合肥工业大学-线性代数-1
合肥工业大学计算机专硕考研科目
合肥工业大学计算机专硕考研科目
合肥工业大学是国家重点大学，计算机科学与技术专业的招生实力也是最强的。
因此，本校的计算机专硕考研科目也是排名前列的，下面就来详细介绍一下合肥工业大学计算机专硕考研科目：
一、基础科目
1、数学：高等数学，概率统计，线性代数，复变函数，运筹学，数值分析，数据结构，语言学概论等。
2、英语：英语语法，英语阅读，英语写作，英语听说，英美文学，英语专业词汇等。
3、专业基础：计算机组成原理，操作系统，计算机网络，计算机软件，计算机算法等。
二、专业选修
1、网络技术：网络技术及应用，网络管理，网络安全，网络通信，网络编程等。
2、软件开发：面向对象程序设计，软件工程，程序设计，计算机绘图，数据库开发等。
3、计算机应用：分布式计算，网站开发，数据挖掘，人工智能，嵌入式开发，虚拟实验等。
以上就是合肥工业大学计算机专硕考研科目的大致情况，由此可见报考本校计算机专业的考生需要掌握的科目也不少，有一定的技术背景也是十分重要的。
除此之外，要做好考研准备，考生还需要提前做好专业复习计划，以及积极参加考研辅导班，尤其是翻译题掌握好
正确的英汉词汇，才能在考研过程中取得很好的成绩。
安徽工业大学线性代数1-2
a1 a2 a3 a4 a5
a1 a2 a3 a4 5 ∑ ai i =1
5 i
∴ 方程组有解的充要条件 是
解 对增广矩阵B进行初等变换 对增广矩阵 进行初等变换
1 − 2 3 − 1 1 r2 − 2r1 1 − 2 3 − 1 1 r −r B = 3 − 1 5 − 3 2 3 1 0 5 − 4 0 − 1 2 1 2 − 2 3 r3 − r2 0 0 − 4 0 1 2 5 0
= a1 = a2 = a3 = a4 = a5
有解的充要条件
是 a1 + a 2 + a 3 + a 4 + a5 = 0.在有解的情况下， 在有解的情况下，
解 对增广矩阵 进行初等变换， 对增广矩阵B进行初等变换， 进行初等变换 方程组的增广矩阵为
0 0 1 −1 0 1 −1 0 0 0 0 1 −1 0 B= 0 0 0 1 −1 0 −1 0 0 0 1
c1,r +1 ⋯ c 2,r +1 ⋯ ⋮ c r ,r +1 ⋯ 0 ⋯ 0 ⋯ ⋮ 0 ⋯
c1 n c2 n ⋮ c rn 0 0 ⋮ 0
d1 d2 ⋮ dr d r +1 0 ⋮ 0
(3)
则以矩阵（ ）为增广矩阵的方程组与原方程组同解。 则以矩阵（3）为增广矩阵的方程组与原方程组同解。
= a1 = a2 = a3 = a4
( x5为任意实数 ).
例4 设有线性方程组
合工大2005-2006第一学期《线性代数》试卷参考答案
2005-2006学年第一学期《线性代数》试卷参考答案一、填空题（每小题3分，共计15分）1. 已知220340005A ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭=，那么1A -=32210100015⋅⎛⎫⎪- ⎪⎪⎝⎭- ； 2. 设A 是4阶方阵，()2R A =，*A 是A 的伴随矩阵，则*()R A = 0 ；3. 若齐次线性方程组123123123000x x x x x x x x x λλλ⎧⎪⎨⎪⎩++=++=++= (1)λ≠有非零解，则λ= －2 ；4. 设矩阵1104102A a ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭-=-与200010001B ⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭=相似，则a = 3 ； 5. 在多项式1210423()2332112x x f x x x-=中，4x 的系数是 －6 .二、选择题（每小题3分，共计15分）1. 设M 是n 阶方阵，若0M =，则矩阵M 中（ C ）.()A 必有一行元素全为0 ()B 必有两行元素对应成比例()C 必有一行向量是其余行向量的线性组合()D 任一行向量是其余行向量的线性组合2. 设,A B 都是n 阶方阵，则下列结论正确的是（ C ）.()A 若A 与B 相似，则A 与B 有相同的特征值和特征向量 ()B 若A 与B 相似，则A 与B 都相似于同一个对角阵()C 若A 与B 相似，则A 与B 等价()D 若A 与B 等价，则A 与B 相似3. 设123,,ξξξ是齐次线性方程组A =0x 的基础解系，则（ D ）也是A =0x 的基础解系。
()A 与123,, ξξξ等价的一个向量组 ()B 与123,,ξξξ等秩的一个向量组 ()C 122331,,--- ξξξξξξ ()D 122331,,+++ξξξξξξ4. 设3阶方阵A 有3个线性无关的特征向量，3λ=是A 的二重特征值， 则(3)R A E -=（ A ）.()A 1 ()B 2 ()C 3 ()D 无法确定5. 设二次型222123122331(,,)()()()f x x x x x x x x x =++-++，则下列结论正确的是( B ).()A f 是正定的 ()B f 的秩是2 ()C f 的秩是3 ()D f 的特征值是1,1,1三、（10分）计算n 阶行列式0000000000n a b a b D a b ba=.解 按第一列展开，得1110000000000000(1)00000000n n n n a b b a b ab D a b a b b aab+--=+-阶阶1111(1)(1)n n nnn n a a ab bb --++=⨯+=+-⨯- .四、（10分）求下列向量组的一个最大线性无关组1234(1,1,1),(0,2,5),(2,4,7),(1,1,3)TTTT====-αααα并指出4 α能否被123,,ααα线性表示.解 因为()1234102110211021124102220222157305540001---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭αααα， 所以124,,ααα或134,, ααα是向量组1234,,,αααα的最大线性无关组。
合肥工业大学2001年硕士研究生初试专业课笔试试题答案
合肥工业大学2001年硕士研究生初试专业课笔试试题答案一、选择题 1. B【解析】：见刘健第三版课本P6下方:基尔霍夫定律是分析集总参数电路的重要定律。
2. D【解析】：由2222111122//100/100100Ω, ?/25W P U R R U P P U R =→=====故 3. B【解析】:见刘健第三版课本P10 ：上方:若一个二端元件在任一时刻，其上电荷q 与两端电压u 之间的关系可由q u -平面上的一条不随时间变化，且通过零点的直线来确定，则此二端元件称为线性时不变电容元件，简称电容C 。
4. B【解析】：见刘健第三版课本P13式（1-21）： ()()21i t i t w Lidi =⎰，可见选B 。
5. C【解析】由理想变压器的原副边的电流比例关系有：121I I n =（异名端，故无负号），这里12n =，故2110.5A 2I I ==。
二、填空题 1. -1A【解析】：10/101A I =-=- 2. 不变【解析】：开关K 闭合时，由于电源为直流电源，电路为稳态电路，此时电容视为开路，则接入的LC 部分断开，对原电路不产生任何影响。
因此功率表的读数不变。
3. 1.414A【解析】：令10A,?290A,390A,R C l I I I ∠∠∠===-则故：102903901A I j ∠∠∠=++-=- 1.414A ==。
4. 10【解析】：这题考察的是冲激响应的第一种求法（刘健第三版课本P86下方），冲激电源作用于电路的瞬间，电容视为短路，电感视为开路，故()03()C C 010(0)10t u u dt C δ-+-=-+=⎰5. 524Ω15S⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 【解析】：这是互易对称二端口，故有1A D AD BC =-=，，只需求A 和C （或B 和D ）即可。
令20,I =，画出等效电路，如下图所示，()()24111113240.5R R I I I R R R R +==+++，同理1210.5I I =，对于回路①：24121111U R I R I I =-=，则12C /1S l U ==。
合工大考研数学复习计划表
合工大考研数学复习计划表
1. 线性代数复习计划
- 复习矩阵运算规则和基本性质
- 温习行列式的定义和计算方法
- 复习向量空间的概念和性质
- 复习线性方程组的解法和特殊解的求解方法
- 复习特征值和特征向量的计算方法
- 复习矩阵的相似变换和对角化
2. 概率统计复习计划
- 复习概率基本概念和计算方法
- 温习随机变量与概率分布的关系
- 复习常见离散型和连续型概率分布的定义和特征 - 复习随机变量的期望、方差和协方差的计算
- 复习样本与总体的关系和参数估计方法
- 复习假设检验的基本原理和方法
3. 数学分析复习计划
- 复习函数极限的定义和判断方法
- 温习函数连续性和间断点的分类与判定
- 复习导数与微分的关系和计算方法
- 复习不定积分和定积分的计算方法
- 复习函数的导数与函数的性质的关系
- 复习级数的定义和判敛方法
4. 微分方程复习计划
- 复习常微分方程的基本概念和解法
- 温习一阶和二阶线性常系数齐次和非齐次方程的解法 - 复习常系数高阶齐次线性微分方程的解法
- 复习欧拉方程和常系数高阶常微分方程的解法
- 复习变量分离、恰当方程和常系数线性方程组的解法 - 复习常微分方程初值问题的数值解法。
线性代数讲义(基础版)
1 2 3 1
2 0 2 1 a2
4 2 0 2 a3 a3 a3 − x a3 a4 a4 a4 a4 − x
a1 − x
例2 求 D=
a2 − x a2 a2
a0 1
例3 求 Dn +1 = 1
1 a1
1 a2
1 (ai ≠ 0) an
1
a1 + x a2 a3 a4 0 0 x −x 例 3 求 D4 = 0 −x x 0 0 0 −x x a1
n
6
线性代数基础班 09
合肥工业大学考研辅导中心（共创考研）
7
例1． 设
⎛1 0 1⎞ ⎜ ⎟ A = ⎜0 1 0⎟ ⎜0 0 1⎟ ⎝ ⎠
， 求A
n
例2． 设
⎛3 1 0⎞ ⎜ ⎟ A = ⎜0 3 0⎟ ， ⎜0 0 2⎟ ⎝ ⎠
求 A
n
例3． 设
α = (1 2 3)T β = αT β
，
线性代数基础班 09
合肥工业大学考研辅导中心（共创考研）
1
第四篇：线性代数
第一章 行列式
考试要求 1．了解行列式的概念，掌握行列式的性质。 2． 会应用行列式的性质和行列式按行（列）展开定理计算行列式。
一、内容提要
1．行列式的定义
n 2 个数 ai j (i, j = 1,2,
a11 a 21 a n1 a12 a 22 an2
练习 求 Dn =
b1 a2
b2 an −1 bn −1
bn
an
1
练习
−1 −1 x −1 −1
1 x +1 1 1
x −1 −1 −1 −1
3
1 1 x +1
安徽工业大学线性代数习题-范爱华
安徽工业大学线性代数习题范爱华 第一章 行列式1．计算下列行列式:(1)1loglog 1baab(2)587400365(2)598413111(3)3142664332104321.2.(1)已知3333231232221131211=a a a a a a a a a ，则行列式.____________________________222331332123111231322122111232221=+++---a a a a a a a a a a a a a a a（2）设4阶行列式.____________,,4444433333222221111144443333222211114444333322221111=++++==e d a b c e d a b c e d a b c e d a b c n c e b a c e b a c e b a c e b a m d c b a d c b a d c b a d c b a3.计算下列各行列式:(1)abbbb a b bb b a b b b b a(2)1111111111111111--+---+---x x x x 。
4．计算行列式0001002000010n n -。
5.利用行列式性质证明:（1）333222111333332222211111c b a c b a c b a b c y b x a a b c y b x a a b c y b x a a -=++++++(2)3332221113333332222221111112c b a c b a c b a a c c b b a a c c b b a a c c b b a =+++++++++(3);0)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(2222222222222222=++++++++++++d d d dc c c cb b b b a a a a6.计算下列各行列式(n D 为n 阶行列式):(1)1111021412112405-(2)311131001311013--------a a a a(3)aa D n 11=,其中对角线上元素都是a ,未写出的元素都是0;(4)x aax a aa x D n=(5)nn a a a D +++=11111111121,其中.021≠n a a a7.用克莱姆法则解方程组:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++-=----=+-+=+++.01123,2532,242,54321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x8．设齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+-+=-+=+324)2(2432142142141kxxxxxxxkxxxxkx有非零解,问k应满足什么条件？9.齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=+λ+=++λ,0,0321321321xxxxxxxxx只有零解,则λ应满足什么条件？10.问μλ,取何值时,齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++0μ2,0μ,0λ321321321x x x x x x x x x 有非零解?第二章 矩阵及其运算1．设,2613,2412⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=B A 求.A ,BA -AB 22B B A +-，2.计算下列乘积:(1)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-43110412⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---204131210131(2)()⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛321333231232221131211321,,xxxaaaaaaaaaxxx(3)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛33212113131211121.3.设A=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛321212113,B=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1112111,求AB-BA,TTT BAAB,)(.4．求n⎥⎦⎤⎢⎣⎡1115．设A=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛λλλ11,求A k6．判断下列命题或等式是否正确:(1) 若A 2=O,则A=O; ( ) (2) 若A 2=A,则A=O 或A=I; ( ) (3) 若A 2=I,则A=I 或A=-I; ( ) (4) 若AX=AY,且A ≠O 则X=Y; ( )(5) ))((2233B AB A B A B A ++-=-; ( )(6) 设A 为对称矩阵，则对任意正整数m ，mA 也是对称矩阵。
合肥工业大学线性代数前四章课堂测验题
线性代数前四章课堂测验题以下各题写于答题卷并应有解答过程.（共30分作为平时成绩参考） 考试时间：5月16日（周四）晚7:30-9:301. （本题5分）求行列式22223333b c d a c d a b d a b c ab c da b c d a b c d ++++++++的值. 【解】将第二行加到第一行得()22222222333333331111b c d a c d a b d a b c a b c d a bc d a b c d a b c d a b c d a b c d a b c d ++++++++=+++ ()()()()()()()a b c d b a c a d a c b d b d c =+++------.2. （本题3分）设4阶矩阵234234(,,,),(,,,)A B αγγγβγγγ==---,其中234,,,,αβγγγ均为4维列向量,且2,1,A B ==求行列式.A B - 方法：先矩阵运算，再做行列式运算【解】()234234234(,,,)(,,,),2,2,2A B αγγγβγγγαβγγγ-=----=-，()33234234234234,2,2,22,,,2,,,,,,A B αβγγγαβγγγαγγγβγγγ-=-=-=+-()3224A B =+=。
3. （本题10分）设矩阵1121,0102B C -⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且()1,T TA E CBC B --=其中E 为2阶单位矩阵，T C 表示C 的转置， 求矩阵A .方法：先做抽象矩阵的运算，具体计算放最后一步【解】()()[]()111TTT T TA E CBC B A C E C B B A C B B A B C B ---⎡⎤⎡⎤-=⇒-=⇒-=⇒=-⎣⎦⎣⎦111101110310121012121----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 注意：有同学由[]()1110112101TTA CB B AC B B ---⎛⎫⎛⎫⎡⎤-=⇒=-== ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭10112101-⎛⎫⎛⎫⎪⎪-⎝⎭⎝⎭1123-⎛⎫= ⎪-⎝⎭，则错误很严重！ 4. （本题4分）已知,A B 均是3阶矩阵，将A 中第2行加至第1行得到矩阵1A ，将B 中第2列与第1列互换得到矩阵1B ，又知11100010001A B -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，求AB .【解】由题意121211,r r c c A A B B +↔−−−→−−−→，故11110010010,100001001A A B B ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，11111111110010110010110010010100010100010100001001001001001001A B AB AB A B ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=⇒==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭110010110110010100100100001001001001---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪=-=-=- ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.5. （本题12分）设矩阵111111111111kk A k k ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，k 为何值时()3R A =？并在此种情况下求方程组0Ax =的一个基础解系. 【解】方法一：()()21111111111110101111111010100111111110011000311111110111k k k k k k k k k k A k k k k k k k k k kk k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=→→→⎪ ⎪ ⎪ ⎪---- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪-+----⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭3k =-时()3R A =；此时111310010101010100110011000000A --⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪--⎪ ⎪→→⎪ ⎪-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，0Ax =的同解方程组为1424340,0,0.x x x x x x -=⎧⎪-=⎨⎪-=⎩通解为11,11k k R ⎛⎫ ⎪ ⎪∈ ⎪⎪⎝⎭.方法二：()()311111131111111k k A k k k k==+-，()303R A A k =⇒=⇒=-（1k =舍去，此时()1R A =），3k =-时，3111111310011311010101011131001100111113000000A ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪=→→⎪ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭0Ax =的同解方程组为1424340,0,0.x x x x x x -=⎧⎪-=⎨⎪-=⎩通解为11,11k k R ⎛⎫⎪⎪∈ ⎪⎪⎝⎭.【思考】()1,1k R A ==时，0Ax =的同解方程组为12340x x x x +++=，得通解为123123111100,,,010001k k k k k k ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭任意。
合工大2005 2006第一学期《线性代数》试卷参考答案
2005-2006学年第一学期《线性代数》试卷参考答案一、填空题（每小题3分，共计15分）1. 已知220340005A ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭=，那么1A -=32210100015⋅⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭- ； 2. 设A 是4阶方阵，()2R A =，*A 是A 的伴随矩阵，则*()R A = 0 ；3. 若齐次线性方程组123123123000x x x x x x x x x λλλ⎧⎪⎨⎪⎩++=++=++= (1)λ≠有非零解，则λ= －2 ；4. 设矩阵11040102A a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭-=-与200010001B ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭=相似，则a = 3 ；5. 在多项式1210423()2332112xx f x x x-=中，4x 的系数是 －6 .二、选择题（每小题3分，共计15分）1. 设M 是n 阶方阵，若0M =，则矩阵M 中（ C ）.()A 必有一行元素全为0 ()B 必有两行元素对应成比例()C 必有一行向量是其余行向量的线性组合()D 任一行向量是其余行向量的线性组合2. 设,A B 都是n 阶方阵，则下列结论正确的是（ C ）.()A 若A 与B 相似，则A 与B 有相同的特征值和特征向量 ()B 若A 与B 相似，则A 与B 都相似于同一个对角阵()C 若A 与B 相似，则A 与B 等价()D 若A 与B 等价，则A 与B 相似3. 设123,,ξξξ是齐次线性方程组A =0x 的基础解系，则（ D ）也是A =0x 的基础解系。
()A 与123,,ξξξ等价的一个向量组 ()B 与123,,ξξξ等秩的一个向量组 ()C 122331,,---ξξξξξξ ()D 122331,,+++ξξξξξξ4. 设3阶方阵A 有3个线性无关的特征向量，3λ=是A 的二重特征值， 则(3)R A E -=（ A ）.()A 1 ()B 2 ()C 3 ()D 无法确定5. 设二次型222123122331(,,)()()()f x x x x x x x x x =++-++，则下列结论正确的是( B ).()A f 是正定的 ()B f 的秩是2 ()C f 的秩是3 ()D f 的特征值是1,1,1三、（10分）计算n 阶行列式00000000000n a b a b D a b b a=.解 按第一列展开，得1110000000000000(1)00000000000000n n n n a b b a ba b D aba b b a a b +--=+-阶阶1111(1)(1)n n n n n n a a a b b b --++=⨯+=+-⨯- .四、（10分）求下列向量组的一个最大线性无关组1234(1,1,1),(0,2,5),(2,4,7),(1,1,3)T T T T ====-αααα并指出4α能否被123,,ααα线性表示.解 因为()1234102110211021124102220222157305540001---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭αααα， 所以124,,ααα或134,,ααα是向量组1234,,,αααα的最大线性无关组。
合工大-线性代数习题册参考解答
第一章 行列式1、求下列排列的逆序数，并确定它们的奇偶性。
（1）1347265；（2）321)1( -n n 。
【解】（1）62130000)1347265(=++++++=τ，偶排列； （2）2)1()1(210]321)1([-=-++++=-n n n n n τ。
当14,4+=k k n 时，2),14(22)1(-=-k k k n n 当34,24++=k k n 时，4)(12(2)1(+=-k n n 排列。
■2、用行列式定义计算x x x x x f 111231112)(=中4x 和3x 的系数，并说明理由。
2；（4，4）的元素乘积项，而10=+，611061203110225161103110612022516011301160212152323112241324--=---=--=↔↔++-r r c c r r r r r r D930003003110225123242-=--=--r r r r 。
■ 4、求84443633224211124=D 。
【解】性质（三角化法）+行和相等的行列式：211112111121111224844436332242111243212432434r r r r r r r D +++÷÷÷===12010100010111112014,3,2==-=r r k k 。
■mnn11))((-=--∑n ni i m m x 。
■6、求nn a a a D 01001011110211=+，其中021≠n a a a 。
【解】箭形行列式（爪形行列式）：利用对角线上元素将第一行（或列）中元素1化为零。
为此，第一列减去第k 列的ka 1（n k ,,3,2 =）可得： n n i inni in a a a a a a a a D2112111)1(0000000001111∑∑==+-=-=。
■ 7、求7111141111311112=D 。
二阶非对称实矩阵合同的充要条件
㊀[收稿日期]２０１７Ｇ０７Ｇ２５;㊀[修改日期]２０１７Ｇ０９Ｇ１３㊀[基金项目]合肥工业大学«线性代数»平台课程优化建设项目(K C WT １６１０)㊀[作者简介]周江涛(１９７８－),男,讲师,从事运筹决策方向研究．E m a i l :c a r l z h o u ２７＠a l i y u n ．c o m ㊀[通讯作者]孙胜先(１９６３－),男,副教授,从事矩阵理论研究．E m a i l :１１６５５４１０＠q q．c o m 第３３卷第５期大㊀学㊀数㊀学V o l ．３３,ɴ．５２０１７年１０月C O L L E G E MA T H E MA T I C SO c t ．２０１７二阶非对称实矩阵合同的充要条件周江涛,㊀孙胜先(合肥工业大学数学学院,合肥２３０００９)㊀㊀[摘㊀要]给出了二阶非对称实矩阵合同判定的充要条件．举例说明此方法简单,实用．[关键词]非对称实矩阵;合同;对角化[中图分类号]O １７２㊀㊀[文献标识码]C ㊀㊀[文章编号]１６７２Ｇ１４５４(２０１７)０５Ｇ００５２Ｇ０４１㊀引㊀㊀言由于非实对称矩阵合同的判定非常复杂,关于非实对称矩阵合同的判定方面的研究较少．最近文[１]仅在A s ,B s 为正定的前提下,给出了判别两非实对称阵A ,B 合同的一个充分条件,从文[１]例中可看出,即使是二阶非对称实矩阵,用文[１]的方法判定起来也是相当的麻烦．本文在A ,B 为二阶非对称实矩阵的情况下,给出了A ,B 合同的一个充要条件,此方法简洁明了．为便于读者了解本文内容,本文中的记号同文[１]．A ＝A ＋A T ２＋A －A T ２,㊀A s ＝A ＋A T ２,㊀A ω＝A －A T ２,A s 为A 的对称部分,A ω为A 的反对称部分,并用记号A ≃B 表示A 与B 合同,|A |表示A 的行列式．２㊀主要定理及证明引理１㊀若A ≃B ,则A s ≃B s ,A ω≃B ω．证㊀A ＝A s ＋A ω,B ＝B s ＋B ω,若有P T A P ＝B ,则P T A s P －B s ＝B ω－P T A ωP ,等式的左边为对称而右边为反对称,从而有P T A s P ＝B s ,P T A ωP ＝B ω．此引理为A ,B 合同的必要而非充分条件．引理２㊀P 为二阶实矩阵,A ＝０a －a ０éëêêùûúú,a 为正实数,则有P T A P ＝A ,|P |＝１,－A ,|P |＝－１．{证㊀设P ＝x １x ２x ３x ４éëêêùûúú,x i 为实数i ＝１,２,３,４(),则P T A P ＝０a |P |－a |P |０éëêêùûúú＝A ,|P |＝１,－A ,|P |＝－１．{引理３[２]㊀若A ,B 为n 阶实对称阵,则A ,B 合同的充要条件为A ,B 有相同的正负惯性指数,即相同的正负特征值个数．引理４[２]㊀若A 为n 阶实对称阵,则有正交阵P 满足P T A P ＝Λ,㊀Λ＝λ１λ２⋱λn éëêêêêêùûúúúúú,其中λi 为A 的特征值．定理１㊀设矩阵A ＝λ１a －a λ２éëêêùûúú,B ＝λ３b －b λ４éëêêùûúú,a ,b 为正实数,则A ,B 合同的充要条件为A s 合同于B s 且b ２λ１λ２＝a ２λ３λ４．证㊀先证必要性．A ,B 合同的充要条件为存在可逆阵P ,满足P T A P ＝B ,设P ＝x １x ２x ３x ４éëêêùûúú,则得A ,B 合同的充要条件为方程组λ１x ２１＋λ２x ２３＝λ３,λ１x １x ２＋λ２x ３x ４＝０,λ１x ２２＋λ２x ２４＝λ４,a (x １x ４－x ２x ３)＝b ．ìîíïïïïï有解,由此得λ３λ４＝(λ１x ２１＋λ２x ２３)(λ１x ２２＋λ２x ２４)＝(λ１x １x ２＋λ２x ３x ４)２＋λ１λ２(x １x ４－x ２x ３)２＝b ２a２λ１λ２,即b ２λ１λ２＝a ２λ３λ４．又由引理１知A s 必合同于B s ,从而必要性得证．下证充分性．由于A s 合同于B s 即λ１００λ２éëêêùûúú合同于λ３００λ４éëêêùûúú可分以下几种情况证明．(i )λ１λ３＞０,λ２λ４＞０,取C ＝λ３λ１００λ４λ２éëêêêêêùûúúúúú,则有C TA C ＝B ．(i i )λ１λ４＞０,λ２λ３＞０,取C ＝０λ４λ１－λ３λ２０éëêêêêêùûúúúúú,则有C TA C ＝B ．(i i i )λ１＝λ４＝０,λ２λ３＞０,取C ＝０－b a λ２λ３λ３λ２０éëêêêêêùûúúúúú,则有C TA C ＝B ．(i v )λ１＝λ３＝０,λ２ λ４＞０,取C ＝b a λ２λ４００λ４λ２éëêêêêêùûúúúúú,则有C TA C ＝B ．(v )λ１＝λ２＝λ３＝λ４＝０,取C ＝b a００b a éëêêêêêùûúúúúú,则有C TA C ＝B ．３５第５期㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀周江涛,等:二阶非对称实矩阵合同的充要条件显然(i )~(v )中C 均为可逆阵,从而充分性得证．定理２㊀若A ,B 为二阶非对称实矩阵,设A ω＝０a －a ０éëêêùûúú,㊀B ω＝０b －b ０éëêêùûúú,则A ,B 合同的充要条件为A s ≃B s 且b ２A s ＝a ２B s ．证㊀因为０a －a ０éëêêùûúú~r １↔r ２－a ００a éëêêùûúú~c １↔c ２０－a a ０éëêêùûúú,即０a －a ０éëêêùûúú正交合同于０－a a ０éëêêùûúú,故不妨设a ＞０,b ＞０,又由于A s ,B s 均为实对称阵,由引理２,引理４知存在正交阵P ,Q 满足P T A P ＝λ１００λ２éëêêùûúú＋０a －a ０éëêêùûúú＝λ１a －a λ２éëêêùûúú,Q TB Q ＝λ３００λ４éëêêùûúú＋０b －b ０éëêêùûúú＝λ３b －b λ４éëêêùûúú,其中λ１,λ２,λ３,λ４分别为A s ,B s 的特征值．由定理１知存在可逆阵C ,使得C T (P T A P )C ＝Q T B Q ,由此得(Q C T P T )A (P C Q T)＝B ．令D ＝P C Q T,则有D T A D ＝B ．而D 显然可逆,所以A 合同于B ．下面以文[１]中的两个例子来说明本文判别法的实用性．例１㊀判断矩阵A ＝１４０１éëêêùûúú与B ＝１６０１éëêêùûúú是否合同．因为A s ＝１２２１éëêêùûúú,㊀A ω＝０２－２０éëêêùûúú,㊀B s ＝１３３１éëêêùûúú,㊀A ω＝０３－３０éëêêùûúú,A s ＝－３,B s ＝－８,a ＝２,b ＝３,b ２A s ＝－２７,a ２B s ＝－３２,b ２A s ʂa ２B s ,所以A 与B 不合同．此例也说明了即使A s ≃B s ,A ω≃B ω,但A ,B 却不一定合同．例２㊀判断矩阵A ＝１８２２２éëêêùûúú与B ＝１０２＋２２－２２éëêêùûúú是否合同．解㊀A s ＝１８２２２éëêêùûúú,㊀A ω＝０２－２０éëêêùûúú,㊀a ＝２,㊀㊀B s ＝１０２２２éëêêùûúú,㊀B ω＝０２－２０éëêêùûúú,㊀b ＝２．显然A s ,B s 正定,所以A s ,B s 合同．而b ２A s ＝a ２B s ＝６４,所以A ,B 合同．３㊀结㊀㊀论由以上例子可看出,本文关于两矩阵合同的判别方法,简单实用．但在二阶矩阵前提下才成立的引理２是本文结论的关键．对于三阶及三阶以上的矩阵,很难建立类似的结论,在一些特定的条件下,可以建立判别两矩阵合同的充分条件．文[１]就是在矩阵A s ,B s 均正定的前提下,给出了A ,B 合同的充分条件．４５大㊀学㊀数㊀学㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀第３３卷[参㊀考㊀文㊀献][１]㊀李成博,等．非对称实矩阵合同的条件[J ]．大学数学,２０１５,３１(４):７９－８２．[２]㊀姚慕生,吴泉水,谢启鸿．高等代数学[M ]．３版．上海:复旦大学出版社,２０１４:３６２－４２９．[３]㊀天津大学数学系代数教研组．线性代数及其应用[M ]．北京:科学出版社,２０１０:２５３－２５４．AN e c e s s a r y a n dS u f f i c i e n tC o n d i t i o n s o n t h eC o n gr u e n c e o f N o n Ｇs ym m e t r i cR e a lM a t r i c e s Z H O UJ i a n g Ｇt a o ,㊀S U NS h e n gＧx i a n (S c h o o l o fM a t h e m a t i c s ,H e F e iU n i v e r s i t y o fT e c h n o l o g y,H e f e i ２３０００９,C h i n a )A b s t r a c t :W i t h i n t h ek n o w l e d g e o f l i n e a r a l g e b r a c o u r s e s ,N e c e s s a r y a n dS u f f i c i e n tC o n d i t i o n s o n t h eC o n gr u e n c e o f N o n Ｇs y m m e t r i cR e a lM a t r i c e s a r e g i v e n ．S o m e e x a m p l e s s h o wt h a t t h e s i m p l e a n d p r a c t i c a lm e t h o d i s e a s yt ob em a s t e r e d b y e n g i n e e r i n g st u d e n t s ．K e y wo r d s :n o n Ｇs y m m e t r i c r e a lm a t r i c e s ;c o n g r u e n c e ;d i a g o n a l i z a t i o n ５５第５期㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀周江涛,等:二阶非对称实矩阵合同的充要条件。
殷明老师 09 年考研真题线性代数的评注
β = 2 ，其中 α T 为 α 的转置，则 βα T 的非 0 特征值为 _____ T T T 解： βα β = β (α β ) = 2β ， βα 的非 0 特征值为 2.
若 3 维向量 α , β 满足 α
T
点评：看看我们的题太神奇了，考题几乎和我们的题完全一样。原题如下： 合工大考研班：09 强化班讲义 P.121－例 6 . 设向量 α = ( a1 且满足条件 a2 " an ) ，β = ( b1 b2 " bn ) 都是非 0 向量，
⎛ 1 −1 ⎜ 设 A = −1 1 ⎜ ⎜ 0 −4 ⎝ （1） 求所有满足 Aξ 2
−1 ⎞ ⎛ −1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎟ 1 ⎟ ， ξ1 = ⎜ 1 ⎟ ， ⎜ −2 ⎟ −2 ⎟ ⎠ ⎝ ⎠ 2 = ξ1 , A ξ3 = ξ1 的所有向量 ξ 2 , ξ3 ； (2) 对（1）中任一向量 ξ 2 , ξ3 ，证明： ξ1 , ξ 2 , ξ3 线性无关。
−1 2
1 4 1 6
⎞ ⎟ −1 4⎟ 1 ⎟ 6 ⎠
1 2
解：
⎛1 0 1⎞ ⎜ ⎟ 1 (α1 + α 2 , α 2 + α 3 , α 3 + α1 ) = (α1 , 1 2 0 ⎟ ，所以选 (A) 2 α 2 , 3 α3 ) ⎜ 2 ⎜ 0 3 3⎟ ⎝ ⎠
点评：本题考的是概念题，尽管这类题考的可能性较小，但我们在课堂上强调只要把我们讲 义上概念（见强化班讲义 P.112.）掌握好即可， 合工大考研班：09 强化班讲义 P.112－例 13 .设 α1 = (1, 0,1) , α 2 = (1,1, −1) , α 3 = (1, −1,1) 及
2 2 设二次型 f ( x1 , x2 , x3 ) = ax12 + ax2 + ( a − 1) x3 + 2 x1 x3 − 2 x2 x3
14-15第二学期合肥工业大学线性代数A卷
（2） Ax = β 的通解； 唯一，求： （1） a 的值； （3）正交阵 Q ，使 Q AQ 为对角阵． 八、 （本题满分 6 分）设 A ， B 均为 n 阶方阵，且 B 0 ， A E 逆矩阵． 2、请命题教师用黑色水笔工整地书写题目或用 A4 纸横式打印贴在试卷版芯中。
1
五、 （ 本 题 满 分 10 分 ） 已 知 向 量 组 1 1, 0, 2,3 ， 2 1,1,3, a ， 3 1, 1,1,1 ，
T T T
（
T
） ．
4 1, 2, 6, 7 线性相关，求：
T
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
（2）它的一个极大线性无关组，并把其余向量用此极大线性无关组线性表示． （1）常数 a ； 对应于 1 1 的 六、 （本题满分 12 分） 设 3 阶实对称矩阵 A 的特征值为 1 1 ， 2 3 1 ， 特征向量为 ξ1 0,1,1
T
2.设 A 为 4 5 矩阵， R A 2 ．若 1 , 2 , 一个基础解系是（ ） ．
） ．
课程代码 1400071B 课程名称 线性代数 考试日期 2015 年 6 月 29 日 08:00-10:00
学分 2.5 命题教师 集体
2 0 0 (A) 0 0 0 0 0 0
1. 设 3 阶矩阵 A = α , 2γ1 , 3γ 2 ， B = β , γ1 , γ 2 ，其中 α ， β ， γ1 ， γ 2 均为 3 维列向量， 已知 A 12 ， B 1 ，则 A B _____． 2. 设 4 元非齐次线性方程组 Ax
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第一章行列式主要内容§1逆序数与对换§2 行列式的定义§3 行列式的性质§4 行列式按行（列）展开§5 克拉默法则二阶与三阶行列式一、二元线性方程组与二阶行列式二元线性方程组11112212112222a x a xb a x a x b +=⎧⎨+=⎩由消元法，得211211221122211)(a b b a x a a a a −=−212221*********)(b a a b x a a a a −=−当时，该方程组有唯一解021122211≠−a a a a 211222112122211a a a a b a a b x −−=211222112112112a a a a a b b a x −−=求解公式为11112212112222a x a xb a x a x b +=⎧⎨+=⎩122122111221221112121211221221b a a b x a a a a a b b a x a a a a −⎧=⎪−⎪⎨−⎪=⎪−⎩请观察，此公式有何特点？①分母相同，由方程组的四个系数确定.②分子、分母都是四个数分成两对相乘再相减而得.11112212112222a x a xb a x a x b +=⎧⎨+=⎩122122111221221112121211221221b a a b x a a a a a b b a x a a a a −⎧=⎪−⎪⎨−⎪=⎪−⎩1112112212212122a a D a a a a a a ==−11122122a a a a 记为11122122a a a a 数表表达式称为由该数表所确定的二阶行列式，即11221221a a a a −其中，称为元素.(1,2;1,2)ij a i j ==i 为行标，表明元素位于第i 行；j 为列标，表明元素位于第j 列.原则：横行竖列二阶行列式的计算11122122a a a a 11221221a a a a =−主对角线副对角线即：主对角线上两元素之积－副对角线上两元素之积——对角线法则11112212112222a x a xb a x a x b +=⎧⎨+=⎩若令11122122a a D a a =1211222b b a D a =1221121b a D a b =(方程组的系数行列式)则上述二元线性方程组的解可表示为1122122*********D D b a a b x a a a a =−=−1121212211221221a b b a D x a a a a D−==−例1求解二元线性方程组⎩⎨⎧=+=−1212232121x x x x解因为1223−=D 07)4(3≠=−−=14)2(12112121=−−=−=D 21243121232−=−==D 所以11142,7D x D===222137D x D−===−求解二元线性方程组⎩⎨⎧=+=−1212232121x x x x 例1二、三阶行列式定义设有9个数排成3行3列的数表引进记号称为三阶行列式.111213212223313233a a a a a a a a a =112233122331132132132231122133112332a a a a a a a a a a a a a a a a a a ++−−−111213212223313233a a a a a a a a a三阶行列式的计算——对角线法则111213212223313233a a a D a a a a a a =132132a a a +112233a a a =122331a a a +132231a a a −122133a a a −112332a a a −实线上的三个元素的乘积冠正号，虚线上的三个元素的乘积冠负号.注意：对角线法则只适用于二阶与三阶行列式.12-4-221-34-2D =例2计算行列式解按对角线法则，有=D 4)2()4()3(12)2(21×−×−+−××+−××)3(2)4()2()2(2411−××−−−×−×−××−24843264−−−+−−=.14−=例2计算行列式12-4-221-34-2D =2111230.49x x=例3求解方程方程左端解由得2111230.49x x=例3求解方程1229184322−−−++=x x x x D ,652+−=x x 2560x x −+=3.2==x x 或全排列及其逆序数用1、2、3三个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？引例解1 2 3123百位十位1231个位123种放法.共有6123=××3种放法2种放法1种放法问题把n 个不同的元素排成一列，共有多少种不同的排法？定义把n 个不同的元素排成一列，叫做这n 个元素的全排列. n 个不同元素的所有排列的种数，通常用P n 表示.(1)(2)321!n P n n n n =⋅−⋅−⋅⋅=L 即n 个不同的元素一共有n !种不同的排法.对于n 个不同的元素，可规定各元素之间的标准次序. n 个不同的自然数，规定从小到大为标准次序.定义当某两个元素的先后次序与标准次序不同时，就称这两个元素组成一个逆序.例如在排列32514中，3 2 5 1 4逆序逆序逆序答：2和1，3和1也构成逆序.思考题：还能找到其它逆序吗？定义排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数.排列的逆序数通常记为.12ni i i L 12()n i i i τL 奇排列：逆序数为奇数的排列.偶排列：逆序数为偶数的排列.思考题: 符合标准次序的排列是奇排列还是偶排列？答：符合标准次序的排列（例如：123）的逆序数等于零，因而是偶排列.计算排列的逆序数的方法则此排列的逆序数为12nt t t τ=+++L 设是1, 2, …, n 这n 个自然数的任一排列，并规定由小到大为标准次序.先看有多少个比大的数排在前面，记为；再看有多少个比大的数排在前面，记为;……最后看有多少个比大的数排在前面，记为;12n p p p L 1p 1p 1t 2p 2p 2t n p n p n t例求排列32514 的逆序数.解(32514)010315τ=++++=9τ=求排列453162 的逆序数.例求排列135…(2n-1)(2n)(2n-2)…2 的逆序数.例n 阶行列式的定义一、概念的引入111213212223313233a a a D a a a a a a ==112233122331132132132231122133112332a a a a a a a a a a a a a a a a a a ++−−−规律：1.三阶行列式共有6项，即3!项．2.每一项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积．3.每一项可以写成（正负号除外），其中是1、2、3的某个排列.4.当是偶排列时，对应的项取正号；当是奇排列时，对应的项取负号.123123p p p a a a 123p p p 123p p p 123p p p所以，三阶行列式可以写成123123123()123(1)p p p p p p p p p a a a τ=−∑其中表示对1、2、3的所有排列求和.123p p p ∑二阶行列式有类似规律.下面将行列式推广到一般的情形.111213212223313233a a a D a a a a a a ==112233122331132132132231122133112332a a a a a a a a a a a a a a a a a a ++−−−二、n 阶行列式的定义1.n 阶行列式共有n ! 项．2.每一项都是位于不同行不同列的n 个元素的乘积．3.每一项可以写成（正负号除外），其中是1, 2, …, n 的某个排列.4.当是偶排列时，对应的项取正号；当是奇排列时，对应的项取负号.1212np p np a a a L 1n p p L 12n p p p L 12n p p p L 1212121112121222()1212(1)n nnn n p p p p p np p p p n n nna a a a a a D a a a a a a τ==−∑L L L L L M MML 简记作，其中为行列式D 的(i , j )元det()ij a ij a思考题：成立吗？11−=−注意：当n = 1时，一阶行列式|a | = a ，注意不要与绝对值的记号相混淆. 例如：一阶行列式.11−=−例写出四阶行列式中含有因子的项.2311a a 解11233244a a a a −11233442.a a a a 和1112131422232433334440000a a a a a a a D a a a =例计算行列式142323241000000000000a a D a a =1122133440000000000a a D a a =112122432323341424344000000a a a D a a a a a a a =112213344000000000000a a D a a =1423232410000000000a a D a a =11223344a a a a=(4321)14233341(1)a a a a τ=−14233341a a a a =(4321)0123τ=+++346.2×==其中111213142223243333444000000a a a a a a a D a a a =112122432323341424344000000a a a D a a a a a a a =11223344a a a a =14233341a a a a =12,11nn n a a D a −=N1122nna a D a =O结论：(1) 对角行列式nna a a L 2211=(1)212,11(1)n n n n n a a a −−=−Lnnn n a a a a a a D L M OM M L L 21222111000=nnnn a a a a a a D L M O M M L L 00022211211=(2) 上三角形行列式（主对角线下侧元素都为0）nna a a L 2211=(3) 下三角形行列式（主对角线上侧元素都为0）nna a a L 2211=例用定义计算行列式113023********10−−−−=D例用定义计算行列式解用树图分析−1133123−1−2−2−112134=）（τ22143=）（τ32413=）（τ42431=）（τ491223−=+−+−=D故11323211121−−−−=D已知，求的系数.()1211123111211xx x xx f −=3x 例用定义计算行列式故的系数为－1.解含的项有两项，即3x ()1211123111211xx x xx f −=对应于()124311223443(1)a a a a τ+−(1234)11223344(1)a a a a τ−(1234)311223344(1),a a a a x τ−=()1243311223443(1)2a a a a xτ−=−3x。