向量的数量积和向量积学习版.ppt
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《数量积和向量积》课件
数量积和向量积的性质和运算法则
数量积的性质
• 数量积满足交换律 • 数量积与向量的模长的
乘积等于两个向量夹角 的余弦值
向量积的性质
• 向量积垂直于参与运算 的两个向量
• 向量积的模长等于以两 个向量为邻边的平行四 边形的面积
数量积和积乘以它们夹角的
• 余向弦量值积的运算法则：向 量积等于两个向量模长 的乘积乘以它们夹角的 正弦值，并与参与运算 的两个向量的法向量方 向相符。
数量积的应用
1 向量投影
在数量积的基础上，我们可以求得一个向量在另一个向量方向上的投影。
2 向量夹角
通过计算数量积的值，可以得到两个向量夹角的余弦值，从而求得它们的夹角。
《数量积和向量积》PPT 课件
本课件将介绍数量积和向量积的定义、基本概念以及它们的性质和运算法则。 还将探讨数量积和向量积在实际应用中的作用和应用实例。
数量积的定义和基本概念
1 数量积的定义
数量积，又称点积或内积，是两个向量之间 的一种运算，用数值表示。
2 向量积的定义
向量积，又称叉积或外积，是两个向量之间 的一种运算，结果是一个新的向量。
3 求垂直分解
数量积可以用来计算一个向量在另一个向量垂直方向上的分量。
向量积的应用
1 平行四边形的面积
向量积的模长等于以两个向量为邻边的平行四边形的面积。
2 三角形的面积
通过计算两个向量的向量积的模长的一半，可以得到以这两个向量为边的三角形的面积。
3 直线的位置关系
通过计算两个向量的向量积，可以判断直线的位置关系，如相交、平行或共面。
应用实例
1
航空工程
数量积和向量积在航空工程中被广泛应
建筑设计
高等数学数量积向量积.ppt
数量积的运算律： (1)交换律 a ·bb ·a； (2)分配律：(ab) ·ca ·cb ·c． (3)(a) ·ba ·(b)(a ·b)， (a) ·(b)(a ·b)，、为数．
数量积的坐标表示： 设a ax i ay j az k，b bx i by j bz k．
按数量积的运算规律可得
3
二、两向量的向量积
向量积的物理背景：
设O为一根杠杆L的支点． 有一个力F 作用于这杠杆上P点处．
F 与 OMPA的夹角为 ． 由力学规定，力 F 对支点O的力矩是一向
量 M ， 它的模
|
M
||OMPA
|
|
F
|sin
，
F
而 M 的方向垂直于 MOPA与 F 所决定的 O
平面， M 的指向是的按右手规则从
两向量夹角的余弦的坐标表示：
当a 0 、b 0 时，由于 a ·b | a | | b |cos ，所以
cos a b
| a || b |
axbx ayby azbz
ax2
a
2 y
az2
bx2 by2 bz2
．
例1 已知三点M(1,1,1)、A(2,2,1)和B(2,1,2)，求AMB ．
表示位移
M1M
2
．由物理学知道，力 F
所作的功为
F
W| F | | s |cos ，
其中为 F 与 s 的夹角．
s
数量积：
对于两个向量 a 和 b
，它们的模|
a
|、|
b
M1
|及它们的夹角
M2
(0≤ θ ≤ π) 的余弦的乘积称为向量 a 和 b 的数量积，
记作 a ·b ，即
数量积的坐标表示： 设a ax i ay j az k，b bx i by j bz k．
按数量积的运算规律可得
3
二、两向量的向量积
向量积的物理背景：
设O为一根杠杆L的支点． 有一个力F 作用于这杠杆上P点处．
F 与 OMPA的夹角为 ． 由力学规定，力 F 对支点O的力矩是一向
量 M ， 它的模
|
M
||OMPA
|
|
F
|sin
，
F
而 M 的方向垂直于 MOPA与 F 所决定的 O
平面， M 的指向是的按右手规则从
两向量夹角的余弦的坐标表示：
当a 0 、b 0 时，由于 a ·b | a | | b |cos ，所以
cos a b
| a || b |
axbx ayby azbz
ax2
a
2 y
az2
bx2 by2 bz2
．
例1 已知三点M(1,1,1)、A(2,2,1)和B(2,1,2)，求AMB ．
表示位移
M1M
2
．由物理学知道，力 F
所作的功为
F
W| F | | s |cos ，
其中为 F 与 s 的夹角．
s
数量积：
对于两个向量 a 和 b
，它们的模|
a
|、|
b
M1
|及它们的夹角
M2
(0≤ θ ≤ π) 的余弦的乘积称为向量 a 和 b 的数量积，
记作 a ·b ，即
第三节向量的数量积与向量积
= a x bxi ⋅ i + a x b yi ⋅ j + a x bzi ⋅ k
+ a y bx j ⋅ i + a y b y j ⋅ j + a y bz j ⋅ k
+ a z bxk ⋅ i + a z b yk ⋅ j + a z bzk ⋅ k
= a x bx + a y by + az bz .
a × b = a ⋅ b sin ( a , b ) = 0, 因此 a × b = 0.
反之， 反之，当 a、b 为非零向量，且 a × b = 0 时，则 为非零向量，
a ⋅ b sin (a , b) = 0. 因为 a ≠ 0 , b ≠ 0 . 所以 sin (a , b) = 0. 从而断定 (a , b) = 0 或 π，
a ⋅b cos (a , b) = a ⋅b
=
axbx + ayby + azbz a +a +a ⋅ b +b +b
2 x 2 y 2 z 2 x 2 y 2 z
.
例 1 已知 a = i + j，b = i + k，求a ⋅ b, cos (a , b) ， ， 及 ab . 解 由公式可得
= c ×a.
从而
例 8 已知 a + b + c = 0，求证 a ´ b = b ´ c ，
证明 因为 a + b + c = 0 ，所以 a = − ( b + c ) ,
a × b = − (b + c ) × b = −( b × b + c × b )
= −c × b = b × c .
《高数数量积向量积》课件
《高数数量积向量积》 PPT课件
# 高数数量积向量积 ## 概述 本课程将介绍高等数学中的数量积和向量积概念及其应用。
数量积
数量积用于计算两个向量的乘积，它的定义、运算规律和几何意义都非常重要。
1
定义
数量积是两个向量的数量乘积再求和。
运算规律
2
数量积满足交换律、结合律和分配律等
基本规律。
3
几何意义
应用举例
向量积在物理学、机械工程和电磁学等领域中 有广泛的应用。
数量积和向量积的比较
数量积和向量积都是计算两个向量之间的乘积，但它们在定义、运算规律和几何意义上有很大的区别。
数量积
定义：数量乘积再求和 运算规律：满足交换律、结合律和分配律 几何意义：计算夹角和长度相关性质
向量积
定义：乘积再取垂直于平面的向量 运算规律：满足交换律和分配律 几何意义：计算面积、体积和法向量等几何性质
总结
本课程回顾了数量积和向量积的定义、运算规律、几何意义和应用举例，并比较了这两个概念的异同之处。
数量积可以计算两个向量之间的夹角和
应用举例
4
长度相关的性质。
数量积在物理学、工程学和计算机图形 学中有广泛的应用。
向量积
Байду номын сангаас向量积用于计算两个向量的叉乘，它具有独特的几何意义和应用。
定义
向量积是两个向量的乘积再取垂直于它们所在 平面的向量。
运算规律
向量积有交换律和分配律，但不满足结合律。
几何意义
向量积可以计算面积、体积和法向量等几何性 质。
# 高数数量积向量积 ## 概述 本课程将介绍高等数学中的数量积和向量积概念及其应用。
数量积
数量积用于计算两个向量的乘积，它的定义、运算规律和几何意义都非常重要。
1
定义
数量积是两个向量的数量乘积再求和。
运算规律
2
数量积满足交换律、结合律和分配律等
基本规律。
3
几何意义
应用举例
向量积在物理学、机械工程和电磁学等领域中 有广泛的应用。
数量积和向量积的比较
数量积和向量积都是计算两个向量之间的乘积，但它们在定义、运算规律和几何意义上有很大的区别。
数量积
定义：数量乘积再求和 运算规律：满足交换律、结合律和分配律 几何意义：计算夹角和长度相关性质
向量积
定义：乘积再取垂直于平面的向量 运算规律：满足交换律和分配律 几何意义：计算面积、体积和法向量等几何性质
总结
本课程回顾了数量积和向量积的定义、运算规律、几何意义和应用举例，并比较了这两个概念的异同之处。
数量积可以计算两个向量之间的夹角和
应用举例
4
长度相关的性质。
数量积在物理学、工程学和计算机图形 学中有广泛的应用。
向量积
Байду номын сангаас向量积用于计算两个向量的叉乘，它具有独特的几何意义和应用。
定义
向量积是两个向量的乘积再取垂直于它们所在 平面的向量。
运算规律
向量积有交换律和分配律，但不满足结合律。
几何意义
向量积可以计算面积、体积和法向量等几何性 质。
6.2.4向量的数量积 课件【共48张PPT】
5×3×4×cos 120°-2×4 =25.
[例 3] 已知|a|=3,|b|=4,|c|=5,向量 a,b 的夹角是 120°,a,c 的夹角是
45°.求:
(3)a·(a-4b+ c).
2
2
解:(3)a·(a-4b+ c)=a -4a·b+ a·c=|a| -4|a||b|cos 120°+ |a|
向量运算的相互转化.
2
2
(3)一些常见的等式应熟记,如(a±b)2=a2±2a·b+b2,(a+b)·(a-b)=a2b2等.
即时训练 4-1:已知|a|=1,|b|=3,且|a-b|=2,求 |a+b|.
解:法一
2
2
2
2
因为|a-b| =(a-b) =a -2a·b+b =1+9-2a·b=4,
→
→
(2)如图(2),在平面内任取一点 O,作=a,=b,过点 M 作直线 ON 的垂线,
→
垂足为 M1,则 就是向量 a 在向量 b 上的 投影向量
.
(3)设与 b 方向相同的单位向量为 e,a 与 b 的夹角为θ,对任意的θ∈[0,π],
→
都有 = |a|cos θ e .
||
cos
||
θ=cos
答案:-2e -a
· a=- a.
方法总结
向量 a 在向量 b 上的投影向量的求法
将已知量代入 a 在 b 方向上的投影向量公式|a|cos θ e(e 是与 b 方向
)中计算即可.
||
相同的单位向量,且 e=
即时训练 2-1:已知|a|=4,|b|=6,a 与 b 的夹角为 60°,则向量 a 在向量 b
[例 3] 已知|a|=3,|b|=4,|c|=5,向量 a,b 的夹角是 120°,a,c 的夹角是
45°.求:
(3)a·(a-4b+ c).
2
2
解:(3)a·(a-4b+ c)=a -4a·b+ a·c=|a| -4|a||b|cos 120°+ |a|
向量运算的相互转化.
2
2
(3)一些常见的等式应熟记,如(a±b)2=a2±2a·b+b2,(a+b)·(a-b)=a2b2等.
即时训练 4-1:已知|a|=1,|b|=3,且|a-b|=2,求 |a+b|.
解:法一
2
2
2
2
因为|a-b| =(a-b) =a -2a·b+b =1+9-2a·b=4,
→
→
(2)如图(2),在平面内任取一点 O,作=a,=b,过点 M 作直线 ON 的垂线,
→
垂足为 M1,则 就是向量 a 在向量 b 上的 投影向量
.
(3)设与 b 方向相同的单位向量为 e,a 与 b 的夹角为θ,对任意的θ∈[0,π],
→
都有 = |a|cos θ e .
||
cos
||
θ=cos
答案:-2e -a
· a=- a.
方法总结
向量 a 在向量 b 上的投影向量的求法
将已知量代入 a 在 b 方向上的投影向量公式|a|cos θ e(e 是与 b 方向
)中计算即可.
||
相同的单位向量,且 e=
即时训练 2-1:已知|a|=4,|b|=6,a 与 b 的夹角为 60°,则向量 a 在向量 b
数量积向量积【高等数学PPT课件】
分析:
求以
为对角线的平行四边形的面积.
三、向量混合积
定义 设
则数
的混合积. 记作
混向量
性质 混合积几何意义：
等于以
为棱的平行
六面体的体积.
结论:
共面
二、向量积
定义 设向量 向量 与 的向量积是一个
向量, 记为
满足:
的方向与 法则, 且从 转向
都垂直, 指向符合右手
在几何上表示以 与 为邻边的平行四边形的面积.
性质 (2) 若
非零,则
向量积满足:
向量积的坐标表示式: 设
则
例1 化简
例2 已知
求
的面积及
例3 求同时垂直于 的单位向量.
例4 设
第四节 数量积 向量积 混合积
一、 数量积
定义 称数
记
为与的
数量积（或内积、点乘积）. 由投影定理知
性质 (3) 对非零向量
数量积满足:
——交换律 ——分配律
数量积的坐标表示式: 设
则
——结合律
对应坐标乘积的和.
当 与 非零时,
例1 证明以 为顶点的三角形是直角三角形. 例2 利用向量证明余弦定理.
向量的数量积PPT(课件)
2
(×)
(×)
(3)若a b | a || b |,则a // b ( √ )
( 4) a a a | a |
2
(√)
(5)若a b 0, 则a与b 中至少有一个为 0.
(×)
2、在ABC中， AB BC 0，则ABC的形状是
A、 锐角三角形
C、 钝角三角形
B、
D、
(2)已知ABC， AB a , AC b ,
直角 三角形。 当a b 0时， ABC为_______
2 2 (3) 已知向量 a满足 a 8，则 | a | _______
2
1、已知 a, b, c 均为非零向量,试 判断下列说法是否正确？
(1)0 a 0 (2)0 a 0
另一个向量 b 在向量 a 方向上的投影 b cos 的乘积。
用向量的几何意义验证
（ 3 ）分配律： ( a b ) c a c b c
向量a、b、a + b 在c上的投影分别是 a OM、MN、 ON, 则 (a + b ) · c = ON |c| O = (OM + MN) |c| = OM|c| + MN|c| = a· c + b· c.
b a
A
θ
┐ θ B1 O
b θ ┓ O(B ) 1
a
Hale Waihona Puke A 2 b cos OB1
(2)
2 b cos 0
（3）
│ b│cosθ叫做向量 b在向量 a 上的投影， │a │cosθ叫做向量 a 在向量 b 上的投影.
5、向量的数量积的几何意义
(×)
(×)
(3)若a b | a || b |,则a // b ( √ )
( 4) a a a | a |
2
(√)
(5)若a b 0, 则a与b 中至少有一个为 0.
(×)
2、在ABC中， AB BC 0，则ABC的形状是
A、 锐角三角形
C、 钝角三角形
B、
D、
(2)已知ABC， AB a , AC b ,
直角 三角形。 当a b 0时， ABC为_______
2 2 (3) 已知向量 a满足 a 8，则 | a | _______
2
1、已知 a, b, c 均为非零向量,试 判断下列说法是否正确？
(1)0 a 0 (2)0 a 0
另一个向量 b 在向量 a 方向上的投影 b cos 的乘积。
用向量的几何意义验证
（ 3 ）分配律： ( a b ) c a c b c
向量a、b、a + b 在c上的投影分别是 a OM、MN、 ON, 则 (a + b ) · c = ON |c| O = (OM + MN) |c| = OM|c| + MN|c| = a· c + b· c.
b a
A
θ
┐ θ B1 O
b θ ┓ O(B ) 1
a
Hale Waihona Puke A 2 b cos OB1
(2)
2 b cos 0
（3）
│ b│cosθ叫做向量 b在向量 a 上的投影， │a │cosθ叫做向量 a 在向量 b 上的投影.
5、向量的数量积的几何意义
《数量积向量积》课件
《数量积向量积》ppt 课件
目录
• 数量积和向量积的定义 • 数量积和向量积的性质 • 数量积和向量积的计算方法 • 数量积和向量积的应用 • 数量积和向量积的实例分析
CHAPTER 01
数量积和向量积的定义
数量积的定义
总结词
数量积是两个向量的内积，表示为点乘，其结果是一个标量。
详细描述
数量积定义为两个向量的对应分量之积的和，即$mathbf{A} cdot mathbf{B} = A_1B_1 + A_2B_2 + ldots + A_nB_n$，其中$mathbf{A} = (A_1, A_2, ldots, A_n)$和$mathbf{B} = (B_1, B_2, ldots, B_n)$是两个向量。数 量积的结果是一个标量，其值取决于两个向量的长度和它们之间的夹角。
在力的合成与分解中，我们常常需要计算力的矢量合成和分解后的结果。通过 数量积和向量积的计算，我们可以更准确地描述力的方向和大小，从而更好地 理解力的合成与分解过程。
实例二：速度和加速度的计算
总结词
速度和加速度是描述物体运动状态的重要物理量，通过数量积和向量积可以更准 确地计算速度和加速度。
详细描述
03
电磁学
在电磁学中，电场和磁场都是向量场，电场强度和磁场强度都是向量，
它们的计算涉及到数量积和向量积。
工程中的应用
航空航天
在航空航天领域，飞行器的设计 和控制涉及到大量的向量计算， 包括飞行器的姿态、速度、加速 度等都需要用到数量积和向量积
。
机械工程
在机械工程中，机器的运动分析 和设计需要用到大量的向量计算 ，包括力的分析、运动轨迹的计
CHAPTER 03
目录
• 数量积和向量积的定义 • 数量积和向量积的性质 • 数量积和向量积的计算方法 • 数量积和向量积的应用 • 数量积和向量积的实例分析
CHAPTER 01
数量积和向量积的定义
数量积的定义
总结词
数量积是两个向量的内积，表示为点乘，其结果是一个标量。
详细描述
数量积定义为两个向量的对应分量之积的和，即$mathbf{A} cdot mathbf{B} = A_1B_1 + A_2B_2 + ldots + A_nB_n$，其中$mathbf{A} = (A_1, A_2, ldots, A_n)$和$mathbf{B} = (B_1, B_2, ldots, B_n)$是两个向量。数 量积的结果是一个标量，其值取决于两个向量的长度和它们之间的夹角。
在力的合成与分解中，我们常常需要计算力的矢量合成和分解后的结果。通过 数量积和向量积的计算，我们可以更准确地描述力的方向和大小，从而更好地 理解力的合成与分解过程。
实例二：速度和加速度的计算
总结词
速度和加速度是描述物体运动状态的重要物理量，通过数量积和向量积可以更准 确地计算速度和加速度。
详细描述
03
电磁学
在电磁学中，电场和磁场都是向量场，电场强度和磁场强度都是向量，
它们的计算涉及到数量积和向量积。
工程中的应用
航空航天
在航空航天领域，飞行器的设计 和控制涉及到大量的向量计算， 包括飞行器的姿态、速度、加速 度等都需要用到数量积和向量积
。
机械工程
在机械工程中，机器的运动分析 和设计需要用到大量的向量计算 ，包括力的分析、运动轨迹的计
CHAPTER 03
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第三节 向量的数量积和向量积
一、 两向量的数量积 二、 两向量的向量积
演示课件
一、两向量的数量积
1 定义 两个向量a和b的模与它们之间夹角的余弦之积，
称为向量a与b的数量积，记作a·b,即
a • b | a || b | cos(a, b)
数量积也称点积。
力学意义：一物体在力F的作用下，
F
沿直线AB移动了S，F与AB的夹角为α,
如右图，则力对物体做的功为
θ
A
S
B
W | F || S | cos 演示课件
2 性质： （1） a·a=|a|2
i •i 1, j • j 1, k • k 1
（2）a b a •b 0
i • j 0, j • k 0, k •i 0
（3）θ表示两非零向量a和b的夹角，则有
cos a • b
9
（2）cos(
a ,b
)
|
a a
•b || b
|
9
1
12 12 ( 4 )2 12 ( 2 )2 22
2
所以
( a,b ) 3
（3） 因为
4
a • b | a || b | cos( a,b ) | b | Pr jba
所以
Pr
ju AB
a•b |b|
9 3
3
演示课件
例2 求证余弦定理 c2 a2 b2 2ab cos
则有
a • b x1x2 y1 y2 z1z2
演示课件
证明：
a • b (x1i y1 j z1k ) • (x2i y2 j z2k )
x1x2i • i x1 y2i • j x1z2i • k y1x2 j • i y1y2 j • j y1z2 j • k z1x2k • i z1y2k • j z1z2k • k
a b x1 y1 z1 x2 y2 z2
此时，对于非零向量a，b，有
a // b x1 y1 z1 x2 y2 z2
约定：若分母中有零，相应地，分子也为零。
演示课件
例3 设向量 a 3i 2 j k,b 2i j 3k, 求ab.
解：
ijk
a b 3 2 1 5i 11 j 7k
| a || b |
3 两向量的向量积的运算律 （1） a×b=-b×a； （2）（λa）×b=a×（λb）=λ（a×b （λ为常数） （3）（a+b）×c=a×c+b×c
演示课件
4 两向量的向量积的坐标表示 设向量
a x1i y1 j z1k, b x2i y2 j z2k
则有
i
jk
θ为边CA，CB的夹角。 A 证明：如图所示的△ABC，可得
那么
AB CB CA B
θ C
2
AB
( CB CA )2
( CB CA )•( CB CA )
2
2
CB CA 2CB •CA
令 | CB | a,| CA| b,| AB| c, 所以
c2 a2 b2 2ab cos
| a || b |
演示课件
3 运算律 （1）交换律 a •b b • a
（2）分配律 (a b) • c a • c b • c
（3）结合律 (a) • b (a • b) a • (b)
其中λ为常数。 4 数量积的计算公式 设向量
a x1i y1 j z1k, b x2i y2 j z2k
证毕
演示课件
二、两向量的向量积
1 定义 设向量c由两个向量a和b按下列规定给出：
（1）|c|=|a| |b| sinθ，θ为向量a和b的夹角； （2）c a, c b ，且向量a，b ， c的方向满 足右手定则，如图； 那么向量c称为向量a和b的向量积，记作a×b，即
C= a×b
向量积又称为叉积。
向量的向量及与第三个向量是否垂直即可。（为什么？） 由于
i jk
ab 2 3 1 4i 2 j 2k
0 1 1
所以，
( a b )• c ( 4i 2 j 2k )•( i j k )
用e表示u轴上的单位向量，则a·e为向量a在e方向 上的投影，那么有
a • e | a || e | cos | a | cos
例1 已知a={1，1，-4}，b={1，-2，2}，求： （1）a·b； （2）a与b的夹角； （3）a在b上的投影。
演示课件
解：（1）a •b 11 1( 2 ) (-4) 2
2 1 3
例4 设向量 a 2i 问a×b与c是否平行？
3
j
k,b
i
k,cBiblioteka i1 3j
k
解：
ijk
a b 2 3 1 3i j 3k
显然
1 0 1
演示课件
故a×b//c.
例5 问向量 a = -2i+ 3j + k,b = -j + k,c = i - j - k
是否共面？ 解：判断三个向量是否共面，只要判断其中的两个
而M的方向垂直于 OP 与F所决定的平面，M的指向是
是按右手规则从 OP 以不超过π的角的转向F来确定， 因而实际上
M OP F
演示课件
2 两向量积的性质 （1）a×a=o；
ii j j kk o
（2）a || b a b o
（3）若a≠o，b≠o，a，b的夹角为θ，则
sin | a b |
设A为空间一点，u轴已知，如图。 过点A作与轴垂直的平面，平面与轴 A
的交点A‘称为A在轴上的投影。
对于已知向量 AB，u轴上的有向
A'
线段 AB 的模称为向量 AB 在轴u
上的投影，它是一个数量，记作
Pr ju AB
演示课件
B
B'
u
那么
Pr ju AB | AB| cos
θ为向量 AB 与轴u的夹角。
x1x2 y1 y2 z1z2
则有两非零向量a和b的夹角θ的余弦坐标表示为
cos a • b
x1x2 y1 y2 z1z2
| a || b |
x12 y12 z12 x22 y22 z22
演示课件
此时，对于非零向量a，b，有
a b x1x2 y1 y2 z1z2
5 向量在轴上的投影
c
★向量积模的几何意义是：以 a，b为邻边的平行四边形的面积。
b θ
a
演示课件
★力学意义：力矩， 如下图所示。
O为一根杠杆L的支点，
F
有一个力F作用于其上点P处， O
F与OP 的夹角为θ，由力学
规定， 力F对支点O的力矩 是一个向量M，它的模
θ
P
L
Q
M OP F
| M ||OQ|| F ||OP|| F | sin
一、 两向量的数量积 二、 两向量的向量积
演示课件
一、两向量的数量积
1 定义 两个向量a和b的模与它们之间夹角的余弦之积，
称为向量a与b的数量积，记作a·b,即
a • b | a || b | cos(a, b)
数量积也称点积。
力学意义：一物体在力F的作用下，
F
沿直线AB移动了S，F与AB的夹角为α,
如右图，则力对物体做的功为
θ
A
S
B
W | F || S | cos 演示课件
2 性质： （1） a·a=|a|2
i •i 1, j • j 1, k • k 1
（2）a b a •b 0
i • j 0, j • k 0, k •i 0
（3）θ表示两非零向量a和b的夹角，则有
cos a • b
9
（2）cos(
a ,b
)
|
a a
•b || b
|
9
1
12 12 ( 4 )2 12 ( 2 )2 22
2
所以
( a,b ) 3
（3） 因为
4
a • b | a || b | cos( a,b ) | b | Pr jba
所以
Pr
ju AB
a•b |b|
9 3
3
演示课件
例2 求证余弦定理 c2 a2 b2 2ab cos
则有
a • b x1x2 y1 y2 z1z2
演示课件
证明：
a • b (x1i y1 j z1k ) • (x2i y2 j z2k )
x1x2i • i x1 y2i • j x1z2i • k y1x2 j • i y1y2 j • j y1z2 j • k z1x2k • i z1y2k • j z1z2k • k
a b x1 y1 z1 x2 y2 z2
此时，对于非零向量a，b，有
a // b x1 y1 z1 x2 y2 z2
约定：若分母中有零，相应地，分子也为零。
演示课件
例3 设向量 a 3i 2 j k,b 2i j 3k, 求ab.
解：
ijk
a b 3 2 1 5i 11 j 7k
| a || b |
3 两向量的向量积的运算律 （1） a×b=-b×a； （2）（λa）×b=a×（λb）=λ（a×b （λ为常数） （3）（a+b）×c=a×c+b×c
演示课件
4 两向量的向量积的坐标表示 设向量
a x1i y1 j z1k, b x2i y2 j z2k
则有
i
jk
θ为边CA，CB的夹角。 A 证明：如图所示的△ABC，可得
那么
AB CB CA B
θ C
2
AB
( CB CA )2
( CB CA )•( CB CA )
2
2
CB CA 2CB •CA
令 | CB | a,| CA| b,| AB| c, 所以
c2 a2 b2 2ab cos
| a || b |
演示课件
3 运算律 （1）交换律 a •b b • a
（2）分配律 (a b) • c a • c b • c
（3）结合律 (a) • b (a • b) a • (b)
其中λ为常数。 4 数量积的计算公式 设向量
a x1i y1 j z1k, b x2i y2 j z2k
证毕
演示课件
二、两向量的向量积
1 定义 设向量c由两个向量a和b按下列规定给出：
（1）|c|=|a| |b| sinθ，θ为向量a和b的夹角； （2）c a, c b ，且向量a，b ， c的方向满 足右手定则，如图； 那么向量c称为向量a和b的向量积，记作a×b，即
C= a×b
向量积又称为叉积。
向量的向量及与第三个向量是否垂直即可。（为什么？） 由于
i jk
ab 2 3 1 4i 2 j 2k
0 1 1
所以，
( a b )• c ( 4i 2 j 2k )•( i j k )
用e表示u轴上的单位向量，则a·e为向量a在e方向 上的投影，那么有
a • e | a || e | cos | a | cos
例1 已知a={1，1，-4}，b={1，-2，2}，求： （1）a·b； （2）a与b的夹角； （3）a在b上的投影。
演示课件
解：（1）a •b 11 1( 2 ) (-4) 2
2 1 3
例4 设向量 a 2i 问a×b与c是否平行？
3
j
k,b
i
k,cBiblioteka i1 3j
k
解：
ijk
a b 2 3 1 3i j 3k
显然
1 0 1
演示课件
故a×b//c.
例5 问向量 a = -2i+ 3j + k,b = -j + k,c = i - j - k
是否共面？ 解：判断三个向量是否共面，只要判断其中的两个
而M的方向垂直于 OP 与F所决定的平面，M的指向是
是按右手规则从 OP 以不超过π的角的转向F来确定， 因而实际上
M OP F
演示课件
2 两向量积的性质 （1）a×a=o；
ii j j kk o
（2）a || b a b o
（3）若a≠o，b≠o，a，b的夹角为θ，则
sin | a b |
设A为空间一点，u轴已知，如图。 过点A作与轴垂直的平面，平面与轴 A
的交点A‘称为A在轴上的投影。
对于已知向量 AB，u轴上的有向
A'
线段 AB 的模称为向量 AB 在轴u
上的投影，它是一个数量，记作
Pr ju AB
演示课件
B
B'
u
那么
Pr ju AB | AB| cos
θ为向量 AB 与轴u的夹角。
x1x2 y1 y2 z1z2
则有两非零向量a和b的夹角θ的余弦坐标表示为
cos a • b
x1x2 y1 y2 z1z2
| a || b |
x12 y12 z12 x22 y22 z22
演示课件
此时，对于非零向量a，b，有
a b x1x2 y1 y2 z1z2
5 向量在轴上的投影
c
★向量积模的几何意义是：以 a，b为邻边的平行四边形的面积。
b θ
a
演示课件
★力学意义：力矩， 如下图所示。
O为一根杠杆L的支点，
F
有一个力F作用于其上点P处， O
F与OP 的夹角为θ，由力学
规定， 力F对支点O的力矩 是一个向量M，它的模
θ
P
L
Q
M OP F
| M ||OQ|| F ||OP|| F | sin