一次同余式组的解法

学院学术论文
一次同余式组的解法
A congruence of the solution
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摘要:研究了有关同余式组的解法,特别是孙子定理的应用,当模不两两互质时,就不能用孙子定理来解了,那该怎么办呢?我们将在实例的求解中来揭密.
[Summary] Has studied the related congruence group's solution, specially Residue theorem application, when the mold 22 are not coprime, could not use the Residue theorem to solve, how should that manage? We will reveal in the example solution.
关键字:一次同余式组 模 孙子定理
[Key words] A congruence group Mold Residue theorem 正文：
引理 1. （孙子定理）设1m ，2m ………. k
m 是k 个两两互质的正数，m=12......k m m m , m=i i m M , i=1,2,…,k ,则同余式组x ≡1b (mod 1m ),x ≡2b (mod 2m )，…，x ≡k b (mod k m )的解为：
x ≡`
111M M b +`
222M M b +…+`
k k k M M b (modm ）,……(2)，
其中`
i M M ≡1（mod i m ）,i=1,2,…,k.
证明：由（i m ，j m ）=1，i ≠j 即得（i M ，i m ）=1，故由§1定理即知对每一i M ，有一`
i M 存在，使得`
i i M M ≡1（mod i m ）.
另一方面m=i m i M ,因此j m |i M ，i ≠j ，故
`1k j j j j M
M b =∑≡`i i i M M b ≡i b （mod i m ）即为（1）的解。

若12,x x 是适合（1）的任意两个整数，则
1x ≡2x （mod i m ）, i =1,2,…, k,
因（i m ，j m ）=1，于是1x ≡2x （mod m ），故（1）的解只有（2） 完【1】 引理2 . 设所给的一次同余式组为：
X ≡1b (mod 1m )
X ≡2b (mod 2m )
…
X ≡k b (mod k m )
（ⅰ）取m=[1m ,2m ,3m ,…k m ],则所给同余式组有解的充要是:
（,i j m m ）|（i j b b -）1≢i ≠j ≢k ,
且若有解，则对模m 的解数为1（12m m …k m 未必两两互质）
（ⅱ）找出一组正数1``2,,m m …`k m 满足`
j m |j m ，1≢j ≢k ,且1``2,,m m …`k m 两两互质，
m=1```2k m m m
（ⅲ）若同余式组
X ≡j b （mod j m ）1≢j ≢k
有解，则它的解与同余式组X ≡j b （mod `j m ）1≢j ≢k 同解，再用引理1求解。

证明：（ⅰ）充分性：对k 用数学归纳法证明
①当k=2时，显然成立。

②假设当k=n 时，在所给条件满足的情况下，相应的n 个同余式组成的同余式有解，当k=n+1时，所给同余式组为：
X ≡(mod )i i b m i=1,2,…，n,n+1
且满足条件（,i j m m ）|（i j b b -）i ，j=1,2,…，n,n+1
必要性：我们证明在这些条件下，此同余式组有解。

由于1(,)n n m m +|1(,)n n b b +.
则X ≡(mod )n n b m X ≡11(mod )n n b m ++有解
设x=k c 是适合这两个同余式的一个整数，则适合其的一切整数可由
X ≡1(mod[,])n n n c m m +
表出。

下面考虑如下n 个联立同余式
X ≡(mod )i i b m i=1,2,…，n-1
X ≡1(mod[,])n n n c m m +
对于这个同余式组，我们有（,i j m m ）|（i j b b -）i ，j=1,2,…，n-1
又n c ≡n b (mod )n m
n c ≡1n b +1(mod )n m +
i b ≡n b (mod(,))i n m m
i b ≡1n b +1(mod(,))i n m m +
故i b ≡n c (mod(,))i n m m
i b ≡1n c +1(mod(,))i n m m +
则i b ≡n c 1(mod[(,),(,)])i n i n m m m m +
又1[(,),(,)]i n i n m m m m +=（i m ，1[,]n n m m +）i=1,2,…，n-1
这样一来，上述新的同余式组就满足如下条件：
i b ≡j b （mod (,)i j m m ）i ，j=1,2,…，n-1
i b ≡n c (mod （i m ，1[,]n n m m +）) i=1,2,…，n-1
于是，由数学归纳法假设这个同余式组有解，而它的解与原同余式组同解。

则当n=k+1时，原同余式组有解，则命题成立
（ⅱ，ⅲ）证明在（ⅰ）的过程中 【2】 例：1.韩信点兵：有兵一队，若列成五行纵队，则末行一人，成六行纵队，则末行五人，成七行纵队，则末行四人；成十一行纵队，则末行十人，求兵数。

解：由题意知，x ≡1(mod5), x ≡5(mod6), x ≡4(mod7), x ≡10(mod11)
此时1m =5，2m =6，3m =7，4m =11两两互质，可以用孙子定理求解，
则m=5*6*7*11=2310,
1M =6*7*11=462,
2M = 5*7*11=385,
3M =5*6*11=330,
4M 5*6*7=210.
`
i i M M ≡1(mod i m )，i=1,2,3,4
得`
1M =3 `
2M =1 `3M =1 `4M =1，
故x ≡3*462*1+1*385*5+1*330*4+1*210*10≡6731≡2111（mod2310）. 【3】
2.解一次同余式组 x ≡3(mod8)
x ≡11(mod20)
x ≡1(mod15)
解：由于1m =8，2m =20，3m =15，两两不互质，就不能用孙子定理了，要用引理
2求解
（1m ，2m ）=（8，20）=2 2|8=2b -1b
（2m ，3m ）=（20，15）= 5 5|10=2b -3b
（1m ，3m ）=（8，15）=1 1|2=1b -3b
则同余式组有解。

1m =8=32，2m =20=22*5，3m =15=3*5，
m=[1m ,2m ,3m ,…k m ]=3
2*5*3=120 取`
1m =32=8，`
2m =5，`
3m =3
显然`
j m |j m ，j=1,2,3.且`
`
`
123,,m m m 两两互质，则m=``
`
123m m m
原同余式与同余式
x ≡3(mod8)
x ≡11(mod5)
x ≡1(mod13)
同解，由于`
1m =8，`
2m =5，`
3m =3两两互质，可以用孙子定理求解
m=3
2*5*3=120， 1M =5*3=15,
2M = 8*3=24,
3M =58*5=40,
`
i i M M ≡1(mod i m )，i=1,2,3,4
则`
1M =–1 `
2M =–1 `3M =1
x ≡（–1）*15*3+（–1）*24*11+1*40*1≡–29≡91（mod120）.
参考文献：
【1】严士健，初等数论第三版，2003年7月第3版，【M】§2，定理1
【2】江西科技师范学院，数学与计算机科学学院，数学与应用数学专业初等数论内部资料
【3】严士健，初等数论第三版，2003年7月第3版，【M】§2，例题2。