行列式的两个性质
2行列式的性质
( i1 ji js jn )
a1 1 asji aijs ainn
j1 jn Pn
( i1 js ji jn )
a1 1 aijs asji ainn
D.
一次对换改变排列的奇偶性
5
.
性质2.两行相等,其值为零. 证明两个相同的行互换，由性质1值反号， 但其实它还是原来的行列式，故行列式的 值等于其相反数，非零莫属。
a12 a22 a32
a13 a23 a33
a 11 a21 a31
a 12 a 22 a 32
a 13 a . 23 a 33
11
性质6 一行加另一行k倍，其值不变。
为了书写简短,用ri表示第行ai1,ai2,ai3, kri表示 每个元 素k倍, ri +rj表示对应元素相加.
证明
r1 r3
2 4 4
D
1 3 0
2 5
2 5
18
1 2 3 0
2 3 2 4 3 8
3 2 3
2 4 ( 2r1 ) 4 ( 3r1 ) 2 8 5
19
2 5
1 2 0 1 0 0 8 4
6 2 2
1 2 0 1 0 0 8 4
3 8
2 8
6 2 ( 8r2 ) 2 5 ( 4r2 ) 3 8 2 8
1 0
1 0 0
0 a2
a3 0
0 an
a2 an
26
a1 a1 B a1 a1 1 a1 1 1
1 a2 0 0 1 0 0
1 0 0 1 0 0
1 0
1 0 0 1 0 0
线性代数自考知识点汇总
行列式1. 行列式的性质性质1 行列式与它的转置行列式相等T D D =.性质2 互换行列式的两行列,行列式变号.推论1 如果行列式有两行列的对应元素完全相同,则此行列式的值为零.如a b ca b c 0a b c'''= 性质3 行列式的某一行列中所有的元素都乘以同一数k ,等于用数k 乘此行列式.如111213111213212223212223313233313233a a a a a a ka ka ka k a a a a a a a a a = 推论2 如果行列式中有两行列元素成比例,则此行列式的值为零．如a b ca b c 0ka kb kc'''= 性质4 若行列式的某一行列的元素都是两数之和,则这个行列式等于两个行列式之和.如111213111213111213212122222323212223212223313233313233313233a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ''''''+++=+ 性质5 把行列式的某一行列的各元素乘以同一数然后加到另一行列对应的元素上去,行列式的值不变.如111213111213212223212223313233311132123313a a a a a a a a a a a a a a a a ka a ka a ka =+++2. 余子式与代数余子式在n 阶行列式中,把元素ij a 所在的第i 行和第j 列划去后,留下来的n-1阶行列式叫做元素ij a 的余子式,记作ij M ,i jij ij A (1)M +=-叫做元素ij a 的代数余子式．如111213212223313233a a a a a a a a a ,元素23a 的余子式为1112233132aa M a a =,元素23a 的代数余子式为11122323233132a a A (1)M a a +=-=-.3. 行列式按行列展开法则定理1 行列式的值等于它的任一行列的各元素与其对应的代数余子式乘积之和,即1122i i i i in in D a A a A a A =+++或 1122j j j j nj nj D a A a A a A =+++()1,2,,;1,2i n j n ==如111213212223313233a a a a a a a a a 111112121313a A a A a A =++ 定理2 行列式任一行列的元素与另一行列的对应元素的代数余子式乘积之和等于零,即12120,j j i i jn i n a A a A a A +++=或,11220.j j j j nj nj a A a A a A i j +++=≠()1,2,,;1,2i n j n ==4. 行列式的计算 1二阶行列式1112112212212122a a a a a a a a =- 2三阶行列式111213212223313233a a a a a a a a a 112233122331132132132231122133112332a a a a a a a a a a a a a a a a a a =++--- 3对角行列式1212n nλλλλλλ=,n(m 1)21212n n(1)λλλλλλ-=-4三角行列式1111121n 2122222n 1122nn n1n2nn nn a a a a a a a a a a a a a a a ==111,n 11n1n n(n 1)212,n 12,n 12n 21n 2,n 1n1n1n1n2nna a a a a a a a (1)a a a a a a a -----==-5消元法：利用行列式的性质,将行列式化成三角行列式,从而求出行列式的值.6降阶法：利用行列式的性质,化某行列只有一个非零元素,再按该行列展开,通过降低行列式的阶数求出行列式的值.7加边法：行列式每行列所有元素的和相等,将各行列元素加到第一列行,再提出公因式,进而求出行列式的值.矩阵1. 常见矩阵1对角矩阵：主对角线以外的元素全为0的方阵,称为对角矩阵.记作Λ. 2单位矩阵：主对角线上的元素全为1的对角矩阵,称为单位矩阵.记作E.3上三角矩阵：对角线以下的元素全为0的方阵.如11121n 222n nn a a a a a a ⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭ 4下三角矩阵：对角线以上的元素全为0的方阵.如112122n1n2nn a a a a a a ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭5对称矩阵：设A 为ｎ阶方阵,若T A A =,即ij ji a a =,则称A 为对称矩阵. 6反对称矩阵：设A 为ｎ阶方阵,若T A A =-,即ij ji a a =- ,则称A 为反对称矩阵. 7正交矩阵：设A 为ｎ阶方阵,如果T AA E =或T A A E =,则称A 为正交矩阵. 2. 矩阵的加法、数乘、乘法运算 1矩阵的加法 如a b c a b c a a b b c c d e f d e f d d e e f f ''''''+++⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=⎪ ⎪⎪''''''+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭注：① 只有同型矩阵才能进行加减运算；② 矩阵相加减就是对应元素相加减. 2数乘矩阵 如a b c ka kb kc k d e f kd ke kf ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭注：数乘矩阵就是数乘矩阵中的每个元素.3矩阵的乘法：设ij m ij n s s A (a ),B (b )⨯⨯==,规定ij m n AB C (c ),⨯== 其中sij i11j i22j is sj ik kj k 1c a b a b a b a b ==+++=∑(i 1,2,,m,j 1,2,,n.)==注：①左矩阵A 的列数等于右矩阵B 的行数；②左矩阵A 的第i 行与右矩阵B 的第j 列对应元素乘积的和是矩阵乘积C 的元素ij c . ③左矩阵A 的行数为乘积C 的行数,右矩阵B 的列数为乘积C 的列数. 如行矩阵乘列矩阵是一阶方阵即一个数,即()112111121s 111112211s s1s1b ba a a ab a b a b b ⎛⎫ ⎪ ⎪=++⎪ ⎪⎝⎭列矩阵乘行矩阵是s 阶方阵,即()1111111112111s 2121112112211s 11121s s1s111s112s11s a a b a b a b a a b a b a b b b b a a b a b a b ⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭3. 逆矩阵设n 阶方阵A 、B,若AB=E 或BA=E,则A,B 都可逆,且11A B,B A --==.1二阶方阵求逆,设a b A c d ⎛⎫=⎪⎝⎭,则1*d b 11A A c a A ad bc --⎛⎫== ⎪--⎝⎭两调一除法. 2对角矩阵的逆11111221n n a a a a a a ----⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪⎪= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 111n 2121n1a a a a a a ----⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.3分块对角阵的逆11111221s s A A A A ;A A ----⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪⎪= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭111s 2121s1A A A A A A ----⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 4一般矩阵求逆,初等行变换的方法：()()ERT1A E EA -−−−→.4. 方阵的行列式由ｎ阶方阵A 的元素所构成的行列式各元素的位置不变叫做方阵A 的行列式.记作A 或detA. 5. 矩阵的初等变换下面三种变换称为矩阵的初等行列变换：1互换两行列；2数乘某行列；3某行列的倍数加到另一行列. 6. 初等矩阵单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵,称为初等矩阵.如001100100010,0k 0,010100001k 01⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭都是初等矩阵. 7. 矩阵的秩矩阵A 的非零子式的最高阶数,称为矩阵A 的秩.记作RA 或rA. 求矩阵的秩的方法：1定义法：找出A 中最高阶的非零子式, 它的阶数即为A 的秩.2初等行变换法：ERTA −−−→行阶梯形矩阵,RA=R 行阶梯形矩阵=非零行的行数. 8. 重要公式及结论 1矩阵运算的公式及结论()()12121212k k k k k k k k k k k k kk 10A B B A,(A B )C A (B C ),(A B )A B (AB )C A(BC ),(A B )C AC BC ,(AB )(A )B A(B )A A A ,(A )A ,(A )A ,E EAB A BA B ,EA AE A,A Eλλλλλλλλ+-+=+++=+++=+=+=+==⋅========()()()()()()T TTT T T T T T TTT nT n n A A,(A B )A B ,A A ,AB B A A A ,AB B A ,AA A A A EA A ,A A ,AB A B BA ,A A ,A B A Bλλλλ*******=+=+===========+≠+矩阵乘法不满足交换律,即一般地A B ≠AB;矩阵乘法不满足消去律,即一般地若AB=AC,无B=C ；只有当A 可逆时,有B=C.一般地若AB=O,则无A=O 或B=O.()222A B ?A 2AB B +++.2逆矩阵的公式及定理()()()()()()()()11111111n 11111k1k1T11T 1A A ,A A ,,A A 1A A,A A,A A ,A A AB B A1A A A AAA A ,Aλλ----------*-**--**-----===========A 可逆⇔|A |≠0⇔A ～E 即A 与单位矩阵E 等价 3矩阵秩的公式及结论()()()T m n R(O )0,R(A )min{m,n },R(A )R(A ),R(kA )R(A ),k 0A 0R(A )n ,R A B R A R B ⨯=≤==≠≠⇔=+≤+R AB ≤R A , R AB ≤R B .特别地,当A 可逆时,RAB=RB ；当B 可逆时,RAB=RA.()()ET A B A ~B R A R B −−→⇔⇒= 即等价矩阵的秩相等或初等变换不改变矩阵的秩.9. 矩阵方程1设 A 为n 阶可逆矩阵,B 为n ×m 矩阵,则矩阵方程AX=B 的解为1X A B -=；解法：① 求出1A -,再计算1A B -； ② ()()ERTAB E X −−−→ .2设 A 为n 阶可逆矩阵,B 为m ×n 矩阵,则矩阵方程XA=B 的解为1X BA -=；解法：① 求出1A -,再计算1BA -； ② ECT A E B X ⎛⎫⎛⎫−−−→⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 10. 矩阵间的关系1等价矩阵：如果矩阵A 经过有限次初等变换变成矩阵B,那么称矩阵A 与B 等价.即存在可逆矩阵P,Q,使得PAQ=B.性质：等价矩阵的秩相等.2相似矩阵：如果存在可逆矩阵P,使得1P AP B -=,那么称A 与B 相似. 性质：相似矩阵有相同的特征多项式,相同的特征值,相同的行列式,相同的迹. 3合同矩阵：如果存在可逆矩阵P,使得TP AP B =,那么称A 与B 合同. 性质：合同矩阵的秩相等.向量空间1. 线性组合1若α＝k β,则称向量α与β成比例． 2零向量Ｏ是任一向量组的线性组合．3向量组中每一向量都可由该向量组线性表示． 2. 线性相关与线性无关1 单独一个向量线性相关当且仅当它是零向量．2 单独一个向量线性无关当且仅当它是非零向量．3 两向量线性相关当且仅当两向量对应成比例.4 两向量线性无关当且仅当两向量不对应成比例.5 含有Ｏ向量的向量组一定线性相关．6 向量组12m ,,,ααα线性相关的充分必要条件是① 齐次线性方程组22m m 11k k 0k ααα+++=有非零解.② 以向量组为列作的矩阵()12m ,,,ααα的秩<向量的个数m.7n 个n 维向量12n ,,,ααα线性相关的充分必要条件是以向量组为列作的行列式的值()12n ,,,ααα=0.8 向量组12m ,,,ααα线性无关的充分必要条件是① 齐次线性方程组22m m 11k k 0k ααα+++=只有零解.② 以向量组为列作的矩阵()12m ,,,ααα的秩=向量的个数m.9 n 个n 维向量12n ,,,ααα线性无关的充分必要条件是以向量组为列作的行列式的值()12n ,,,ααα≠0.10当m>n 时,m 个n 维向量一定线性相关.定理1：向量组 a 1 , a 2 ,……, a m m ≥2线性相关的充分必要条件是向量组中至少有一个向量可由其余m-1个向量线性表示.向量组线性无关的充分必要条件是向量组中任何一个向量都不能由其余向量线性表示． 定理2：如果向量组A ：a 1 , a 2 ,……, a r 线性无关,而向量组 a 1 , a 2 ,……, a r ,α线性相关,则α可由A线性表示,且表示式唯一.定理3：设向量组2r 1A :,,,ααα,12r r 1m B :,,,,,,ααααα+若A 线性相关,则向量组B 也线性相关；反之,若向量组B 线性无关,则向量组A 也线性无关.即部分相关,则整体相关；整体无关,则部分无关. 定理4：无关组的截短组无关,相关组的接长组相关. 3. 极大无关组与向量组的秩定义1 如果在向量组 T 中有 r 个向量 a 1 , a 2 ,……, a r ,满足条件： ⑴ 向量组 a 1 , a 2 ,……, a r 线性无关, ⑵ T α∀∈,2r 1,,,,αααα线性相关.那么称向量 a 1 , a 2 ,……, a r 是向量组 T 的一个极大无关组.定义2 向量组的极大无关组中所含向量的个数,称为向量组的秩.定义3 矩阵的行向量组的秩称为矩阵的行秩；矩阵的列向量组的秩称为矩阵的列秩; 结论1 线性无关的向量组的极大无关组就是它本身;结论2 如果向量组的秩是r ,那么该向量组的任意 r 个线性无关的向量都是它的一个极大无关组; 定理1 设向量组A:a 1,a 2, …,a r ；及向量组B:b 1,b 2, …, b s ,如果组A 能由组B 线性表示,且组A 线性无关,则r ≦s.推论1 等价的向量组有相同的秩.定理2 矩阵的秩＝矩阵列向量组的秩＝矩阵行向量组的秩. 4. 向量空间定义1 设V 为n 维向量的集合,如果集合V 非空,且集合V 对于加法及乘数两种运算封闭,那么就称集合V 为向量空间.5. 基与向量在基下的坐标定义2 设V 是向量空间,如果向量组a 1 , a 2 ,……, a r ,满足条件： 1向量组 a 1 , a 2 ,……, a r 线性无关； 2T α∀∈,2r 1,,,,αααα线性相关.那么称向量组a 1 , a 2 ,……, a r 是向量空间V 的一个基, 基中所含向量的个数称为向量空间V 的维数,记作dimV ,并称V 为r 维向量空间．定义3 设向量组 a 1 , a 2 , … , a r 是向量空间V 的一个基,则V 中任一向量x 可唯一地表示为基的一个线性组合,即 1122r r x a a a λλλ=+++,称有序数组12r ,,,λλλ为向量x 在基 a 1 , a 2 , … , a r 下的坐标.线性方程组1. 线性方程组解的判定1 线性方程组Ax=b 有解的充分必要条件是它的系数矩阵A 和增广矩阵A,b 的秩相同,即RA=RA,b . 当RA=RA,b=r① 方程组AX=b 有惟一解的充分必要条件是r=n; ② 方程组AX=b 有无穷多解的充分必要条件是r < n. 2 方程组AX= b 无解的充分必要条件是R A ≠RA,b. 2. 齐次线性方程组有非零解的判定1 齐次方程组AX=0有非零解的充分必要条件是系数矩阵A 的秩 RA < 未知量的个数n .2 含有n 个方程,n 个未知量的齐次线性方程组AX=0有非零解的充分必要条件是方程组的系数行列式等于零.即|A |=03 齐次线性方程组AX=0中,若方程的个数m<未知量的个数n,则方程组有非零解 3. 齐次线性方程组解的性质（1） 若12,ξξ是Ax=0的解,则12ξξ+也是Ax=0的解； （2） 若ξ是Ax=0的解,则k ξ也是Ax=0的解.4. 齐次线性方程组的基础解系与通解 （1） 解空间齐次线性方程组Ax=0的全体解向量所组成的集合,是一个向量空间,称为方程组 Ax=0的解空间．记作V,即V={ x | Ax=0,x ∈R }. 2 基础解系齐次方程组AX=0的解空间 V 的一个基,称为齐次方程组AX=0 的一个基础解系. 基础解系中解向量的个数是n-rA.方程组AX=0的任意n-r 个线性无关的解都是AX=0的基础解系. 3齐次线性方程组的通解为1122n r n r k k k ξξξ--+++,其中12n r ,,,ξξξ-是Ax=0的一个基础解系.5. 非齐次线性方程组解的性质1若12,ηη是Ax=b 的解,则12ηη-是Ax=0的解； 即Ax=b 的任意两个解的差必是其导出组A x =0的解. 2若η是Ax=b 的解,ξ是Ax=0的解,则ηξ+是Ax=b 的解.即Ax=b 的任意一个解和其导出组 A x =0 的任意一个解之和仍是 Ax=b 的解. 6. 非齐次线性方程组的通解非齐次线性方程组AX=b 的通解为*1122n r n r k k k ξξξη--++++其中12n r ,,,ξξξ-为对应的齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系, *η为非齐次线性方程组AX=b 的任意一个解,称为特解.方阵的特征值1. 向量的内积设1122n n x y x y x ,y x y ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则x,y 的内积为[]1122n n x,y x y x y x y =+++.1向量x 的长度：2n x x ==++2非零向量的单位化：若向量 x ≠0 , 1x .x则是单位向量 3当[]x,y 0,x y =时称向量与正交.4若非零向量组中的向量两两正交,则称该向量组为正交组． 5若正交组中每个向量都是单位向量,则称它为标准正交组. 定理1 正交向量组必线性无关定理2 A 为正交矩阵的充分必要条件是 A 的列行向量都是单位向量且两两正交． 6施密特正交化过程设123,,ααα是一个线性无关的向量组,① 正交化：令11,βα=[][]1222111,a ,,ββββββ=-[][][][]132333121122,a ,a a ,,βββββββββ=--；② 单位化：取312123123e ,e ,e ββββββ===. 则123e ,e ,e 是与123,,ααα等价的标准正交组. 2. 特征值与特征向量1方阵A 的特征值λ是特征方程A E 0λ-=的根. 2三角矩阵和对角矩阵的全部特征值就是它的全部对角元．3方阵和它的转置方阵有相同的特征值. 4设12n ,,,λλλ是n 阶方阵A 的全部特征值,则()12n tr A λλλ=+++,12n A λλλ=⋅⋅.即方阵A 的对角线上元素之和等于A 的全部特征值之和,方阵A 的行列式等于A 的全部特征值的乘积. 5若λ是方阵A 的特征值,则()fλ是方阵()f A 的特征值. 特别地,当()f A 0=时,方阵A 的特征值是()f 0λ=的根.说明：m m 1m m 110f (x )a x a xa x a --=++++,m m 1m m 110f (A )a A a A a A a E --=++++.例如λ是方阵A 的特征值,则方阵()f A A 2E =+的特征值是()f2λλ=+.方阵()2f A A 3A 4E =--的特征值是()2f34λλλ=--.例如若2A 3A 4E 0--=,则方阵A 的特征值是2340λλ--=的根,即121,4λλ=-=.6设12P ,P 都是方阵A 的属于同一特征值0λ的特征向量,则()112212k P k P k ,k +不全为零也是0λ的特征向量.7属于不同特征值的特征向量线性无关.8属于不同特征值的线性无关的特征向量的并集仍线性无关. 3. 方阵的对角化1若方阵A 与对角矩阵Λ相似,则说A 可以对角化．即存在可逆矩阵P,使得1P AP Λ-=. Λ是以A 的n 个特征值为对角元素的对角矩阵. 2n 阶方阵A 可以对角化的充分必要条件是①A 有n 个线性无关的特征向量；②属于每一个特征值的线性无关的特征向量的个数与该特征值的重数相同． 3n 阶方阵A 可以对角化的充分条件是n 阶方阵A 的n 个特征值互不相等． 4若A 与B 相似,则()f A 与()f B 相似.4. 实对称矩阵的对角化1实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量彼此正交.2实对称矩阵一定可以对角化. 即存在正交矩阵P,使得1P AP Λ-=.Λ是以A 的n 个特征值为对角元素的对角矩阵.3利用正交矩阵将对称矩阵化为对角矩阵的步骤：1求特征值；2求特征向量；3将特征向量正交化,单位化；4最后将这些特征向量做成矩阵．二次型1. 二次型的标准化（1） 用正交变换化二次型为标准形的具体步骤:① 写出二次型T f x Ax =的对称矩阵A ；② 求A 的全部特征值12n ,,,λλλ；③ 求每个特征值的线性无关的特征向量12n ,,,ξξξ； ④ 将特征向量正交化,单位化,得12n ,,,ηηη；⑤ 将这些特征向量做成矩阵,记()12n C ,,,ηηη=,最后做正交变换x=Cy ,得到f 的标准形为 2221122n n f y y y λλλ=+++.其中12n ,,,λλλ是T f x Ax =的矩阵A 的特征值.（2） 用配方法化二次型为标准形的具体步骤:① 若二次型含有i x 的平方项,则先把含有i x 的项集中,然后配方,再对其余的变量同样进行,直到都配成平方项为止,经过可逆的线性变换,就得到标准形;② 若二次型中不含有平方项,则先作可逆线性变换,令i i j j i j kk x y y x y y x y =-⎧⎪=+⎨⎪=⎩,k=1,2,…,n,i≠j化二次型为含有平方项的二次型,然后再按1中方法配方.2. 规范二次型设二次型T f x Ax =的标准形为222211p p p 1p 1r r f d y d y d y d y ++=++---,i d 0>,r 是f 的秩令11p p p 1p 1r r y z y z y z y z ++⎧=⎪⎪⎪⎪⎪=⎪⎪⎨⎪=⎪⎪⎪⎪⎪=⎪⎩,得22221p p 1r f z z z z +=++---,称为二次型T f x Ax =的规范形.注：规范形是唯一的.其中正平方项的个数p 称为Tf x Ax =正惯性指数,负平方项的个数r-p 称为T f x Ax =负惯性指数,它们的差p-r-p=2p-r 称为T f x Ax =符号差.3. 正定二次型二次型T f x Ax =正定⇔矩阵A 正定⇔A 的特征值全为正⇔A 的各阶顺序主子式都为正. 二次型T f x Ax =负定⇔矩阵A 负定⇔A 的奇数阶顺序主子式为负,偶数阶顺序主子式为正.。
第二节 行列式的性质
a j1 kai 1 kai 2 kain a n1 an 2 ann
a11 a12 ai 1 ai 2 a1n
a11 a12 a1n a jn a in a nn ain 第i行 a j 1 a j 2 a jn 第j行 a i 1 a i 2
a j1 a j 2 an1 an 2
a11 ai 1 a j1 a n1 a12 ai 2 a1n a11 a12 ai 2 an 2
23 - 10
a1n ain kain a jn ann
ain×k ai 1 kai 1 a j 1 a n1
Chapter 1
第二节 行列式的性质
一
行列式的性质
性质 1 将行列式的行与列互换，行列式的 值不变。即
a11 a12 a1n D a21 a22 a2 n an1 an 2 ann a11 a21 an1 a12 a22 an 2 a1n a2 n ann D
若k 0，则行列式中有一行全为0，此时行列式的值为0。 证明 左边按第i 行展开 左边 kai 1 Ai 1 kai 2 Ai 2 kain Ain
k (ai 1 Ai 1 ai 2 Ai 2 ain Ain )
右边
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48
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23 - 3
Thursday, March 07, 2019
性质2 行列式中的某一行（列）若有公因 子，则可将公因子提到行列式外，即
行列式的性质
k
a11 a12 a13 a14 a21 a22 a23 a24 a31 a32 a33 a34 a11 a12 a13 a14
k 0 0
性质4 若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和, 例如：
a11 a12 b12 a13 D a21 a22 b22 a23 a31 a32 b32 a33 a11 a12 a13 a11 b12 a13 D a21 a22 a23 a21 b22 a23 a31 a32 a33 a31 b32 a33
性质4 若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和,则 行列式可按该行（列）拆成两个行列式的和。 性质5 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一个倍数 然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变．
计算行列式
a b c d a ab abc abcd D . a 2a b 3a 2b c 4a 3b 2c d a 3a b 6a 3b c 10a 6b 3c d a1 a2 0 1 xa a D a a
注：以数 k 乘第 j 行（列）加到第 i 行（列）上，记作
ri krj (ci kc j ).
验证
我们以三阶行列式为例. 记
a11 a12 a13 D a21 a22 a23 , a31 a32 a33
则 D D1 .
a11 D1 a21 a31
a12 ka13 a22 ka23 a32 ka33
性质1
行列式与它的转置行列式相等,即 D D .
T
行列式中行与列具有同等的地位,行列式的性质凡是对行 成立的对列也同样成立.
性质2
交换行列式的两行（列）,行列式变号.
注：交换第 i 行（列）和第j 行（列），记作 ri rj (ci c j ) .
2 函数行列式的性质、函数相关
y i f i ( x1 , x 2 , , x n )( i 1, 2 , , m ),
( )
函数独立和函数相关的条件.假设这个函数组在区域 D 内
具有对一切变元的连续偏导数.
定理1 若 m n ,函数组
( )
的雅可比矩阵中有一个 m
阶行列式在
D
内不为零.例如不妨假设
不越出区域
y1 , y 2 , , y n
D
.于是就可以通过中间变量
t1 , t 2 , , t n
j
x1 , x 2 , , x n
把
看为
的复合函数.
yi
这时,
y i 关于 t
的雅可比行列式与
关于 x j 以及 x i
关于 t j 的雅可比行列式之间有着下面的关系
D ( y1 , y 2 , , y n ) D ( t1 , t 2 , , t n ) D ( y 1 , y 2 , , y n ) D ( x1 , x 2 , , x n ) . D ( x1 , x 2 , , x n ) D ( t1 , t 2 , , t n )
例5
设有两个函数
x1 x 2 , y1 0,
3 2 2 3
当
当
x1 0 , x1 0 , x2 0, x2 0.
x1 x 2 当 y2 , 0, 当
容易验证,它们的雅可比行列式在第一象限内无零点,雅 可比矩阵在第二和第四象限内的秩为1,在第三象限内 的秩为零,所以只有在第一象限内它们是函数独立的.
xm 0 ym xm
在M 0 点成立,则在点 M 0的某个邻域内成立:
行列式的性质
2 1 10
1 1 0 2
1 1 0 2
0 D
1
1 2
1 1
2 0
(1) (3) 2 (1) (4)
0
0
1 1
1 1
2 2
2 1 10
0 3 1 4
1 1 0 2
1 1 0 2
(2) (3) 0 3 (2) (4)
0
1 0
1 -2
2 4
1(3) (4)
a11 a12 a1n
bi1 bi2 bin ci1 ci2 cin
an1 an2 ann
an1 an2 ann
性质4 两行对调，行列式改变符号.
性质6 ： 推论 两行（列）对应元素相同，行列式为0.
推论 若两行（列）对应元素成比例，则此行列式
计算行列式时可多次利用行列式的性质把它化为 上三角形或下三角形，从而算得行列式的值．
例2
计算
3111 1311 1131 1113
例3
1nn n2n nn3
nn nn nn
nnn
n 1 n
nnn n n n
补充练习
0 1 1 2
【例2】计算 D 1 1 0 2
1 2 1 0
【解】
an1 an2 an3 ann
an1 an2 an3 ann
性质2 若一行的元素全为0，则行列式值为0．
性质3 分行相加性，即
a11
a12
a1n
bi1 ci1 bi2 ci2 bin cin
an1
an2
行列式的性质及求解方法
行列式的性质及求解方法行列式是线性代数中的一个重要概念，具有广泛的应用领域，例如矩阵求逆、线性方程组的解法、空间向量的叉积等。
在本文中，我们将探讨行列式的性质及其求解方法。
一、行列式的定义及性质1.1 行列式的定义对于一个$n$阶方阵$A=[a_{ij}]$，定义它的行列式为：$$\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\\\end{vmatrix}=\sum_{\sigma \in S_n}(-1)^{\mathrm{sgn}(\sigma)}a_{1\sigma(1)}a_{2\sigma(2)}\cdotsa_{n\sigma(n)}$$其中，$\sigma$是$n$个元素的全排列，$S_n$表示$n$个元素的置换群，$\mathrm{sgn}(\sigma)$表示$\sigma$的符号，即$(-1)^k$，其中$k$为$\sigma$的逆序数。
1.2 行列式的性质- 行列式的值不变性行列式的值只与矩阵的元素有关，而与矩阵的行列变换或线性组合无关。
- 互换矩阵的两行或两列，行列式变号将矩阵的两行（列）互换，则该行列式的值取相反数。
- 矩阵的某一行（列）乘以一个数$k$，行列式的值乘以$k$将矩阵的某一行（列）乘以一个数$k$，则该行列式的值乘以$k$。
- 矩阵的某一行（列）加上另一行（列）的k倍，行列式不变将矩阵的某一行（列）加上另一行（列）的k倍，行列式的值不变。
- 方阵的行列式等于其转置矩阵的行列式$$\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\\\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}a_{11} & a_{21} & \cdots & a_{n1} \\a_{12} & a_{22} & \cdots & a_{n2} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{1n} & a_{2n} & \cdots & a_{nn}\\\end{vmatrix}$$二、行列式的求解方法2.1 按定义计算法按照上述定义，计算行列式涉及到全排列的遍历与逆序数的计算，这种方法虽然理论上可行，但计算量较大，不适用于较大的矩阵。
行列式的性质
记
a11 a12 a1n
a11 a21 an1
D
a21
a22
a2n
DT
a12
a22
an2
an1 an2 ann
a1n a2n ann
行列式 DT 称为行列式 D 的转置行列式.
性质1 行列式与它的转置行列式相等.
证明
记 D det aij 的转置行列式
b11 b12 b1n
q11
0
设为 D2
q11 qnn .
qn1 pnk
对 D 的前 k 行作运算 ri krj，再对后 n 列作运 算 ci kc j ,把 D 化为下三角形行列式
p11
0
D
pk1 c11
pkk c1k
q11
,
cn1 cnk qn1 qnn
故 D p11 pkk q11 qnn D1 D2 .
DT
b21 b22 b2n
,
bn1 bn2 bnn
即 bij a ji i, j 1, 2, , n ,按定义
DT
1 tb1 p1b2 p2 bnpn
1 t a p11a p2 2 a pnn .
又因为行列式D可表示为
D
1
a a t p1 1 p2 2
a pnn
故 D DT .
证毕
说明 行列式中行与列具有同等的地位,因此行列 式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.
性质2 互换行列式的两行（列）,行列式变号.
证明
设行列式
b11 b12 b1n
D1
b21 b22 b2n
,
bn1 bn2 bnn
是由行列式 D det aij 变换 i, j 两行得到的,
1.4 行列式的性质
a 1n
则
D b1 a n1
bn c1 ann a n1
一、行列式的性质
注： 性质5可以推广到某一行（列）的元素为几组 数的和的情形. 性质6 把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一
个倍数然后加到另一行（列）对应的元素上去，行
列式的值不变．
注：以数 k 乘第 j 行（列）加到第 i 行（列）上，记作
例5 设 D
ak1 c 11 c n1
a b 11 a 1 k 11 b 1 n D a ,D b , 1 det( ij) 2 det( ij) a b k 1 a kk n 1 b nn
D D . 证明 D 1 2
二、行列式性质的应用
1 1 3 1
1 1 1 3
二、行列式性质的应用
r2 ( 1 ) r1 r3 ( 1 ) r1 r4 ( 1 ) r1
1 0 6 0 0
1 2 0 0
1 0 2 0
1 0 6 8 48. 0 2
二、行列式性质的应用
例4 计算行列式
a b c d a ab abc abcd D . a 2a b 3a 2b c 4a 3b 2c d a 3a b 6a 3b c 10a 6b 3c d
D 4 1
r1 r2
6 1
0 2
0 1
4 1 1
二、行列式性质的应用
6 0 0 4 1 1 1 2 1
c3 c2
6
0
0
4 1 0 18. 1 2 3
1
（方法二）
2 D 1 4 1 1 200+1 100+2 100+1
1.2 行列式的性质
1 1 2 3 0 2 1 5 0 0 1 1
1 3 2
0 0 0 1 0 4 0 0 0 4 6 1 1 2 3 1 0 2 1 5 3 r5 4r4 0 0 1 1 2 2 1 6 12. 0 0 0 1 0 0 0 0 0 6
两行相同，行列式的值为0
a11 a12 ... a1n ... ... ... ... ... ... ... ... ai1 ai 2 ... ain ai1 ai 2 ... ain an1 an 2 ... ann a11 a12 ... a1n ... ... ... ... ... ... ... ... ai1 ai 2 ... ain ai1 ai 2 ... ain an1 an 2 ... ann
D D,
D 0.
6
引例
例如：
a1 a2 kb1 kb2
k (a1b2 a2b1 ) k
a1 a2 b1 b2
n阶行列式也有此性质
性质3 行列式一行的共因数可以提出去，即
a11 ... ... a n1 a12 ... a1n ... ... ... ... ... ...
即bij a ji 按定义
D 1 b1 p1 b2 p2 L bnpn 1 a p1 1a p2 2 L a pnn .
T
又因为行列式D可表示为
D 1 a p1 1a p2 2 L a pnn .
故
D DT .
3
说明 行列式中行与列具有同等的地位,因此行列 式的性质凡是对行成立的对列也同样成立. 引例 例如
a11 b12 a21 b22
b11 b12 b21 b22
行列式性质及计算
⾏列式性质及计算⾏列式的性质：1.规定⾏列式每⼀项的名称：第⼀⾏第⼀个为a11,第⼀⾏第⼆个为a12，第三个为a13....第⼆⾏第⼀个为a21,第三⾏第⼀个为a31....⾏列式的转置，就是将每⼀项下标的⾏和列交换。
或者说⾏列式每⼀⾏转为列，列转为⾏⾏列式和它的转置⾏列式，值相等；2.互换⾏列式任意两⾏/列，值会变号；3. ⾏列式某⼀⾏/列都乘⼀个系数k，最后的值会乘k；4. ⾏列式中有某两⾏/列成⽐例，那么⾏列式的值为0；5. ⾏列式的某⼀⾏/列，每⼀项都拆成两项。
那么⾏列式可以被拆成两个⾏列式之和，各⾃取⼀项，其他⾏/列不变。
6. 某⾏/列乘k倍加到另⼀⾏/列，⾏列式值不变。
这个性质有⼀个常见⽤法，对于⼀个⾼于三阶的⾏列式，直接计算⽐较⿇烦，⽤第⼀⾏取消除其他⾏的第⼀个值，⽤第⼆⾏去消除以下⾏的第⼆个值。
形成⼀个上三⾓⾏列式。
上三⾓⾏列式的值等于对⾓线乘积，计算便捷。
⼀类较为特殊的⾏列式：列等和⾏列式| a+x a a a|| a a+x a a|| a a a+x a|| a a a a+x|对于这种⾏列式，它每⼀⾏/列相加后，值相等。
将其他⾏/列全部加到第⼀⾏/列上，提取出来，第⼀⾏/列就全成了1，重新做成上三⾓⾏列式即可。
继续延申，|2 0 0....0 0 2||-1 2 0....0 0 2||0 -1 2....0 0 2||...... .||0 0 0....-1 2 2||0 0 0....0 -1 2|对于这种⾏列式，第⼀⾏乘1/2，加到第⼆⾏；再将第⼆⾏乘1/2，加到第三⾏。
每⼀⾏前⾯都可消除到上三⾓，最后⼀⾏则会变成2+1+....+ 1/2^(n-2) =2^n+1 -2-------------------余⼦式：n阶⾏列式中，a ij 所在的第i⾏和第j列去掉，剩下的就是a ij 的余⼦式。
|1 2 3 4||5 6 7 8||9 10 11 12||13 14 15 16|⽤第⼀⾏展开，这个⾏列式的值就是1*|6 7 8|-2*|5 7 8|+3*|5 6 8|- 4*|5 6 7| |10 11 12| |9 11 12| |9 10 12| |9 10 11| |13 14 15| |13 15 16| |13 14 16| |13 14 15|代数余⼦式：(-1)i+j称为a ij 的代数余⼦式，A ij展开法则：⾏列式等于某⾏/列元素与其对应余⼦式乘积的和。
第二节 行列式的性质
交换行列式的第i，j两行，记为 交换行列式的第i，j两列，记为
ri ↔ rj
ci ↔ c j
根据性质2，如果被交换的两行相同，则行列式 不改变，而交换两行又要改变符号，于是有D=-D， 有D=0。 推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式等 于零。 性质3 行列式的某一行（列）中所有元素都乘以同 一数k，等于用k乘此行列式。
ri × k
推论
(ci × k )
行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提 到行列式记号外面。 行列式的第i行（列）提出公因子k，记为
ri ÷ k ( c i ÷ k )
性质4 行列式中如果有两行（列）元素成比例，则 此行列式等于零。 将行列式的两行的比例系数提出来，则此两行 相等，故行列式等于零。
要求：i≠j。
an1 L ani L anj a11 L a1i + ka1 j
ci + kc j
L ann L a1 j L a1n M M M M L ann
=
M
பைடு நூலகம்
M
M
an1 L ani + kanj L anj
以数k乘以第j列加到第i列上去，记为 ci + kc j , i ≠ j 以数k乘以第j行加到第i行上去，记为 ri + kr j , i ≠ j
t ( p1 ... pi ... p n )
a p11 ...( a pi i + b pi i )...a pn n
= ∑ ( − 1) t ( p1 ... pi ... p n ) [ a p1 1 ...a pi i ...a p n n + a p11 ...b pi i ...a p n n ]
行列式的性质
5a33
a11 a12 a13
6a11 2a12 10a13
例2 设 a21 a22 a23 1，求 3a21 a22
5a23
a31 a32 a33
3a31
a32
5a33
解
6a11 2a12 10a13
3a11 a12 5a13
3a21
a22
5a23 2 3a21 a22 5a23
后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变。
a11 a12 a1n
a11
a12
a1n
as1
as2
asn ×K
as1
kat1
as2 kat2
asn katn
at1 at 2 atn
at1
at 2
atn
an1 an2 ann
an1
an2
ann
21
性质5在行列式的计算中最常用,它是行列式计算
2 1 10
解
1 1 0 2
1 1 0 2
D r1 r2 0
1 1 2
r3 r1
0
1
1
2
1 2 1 0 r4 2r1 0 1 1 2
2 1 10
0 3 1 4
1 1 0 2
r3 r2
0
1
1
2
r4 3r2 0 0 2 4
0 0 2 2
1
r4 r3
0
0
0
1 0 1 1 0 2 00
的重要工具。 利用行列式的性质结合三角行列式的结果，可以
获得行列式的第一种基本计算方法--三角行列式法. 为了清楚地反映行列式的变化过程，特规定以下记号：
ri rj k ri
行列式的性质与计算
1b bb
a (n 1)b
ab
ab 0
0 ab
a (n 1)b(a b)n1.
a0 1 1
1
1 a1 0
0
例 求行列式的值 D 1 0 a2
0
100
an
解
D
c1
(
1 a1
)c2
(
1 an
)cn1
a0
1 a1
0
0
0
1 an
1 a1 0
0
1 0 a2
0
1 0 0
an
(a0
3
2 2
0 0 0 1 0 0 0 2 2 2
1 1 2 3 1
0 2 1 5 3 r5 2r3 0 0 1 1 2
0 0 0 1 0 4
0 0 0 4 6
1 1 2 3 1
0 2 1 5 3
r5 4r4 0 0 1 1 2 2 1 6 12.
0 0 0 1 0
0 0 0 0 6
ni j1
x1n1 x2n1 xnn1
证 用数学归纳法
1 D2 x1
1
x2
x2 x1
( xi x j ),
2i j1
当 n 2 时（1）式成立．
假设（1）对于 n 1 阶范德蒙德行列式成立，
11
1
x1 x2
xn
Dn x12
x22
xn2
x x n1
n1
1
2
x n1 n
rn ( x1 )rn1 1 rn1 ( x1 )rn2 0
1 16 81 256 625
解 D5 是 5 阶范德蒙行列式
D5
(xi xj )
行列式及其性质
行列式及其性质行列式是线性代数中的重要概念，它是一个正方形矩阵所具有的一个标量值。
在实际应用中，行列式有着广泛的用途，可以用来求解线性方程组、判断矩阵的可逆性以及描述线性变换的性质等。
本文将从定义、性质和应用等方面进行论述，以帮助读者更好地理解行列式及其相关概念。
一、行列式的定义行列式的定义涉及到矩阵元素的排列和正负号的组合。
对于一个n阶方阵A = [a_ij]，其中a_ij表示矩阵A的第i行第j列的元素，则A的行列式记作|A|或det(A)，即：|A| = a_11 * a_22 * ... * a_nn - a_11 * a_23 * ... * a_n(n-1) + a_12 *a_23 * ... * a_n(n-1) - ... + (-1)^(n-1) * a_1n * a_2(n-1) * ... * a_nn二、行列式的性质1. 行列式的性质1：行列式与转置若A是一个n阶方阵，则有det(A) = det(A^T)，即行列式与其转置矩阵的行列式相等。
2. 行列式的性质2：行列式的倍数若将矩阵A的某一行（列）的元素都乘以同一个数k，得到矩阵B，则有det(B) = k * det(A)。
3. 行列式的性质3：交换行（列）若交换矩阵A的两行（列），得到矩阵B，则有det(B) = -det(A)。
4. 行列式的性质4：行列式的线性性质对于矩阵A的两行（列），如果将其中一行（列）的元素乘以一个数k后，加到另一行（列）对应位置上，则行列式的值不变。
5. 行列式的性质5：行列式的性质与矩阵的性质之间的关系如果矩阵A中存在一行（列）全为0，则行列式det(A) = 0；如果矩阵A的某一行（列）成比例，则行列式det(A) = 0。
三、行列式的应用1. 行列式在线性方程组求解中的应用行列式可以用来判断线性方程组的解的唯一性以及是否有解。
对于一个n阶齐次线性方程组，如果其系数矩阵的行列式不为零，则该方程组只有零解；如果行列式为零，则该方程组有非零解。
行列式的性质及其运用
1111
解： D 1
3
1
1 r1 r2 r3 r4
1
3
1
11 6
3
1
r2 r1
1 6 0 r3 r1
2
0
0
1131
1131
1 1 3 1 r4 r1 0 0 2 0
1113
1 1 1 3 1113
0002
6 23 48 ．
1.2 行列式性质的运用
例题
ab
c
d
例 5 计算行列式 D a a b a b c
0 0 a 2a b
0 0 3a 7a 3b
00 0
a
1.2 行列式性质的运用
例题
方法二：
ab
c
a ab abc D
a 2a b 3a 2b c
d abcd 4a 3b 2c d
ab c
d
0 a r4 r3
r3 r2
ab
abc
r2 r1 0 a 2a b 3a 2b c
a 3a b 6a 3b c 10a 6b 3c d
a11 a12
a1n
a11
a12
a1n
ai1 ai2 D
a j1 a j2
ain
ai1 ka j1 ai2 ka j2
ri krj
a jn
a j1
aj2
ain ka jn a jn
an1 an2
ann
an1
an2
ann
1.1 行列式的性质
性质
性质 2、性质 3 和性质 5 常用来计算行列式，它们的标记如下． ① 互换 i,j 两行（列）： ri rj (ci c j ) ． ② 第 i 行（列）乘以某非零常数 k： kri (kci ) ． ③ 将第 j 行（列）的 k 倍加到第 i 行（列）上： ri krj (ci kcj ) ．
第2讲 行列式性质
… ………
… ………
an1 an2 … ann
an1 an2 … ann
性质4 如果行列式有两行(列)的对应元素成
比例，则此行列式的值为零
15 6
例1 D= 2 3 8 =0
4 6 16
例2 设
a11 a12 a13
6a11 2a12 10a13
a21 a22 a23 =1，求 3a21 a22 5a23 。
123
例2 计算行列式的值 D= ○3 1 2 ○2 ○3 1
化成上三角式
解
123
123
D= 0 5 7 =- 0 1 5 =-
123
0 1 5
=18
0 1 5
0 5 7
0 0 18
r2 3r1 r3 2r1
r2 r3
120 1 例3 计算行列式的值 D= 1 3 5 0
r2 r1 r4 r1
a31 a32 a33
3a31 a32 5a33
解：
6a11 2a12 10a13 3a21 a22 5a23 3a31 a32 5a33
3a11 a12 5a13 2 3a21 a22 5a23
3a31 a32 5a33
a11 a12 a13 2(3)5 a21 a22 a23
a31 a32 a33
第二讲 行列式的性质
一 行列式的性质（6条） 二 一些特殊的行列式
行列式的转置：
第1行变为第1列， 第2行变为第2列,
… 第n行变为第n列
将行列式D的同号数的行换为同号数的列得到
的行列式称为D的转置行列式，记为DT或D
a11 a12 … a1n
D=
a21 …
a22 …
矩阵加法的行列式
矩阵加法的行列式
1，一般来说，两个行列式不能直接相加，应该计算出对应的数值后再相加。
2，对于两个除了某行或某列以外其余元素都完全相同的行列式。
3如若存有3阶行列式 |a|=|a1，b，c| |b|=|a2，b，c|，其中a1，a2，b，c为三维列于向量，则|a|+|b|=|(a1+a2)，b，c|。
1、解法：只有当两个行列式，只相差一行（或一列）元素不同时，才可以直接相加（相同的行（或列）不变，不相同的行（列），元素分别相加）；
2、行列式的性质：
（1）性质1：行列式与他的转置行列式相等；
（2）性质2：交换行列式的两行（列于），行列式变号；
（3）性质3：行列式中某行的公共因子k，可以将k提到行列式外面来。
开拓资料
1，行列式在数学中，是由解线性方程组产生的一种算式。
2，行列式的特性可以被归纳为一个多次交错线性形式，这个本质使行列式在欧几里德空间中可以沦为叙述“体积”的函数；其定义域为nxn的矩阵a，值域为一个标量，文学创作det(a)或 | a | 。
3，行列式可以看做是有向面积或体积的概念在一般的欧几里得空间中的推广。
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第三节 行列式的性质
一般利用行列式的定义计算高阶行列式比较繁琐，下面我们将推导出行列式的一些性质，为行列式的计算做准备.
设
11
121212221
2
n n n n nn
a a a a a a D a a a =
， 11
2111222212n n T
n
n
nn
a a a a a a D a a a =
称行列式T D 为D 的转置行列式．T D 可以看成是D 的元素沿着主对角线旋转180 所得，亦可看成是将D 的所有行（列）按序写成所有列（行）所得（即所谓行列互换）．
性质1. 1 行列式的值与其转置行列式的值相等，即
11121212221
2
n n n n nn
a a a a a a a a a
112111222212n n n
n
nn
a a a a a a a a a =
.
证明 将等式两端的行列式分别记作D 和T D ，对行列式的阶数用数学归纳法. 当2n =时，可以直接计算出T D D =成立，假设结论对小于n 阶的行列式都成立，下面考虑n 阶的情况. 根据定义
1111121211n n D a A a A a A =+++ ，
1111212111T T T T
n n D a A a A a A =+++ .
根据归纳假设1111T
A A =，于是
()
1232212
133********
131n n T
n
n
nn
a a a a a a D a A a a a a +=+-+
()
122242213
132343331
1241n n n
n n nn a a a a a a a a a a a a a +-++
()
12
221211323131
1211n n
n n n
n
n n
a a a a a a a a a a -+---
.
由归纳假设，可以把上面1n -个1n -阶行列式都按第1列展开，并将含12a 的项合并在一起，其值恰好等于1212a A ，事实上
()
()33
3
23
433
12
13
2112
3112
32411n n n
nn n
n
nn
a a a a a a a a a a a a a a ++-+-++
()
23
131112
311n n
n n
n n
a a a a a a -+--
()
2131112
3332343
3231312
3242100000000010
0n n n n n
nn
n
n nn
n
n n
a a a a a a a a a a a a a a a a a a +--⎧
⎫
⎪⎪⎪⎪=-+
++
⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎩
⎭
()
21
31112
2333312
231n n n
n
nn
a a a a a a a a a a +=-
.
()
()
12
12
12121212121211T
a M a M a A ++=-=-=，
其中余子式12T
M 是12M 的行、列互换后的行列式，他们都是1n -阶行列式，根据归纳假设
12T
M 12M =.
类似地，把含13a 的项合并后其值等于1313,a A ，把含1n a 的项合并后其值等于11n n a A ，因此T D D =.
由该性质，行列式中关于行所具有的性质，关于列也同样具有．因而，下面关于行列式的性质将仅对行叙述．
性质1.2 对行列式(1.3)中的任一行按下式展开，其值相等，即等于行列式的值.
11
121212221
2
n n n n nn
a a a a a a D a a a =
1122i i i i in in a A a A a A =+++ ， （1,2,,i n = ） (1.4)
其中(1)i j
ij ij A M +=-，ij M 为D 中划掉第i 行和第j 列的全部元素后，
按原顺序排成的1n -阶行列式
111111111111111111
11
11
1
1
j j n i i j i j i n ij i i j i j i n n nj nj nn
a a a a a a a a M a a a a a a a a -+----+-++-+++-+=
，
并称ij M 为元素ij a 的余子式，ij A 为元素ij a 的代数余子式. 证明 对行列式的阶数用数学归纳法.
当2n =时，可以直接计算出结论成立.
假设结论对小于n 阶的行列式都成立，下面考虑n 阶的情况. 根据定义
1111121211n n D a A a A a A =+++
()
22
2322123212
323333133311
12
2
3
1
31n n n n n n nn
n n nn
a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a +=+-+
()
21
2224213
313234313
1
2
4
1n n n n n nn a a a a a a a a a a a a a +-++
()
21
2221131323111
2
1
1n n
n n
n n nn a a a a a a a a a a -+---
.
根据归纳假设1j A 可以按照第1i -行展开，于是由归纳假设，把上面n 个1n -阶行列
式都按第1i -行展开，并将含1i a 的项合并在一起，其值恰好等于11i i a A ，事实上（不妨取
2i =）
()
()
33
332
34312
13
122113213
2
4
11n
n
n nn
n n nn
a a a a a a a a a a a a a a ++-+-++
()
32
3111212
1
1n n
n n nn a a a a a a -+--
()
1213112
3333234
33231213
2
42
1
00000000010
0n n n n n nn
n n nn
n nn a a a a a a a a a a a a a a a a a a +--⎧
⎫
⎪⎪⎪⎪=-+++
⎨
⎬⎪⎪⎪⎪⎩
⎭
()
12
13112
3233321
2
3
1n n n n nn
a a a a a a a a a a +=-
.
()
21
212121211a M a A +=-==，
类似地，把含22a 的项合并后其值等于2222,a A ，把含2n a 的项合并后其值等于
22n n a A ,
因此，1111121211n n D a A a A a A =+++ 2121222222n n a A a A a A =+++ .
性质1. 5 行列式两行相同值为零，即
111211
212ln 1
2
0(1)
n k k kn l l n n nn
a a a a a a D k l n a a a a a a ==≤<≤
(1.7)
其中ki li a a =（1,2,,i n = ）．
证明 利用数学归纳法，对于二阶行列式，（1. 7）式显然成立.
假设（1. 7）式对于1n -阶行列式成立，即如果1n -阶行列式两行相同，则值为零. 在n 阶的情况下，对行列式D 按第j 行展开（,j k l ≠），
11
121212221
2
n n n n nn
a a a a a a D a a a =
1122j j j j jn jn a A a A a A =+++ .
由于(1)
i j
ji ji
A M +=- (1,2,i n = )，且ji
M
为1n -阶行列式且两行相同，因此0ji A =.
所以，0D =．。