新课程高中数学数学归纳法教案 新人教A版选修
高中数学 2.3 1数学归纳法及其应用教案 新人教A版选修2-2
数学归纳法及其应用考纲要求1了解数学归纳法的原理，并能用数学归纳法证明一些简单问题2掌握利用“观察→归纳→猜想→证明”探索问题的方法重点、难点归纳1归纳法由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法叫做归纳法2数学归纳法对于某些与自然数n有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：先证明当n取第一个值n0时命题成立；然后假设当n=k(k N，k≥n0)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。
这种证明方法就叫做数学归纳法。
学法探秘数学归纳法是证明有关自然数n的命题的一种方法，应用非常广泛，它是一种完全归纳法。
用数学归纳法证明一个命题必须分为两个步骤：第一步验证n取第一个允许值n0时命题成立；第二步从n=k(k≥n0)时命题成立的假设出发，推证n=k+1时命题也成立。
其中第一步是验证命题的起始正确性，是归纳的基础；第二步则是推证命题正确性的可传递性，是递推的依据。
两个步骤各司其职，缺一不可。
证明步骤与格式的完整与规范是数学归纳法的一个鲜明特征。
需要注意的是：在第二步证明“当n=k+1时命题成立”的过程中，必须利用“归纳假设”，即必须用上“当n=k 时命题成立”这一条件。
因为“当n=k 时命题成立”实为一个已知条件，而“当n=k+1时命题成立”只是一个待证目标。
“观察→归纳→猜想→证明”是一种十分重要的思维方法，运用这种思维方法既能发现结论，又能证明结论的正确性。
这是分析问题和解决问题能力的一个重要内容，也是近几年高考的一个考查重点。
典型例析例1用数学归纳法证明证明：1当n=1时，左边=1-21=21，右边=111+=21，所以等式成立。
2假设当n=k 时，等式成立，即kk k k k 212111211214131211+++++=--++-+- 。
那么，当n=k+1时，这就是说，当n=k+1时等式也成立。
综上所述，等式对任何自然数n 都成立。
说明：要证明的等式左边共2n 项，而右边共n 项。
人教A版高中数学选修归纳法教案
数学归纳法（第一课时）说课稿一、教材分析1、本节教材的地位和作用：数学归纳法是人教版高中数学选修2—2第二章第三节的内容，它是高中数学一个重要方法，又是高考测试重要内容。
⑴它是掌握数列后，进一步对由归纳、猜想得出一些与正整数有关命题加以证明，可以使学生对有关知识掌握深化一步；⑵既可以开阔学生视野，又可以使他们受到“观察、猜想、归纳、证明”的推理训练，提高他们逻辑思维能力，培养科学创新精神；⑶掌握这种方法为今后进一步数学学习打下基础。
2、教学目标：根据大纲的要求，贯穿以创新精神为内核的素质教育为宗旨，本着教材特点和学生认知思维特征确定本目标：⑴知识目标：理解.归纳法和数学归纳法的含义和本质，掌握其证题原理，会用数学归纳法证明简单的恒等式。
⑵能力目标：培养由特殊到一般的思维能力，通过特殊事例探究、引导学生观察、归纳、猜想等推理方法，提高分析、综合、抽象概括的逻辑思维能力。
⑶.情感目标：既教猜想、又教证明，鼓励学生大胆参与探究、猜测，培养学生感悟数学内在美和良好的文化素养。
3、重、难点的确定重点：使学生理解数学归纳法的实质，掌握其证题2个步骤和一个结论（特别注意递推步骤中归纳假设运用和恒等变换的运用。
）难点：如何理解数学归纳法的递推性即从有限的步骤完成无限的命题的证明？递推步骤归纳假设如何充分利用？不突破以上难点，学生会怀疑数学归纳法的可靠性，只知形式上模仿而不会知其所以然，对进一步学习造成极大阻碍。
二、教法分析：根据本节课内容和学生认知水平，我主要采用启导法、感性体验法、计算机辅助教学。
“问题是数学的心脏”创设具有启发的问题情境，充分利用实验手段，设计系列问题，增加辅助环节，从具体到抽象、从特殊到一般，经历观察、`实验、猜测、推理、交流、反思等过程，使学生带着问题去主动探究、动手操作、交流合作，进而对知识内化、接受，完成整个知识的建构。
三、学法分析：“数学是思维的体操”，学生在学习过程中经历直观感知、观察发现、归纳类比、抽象概括、反思建构思维的过程，初步掌握归纳与推理的能力、，培养学生大胆猜想、小心求证的思维品质，进一步掌握动手实践、自主学习、主动探索、合作交流的学习方式。
4.1数学归纳法-教案(优秀经典公开课比赛教案)
课题：4.1数学归纳法一、教材分析：本节内容是人教A 版选修4-5《不等式选讲》的最后一章内容，数学归纳法在讨论涉及正整数无限性的问题时是一种重要的方法,它的地位和作用可以从以下三方面来看:1.中学数学中的许多重要结论,如等差数列,等比数列的通项公式与前n 项和公式,二项式定理等都可以用数学归纳法进行证明.由归纳猜想得出一些与正整数有关的数学命题,用数学归纳法加以证明,可以使学生更深层次地掌握有关知识.2.运用数学归纳法可以证明许多数学命题(不等式、数列、等式、整除),既可以开阔学生的眼界,又可以使他们受到推理论证的训练.3.数学归纳法在进一步学习数学时要经常用到,因此掌握这种方法为今后的学习打下了基础.二、教学目标：1、知识与技能：（1）了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些与正整数有关的数学命题；（2）能以递推思想为指导，规范数学归纳法证明中的2个步骤，1个结论。
2、过程与方法：（1）通过对数学归纳法的学习，使学生初步掌握观察、归纳、猜想到证明的数学方法；（2）进一步发展学生的抽象思维能力和创新能力，让学生经历知识的建构过程，体会类比的数学思想。
3、情感、态度与价值观：感受逻辑证明在数学以及日常生活中的作用，体会数学来源于生活，养成言之有理、论证有据的习惯。
三、教学重点：能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.四、教学难点：学归纳法中递推思想的理解.五、教学准备1、课时安排：1课时2、学情分析：学生在学习本节之前已经学习过归纳推理，以及一些简单的数学证明方法，并且已经开始使用与正整数有关的结论（例1的公式），但学生只是停留在认知阶段；另外高二学生经过了一年半的高中学习之后，已初步具有了发现和探究问题的能力，这为本节学习数学归纳法奠定了一定基础。
3、教具选择：多媒体六、教学方法：运用类比启发探究的数学方法进行教学；七、教学过程1、自主导学：复习回顾引入：<师>（1）请同学们回顾学习过的证明方法有哪些？<生> 请一名学生回答该问题。
最新人教版高中数学选修2.3《数学归纳法》教学设计
教学设计一、教材分析1、教材的地位和作用：数学归纳法是数列知识的深入与拓展，是证明与正整数有关问题的有力工具，是高中数学的一种重要证明方法。
通过学习，能提高学生的抽象思维能力，培养学生科学探索的创新精神。
2、教学目标1）知识与技能：理解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的与正整数有关的数学问题；进一步提高学生的猜想归纳能力和创新能力，体会类比、归纳的数学思想。
2）过程与方法：创设积极思考、大胆质疑的课堂情境，提高学生学习兴趣和课堂效率，通过合作探究，体会从猜想到证明的数学方法。
3）情感态度价值观：通过对数学归纳法的学习，感受到数学来源于生活而又高于生活，养成勤于思考、善于观察的学习习惯。
3、教学重难点1）教学重点：对数学归纳法产生过程的分析和对数学归纳法步骤的掌握。
2）教学难点：数学归纳法中对递推思想的理解。
二、学情分析1、学生的知识与能力储备：作为高二的学生已经学习了数列与推理证明，基本掌握了归纳推理，具备了一定的观察、归纳、猜想的能力。
2、学生可能遇到的困难：（1）学生初学时容易忽视归纳奠基的验证。
（2）学生难以理解第二个步骤的作用，尤其是为什么可以根据归纳假设进行证明，以及如何利用归纳假设证明。
三、教法分析：新课程标准指出，高中数学课应倡导自主探索，动手实践，合作交流等学习方式，应该力求通过不同形式的自主学习、探究活动，让学生体验数学发现和创造的过程，培养他们的创新意识。
结合本节课的内容，我主要采用小组合作探究的形式，创设各种问题情境，使学生带着问题去主动思考、动手操作、交流合作，帮助学生构建完善的知识结构和正确的解题思路。
四、教学过程1、 创设情境情境一：：数列{}n a ，已知11=a ，n n n a a a +=+11（⋅⋅⋅=3,2,1n ），试求出4,32,,a a a 并求出{}n a 的通项。
生：回答并归纳通项na n 1= 师：根据前四项可以归纳结果，它对后续的项是否成立则需要证明，当n 比较小时可以逐一验证，当n 比较大或者证明n 取所有正整数都成立的命题时，逐一验证是不可能的，我们需要另辟心径，寻求一种方法：通过有限个步骤的推理，证明n 取所有正整数都成立。
数学归纳法一优质课件新课标人教A版选修2
数学归纳法一优质课件新课标人教A版选修2一、教学内容本节课我们将学习《数学归纳法》，该内容属于新课标人教A版选修2的第三章第三节。
详细内容包括数学归纳法的原理、应用以及数学归纳法在解决数学问题中的重要作用。
二、教学目标1. 理解数学归纳法的定义，掌握其基本步骤和原理。
2. 学会运用数学归纳法证明数学命题，提高逻辑推理能力。
3. 能够运用数学归纳法解决实际问题，增强数学应用意识。
三、教学难点与重点教学难点：数学归纳法的运用，特别是递推关系的建立。
教学重点：数学归纳法的原理及其证明步骤。
四、教具与学具准备1. 教具：多媒体课件、黑板、粉笔。
2. 学具：练习本、笔。
五、教学过程1. 实践情景引入：通过展示数学家运用数学归纳法解决问题的实际案例，激发学生兴趣。
2. 知识讲解：1) 简要介绍数学归纳法的定义及作用。
2) 详细讲解数学归纳法的两个基本步骤：基础步骤和归纳步骤。
3) 通过例题讲解，展示数学归纳法的运用过程。
3. 随堂练习：1) 让学生独立完成基础题，巩固数学归纳法的运用。
2) 分组讨论较难题，引导学生建立递推关系，解决问题。
2) 拓展数学归纳法在解决其他类型问题中的应用。
六、板书设计1. 板书数学归纳法2. 主要内容：1) 数学归纳法的定义及作用2) 数学归纳法的两个基本步骤3) 例题及解答步骤4) 课后作业七、作业设计1. 作业题目：1) 证明：1+3+5++(2n1)=n^22) 证明：1^3+2^3+3^3++n^3=(1+2++n)^22. 答案：1) 略2) 略八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课学生对于数学归纳法的理解和运用程度，调整教学方法，提高教学效果。
2. 拓展延伸：1) 探索数学归纳法在其他数学分支中的应用。
2) 引导学生关注数学归纳法在实际问题中的应用，提高数学素养。
重点和难点解析1. 教学难点与重点的确定。
2. 教学过程中的例题讲解和随堂练习设计。
3. 板书设计中的内容布局和逻辑性。
人教A版高中数学选修高二新课程归纳法导学案新
§2.3 数学归纳法(1)学习目标1. 了解数学归纳法的原理，并能以递推思想作指导，理解数学归纳法的操作步骤;2. 能用数学归纳法证明一些简单的数学命题，并能严格按照数学归纳法证明问题的格式书写;3. 数学归纳法中递推思想的理解.104~ P 106，找出疑惑之处）复习1：在数列{}n a 中，*111,,()1n n na a a n N a +==∈+，先算出a 2，a 3，a 4的值，再推测通项a n 的公式.复习2：2()41f n n n =++，当n ∈N 时，()f n 是否都为质数？二、新课导学学习探究探究任务：数学归纳法问题：在多米诺骨牌游戏中,能使所有多米诺骨牌全部倒下的条件是什么?新知：数学归纳法两大步：（1）归纳奠基：证明当n 取第一个值n 0时命题成立;（2）归纳递推：假设n =k （k ≥n 0， k ∈N *）时命题成立，证明当n =k +1时命题也成立. 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n 0开始的所有正整数n 都成立.原因：在基础和递推关系都成立时，可以递推出对所有不小于n 0的正整数n 0+1，n 0+2，…，命题都成立.试试：你能证明数列的通项公式1n a n=这个猜想吗?反思：数学归纳法是一种特殊的证明方法,主要用于研究与正整数有关的数学问题.关键：从假设n =k 成立，证得n =k +1成立.典型例题 例1 用数学归纳法证明2222*(1)(21)123,6n n n n n N ++++++=∈K变式：用数学归纳法证明2*1427310(31)(1),n n n n n N ⨯+⨯+⨯+++=+∈K小结：证n =k +1时，需从假设出发，对比目标，分析等式两边同增的项，朝目标进行变形.例2 用数学归纳法证明:首项是1a ,公差是d 的等差数列的通项公式是1(1)n a a n d =+-,前n 项和的公式是1(1)2n n n S na d -=+.变式：用数学归纳法证明:首项是1a ,公比是q 的等差数列的通项公式是11n n a a q -=,前n 项和的公式是1(1)1n n a q S q-=-.(1q ≠)小结：数学归纳法经常证明数列的相关问题.动手试试练1. 用数学归纳法证明:当n 为整数时,2135(21)n n ++++-=L练2. 用数学归纳法证明:当n 为整数时,21122221n n -++++=-L三、总结提升学习小结1. 数学归纳法的步骤2. 数学归纳法是一种特殊的证明方法,主要用于研究与正整数有关的数学问题.知识拓展意大利数学家皮亚诺总结了正整数的有关性质,并提出了关于正整数的五条公理,后人称之为“皮亚诺公理”.数学归纳法的理论依据是皮亚诺公理.学习评价当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 用数学归纳法证明：22111(1)1n n a a a a a a++-++++=≠-L ，在验证1n =时，左端计算所得项为 A.1 B.21a a ++ C.1a + D.231a a a +++2. 用数学归纳法证明))(12(312)()3)(2)(1(*N n n n n n n n n ∈-⋅⋅⋅=++++Λ时，从n=k 到n=k+1，左端需要增加的代数式为A. 12+kB. )12(2+kC. 112++k kD. 132++k k3. 设*111()()122f n n N n n n=+++∈++L ，那么)()1(n f n f -+等于（ ） A. 121+n B. 221+n C. 221121+++n n D. 221121+-+n n4. 已知数列}{n a 的前n 项和)2(2≥=n a n S n n ，而11=a ，通过计算432,,a a a ，猜想=n a 5. 数列}{n x 满足1221,3x x ==，且11112n n nx x x -++=（2≥n ），则=n x .1. 用数学归纳法证明:1111133557(21)(21)21n n n n ++++=⨯⨯⨯-++L2. 用数学归纳法证明:112(1)3(2)1(1)(2)6n n n n n n n •+•-+•-+•=++L。
数学归纳法一课件新课标人教A版选修2
数学归纳法一课件新课标人教A版选修2一、教学内容本节课选自新课标人教A版选修2《数学归纳法》章节，详细内容包括数学归纳法的概念、原理以及应用。
重点讲解数学归纳法的基本步骤，并通过典型例题使学生掌握数学归纳法的证明方法。
二、教学目标1. 理解数学归纳法的概念，掌握数学归纳法的基本步骤。
2. 能够运用数学归纳法证明简单的数学命题。
3. 培养学生的逻辑思维能力和推理能力。
三、教学难点与重点教学难点：数学归纳法证明过程中的逻辑推理。
教学重点：数学归纳法的概念、基本步骤以及应用。
四、教具与学具准备1. 教具：多媒体课件、黑板、粉笔。
2. 学具：教材、练习本、笔。
五、教学过程1. 实践情景引入：通过一个与数学归纳法相关的实际问题，激发学生兴趣，引导学生思考。
2. 基本概念讲解：讲解数学归纳法的定义、原理，引导学生理解并掌握。
3. 例题讲解：选取典型例题，分步骤讲解数学归纳法的应用，强调证明过程中的注意事项。
4. 随堂练习：布置两道数学归纳法证明的题目，让学生独立完成，并及时给予反馈。
六、板书设计1. 数学归纳法2. 内容：（1）数学归纳法定义（2）数学归纳法基本步骤（3）典型例题及解题步骤（4）注意事项七、作业设计1. 作业题目：（1）运用数学归纳法证明：1+2+3++n = n(n+1)/2（2）运用数学归纳法证明：2^n > n (n为正整数)2. 答案：八、课后反思及拓展延伸1. 课后反思：针对本节课的教学内容，反思教学方法、教学效果以及学生的掌握情况，为后续教学提供改进方向。
2. 拓展延伸：鼓励学生课后查阅相关资料，了解数学归纳法在数学发展中的应用，提高学生的学习兴趣和自主学习能力。
在教学过程中，注意用词严谨，段落衔接流畅，确保学生能够充分理解并掌握数学归纳法的概念、步骤和应用。
通过实践情景引入、例题讲解、随堂练习等环节，提高学生的学习兴趣和动手能力，培养学生的逻辑思维和推理能力。
重点和难点解析1. 教学难点：数学归纳法证明过程中的逻辑推理。
人教A版高中数学选修2-2《数学归纳法》说课稿
数学归纳法（第一课时）说课稿（人教A版高中数学选修2-2）一、教材分析1、教材地位数学归纳法是人教A版高中数学选修2—2第二章第三节的内容，它是一种特殊的证明方法，对证明一些与正整数有关的命题是非常有用的研究工具，弥补了不完全归纳法的不足。
用它解答一些高考题往往能起到柳暗花明的神奇作用，因此是高中理科生应掌握的一种证明方法。
2、教学重点、难点教学重点：理解数学归纳法的原理，掌握用数学归纳法证明命题的基本步骤教学难点：（1）理解数学归纳法的原理（2）如何利用归纳假设证明当n=k+1时命题也成立。
二、教学目标（1）知识目标：理解数学归纳法的原理，掌握数学归纳法证题的基本步骤，会用“数学归纳法”证明简单的恒等式。
（2）能力目标：培养学生观察, 分析, 论证的能力, 进一步发展学生的逻辑、抽象、创新思维能力，让学生经历知识的建构过程, 体会类比的数学思想。
（3）情感目标：通过对数学归纳法原理的探究，培养学生严谨的、实事求是的科学态度，感受数学内在美，激发学习热情。
三、学情分析：在此之前学生经历了数列的求通项、求和等知识的学习，还学习了归纳推理、类比推理、演绎推理等知识，已具备了一定的观察、分析、归纳能力。
四、教学方法教学方法：本节课主要采用感性体验法、类比、引导发现法进行教学。
教学手段：借助多媒体展示创设教学情境学法指导：本课以问题情境为中心，以解决问题为主线展开，引导学生通过以下模式：“观察情境→提出问题→分析问题→解决问题→提升理论→巩固应用”进行探究式学习。
五、教学过程：（一）知识链接归纳推理特点:由特殊到一般 类比推理特点:由特殊到特殊常用⎩⎨⎧完全归纳法不完全归纳法归纳法（设计意图：复习归纳推理和类比推理，为学习数学归纳法作铺垫）（二）创设情境情境1 明朝刘元卿编的《应谐录》中有一个笑话：财主的儿子学写字．这则笑话中财主的儿子由“一字是一横，二字是二横，三字是三横”，得出“四就是四横、五就是五横……，百是百横，……，万是万横，……”的结论，用的就是“不完全归纳法”，不过，这个归纳推出的结论显然是错误的．情境2 费马（Fermat ）是17世纪法国著名的数学家，他曾认为，当n∈N *时，122+n一定都是质数，这是他对n ＝0，1，2，3，4作了验证后得到的．后来，18世纪瑞士科学家欧拉（Euler ）却证明了 1252+＝4 294 967 297＝6 700 417×641，从而否定了费马的推测．没想到当n ＝5这一结论便不成立．（设计意图：通过以上两个例子让学生了解不完全归纳法得出的结论不一定正确，即使是数学家也不例外。
高中数学选修人教A教案新部编本导学案新部编版2.3数学归纳法
精选教课教课设计设计| Excellent teaching plan教师学科教课设计[ 20–20学年度第__学期]任教课科： _____________任教年级： _____________任教老师： _____________xx市实验学校2.3 数学概括法前教案一、目：理解数学法原理及其本，掌握它的基本步与方法．能好地理解“ 奠定”和“ 推”二者缺一不行。
二、内容：提出：1：前方学推理，我有一个没有底解决．即于数列，已知，(n =1,2,3 ⋯ ) ，通=1,2,3,4 前 4 的，猜想出其通公式n，但却没有一步的和明．2：大家玩多米骨牌游？个游有怎的划？( 多媒体演示多米骨牌游 )是一个放骨牌游，放保随意两相的两骨牌，若前一骨牌倒下，必定致后一骨牌倒下．只需推倒第一骨牌，就必定致第二骨牌倒下；而第二骨牌倒下，就必定致第三骨牌倒下⋯最后，不有多少骨牌都能所有倒下．：1、 2 有什么共同的特点？其建立的条件的共同特点是什么建立的条件：第一个建立；前一个建立，接着的下一个也建立．上边两个条件分起怎的作用？它之有怎的关系？我可否去掉此中的一个？你能反例明？在上述两个条件中，第一个条件是推的前提和基，没有它，后边的推将无从起；第二个步是中心和关，是无穷向有限化的梁与．如在前方的 1 中，假如不是1，而是2，那么就不行能得出，所以第一步看似，但倒是不行缺乏的．而第二步然更为不行缺乏．一点在多米骨牌游中也可清楚地看出．解决：由上，明一个与自然数n 有关的命，可按以下步行：(1) 明当n取第一个() 命建立；(2) 假 n=k(k ≥,) 命建立，明当n=k+1 命也建立．由以上两个步，能够判定数从开始的所有正整数n 都建立．这类证明方法叫做数学概括法，它是证明与正整数n(n 取无穷多个值 ) 有关、拥有内在递推关系的数学命题的重要工具．三、提出迷惑同学们，经过你的自主学习，你还有哪些迷惑，请把它填在下边的表格中迷惑点迷惑内容课内研究教案一、学习目标（1）认识由有限多个特别案例得出的一般结论不必定正确。
高中数学 归纳法教案 新人教A版选修2
分析数学归纳法的实质。
教学难点
数学归纳法中递推思想的正确理解和把握。
教学方法
引导发现法，讲练结合法
教学手段
多媒体课件
教学内容
教师活动
学生活动
设计意图
引入新课
情境一：
1财主儿子学写字的笑话。
2“小明弟兄三个，大哥叫大毛……〞的脑筋急转弯等。
情境二:等差数列 通项公式推导过程。
思考不完全归纳法产生的问题如何解决
学生思考，形成结论
培养生理论联系实际的能力。
学生练习
多媒体出示练习
1.用数学归纳法证明等式1+2+3+…(2n+1)=(n+1)(2n+1)时，
当n＝1时，左边所得项是；
当n＝2时，左边所得项是；
2、用数学归纳法证明：1＋3＋5＋…＋〔2n－1〕＝ ．
学生思考，独立完成
通过这两个练习能看到学生对数学归纳法证题步骤的掌握情况．
这里通过类比多米诺骨牌过程，让学生发现数学归纳法的雏形，是一种再创造的发现性学习．
数学
归纳法
引导学生概括, 形成科学方法
证明一个与正整数有关的命题关键步骤如下：
(1)〔归纳奠基〕证明当n取第一个值 时命题成立；
(2)〔归纳递推〕假设当n＝k(k∈ ，k≥ )时命题成立那么当n=k+1时命题也成立
从而由〔1〕,(2)得出结论
课题
2.3 数学归纳法
教学目标
知识目标：使学生理解数学归纳的原理与实质．掌握数学归纳法证题的两个步骤；会用“数学归纳法〞证明简单的与正整数有关的命题
能力目标：培养学生观察, 分析, 论证的能力, 进一步发展学生的抽象思维能力和创新能力，让学生经历知识的构建过程, 体会类比的数学思想．
高中数学 数学归纳法教学案 新人教A版选修2-2
2. 3数学归纳法课前预习学案一、预习目标：理解数学归纳法原理及其本质，掌握它的基本步骤与方法．能较好地理解“归纳奠基”和“归纳递推”两者缺一不可。
二、预习内容：提出问题：问题1：前面学习归纳推理时，我们有一个问题没有彻底解决．即对于数列，已知，( n=1,2,3…)，通过对n=1,2,3,4前4项的归纳，猜想出其通项公式，但却没有进一步的检验和证明．问题2：大家玩过多米诺骨牌游戏吗？这个游戏有怎样的规划？(多媒体演示多米诺骨牌游戏)这是一个码放骨牌游戏，码放时保证任意两相邻的两块骨牌，若前一块骨牌倒下，则一定导致后一块骨牌倒下．只要推倒第一块骨牌，就必然导致第二块骨牌倒下；而第二块骨牌倒下，就必然导致第三块骨牌倒下…最后，不论有多少块骨牌都能全部倒下．讨论问题：问题1、问题2有什么共同的特征？其结论成立的条件的共同特征是什么结论成立的条件：结论对第一个值成立；结论对前一个值成立，则对紧接着的下一个值也成立．上面两个条件分别起怎样的作用？它们之间有怎样的关系？我们能否去掉其中的一个？你能举反例说明吗？在上述两个条件中，第一个条件是归纳递推的前提和基础，没有它，后面的递推将无从谈起；第二个步骤是核心和关键，是实现无限问题向有限问题转化的桥梁与纽带．如在前面的问题1中，如果不是1，而是2，那么就不可能得出，因此第一步看似简单，但却是不可缺少的．而第二步显然更加不可缺少．这一点在多米诺骨牌游戏中也可清楚地看出．解决问题：由上，证明一个与自然数n有关的命题，可按下列步骤进行：(1)证明当n取第一个值()时命题成立；(2)假设n=k(k≥,)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立．由以上两个步骤，可以断定命题对从开始的所有正整数n都成立．这种证明方法叫做数学归纳法，它是证明与正整数n(n取无限多个值)有关、具有内在递推关系的数学命题的重要工具．三、提出疑惑同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中课内探究学案学习目标（1）了解由有限多个特殊事例得出的一般结论不一定正确。
高中数学《2.3.1数学归纳法》教案2 新人教A版选修22
数学归纳法一、教学目标：1．了解数学归纳法的原理，理解数学归纳法的一般步骤。
2．掌握数学归纳法证明问题的方法，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题3．能通过“归纳-猜想-证明”处理问题。
二、教学重点：能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。
难点：归纳→猜想→证明。
三、教学过程： 【创设情境】问题1：数学归纳法的基本思想？以数学归纳法原理为依据的演绎推理，它将一个无穷归纳（完全归纳）的过程，转化为一个有限步骤的演绎过程。
（递推关系）问题2：数学归纳法证明命题的步骤？（1）递推奠基：当n 取第一个值n 0结论正确；（2）递推归纳：假设当n =k (k ∈N *，且k ≥n 0)时结论正确；（归纳假设）证明当n =k +1时结论也正确。
（归纳证明）由(1)，(2)可知，命题对于从n 0开始的所有正整数n 都正确。
数学归纳法是直接证明的一种重要方法，应用十分广泛，主要体现在与正整数有关的恒等式、不等式；数的整除性、几何问题；探求数列的通项及前n 项和等问题。
【探索研究】问题：用数学归纳法证明：(31)71n n +-g能被9整除。
法一：配凑递推假设：法二：计算f(k+1)-f(k)，避免配凑。
说明：①归纳证明时，利用归纳假设创造条件，是解题的关键。
②注意从“n=k 到n=k+1”时项的变化。
【例题评析】例1：求证: 121(1)n n a a +-++能被21a a ++整除（n ∈N +）。
例2：数列{a n }中，1n na a +>,a 1=1且211()2()10n n n n a a a a ++--++=（1）求234,,a a a 的值；（2）猜想{a n }的通项公式，并证明你的猜想。
说明：用数学归纳法证明问题的常用方法：归纳→猜想→证明变题：（2002全国理科）设数列{a n }满足211n n n a a na +=-+，n ∈N +,(1)当a 1=2时，求234,,a a a ，并猜想{a n }的一个通项公式； （2）当a 1≥3时，证明对所有的n ≥1,有 ①a n ≥n+2 ②1211111112n a a a ++≤+++g g g例3：平面内有n 条直线，其中任何两条不平行，任何三条直线不共点，问：这n 条直线将平面分成多少部分？变题：平面内有n 个圆，其中每两个圆都相交与两点，且每三个圆都不相交于同一点，求证：这n 个圆把平面分成n 2+n+2个部分。
数学人教版高中二年级选修2 《数学归纳法》教学设计
《数学归纳法》教学设计人民教育出版社A版教科书数学选修2-2第二章第三节【教材分析】1、教学内容：数学归纳法是人教社全日制普通高级中学教科书数学选修2-2第二章第3节的内容，根据课标要求，本书该节共2课时，这是第一课时，其主要内容是数学归纳法的原理及其应用。
2、地位作用：在已经学习了不完全归纳法的基础上，介绍了数学归纳法，它是一种用于关于正整数命题的直接证法。
教材通过剖析生活实例中蕴含的思维过程揭示数学思想方法，即借助“多米诺骨牌”的设计思想，揭示数学归纳法依据的两个条件及它们之间的关系。
【教学目标】1、知识与技能：（1）了解归纳法，理解数学归纳法的原理与实质，掌握数学归纳法证题的两个步骤。
（2）会用数学归纳法证明简单的与正整数有关的命题。
2、过程与方法：努力创设课堂愉悦的情境，使学生处于积极思考，大胆质疑的氛围，积极参与，提高学生学习兴趣和课堂效率，让学生经历知识的构建过程，体会类比的数学思想。
3、情感、态度与价值观：通过本节课的教学，使学生领悟数学思想和辩证唯物主义观点，激发学生学习热情，提高学生数学学习的兴趣，培养学生大胆猜想，小心求证的辩证思维素质，以及发现问题、提出问题的意见和数学交流能力。
【教学重点】借助具体实例了解数学归纳法的基本思想，掌握它的基本步骤，运用它证明一些简单的与正整数n（n取无限多个值）有关的数学命题。
【教学难点】（1）学生不易理解数学归纳法的思想实质，具体表现在不了解第二个步骤的作用，不易根据归纳假设作出证明。
（2）运用数学归纳法时，在“归纳递推”的步骤中发现具体问题的递推关系。
【教学方法】运用类比启发探究的数学方法进行教学；【教学手段】借助多媒体播放人的多米诺骨牌视频；学生动手参与多米诺骨牌游戏等生活素材辅助课堂教学；【教学程序】第一阶段：回顾复习，课前准备复习1：类比推理及其一般步骤1、类比推理是由特殊到特殊的推理。
2、类比推理一般步骤：（1）观察、比较（2）联想、类推（3）猜想新结论复习2：归纳推理归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理．（回顾复习类比推理和归纳推理目的是为数学归纳法推理的奠定基础。
高中数学数学归纳法教案新人教A版选修
第一课时 4.1 数学归纳法教学要求：了解数学归纳法的原理，并能以递推思想作指导，理解数学归纳法的操作步骤，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题，并能严格按照数学归纳法证明问题的格式书写. 教学重点：能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.教学难点：数学归纳法中递推思想的理解.教学过程：一、复习准备：1. 分析：多米诺骨牌游戏. 成功的两个条件：（1）第一张牌被推倒；（2）骨牌的排列，保证前一张牌倒则后一张牌也必定倒.回顾：数学归纳法两大步：（i ）归纳奠基：证明当n 取第一个值n 0时命题成立；（ii ）归纳递推：假设n =k （k ≥n 0， k ∈N *）时命题成立，证明当n =k +1时命题也成立. 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n 0开始的所有正整数n 都成立.2. 练习：已知()*()13521,f n n n N =++++-∈，猜想()f n 的表达式，并给出证明？ 过程：试值(1)1f =，(2)4f =，…，→ 猜想2()f n n = → 用数学归纳法证明.3. 练习：是否存在常数a 、b 、c 使得等式132435......(2)n n ⨯+⨯+⨯+++=21()6n an bn c ++对一切自然数n 都成立，试证明你的结论.二、讲授新课：1. 教学数学归纳法的应用： ① 出示例1：求证*111111111,234212122n N n n n n n-+-+⋅⋅⋅+-=++⋅⋅+∈-++ 分析：第1步如何写？n =k 的假设如何写？ 待证的目标式是什么？如何从假设出发？ 关键：在假设n =k 的式子上，如何同补？小结：证n =k +1时，需从假设出发，对比目标，分析等式两边同增的项，朝目标进行变形.② 出示例2：求证：n 为奇数时，x n +y n 能被x +y 整除.分析要点：（凑配）x k +2+y k +2=x 2·x k +y 2·y k =x 2(x k +y k )+y 2·y k －x 2·yk =x 2(x k +y k )+y k (y 2－x 2)=x 2(x k +y k )+y k ·(y +x )(y －x ).③ 出示例3：平面内有n 个圆，任意两个圆都相交于两点，任何三个圆都不相交于同一点，求证这n 个圆将平面分成f (n )=n 2－n +2个部分.分析要点：n =k +1时，在k +1个圆中任取一个圆C ，剩下的k 个圆将平面分成f (k )个部分，而圆C 与k 个圆有2k 个交点，这2k 个交点将圆C 分成2k 段弧，每段弧将它所在的平面部分一分为二，故共增加了2k 个平面部分.因此，f (k +1)=f (k )+2k =k 2－k +2+2k =(k +1)2－(k +1)+2.2. 练习：① 求证: 11(11)(1)(1)321n ++⋅⋅⋅+-n ∈N *）. ② 用数学归纳法证明：（Ⅰ）2274297n n --能被264整除；（Ⅱ）121(1)n n a a +-++能被21a a ++整除（其中n ，a 为正整数）③ 是否存在正整数m ，使得f （n ）=（2n +7）·3n +9对任意正整数n 都能被m 整除?若存在，求出最大的m 值，并证明你的结论；若不存在，请说明理由.3. 小结：两个步骤与一个结论，“递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉”；从n =k 到n =k +1时，变形方法有乘法公式、因式分解、添拆项、配方等.三、巩固练习： 1. 练习：教材50 1、2、5题 2. 作业：教材50 3、4、6题.第二课时 4.2 数学归纳法教学要求：了解数学归纳法的原理，并能以递推思想作指导，理解数学归纳法的操作步骤，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题，并能严格按照数学归纳法证明问题的格式书写. 教学重点：能用数学归纳法证明几个经典不等式.教学难点：理解经典不等式的证明思路.教学过程：一、复习准备：1. 求证：222*12(1),1335(21)(21)2(21)n n n n N n n n ++++=∈⋅⋅-++.2. 求证：*11111,23421n n n N +++++≤∈-.二、讲授新课：1. 教学例题：① 出示例1：比较2n 与2n 的大小，试证明你的结论.分析：试值1,2,3,4,5,6n = → 猜想结论 → 用数学归纳法证明→ 要点：222222(1)2123k k k k k k k k k k +=++<++<+<+<…. 小结：试值→猜想→证明② 练习：已知数列{}n a 的各项为正数，S n 为前n 项和，且11()2n n nS a a =+，归纳出a n 的公式并证明你的结论.解题要点：试值n =1,2,3,4， → 猜想a n → 数学归纳法证明③ 出示例2：证明不等式|sin ||sin |()n n n N θθ*≤∈.要点：|sin(1)||sin cos cos sin ||sin cos ||cos sin |k k k k k θθθθθθθθθ+=+≤+ |sin ||sin ||sin ||sin |(1)|sin |k k k θθθθθ≤+≤+=+④ 出示例3：证明贝努利不等式. (1)1(1,0,,1)n x nx x x n N n +>+>-≠∈>2. 练习：试证明：不论正数a 、b 、c 是等差数列还是等比数列，当n ＞1,n ∈N *且a 、b 、c互不相等时，均有a n +c n ＞2b n .解答要点：当a 、b 、c 为等比数列时，设a =qb ,c =bq (q ＞0且q ≠1). ∴ a n +c n =…. 当a 、b 、c 为等差数列时，有2b =a +c ，则需证2n n c a +＞(2c a +)n (n ≥2且n ∈N *). …. 当n =k +1时，41211=+++k k c a (a k +1+c k +1+a k +1+c k +1)＞41(a k +1+c k +1+a k ·c +c k ·a ) =41(a k +c k )(a +c )＞(2c a +)k ·(2c a +)=(2c a +)k +1 . 3. 小结：应用数学归纳法证明与正整数n 有关的不等式；技巧：凑配、放缩.三、巩固练习：1. 用数学归纳法证明： 111tan(2)(1)(1)....(1)cos2cos4cos2tan n n θθθθθ+++=. 2. 已知1111,2,12122n N n n n n∈≥<+++<++证明：. 3. 作业：教材P 54 3、5、8题.。
人教A版高中数学选修高二新课程归纳法教案新(1)
数学归纳法一、教学目标：1．了解数学归纳法的原理，理解数学归纳法的一般步骤。
2．掌握数学归纳法证明问题的方法。
3．能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。
二、教学重点：掌握数学归纳法的原理及证明问题的方法。
难点：能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。
三、教学过程：【创设情境】1．华罗庚的“摸球实验”。
2．“多米诺骨牌实验”。
问题：如何保证所摸的球都是红球？多米诺骨牌全部倒下？处了利用完全归纳法全部枚举之外，是否还有其它方法？数学归纳法：数学归纳法实际上是一种以数学归纳法原理为依据的演绎推理，它将一个无穷的归纳过程转化为一个有限步骤的演绎过程，是处理自然数问题的有力工具。
【探索研究】1．数学归纳法的本质：无穷的归纳→有限的演绎（递推关系）2．数学归纳法公理：（1）（递推奠基）：当n 取第一个值n 0结论正确；（2）（递推归纳）：假设当n =k (k ∈N *，且k ≥n 0)时结论正确；（归纳假设）证明当n =k +1时结论也正确。
（归纳证明）由(1)，(2)可知，命题对于从n 0开始的所有正整数n 都正确。
【例题评析】例1：以知数列{a n }的公差为d ，求证：1(1)n a a n d =+-说明：①归纳证明时，利用归纳假设创造递推条件，寻求f(k+1)与f(k)的递推关系，是解题的关键。
②数学归纳法证明的基本形式；（1）（递推奠基）：当n 取第一个值n 0结论正确；（2）（递推归纳）：假设当n =k (k ∈N *，且k ≥n 0)时结论正确；（归纳假设）证明当n =k +1时结论也正确。
（归纳证明）由(1)，(2)可知，命题对于从n 0开始的所有正整数n 都正确。
EX : 1.判断下列推证是否正确。
P88 2,32. 用数学归纳法证明2)1()13(1037241+=+++⨯+⨯+⨯n n n n K例2：用数学归纳法证明11111231n n n ++⋅⋅⋅≥+++(n ∈N,n ≥2) 说明：注意从n=k 到n=k+1时,添加项的变化。
[精品]新人教A版选修2-2高中数学数学归纳法2优质课教案
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§2.3 数学归纳法(2)【学情分析】：数学归纳法是一种特殊的直接证明的方法，在证明一些与正整数n（n取无限多个值）有关的数学命题时，数学归纳法往往是非常有用的研究工具，它通过有限个步骤的推理，证明n取无限多个正整数的情形。
本节课是在上节课的基础上进上步熟悉数学归纳法的证题原理及步骤。
【教学目标】：（1）知识与技能：理解“归纳法”和“数学归纳法”的含意和本质；掌握数学归纳法证题的两个步骤一个结论；会用“数学归纳法”证明与正整数有关的数学命题。
（2）过程与方法：初步掌握归纳与推理的方法；培养大胆猜想，小心求证的辩证思维素质。
（3）情感态度与价值观：培养学生对于数学内在美的感悟能力。
【教学重点】：进一步巩固对数学归纳法的基本思想的认识，掌握它的基本步骤(特别要注意递推步骤中归纳假设的运用和恒等变换的运用)，运用它证明一些与正整数有关的数学命题。
【教学难点】：如何理解数学归纳法证题的有效性；递推步骤中如何利用归纳假设。
【教学过程设计】：【练习与测试】： 1．使用数学归纳法证明22()n n n N <∈，若不等式成立，则n 的取值范围是（ ）A. 2n ≥B. 3n ≥C. 4n ≥D. 5n ≥ 答案：D解：当n 取第一个值5时，命题成立。
2．用数学归纳法证明“*)(11312111N n n n n ∈>++++++ ”，要证明第一步时，左边的式子= 。
答案：1213413121=++。
3．当*N n ∈时，求证：3()2n n >。
证明：（1）当n=1时，左式=32，右式=1，312>，原不等式成立。
（2）假设当n=k 时，原不等式成立，即3()2k k >则当n=k+1时，左式=13333()()22222k k kk k +=>=+132,1,()12k k k k +≥∴≥+>+上式即所以n=k+1时结论成立综合（1）（2）原不等式对于任意*N n ∈均成立。
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数学归纳法
一、教学目标：
1．了解数学归纳法的原理，理解数学归纳法的一般步骤。
2．掌握数学归纳法证明问题的方法。
3．能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。
二、教学重点：掌握数学归纳法的原理及证明问题的方法。
难点：能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。
三、教学过程：
【创设情境】
1．华罗庚的“摸球实验”。
2．“多米诺骨牌实验”。
问题：如何保证所摸的球都是红球？多米诺骨牌全部倒下？处了利用完全归纳法全部枚举之外，是否还有其它方法？
数学归纳法：数学归纳法实际上是一种以数学归纳法原理为依据的演绎推理，它将一个无穷的归纳过程转化为一个有限步骤的演绎过程，是处理自然数问题的有力工具。
【探索研究】
1．数学归纳法的本质：
无穷的归纳→有限的演绎（递推关系）
2．数学归纳法公理：
（1）（递推奠基）：当n 取第一个值n 0结论正确；
（2）（递推归纳）：假设当n =k (k ∈N *，且k ≥n 0)时结论正确；（归纳假设）
证明当n =k +1时结论也正确。
（归纳证明）
由(1)，(2)可知，命题对于从n 0开始的所有正整数n 都正确。
【例题评析】
例1：以知数列{a n }的公差为d ，求证：1(1)n a a n d =+-
说明：①归纳证明时，利用归纳假设创造递推条件，寻求f(k+1)与f(k)的递推关系，是解题的关键。
②数学归纳法证明的基本形式；
（1）（递推奠基）：当n 取第一个值n 0结论正确；
（2）（递推归纳）：假设当n =k (k ∈N *，且k ≥n 0)时结论正确；（归纳假设）
证明当n =k +1时结论也正确。
（归纳证明）
由(1)，(2)可知，命题对于从n 0开始的所有正整数n 都正确。
EX : 1.判断下列推证是否正确。
P88 2,3
2. 用数学归纳法证明
2)1()13(1037241+=+++⨯+⨯+⨯n n n n
例2：用数学归纳法证明11111231n n n ++⋅⋅⋅≥+++(n ∈
N,n ≥2)
说明：注意从n=k 到n=k+1时,添加项的变化。
EX :1.用数学归纳法证明:1
1
1111111234212122n n n n n -+-++-=+++-++
(1)当n=1时,左边有_____项,右边有_____项；
(2)当n=k 时,左边有_____项,右边有_____项；
(3)当n=k+1时,左边有_____项,右边有_____项；
(4)等式的左右两边,由n=k 到n=k+1时有什么不同?
变题: 用数学归纳法证明21
1
1
1222n ++⋅⋅⋅< (n ∈N +)
例3：设f(n)=1+111
23n ++⋅⋅⋅,求证n+f(1)+f(2)+…
f(n-1)=nf(n) (n ∈N,n ≥2)
说明：注意分析f(k)和f(k+1)的关系。
【课堂小结】
1．数学归纳法公理：
（1）（递推奠基）：当n 取第一个值n 0结论正确；
（2）（递推归纳）：假设当n =k (k ∈N *，且k ≥n 0)时结论正确；（归纳假设）
证明当n =k +1时结论也正确。
（归纳证明）
由(1)，(2)可知，命题对于从n 0开始的所有正整数n 都正确。
2. 注意从n=k 到n=k+1时,添加项的变化。
利用归纳假设创造递推条件，寻求f(k+1)与f(k)的递推关系.
【反馈练习】
1．用数学归纳法证明3k ≥n 3(n ≥3,n ∈N )第一步应验证( )
A n =1
B n =2 D n =4
2．用数学归纳法证明()11
1
112312n n n N n ++++<∈>-且第
二步证明从“k 到k+1”，左端增加的项数是( )
A. 12k + B 12k - C 2k D 12k -
3．若n 为大于1的自然数，求证 2413212111>+++++n n n
证明 (1)当n =2时，24
131********>=+++ (2)假设当n =k 时成立，即24
13212111>+++++k k k 24
13
)1)(12(2124132
21
121241311221
121
2413
111
1221121213121,1>+++=+-++=+-++++>+-++++++++++++=k k k k k k k k k k k k k k k n 时则当 4．用数学归纳法证明
()()()()()*+++=⋅⋅⋅⋅-∈n n 1n 2n n 2132n 1,n N
【课外作业】
《课标检测》。