结构力学 第三章节叠加法作弯矩图
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材料力学结构力学弯矩图
qL
(47)
B、A处无水平支反力，直接 作M图
q=20kN/m
25kN.m
25kN.m q
65kN.m 50kN 50kN
L
25kN.m 25kN.m
0.5m
0.5m
2m
(48)
B、A处无水平支反力，AC、 DB无弯曲变形，EC、ED也 无弯曲变形
P
E
L
C N=P/2
D
L
1.5L
4m
2qL2
2qL2
注：P力通过点弯矩为0
第8页/共72页
aa
用“局部悬臂梁法”直接作M图：
P
P
P
Pa
P
2Pa
A Pa
a Ba
a
a
(23)
注：AB段弯矩(2为3)常数。
(33)
2L 2L
LL
用“局部悬臂梁法”直接作M图：
P P
PL PL
3PL
L
L
L
L
((2344))
(24)
2PL 2PL
P P
qa
qa
第9页/共72页
L
L
L
q
2qL2
2qL2
A
L
(50)
(60)
P
利用反对称性，直接作M图
105
105
N=P/2
无弯矩 105 105
L
L
P (51)
P
2
2
(61)
第22页/共72页
a
先计算A或B处支反力，再作M图
B
Pa 2 P Pa 2
A
2a
((6522))
a
叠加法作弯矩图32
D
4
支座反力 RA=15KN
6KN q=2KN/m
8KN q=2KN/m
RB=11KN
C 2m
梁分CA、AD、DB、BF段。
各控制面弯矩分别为：
A 4m
RA
D
E
2m 2m
BF 2m
RB
MA=-12KN MD=8KN MB=-4KN
12 4
8
10
的拼凑。
ql2/8
任意段梁都可以当作简支梁,并可以利用叠加法来作该段梁
的弯矩图。
支座反力（可不求） 梁分两段：AB段和BD段。
AB段： A端弯矩MAB=0， B端弯矩MBA=-4KN•m BD段： B端弯矩MBD=-4KN•m D端弯矩MDB=0
6kN 2kN m
AC
B
D
2m 2m 2m
4
B
2
A
1
步骤：1. 荷载分解(分解）
2. 作分解荷载的弯矩图（查表9-1）
3. 作荷载共同作用下的弯矩图（叠加）
注意：
弯矩图的叠加，不是两个图形的简单叠加，而是对应点处 纵坐标的相加。
叠加法作弯矩图举例
F
q
F
q
=
+
A
BA l
B l
A
B
l
1/2qL2+FL
1/2qL2
FL
F A
m 1 Fl
4A
F
C
B
B
l2 l2
1 Fl 4
-
+ 1 Fl 8
l2 l2
+
1 Fl 4
A C
m 1 Fl 4 C
l
1 Fl
叠加法绘制弯矩图-PPT
AX l
B
F
叠加法——用叠加原理绘制弯矩图的方法
叠加时，易先画直线形的弯矩图，再叠加曲线形或折线形 的弯矩图
由于剪力图比较好画，重点介绍用叠加法画弯矩图
步骤： 注意：
1. 荷载分解 2. 作分解荷载的弯矩图
3. 叠加作荷载共同作用下 的弯矩图
弯矩图的叠加， 不是两个图形的简单叠加， 而是对应点处纵坐标的相加。
叠加法绘制弯矩图
重点
1、叠加法绘制弯矩图 2、区段叠加法绘制弯矩图。
难点
区段叠加法绘制弯矩图
叠加原理：
几个载荷共同作用的效果，等于各个载荷单独作用效果之和
“效果”——指载荷引起的反力、内力、应力或变形
“之和”——代数和
叠加原理成立的前提条件：小变形条件
q
MxFxqx2
2
M x M 1 x M 2 x
kN
190 160
kNm
210 280
340
4
-
大家有疑问的，可以询问和交流
可以互相讨论下，但要小声点
MA A
MA
q
MB
B
lபைடு நூலகம்
q
A
l
+
+
MB
1/8qL2
1/8qL2
MA BA
l
+
MA
MB B
MB
区段叠加法——用叠加法作某一段梁弯矩图的方法 原理
任意段梁都可以当作简支梁,并可以利用叠加法来作该段梁 的弯矩图
梁分一段： A端截面弯矩：M=MA B端截面弯矩：M=MB
各控制面弯矩分别为：
MA=-12KN MD=8KN MB=-4KN
6KN q=2KN/m
按叠加原理作弯矩图
F
x
F, q 作用该截面上的弯矩等于F, q 单独作 用该截面上的弯矩的代数和
q
qx M ( x ) Fx 2
2
x
3
(Internal forces in beams)
F
q
2 ql 6
+
2l/3
2 ql 81
M F ( x ) Fx
+
x l
Fl
F
2
ห้องสมุดไป่ตู้
qx M q ( x) 2
2 ql 6
1
(Internal forces in beams)
三、步骤 (Procedure)
（1）分别作出各项荷载单独作用下梁的弯矩图;
（2）将其相应的纵坐标叠加即可（注意：不是图形的简单拼凑） 例16 悬臂梁受集中荷载 F 和均布荷载 q 共同作用, 试按叠加 原理作此梁的弯矩图. F=ql/3 q
x
F2 F1 F3
a
122
a
a
a
d
a
+
c
d
a
c
b
e
d
a
c
b
5 215
e
b
e 291
(Internal forces in beams)
F1
D a A
F2
C B
F3
E
d
a
c
b
e
291 a a c 131 215 291 a a
122
d
a
d
a
1 1 M C ( 291 ) 122 ( 215 ) 131kN m 2 2
FS (F1 ,F2 , ,Fn ) = FS (F1 ) + FS ( (F2 ) + + FS (Fn )
分段叠加法作弯矩图
q
0
ql A
ql
B C D
ql
l
l
2q l
l
第三章 静定梁与静定钢架
习题6
Qingdao Technoligical University
本章重点：
梁和刚架的内力图
0
3 ql 2
3 2 ql 2
ql
q
C 1 ql 2
A
B
l
l
练习: 利用微分关系等作弯矩图
P
本章重点：
梁和刚架的内力图
l
l/2
l/2
用叠加法作直杆M 图的步骤
• (1)竖：用截面法求杆端弯矩。
Qingdao Technoligical University
• (2)联：将杆两端弯矩纵标联以虚线
• (3)叠加：以联线为基础，叠加杆跨 上荷载所产生的简支梁弯矩图。
练习:
q
1 2 ql 16
q
l
ql 2
1 2 ql 16
ql 2
l
6.分段叠加法作弯矩图
q
A
1 2 ql 16
B
l/2
q
C
q
l/2
1 2 ql 16
1 ql 8
1 2 ql 16
l/2
q
q
1 2 ql 16
1 2 ql 16
l/2
分段叠加法作弯矩图的方法：
Qingdao Technoligical University
第三章 静定梁与静定钢架
（1）计算控制截面的弯矩值:
选定外力的不连续点（集中力作用点、集中力偶作用点、
本章为全书 第三章 静定梁与静定钢架 最重要的一章
分段叠加法作弯矩图
分段叠加法作弯矩图
作弯矩图时，可采用叠加法，使绘制工作得到简化。
（1）叠加发作简支梁的弯矩图
应当注意，这里所说的弯矩叠加，是纵坐标的叠加而不是指图形的拼合。
图2－6d中的纵坐标M0，如图和M的纵坐标一样，也是垂直于杆轴AB，而不是垂直杆A’B’。
（2）结构中任意直杆段的弯矩图
结论：任意直杆段的弯矩图的特性和与其相应的（长度、承受荷载q和两端弯矩M A、M B均相同）简支梁的竖向力Y A、Y B（Y0A、Y0B）和弯矩图完全相同，因此，我们可以用前面所属的叠加法来绘制任意直杆段的弯矩图。
具体作法如下：先求出杆段两端截面的弯矩图M A、M B。
作直线的图，然后依此直线为基线，叠加相应简支梁在跨间荷载作用下的M0图（如d所示）
小结：梁弯矩图的一般作法
利用内力图的特性和弯矩图叠加法，将梁弯矩图的一般作法归纳如下：
（1）选定外力的不连续点（如集中力、集中力偶的作用点，分布力的起点和终点等）为控制截面，求出任制裁面的弯矩值。
（2）分段画弯矩图。
当控制截面之间无荷载时，该段弯矩图是直线图形。
当控制截面之间
有荷载时，用叠加法作该段的弯矩图。
建筑结构与受力分析 之 叠加法画弯矩图
二、用叠加法画弯矩图 根据叠加原理来绘制梁的内力图的方法称为叠加法 叠加法。 叠加法 由于剪力图一般比较简单，因此不用叠加法绘制，下面只介绍用 后将各弯矩图中同一截面的弯矩代数相加， 即可得到梁在所有荷载共同作用下的弯矩图。
所以当梁在个荷载共同作用下所引起的某一参数内力支座反力应力和变形等等于梁在各个荷载单独作用时所引起的同一参数的代数和这种关系称为叠加原理
叠加法画弯矩图
一、叠加原理 由于在小变形条件下，梁的内力、支座反力，应力和变形等 参数均与荷载呈线性关系 每一荷载单独作用时引起的某一参数不受其他荷载的影响。 所以，当梁在个荷载共同作用下所引起的某一参数(内力、支座 反力、应力和变形等)，等于梁在各个荷载单独作用时所引起的 同一参数的代数和，这种关系称为叠加原理 叠加原理。 叠加原理
图8-21
例 试用叠加法画出简支梁的弯矩图。
解：(1) 先将梁上荷载分为集中力偶 M e和均布荷载 q 两组。 (2) 分别画出 M e q 单独作用时的弯矩图，然后将这两个弯矩 和 图相叠加。叠加时，是将相应截面的纵坐标代数相加。
例 用叠加法画出简支梁的弯矩图。 解：(1) 先将梁上荷载分为两组。其中集中力偶 M e A 和 M e B 为一组，集中力 F 为一组。 (2) 分别画出两组荷载单独作用下的弯矩图，然后将这两个弯矩图相叠加。
经典__材料力学结构力学弯矩图
用“局部悬臂梁法”直接作M 图
q
PL
PL
与杆件轴 线相切
qL 2 2
L
P L L
(30) (22)
(21)
(29)
用“局部悬臂梁法”直接作M图：用“局部悬臂梁法”直接作M图：
1 2 Pl 1 2 Pl
2Pl
2Pl
Pl
1 2 Pl
Pl
(31)
(32)
注：P力通过点弯矩为0
注：P力通过点弯矩为0
用“局部悬臂梁法”直接作M图：
(55)
3a
2a
(64) (54)
(65)
q=20kN/m
a/2
5qa/2
B
Pa/2
a/2
qa
2qa
q Pa/2
A
54)
(47)
(48)
B、A处无水平支反力，直接 作M图
q=20kN/m 25kN.m
2m
B、A处无水平支反力，AC、 DB无弯曲变形，EC、ED也 无弯曲变形
P
25kN.m 65kN.m 25kN.m q 0.5m
PL P PL
特点：对称结构，对称荷载，M图对称， C处弯矩为0。计算出A或B支座水平反力， 即可作M图。
2 qa/2 2 qa/2
q
2 qa/2 2 qa/2
C
C
L
A
L
B
A
a
(71) (60)
B
a
(59)
(70)
qa2
M
q
2a
A
特点：对称结构，反对称荷载，反力 L 也反对称， X A X B 0。C处弯矩为0。 (59) 即可直接作M图。
结构力学 叠加法
2．6叠加法作弯矩图当梁在荷载作用下变形微小，因而在求梁的支反力、剪力、弯矩时可直接代入梁的原始尺寸进行计算，且所得结果与梁上荷载成正比。
在这种情况下，当梁上有几项荷载作用时，由每一项荷载所引起的梁的支反力或内力，将不受其他荷载的影响。
所以在计算梁的某截面上的弯矩时，只需先分别算出各项荷载单独作用时在该截面上引起的弯矩，然后求它们的代数和即得到该截面上的总弯矩。
这种由几个外力共同作用引起的某一参数(内力、位移等)等于每一外力单独作用时引起的该参数值的代数和的方法，称为叠加法。
叠加法的应用很广，它的应用条件是：需要计算的物理量(如支反力、内力以及以后要讨论的应力和变形等)必须是荷载的线性齐次式。
也就是说，该物理量的荷载表达式中既不包含荷载的一次方以上的项，也不包含荷载的零次项。
例题2-9试按叠加原理做例题2-9图(a)所示简支梁的弯矩图。
求梁的极值弯矩和最大弯矩。
解：先将梁上每一项荷载分开(见图(b)、图(c))，分别做出力偶和均布荷载单独作用的弯矩图(见图(d)、图(e))两图的纵坐标具有不同的正负号，在叠加时可把它们画在x 轴同一侧(见图f)。
于是两图共有部分，其正、负纵坐标值互相抵消。
剩下的纵距(见图(f)中阴影线部分)即代表叠加后的弯矩值。
叠加后的弯矩图仍为抛物线。
如将它改画为以水平直线为基线的图，即得通常形式的弯矩图(见图(曲)。
求极值弯矩时，先要确定剪力为零的截面位置。
由平衡方程0Bm =∑可求得支反,剪力方程为Q 即可求出极值弯矩所在截面的位置。
令()0x极值弯矩为由例题2-9图（g)可见，全梁最大弯矩为本例中的极值弯矩并不大于梁的最大值弯矩。
当梁上的荷载较复杂时，也可将梁按荷载情况分段，求出每一段梁两端截面的内力。
这时该段梁的受载情况等效于一受相同荷载的简支梁 (见图2-12(a)、(b))。
因为每一段梁在平面弯曲时的内力，不外是轴力N、剪力Q和弯矩M。
由于轴力N不产生弯矩，故在作弯矩图时可将它略去，剩下的梁端剪力1Q，2Q和梁端弯矩1M、2M，及荷载对梁段的作用，可用图2-12(b)所示的简支梁上相应的荷载来代替(梁段端截面上的剪力可由梁的支反力提供，故图中未画出)。
分段叠加法作弯矩图
l/2
q 1 ql2 16
l/2
q
1 ql2 16
分段叠加法作弯矩图的方法：
（1）计算控制截面的弯矩值: 选定外力的不连续点（集中力作用点、集中力偶作用点、
分布荷载的始点和终点）为控制截面，
（2）分段叠加作弯矩图： 当控制截面间无荷载时，弯矩图为连接控制截面弯矩值
的直线； 当控制截面间存在荷载时，弯矩图应在控制截面弯矩值作
M图 FQ图
A支座的反力 大小为多少, ql2 / 2 M图 方向怎样? FQ图
M图
FQ图
1.无荷载分布段(q=0),FQ图为水平线,M图为斜直线. 2.均布荷载段(q=常数),FQ图为斜直线,M图为抛物线,且 凸向与荷载指向相同. 3.集中力作用处,FQ图有突变,且突变量等于力值; M图 有尖点,且指向与荷载相同;从左向右看，剪力图突变 方向与力的方向相同。 4.集中力偶作用处, M图有突变,且突变量等于力偶值; FQ图无变化;从左向右看，顺时针力矩，M图向下突变。
1m
1m
7kN
练习2
本章重点： 梁和刚架的内力图
60kN
24kN
A
D0
B
E
0.2m
18kN
0.2m
0.2m
66kN
M图
FQ图
例: 作内力图
铰支座有外 力偶,该截面弯矩 等于外力偶.
M图 FQ图
无剪力杆的 弯矩为常数.
M图
自由端有外
力偶,弯矩等于外
FQ图 力偶
练习: 利用上述关系作弯矩图,剪力图
练习: 利用上述关系作弯矩图,剪力图
5.叠加法作弯矩图
注意:
是竖标相加,不是 图形的简单拼合.
用叠加法作直杆M 图的步骤
结构力学第三章叠加法作弯矩图
三、荷载与内力之间的微分关系
M FN
qy
qx dx dx
M+dM
FQ
FN+dFN FQ +dFQ
dM FQ , dx
dFQ dx
q y ,
dFN qx dx
dM FQ , dx
小结：
dFQ dx
q y ,
dFN qx dx
1）剪力图上某点切线的斜率等于该点横向分 布荷载的集度，但正负号相反。
区段弯矩图叠加法
q
A B
C
l/2
q
q
l/2 l/2
1 2 ql 16
q q
1 2 ql 16
1 2 ql 16
1 2 ql 16
l/2
区段弯矩图叠加法
ql
q D↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ E 2
ql2/8
A
B
ql2/4
F ql
ql /2
ql l/2
l/2
ql M图
l
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ ql2/4 ql2/8
切忌：浅尝辄止
本章内容
梁的内力计算回顾 用叠加法作弯矩图 多跨静定梁 静定平面刚架 静定平面桁架 组合结构 静定结构总论
几何特性：无多余联系的几何不变体系 静力特征：仅由静力平衡条件可求全部反力 内力 求解一般原则：从几何组成入手，按组成的 相反顺序进行逐步分析即可
§3-1
梁的内力计算回顾
一、内力的概念和表示
l
m l
m
铰支座有外 力偶,该截面弯矩 等于外力偶.
练习: 利用上述关系作弯矩图,剪力图
叠加法作弯矩图
几个力对杆件的作用效果，等于 每一个力单独作用效果的总和。
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二、内力的计算方法
1.截面法
截取----将指定截面切开，任取一部分作为隔离体。 代替----用相应内力代替该截面的应力之和。 平衡----利用隔离体的平衡条件，确定该截面的内力。
2.直接计算法
轴力等于该截面一侧所有的外力沿杆轴切线方向的投影代数和； 剪力等于该截面一侧所有外力沿杆轴法线方向的投影代数和； 弯矩等于该截面一侧所有外力对截面形心的力矩的代数和。 以上结论是解决静定结构内力的关键和规律，应熟练掌握和应用。
求截面1、截面2的内力
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
1 50kN 2
5kN/m
FN2=50 －141×cos45o =－50kN
FQ2= －141×sin45°＝－100kN (取外力矩顺时针转向为正方向) M2＝ 50×5 －125 －141×0.707×5
＝－375kN.m
+
5m
45° 141kN
四、 集中荷载与内力之间的增量关系 FP MB右 MB左 B
FQB左 dx y x
FQB右
F
M
0
FQB右 FP FQB左 0 FQB右 FQB左 FP
dx M B左 M B右 ( FQB左 FQB右 ) 0 2 M B左 M B右
B
0
小结： 1）在集中力作用点的左右截面，剪力有突变。 剪力图有台阶，台阶高度等于FP 。 2）M 图上有尖点，尖点指向同集中力的指向。
第三章 静定结构的受力分析
基本要求：
理解恰当选取分离体和平衡方程计算
静定结构内力的方法和技巧，会根据几何 组成寻找解题途径。
掌握内力图的形状特征和绘制内力图
的方法， 静定平面刚架、多跨梁、三铰拱、 平面桁架及组合结构的内力计算。
熟练掌握叠加法作弯矩图。
容易产生的错误认识：
“静定结构内力分析无非就是 选取隔离体，建立平衡方程， 以前早就学过了，没有新东西”
q
A l
ql2 8
B
F A B
a
l Fb l
＋
Fab l
b
－
Fa l
ql2 / 2
M图
FQ图
A支座的反力 大小为多少, 方向怎样?
M图
FQ图
a m l m A a l
b m l
b
B
m l m l
m l
－
M图
FQ图
自由端有外 力偶,弯矩等于外 力偶
无剪力杆的 弯矩为常数.
m A
m B
m l m
五、 集中力偶与内力之间的增量关系 m MB左 MB右 B FQB左 dx y FQB右 x
F
y
0
FQB右 FQB左
dx M B左 m M B右 ( FQB左 FQB右 ) 0 2 M B右 M B左 m
MB 0
小结： 1 ）集中力偶作用点左右截面的弯矩产生突变， M 图有台阶，台阶高度等于m。
三、荷载与内力之间的微分关系
M FN
qy
qx dx dx
M+dM FN+dFN FQ +dFQ
FQ
dM FQ , dx
dFQ dx
q y ,
dFN qx dx
dM FQ , dx
小结：
dFQ dx
q y ,
dFN qx dx
1 ）剪力图上某点切线的斜率等于该点横向分 布荷载的集度，但正负号相反。
轴力FN----截面上应力沿轴线切向的合力,轴力以拉 力为正。 剪力FQ----截面上应力沿杆轴法线方向的合力,剪力以 绕隔离体顺时针转为正。 弯矩M----截面上应力对截面形心的力矩，不规定正 负，但弯矩图画在拉侧。 M FN
M
FQ dx
FQ
作图时，轴力图、 剪力图要注明正负号， 弯矩图规定画在杆件受 FN 拉的一侧，不用注明正 负号。
2）弯距图上某点切线的斜率等于该点的剪力。 3）弯距图上某点的曲率等于该点的横向分布荷 载的集度，但正负号相反。 4）轴力图上某点的斜率等于该点轴向分布荷载 的集度 q x ，但正负号相反。
因此： 若剪力等于0，M 图平行于杆轴； 若剪力为常数，则 M 图为斜直线； 若剪力为x 的一次函数，即为均布荷载时， M 图为抛物线。
2kN· m
（3）叠加得弯矩图
4kN· m
4kN· m
MA A
MB
B
l
MB
MA
MA A
q B
MB
l
MA
ql 8
2
MB
8kN· m
2kN/m
3m
3m
2m
（1）悬臂段分布荷载作用下
4kN· m
2kN· m
（2）跨中集中力偶作用下
4kN· m
2）左右截面剪力不变。
m
l /2 l /2 m/2
m/2
表 3－ 1
FQ
六、内力图与支承、连接之间的对应关系
1、在自由端、铰结点、铰支座处的截面上无集中力偶作用时， 该截面弯矩等于零（如图1-(a)C右截面、图1-(b)A截面），有集 中力偶作用时，该截面弯矩等于这个集中力偶，受拉侧可由力偶 的转向直接确定（如图1-(a)C左截面和D截面）。 2、在刚结点上，不仅要满足力的投影平衡，各杆端弯矩还要 满力矩平衡条件∑M=0。尤其是两杆相交刚结点上无外力偶作用 时，两杆端弯矩等值，同侧受拉（如图1-(a)结点B、图1-(b)结点 B）。 3、定向支座、定向连接处FQ=0，FQ=0段M图平行轴线（如 图1-(a)AB杆端、图1-(b)BC、CD段）。
125kN.m 5m
所以：M2＝375kN.m （左拉） FN1=141×0.707=100kN
FQ1= 50 +5×5 －141×0.707 =－25kN
(取外力矩逆时针转向为正方向) (下拉）
M1=125 +141×0.707×10 －50×5 －5/2×5²=812.5kNm
注意：外力矩的正负是为了区分它的两种不同的转向。
切忌：浅尝辄止
本章内容
梁的内力计算回顾 用叠加法作弯矩图 多跨静定梁 静定平面刚架 静定平面桁架 组合结构 静定结构总论
几何特性：无多余联系的几何不变体系 静力特征：仅由静力平衡条件可求全部反力 内力 求解一般原则：从几何组成入手，按组成的 相反顺序进行逐步分析即可
§3-1
梁的内力计算回顾
一、内力的概念和表示
l
m l
m
铰支座有外 力偶,该截面弯矩 等于外力偶.
练习: 利用上述关系作弯矩图,剪力图
叠加法作弯矩图
几个力对杆件的作用效果，等于 每一个力单独作用效果的总和。
4kN· m
4kN
3m
3m
（1）集中荷载作用 下
6kN· m
注意:
是竖标相加,不 是图形的简 单拼合.
（2）集中力偶作用 下 4kN· m