二次函数解题方法与技巧例题练习题

【解读二次函数的系数】

1、a 的正负决定抛物线的开口方向

a ＞0时，抛物线开口向上，a ＜0时，抛物线开口向下。 2、︳a ︳决定抛物线张开角度

︳a ︳越大，张开角度越小；︳a ︳越小，张开角度越大；︳a ︳相等，张开角度相同。 3、a 和b 共同决定抛物线对称轴的位置

（1）a ，b 同号（ab ＞0），则对称轴x= - b

2a

（2）a ，b 异号（ab ＜0），则对称轴x= - b

2a >o,对称轴在y 轴的右侧；

（3）若b ＝0，则对称轴x= - b

2a =o,对称轴与y 轴重合；

4、C 与图像和y 轴的交点位置

（1）C ＞0时，抛物线与y 轴的交点在y 轴的正半轴上； （2）C ＜0时，抛物线与y 轴的交点在y 轴的负半轴上； （3）C=0时，抛物线过原点； 5、b 2

—4ac 决定抛物线与x 轴交点个数

（1）b 2

-4ac ＞0时，抛物线与x 轴相交（有两个交点）； （2）b 2-4ac ＝0时，抛物线与x 轴相切（有一个交点）； （3）b 2-4ac ＜0时，抛物线与x 轴相离（没有交点）； 6、若抛物线过点（1，0），则a+b+c = 0

若抛物线与过点（1，0）且平行于y 轴的直线相关交于x 轴上方，则a+b+c > 0；反之，则a+b+c < 0. 7、若抛物线过点（－1，0），则a －b+c = 0

若抛物线与过点（－1，0）且平行于y 轴的直线相关交于x 轴上方，则a －b+c > 0；反之，则a －b+c < 0. ◆练一练

1、如图，若a ＜0，b ＞0，c ＜0，则抛物线y=ax 2

＋bx ＋c 的大致图象为（ ）

2、函数y=ax 2

＋bx ＋c 和y=ax ＋b 在同一坐标系中，如图所示，则正确的是（ ）

3、在同一坐标系中，函数y=ax 2

＋bx 与y=b x

的图象大致是图中的（ ）

4、 如图，为抛物线y ＝ax 2

＋bx ＋c 的图像，A 、B 、C 为抛物线与坐标轴的交点，且OA =OC =1，则下列关系中正确的是（ ）

A ．a ＋b =－1

B ． a －b =－1

C ． b <2a

D ． ac <0

5、 如图，是二次函数 y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的图象的一部分， 给出下列命题 ：①a+b+c=0；②b ＞2a ；③ax 2+bx +c =0的两根分别为-3和1；④a -2b +c ＞0．其中正确的命题是 ．（只要求填写正确命题的序号）

6、 （2011甘肃兰州）如右图所示的二次函数y=ax 2

+bx+c 的图象中，刘星同学

观察得出了下面四条信息：（1）2

40b ac ->；（2）c >1；（3）2a －b <0；

（4）a +b +c <0。你认为其中错误的有（ ） A ．2个 B ．3个 C ．4个

D ．1个

【二次函数图象的几何变换】 一、二次函数图象的平移变换 （1）具体步骤：

先利用配方法把二次函数化成y=a(x-h)2+k 的形式，确定其顶点(h,k)，然后做出二次函数y=ax 2

的图像，将抛物线y=ax 2

平移，使其顶点平移到(h,k).具体平移方法如图所示：

（2）平移规律：上加下减，左加右减. 二、二次函数图象的对称变换

二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达

1. 关于x 轴对称

y ＝ax 2

＋bx ＋c 关于x 轴对称后，得到的解析式是y ＝ -ax 2

-bx -c ；

y=a(x-h)2

+k 关于x 轴对称后，得到的解析式是y= -a(x-h)2

-k ；

2. 关于y轴对称

y＝ax2＋bx＋c关于y轴对称后，得到的解析式是y＝ax2-bx＋c；

y=a(x-h)2+k关于y轴对称后，得到的解析式是y=a(x+h)2+k；

3. 关于原点对称

y＝ax2＋bx＋c关于原点对称后，得到的解析式是y＝ -ax2＋bx-c； y=a(x-h)2+k关于原点对称后，得到的解析式是y= -a(x+h)2-k；

4. 关于顶点对称

y＝ax2＋bx＋c关于顶点对称后，得到的解析式是y＝ -ax2-bx＋c - b2

2a

；

y=a(x-h)2+k关于顶点对称后，得到的解析式是y= -a(x-h)2+k．

5. 关于点(m,n)对称

y=a(x-h)2+k关于点(m,n)对称后，得到的解析式是y= -a(x+h-2m)2+2n-k

◆练一练

1、将函数y=x2+x的图象向右平移a(a>0)个单位，得到函数y=x2-3x+2的图象，则a的值为（）A．1 B．2 C．3 D．4

2、如图，在

中，AB=4，点D的坐标是(0,8)，，以点C 为顶点的抛物线y＝ax2

＋bx＋c经过x轴上的点A，B．

⑴ 求点A，B，C的坐标．

⑵ 若抛物线向上平移后恰好经过点D，求平移后抛物线的解析

式．

3、已知抛物线y=x2-6x+5，求⑴ 关于y轴对称的抛物线的表达

式；⑵ 关于x轴对称的抛物线的表达式；⑶ 关于原点对称的抛物

线的表达式．

【二次函数解析式求法】

1、利用二次函数的三种表达式确定其解析式

例：已知抛物线经过点A（5，0）、B（6，－6）、和原点，试用三种方法求此抛物线的函数解析式。