逻辑代数的化简算法

逻辑代数的化简算法

观察函数

1.该函数有四个逻辑变量，可表示成

Y=f(A、B、C、D)

2.该函数有三个乘积项：第一项有四个因子——四个变量在乘积项中都出现了。第二项有三个因子——缺少变量B（或）。第三项缺少变量C、D（或、）。

3.第一个乘积项是A、B、C、D的一个最小项，其余二项均不是A、B、C、D的最小项。

最小项：n个逻辑变量A1、A2、…… An组成的逻辑系统中含n个因子的乘积项——每个变量（或）在乘积项中只出现一次，称这样的乘积项为最小项。

两个逻辑变量A、B有22＝4个最小项，分别是：、、、。

三个逻辑变量A、B、C有23＝8个最小项，分别是：、、、、、

、、。

四个逻辑变量A、B、C、D有24＝16个最小项。

练习：写出A、B、C、D的十六个最小项。

最小项的性质：

（1）对变量的任意一组取值，只有一个最小项为1，其余最小项全为0。二变量A、B的最小项为：、、、。对A、B的任意一组取值：

A=0 B=0 =1 其余三项全为0，即＝＝＝0

A=0 B=1 = 1 其余三项全为0

A=1 B=0 = 1 其余三项全为0

A=1 B=1 = 1 其余三项全为0

（2）全体最小项之和为1。（读者自己证明）

（3）任意两个最小项的乘积为0。

最小项的编号：

三变量A、B、C的八组取值000、001、……111能分别使八个最小项的值为1，又与十进制数0，1……7的二进制数表示相同。用0～7编号八个最小项，记为：m0、m1、m2、m3、m4、

m5、m6、m7，则m7＝m111＝，……m4＝m100＝，m0＝m000＝。

练习：读者试写出四变量A、B、C、D的十六个最小项m0、m1 (15)

逻辑函数的最小项之和形式

任何逻辑函数都可化为最小项之和的标准形式

例：将下列函数化为最小项之和的形式

反函数的最小项之和表示

例：求二变量A，B的逻辑函数的反函数。

解一：

解二：列真值表

由真值表写出的逻辑表达式

(全体最小项之和)

如三变量A,B,C的逻辑函数则必有

结论：在n个变量的逻辑系统中，如果Y为i个最小项之和，则必为余下的（n－i）个最小项之和。

异或运算与同或运算

定义：称A与B异或，为异或运算符

A与B同或，为同或运算符

显然：

异或与同或互为反函数

由此推得：

即两者相等为0，不相等为1

同或运算则与之相反，且有

同学自己证明并牢记。

例1．将下列函数化为最简与或式。

例2． A，B的波形如下图所示,试画出的波形。

最小项的相邻性

任何两个最小项如果他们只有一个因子不同，其余因子都相同，则称这两个最小项为相邻最小项。

显然，m0与m1具有相邻性，而与不相邻，因为他们有两个因子不相同。m3与m4也不相邻，而m3与m2相邻。

相邻的两个最小项之和可以合并成一项，并消去一个变量。如：

卡诺图

卡诺图是美国工程师卡诺（Karnaugh）发明的。用小方块（格）来表示最小项。三变量的卡诺图画八个小方块（格）来表示八个最小项，四变量的卡诺图画十六个小方块来表示十六个最小项。……

观察三变量卡诺图发现这八个小方块（最小项）中，凡几何上相邻的两个小方块（最小项）具有相邻性――只有一个变量不同，相加后能合并成一项，并能消去一个变量。

m0m1 ，m1m3 ，m3m2 ，m4m5 ，m5m7 ，m7m6 ， m0m4 ，m1m5 ，m3m7 ，m2m6都具有相邻性，还有m0m2 ，m1m6也具有相邻性（可理解成将卡诺图卷成圆筒，他们在几何上就相邻了）。

在四变量卡诺图中，m0m8 ,m1m9 ,m3m11 ,m2m6也都具有相邻性。

思考题：为什么卡诺图按00，01，11，10的顺序，而非00，01，10，11顺序画小方块（代表最小项）？

逻辑函数的卡诺图表示及化简

在逻辑函数的最小项表示一节中，已经讲过，任何一个逻辑函数都可以化为最小项之和的标准形式。

只要将标准形式里函数所包含的每一个最小项，在卡诺图中对应的小方块里添上1，卡诺图上其余的小方块里添0（以后添0，以空格代替）――这就是逻辑函数的卡诺图。

其实将函数化为最小项之和，再画卡诺图的过程可以简化，函数化为最小项之和的过程可以省略，直接画出卡诺图。

例1．画出的卡诺图并化简

解：1、画出Y的卡诺图

Y共有四个乘积项，第一个乘积项包含第4行的四项：m8，m9，m11，m10；

第二个乘积项包含第1，2行（A＝0）与第3，4列（C＝1）相交的四项：m3，m2，m7，m6 ；第三个乘积项包含第2，3行（B＝1）与第3，4列（C ＝1）相交的四项：m7，m6，m15，m14；第四个乘积项表第2列的4项。

2、合并与化简

从Y的卡诺图上看到第2，3列8项合并，第3，4列8项合并，第4行合并得：

例2．

解：1、画出Y的卡诺图

第1项，显然第4行中的4个最小项都含因子，而第1，2列的8个最小项都含

因子，第4列与第1，2列相交的两项m8，m9即为。第4项C则包含第3，4两列的8项。

2、合并化简。从卡诺图可知

用卡诺图化简逻辑函数小结：

1．画出逻辑函数的卡诺图。

2．若两个最小项相邻，则可合并为一项，且消去一个因子。

3．若四个最小项相邻（排列成一个矩形组），则该四个最小项可合并成一项，且可消去两个因子。

4．若八个最小项相邻（排列成一个矩形组），则该八个最小项可合并成一项，且可消去三个因子。

5. 若十六个最小项相邻（排列成一个矩形组），则该十六个最小项可合并成一项，且可消去四个因子。

无关项在逻辑函数化简中的应用

我们来分析一个实际问题：

某水库设有三个水位检测点，装有A、B、C三个干湿传感