随机信号处理第一章1
随机信号分析与处理习题解答罗鹏飞.pdf
P{X = m} = Cnm p m (1 − p)n−m ， m = 0,1, 2,....n
n
∑ 所以 X = Xi 服从参数为 n，p 的二项分布。 i =1
且有 E( Xi ) = 1⋅ P{Xi = 1}+ 0 ⋅ P{Xi = 0} = p ，
E
(
X
2 i
)
= 12
⋅
P{ X i
= 1}+
P{X = m} = Cnm p m (1 − p)n−m ， m = 0,1, 2,....n ， 0 < p < 1
求 X 的均值和方差。 解法一：直接按照定义计算
n
n
∑ ∑ E( X ) = mP{X = m} = mCnm pm (1− p)n−m
m=0
m=0
∑n
=m
n!
pm (1− p)n−m
第 1 章 随机变量基础
1.1 设有两个随机变量 X 和 Y，证明
fY|X ( y | x) =
f (x, y) f X (x)
，
f X |Y
(x
|
y)
=
f (x, y) fY (y)
y x+Δx
∫ ∫ f (x, y)dxdy
提示：首先证明 F ( y | x < X ≤ x + Δx) = −∞ x
02
⋅
P{ X i
=
0}
=
p
，
D(Xi )
=
E
(
X
2 i
)
−
E2(Xi)
=
p
−
p2
=
p(1 −
p)
n
随机信号分析第一章 概率论1
例 从一批灯泡中抽取一只灯泡，测试它的使用寿命， 这是个随机试验. 设t表示灯泡的使用寿命，则样本空间 S={t|t≥0}.
• 特殊事件
样本空间Ω和空集Φ 作为Ω的子集也看作事件. 由于Ω包含所有的基本事件，故在每次试验中，必 有一个基本事件e∊ Ω发生，即在试验中，事件S必 然发生；因此, Ω是必然事件. 又因在Φ 中不包含任何一个基本事件，故在任何一 次试验中,Φ 永远不会发生；因此,Φ 是不可能事件. 常用Ω ,Φ 分别表示必然事件与不可能事件. 必然事件与不可能事件可以说不是随机事件，但是 为了研究的方便，还是把它们作为随机事件的两个 极端情形来处理.
（b）试验的所有可能的结果不止一个，而且是事先 已知的； （c）每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个， 但究竟出现哪一个结果，试验之前是不能确切预言的
人们将满足上述（a）、（ b ）、（ c ）三个条件的试 验，称为随机试验，简称为试验，以字母E来表示.
随机试验的每一个可能的结果称为基本事件，也称 作样本点，用字母e表示. • 随机试验E的全体基本事件所构成的集合，称为E的 的样本空间，记为Ω. 例 将一枚质量均匀对称的硬币投掷两次，观察正反 面出现情况，这也是个随机试验. 故样本空间 S={(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)}.
在这个随机试验中，若设 A表示事件“第一次出现正面”.
在一次试验中，A发生当且仅当在这次试验中出现 基本事件 (正，正)，(正，反) 中的一个. 这样可以认为A是由(正，正)，(正，反)组成的， 而将A定义为它们组成的集合 A={(正，正)，(正，反)}. 又如 事件B表示“两次出现同一面”
都发生的对立事件是至少一个不发生；至少一个发 生的对立事件是都不发生. 对偶原理在事件的运算中经常用到，它可以推广到 更多个事件的情况，即
第一章 离散随机信号1-4
随N的加大，偏移和估计量方差都趋于零， 是一致估计的充分必要条件。
通常选定一种估计方法， 往往不能使上述的三种性能评价一致， 只能折衷考虑，尽量满足无偏性和一致性。 下面讨论均值、方差、自相关函数的估计方法， 均假设随机序列平稳且具有各态历经性， 集合平均可以用长时间的时间平均代替。
二、均值估计
因此，B 0，这是一种无偏估计。
下面推导估计量的方差： r ( m) - E r ( m) 2 E r 2 ( m) - r 2 ( m) ˆ ˆxx var rxx (m) E ˆxx ˆxx ˆxx ˆ2 E rxx (m) 1
三、方差估计
已知N点样本数据xi (i 0,1, 2,, N -1), 假设数据之间无相关性，且均值mx已知，
用下式方差估计： 1 2 ˆ x N
x
i 0
N -1
i
- mx
2
可证明这是一致估计，但实际中一般mx是不知道的。
分析它的偏移性，按照上式，有 1 2 ˆ E x N
如果两估计量的观察次数相同，都是无偏估计。
哪个估计量在真值附近的摆动小一点， 即估计量的方差小一些。
就说这一个估计量的估计更有效。
ˆ ˆ 如果 和 '都是x的两个无偏估计值， 对任意N，它们的方差满足下式： 2 2 ＜ ' ˆ ˆ
式中：
2 ˆ 2 ˆ '
- E 2 ˆ ˆ E ' - E ' 2 ˆ ˆ E
1 ˆ ˆ2 ' x (5) N -1
2 x
将上式两边取统计平均值， 并将（5）式代入，
随机信号第一章2014
… …
离散型随机变量
对于离散随机变量，其分布函数为:
F ( x) pi u ( x xi )
i
其概率密度函数为:
dF ( x) p ( x) pi ( x xi ) dx i
离散型随机变量
例:均匀掷色子实验:取值为{1,2,3,4,5,6}
连续型随机变量
连续型随机变量（X取连续值）
E[ XY ] E[ X ]E[Y ]
2 方差
方差是用来度量随机变量偏离其数学期望的程度的量。 定义为
D[ X ] E{( X E[ X ]) }
2 X 2
( x E[ X ]) p X ( x)dx
2
方差开方后称为均方差或标准差 由均值的性质知：
X D[ X ]
问题:连续型随机变量X取某个值的概率?
概率密度函数
如均匀分布随机变量通过限幅器的输出.
总结
随机变量不同于普通变量表现在两点上： (1) 变量可以有多个取值，并且不能预知它到 底会取哪个值； (2) 变量取值是有规律的，这种规律用概率特 性来明确表述；
因此，凡是讨论随机变量就必然要联系到它 的取值范围与概率特性。
§ 1.1随机变量的概念
一.概率论的几个基本概念: 1． 随机试验 例1 抛硬币：可能出现正面或反面； 例2 从一批产品中任取10件，抽到的废品数 可能是0,1,2,…,10中的一个数； 例3 掷色子：可能出现1,2,3,4,5,6点 满足下列三个条件的试验被称为随机试验E，简称试验: 1) 在相同条件下可以重复进行; 2) 试验的结果不止一个，所有可能的结果能事先明确 ; 3) 每次试验前不能确定会出现哪一个结果。
F ( x ) F ( x)
随机信号分析与处理(第2版)
随机信号分析与处理（第2版）概述本文档介绍了随机信号分析与处理（第2版）的主要内容。
随机信号是一种在时间上或空间上具有随机性质的信号，在诸多领域中都有广泛的应用，如通信、图像处理、控制系统等。
随机信号的分析和处理对于了解其性质、提取有用信息以及设计有效的处理算法都是必不可少的。
主要内容第一章：随机信号的基本概念本章介绍了随机信号的基本概念和特性，包括随机信号的定义、概率密度函数、均值、方差等。
通过对随机信号的特性分析，可以为后续的分析和处理提供基础。
第二章：随机过程本章讨论了随机过程的定义和性质。
随机过程是一类具有随机性质的信号集合，其在时间上的取值不确定，但具有统计规律性。
通过对随机过程的分析，可以了解其演化规律和统计性质。
本章介绍了随机信号的表示与分解方法。
随机信号可以通过不同的数学模型进行表示，如傅里叶级数、傅里叶变换、小波变换等。
通过将随机信号进行分解，可以提取出其中的有用信息。
第四章：随机信号的功率谱密度本章研究了随机信号的功率谱密度。
功率谱密度描述了随机信号在频率域上的分布，通过分析功率谱密度可以获得随机信号的频率特性和频谱信息。
第五章：随机信号的相关与协方差本章讨论了随机信号的相关与协方差。
相关是用来描述随机信号之间的依赖关系，协方差是用来描述随机信号之间的线性关系。
通过分析随机信号的相关与协方差，可以研究信号之间的相关性和相关结构。
本章介绍了随机信号的滤波和平均处理方法。
滤波是用来抑制或增强随机信号中的某些频率分量，平均则是通过对多次采样的随机信号进行求平均来减小随机性。
第七章：随机信号的参数估计本章研究了随机信号的参数估计方法。
参数估计是通过对随机信号进行采样和分析，通过估计参数来了解信号的统计性质和特征。
第八章：随机信号的检测和估计本章讨论了随机信号的检测和估计方法。
检测是用来判断随机信号的存在或不存在，估计是通过对随机信号的采样和分析来估计信号的参数。
第九章：随机信号的最优滤波本章研究了随机信号的最优滤波方法，最优滤波是通过优化设计滤波器来最小化系统误差或最大化输出信噪比。
随机信号分析与处理第一讲
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
27
对数正态分布概率密度
高分辨率雷达杂波分布
27
1.4多维随机变量及其分布
•二维分布函数 设（X，Y）为二维随机变量，x，y为实数，定义
F ( x, y) P{ X x, Y y}
为二维随机变量的的分布函数。
y
( x, y )
随机信号分析与处理
张文明
国防科技大学电子科学与工程学院
1
1
2
张文明，博士，综合信息系统研究所副教授。 主要研究方向为雷达数据处理、电子系统仿真。 办公室：实验大楼308 电话：73491－602
2
1、课程学习的必要性
从课程研究的对象分析 根据信号的取值是否确定，可以将信号分为确定信号和随 机信号。
•定义 X(e)的随机性在e中体现，对应不同的e， X(e)的取值不同
•设离散型随机变量X的所有可能取值为xk (k 1,...,n) ，其概率为
P( X xk ) pk
X pk
19
(k 1,2,....,n)
x2
p2
... ...
x1
p1
xn
pn
离散随机变量概率分布
19
•(0,1)分布 随机变量的可能取值为0和1两个值，其概率分布为
10
12
瑞利分布概率密度＝2
25
指数分布（Exponential）
e x， x 0 f ( x) 0， x 0
1.5
1
0.5
0 0
1
2
3
第1章 随机信号概论(概论)
随机过程讲义陈庆虎武汉大学电子信息学院参考书：1．随机信号分析基础。
王永德王军编著，电子工业出版社。
2．随机信号分析。
朱华等编著，北京理工大学出版社。
3．随机过程及其应用。
陆大絟编著，清华大学出版社。
第一章 随机信号概论1．1信号与噪声1．1．1信号分类信号一般按数字特点分类，有以下四种方法： 1、确定信号与随机信号 2、连续信号与离散信号 3、周期信号与非周期信号 4、能量型信号与功率型信号我们接触过许多信号处理方法，大致可归纳为：随机过程研究处理的对象：与时序有关的随机信号。
1．1．2 信号·误差·噪声一、信号来源被测的物理量都是信号，按物理特性可分为：长度、热学、力学、电磁、无线电、放射性、光学、声学、化学、生物、医学等内容。
二、信号的测量信号接收、量具测量、仪器测量。
1． 直接测量：用量具或仪器直接测出物理量的量值。
y --被测对象(目标)，x --测量值，x y =2． 间接测量：),,,(21n x x x y y =，n x x x ,,,21 为测量值，y 为测量目标。
通过n x x x ,,,21 计算出y 。
更一般的模型为0),,,,(21=n x x x y F例1：消耗在电阻上的功率P 与电流I 和电阻值R 之间的关系为R I P 2=，可测量出I 与R 的值，算出P 的值。
例2，由雷达系统确定飞机的位置。
为了确定飞机与雷达的距离R ，我们可以发射一个电磁脉冲，这个脉冲在遇到飞机时就产生反射，继而由天线接收的回波将会引起0τ秒的延时，测量现0τ，距离可由方程cR20=τ确定，其中c 是电磁传播速度。
图1.1 雷达发射脉冲图1.2 接收信号3．组合测量：测量目标有多个时，需要通过组合测量，解联立方程组，求得被测量的值。
一般模型为：设m y y y 21,为m 个被测目标，n x x x 21,为n 个被测值，要得出m y y y 21,的值，至少要经过m 次测量，其组合测量的数学模型为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===0),,,(0),,,(0),,,(21212221221212111211nm m m m m n m n m x x x y y y F x x x y y y F x x x y y y Fij x 为i x 的第j 次测量值。
精品文档-随机信号分析基础(梁红玉)-第1章
第一章 随机变量基础
1.1 概率基本术语 1.2 随机变量及其分布 1.3 随机变量函数及其分布 1.4 随机变量及其函数的数字特征 1.5 高斯随机变量
第一章 随机变量基础
第一章 随机变量基础
1.1.1 概率空间 1. 随机现象有两个主要特点： ① 个别试验的不确定性；
② 大量试验结果的统计规律性。 概率论和数理统计是描述和 研究随机现象统计规律性的数学学科， 它们研究大量随机现 象内在的统计规律、 建立随机现象的物理模型并预测随机现 象将要产生的结果。
第一章 随机变量基础
下面对一维实随机变量做简要说明。 (1) 样本ξk是样本空间上的点， 所对应的实数xk是某个 实数集R1上的点。 因此， 一维实随机变量X(ξ)就是从原样 本空间Ω到新空间R1的一种映射， 如图1-5所示。 (2) 随机变量X(ξ)总是对应一定的概率空间(Ω, F, P)。 为了书写简便， 没有特殊要求时不必每次写出随机变量X(ξ) 的概率空间(Ω, F, P)。 (3) 随机变量X(ξ)是关于ξ的单值实函数， 简写为X。 本书规定用大写英文字母X, Y, Z, …表示随机变量， 用 相应的小写字母x, y, z， …表示随机变量的可能取值， 用 R1表示一维实随机变量的值域。 简单地说， 随机变量实际上就是样本空间为一维实数域 R1其子集的概率空间。
推广到多个事件， 设A1, A2, …，AN为同一样本空间上 的一组事件， 若对任意的M(2≤M≤N)及任意M 个互不相同的
整数i1, i2, …， iM, 满足
P( Ai1 Ai2 AiM ) P( Ai1 )P( Ai2 )P( AiM )
(1-10)
第一章 随机变量基础
3.
若事件A1, A2, …，AN两两互斥(互不相容)， 即i j ，
随机信号分析第一章习题讲解
1-9 已知随机变量X 的分布函数为20,0(),011,1X x F x kx x x <⎧⎪=≤≤⎨⎪>⎩求：①系数k ； ②X 落在区间(0.3,0.7)内的概率； ③随机变量X 的概率密度。
解：第①问 利用()X F x 右连续的性质 k ＝1第②问{}{}{}()()0.30.70.30.70.70.30.7P X P X F P X F =<<=<≤-=-第③问 201()()0X X xx d F x f x elsedx ≤<⎧==⎨⎩1-10已知随机变量X 的概率密度为()()xX f x kex -=-∞<<+∞（拉普拉斯分布），求：①系数k ②X 落在区间(0,1)内的概率 ③随机变量X 的分布函数 解： 第①问 ()112f x dx k ∞-∞==⎰ 第②问{}()()()211221x x P x X x F x F x f x dx <≤=-=⎰随机变量X 落在区间12(,]x x 的概率12{}P x X x <≤就是曲线()y f x =下的曲边梯形的面积。
{}{}()()1010101112P X P X f x dxe -<<=<≤==-⎰第③问()102102xx e x f x e x -⎧≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩()00()110022111010222xx xxx x x x F x f x dxe dx x ex e dx e dxx e x -∞-∞---∞=⎧⎧≤≤⎪⎪⎪⎪==⎨⎨⎪⎪+>->⎪⎪⎩⎩⎰⎰⎰⎰1-11 某繁忙的汽车站，每天有大量的汽车进出。
设每辆汽车在一天内出事故的概率为0.0001，若每天有1000辆汽车进出汽车站，问汽车站出事故的次数不小于2的概率是多少？,(01)p q λ→∞→→∞→−−−−−−−−→−−−−−−−−→−−−−−−−−→n=1n ,p 0,np=n 成立，0不成立-分布二项分布泊松分布高斯分布汽车站出事故的次数不小于2的概率()()P(2)101k P k P k ≥=-=-= 答案0.1P(2)1 1.1k e -≥=-100.1n p ≥≤实际计算中，只需满足，二项分布就趋近于泊松分布()np!k e P X k k λλλ-=＝＝1-12 已知随机变量(,)X Y 的概率密度为(34)0,0(,)0x y XY kex y f x y -+⎧>>⎪=⎨⎪⎩,,其它求：①系数k ？②(,)X Y 的分布函数？③{01,02}P X X <≤<≤？第③问 方法一：联合分布函数(,)XY F x y 性质：若任意四个实数1212,,,a a b b ，满足1212,a a b b ≤≤，则121222111221{,}(,)(,)(,)(,)XY XY XY XY P a X a b Y b F a b F a b F a b F a b <≤<≤=+--{01,02}(1,2)(0,0)(1,0)(0,2)XY XY XY XY P X Y F F F F ⇒<≤<≤=+--方法二：利用(){(,)},XY DP x y D f u v dudv∈∈⎰⎰)(210{01,02},XY P X Y f x y dxdy <≤<≤=⎰⎰1-13 已知随机变量(,)X Y 的概率密度为101,(,)0x y xf x y ⎧<<<=⎨⎩,,其它 ①求条件概率密度(|)X f x y 和(|)Y f y x ？②判断X 和Y 是否独立？给出理由。
随机信号分析pdf第一章
x
−∞
⎧ ( x − m) 2 ⎫ 1 exp ⎨− ⎬ dx 2σ 2 ⎭ 2πσ ⎩
（1.3.16）
标准正态分布函数通常用Φ(x)表示，即
Φ ( x) = ∫
2 均匀分布
x
−∞
⎧ x2 ⎫ 1 exp ⎨− ⎬ dx 2π ⎩ 2⎭
（1.3.17）
如果随机变量 X 的概率密度函数为
⎧ 1 ⎪ f ( x) = ⎨ b − a ⎪ ⎩ 0
x≥0 x<0
其中 a、b 为常数，则称 X 服从韦伯分布，参数 a 称为尺度参数，b 称为形状参数，雷达的地杂波 的幅度特性通常可以用韦伯分布来描述，概率密度曲线如图 1.3(e)所示。 6 对数正态分布 如果随机变量 X 的概率密度为
⎧ 1 ⎧ ln 2 ( x / m) ⎫ exp ⎨− ⎪ ⎬ f ( x) = ⎨ x 2πσ 2σ2 ⎭ ⎩ ⎪ 0 ⎩
∫
x2
x1
f ( x)dx ，这说明随机变量 X 落在区间 ( x1 , x 2 ] 上的
概率等于图 1.2 中阴影区的面积。从这条性质我们也可以看出，对于连续型随机变量，有
P( X = x) = 0
f ( x)
0
x1
x2
x
图 1.2 随机变量 X 落在区间 ( x1 , x 2 ) 上的概率 对于离散型随机变量，由于它的概率分布函数是阶梯型，那么它的概率密度函数是一串 δ 函数 之和， δ 函数出现在随机变量的取值点，强度为取该值的概率。即
(1.3.15)
2
其中 m、σ为常数，则称 X 服从正态分布，正态分布通常也简记为 N (m, σ ) 。均值为 0，方差为 1 的正态分布 N (0,1) 称为标准正态分布。正态分布随机变量的概率密度是一个高斯曲线，所以又称 为高斯随机变量，概率密度曲线如图 1.3(a)所示。 正态分布函数，
信号分析与处理 第1章(01)
信号分析与处理
华北电力 大 学
1.1 连续时间信号
一 信号的描述与分类
信号：是信息传输过程的载体，是一个自变量或几个
自变量的函数。如 f1(t)，f2(n1, n2)。 • 物理上： 信号是信息寄寓变化的形式 • 数学上： 信号是一个或多个变量的函数 • 形态上：信号表现为一种波形
与函数一样，一个实用的信号除用解析式描述外， 还可用图形、测量数据或统计数据描述。 通常，将信号的图形表示称为波形或波形图。
(t ) (t )
华北电力 大 学
t
( )d u(t )
d dt
u (t ) (t )
(t t 0 ) f (t ) dt
f (t 0 ) (t t 0 ) dt f (t0 )
• 检零
(t ) f (t )dt f (0)
信号分析与处理
华北电力 大 学
信号基本概念
• • 什么是信号？ 物质的一切运动或状态变化都是一种信号（ signal），即信号是物质运动的表现形式。例 如： 机械振动产生力信号、位移信号和噪声信号； 雷电过程产生声、光信号； 大脑、心脏分别产生脑电和心电信号； 通信发射机产生电磁波信号等; 图像信号; 人口数；银行存款；气温等.
f (t) 1
f(t) 1
2
t
0
3
t
信号分析与处理
华北电力 大 学
f1 (t ) A sin(t )
f1 (t) A
f2(t)在t=0处有间 断点
Ae (t t0 ) (t t0 ) f 3 (t ) 0 (t t0 )
随机信号分析第一章
02
随机信号的统计描
述
概率密度函数
定义
概率密度函数（PDF） 是描述随机信号在各个 时刻取值概率分布的函 数。
性质
概率密度函数具有非负 性、归一化性质，即概 率密度函数在全域上的 积分等于1。
计算方法
可以通过直方图法、核 密度估计法等方法计算 概率密度函数。
概率分布函数
定义
概率分布函数（CDF）是描述随机信号取值小于或等 于某个值的概率的函数。
随机信号的特性
统计特性
随机信号的统计特性包括均值、 方差、概率分布等，这些特性描 述了信号的平均行为和不确定性 。
时间特性
随机信号的时间特性包括自相关 函数、互相关函数、功率谱密度 等，这些特性描述了信号在不同 时间点的相关性以及频率成分。
随机信号的应用
通信
在通信领域，随机信号可用 于扩频通信、无线通信等领 域，以提高通信的抗干扰能 力和保密性。
05
随机信号的采样定
理
采样定理的内容
采样定理定义
对于一个时间连续的模拟信号，如果以不高于其最高频率分量的频 率进行采样，则可以无失真地恢复原始信号。
采样定理的数学表达式
如果信号的最高频率为Fmax，则采样频率应不小于2Fmax。
采样定理的意义
采样定理是数字信号处理的基础，它确保了从离散样本中能够准确 重建原始信号。
雷达与声呐
在雷达与声呐领域，随机信 号可用于目标检测、测距、 定位等方面，以提高探测的 精度和可靠性。
地球物理学
在地球物理学领域，随机信 号可用于地震勘探、矿产资 源探测等方面，以揭示地球 内部结构和物质分布。
金融与经济
在金融与经济领域，随机信 号可用于股票价格分析、市 场预测等方面，以揭示市场 动态和经济发展趋势。
随机信号分析与应用第一章答案
随机信号分析与应⽤第⼀章答案随即信号分析与应⽤习题答案马⽂平李冰冰⽥红⼼朱晓明第⼀章1.1(1)答：(2)答：T 连续⽽E 离散，从⽽此过程为离散型随即过程。
(3)答：由于样本函数未来得值不能由过去的情况准确的预测，从⽽此过程为不确定随机过程。
1.2答：已知A~N(0,1),B~N(0,1)且A 、B 相互独⽴。
故2222121212121(,)()*())exp()2222AB A B x x x x f x x f x f x π+==--=- 1112()Bt ()Bt X t A X t A =+??=+? ? [X(1t ),X(2t )]是（A ，B ）的线性变换∴[X(1t ),X(2t )]服从⼆维正太分布11X 21(X)exp()22T X K X f K π-=-,其中K = 11122122K K K K ??⽽ 222(){[()()]}1x t E X t E x t δ=-=+1t 1t K K ?=+??=+??且1221121K K t t ==+ 最后将k 代⼊1121()exp()22T x X K X f x K π-=-即可得到答案。
1.4(1)答：该过程式确定性随机过程(2)答：X(t)的分布函数为0 x<10.6 1 x<2F ()0.9 2 x<31 3 xX t ??≤?=?≤??≤?∴X(t)的⼀维概率密度函数为X ()0.6(1)0.3f t t δδδ=-+（x-2）+0.1(x-3)1.6答：22212122211222222221212121222E[X(t)] = E[A +B ]()()47R (,)[()()][(A +B )(A +B )][],16.1B B B X t t tE A t E B t t t t E X t X t E t t t t E A t t ABt t ABt t B t t A B A =+=+===+++= 2互不相关E()=D(A)+[E(A)]E()=D()+[E()2222X 1212121212121122121222121224()51.1282851(,)[(()())()()] (,)()() 0.12(,)0.12X x x X x x X t X R t t t t t t t t t t K t t E X t m t X t m t R t t m t m t t t t t K t t t t δ=∴+++=--=-=+==+2]（，）=161.7答：''2'22()[()][()][]2[()][()][()]3dX t dE X t E X t E t212()()[()][cos3] cos31()[()][()]1[()]1cos3sin33()(,)[()()][]cos3cos3xtytxtXY tm t E X t E V t tm t E Y t E X d tE m dtR t t E X t X t E V t tλλλλλλ==========的均值：的相关函数：1212121212120012001212121212cos3cos3 (,)[()()]12cos3cos32sin3sin39()(,)(,)(Yt tt tY Y Yt tR t t E Y t Y tE X U X V dudv t tu vdudvt tt tt tY tK t t R t t m t======-的协⽅差：2121212121212Y2)()2sin3sin3sin3sin399sin3sin39()sin3()(,)9YYm tt t t tt t t tt tt tY ttt K t ttδ=-===的⽅差:1.9 答：12121211111122[()][()]0(,)(,)()()[()] [()()][()]cos [()]sin 0(,)[()()]{[()cos ()sin ][()cos (Z Z E A t E B t t t t t R m t E Z t E X t Y t E A t t E B t t R t t E Z t Z t E A t t B t t A t t B t τ======+=+===++A B 由题知：R R 2212121212121212121212121212)sin ]}[()()cos cos ()()cos sin ()()sin cos ()()sin sin ]()()[()()][()][()]0[()()][()][()]0(,),Z (0)()Z(t)=()()A B Z Z t t t t R t t t t R t t R R t t t t R R X t Y t τττττ+=-==<∞∴+2故与⽆关，只与有关同时E[(t)]=是宽平稳随机过程1.10答：0020000[()][sin()]sin()() sin()2exp[()]exp[()]21exp()[exp()exp(22E X t E a w t a w t fd a w t d j w t j w t d j a jw t jw j+∞Φ-∞+∞-∞+∞-∞=+Φ=+-=++--+==---??00)] [()]()t d w t E X t X t +∞-∞==∴? 是关于t 的函数是⾮平稳的随机过程1.111.11答：12122X X X X X X 2X ()36exp cos 2036 ()()()cos 20()0()36exp 36()()3666[()](0)R t R t R t R t X t R t X t R E X t R ττττ=+=+===+=∞=??==±==±=12212X 2X X X X X （-20）+3636 是的周期分量的⾃相关函数此分量均值m （-20）是的⾮周期分量的⾃相关函数此分量均值m m m m +m 2X Xt R δ==-=-=2X m 1.12答：2222220000X 000E(A) = 0, E(A ) = D[A ] = E(B) = 0, E(B ) = D[B ] = ()E(A)E(B)=0E[X(t)]= E(A cos t + Bsin t)= E[A]cos t + E[B]sin t = 0()R (,)[X(t)X(t+)]E{(A cos t + Bsin t)[A cos (t + ) + Bs E AB W W W W t t E W W W δδτττ=+==常数022000000002000020X 2in (t + )]}= A cos t cos (t + ) + ABcos t sin (t + ) + ABsin t cos (t + ) + B sin t sin (t + )= [cos t cos (t + ) + sin t sin (t + )]= cos R ()(0)X(t)X W W W W W W W W W W W W W W R τττττδττδττδ==<∞2同时E[X (t)]=故是宽平稳随机过330033332222000000333300E[X (t)]= E[(A cos t + Bsin t)]= E[A cos t + B sin t +3A cos t sin t + 3AB cos t sin t ]=E(A )cos t + E(B )cos t X(t)t X(t)W W W W W W W W W W ∴程判断严平稳过程可由X(t)的三阶矩函数来判断在⼀般情况下，的三阶矩与有关不是严平稳随机过程1.13答：2222220X X(t)Y(t)E(A) = 0, E(A ) = D[A ] = 5E(B) = 0, E(B ) = D[B ] = 5()E(A)E(B)=0E[X(t)]= E(A cos t - Bsin t) = E[A]cos t - E[B]sin t = 0()R (,)[X(t)X(t+)]E{(A cos t - Bsin t)[A co E AB W t t E δδττ===+==(1)证明、宽平稳随机过程常数2222X s (t + ) - Bsin (t + )]}= A cos t cos (t + ) - ABcos t sin (t + ) - ABsin t cos (t + ) + B sin t sin (t + ) = E[cos t cos (t + ) + B sin t sin (t + )]= 5cos R () (0)5X(t)Y(t)X A R ττττττττττ==<∞2同时E[X (t)]=故是宽平稳随机过程同理是宽平稳随机过XY 121211222212121212121221X(t)Y(t)R (,)E[X()Y()]= E[(A cos - Bsin )(Bcos + A sin )]= E[A cos sin + ABcos cos - ABsin sin - B sin cos ]= 5 (cos sin - sin cos )= 5sin(t - t )= 5sin()=t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t τ=程(2)证明、联合平稳XY XY XY R ()X(t)Y(t)R ()()sin()X Y X Y m m r ττττδδ∴-====、是联合平稳(3)互相关系数1.15答：X(t)E(A) = E(B) = 0()E(A)E(B)=0E[X(t)] = E(Asin t+ Bcos t) = E[A]sin t + E[B]cos t = 0()A X(t)X(t)1lim X(t)dt21lim (Asin t + Bcos t)dtT T TTT E AB TT -→∞-→∞=??====??==∴??(1)证明是均值遍历常数是均值遍历的X 2222X(t)R (,)[X(t)X(t+)]E{(Asin t + Bcos t)[Asin (t + ) + Bcos(t + )]}= E[A sin t sin (t + ) + ABcos t sin (t + ) + ABsin t cos(t + ) + B cos t cos(t + )]= E[A ]sin t sin (t + ) +E[B ]cos t cos(t t E τττττττττ+==(1)证明是⽅差⽆遍历性X 222X 2X 22222222222t + )R ()[()][()][()] R (0)E[A ]sin t +E[B ]cos tA X (t)1lim (Asin t + Bcos t)dt 21lim (A sin t + 2ABsin t cos t +B cos t)dt 21lim (2TTT T TT T E X t E X t E X t T T A T T ττδ-→∞-→∞→∞==-===??===+??⼜22222X)1()2A X (t)()B T A B X t δ=+??≠∴的⽅差⽆遍历性1.16 答：(E1.19答：*00*00000000000102()20,Z()exp (),()exp[()][()Z()][exp(())exp ()]exp()[()Z()][exp ()exp ()][exp (22)][cos(22f t j w t Z t j w t E Z t t E j w t j w t w jw E Z t t E j w t j w t w E j w t w E w t w φπφπ其它00)sin(22)]0j w t w φτφ+++=1.20 答：11*1111[()][exp()]()exp()(,)[()Z()][exp()exp(()][]exp ()exp()ni i i ni i i Z nni i j j i j nni j j i j i j E z t E A jw t E A jw t R t t E Z t t E A jw t A jw t E A A j w w t jw ττττ========+=+=-+=-∑∑∑∑∑∑要使Z(t 2121 (,)()E Z(t)() ()[]0()[]exp()(0)[]Z Z j i j i i i j nZ i i i n Z i i R t t R t t w w i j w w i j E A A A R E A jw R E A ττττ==+=≠≠==??===∑∑Z )为复平稳过程则与⽆关，[]=m 与⽆关即当时且，不相关时有界此时能使Z(t)为复平稳过程1.24 答：11122122230.70.3 0.40.6(2)0.70.30.70.3 0.40.60.40.60.610.39 0.520.48(3)0.610.390.70. 0.520.48P P P P P P P P P ?? ? ?????= ? ?== ? ?= ? ?== ? ?本题构成⼀个两状态的马⽒链，其⼀步转移概率矩阵为 = 411221230.5830.4170.40.60.5560.444(4)0.5830.4170.70.3 0.5560.4140.40.60.57490.4251 0.56680.4332P (3)0.583 P P (4)0.4332 P (2)0.39= ? ?===从⽽1.25答：1/21/41/2三状1.26 答：00000001010111111121(1)(2)(3)2236233911111111(1)(2)(3)22242228f f f f f f ==?==??===?==??=1.271/21/32/31/31/61/2(1)111111236236111111(2)33333311111132632615138363636141414 =36363614139363636(3)???? ??? ??? ???= ??? ??? ??? ???????? ?(2)、此链接共有3个状态，且此三个状态均为遍历态，此马尔科夫链是不可约的遍历链。
随机信号习题及答案
Y (t ) ___
_
___。
5. 已知平稳过程 X (t ) 的自相关函数为 R X (τ ) = 16 +
1 1+ 5
τ
，则其均值为
，方差
为 。 6. 若一高斯过程是宽平稳的，则必定是 ；若一个高斯过程不同时刻状态间是互不相关 的，则必定是 的（独立、不独立、不一定） 。 7. 若线性系统输入为高斯过程，则该系统输出仍为 。 二、简答题 1. 请给出随机过程为宽平稳随机过程满足的条件。 2. 若平稳随机过程是信号电压，试说明其数字期望、均方值、方差的物理意义。 3. 给出平稳过程的自相关函数的性质。 4. 写出随机过程的两个定义。 5. 随机过程有那两个变化特性，如何理解其随机性？ 6. 叙述“狭义平稳”的定义；如何理解这个定义在实际应用中的困难？ 7. (a)随机过程的遍历性与平稳性的关系是什么？(b) 简述“狭义遍历”与“宽遍历”的关系。 三、计算题 1 设随机振幅信号为
−10 t
10 ， 4 + j 5ω
U (t ) 的系统的输入端，求系统输出随机信号的表达式。 −3t 4-2 已知系统的单位冲激响应 h(t ) = 5e U (t ) ，设其输入随机信号为 X (t ) = M + 4 cos(2t + Θ), (− ∞ < t < ∞ ) ，其中 M 是随机变量， Θ 是 (0,2π ) 上均匀分布的随机变量， 且 M 和 Θ 相互独立，求输出信号的表达式。
1.
第一章 二进制无记忆不对称信道，如图所示，传输 0，1，分别以 A0 和 A1 代表发送 0 和 1，以 3 5 B0 和 B1 代表接收 0 和 1 码，两个正确的转移概率分别为 P ( B0 / A0 ) = ， P( B1 / A1 ) = ， 6 4 1 1 两个错误的转移概率分别为 P ( B1 / A0 ) = ， P( B0 / A1 ) = ，且先验概率相等，即： 6 4 1 P ( A0 ) = P( A1 ) = ，求：①B 端接收到 0 码及 1 码的概率 P ( B0 ) 及 P( B1 ) ；②当分别收到 2
随机信号李晓峰版第一章习题答案
ve e φ-=+； （3）()4/(4)v jv φ=； （4）()(sin 5)/(5)v v v φ=； 解：（1）1()i k jvxiivpe φ==∑ ()()1 k i i i f x p x x δ==-∑ 2424()0.20.30.20.20.1j v j v j v j v v e e e e φ--=++++ ()()()()()() 0.20.320.240.220.14f x x x x x x δδδδδ=+-+-++++ ()()()(0)/20.340.220.240.10.6E X j φ'==?+?+-?+-?= ()()()()22 2 2 2 2 (0) 20.340.220.240.1 6.8 EX j φ''=-=?+?+-?+-?= ()()()22 6.80.36 6.44Var X E X E X =-=-= （2）() 11 ()0.30.7jv jv v e e φ??-=+ ()()()0.310.71f x x x δδ=-++ ()()(0)/10.310.70.4E X j φ'==?+-?=()()()
25. 设太空梭飞行中，宇宙粒子进入其仪器舱的数目N 服从（参数为λ）泊松分布。进舱后每个粒子造成损坏的概率为p ，彼此 独立。求：造成损坏的粒子平均数目。解：每个粒子是否造成损坏用i X 表示 1,1,2,,0i X i N ?==? ? 造成损坏没有造成损害 , 造成损坏的粒子数 1 N i i Y X ==∑ ，于是 () 1 1 (|)(|) |n iin i i E Y N n E X N n E X N n =======∑∑ 可合理地认为N 和i X 是独立的，于是 ()1 (|)n i i E Y N n E X np ====∑ ()()()()(|)E Y E E Y N E Np pE N p λ==== 27． 若随机变量X 的概率特性如下，求其相应的特征函数： （1）X 为常数c ，即{}1P X c ==； （2）参数为2的泊松分布； （3）（－1，1）伯努利分布： ()0.4(1)0.6(1)f x x x δδ=-++ （4）指数分布： 30 3(), x x e f x -≥?=??其他 解：（1）()jvX jvc jvc X v E e E e e φ????===???? ， 如果c=0，则()1X v φ=。 （2）
第一章 随机信号基础 随机变量知识
31
第一章 随机信号基础——随机变量相关
概率的乘法公式又可以表述为：
FXY x, y FY y FX x y FX x FY y x
f XY x, y fY y f X x y f X x fY y x
i 1
( x xi )
1 x xi 0 otherwise
函数
20
第一章 随机信号基础——随机变量相关
随机变量的二维联合分布律
定义： FXY x, y P X x,Y y
边缘分布
FX x FXY x,
F Y ( y) FXY (, y)
信源本身不确定\传输与观测的不确定 噪声：起伏噪声（热噪声）N=kTB （B带宽)
热噪声是由于导体内部不规则的电子自由运动，使导体任意两点的电压不规则变化。
特点：不可消除 总是存在.任何通信系统都存在。
4
第一章 随机信号基础——随机变量相关
接收环境＝有用信号＋无用信号（噪声）
X (t ) S (t ) N (t )
不相关就一定独立
28
第一章 随机信号基础——随机变量相关
29
第一章 随机信号基础——随机变量相关
泊松分布
P[ X k ]
k
k!
e
k 0,1,2,...; 0
泊松分布可看成二项式分布当 n 时情况 有数量极大的独立事件组，每个事件发与否的概率 是相等的，若知道单位时间里的平均发生次数 已知，则单位时间里发生k次的概率可由泊松公式来 计算。 如：十字路口的车辆数，某问讯处的问讯次数，某 电话局的访问次数，某网站的访问人数等。
第一章 离散随机信号1-1,2
(3)概率质量函数
如果x(n)的取值是离散的
设x(n)的所有可能的取值为a1 , a2 ,L
则可用分布律(也称概率质量函数)px (ai , n)表示
有：px (ai , n) = P [ x(n) = ai ] ,i=1,2,L
其中px (ai , n)代表x(n)取某一值ai的概率。
(4)二维联合概率分布函数
本章重点
本章是离散时间随机信号： 本章是离散时间随机信号 （1）相关函数 （2）协方差函数 （3）功率谱密度函数
第一节 引言
本节内容
1、离散时间确定性信号 2、离散时间随机信号 3、离散随机信号的描述 4、离散随机信号的特点
1、离散时间的确定性信号
离散时间信号 离散时间的确定性信号 离散时间的随机信号
一、离散时间随机过程的概率分布
(1)概率分布函数 (2)概率密度函数 (3)概率质量函数 (4)二维联合概率分布函数 (5)二维联合概率密度 (6)二维联合分布自律(概率质量函数)
(7)条件概率密度函数 (8)N维联合分布函数 (9) N维联合概率密度 (10)严平稳的随机序列 (11)宽平稳随机序列 (12)随机序列的相互独立
第二节 离散时间随机信号的 时域(统计)表示
引言
对于随机信号 从统计平均分析出发 求其每个时刻取值的概率 以及各时间点上取值的关联性 知道它的概率分布(包括一维和多维概率分布) 则认为对这个随机信号在统计意义 上有充分了解或已明白描述。
本节内容
1、离散时间随机过程的概率分布 2、离散时间随机过程的数字特征 3、离散时间平稳过程相关序列与协方差 列的性质 4、平稳序列的时间平均与遍历性
是其在每个时刻上的值可以用某个数字表达式 某个数字表达式 或用图表惟一地确定的信号。 或用图表
随机信号处理习题2017
3π π n ) 7 8
13 πn) 3
j( n π )
m
x(m)
2π π n ) 9 7
② y (n) [ x(n)]2 ③ y (n) x(n) sin(
④ y(n) = 3 × x(-n) ⑤ y ( n) n 2 x ( n)
⑥ y ( n) 1
x(m)
k
( 2kπ)
② X ( e j )
1 e j ( N 1) 1 e j
③ X (e j ) 1 2
cosl
l 0
N
④ X (e j )
jae j , | a | 1 (1 ae j ) 2
13. 设 x ( n ) 的离散时间傅立叶变换为 X (e j ) ，定义
15．求双边序列 x ( n) = a|n| 的 z 变换，其收敛域是多少？ 16. 连续时间信号 x (t ) 是频率为 250Hz，450Hz，1.0kHz，2.75kHz 和 4.05kHz 的正弦信号的线性 组合，以 1.5kHz 抽样频率对进行抽样，抽样所得序列通过一个截止频率为 750Hz 的理想低通滤
a a2 2 exp{ 2 } f ( a ) 2 0
a0 a0
是在 [0,
2π] 中均匀分布的随机变量，且与 A 统计独立， 为常量，请问 x(t ) 是否为平
稳随机过程。
8.
设 x(n) 为一平稳随机过程，若对应于某一个 N ， x(n) 的自相关函数 Rx (m) 满足
3.
有随机变量 X 1 和 X 2 ,已知其联合概率密度为 f ( x1 , x2 ) ，求 Y X 1 X 2 , Z X 1 / X 2 的概 率密度。 设随机变量 X 1 、 X 2 、 X 3 相互独立，都服从均值为 0，方差为 1 的标准正态分布，定义如 下 3 个新的随机变量，证明这三个随机变量相互独立，都服从均值为 0，方差为 1 的标准正 态分布。
北邮随机信号分析与处理第1章习题解答
记
Y1 Y Y 2 YN
线性变换 Y LX
L 为 N N 矩阵
15
1.12
假定 L 为满秩，得 x L-1y 由多维随机变量的函数的求解表达式
f Y (y ) f X (L-1y ) J f X (L-1y )
1
条件均值为
f XY ( x, y ) 2(ax by) fY | X ( y | x ) (0 x, y 1) f X ( x) 2ax b 将 X 1/ 2 代入，得 a 2by fY | X ( y | x 1/ 2) (0 y 1) ab
E (Y | X 1/ 2)
因此的概率分布函数可写为其中为常数假定随机变量的概率分布函数已知其中为常数假定随机变量的概率分布函数已知设随机变量的联合概率密度为根据条件概率密度可得到条件均值为10已知随机变量由条件均值得到边缘均值为的边缘概率密度为因此11由条件均值得到边缘均值的详细推导过程
ftp服务器地址
ftp://10.108.142.57
n odd
3
1.3 (2/2)
fY ( y )
n
f X ( xn )
dxn dy d (arcsin y n ) d ( arcsin y n ) f X ( arcsin y n ) dy dy n odd
n even
f X (arcsin y n )
n even
f X (arcsin y n )
1 1 y2
f X ( arcsin y n )
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N 1
4）实指数序列
x(n) a nu (n)
a 为实数
5）复指数序列
x(n) e
( j0 ) n
n cos(0n) je n sin(0n)
0 为数字域频率
例： j n x(n)=0.9ne 3
6）正弦序列
x(n) Asin(0n )
x(n) x(n 1)
x(n) x(n 1)
7）时间尺度变换
x(mn) 抽取
x(n) xa (t )
t nT t mnT
x(mn) xa (t )
n x ( ) 插值 m
8）卷积和
设两序列x(n)、 h(n)，则其卷积和定义为：
y(n)
m
x(m)h(n m) x(n) h(n)
7）任意序列
x(n)可以表示成单位取样序列的移位加权和， 也可表示成与单位取样序列的卷积和。
x(n) x(m) (n m) x(n) (n)
m
例： x(n) 2 (n 1) (n)
1.5 (n 1) (n 2) 0.5 (n 3)
1）翻褶： x(n) x(m) h(n) h(m) h(m) 2）移位： h(m) h(n m) 3）相乘： x(m) h(n m) m
4）相加：
m
x ( m) h ( n m)
n
举例说明卷积过程
n -2, y(n)=0
3、序列的周期性
若对所有n存在一个最小的正整数N，满足
x(n) x(n N ) n
则称序列x(n)是周期性序列，周期为N。
例：
x(n) sin( n) sin[ ( n 8)] 4 4
因此，x(n)是周期为8的周期序列
讨论一般正弦序列的周期性
x(n) Asin(0n ) x(n N ) A sin[0 (n N ) ] A sin(0n 0 N ) 要使x(n N ) x(n)，即x(n)为周期为N的周期序列
则要求0 N 2 k，即N
2
0
k，N，k为整数，
且k的取值保证N 是最小的正整数
4、序列的能量
序列的能量为序列各抽样值的平方和
E x ( n)
n 2
随机信号分析基础
第一讲
绪论
授课内容梗概
教材及参考书
习题及相关内容的期末考试要求
绪论
关于课程内容的标题_随机信号分析基础 随机信号分析研究些什么？与其它先修
基础课程有哪些方面的联系？本课程的 核心问题？ 学习本课程希望达到的教学目的
授课内容梗概
第一章 数字信号处理基础
x(n)代表第n个序列值， 在数值上等于信号的采样值 x(n)只在n为整数时才有意义
1、序列的运算
移位
翻褶
和 积 累加 差分 时间尺度变换 卷积和
1）移位
序列x(n)，当m>0时 x(n-m)：延时/右移m位 x(n+m)：超前/左移m位
2）翻褶
x(-n)是以n=0的纵轴为 对称轴将序列x(n) 加以翻褶
n=-1
n=0
n=1
y(-1)=8
y(0)=6+4=10
y(1)=4+3+6=13
n=5
n=6
n=7
y(5)=-1+1=0
y(6)=0.5
y(n)=0, n 7
结论： 若有限长序列x(n)的非零长度为N， h(n)的非零长度为M，则其卷积和的 非零长度L为： L=N+M-1
卷积和与两序列的前后次序无关
第二章 随机信号分析基础
第二章 平稳过程的线性模型 第三章 功率谱估计 第四章 自适应滤波器
教材及参考书
随机信号处理.
张玲华 郑宝玉 . 清华大学出版社
数字信号处理. 理论.算法与实现
胡广书. 清华大学出版社
现代信号处理.
张贤达. 清华大学出版社
Statistical and Adaptive Signal Processing .
k
(k )
3）矩形序列
1 0 n N 1 RN (n) 其它n 0
与其他序列的关系
RN (n) u (n) u (n N )
RN (n) (n m) (n) (n 1) ... [n ( N 1)]
模拟正弦信号：
xa (t ) A sin(t )
x(n) xa (t )
t nT
A sin(nT )
=2πf T=2πf / f s
0 T / f s
0：数字域频率
T：采样周期
：模拟域频率 f s：采样频率
数字域频率是模拟域频率对采样频率的归一化频率
Manolakis D.G. The McGraw-Hill Companies, Inc.
第一章 离散时间信号与系统 一、离散时间信号—序列
序列：对模拟信号xa (t ) 进行等间隔采样，采样间隔为T， 得到
xa (t )
t nT
xa (nT ) n
xa (nT ) 是一个有序的数字序列： n取整数。对于不同的n值， ...xa (T ), xa (0), xa (T ), xa (2T ),... 该数字序列就是离散时间信 号。实际信号处理中，这些数字序列值按顺序存放于存贮 器中，此时nT代表的是前后顺序。为简化，不写采样间隔， 形成x(n)信号，称为序列。
3）和
x(n) x1 (n) x2 (n)
同序列号n的序列值 逐项对应相加
4）积
x(n) x1 (n) x2 (n)
同序号n的序列值 逐项对应相乘
5）累加
y ( n)
k
x(k )
n
6）差分
前向差分：
x(n) x(n 1) x(n)
后向差分：
x(n) x(n) x(n 1)
1 n 0 0 n 0
2）单位阶跃序列
1 n 0 u ( n) 0 n 0
与单位抽样序列的关系
(n) u(n) u(n 1)
u (n) (n m) (n) (n 1) (n 2) ...
m 0 n
y(n) x(n) h(n)
m
x(m)h(n m)
令 nm k 则 m nk
n k
x ( n k )h ( k )
k
h(k ) x(n k ) h(n ) x(n )
2、几种典型序列
1）单位抽样序列
( n)