=0（s平面虚轴)映射为z平面
的单位圆周。
•当> 0（s右半平面），映射到z
平面单位圆外 。
•当< 0（s左半平面），映射到z
平面单位圆内 。
图 双线性变换映射关系
•双线性变换将
--整个s平面左半部到z平面单位圆内。 --整个s平面右半部映射到单位圆外。 --s平面虚轴映射为单位圆。
图 向前差分法的映射关系
❖ s若D(s)稳定，采用向前差分法离散化，D(z)不一定稳定。只 有采用较小的采样周期T，方能保证D(z)稳定。
❖ 映射关系畸变严重，不能保证D(z)一定稳定。 ❖ 使用简单方便，如若采样周期较小，亦可使用。
例 试用向前差分法离散下述传递函数
D(s)
s2
1 0.8s
1
s2 0.8s 1
一阶向后差分法离散。
， T=1s、0.1s，试用
解
1
D(z) D(s)
s(1 z1 )/T
(s2 0.8s 1)
s(1 z1 )/T
1 [(1 z1)2 / T 2 0.8(1 z1) / T 1]
T2z2 1 az bz2
•T=1s时的单位阶跃响应与连续系统响应接近 •T=0.2s时的单位阶跃响应与连续系统响应非 常接近。 •这表明该方法精度较高。
5. 频率预畸变双线性变换法
❖ 基本思想： 双线性变换产生了频率轴的非线性畸变，预 修正的目的是满足在某个选定的关键频率ω1上:
D(ej1T ) D( j1)
为实现上述要求，需将D(s/ω1)平移到D(s/ωA)处，再做Tustin 变换.因为
0
用一阶向前差分代替微分 du(t) / dt {u[(k 1)T] u(kT)}/T
u[(k 1)T] u(kT) Te(kT)
两边取Z变换得 (z 1)U(z) TE(z)
D(z) U (z) / E(z) T /(z 1)
主要特性
❖ s平面与z平面映射关系
z 1 Ts (1T) jT
混叠现象。 ❖ 其应用范围是：连续控制器D(s)应具有部分分式结构或能较容易地分解
为并联结构。D(s)具有陡衰减特性，且为有限带宽信号的场合。这时采 样频率足够高，可减少频率混叠影响，从而保证D(z)的频率特性接近原 连续控制器D(s)。
2.阶跃响应不变法（加零阶保持器的Z变换法）
❖ 基本思想：用零阶保持器与模拟控制器串联，然后再进行 Z变换离散化成数字控制器
0.01 1 2.08 1.09
1
❖ 单位阶跃响应
2).一阶向前差分法
❖ 基本思想：将连续域中的微分用一阶向前差分替换
D(z) D(s) s z1 T
对 D(s) U (s) 1
E(s) s
其微分方程为
t
du(t) / dt e(t),u(t) e(t)dt
•双线性变换后环节的稳态增益不变
D(s) s0 D(z) z1 •双线性变换后D(z)的阶次不变， 且分子、分母具有相同的阶次。并有下式成立：
D(e jT ) s 0 2
应用
1) 这种方法使用方便，且有一定的精度和前述一些好 的特性，工程上应用较为普遍。
2) 这种方法的主要缺点是高频特性失真严重，主要用 于低通环节的离散化，不宜用于高通环节的离散化。
❖ 若D(s)稳定，则D(z)一定稳定。
❖ 离散后控制器的时间响应与频率响应，与连续控制器相比有 相当大的畸变。
❖ 变换前后，稳态增益不变。 D(s) s0 D(z) z1
应用
•变换较为方便。 •采样周期较大时，这种变换的映射关系畸变较为 严重，变换精度较低，工程应用受到限制。
例
已知 D(s)
z
1)
1
1
T 2 z 12
(4 1.6T T 2 )z2 (8 2T 2 )z (4 1.6T T 2 )
当T=1s时，
0.1515 z 12
D1(z) z2 0.9091z 0.5152
当T=0.2s时，
0.0092 z 12